16 Le fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo

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16
Le fluttuazioni della radiazione cosmica di
fondo
Lo spettro di potenza delle fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo
(CMB) e le sue proprietà di polarizzazione forniscono dei vincoli ai parametri
cosmologici ed alla formazione delle strutture. Adesso il nostro scopo è quello
di collegare i modelli di formazione delle strutture con le tracce che lasciano
sulla CMB.
Combinando le osservazioni della CMB, la struttura a grande scala delle
galassie e le supernovae Ia è possibile vincolare i parametri cosmologici al
meglio del 10% e con le recenti osservazioni di Planck è stato possibile raggiungere un’accuratezza del „ 1%. Questo permette di parlare di “precision
cosmology” rispetto a quando le incertezze sui parametri cosmologici erano
dell’ordine di un fattore „ 2.
Ovviamente la teoria deve essere più accurata delle osservazioni e questo
comporta un’analisi complessa che è ben oltre lo scopo del corso: l’analisi completa prevede la soluzione numerica delle equazioni di Einstein della
Relatività Generale, dell’equazione di Boltzmann e delle equazioni fluide.
Quest’analisi di può fare accuratamente con codici numerici pubblici come
CMBFAST e CAMB che permettono di avere le predizioni del modello preferito di formazione delle strutture. Nel nostro caso ci limiteremo ad un’analisi
semplice per capire la fisica che è alla base dei risultati numerici.
La prima cosa importante da analizzare è lo stato di ionizzazione del gas
nell’epoca della ricombinazione ovvero nell’epoca in cui l’universo ha e↵ettuato la transizione da completamente ionizzato a completamente neutro.
16.1
Lo stato di ionizzazione del gas intergalattico durante l’epoca della ricombinazione
Abbiamo trovato che per z " 1, ⌦0 z " 1 la profondità ottica per scattering
Thomson del gas totalmente ionizzato è data dalla 9.56:
⌧ » 0.035
⌦b
1{2
⌦0
hz 3{2
ovvero per ⌦0 “ 0.3, ⌦b “ 0.05, h “ 0.7 si ha
⌧ » 1.5 ˆ 10´3 z 3{2
cioè ⌧ » 130 per z “ 1500. Tutto quello che avviene quando il gas è ionizzato
va perso perché i fotoni subiscono molti scattering e perdono “memoria” delle
284
loro condizioni fisiche iniziali. La radiazione della CMB che vediamo proviene
da piccole regioni in z in cui si ha ⌧ » 1 ovvero dalla superficie di ultimo
scattering (in modo analogo alla fotosfera di una stella).
A questo punto dobbiamo conoscere l’intervallo di redshift z in cui è
avvenuto l’ultimo scattering dei fotoni poichè quello rappresenta la porzione
di universo che vediamo con la CMB.
La probabilità che un fotone che osserviamo adesso abbia subito uno
scattering tra z e z ` dz è data da
dP “ e´⌧ pzq d⌧
definiamo la funzione di visibilità vpzq tale che
dP “ vpzqdz “ e´⌧ pzq d⌧ “ e´⌧ pzq
d⌧
dz
dz
ovvero si ha
d⌧
dz
Il processo di ricombinazione non è istantaneo per vari motivi:
vpzq “ e´⌧ pzq
• le ricombinazioni al livello n “ 1 dell’atomo di idrogeno creano fotoni
che re-ionizzano gli atomi di H appena formati:
• le ricombinazione ai livelli n ° 1 vanno a popolare il livello n “ 1 (2S
o 2P ); se c’è il decadimento diretto dal livello 2P si crea un fotone
Ly↵ che viene riassorbito popolando i nuovamente il livello n “ 1;
in conclusione c’è una significativa popolazione del livello n “ 1 da
cui l’atomo di H può essere ionizzato in quanto ci sono ancora fotoni
sufficientemente energetici;
• se dal livello n ° 1 c’è una caduta diretta al livello fondamentale si genera un fotone Lyman che può venire a sua volta riassorbito ripopolando
il livello con n alto; l’atomo di H può essere ionizzato a partire da questo livello poichè, come detto, esistono ancora fotoni sufficientemente
energetici;
• l’unico modo di decadimento che poi non porta ad una ionizzazione è la
transizione proibita da 2S a 1S; è una transizione di quadripolo a due
fotoni la cui energia totale è pari a quella del fotone Ly↵; contrariamente al fotone Ly↵ la loro profondità ottica è molto piccola e quindi
non interagiscono con gli atomi di H in quanto non hanno energia sufficiente a ionizzare ne’ tantomeno a fare la transizione tra il livello 1 ed
il 2.
285
424
15 Fluctuations in the Cosmic Microwave Background Radiation
Fig. 15.1. a Ionisation fraction x = N /N
as a function of redshift z for the WMAP
e
e
H
Figura 81: Alto: frazione di ionizzazione
xe “ Ne {NH in funzione del redshift per
concordance values for cosmological parameters. b Visibility function v(z) = e−τ dτ/dz
il modello cosmologico standard. Basso: funzione di visibilità normalizzata ad 1 al
normalised to unity at maximum (Chluba and Sunyaev, 2006)
suo massimo.
15.2 The Physical and Angular Scales of the Fluctuations
Quindi,
il processo
chelisting
determina
la ricombinazione
è il decadimento
2S Ñ
It is helpful
to begin by
the various
scales and dimensions
which will appear
´1
1S
cheanalysis
però hawhich
una probabilità
con A “we
8.23
s . to use our
in the
follows. For molto
the sakepiccola
of definiteness,
continue
Come
si
vede
in
figura
81
il
massimo
della
funzione
di
visibilità
rireference set of parameters: Ω0 = 0.3, ΩΛ = 0.7, ΩB = 0.05, h = 0.7.(che,
Where
cordiamo,
la probabilità
chen il=fotone
avuto
l’ultimo
scatnecessary, rappresenta
we will use the
spectral index
1 for abbia
the initial
power
spectrum.
tering
tra
z
e
z
`
dz)
si
ha
per
z
»
1090;
la
larghezza
a
metà
altezza
The element of comoving radial distance
maxcoordinate at redshift z during the matter(ovvero
quando
si raggiunge
il 50% del picco) si ha per z “ 1178 ˜ 983 ovvedominated
era is given
by (7.73):
ro z “ 195. Per il nostro modello di riferimento
questi valori corrispondono
c dz
(15.3)
"1/2 ,
a t “ 370, 000 yrdrpz=max q !e t “ 320,
000
˜
440,
000
yr
p zq.
H0 (1 + z)2 (Ω0 z + 1) − ΩΛ z(z + 2)
which can be written
16.2
Scale fisiche e angolari delle fluttuazioni
c dz
dr =
!spaziali che ci serviranno
"1/2 ,
Vediamo adesso le varie
scale
per l’analisi(15.4)
dello
H0 Ω0 (1 + z)3 + ΩΛ
spettro di potenza della CMB nel modello di riferimento caratterizzato da
if Ω0 + ΩΛ = 1. Strictly speaking, we should also include in this formula the
contribution of the energy density of photons
286 and neutrinos at this redshift, z = 1090,
⌦0 “ 0.3, ⌦⇤ “ 0.7, ⌦b “ 0.05, h “ 0.7 e, se necessario, n “ 1.
Nell’epoca dominata dalla materia, come abbiamo visto, la distanza radiale comovente è
dr “
H0 rp1 `
zq2 p⌦
c dz
1{2
0 z ` 1q ´ ⌦⇤ zpz ` 2qs
che, nel caso ⌦0 ` ⌦⇤ “ 1, possiamo scrivere
dr “
c dz
H0 r⌦0 p1 ` zq3 ` ⌦⇤ s1{2
in quest’espressione c’è solo il contributo della materia ma dovremmo considerare anche i neutrini e la radiazione per avere delle precisioni inferiori all’1%;
infatti ricordiamoci che ⇢rad 9 a´4 e ⇢m 9 a´3 per cui partendo da t “ teq in
cui ⇢rad “ ⇢m “ ⇢eq , possiamo scrivere che il rapporto radiazione/materia
alla ricombinazione è
ˆ
˙´1
⇢rad
arec
zrec
1500
“
“
«
“ 0.43
⇢m
aeq
zeq
3500
il contributo di neutrini e radiazione rappresenta una non piccola correzione
che però possiamo trascurare nello nostre stime grezze.
16.2.1
Lo strato di ultimo scattering
Cerchiamo adesso lo spessore comovente dello strato di ultimo scattering (last
scattering layer). Siamo nel caso in cui ⌦0 z " 1 per cui posso trascurare il
termine in ⌦⇤ :
r“
c z
c z
»
1{2
3
1{2
H0 r⌦0 p1 ` zq ` ⌦⇤ s
H0 z 3{2 ⌦0
abbiamo visto che il picco di vpzq è per z “ 1090 e che si ha
cui si ottiene
r “ 16.2p⌦0 h2 q´1{2 » 42 Mpc
z “ 195 per
questo è lo spessore comovente della superficie di ultimo scattering. La massa
di materia oscura che corrisponde a questa scala è
MDM “
⇡
p rq3 ⇢0 “ 6.0 ˆ 1014 p⌦0 h2 q´1{2 Md “ 1.6 ˆ 1015 Md
6
che corrisponde circa alla massa di un ammasso di galassie. Si noti come si
è calcolato la massa utilizzando una lunghezza comovente e la densità per
t “ t0 .
287
N fluttuazioni lungo la linea di
vista: smorzamento di N-1/2
Last Scattering
Layer
Figura 82: Last scattering layer e lo smorzamento dovuto a N perturbazioni in
esso contenute.
La scala
ring pari a
r ha una dimensione angolare sulla superficie di ultimo scatte✓“
r
16.2p⌦0 h2 q´1{2
“
Dp1 ` zq
rM P C
dove si è sfruttato il fatto che D “ r per ⌦0 `⌦⇤ “ 1; utilizzando l’espressione
per dr per ottenere rM P C corrispondente a z “ 1090 si ottiene
1{2
✓ “ 5.8 ⌦0 arcmin “ 3.2 arcmin
Su scale comoventi r † r “ 16.2p⌦0 h2 q´1{2 “ 42 Mpc all’epoca presente, ci aspettiamo di avere molte fluttuazioni indipendenti lungo la linea
di vista attraverso la superficie di ultimo scattering: la sovrapposizione casuale di molte perturbazioni entro la superficie di ultimo scattering porta al
loro smorzamento di un fattore pari a N ´1{2 , dove N è il numero di fluttuazioni lungo la linea di vista (figura 82). Pertanto, le fluttuazioni su scale
r † rLS sono smorzate mentre di quelle su scale superiori ne vediamo
solo una “fetta” nella CMB, ovvero vediamo solo la regione che corrisponde alla superficie di ultimo scattering. Ricordiamo che rLS corrisponde a
fluttuazioni la cui massa è dell’ordine di quella degli ammassi.
288
This is a significant underestimate of the damping scale at recombination since it
has not taken account of the dramatic increase in the mean free path of the photons
as the recombination process gets under way. Hu and Sugiyama present a helpful
diagram showing the impact of reionisation upon the Silk damping length (Fig. 15.2)
(Hu and Sugiyama, 1995). Formally the damping scale becomes infinite, but Hu and
Sugiyama convolve the damping scale with the visibility function so that the damping
scale appropriate for baryonic density perturbations remains finite.
Fig. 15.2.
Evolution
of the Silk
damping
for primordial
perturbations.
Figura
83: Evoluzione
della
scala delscale
damping
di Silk per ledensity
fluttuazioni
primordia-Dashed
lines: the
silkdensità.
damping
without taking
account oflarecombination.
Solid
lines:
increase
li di
Lelength
righe tratteggiate
rappresentano
scala senza tener
conto
della
in the silk
damping length
as thecontinue
process invece
of recombination
takes
placedella
at z ricombina≈ 1090 (Hu and
ricombinazione.
Le righe
rappresentano
l’e↵etto
zione
che avviene per z « 1090. Le tre serie di righe rappresentano modelli con
Sugiyama,
1995)
diversi valori di ⌦b e h.
16.2.2
La scala del damping di Silk
Adesso vediamo la scala comovente del Damping di Silk nel caso in cui la
dinamica dell’universo è guidata dalla DM; si ha
ˆ
˙1{2
1
`ct
S “
3
con
cammino libero medio dei fotoni
`“
1
T Ne
per un universo DM dominated si ha
ˆ
˙
2
´1{2
t“
H0 ⌦0 z ´1{5
3
289
ovvero
S
“
0.867 Mpc
“ 9.0 Mpc
p⌦b h2 q1{2 p⌦0 h2 q1{4
però questa è una “sottostima” significativa perché non abbiamo considerato
l’aumento rapido di ` dei fotoni non appena il processo rapido di ricombinazione inizia (con meno scattering, i fotoni di↵ondono più facilmente). Questa
cosa è mostrata in figura 83 in cui si vede come, tenendo conto della ricombinazione dei fotoni, la scala del damping di Silk (kd´1 ) rapidamente si discosta
dalla nostra approssimazione non appena l’idrogeno comincia a ricombinare.
16.2.3
L’orizzonte sonoro nello strato di ultimo scattering
L’orizzonte sonoro nello strato di ultimo scattering è
s
“ cs t
con cs velocità del suono e t età dell’universo. L’orizzonte sonoro rappresenta
la lunghezza d’onda massima su cui le onde sonore potevano aver avuto
oscillazioni coerenti al momento della ricombinazione; in pratica rappresenta
il limite superiore alla delle onde acustiche al momento della ricombinazione
poichè, data una lunghezza d’onda , cs t “ n fornisce il numero (può essere
frazionario) di oscillazioni che una data perturbazione ha avuto al momento
della ricombinazione. Ovviamente per avere una oscillazione coerente si deve
avere n ° 1 ovvero † s . Abbiamo trovato la velocità del suono come
ˆ
˙1{2
c
4⇢rad
c
cs “ ?
“a
3 4⇢rad ` 3⇢b
3p1 ` Rq
e, al momento della ricombinazione,
R“
2
3⇢b
3⌦b ⇢c c2
4 ⌦b h
“
“
3.05
ˆ
10
“ 0.685
4⇢rad
16 T04 p1 ` zq
p1 ` zq
con z “ 1090 e ⌦b “ 0.05. Pertanto nello strato di ultimo scattering cs “
0.445 c; si noti inoltre che s dipende da ⌦0 e ⌦b . Utilizzando t del modello
matter dominated con ⌦0 z " 1, z " 1 si ha
s
c
2z
“ cs t “ a
3p1 ` Rq 3H0 ⌦1{2
0
Si noti che cs “ 0.454
? c per z “ 1090 è quasi uguale al valore relativistico
che è pari a cs “ c{ 3 “ 0.577 c. Pertanto, dal momento dell’ingresso della
perturbazione nell’orizzonte alla ricombinazione si può considerare la velocità
290
del suono costate e pari a cs » 0.5 c. Fino ad ora non abbiamo corretto la
relazione a 9 t3{2 per tener conto della presenza del contributo di radiazione
alla densità di energia totale. Tenendo conto di questo contributo si ha
t “ 370, 000 yr per z “ 1090 da cui ne consegue che
s
“ 56 Mpc
come lunghezza comovente. La massa entro s è
⇡ 3
15
M“
s ⌦0 ⇢c “ 3.72 ˆ 10 Md
6
In conclusione, s “ cs t corrisponde ad una singola oscillazione tra l’entrata nell’orizzonte e la ricombinazione. Le perturbazioni con lunghezza d’onda “ s sono le perturbazioni che raggiungono la massima compressione
sulla superficie di ultimo scattering, pertanto il primo massimo nello spettro
di potenza delle fluttuazioni è proprio associato a questo modo di oscillazione.
L’origine dei picchi acustici è schematizzata in figura 84. s rappresenta
la massima lunghezza di coerenza sulla superficie di ultimo scattering per cui
la dimensione angolare di questo picco acustico nello spettro delle fluttuazioni
è
cs tp1 ` zq
✓s «
D
che nel nostro modello diventa ✓s » 0.23˝ . Nello sviluppo in multipoli di cui
parleremo tra poco, ✓s corrisponde ad un massimo a l « 250.
Nell’analisi delle fluttuazioni di temperatura della CMB, s è una scala ben più importante della lunghezza d’onda di Jeans ma necessario tener
conto di quest’ultima per la relazione di dispersione ovvero per capire se si
hanno e↵ettivamente onde sonore. Come abbiamo visto, l’interpretazione
di J è quella di distanza che l’onda sonora può viaggiare durante il tempo di collasso della perturbazione che è pari al tempo di free fall ovvero
⌧ „ pG⇢q´1{2 . Quindi, la di↵erenza tra l’orizzonte del suono e la lunghezza
di Jeans nel caso cosmologico è che t (tempo scala dell’espansione dell’universo) è determinato dalla densità della DM, ⇢DM , mentre ⌧ tempo scala
delle perturbazioni barioniche dipende da ⇢b . Le oscillazioni acustiche sono
supportate dalla pressione del plasma di barioni e fotoni entro le buche di
potenziale più profonde definite dalla DM. Usando la densità barionica si ha
ˆ ˙1{2
ˆ ˙1{2
⇡
c
⇡
“a
“ 2.6 ˆ 1022 m « 900 Mpc
J “ cs
G⇢
G⇢
3p1 ` Rq
allora s ! J (k " kJ ) per cui possiamo usare l’approssimazione di
nella relazione di dispersione delle onde acustiche, ovvero
! 2 “ c2s k 2 ´ 4⇡G⇢ “ c2s pk 2 ´ kJ2 q « c2s k 2
291
piccola
428
Fig. 15.3. Origin of the first few acoustic peaks in the power spectrum of the cosmic mi-
Figura
84:background
Origine radiation.
dei primi
picchi
spettro di potenza
radiacrowave
Circles:
the acustici
response ofnello
the photon-baryon
plasma to della
growing
zione
cosmica indicold
fondo.
cerchi
rappresentano
la risposta
plasma
di fotoni e
perturbations
dark Imatter
potential
wells (Lineweaver,
2005).del
Dark
filled circles:
maximum
of the
perturbations;
white filled
circles:
maximum of
rarefaction
barioni
alle compression
perturbazioni
che
crescono nelle
buche
di potenziale
della
DM; i ofcerchi
is
the
epoch
of
equality
and
∆z
is
the
thickness
in
redshift
of
the last
the
oscillations.
z
eq nero rappresentano la massima compressione delle perturbaziocon il riempimento
scattering layer. Many more details of this diagram are discussed in Sects. 15.4 and 15.5
ni mentre i cerchi con il riempimento bianco rappresentano la massima rarefazione
delle perturbazioni. zeq è l’epoca dell’uguaglianza materia – radiazione e z è lo
Theinsecond
waydello
of thinking
about
the sound
horizon is that it is the maximum
spessore
redshift
strato di
ultimo
scattering.
coherence length on the last scattering layer, and so we can work out the expected
angular scale of this acoustic peak in the perturbation spectrum,
cs t(1pure
+ z) onde acustiche al momento della
ovvero le oscillazioni del barioni
erano
θs ≈
.
(15.14)
D
ricombinazione.
For our reference set of cosmological parameters, this angular scale is 0.23◦ . In terms
of the angular
multipole
l on the sky, which
is introduced
in the next section, there
16.2.4
La scala
dell’orizzonte
della
particella
should be a maximum in the power spectrum at multipoles of l ≈ 250, adopting
−1
the relation
l ≈ θsche
. Indeed,
is amatter
very pronounced
maximum
in the power
Abbiamo
trovato
rH nelthere
limite
dominated
è
spectrum at this multipole (Fig. 15.4), but in view of the approximations made in
2c
21
2 ´1{2
agreement
should
be regarded
rHthis
“ 3derivation,
c t “ the1{2
p1`zq´3{2
“ 5.1ˆ10
p⌦as
q
“ 1.34ˆ1022 m « 500 Mpc
0 hfortuitous.
H0horizon
⌦0
The sound
is more important than the Jeans length in these studies,
but
the
dispersion
relation
for baryonic
perturbations
during the period
the del
e, se si tien conto della densità
di energia
della radiazione,
rH sifrom
riduce
epoch of equality to the epoch of recombination is important. The interpretation
22%.
of the Jeans length given in Sect. 11.3 was that it is the distance which sound
Adottando
rHin «
Mpccollapse
si ha time of the perturbation which is of order
waves
can travel
the500
free-fall
−1/2
τ ∼ (Gϱ)
. The difference between
rH p1the`sound
zq horizon and the Jeans length in
✓H “
D
292
“ 2.1˝
e le regioni con ✓ ° ✓H sulla CMB non possono essere state in contatto
causale cosa che, come abbiamo visto, è in apparente contrasto con i risultati di COBE, WMAP e PLANCK che hanno mostrato come l’universo sia
omogeneo ed isotropo a meno di 1 parte su 105 . Poichè J « rH tutte
le perturbazioni con † rH sono onde acustiche sulle superficie di ultimo
scattering.
Un’altra quantità che ci sarà utile è l’orizzonte per teq ; con i nostri valori
di riferimento teq “ 47, 000 yr e con rH “ 2.5 c t (compromesso tra 2 e 3)
abbiamo
eq » 40 Mpc
sempre da intendersi come lunghezza comovente.
16.2.5
Riassunto
Facciamo adesso un riassunto delle scale fisiche e angolari ottenute fin qui.
• Le fluttuazioni della CMB associate alle perturbazioni primordiali sono
state originate a z « 1090 quando l’universo era appena entrato nella
fase matter-dominated.
• Le regioni con scale ✓ ° 2˝ non erano causalmente connesse, pertanto
conservano le informazioni sullo spettro primordiale delle perturbazioni.
• Le regioni su scale scale 0.01˝ † ✓ † 2˝ forniscono molte informazioni legate all’epoca in cui radiazione « materia; su scale † 1˝ ci sono
oscillazioni acustiche con smorzamento dovuto al Silk Damping e allo
spessore dello strato di ultimo scattering. Questa informazione è disponibile perché le perturbazioni nei barioni sono strettamente accoppiate
alla radiazione, ma diventano onde sonore non appena attraversano
l’orizzonte.
• La scala del Silk Damping è S “ 9.0 Mpc corrispondente a ✓S »
0.7 arcmin » 0.01˝ . Le perturbazioni adiabatiche su scale † S vengono
completamente smorzate dalla di↵usione dei fotoni.
• Lo spessore dello strato di ultimo scattering è rls “ 42 Mpc (comovente), corrispondente a ✓ls “ 3.2 arcmin; una perturbazione con quel
diametro ha massa Mls “ 1.6ˆ1015 Md (barionica e oscura). Le perturbazioni su scale † rls subiscono lo smorzamento “statistico” ovvero
vengono abbattute di un fattore „ N ´1{2 con N numero di perturbazioni lungo la linea di vista nello strato di ultimo scattering. Questo è
solo uno smorzamento apparente, ovvero per le nostre osservazioni.
293
r p Mpcq
Scala spaziale
Orizzonte della particella
Orizzonte sonoro
Spessore strato u.s.
Silk Damping
✓
2.1˝
0.23˝
0.05˝
0.01˝
500
200
42
9.0
Tabella 4: Scale spaziali rilevanti sulla superficie di ultimo scattering.
• L’orizzonte del suono è s “ 200 Mpc corrispondente a ✓s » 0.23˝ ; la
massa corrispondente a quella scala è Ms “ 3.7 ˆ 1015 Md . L’orizzonte
sonoro determina la massima per avere delle oscillazioni coerenti;
questa corrisponde al primo picco acustico in P pkq; per k più piccoli (o
più grandi) non ci sono picchi perché le oscillazioni non sono coerenti.
• L’orizzonte della particella è rH » 500 Mpc corrispondente a ✓H »
2.1˝ . Rappresenta la massima lunghezza scala causalmente connessa;
al disopra si hanno le fluttuazioni congelate nella metrica.
Queste scale rilevanti sono anche riportate in tabella 4.
16.3
Lo spettro di potenza delle fluttuazioni della CMB:
descrizione statistica delle fluttuazioni di temperatura
Da una trasformata di Fourier dell’intensità della CMB è possibile risalire
allo spettro continuo delle fluttuazioni di temperatura della CMB. Per descrivere la distribuzione spaziale dell’intensità e quindi della temperatura si
può sfruttare il fatto che queste sono distribuite su una superficie sferica e
quindi è possibile utilizzare una decomposizione in armoniche sferiche:
con
8
l
T
T p✓, q ´ T0 ÿ ÿ
p✓, q “
“
alm Ylm p✓, q
T
T0
l“0 m“´l
„
2l ` 1 pl ´ |m|q!
Ylm p✓, q “
4⇡ pl ` |m|q!
⇢1{2
ˆ Plm pcos ✓qe
294
im
ˆ
"
p´1qm m • 0
1
m†0
Ylm p✓, q è la funzione armonica sferica di grado l ed ordine m, Plm pcos ✓q è la
funzione di Legendre associata; ✓ è l’angolo polare o colatitudine (0 § ✓ § ⇡)
e è la longitudine (0 § † 2⇡). Gli indici variano come l “ 0, 1, . . . , `8
e ´l § m § l (m assume 2l ` 1 valori). La funzione associata di Legendre è
Plm pxq “ p1 ´ x2 qm{2
dm Pl pxq
dxm
con x “ cos ✓. Pl pxq è il polinomio di Legendre di grado l che vale
Pl pxq “ p2n n!q´1
˘n ‰
dn “` 2
x
´
1
dxn
Ricordiamo che la condizione di ortogonalità per le armoniche sferiche è
ª
‹
Ylm
Yl1 m1 d⌦ “ l l1 m m1
4⇡
con d⌦ “ sin ✓d✓d e ij “ 1 se i “ j oppure ij “ 0 se i ‰ j.
Utilizzando la condizione di ortogonalità appena vista, moltiplicando
‹
T {T per Ylm
e integrando sulla sfera si ottiene
ª
T
‹
alm “
p✓, q Ylm
d⌦
T
4⇡
Una semplice interpretazione di questo sviluppo è la seguente: gli zeri delle
parti reali e immaginarie delle Ylm p✓, q dividono il cielo in celle di forma
approssimativamente rettangolare con dimensione minima all’equatore pari
a „ ⇡{l; pertanto ogni armonica sferica corrisponde ad una scala angolare
✓ «
⇡
l
l è chiamato momento di multipolo.
Solitamente si assume che le perturbazioni siano Gaussiane ovvero i moduli degli alm sono estratti da una distribuzione gaussiana
„
⇢
1
|alm |2
P p|alm |q “ ?
exp ´
(16.1)
2Cl
2⇡Cl
mentre le fasi sono estratte da una distribuzione casuale uniforme tra 0 e
2⇡. Perturbazioni Gaussiane sono predette dal modello inflazionario, per cui
il test sulla Gaussianità delle perturbazioni è anche un test sulla validità del
modello inflazionario. Non Gaussianità possono essere dovute a discontinuità
295
T
(✓1 ,
T
1)
~u1
T
(✓2 ,
T
✓
O
2)
~u2
Figura 85: Geometria per il calcolo dell’autocorrelazione tra le fluttuazioni di
temperatura a distanza angolare ✓.
in T (“hot spots”, strutture lineare ecc.); tuttavia, al momento, non esistono
evidenze di non Gaussianità dai dati disponibili.
L’assunzione di perturbazioni Gaussiane permette di fare varie semplificazioni: le fluttuazioni si possono rappresentare come una sovrapposizione
di onde con fase casuale quindi ognuno dei p2l ` 1q coefficienti alm , per l
fissato, fornisce una stima indipendente dell’ampiezza delle fluttuazioni di T
associate al multipolo l. Lo spettro di potenza Cl è circolarmente simmetrico
attorno a ciascun punto del cielo e quindi il valore di alm a‹lm mediato su tutto
il cielo (ovvero la varianza di alm ) fornisce una stima della potenza associata
al multipolo l ovvero
Cl “ x|alm |2 y “
1 ÿ
alm a‹lm
2l ` 1 m
Si noti che il calcolo della varianza di alm ha senso dal momento che è estratto da una distribuzione Gaussiana. Dal momento che le fluttuazioni sono
Gaussiane possiamo quindi concludere che i Cl forniscono una descrizione
completa delle fluttuazioni di temperatura, come indicato dalla 16.1.
Un altro modo di presentare i risultati di queste analisi statistiche è quello di derivare la funzione di autocorrelazione a due punti per la distribuzione delle temperature in cielo in coordinate angolari (analoga alla ⇠ delle
galassie):
B
F
T p~u1 q T p~u2 q
Cp✓q “
T
T
dove ~u1 e ~u2 sono versori delle direzioni 1 e 2 e la media è presa su tutto il
cielo per una separazione angolare ✓, come mostrato in figura 85.
296
Calcolando l’autocorrelazione media su tutto il cielo per ottenere Cp✓q e
sfruttando l’ortogonalità delle armoniche sferiche si può dimostrare che
Cp✓q “
1 ÿ
p2l ` 1q Cl Pl pcos ✓q
4⇡ l
con Cl spettro di potenza delle fluttuazioni di temperatura già visto e pari a
Cl “ x|alm |2 y “
1 ÿ
alm a‹lm
2l ` 1 m
Pl pcos ✓q è il polinomio di Legendre di ordine l. Per ottenere la relazione tra
Cp✓q e Cl si è anche sfruttato il teorema secondo cui
ÿ
lm
‹
Ylm
p~u1 qYlm p~u2 q “
ÿ 2l ` 1
l
4⇡
Pl pcos ✓q
Si noti come, con le procedure seguite e la scelta di considerare solo i Cl si
perda tutta l’informazione sulla fase degli alm ; in ogni caso se le perturbazioni
sono distribuite Gaussianamente, le fasi sono numeri casuali tra 0 e 2⇡.
In conclusione, si può scegliere indi↵erentemente di lavorare con Cp✓q o
Cl ; nel nostro caso utilizzeremo i Cl .
Nel presentare gli spettri di potenza si mostra comunemente non Cl ma
lpl ` 1qCl
Il motivo è che lo spettro di potenza delle fluttuazioni di temperature per
uno spettro delle perturbazioni di Harrison-Zeldovich, P pkq 9 k, è
pCl qHZ 9
1
lpl ` 1q
pertanto, nei grafici lpl ` 1qCl in funzione di l, le curve orizzontali indicano
la presenza di uno spettro delle perturbazioni di Harrison – Zel’dovich. In
generale, è stato dimostrato che se
P pkq “ Ak n
allora i Cl sono dati da
`
˘
n´1
p3
´
nq
l
`
2 ˘
Cl “ 2n ⇡ 2 A 2 ` 4ń ˘ `
5ń
l
`
2
2
297
con
funzione Gamma data da
pxq “
ª8
tx´1 e´t dt
0
con la proprietà che
px ` 1q “ pxq
Se abbiamo uno spettro HZ, allora n “ 1 e per la proprietà della Gamma si
ha
8⇡A
pCl qHZ “
lpl ` 1q
In conclusione lpl `1qCl è indipendente da l per uno spettro di Harrison – Zel’dovich delle perturbazioni. Un altro aspetto importante per queste misure
è la “Cosmic Variance” ovvero le deviazioni dal comportamenti uniforme che
si hanno su tutto il cielo. La Cosmic Variance comporta che si possano avere
valori diversi di Cl a seconda di come si fanno le misure, ovvero a seconda
delle aree di cielo che si scelgono (non tutti gli esprimenti di misura della
CMB sono a tutto cielo!): in ultima analisi è questo il limite più importante
per la precisione delle osservazioni, più che lo stesso rumore di misura.
Come abbiamo visto prima, Cl viene ricavato dagli alm con m “ ´l, . . . , l
e ciascun valore di alm fornisce una stima indipendente di Cl . Pertanto
abbiamo p2l ` 1q stime indipendenti di Cl ; a seguito di questo la precisione
con cui Cl è noto a seguito della Cosmic Variance è
pCl q
«
Cl
ˆ
2
2l ` 1
˙1{2
quindi c’è un limite intrinseco ai bassi l dovuto alla cosmic variance, indipendentemente dagli errori di misura.
16.4
Lo spettro di potenza delle fluttuazioni della CMB:
lo spettro di potenza osservato
Consideriamo lo spettro di potenza ottenuto dopo i primi 3 anni di osservazioni con WMAP (figura 86a). In questa figura si riportano
lpl ` 1q
Cl vs l
2⇡
Dalla figura si nota una chiara evidenza per la presenza di oscillazioni acustiche nello spettro di potenza; la curva rossa rappresenta il modello che fornisce
il miglior fit dei dati. I dati (punti con barre d’errore) indicano chiaramente
298
15.3 The Power Spectrum of Temperature Fluctuations
435
Fig. 15.4. a The binned 3-year angular power spectrum from the WMAP experiment (black
Figura
(a)
Spettro
potenza
angolare
treThe
anni
osservazioni
del1 satellite
symbols86:
with
1−
σ noisedierror
bars for
2 ≤ l ≤dopo
1000).
greydiband
is the binned
−σ
WMAP;
le misure
sono i (Hinshaw
punti conet barre
di errore
a 1is the
perbest-fit
2 § lΛCDM
§ 1000.
Lafor
banda
cosmic-variance
uncertainty
al., 2007).
The curve
model
rossa
è l’incertezza
a dovuta
alla cosmic
variance.
Lamodel
curvapoints
rossa
è ilbinned
modello
the WMAP
data alone (Spergel
et al., 2007).
The diamonds
show the
when
in the same
as the ildata.
WMAP
power spectrum
other
⇤CDM
che way
fornisce
bestb The
fit dei
dati.3-year
(b) Paragone
tra iand
dati
di measurements
WMAP e quelli
of
the
angular
power
spectrum
extending
to
larger
multipole
moments
(Hinshaw
di altri esperimenti che si estendono a l più alti. Si noti in (a) e et
inal.,
(b)2007).
la scala
The
additional
data,
which
have
been
restricted
to
those
at
large
multipoles,
are
from the
logaritmica nella rappresentazione dei multipoli l.
Boomerang (Jones et al., 2006), Acbar (Kuo et al., 2004), CBI (Readhead et al., 2004) and
VSA (Dickinson et al., 2004) experiments. In both diagrams, note the variable logarithmic
scale in multipole moment along the abscissa
299
Planck collaboration: CMB power spectra & likelihood
Angular scale
90
18
2
10
1
0.2
0.1
0.07
6000
5000
D`[µK2]
4000
3000
2000
1000
0
50
500
1000
1500
2000
2500
Multipole moment, `
Figure 37. The 2013 Planck CMB temperature angular power spectrum. The error bars include cosmic variance, whose magnitude
Figura
diarea
potenza
CMB
dal
Satellite
In figura
is indicated87:
by theSpettro
green shaded
around the della
best fit model.
Theottenuto
low- values are
plotted
at 2, 3, 4, 5,Planck.
6, 7, 8, 9.5, 11.5,
13.5, 16,
22.5, 27, 34.5, and 44.5.
D19,l “
lpl ` 1qCl {2⇡.
Table 8. Constraints on the basic six-parameter CDM model using Planck data. The top section contains constraints on the six
primary parameters included directly in the estimation process, and the bottom section contains constraints on derived parameters.
Planck picco acustico
Planck+WP
la presenza del primo e del secondo
(da sinistra verso destra
Parameter
Best fit
68% limits
Best fit
ovvero da l più piccoli a l più grandi). Ricordiamo che68%l limits
corrisponde ad una
h .........
0.022068
0.02207 ± 0.00033
0.022032 0.02205 ± 0.00028
scala
h .........
0.12029
0.1196 ± 0.0031
0.12038
0.1199 ± 0.0027
⇡
100
.......
1.04122
1.04132
✓ «± 0.00068 1.04119 1.04131 ± 0.00063
............
0.0925
0.097 ± 0.038l
0.0925
0.089
......
0.9624
0.9616
± 0.0094
0.9619 perturbazioni
0.9603 ± 0.0073
ovvero si ha chen l. . è. . .direttamente
legato
ai k delle
come
b
c
2
2
MC
+0.012
0.014
s
ln(1010 As ) . . . . .
..........
3.098
3.103 ± 0.072
3.0980
3.089+0.024
0.027
0.6825
0.686 ± 0.020
k « l
0.6817
0.685+0.018
0.016
0.3183
0.315+0.016
0.018
0.834 ± 0.027
0.8347
0.829 ± 0.012
..........
0.3175
8. . . . . . . . . . .
0.8344
m
0.314 ± 0.020
Il primo ed il secondo
acustico
z . . . . . . .picco
....
11.35
11.4 sono a l più
11.37bassi ovvero
11.1 ± 1.1 a scale più gran.........
67.11
67.4 ± picco
1.4
67.04
67.3 ± 1.2 combinare i dati
di; per rivelare Hla . presenza
del terzo
acustico
occorre
10 A . . . . . . . .
2.215
2.23 ± 0.16
2.215
2.196
di WMAP con quelli di altri esperimenti (86b) che coprono porzioni piccole
h .........
0.14300
0.1423 ± 0.0029
0.14305
0.1426 ± 0.0025
di cielo ma con Age/Gyr
una risoluzione
spaziale
migliore
e che13.817
quindi
campionano lo
......
13.819
13.813 ± 0.058
13.8242
± 0.048
. . . . . . . . . (ovvero
..
1090.43 scale
1090.37più
± 0.65piccole).
1090.48
1090.43 ± 0.54
spettro su l piùz grandi
100 . . . . . . . .
1.04139
1.04148 ± 0.00066
1.04136
1.04147 ± 0.00062
La banda rossa
nelle
figure
rappresenta
l’incertezza
dovuta alla varianza
z ...........
3402
3386 ± 69
3403
3391 ± 60
cosmica (1 ). Come si vede, le misure di WMAP sono cosmic variance limited
fino a l „ 400; questo significa che è inutile ottenere misure più profonde per
33
l † 400 che comunque sarebbero limitate dalla variabilità intrinseca spaziale.
Si noti come la varianza cosmica diventi molto grande agli l piccoli ovvero
a scale ✓ „ 90˝ ; il motivo è semplice e risiede nel fatto che l’angolo giro e
quindi la scala massima camionabile è 360˝ ; più che andiamo a l piccoli, più
+4.0
2.8
re
0
9
m
+0.051
0.060
s
2
eq
300
che abbiamo un numero di misure indipendenti minore e quindi siamo più
a↵etti dalla varianza.
Infine la figura 87 mostra lo spettro di potenza ottenuto dalle ultime
osservazioni di Planck. Gli errori di misura sono cosı̀ piccoli ed il campionamento è su un intervallo di scale cosı̀ grandi che si riesce ad ottenere lo
spettro con un ottimo segnale rumore fino a oltre l ° 2000, osservando tutti
i picchi acustici che non sono stati smorzati.
16.5
L’origine delle anisotropie di temperatura della
CMB
Le fluttuazioni di temperatura della CMB sono dovute a 3 contributi principali che sono quindi alla base della forma dello spettro delle perturbazioni:
• il contributo principale è quello dell fluttuazioni prodotte e amplificate durante la fase inflazionaria che poi evolvono e vengono smorzate
secondo i processi fisici visti fino ad ora; nel caso delle fluttuazioni adiabatiche che non subiscono un “riprocessamento” (es., e↵etto Meszaros,
Silk Damping, Free Streaming, ecc.) si ha direttamente
ˆ ˙
T
1 ⇢b
1 ⇢DM
“
“
T k 3 ⇢b
3 ⇢DM
si è usato il pedice k per indicare le fluttuazioni di temperatura direttamente dovute alle perturbazioni con spettro di potenza P pkq al
momento della ricombinazione;
• e↵etto Sachs Wolfe ovvero la generazione di fluttuazioni di temperatura
a seguito dell’uscita dei fotoni dalle buche di potenziale; è una combinazione di redshift gravitazionale e di dilatazione dei tempi che risulta
in
ˆ ˙
T
1
“
T SW
3 c2
• e↵etto Doppler, ovvero la generazione di fluttuazioni di temperatura
nello spettro dei fotoni che vengono di↵usi da elettroni in moto nelle
buche di potenziale:
ˆ ˙
T
⌫
v
“
“
T Dopp
⌫
c
301
Complessivamente si ha
T
“
T
ˆ
T
T
˙
k
`
1
v
`
2
3c
c
Da queste fluttuazioni poi si ottengono i Cl ovvero lo spettro delle fluttuazioni
di temperatura.
Come vedremo più in dettaglio, sulle grandi scale domina l’e↵etto Sachs
Wolfe dalle buche di potenziale delle perturbazioni adiabatiche primordiali;
sulle scale intermedie si hanno le oscillazioni acustiche di plasma, quindi
l’e↵etto Sachs Wolfe dalle buche di potenziale oscillanti è alla base dei picchi
acustici osservati oltre, ovviamente, alcontributo dovuto all’e↵etto Doppler;
a scale più piccole intervengono gli e↵etti di smorzamento statistico ed il Silk
Damping.
16.5.1
Grandi scale: l’e↵etto Sachs Wolfe sulle perturbazioni primordiali
A grandi scale, ✓ ° 2˝ , le perturbazioni nel last scattering layer sono ancora
oltre l’orizzonte di particella, pertanto sono congelate nella metrica e contengono ancora le informazioni sullo spettro iniziale delle perturbazioni non
ancora processato. Come si vede dalle figure 86, 87 lo spettro per ✓ ° 2˝ è
consistente con lpl ` 1qCl “ costante, ovvero quello che ci aspettiamo dallo
spettro di Harrison Zel’dovich.
A queste scale, l’unico e↵etto da considerare è l’e↵etto Sachs Wolfe sulle
perturbazioni primordiali.
Avevamo trovato che per le perturbazioni adiabatiche di curvatura come
quelle originate dall’inflazione e ancora su scala r ° rH alla ricombinazione
si aveva
1 ⇢b
1 ⇢DM
1 ⇢rad
“
“
3 ⇢b
3 ⇢DM
4 ⇢rad
ma, dal momento che ⇢rad “ 4 {c T 4 , ne consegue che
⇢rad
T
“4
⇢rad
T
ovvero
ˆ
T
T
˙
k
“
1 ⇢b
3 ⇢b
Questo è il contributo alle fluttuazioni di temperatura direttamente dovuto
alle fluttuazioni di densità la cui evoluzione abbiamo studiato fino ad ora;
per consistenza con la sezione precedente abbiamo utilizzato il pedice k.
302
I fotoni che escono da queste perturbazioni primordiali sono soggetti all’e↵etto Sachs Wolfe; la prima parte dell’e↵etto Sachs Wolfe è il redshift gravitazionale (nel limite Newtoniano) a cui i fotoni sono soggetti per l’uscita
dalla buca di potenziale :
zgrav “
⌫
T
“ 2 “
⌫
c
T
ricordiamo che il redshift comporta un “ra↵reddamento” dei fotoni T † 0 e
infatti
† 0 (buca di potenziale più profonda per l’aumento della densità).
La seconda parte dell’e↵etto Sachs Wolfe è la dilatazione dei tempi, sempre
a seguito dell’uscita dalla buca di potenziale;
t
⌫
“
“ 2
t
⌫
c
gli orologi nella buca di potenziale scorrono più lentamente per cui vediamo
la regione quando era più giovane, ovvero più calda; infatti
† 0 comporta
t † 0 cioè nella buca di potenziale gli orologi sono in ritardo, ovvero l’universo è più “giovane” e quindi la radiazione più “calda”; inoltre, dal momento
che a 9 t2{3 si ha
a
2 t
“
a
3 t
´1
e siccome T 9 a
T
a
2 t
2
“´ “´
“´ 2
T
a
3 t
3c
sommando quanto trovato otteniamo infine
T
2
1
“ 2 ´
“
2
T
c
3c
3 c2
Poichè
† 0 il risultato netto è quello di T † 0 ovvero i fotoni sono più
“freddi”.
Vediamo adesso qual è il valore del potenziale della perturbazione .
Sappiamo che
G M
„
d
con d scala della perturbazione; la fluttuazione di massa è M „ ⇢ d3 e la
fluttuazione di densità è ⇢ “
ˆ ⇢ con
contrasto densità e ⇢ densità
´3
media; ma “ 0 a e ⇢ “ ⇢0 a per cui
⇢“p
0 aq
ˆ p⇢0 a´3 q “ p
la dimensione della perturbazione è
d “ d0 a
303
0 ⇢0 q a
´2
“ ⇢0 a´2
ovvero
G M
Gp ⇢0 a´2 q pd30 a3 q
“
„ G ⇢0 d20
(16.2)
d
d0 a
ovvero la perturbazione del potenziale gravitazionale è indipendente dell’epoca cosmica fintanto che
cresce come a; questo è anche il motivo per
cui le perturbazioni superhorizon congelate nella metrica crescono come a
nell’epoca della materia.
Possiamo anche usare i risultati dell’analisi dello spettro di potenza fatta
prima. Per P pkq 9 k n si ha 9 M ´pn`3q{6 , ovvero
„
⇢0 9 ⇢0 M ´pn`3q{6
dato che M 9 ⇢0 d30 si ottiene
p1ńq{2
9 ⇢0 d20 9 d0
9 ✓p1ńq{2
sfruttando il fatto che ✓ 9 1{d0 . Le fluttuazioni di temperatura su grandi
scale sono pertanto
T
1
“
9 ✓p1ńq{2
T
3 c2
ovvero
T
9 ✓p1ńq{2
T
e quindi, per uno spettro di Harrison Zel’dovich (n “ 1), si ha T {T “
costante ovvero uno spettro di potenza piatto. Quello che si osserva ai piccoli
l ovvero alle grandi scale è pertanto consistente con lo spettro di Harrison
Zel’dovich.
Lo spettro di potenza delle fluttuazioni di temperatura fornisce la migliore
normalizzazione dello spettro delle perturbazioni di densità su scale molto
grandi.
Per avere un’idea delle scale, ✓ „ 10˝ corrispondono a d „ 2400 Mpc,
ovvero „ 10 volte più grandi dei più grandi vuoti visti nella distribuzione
delle galassie.
L’e↵etto Sachs Wolfe descritto fin qui è dovuto solo alle buche di potenziale nello strato di ultimo scattering e si basa in modo cruciale sul fatto che
il contrasto di densità cresca linearmente con a:
“ 0 a. Si ricordi inoltre
che questo crescita di è esatta solo per ⌦0 “ 1, ⌦⇤ “ 0.
Ovviamente durante il tragitto tra zrec e z “ 0 i fotoni attraverseranno
altre buche di potenziale e saranno quindi soggetti ad un blueshift/redshift
gravitazionale a seconda che entrino/escano dalla buca. Però a z più bassi
nel modello ⇤CDM (⌦0 ‰ 0, ⌦0 ` ⌦⇤ “ 1) non cresce più come a a causa
304
polarisation signal can be uniquely decomposed into what are known as the electric
E, or gradient, component associated with h + and a magnetic B, or curl, component
with h × . These result in corresponding orthogonal patterns of polarisation on the
sky. The importance of this decomposition is that, whereas the E components could
be generated by either scalar or tensor perturbations, the B component is a signature
of the presence of a pure curl component.
The importance of these considerations is that they provide another potential
means of investigating physical processes in the very early Universe. Just as the
spectrum of scalar perturbations can be associated with quantum fluctuations of the
Fig. 15.11a,b. The two orthogonal polarisation modes, h + and h × , of gravitational radiation
Figura
Oscillazione indotta su un anello di materia nel piano del foglio da onde
(Will, 88:
2006)
gravitazionali piane che si propagano perpendicolarmente al foglio: sono mostrati
i due
modi indipendenti h` (sinistra) e hˆ (sinistra).
6
For a simple introduction to gravitational radiation, see the review by Schutz (Schutz,
2001).
dell’e↵etto della dark energy, e questo determina una modifica dell’e↵etto
Sachs Wolfe rispetto alla semplice espressione vista prima; pertanto bisogna
tener conto dell’e↵etto Sachs Wolfe per ogni intervallo di redshift dz e si parla
pertanto di e↵etto Sachs Wolfe integrato (Integrated Sachs Wolfe, ISW). A z
più bassi c’è un altro e↵etto di ordine superiore da tenere in considerazione:
quando un fotone attraversa una perturbazione di densità, il blueshift (per
l’entrata nella buca) ed il redshift (per l’uscita dalla buca) non si compensano
più perché nel frattempo la perturbazione evolve temporalmente.
Tutti questi e↵etti sono piccoli rispetto al Sachs Wolfe sulla superficie di
ultimo scattering, ma devono comunque essere considerati per la precisione
ottenuta dalle osservazioni.
16.5.2
Le onde gravitazionali primordiali
Nel modello inflazionario lo spettro delle perturbazioni iniziali nasce dalle
fluttuazioni quantistiche del campo responsabile per l’inflazione (espansione
esponenziale); questo spettro è predetto essere proprio lo spettro di Harrison
– Zel’dovich. Lo spettro di HZ si riferisce alle perturbazioni scalari, che abbiamo analizzato fino ad ora, ma il campo scalare che dà origine all’inflazione
determina anche delle onde gravitazionali, ovvero le perturbazioni tensoriali
della metrica (gli hij visti nella metrica 12.9).
Poichè la forza gravitazionale è solo attrattiva non esistono onde gravitazionali di dipolo ma solo di quadrupolo. Le onde gravitazionali fanno
variare la metrica e quindi la geometria dello spazio; si può dimostrare che
305
le perturbazioni tensoriali (onde gravitazionali) possono essere decomposte
in due “polarizzazioni” indipendenti (modi di oscillazione) in modo analogo
alle onde elettromagnetiche ed indicate con h` e hˆ . Queste corrispondono
a oscillazioni dello spazio in due direzioni a 45 gradi tra loro come mostrato
in figura 88 dove si considera l’oscillazione indotta su un anello di materia.
Le onde gravitazionali determinano quindi compressioni e rarefazioni della
materia in modo analogo alle perturbazioni scalari. Le perturbazioni di potenziale cosı̀ generate contribuiscono poi all’e↵etto Sachs Wolfe sui fotoni
della radiazione cosmica di fondo.
Le onde gravitazionali interagiscono con la materia tramite la loro influenza gravitazionale di quadrupolo e portano informazioni dirette sull’universo
primordiale. Pertanto, se venissero rivelate, fornirebbero una prova diretta
del modello inflazionario.
Si può dimostrare che le onde gravitazionali si comportano come particelle senza massa (o ultrarelativistiche) con equazione di stato p “ 1{3" e
quindi hanno “ cP {cV “ 4{3. Esattamente come le perturbazioni scalari,
le onde gravitazionali sono state “gonfiate” (inflated) durante l’espansione
esponenziale a lunghezze d’onda " rH e come tali sono congelate nella
metrica e conservano il loro spettro di potenza fino all’entrata nell’orizzonte
in epoche molto posteriori. Quando „ rH entrano nell’orizzonte si ha che
la loro densità di energia " „ a´4 e quindi, contrariamente alle perturbazioni
scalari nei plasmi relativistici che vengono stabilizzate, le onde gravitazionali
vengono smorzate adiabaticamente in modo analogo alle perturbazioni della
DM.
A noi interessano le fluttuazioni di temperatura generate dalle onde gravitazionali. Queste determinano un redshift o un blueshift dei fotoni analoghi
a quelli prodotti dall’e↵etto Sachs-Wolfe. Lo spettro predetto dall’inflazione
per le onde gravitazionali è invariate sulle scale spaziali ed è simile a n « 1
delle perturbazioni scalari. Questa invarianza di scala (tipo spettro HZ) che
determina uno spettro piatto delle fluttuazioni di temperatura, si mantiene
fino a scale ✓ Á 2˝ (corrispondente a l À 100) ovvero al di sopra del raggio
dell’orizzonte al momento della ricombinazione, come abbiamo visto per le
perturbazioni scalari. Su scale più piccole le perturbazioni sono decadute
adiabaticamente per cui la loro ampiezza relativamente alle perturbazioni
scalari (che sono stabilizzate dalla radiazione) diminuisce come
T
S
9
a´4
“ a´1 9 l´1
a´3
e questo andamento è valido per l Á 100. In figura 89 si mostra lo spettro di
potenza delle fluttuazioni di temperatura (lpl ` 1qCl ) previsto per le perturbazioni scalari (di densità) e le perturbazioni tensoriali (onde gravitazionali);
306
442
89: Spettro
di potenza
fluttuazioni diintemperatura
` 1qCl ) preFig. 15.6. Figura
The predicted
power
spectradelle
of fluctuations
the cosmic(lpl
microwave
background
visto
per
le
perturbazioni
scalari
(di
densità)
e
le
perturbazioni
tensoriali
(onde
radiation due to scalar perturbations (density perturbations; top) and tensor perturbations
gravitazionali) per un rapporto tensoriali-su-scalari pari a r “ 1.
(gravity waves;
bottom) for a tensor-to-scalar ratio r = 1 (Challinor, 2005)
la normalizzazione delle perturbazioni tensoriali è fatta in base a r rapporto
upon the tra
form
of the inflationary potential (Starobinsky, 1985; Davis et al., 1992b;
perturbazioni tensoriali e scalari definito come
Crittenden et al., 1993). According to these theories, the ratio of the power spectra
Cl pT q
depends upon the spectral index of ther “
scalar
perturbations as
C pSq
l
e valutato a piccoli l; questo coefficiente
di normalizzazione è un numero che
∆2
serve a riscalare direttamente Tla ≈
curva
rossa
6(1 − n)in,figura 89. In e↵etti a grandi
2
l, per quanto visto prima si ∆
ha,s
∆2T
∆2s
r“
density
2
Cl pT q
T
9
9 l´2in
2
Cperturbations
pSq
l
S
(15.41)
where
and
are the
the tensor and scalar modes
respectively.
Peacock provides an accessible introduction to this topic (Peacock,
Nel caso in figura 89 è stato assunto r “ 1 da cui si capisce come il contributo
2000). Thus,
an important
test of(diinflation
is tosiameasure
the spectral
index n of
delle perturbazioni
tensoriali
quadrupolo)
intrinsecamente
più piccolo
the scalardipower
spectrum
with high
precision,
thismodelli
is now
possibler with the
quello delle
perturbazioni
scalari.
Secondoand
alcuni
inflazionati
dipende
dallo
spettro
di potenza
delle
com the findings, which are
availability
of the
3-year
WMAP
data
set.perturbazioni
To summarise
dealt with in more detail in Sect. 15.9,2T the
best-fit value of n to all the (16.3)
observational
« 6p1 ´ nq
+0.015
2
data is n = 0.951 −0.019 , suggesting Sthat the predicted ‘tilt’ of the power spectrum
may have been observed (Spergel et al., 2007).
307
We can set limits to the energy density of primordial gravitational waves at the
present epoch from the observed power spectrum of the COBE fluctuations. As
pointed out by Padmanabhan, gravitational waves at the present epoch with wavelength λ ∼ c/H0 would produce a quadrupole anisotropy in the cosmic microwave
background radiation through the Sachs–Wolfe effect, and so the upper limit to the
quindi, avendo 2T ‰ 0, si ha che n † 1, anche se di poco. Da misure recenti
di Planck si ottiene
n “ 0.9608 ˘ 0.0054
e questa piccola deviazione dallo spettro HZ potrebbe indicare la presenza delle perturbazioni tensoriali, ovvero delle onde gravitazionali generate
dall’inflazione.
16.5.3
Scale angolari intermedie ed i picchi acustici
Le oscillazioni acustiche sono attese su scale intermedie
✓S † ✓ † ✓H
con ✓H scala dell’orizzonte e ✓S scala del Damping di Silk. Le perturbazioni nel plasma radiation-dominated diventano onde acustiche non appena
entrano nel loro orizzonte. Abbiamo visto che il primo picco acustico è associato alle perturbazioni sulla scala dell’orizzonte sonoro sulla superficie di
ultimo scattering. Poichè abbiamo assunto che le piccole perturbazioni siano
Gaussiane allora la probabilità di avere un’ampiezza per una data scala di
massa M è
„
⇢
2
1
Pp q “ ?
exp ´ 2
2 pM q
2⇡ pM q
Le perturbazioni che poi collassano a formare strutture hanno
° 0 alla
ricombinazione, però il fatto che si abbia
° 0, “ 0 o † 0 dipende dal
numero di oscillazioni che compiono tra l’entrata all’orizzonte (in cui hanno
ampiezza massima) e l’arrivo alla superficie di ultimo scattering. L’ampiezza
delle perturbazioni barioniche dipende pertanto dalla di↵erenza di fase tra
queste due epoche ovvero
ª trec
ª trec
ª trec
“ rec ´ 0 “
d “
kcs dt “
kc cs p1 ` zqdt
0
0
0
con kc vettore d’onda comovente e t “ 0 che rappresenta l’entrata della
perturbazione nell’orizzonte con fase 0 ; come abbiamo visto la perturbazione
entra nell’orizzonte con contrasto di densità massimo (se è una compressione)
o minimo (se è una rarefazione), poi comincia ad oscillare. Il primo picco di
potenza nello spettro corrisponde alle perturbazioni per cui
ª trec
d “⇡
0
ovvero il cui contrasto di densità era massimo/minimo all’entrata all’orizzonte e diventa minimo/massimo alla ricombinazione (pensare alle oscillazioni di
308
una sinusoide/cosinusoide). Abbiamo visto che questo corrisponde a l « 250
e che è stato osservato in modo spettacolare già da WMAP. Come abbiamo
detto, ✓s , la scala dell’orizzonte sonoro sulla superficie di ultimo scattering
(approssimando l’integrale) è
✓s «
s p1
` zq
c
2z z
cz
z
“a
«
1{2
1{2
D
3p1 ` Rq 3H0 ⌦0 r
3H0 ⌦0 r
Sapendo che ✓s deve corrispondere alle perturbazioni che hanno fatto una
sola oscillazione tra l’entrata nell’orizzonte e la ricombinazione, conosciamo
la scala spaziale vera cs t per cui combinando con ✓s misurato dalla posizione
del picco ✓s „ ⇡{l possiamo ottenere una stima di D sulla superficie di ultimo
scattering e quindi misurare i parametri cosmologici tra cui, principalmente,
⌦0 .
Quindi, se k1 è il vettore d’onda che corrisponde al primo picco acustico,
i massimi si avranno per oscillazioni con di↵erenza di fase pari a n⇡ rispetto
a k1 . Però bisogna tener presente che:
• se n è dispari si ha la massima compressione dell’onda che corrisponde ad un massimo di
e quindi ad un minimo della variazione di
potenziale ovvero ad una temperatura più calda;
• se n è pari si ha la massima rarefazione e quindi dei minimi di T ;
• le perturbazioni con
“ ⇡pn ` 1{2q relativamente a k1 hanno ampiezza 0 e quindi corrispondono ai minimi dello spettro di potenza.
In conclusione, i picchi acustici corrispondono quindi a frequenze tali che
!trec “ n⇡
(abbiamo assunto che l’entrata nell’orizzonte sia avvenuta per t “ 0) ma
sappiamo che
! 2 “ c2s k 2 ´ 4⇡G⇢
e se s ! J (che come abbiamo visto è vero alle scale in cui siamo) si ha
! 2 « c2s k 2 e quindi
!trec “ cs k trec “ n⇡
che, con cs trec “
s
comporta che i picchi acustici siano a
kn “
con
per
s
n⇡
s
“ nk1
scala dell’orizzonte sonoro. Pertanto i picchi acustici sono equispaziati
! J (short wave approximation). La separazione tra i picchi è, per
309
456
Fig. 15.9. Contributions of various terms to the temperature anisotropy power spectrum for
Figura
90: Contributi principali allo spettro di potenza complessivo (curva nera).
adiabatic initial density perturbations. At large values of l, the contributions are, (top to
In rosso si ha il contributo delle perturbazioni di temperatura/potenziale gravitabottom): total power; SW, the Sachs–Wolfe effect including the monopole anisotropy; the
zionale
sullo strato di ultimo scattering e dell’e↵etto Sachs Wolfe da esse generato;
Doppler or dipole term; the integrated Sachs–Wolfe effect (Challinor, 2005)
in verde c’è il contributo dell’e↵etto Sachs Wolfe integrato (dovuto a perturbazioni
tra noi e lo strato di ultimo scattering) mentre in blue c’è il contributo dovuto
all’e↵etto
Doppler.
As a result,
the polarisation signal is expected to be much weaker than the
intensity fluctuations. It is therefore a very considerable challenge to measure the
polarisation signal experimentally, but this was first achieved by the ground-based
Degree Angular Scale Interferometer (DASI) in 2002 (Leitch et al., 2002; Kovac
n “ 1, k “ ⇡{ s che quindi fornisce un’ulteriore stima di s e quindi
et al., 2002). Subsequent
ground-based experiments including the CBI (Readhead
di una lunghezza sulla superficie di ultimo scattering. Il contributo delle
et al., 2004), the CAPMAP (Barkats et al., 2005) and Boomerang (Montroy et al.,
oscillazioni
acustiche
i picchi detections
acustici èofmostrato
in figura
90 dalla
curva
5
2006) projects
reportedcon
convincing
the polarised
background
signal.
rossa.
From space, the WMAP experiment detected a positive polarisation signal in the
Vediamo
adesso etdial.,
stimare
le ampiezze
dei picchiwith
acustici
nello
spettro
1-year
data (Bennett
2003) and
this was confirmed
improved
signal-todinoise
potenza;
le
oscillazioni
acustiche
avvengono
in
presenza
delle
perturbaratio in the 3-year data release (Page et al., 2007). It is simplest to summarise
zioni
di
DMofche
continuano
a crescere
ed WMAP
hanno un’ampiezza
maggiore
delle
the results
these
efforts using
the 3-year
polarisation data.
It is again
oscillazioni
In to
quanto
segue, trascuriamo
la crescita
delleskills
perappropriate acustiche.
to pay tribute
the outstanding
experimental
and datalenta
analysis
turbazioni
di
DM
e
la
variazione
di
"
{"
.
Ricordiamo
che
per
la
crescita
which have gone into these extremely demanding
experiments. The extraction of
rad m
delle
perturbazioni
the polarisation
signalsiisha
particularly challenging because it has to be detected in the
presence of the polarised Galactic
ˆ radio
˙ emission, which has to be removed from the
2
9
d
a
d
sky maps to reveal the polarisation
associated
the´
primordial
`2
“ with
p4⇡G⇢
k 2 c2s q perturbations.
2
a which
dt were shown in Fig.
The total intensitydtfluctuations
15.3 are displayed
as filled dots at the top of Fig. 15.10 and are labelled TT. The polarisation power
i spectrum
termini oscillatori
sono
associati
al curve,
plasmawhich
photon-dominated
per
cui mulis labelled EE.
The
oscillating
decreases towards
small
5
´ k 2 c2 “ ´
bk
2 2
c
s
s
The reader by now will be aware of my
preference to
avoid acronyms but I have partially capitulated here: the translations are as follows: CBI = Cosmic Background Imager;
CAPMAP = Cosmic Anisotropy Polarization Mapper; BOOMERanG = Balloon Observa310ANisotropy and Geophysics.
tions Of Millimetric Extragalactic Radiation
mentre il potenziale gravitazionale guida è quello della DM
4⇡G⇢ “
DM ⇢DM 4⇡G
e, se il termine di smorzamento associato all’espansione è trascurabile, si ha
d2 b
`
dt2
bk
2 2
cs
“ 4⇡G⇢DM
DM
Le fluttuazioni di temperatura sono legate alle fluttuazioni di densità barionica e, nel caso di perturbazioni scalari adiabatiche, si ha
⇥0 “
T
1 ⇢b
1
“
“
T
3 ⇢b
3
b
questo termine è detto di “monopolo”. Si può scrivere
d 2 ⇥0
4
` ⇥0 k 2 c2s “ ⇡Gp ⇢qDM
2
dt
3
Ricordiamo che
„´
g M
4⇡Gd2 p ⇢qDM
4⇡Gp ⇢qDM
„´
“´
d
3
3k 2
e quindi
d 2 ⇥0
1
` ⇥0 k 2 c2s “ ´ k 2
2
dt
9
notare che il fattore 1{9 è stato inserito per tener ottenere il risultato corretto
a fronte della nostra trattazione approssimata. L’equazione appena trovata
è un’equazione di un moto armonico con termine forzante ´k 2 {9; la sua
soluzione è la soluzione dell’equazione del moto armonico più una soluzione
particolare dell’equazione totale. La soluzione particolare è
⇥0 “ ´
1
9 c2s
che è indipendente dal tempo, per le assunzioni fatte fin qui. Allora se
! “ cs k si ha che la soluzione completa dell’equazione è
⇥0 ptq “ A cos !t ` B sin !t ´
1
9 c2s
dove si è preso t “ 0 per l’entrata nell’orizzonte della perturbazione. Le
9 0 p0q; ricordando che
condizioni iniziali sono ⇥0 p0q e ⇥
c
cs “ a
3p1 ` Rq
311
con R “ 3⇢b {4⇢rad si ha
„
1`R
⇥0 ptq “ ⇥0 p0q `
3c2
⇢
cos !t `
1 9
1`R
⇥0 p0q sin !t ´
kcs
3c2
Vogliamo la soluzione alla ricombinazione quindi per t “ trec ; abbiamo che
!trec “ kcs trec “ k s con s orizzonte sonoro, quindi
„
⇢
1`R
1 9
1`R
⇥0 ptrec q “ ⇥0 p0q `
cos k s `
⇥0 p0q sin k s ´
2
3c
kcs
3c2
queste sono le oscillazioni adiabatiche di temperatura delle onde acustiche
nelle buche di potenziale della dark matter. Poichè sono forzate non sono
simmetriche rispetto a ⇥0 “ 0 ma sono spostate a valori positivi a causa del
termine forzante negativo ´p1 ` Rq {c2 .
Oltre a queste, bisogna tener conto che la materia delle perturbazioni
deve essere in moto e, a causa dell’equazione di continuità si ha,
ˆ
˙
d
⇢b
d b
~ ¨ ~v “ ´~k ¨ ~v
“
“ ´r
dt ⇢b
dt
Ma questo moto nelle perturbazioni causa una fluttuazione di temperatura
a causa dell’e↵etto Doppler tale che
⇥1 “
T
v cos ✓
“
T
c
queste sono le perturbazioni di “dipolo”. Partendo da
⇥0 “
1
3
b
ottengo
d b
90
“ 3⇥
dt
e posso riscrivere l’equazione di continuità come
9 0 “ ´kc⇥1 ptq
3⇥
allora derivo l’espressione trovata per ⇥0 ptq e la valuto alla ricombinazione
(!trec “ k s ) ottenendo
„
1 3cs
1`R
⇥1 ptrec q “ ?
⇥0 p0q `
3c2
3 c
312
⇢
sin k
s
`
9 0 p0q
3⇥
cos k
kc
s
In conclusione, ⇥0 ptq è il contributo di monopoli a T {T che viene dalle
fluttuazioni dovute alle oscillazioni acustiche dei barioni; ⇥1 ptq è il contributo
di dipolo ed è dovuto all’e↵etto Doppler per i moti nelle buche di potenziale
delle perturbazioni che causano lo stesso termine di monopoli.
Questi sono i principali e↵etti acustici e di redshift gravitazionale che
dominano la formazione primaria delle anisotropie, In ⇥0 ptq ci sono termini in
cos k s che corrispondono ai modi adiabatici ovvero quelli che hanno ⇥0 ° 0
all’entrata nell’orizzonte per t “ 0; i termini in sin k s , invece, corrispondono
ai modi di isocurvatura.
Concentriamoci sui modi adiabatici e trascuriamo quindi i termini in
sin k s in ⇥0 e quelli in cos k s in ⇥1 per cui
„
⇢
1`R
1`R
⇥0 ptrec q “ ⇥0 p0q `
cos k s ´
2
3c
3c2
„
⇢
1 3cs
1`R
⇥1 ptrec q “ ?
⇥0 p0q `
sin k s
3c2
3 c
Notare come ⇥1 ptrec q sia più piccolo di un fattore 3cs {c rispetto a ⇥0 ptrec q.
Consideriamo adesso il redshift dei fotoni che escono dalla buca di potenziale (e↵etto Sachs Wolfe): se ⇥0 ptrec q è la perturbazione adiabatica alla
ricombinazione quella “vista” dall’osservatore è
ˆ
˙
„
⇢
T
1
1`R
R
“ ⇥0 ptrec q`
“ ⇥0 ptq “ ⇥0 p0q `
cos k s ´ 2
2
2
T ef f
3 c
3c
3c
da notare che
è indipendente da t. Questa è la fluttuazione di temperatura efficace. Colleghiamola alla corrispondente perturbazione di Sachs Wolfe
quando viene fuori dall’orizzonte per t “ 0. La fluttuazione di monopoli
⇥0 ptq deve avere una perturbazione di temperatura per il Sachs Wolf pari a
ˆ
˙
T
1
“
T ef f,t“0 3 c2
per t “ 0, per cui alla fine si ottiene
ˆ
˙
T
1
“
p1 ` 3Rq cos k
T ef f
3 c2
s
´
R
3c2
Analogamente, per il termine di dipolo si ottiene
ˆ
˙
T
cs
“ ⇥1 ptq “ ?
p1 ` 3Rq sin k
T
3c c2
313
s
Questa soluzione mette in evidenza alcune caratteristiche
? della soluzione
completa ovvero che per R “ 3⇢m {4⇢rad Ñ 0 si ha cs Ñ c{ 3
ˆ
˙
T
1
“
cos k s
T ef f
3 c2
e
ˆ
T
T
˙
“
1
sin k
3 c2
s
ovvero oscillazioni acustiche nel plasma radiation dominated con ⇥0 e ⇥1
(monopolo e dipolo) che hanno la stessa ampiezza ma sono sfasate di ⇡{2.
In sostanza, quando non si può trascurare l’inerzia dei barioni (R ° 0)
si ha che ⇥0 ° ⇥1 . Alla massima compressione k s “ ⇡ cos k s , l’ampiezza
delle T {T osservate è ´p1 ` 6Rq volte quella dovuta all’e↵etto Sachs Wolfe
( {3c2 . Le ampiezze delle oscillazioni sono asimmetriche se R ‰ 0 e questo
spiega le asimmetrie tra i monopoli pari e dispari viste nello spettro.
Considerando tutti gli e↵etti si ottiene che
• lo spettro predetto deve essere mediato statisticamente su una distribuzione casuale di onde acustiche e integrato su tutti i k;
• si devono includere i termini doppler (dipolo) oltre al monopolo;
• le onde acustiche evolvono in un mezzo in espansione in cui cs e
variano nel tempo;
• si integrano le equazioni di Boltzmann, Einstein e Eulero sullo strato
di ultimo scattering
quindi, per ottenere accuratezze migliori del % è necessario fare un’integrazione numerica.
In figura 91 si riporta lo spettro delle fluttuazioni di temperatura della
radiazione cosmica di fondo e le sue variazioni con i parametri cosmologici.
Nel caso in cui 0.06 • ⌦b h2 • 0.005 (in alto a sinistra) si noti l’aumento
dell’ampiezza del primo picco acustico; nel caso in cui 0.05 § ⌦0 h2 § 0.5 (in
alto a destra) si noti l’aumento di ampiezza e lo spostamento della posizione
del primo picco acustico. Infine si noti lo spostamento dello spettro al variare
del parametro di curvatura ⌦k “ ⌦0 ` ⌦⇤ ´ 1 in ´0.15 § ⌦k § 0.15 (basso
a sinistra), e l’analoga dipendenza da ⌦⇤ (basso a destra).
16.5.4
Piccole scale angolari
Sulle piccole scale angolari lo smorzamento (damping) avviene principalmente per due motivi:
314
Some examples of the results of detailed predictions by Challinor are shown in
Fig. 15.7, indicating how different features of the temperature anisotropy power
spectrum are sensitive to variations of the cosmological parameters (Challinor, 2005).
It is a useful exercise to study the power spectra in Fig. 15.7 in some detail and to
use the results we have established in this section to understand the dependences
upon cosmological parameters. For example, the left-hand plot of Fig. 15.7a shows
clearly the strong enhancement of the first acoustic peak as the baryon density
increases.
Fig. 15.7a,b. The dependence of the temperature-anisotropy power spectrum on different
Figura
91: Dipendenza
dello spettro
delle scale-invariant
fluttuazioni adiabatic
di temperatura
cosmological
parameters (Challinor,
2005).di
In potenza
these examples,
initial
dai
parametri
cosmologici.
In
questo
esempio
sono
state
assunte
perturbations are assumed. a Top pair of diagrams: dependence on the density perturbazioni
parameter in
adiabatiche
iniziali
con
spettro
di parameter
HarrisonΩZeldovich.
Nei diagrammi in alto si
baryons (left)
and total
matter
density
0 (right). Top to bottom at first peak: the
2
2
considera
un variazione
di ⌦blinearly
in 0.06in •
0.005
e ⌦
0.05
(left)
the§
baryon density
parameter varies
the⌦range
0.06
≥ Ω(sinistra)
0 inand
bh •
B h ≥ 0.005
2
2
parameter
in the
range 0.05in≤ basso
ΩB h si
≤ considera
0.5 (right). bl’e↵etto
Bottom pair
of diagrams:di
⌦0matter
h § density
0.5 (destra).
Nei
diagrammi
del parametro
and the edark
The dependence
curvatura
(⌦k “ on
⌦0the
` ⌦curvature
´0.15parameter
§ ⌦k § Ω
0.15
(sinistra)
⌦⇤ ,energy
0.9 •density
⌦⇤ • 9
κ (left)
⇤ ´ 1) indensity
(right).
In
both
cases,
the
density
parameters
in
baryons
and
matter
were held
parameter
Ω
Λ
(destra).
constant, thus preserving the conditions on the last scattering layer. The curvature density
parameter varies (left to right) in the range −0.15 ≤ Ωκ ≤ 0.15 and the dark matter density
parameter in the range 0.9 ≥ ΩΛ ≥ 0.0
• lo smorzamento statistico che si ha per † us con us spessore dello
strato di ultimo scattering; posto us “ N , la perturbazione con scala
viene smorzata di un fattore N ´1{2 ;
• il damping di Silk che si nota chiaramente per l ° 500 negli spettri
nelle figure 86 e87.
Un altro e↵etto di cui bisogna tener conto sulle piccole scale („arcmin)
è l’e↵etto Sunyaev-Zel’dovich ovvero la variazione della temperatura dei fotoni della CMB per il passaggio in una regione di gas caldo come quello
nel mezzo intracluster degli ammassi; questo determina delle fluttuazioni che
315
15.7 The Reionised Intergalactic Gas
453
Fig.
15.8.92:
The Smorzamento
effect of reionisation
the temperature
powera spectrum.
The
Figura
dello on
spettro
di potenzaanisotropy
della CMB
seguito della
spectra
are (top toavvenuta
bottom) for
no reionisation,
τ = 0.1 and 0.2. (Challinor, 2005)
reionizzazione
dopo
la ricombinazione.
reionised, presumably by the earliest generations of massive stars. These redshifts
are
unreasonable
as we
will
discuss in more
Chap.
The
nonnotsono
legate allavalues,
crescita
delle
perturbazioni.
In detail
alcuniincasi
la 18.
diminuoptical
for Thomson di
scattering
is one of
thearrivare
key cosmological
parameters to
zione depth
delle fluttuazioni
temperatura
può
a essere dell’ordine
di
´4
be found
of tipo
the observed
power
spectrum of fluctuations
T {T „from
´10detailed
. C’èanalysis
un altro
di e↵etto
Sunyaev-Zel’dovich
dovuto in
al
the
cosmic
microwave
background
radiation.
moto peculiare del gas caldo nel riferimento in cui la CMB è isotropa (ovveformation della
of early
generations
objects would
necessarily
give rise to
ro The
il riferimento
CMB).
Questoofè cosiddetto
e↵etto
Sunyaev-Zeldovich
significant
velocity
perturbations
during
the
reionisation
epoch,
resulting
in Doppler
cinematico.
shiftsInfine,
of the background
exactly thele
same
way dello
that the
dipole temperature
ad un certoradiation,
livello diinsensibilità
misure
spettro
primordiale
perturbations
were
generated
at
the
last
scattering
layer.
The
problem
is
that these
vengono limitate dalla presenza delle sorgenti discrete che non possono
più
effects
are
expected
to
be
small,
partly
because
the
optical
depth
of
the
perturbations
essere rimosse perché irrisolte dallo strumento (caso confusion limited).
is small, and also because the random superposition of these perturbations leads to
a statistical decrease of their amplitude. There is, however, a second-order effect
16.5.5 Il Lensing Gravitazionale
discussed by Vishniac which does not lead to the statistical cancellation of the
velocity
perturbations
(Vishniac,
1987).
Thesediperturbations
arealterate
associated
Le perturbazioni
della
radiazione
cosmica
fondo vengono
dalwith
lensecond-order
terms
in
δn
v,
where
δn
is
the
perturbation
in
the
electron
density
and
sing gravitazionale e↵ettuato
dallee perturbazioni più dense e compatte che si
e
vtrovano
the peculiar
the motion
tra lovelocity
strato associated
di ultimo with
scattering
e noi.of the perturbation. This effect
only becomes significant on small angular scales at which the density perturbations
are
large. According
to Vishniac’s calculations, in the standard cold dark matter
16.5.6
La Reionizzazione
picture, these temperature fluctuations might amount to ∆T/T ∼ 10−5 on the scale of
la Similar
ricombinazione
ci sono
epoche
in cui
è neutro,
dette “Dark
1Dopo
arcmin.
calculations
have been
carried
outl’universo
by Efstathiou
with essentially
the
Ages”;
le
Dark
Ages
hanno
termine
alla
nascita
delle
prime
stelle
che
condusame result (Efstathiou, 1988). These are important conclusions since it is expected
cono
reionizzazione
dell’universo:
questo
significa
che c’è
una profondità
that
allalla
primordial
perturbations
on these scales
would
have been
damped
out by the
processes discussed in Sect. 15.6.1.
316
ottica ⌧ finita per scattering Thomson tra noi e lo strato di ultimo scattering. L’e↵etto della presenza di questo ⌧ non nullo è quello di attenuare le
fluttuazioni di temperatura originatesi sulla superficie di ultimo scattering si
un fattore pari a
e´⌧
come mostrato in figura 92. Considerato il redshift z a cui si ha la reionizzazione si trova che si può ottenere ⌧ “ 0.1 o 0.2 se z “ 10 o 20; e qesuto
determina uno smorzamento che può essere misurato nello spettro di potenza
delle fluttuazioni. Il parametro ⌧ , profondità ottica per scattering Thomson
tra noi e la superficie di ultimo scattering, è un parametro fondamentale per
la formazione delle galassie.
16.6
La polarizzazione della CMB
La misura della polarizzazione della CMB è „ 10 volte più difficile della
misura delle fluttuazioni di temperatura sia da un punto di vista teorico che
sperimentale.
16.6.1
Polarizzazione da parte della superficie di ultimo scattering
Il meccanismo per creare la polarizzazione della CMB è sempre lo scattering Thomson della radiazionie da parte degli elettroni liberi. Lo scattering
Thomson della radiazione da parte di un elettrone libero crea una radiazione
polarizzata al 100% quando l’elettrone è visto perpendicolarmente alla direzione di propagazione della radiazione. Tuttavia, nel caso della radiazione
cosmica di fondo, la distribuzione della radiazione è altamente isotropa e questo porterebbe alla completa cancellazione del segnale polarizzato a seguito
dell’ultimo scattering con gli elettroni. Anche nel caso di una distribuzione
dipolare del campo di radiazione si avrebbe una polarizzazione nulla per la
simmetria dipolare del processo di scattering Thomson.
L’unico modo per avere un segnale di polarizzazione è pertanto quello
di avere un campo di radiazione che incide sugli elettroni della superficie di
ultimo scattering con una anisotropia di quadrupolo. Supponiamo di avere
tale campo di radiazione incidente del tipo
«
ff
ˆ
˙ ÿ
8
1
I “ I0 1 ` aµ ` b µ2 ´
`
c n Pn
3
n“3
con µ “ cos ✓ e i Pn polinomi di Legendre. aµ è il termine di dipolo mentre
il termine con b è quello di quadrupolo. Se ⌧ è la profondità ottica per
317
scattering Thomson, integrando su tutti i possibili angoli di incidenza della
radiazione si trova che
p“
Ik ´ IK
“ 0.1bµ2 ⌧
Ik ` IK
poichè, nella parte di Rayleigh Jeans dello spettro gli a, b, cn sono tutti
indipendenti da ⌫. Una polarizzazione non nulla dipende pertanto dall’anisotropia di quadrupolo della radiazione incidente prima dell’ultimo scattering
(termine con b).
La radiazione vista da un elettrone nello strato di ultimo scattering è
anisotropa a causa dello spostamento Doppler associato al termine di dipolo
⇥1 nell’espressione dello spettro di potenza delle fluttuazioni di temperatura:
queste risultano in perturbazioni del primo ordine del tipo T {T “ v{c cos ✓
che sono a loro volta la sorgente della distribuzione quadrupolare di intensità.
Come abbiamo già discusso, in figura 90 in nero è rappresentato lo spettro
di potenza totale, in rosso il contributo dell’e↵etto Sachs Wolfe (monopolo),
in blu il dipolo (Doppler) mentre in verde c’è il contributo dell’e↵etto Sachs
Wolfe integrato. La componente Doppler è fuori fase con il monopoli (come
visto con ⇥0 e ⇥1 ); il suo spettro decresce per l decrescente in quanto non ci
sono oscillazioni coerenti per ° s .
La formazione del segnale polarizzato richiede due scattering Thomson:
il primo scattering crea il campo quadrupolare poichè gli elettroni si trovano
nella materia in moto (⇥1 ); il secondo scattering che avviene per un campo
quadrupolare dà infine il segnale di polarizzazione non nullo.
Questi due scattering avvengono entrambi nello strato di ultimo scattering. Di conseguenza, il massimo del segnale polarizzato si ha per perturbazioni con scala dello stesso ordine del cammino libero medio dei fotoni
nello strato di ultimo scattering. E’ cruciale che questi processi avvengano
solo nello strato di ultimo scattering. Se ci fossero molti altri fenomeni di
scattering la polarizzazione sarebbe cancellata, cosı̀ come avviene prima della ricombinazione. Quindi è il fatto che i fotoni si muovono liberamente a
partire dalle superficie di ultimo scattering che determina l’esistenza di un
segnale di polarizzazione. Come conseguenza il segnale di polarizzazione è
anche molto più debole delle fluttuazioni di densità.
16.6.2
Analisi del segnale di polarizzazione
La polarizzazione della radiazione cosmica di fondo può essere analizzata in
modo analogo a quanto si fa per le fluttuazioni di temperatura viste nell’intensità totale di radiazione. Senza entrare nei dettagli, cosı̀ come T {T
dall’intensità totale è espansa in armoniche sferiche, allo stesso modo si può
318
scomporre in armoniche sferiche il tensore di polarizzazione (2 ˆ 2) costruito
a partire dai parametri di Stokes Q e U , che descrivono i modi di polarizzazione lineare ortogonali: il tensore di polarizzazione è quindi scomposto in
due tipi di componenti, i modi E (curl-free, a rotore nullo, analoghi come
comportamento al vettore campo elettrico) ed i modi B (curl-free, a rotore
nullo analoghi come comportamento al vettore campo magnetico).
E’ importante notare qui che le perturbazioni scalari ed i modi h` delle
onde gravitazionali possono dare origine ai modi E, mentre solo i modi hˆ
delle onde gravitazionali possono dare origine ai modi B.
Pertanto, venendo adesso alla scomposizione in armoniche sferiche, si
considera
• p T {T qT , fluttuazioni di temperatura nella radiazione totale (T ), ovvero quelle il cui spettro abbiamo analizzato fino ad ora;
• p T {T qE , fluttuazioni di temperatura nei modi E della radiazione
polarizzata;
• p T {T qB , fluttuazioni di temperatura nei modi B della radiazione
polarizzata.
Lo spettro di potenza si ottiene quindi a partire dalla cross correlazione
dei segnali secondo la relazione già vista
B
F ÿ
8
T
T
2l ` 1
Cp✓q “
p~u1 q
p~u2 q “
Cl Pl pcos ✓q
T
T
4⇡
l“2
Si indica quindi con ClT T lo spettro di potenza derivato dalla cross-correlazione
del segnale nell’intensità totale
Bˆ
˙
ˆ
˙
F ÿ
8
T
T
2l ` 1 TT
TT
C p✓q “
p~u1 q
p~u2 q “
Cl Pl pcos ✓q
T T
T T
4⇡
l“2
ClEE è lo spettro dalla cross correlazione dei modi E della radiazione polarizzata
Bˆ
˙
ˆ
˙
F ÿ
8
T
T
2l ` 1 EE
EE
C p✓q “
p~u1 q
p~u2 q “
Cl Pl pcos ✓q
T E
T E
4⇡
l“2
ClBB è lo spettro dalla cross correlazione dei modi B della radiazione polarizzata
Bˆ
˙
ˆ
˙
F ÿ
8
T
T
2l ` 1 BB
BB
C p✓q “
p~u1 q
p~u2 q “
Cl Pl pcos ✓q
T B
T B
4⇡
l“2
319
e ClT E è lo spettro dalla cross correlazione dei modi E della radiazione
polarizzata con la radiazione totale T
Bˆ
˙
ˆ
˙
F ÿ
8
T
T
2l ` 1 TE
TE
C p✓q “
p~u1 q
p~u2 q “
Cl Pl pcos ✓q
T T
T E
4⇡
l“2
Ricordiamo che solo i modi B di polarizzazione sono prodotti unicamente
dalle onde gravitazionali (modi hˆ ).
In figura 93 si confrontano i segnali dello spettro di potenza delle fluttuazioni di I totale (TT) con quelli ottenuti dalla polarizzazione della CMB.
Lo spettro di potenza della radiazione polarizzata prodotto dalle fluttuazioni
scalari e dalle onde gravitazionali (modi h` ) è scomposto nel segnale EE e
BB (solo modi h` ). La curva è la predizione del modello di best fit che spiega
anche lo spettro totale TT. TE è lo spettro di potenza della cross correlazione
tra Itot e Ipol,E ; poichè la Ipol,E è strettamente legata al termine di dipolo in
Itot , il segnale di dipolo e di polarizzazione sono più strettamente correlati del
segnale EE con se stesso. La componente polarizzata è circa 90˝ fuori fase con
il monopolo dominante per cui lo spettro di potenza della cross-correlazione
ha il doppio dei minimi rispetto a TT o EE. Le righe tratteggiate nella TE
predetta mostrano le regioni dello petto anticorrelate: il segnale anticorrelato
tra l “ 60 e 200 è caratteristico delle perturbazioni primordiali adiabatiche.
Per l † 10 l’aumento del segnale polarizzato è legato alla reionizzazione del
gas intergalattico a cui abbiamo accennato prima e che avviene a partire da
z „ 10 ´ 20.
16.6.3
Onde gravitazionali primordiali
Come abbiamo visto, il segnale di polarizzazione può essere decomposto in
una componente E associata alle perturbazioni scalari ed ai modi h` delle
onde gravitazionali ed in una componente B associata ai hˆ . Quindi, mentre
le componenti di tipo E possono essere generate sia da perturbazioni scalari
che tensoriali, quelle di tipo B possono essere generate solo da perturbazioni
tensoriali (onde gravitazionali).
Tornando alla figura 93 BB rappresenta lo spettro di potenza del segnale
polarizzato associato ai modi B delle onde gravitazionali (hˆ ); nel caso in
figura il modello è calcolato per un rapporto primordiale r “ 2T { 2S “ 0.3.
SI noti come questo sia consistente con l’upper limit trovato da WMAP ha
trovato solo un upper limit (barretta e freccia verticale blu in figura attorno
a l « 4).
BB (lens) rappresenta il segnale di tipo B associato al lensing gravitazionale dei modi E (non entriamo in dettaglio). EEpf oreq e BBpf oreq rappresentano il contributo di foreground alla polarizzazione dovuto alla radiazione
320
15.8 The Polarisation of the Cosmic Microwave Background Radiation
457
Fig. 15.10. The measured power spectrum of fluctuations in the intensity and polarisation
Figura 93: Spettro di potenza delle fluttuazioni di temperatura per la radiazione
of the cosmic microwave background radiation. Plots for the total intensity, the polarised
totale intensity
(TT), and
per the
i modi
E e B della
polarizzata
(EE eintensity
BB) are
e per la
cross-correlation
betweenradiazione
the total intensity
and the polarised
cross correlazione
l’intensità
totale
e l’intensità
radiazione
polarizzata E
labelled TT, EE tra
and TE
respectively.
The best
fitting modeldella
is shown
by the corresponding
Thesidashed
sections all’esperimento
of the TE curve indicates
multipoles
which the
polarisation solo
(T E). lines.
I dati
riferiscono
WMAP
che hain potuto
determinare
signal is anticorrelated with the total intensity. The model predictions are binned in l in the
un limite superiore per i modi B (onde gravitazionali). EEpf oreq e BBpf oreq
same way as the data. The binned EE polarisation data are divided into bins of 2 ≤ l ≤ 5,
rappresentano
una
stima
del and
segnale
polarizzazione
della
radiazione
6 ≤ l ≤ 49,
50 ≤
l ≤ 199,
200 ≤ creato
l ≤ 799.dalla
The dotted
line labelled BB
shows
the
nel percorso
la spectrum
superficie
di ultimo
scattering
e ifnoi
scattering
expectedtra
power
of B-mode
gravitational
waves
the(principalmente
primordial ratio of tensor
/∆2s = 0.3.
The WMAP
experimentè found
only
upper
to scalar
perturbations
was rnella
= ∆2tnostra
da parte
dei grani
di polvere
galassia).
BBplensq
invece
il contributo
limits
to
this
signal,
the
1σ
upper
limit
to 0.17
µK da
for parte
the weighted
of
da parte del lensing gravitazionale deicorresponding
fotoni della
CMB
delleaverage
perturbazioni
multipoles l = 2–10. The B-mode signal due to gravitational lensing of the E-modes is shown
(ammassi,
principalmente)
tra laThe
superficie
di polarised
ultimo scattering
e noi.
as a dashed
line labelled BB(lens).
upturn in the
signal at l ≤ 10
is associated
with polarisation originating during the reionisation era. The foreground model for galactic
synchrotron radiation plus dust emission is shown as straight dashed lines labelled EE(fore)
and BB(fore) for the scalar and tensor modes respectively, both being evaluated at ν = 65
GHz (Page eted
al., 2007)
sincrotrone
all’emissione della polvere galattica, la cui sottrazione
di
è
critica per rivelare le onde primordiali; EEpf oreq influenza le perturbazioni
scalari e tensoriali mentre BBpf oreq solo quelle tensoriali.
Molto recentemente l’esperimento BICEP2 (radiotelescopio in Antartide) potrebbe essere riuscito a misurare il segnale dei modi B. BICEP2 ha
osservato una regione di cielo molto piccola (´50˝ † RA † 50˝ , ´68˝ †
321
T signal
T jackknife
Q signal
Q jackknife
U signal
U jackknife
−45
−50
−55
−60
−65
−70
−45
−50
−55
−60
−65
−70
Declination [deg.]
−45
−50
−55
−60
−65
−70
50
0
Right ascension [deg.]
−50
50
0
Figura 94: FIG.
Mappe
intensità
della
radiazione
cosmica
di shows
fondothe
ottenute
da maps with 0.25 pix
1. di
BICEP2
T , Q,
U maps.
The left
column
basic signal
BICEP2: intensità
totale
T (alto)
e parametri
Stokes
Q e U(jackknife)
.
reduction
pipeline.
The right
column di
shows
difference
maps made with the first and sec
No additional filtering other than that imposed by the instrument beam (FWHM 0.5 ) has been do
seen in the Q and U signal maps is as expected for an E-mode dominated sky.
DEC † ´47˝ ) ottenendo il segnale della CMB in intensità totale (T ) e nei
To construct
andmappe
U sky maps
which reso that
parametri di Stokes
Q e Uconstrained
(figura 94).Q Le
di polarizzazione
nei
modithe T map more closely
spect the known ⇤CDM T E correlation we start from a
expect to see with BICEP2. (T
E e B successivamente ottenuti sono riportati in figura 95: come si nota
map of the well-measured temperature anisotropy, specifis used in Sec. IV F to construct
confrontando
le osservazioni
di sinistra)
le predizioni Additionally,
del solo
ically
the Planck (colonna
needlet internal
linearcon
combination
we add in noise t
T
lensing gravitazionale
nel
modello
⇤CDM,
è
chiaramente
presente
del
segnale by the noise covarianc
(NILC) T map [73]. We calculate the a m using the synpredicted
B in eccesso.
Questo
segnale
sia la[74]
polarizzazione
foreground
(di allows us to simulat
fast
software
fromcontiene
the healpix
package [75],diand
map, which
E
then
calculate
sets
of
a
using
ual
due
origine galattica) sia, eventualmente,
quella dovuta alle onde gravitazionali.to noise in the Planck 1
m
E
Dopo aver corretto
la polarizzazione
di foreground,
si ottengono i
C Tper
E
T
EE
TE 2
TT
a
m
=
CT T
a
m
+
C
(C
) /C
n
m
(1)
where the C ’s are ⇤CDM spectra
from CAMB [76] with
322
cosmological parameters taken from Planck [9], and the
n m are normally distributed complex random numbers.
For C T T we use a lensed-⇤CDM spectrum since the aTm
from Planck NILC inherently contain lensing. We have
found the noise level in the Planck NILC maps for our region of observation and multipole range to be low enough
that it can be ignored.
2.
Lensing of in
Lensing is added to the unle
the lenspix [77] software [78].
generate lensed versions of the
a m ’s described in Sec. V A 1. In
tion are deflection angle spectra
CAMB as part of the standard
spectra. The lensing operation
beam smoothing is applied to f
11
Simulation: E from lensed−ΛCDM+noise
BICEP2: E signal
1.7µK
1.7µK
−50
1.8
0
µK
−55
−60
−65
−1.8
Simulation: B from lensed−ΛCDM+noise
BICEP2: B signal
0.3µK
0.3
−55
0
µK
Declination [deg.]
0.3µK
−50
−60
−65
−0.3
50
0
Right ascension [deg.]
−50
50
FIG. 3. Left: BICEP2 apodized E-mode and B-mode maps filtered to 50 <
0
−50
< 120. Right: The equivalent maps for the first
Figura
E esimulations.
B del The
segnale
polarizzato
ottenuti
dei
parametri
of the95:
lensed-Modi
CDM+noise
color scale
displays the E-mode
scalar and dall’analisi
B-mode pseudoscalar
patterns
while
the lines display the equivalent magnitude and orientation of linear polarization. Note that excess B mode is detected over
di Stokes
Q with
e Uhighriportati
figura
precedente;
colonna
di the
sinistra
c’è il
lensing+noise
signal-to-noisenella
ratio in the
map (s/n
> 2 per map modenella
at
70).
(Also note that
E-mode and
B-mode maps use different color and length scales.)
segnale
osservato nella colonna di destra il risultato di una simulazione nel modello
⇤CDM in cui è presente solo l’e↵etto del lensing gravitazionale con l’aggiunta di
the observed value against the distribution of the simuBandpowers 1−5 χ
Bandpowers 1−9 χ
rumore
(nella simulazione non ci sono quindi
onde
gravitazionali).
E’ chiaramente
lations.
6
6
We evaluate
these statistics
for the a
fullquanto
set of
5atteso per il solo lensing
5
presente
del segnale
B inboth
eccesso
gravitazionale.
2
nine band powers (as in C10 and B14), and also for the
lower five of these corresponding to the multipole range
of greatest interest (20 < < 200). Numerical values
are given in Table I and the distributions are plotted in
Fig. 4. Since we have 500 simulations the minimum observable nonzero value is 0.002. Most of the T T , T E, and
T B jackknifes pass, but following C10 and B14 we omit
them from formal consideration (and they are not included in the table and figure). The signal-to-noise ratio
in T T is 104 so tiny differences in absolute calibration
between the data subsets can cause jackknife failure, and
the same is true to a lesser extent for T E and T B. Even
in EE the signal-to-noise is approaching
103 (500 in
the
110 bin) and in fact most of the low values in
the table are in EE. However, with a maximum signalto-noise ratio of < 10 in BB such calibration differences
are not a concern. All the BB (and EB) jackknifes are
seen to pass, with the 112 numbers in Table I having one
greater than 0.99, one less than 0.01 and a distribution
consistent with uniform. Note that the four test statistics for each spectrum and jackknife are correlated this
must be taken into account when assessing uniformity.
2
4
4
3
3
2
2
risultati indicati in figura 96 da cui si1 evince che r “ 10.20`0.07
´0.05 con r “
0
0
0
1
0
0.5
0 fuori di 7 dal best fit; le osservazioni
sono0.5 ottimamente
fittate
con1 un
modello ⇤CDM (con lensing) in cui i modiBandpowers
B sono
dovuti
ai
modi
h
1−5 χ
Bandpowers 1−9 χˆ delle
6
6
onde gravitazionali. Questo risultato sembra
indicare che
finalmente sono
5
5
state rivelate le onde gravitazionali predette
dal modello
inflazionario (in
4
4
realtà il valore di r ottenuto molto alto
rispetto a quanto
atteso da gran
3
3
2
2
parte dei modelli inflazionari); tuttavia non bisogna dimenticare che un punto
1
critico di tutta l’analisi è la stima del contributo
dovuto 1alla polarizzazione
0
0
0.5
1
0
0.5
1
di foreground, ancora piuttosto incerto. 0 Sarà necessario
attendere
il rilascio
FIG. 4. Distributions of the jackknife
and PTE values
dei dati
di polarizzazione di Planck (previsto
per Ottobre 2014)
per avere la
over the 14 tests and three spectra given in Table I. These
To form the jackknife spectra we difference the maps
distributions
are
consistent
with
uniform.
made fromotheiltworigetto
halves of thedei
data split,
divide by two,
conferma
risultati
di
BICEP2.
In
conclusione,
quella
che è
and take the power spectrum. This holds the power specamplitude of come
a contribution
which is uncorrelated
in del modello inflazionario deve ancora
statatrumindicata
la “smoking
gun”
attendere un po’ prima di essere confermata (o rigettata) definitivamente.
16.7
2
Determinazione dei parametri cosmologici
Come visto fino ad ora, dall’analisi dello spettro di potenza della CMB si
possono ottenere vincoli molto importanti per molti parametri cosmologici.
Tuttavia i risultati più importanti si ottengono combinando molte osservazioni indipendenti e/o di natura diversa tra cui, ad esempio, le misure delle
Supernovae di tipo Ia e la funzione di correlazione spaziale delle galassie.
323
22
in Q and U over an effective area o
To fully exploit this unprecedent
expanded our analysis pipeline in s
added an additional filtering of the
template temperature map (from P
results insensitive to temperature
age caused by leading order beam
tion we have implemented a map
eliminates ambiguous modes prior
tion. These deprojection and purifi
straightforward extensions of the k
operations that are now common in
The power spectrum results are c
⇤CDM with one striking exceptio
large excess in the BB spectrum
an inflationary gravitational wave
peak. This excess represents a 5.2
base lensed-⇤CDM model. We have
Figura 96: Sinistra: i punti neri con errori rappresentano lo spettro di potenza
lection of jackknife tests which indi
signal is common on the sky in all
delle fluttuazioni osservato da BICEP2 nei modi B (C ); le curve rosse raptests offer strong empirical evidence
origin for the signal.
presentano il modello di best fit per r “ 0.2 con il corrispondente contributo del
In addition, we have conducted
lensing gravitazionale. Gli altri punti rappresentano gli upper limit da tutti gli
using high fidelity per channel bea
firm our understanding of the beam
altri esperimenti precedenti. Destra: contorni di confidenza (68% e 95%) per la
deprojection of the two leading orde
misura del parametro r (ordinata) e n (ascissa), pendenza dello spettro di potenza
is far below the level of the signal w
Having demonstrated that the s
delle fluttuazioni primordiali (P pkq 9 k e n “ 1 nel caso dello spettro di Harrithe sky” we proceeded to investiga
foreground contamination. Polariz
son Zel’dovich). “Planck+WP+highL” rappresenta i vincoli dai dati combinati di
sion from our galaxy is estimated
Planck, WMAP (polarizzazione a bassi l - WP) e degli esperimenti at alto l ACT
low frequency polarized maps from
e SPT (highL). Senza i dati di BICEP2 è si ha solo un limite superiore per r. ized dust emission public maps are
therefore investigate a number of co
Subtracting the various dust models at their default to derive the blue contours, for which the running paand one which uses information w
parameter values and re-deriving the r constraint still rameter
shiftsthis
to dn
k =information
0.028 ± 0.009
cially available from Planck. At def
s /d ln
Sinceconstraint
we submitted
paper
new
on
results in high significance of detection. As discussed (68%).
these models predict auto spectrum
polarized dust emission has become available from the
above, one possibility that cannot be ruled out is a larger
Planck
experiment
[107–110].
The point
of Fig.in13a series
is notoftopapers
endorse
runningWhile
as the
observed level. However, these mo
than anticipated contribution from polarized dust. Given correct
these confirm
that the
polarization
fraction
of dustT T
explanation
of modal
the observed
deficit
of low
constrained by external public dat
the present evidence disfavoring this, these high values
is 4%,
is a long
tail to fractions
as high of
as a
20%
power.
It there
is simply
to illustrate
one example
simpirically exclude dust emission brig
of r are in apparent tension with previous indirect limits
Fig. 7extension
of [107]). There
is also
a trend⇤CDM+tensors
to higher pople(see
model
beyond
standard
the entire excess signal. In the c
based on temperature measurements and we have dislarization
in regions
of lower
total between
dust emission
can fractions
resolve the
apparent
tension
previmodel, explaining the entire excess
cussed some possible resolutions including modifications which
[seeT T
Fig.measurements
18 of [107] noting
BICEP2
field for
has tena
L
and that
the the
direct
evidence
increasing the predicted dust power
of the initial scalar perturbation spectrum such as run- ous
column density of (1 2) 1020 H cm 2 ]. We note that
provided by our B-mode measurements—probably
example by increasing the assumed
ning. However, we emphasize that we do not claim to sors
these papers restrict their analysis to regions of the sky
there
are
others. Of
course, one
mightand
alsowhere
speculate
fraction in our field from 5% (a typ
know what the resolution is, if one is in fact necessary.
where
“systematic
uncertainties
are small,
the
tension
couldtotal
be reduced
within
the this
standard
None of these models show signifi
dustthe
signal
dominates
emission,”
and that
exFigure 14 shows the BICEP2 results compared to pre- that
model,
for includes
examplethe
if ⌧BICEP2
or otherregion.
paramwith our maps (although this may
cludes 21% of the
sky that
vious upper limits. We have pushed into a new regime of ⇤CDM+tensors
n sensitivity, and the high-confidence detection of B-mode eters
were
allowed
to shift.
a broad
range
as due to limitations of the models
Thus
while
these papers
do We
not anticipate
offer definitive
informapossibilities
willofbe
explored.
on the level
dust
contamination in our field, they
polarization at degree angular scales brings us to an ex- of tion
Taking cross spectra against 100
s it may well be higher than any of the
do suggest that
citing juncture. If the origin is in tensors, as favored by
CEP1 we find significant correlation
models considered in Sec. IX.
the evidence presented above, it heralds a new era of Bon the spectral index of the B-m
t In addition there has been extensive discussion of
mode cosmology. However, if these B modes represent
XII. CONCLUSIONS
with CMB and disfavoring dust by
evidence of a high-dust foreground, it reveals the scale of
our preprint in the cosmology community.
Two
the BICEP1 and Keck Array map
the challenges that lie ahead.
preprints [111, 112] look at polarized synchrotron emisBICEP2 is powerful further evidenc
We have described the observations, data reduction,
simulation, and power spectrum analysis of all three seaAn economical interpretation o
sons of data taken by the BICEP2 experiment. The powhich we have detected is that it is
larization maps presented here are the deepest ever made
modes—the IGW template is an e
s
at degree angular scales having noise level of 87 nK-deg
served excess. We therefore procee
ACKNOWLEDGMENTS
2
10
BICEP2
BICEP1
QUAD
QUIET−Q
QUIET−W
CBI
Boomerang
DASI
WMAP
CAPMAP
r0.002
l(l+1)CBB
/2π [µK2]
l
Planck+WP+highL
0.4
BICEP2 was supported
by the U.S. National Science
Planck+WP+highL+BICEP2
1
10
Foundation under Grants No. ANT-0742818 and ANT1044978 (Caltech and Harvard) and ANT-0742592 and
0.3
ANT-1110087
(Chicago and Minnesota). The develop0
10
ment of antenna-coupled detector technology was supported by the JPL Research and Technology Develop0.2 Fund and Grants No. 06-ARPA206-0040 and 10ment
−1
10
SAT10-0017 from the NASA APRA and SAT programs.
The development and testing of focal planes were sup−2
0.1 by the Gordon and Betty Moore Foundation
ported
10
at Caltech. Readout electronics were supported by a
.2
ing
r=0
s
Canada Foundation for Innovation grant to UBC. The
len
−3
receiver
0.0 development was supported in part by a grant
10
1
2
3
10
10
10
0.94 Keck Foundation.
0.96
from the W.M.
The 0.98
computations1.00
in
Multipole
this paper were run on the Odyssey
cluster supported by
ns
the FAS Science Division Research Computing Group at
FIG. 14. BICEP2 BB auto spectra and 95% upper limits
Harvard University. The analysis effort at Stanford and
from several previous experiments [2, 40, 42, 43, 47, 49–51,
SLAC is partially supported by the U.S. Department of
106]. The curves show the theory expectations for r = 0.2 FIG. 13. Indirect constraints on r from CMB temperature
Energy Office of Science. Tireless administrative supand lensed- CDM. The BICEP2 uncertainties include sample
BBCoyle
spectrum
the context
of various
model
port wasmeasurements
provided by relax
Irene in
and Kathy
Deniston.
variance on an r = 0.2 contribution.
l one
extensions.
Shown
is
We thank the
staffhere
of the
U.S. example,
Antarctic following
Program Planck
and
XVI
[9] Fig. 23,the
where
tensors
running
of the
scalar
specin particular
South
Pole and
Station
without
whose
help
tral
index
are added
thehave
basebeen
CDM
model.
contours
this
research
wouldtonot
possible.
WeThe
thank
all
on the tensor-to-scalar ratio and find r = 0.20+0.07
with
show
the
resulting
68%
and
95%
confidence
regions
for
r
0.05
those who have contributed past efforts to the BICEP–and
r = 0 ruled out at a significance of 7.0 , with no fore- theKeck
scalar
spectral
ns when also
allowingthe
running.
The
Array
seriesindex
of experiments,
including
BICEP1
ground subtraction. Multiple lines of evidence suggest redand
contours
are forteams.
the “Planck+WP+highL”
data
Keck Array
We thank all those in
thecombiasthat the contribution of foregrounds (which will lower nation,
whichcommunity
for this model
extension
gives feedback
a 95% bound
trophysics
who have
contributed
on
s r<
the favored value of r) is subdominant: (i) direct pro[9]. preprint
The blueofcontours
add and
the BICEP2
constraint
the0.26
public
this paper,
particularly
two
n
s
jection of the available foreground models using typical onanonymous
r shown
in
the
center
panel
of
Fig.
10.
See
the
text
for
referees
for
their
detailed
and
constructive
s
model assumptions, (ii) lack of strong cross-correlation of further
details.
recommendations.
This work would not have been posthose models against the observed sky pattern (Fig. 6),
sible without the late Andrew Lange, whom we sorely
(iii) the frequency spectral index of the signal as conmiss.
strained using BICEP1 data at 100 GHz (Fig. 8), and lease [104] (and are thus identical to those shown in that
(iv) the power spectral form of the signal and its appar- Planck paper). We then apply importance sampling [105]
ent spatial isotropy (Figs. 3 and 10).
to these chains using our
r likelihood
as shown in Fig. 10
Note
added
Per far ciò, è prima necessario stabilire quali sono i parametri da considerare nel calcolo dei modelli e quindi dello spettro della CMB, della ⇠prq per le
galassie, delle D pzq per le supernovae ecc. I parametri principali utilizzati
ed il loro significato sono indicati in tabella 5, in cui si possono riconoscere
tutti i parametri già visti fin qui. In più c’è la frazione dei neutrini “massicci”
f (particelle la cui esistenza non è ancora stata accertata), l’ampiezza dello
spettro di potenza delle fluttuazioni scalari A , la pendenza dello spettro di
potenza delle fluttuazioni tensoriali n (onde gravitazionali) e un parametro
che descrive al curvatura, rispetto ad una legge di potenza, dello spettro delle
fluttuazioni scalari primordiali:
a“
dplnn q
pd ln kq
(a running of scalar spectral index
per cui lo spettro di potenza primordiale delle fluttuazioni scalari è
ln P pkq “ ns ln k ` apln kq2
Successivamente si stabiliscono degli intervalli in cui questi parametri
possono “ragionevolmente” variare o sulla base della nostra intuizione fisica
324
Parametri cosmologici
• h = (H0/100 km s 1 Mpc 1)
•
b=
2
b h , the baryon density parameter
•
d=
2
d h dark matter density parameter
•
= dark energy density parameter
• w = dark energy equation of state, p = w⇢c2 (w =
1 ”prefered”)
• ⌧ = reionisation optical depth
•
K = space curvature, recalling that
m+
+
K=1
• As = amplitude of scalar power-spectrum
• ns = scalar spectral index; ns = 1 preferred
• a = running of scalar spectral index
• r = tensor-scalar ratio
• nt = tensor spectral index
• b = bias factor
• fn = neutrino fraction
Show simulations
36
Tabella 5: Principali parametri (e loro significato) utilizzati nel calcolo dei modelli
cosmologici che determinano, tra gli altri, lo spettro di potenza delle fluttuazioni
della CMB, la funzione di correlazione a due punti delle galassie, ecc.
o sulla base di misure precedenti. L’analisi standard quindi prevede l’utilizzo
della statistica Bayesiana (ovvero basata su teorema di Bayes) in base alla
quale, se ⇥ è l’insieme dei parametri liberi e D è l’insieme dei dati osservativi,
si ha
P pD|⇥qP p⇥q
P p⇥|Dq “
P pDq
P p⇥|Dq è la probabilità di avere il set di valori ⇥ dei parametri liberi date le
osservazioni D; è quella che viene chiamata “posterior distribution” ed è quella che deve essere massimizzata nel processo di fit; P pD|⇥q è la probabilità di
avere il set di dati D per i valori dei parametri ⇥; in pratica è la probabilità
che si usa, ad esempio, per determinare il 2 . P p⇥q è la probabilità di avere i
valori ⇥ dei parametri basata sulla nostra conoscenza pregressa (come detto
prima, misure precedenti o valori ragionevoli sulla ade della nostra intuizione
fisica); prende il nome di “prior distribution”. La P pDq è semplicemente una
normalizzazione e non influenza i valori di best fit dei ⇥. Si può notare come
la relazione scritta sopra non sia altro che l’espressione del Teorema di Bayes
(da cui il nome di statistica Bayesiana).
325
Planck Collaboration: Cosmological parameters
Table 5. Best-fit values and 68% confidence limits for the base CDM model. Beam and calibration parameters, and additional nuisance parameters for “highL” data sets are not listed for brevity but may be found in the Explanatory Supplement
(Planck Collaboration 2013b).
Planck+WP
Parameter
2
bh
2
ch
68% limits
Planck+WP+highL
Best fit
68% limits
Planck+lensing+WP+highL
Planck+WP+highL+BAO
Best fit
Best fit
68% limits
68% limits
0.022032 0.02205 ± 0.00028
0.022069 0.02207 ± 0.00027
0.022199 0.02218 ± 0.00026
0.022161 0.02214 ± 0.00024
1.04119 1.04131 ± 0.00063
0.0925
0.089+0.012
0.014
1.04130 1.04132 ± 0.00063
0.0927
0.091+0.013
0.014
1.04146 1.04144 ± 0.00061
0.0943
0.090+0.013
0.014
1.04148 1.04147 ± 0.00056
ns . . . . . . . . . . .
0.9619
0.9582
0.9614 ± 0.0063
0.9611
3.0980
0.9585 ± 0.0070
0.9624
ln(1010 As ) . . . . . . .
0.9603 ± 0.0073
100
. . . . . . . . . .
Best fit
. . . . . . . . . .
. . . . . . . .
MC
. . . . . . . . . . . .
APS
100
APS
143
APS
217
ACIB
143
ACIB
217
AtSZ
143
0.12038
. . . . . . . . . .
152
. . . . . . . . . .
63.3
. . . . . . . . . .
117.0
. . . . . . . . . .
3.089+0.024
0.027
171 ± 60
54 ± 10
0.12025
3.0959
209
72.6
0.1198 ± 0.0026
3.090 ± 0.025
212 ± 50
0.11847
3.0947
204
73 ± 8
72.2
3.24 ± 0.83
3.25
2.54+1.1
1.9
4.64
0.823+0.069
0.077
0.814
107+20
10
59.5
0.0
< 10.7
3.57
. . . . . . . . . .
27.2
29+69
53.9
. . . . . . . . . .
6.80
...
5.17
0.916
> 0.850
0.825
0.42 ± 0.22
1.0000
> 0.930
1.0000
0.53+0.13
0.12
0.674
0.638 ± 0.081
0.656
PS
r143
217
. . . . . . . .
CIB
r143
217
. . . . . . . .
0.406
. . . . . . . . . .
0.601
CIB
0.1199 ± 0.0027
tSZ CIB
. . . . . . . .
0.03
...
0.000
AkSZ . . . . . . . . . .
0.9
...
0.89
59 ± 10
49.6 ± 5.0
60.2
52.3
< 0.409
0.000
5.34+2.8
1.9
1.14
. . . . . . . . . . .
0.6817
0.685+0.018
0.016
0.6830
0.685+0.017
0.016
0.6939
. . . . . . . . . . .
0.8347
0.8322
11.37
0.828 ± 0.012
0.8271
zre . . . . . . . . . . .
0.829 ± 0.012
H0 . . . . . . . . . . .
67.04
67.15
13.8242
67.3 ± 1.2
67.94
Age/Gyr . . . . . . .
67.3 ± 1.2
100
1.04136 1.04147 ± 0.00062
8
. . . . . . . . .
rdrag . . . . . . . . . .
147.36
11.1 ± 1.1
13.817 ± 0.048
147.49 ± 0.59
11.38
13.8170
11.1 ± 1.1
11.42
13.813 ± 0.047
13.7914
147.47 ± 0.59
147.68
1.04146 1.04148 ± 0.00062
147.35
0.1186 ± 0.0022
3.087 ± 0.024
213 ± 50
72 ± 8
0.11889
0.0952
3.0973
204
71.8
58 ± 10
59.4
50.0 ± 4.9
53.0
2.51+1.2
1.8
4.86
0.825 ± 0.071
0.824
3.24 ± 0.83
3.30
> 0.928
1.0000
0.643 ± 0.080
0.667
0.1187 ± 0.0017
0.092 ± 0.013
0.9608 ± 0.0054
3.091 ± 0.025
212 ± 50
72.4 ± 8.0
59 ± 10
3.25 ± 0.83
49.7 ± 5.0
2.54+1.2
1.8
0.823 ± 0.070
> 0.930
0.639 ± 0.081
< 0.389
0.000
4.74+2.6
2.1
1.58
5.34+2.8
2.0
0.6914
0.692 ± 0.010
0.693 ± 0.013
0.8233 ± 0.0097
0.8288
67.9 ± 1.0
67.77
11.1 ± 1.1
11.52
13.794 ± 0.044
13.7965
147.67 ± 0.50
147.611
1.04161 1.04159 ± 0.00060
< 0.410
0.826 ± 0.012
11.3 ± 1.1
67.80 ± 0.77
13.798 ± 0.037
1.04163 1.04162 ± 0.00056
147.68 ± 0.45
Tabella 6: Valori di best fit dei parametri (2013) per combinazioni diverse delle
corresponding
cosmological
parametercon
constraints
are shown
in
ploredquelle
in further
detail in future
papers (see
also Appendix
osservazioni
di Planck
con altre
misure
come
ottenute
da WMAP
(WP),
Fig. 4.
C).
per misure
a grandi l (highL,– ovvero
piccole
scaleandspaziali)
e BAOthe therWeesperimenti
can draw the following
general conclusions.
The addition
of the ACT
SPT data constrains
mal SZ
amplitude,
which
is poorly determined
by Planck
(Baryon
Acoustic
Oscillations,
ovvero
le
misure
di
funzione
di
correlazione
a due
– The cosmological parameters for the base CDM model are
alone. In the Planck-alone analysis, the tSZ amplitude is
extremely
insensitive
to
the
foreground
model
described
in
punti per le galassie).
strongly degenerate with the Poisson point source amplithe previous subsection. The addition of the ACT and SPT
tude at 100 GHz. This degeneracy is broken when the highdata causes the posterior distributions of cosmological paresolution CMB data are added to Planck.
rameters to shift by much less than one standard deviation.
– With Planck data alone, the CIB amplitude at 217 GHz is
The last two points are demonstrated clearly in Fig. 7, which
stronglyPer
degenerate
with the 217 GHz
Poisson pointdi
source
shows nello
the residuals
of thedei
Planck
spectra with ⇥
respect
determinare
il
massimo
P
p⇥|Dq
spazio
parametri
(e to the
amplitude. This degeneracy is broken by the addition of the best-fit cosmology for the Planck+WP analysis compared to the
fits. The
of high-resolution
high-resolution
CMB data.
degeneracy
be borne Planck+WP+highL
quindi i valori
diThis
best
fit deimust
parametri)
si utilizza spesso
laaddition
tecnica
delle ca- CMB
in mind when interpreting Planck-only solutions for CIB pa- data also strongly constrains the net contribution from the kSZ
tene the
di sum
Markov
(MCMC,
Monte
Carlo
Chains)
su(dotted
cui non
rameters;
of the Poisson
point source
and CIB
con- Markov
and tSZ CIB
components
lines),entreremo
though these compotributions
are
well
constrained
by
Planck
at
217
GHz
(and
nents
are
degenerate
with
each
other
(and tend to cancel).
in dettaglio se non per dire che si tratta di un metodo “Montecarlo”,
cioè
in good agreement with the map-based CIB Planck analysis
Although the foreground parameters for the Planck+WP fits
basato
sull’estrazione
di
numeri
casuali.
reported in Planck Collaboration 2013a), whereas the indi- can differ substantially from those for Planck+WP+highL, the
vidual contributions
are 6
not.sono
Another
feature of the
CIB pa- total di
foreground
spectra
insensitive to di
the confiaddition of the
In tabella
riportati
i parametri
best fit
conarei contorni
rameters is that we typically find smaller values of the CIB high-resolution CMB data. For example, for the 217 217 specdenza
al CIB
68%
ottenibilisolutions
combinando
Planck più
disponibili
spectral
index,
, in Planck-alone
compared toi dati
trum, di
the differences
in the recenti
total foreground
solution are less
2
Planck+highL
solutions
(which
can be seen
in Fig.
6). Thisottenute
than 10 µKda
at WMAP
= 2500. The(WP),
net residuals
after subtracting both
(2013)
con
altre
misure
come
quelle
esperimenprovided additional motivation to treat CIB as a parameter the foregrounds and CMB spectrum (shown in the lower panels
in the
Planckmisure
likelihoodarather
than fixing
it to a particueach sub-plot
in Fig.spaziali)
7) are similarly
insensitive
to the additi per
grandi
l (highL,
ovveroof piccole
scale
e BAO
(Balar value. There is evidence from the Planck spectra (most tion of the high-resolution CMB data. The foreground model is
ryon
Acoustic
Oscillations,
ovvero
le
misure
di
funzione
di
correlazione
a
clearly seen by differencing the 217 217 and 143 143 sufficiently complex that it has a high “absorptive capacity”
to
spectra)
the CIB
spectrum
at 217 GHz flattens
in slope significa
any smoothly-varying
frequency-dependent
differences
due that
punti
per
le galassie).
“lensing”
tener conto
del lensing
gra-between
over the multipole range 500 < < 1000. This will be ex- spectra (including beam errors).
20
vitazionale tra noi e la superficie di ultimo scattering. Si prendano come
riferimento i valori dell’ultima colonna (“Planck+WP+highL+BAO”). Ad
esempio si trova ⌦b h2 “ 0.022161p0.02214 ˘ 0.00024q che, come ricordiamo,
326
è perfettamente compatibile con i vincoli più laschi ottenuti dall’analisi delle
abbondanze primordiali; la pendenza dello spettro di potenza primordiale è
ns “ 0.9611 p0.9608 ˘ 0.0054q, vicino al valore ns “ 1 dello spettro di Harrison Zel’dovich e consistente con l’esistenza delle onde gravitazionali. Notare
anche i valori di ⌦0 , ⌦⇤ e H0 “ 67.80 ˘ 0.77 km s´1 Mpc´1 ; per quest’ultimo,
in particolare, si ricordi che solo una ventina di anni fa, era noto a meno di un
fattore 2! Questo è il significato della definizione “Cosmologia di precisione”.
Concludiamo ricordando come i modelli necessari a spiegare le osservazioni debbano essere accurati al meglio dell’1% e pertanto sono molto complessi.
Per fortuna esiste un modello CAMB il cui codice è disponibile liberamente
e può essere scaricato a
http //camb.info
il codice CAMB è stato utilizzato, ad esempio, nell’analisi dei dati di WMAP,
PLANCK e BICEP2 descritti fin qui.
327

16 Le fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo

Transcript

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