retta, parabola, iperbole equilatera, circonferenza

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Geometria analitica piana: retta, parabola,
iperbole equilatera, circonferenza
Il metodo della geometria analitica consiste nell’applicare gli strumenti dell’algebra allo studio della geometria. Il legame tra enti algebrici ed enti geometrici
è stabilito mediante il concetto di misura, che permette di associare numeri a
grandezze geometriche (in particolare, lunghezze).
Tramite misure di lunghezza, è noto che i numeri si possono rappresentare su
una retta orientata su cui si siano fissati un punto O ed un segmento scelto come
unità di misura:
In tale rappresentazione, i numeri razionali non “coprono” tutta la retta, sulla
quale restano “buchi” non occupati da alcun numero razionale. Ricorrendo ai
numeri irrazionali, si stabilisce invece una corrispondenza biunivoca tra R e la
retta: ad ogni numero reale corrisponde un punto sulla retta e, viceversa, ogni
punto sulla retta rappresenta un numero reale.
Fissate nel piano due rette perpendicolari orientate, che costituiscono un cosiddetto riferimento cartesiano, un analogo procedimento
consente di stabilire una corrispondenza biunivoca tra punti del piano e coppie
ordinate di numeri reali. Di conseguenza, ogni punto risulta “etichettato” da
una coppia ordinata di numeri, detti coordinate cartesiane del punto, e si
potrà quindi parlare dell’uno parlando dell’altra, identificando cioè ogni punto
con la coppia delle proprie coordinate. Le coordinate di un generico punto P
sono di solito indicate con x e y e l’identificazione si esprime scrivendo P (x, y).
N.B. La coppia di numeri (x, y) è ordinata, nel senso che è importante distinguerla dalla coppia (y, x) in cui i numeri x e y sono scritti in ordine
inverso.
1
La prima coordinata di un punto P è detta ascissa di P , la seconda è detta
ordinata di P ; di conseguenza, le rette del riferimento cartesiano fissato, che
sono dette assi di riferimento, si distinguono in asse delle ascisse (o asse x)
e asse delle ordinate (o asse y).
Le quattro regioni in cui gli assi di riferimento dividono il piano sono detti
quadranti.
Il punto O di incontro degli assi di riferimento viene chiamato origine del
riferimento ed ha coordinate entrambe nulle: O (0, 0).
Il piano in cui si sia fissato un riferimento cartesiano viene brevemente detto
piano cartesiano.
L’introduzione di coordinate nel piano ha importanti conseguenze.
• Molte grandezze geometriche possono esprimersi in termini di coordinate
mediante formule algebriche:
— la distanza d (P1 , P2 ) tra due punti P1 (x1 , y1 ) e P2 (x2 , y2 ), che è
definita come la lunghezza del segmento P1 P2 , è data da
q
d (P1 , P2 ) = (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2
— il punto medio M del segmento che unisce i punti P1 (x1 , y1 ) e P2 (x2 , y2 ),
che è definito come il punto di tale segmento equidistante dai suoi
estremi, ha coordinate
xM =
x1 + x2
2
e yM =
y1 + y2
.
2
• Insiemi di punti possono essere descritti descrivendo le loro coordinate.
In quest’ottica, acquistano rilevanza i cosiddetti luoghi geometrici, ossia gli insiemi di punti le cui coordinate soddisfano una certa proprietà
(detta proprietà caratteristica del luogo); tipicamente, la proprietà caratteristica di un luogo è un’equazione contenente le coordinate: il luogo
corrispondente è allora l’insieme di tutti e soli i punti le cui coordinate
sono soluzione dell’equazione.
2
7.1
Retta
Una qualsiasi equazione di 1 grado nelle incognite x e y
ax + by + c = 0
con a e b non entrambi nulli
rappresenta una retta nel piano e, viceversa, ogni retta del piano è rappresentata da un’equazione di 1 grado nelle incognite x e y. A seconda del valore
dei coe!cienti a, b, c si ottiene una retta piuttosto che un’altra. Per disegnare
una retta sono su!cienti due suoi punti: nota l’equazione della retta, è allora
su!ciente determinarne due soluzioni; ad esempio, se
r:
allora
x
0
1
6x 3y = 1
y = 2x 1/3
5/3
1
3
¢
¢
¡
¡
i punti P 0, 13 e Q 1, 53 appartengono ad r.
• La retta ax + by + c = 0 è parallela all’asse y se e solo se b = 0, mentre è
parallela all’asse x se e solo se a = 0; inoltre, passa per l’origine O (0, 0)
se e solo se c = 0. La bisettrice dei quadranti I e III ha equazione y = x,
mentre la bisettrice dei quadranti II e IV ha equazione y = x.
• Se una retta non è parallela all’asse y, la sua equazione ax + by + c = 0
può essere esplicitata rispetto a y (in quanto deve essere b 6= 0) e scritta
quindi nella forma esplicita
y = mx + q
che ha rilevanza per il significato assunto dai coe!cienti m e q:
— m è detto coe!ciente angolare della retta e misura la sua inclinazione rispetto all’asse x; più precisamente, con riferimento alle
nozioni introdotte nel Capitolo 8, si ha m = tan dove è l’angolo antiorario che la retta forma con il semiasse positivo
delle ascisse
— q è detto ordinata all’origine e coincide con l’ordinata del punto
in cui la retta interseca l’asse x.
3
È naturale aspettarsi che parallelismo e perpendicolarità tra due rette
possano essere espressi in termini dei loro coe!cienti angolari, in quanto
essi ne caratterizzano l’inclinazione. In eetti, si dimostra che due rette
y = m1 x + q1 ed y = m2 x + q2 sono
— parallele se e solo se hanno lo stesso coe!ciente angolare, ossia
m1 = m2
— perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coe!cienti angolari
vale 1, ossia
1
.
m1 = m2
1
x + q (con q generico) rappresentano
Dunque y = mx + q e y = m
rispettivamente la generica retta parallela e la generica perpendicolare a
y = mx.
• La retta passante per il punto P0 (x0 , y0 ) ed avente coe!ciente angolare
m ha equazione
y y0 = m (x x0 ) .
()
• La retta passante per i due punti P1 (x1 , y1 ) e P2 (x2 , y2 ) ha equazione
y y1 =
y2 y1
(x x1 )
x2 x1
()
se x2 6= x1 (altrimenti, si tratta della retta x = x1 , parallela all’asse y).
Esempio Si voglia determinare l’equazione della retta parallela alla bisettrice
dei quadranti II e IV e passante per il punto P (1, 2).
La bisettrice y = x ha coe!ciente angolare m = 1, che è anche il coe!ciente
angolare di qualunque retta ad essa parallela. La retta di cui dobbiamo determinare l’equazione ha dunque coe!ciente angolare m = 1 e passa per il punto
P (1, 2). La formula () con x0 = 1 e y0 = 2 fornisce allora
y (2) = (x 1)
y + 2 = x + 1
y = x 1.
¤
Esempio Si voglia scrivere l’equazione della retta r passante per i punti
P1 (1, 1) e P2 (5, 2), verificando poi se R (9, 5) e Q (2, 1) appartengono ad
r.
Dalla formula () con x1 = 1, y1 = 1, x2 = 5 ed y2 = 2, si ottiene subito
y+1
=
y
y
=
=
2+1
(x 1)
51
3
4 (x 1) 1
3
7
4x 4.
4
Dunque un punto P (x, y) appartiene ad r se e solo se le sue coordinate (x, y)
soddisfano tale equazione. In particolare, R (9, 5) appartiene ad r perché 34 9 7
3
7
1
¤
4 = 5, mentre Q (2, 1) non appartiene ad r perché 4 2 4 = 4 6= 1.
7.2
Coniche
I luoghi geometrici rappresentati da equazioni di 2 grado nelle incognite x e y
Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
sono detti coniche (eventualmente degeneri). A seconda del valore dei coefficienti A, B, C, D, E, F le coniche si classificano in parabole, ellissi (tra cui le
circonferenze) o iperboli. Nel seguito, richiameremo solo alcuni casi particolari.
7.3
Intersezione di curve
Le soluzioni del sistema tra le equazioni di due o più curve coincidono con le
coordinate di tutti e soli i punti di intersezione di tali curve. Infatti, risolvendo
il sistema, si determinano le coppie (x, y) che soddisfano tutte le sue equazioni,
cioè le coordinate di quei punti che appartengono a tutte le curve considerate.
7.4
Parabola
I luoghi geometrici rappresentati da equazioni di 2 grado del tipo
y = ax2 + bx + c
con a 6= 0
sono curve dette parabole (con asse parallelo all’asse delle ordinate).
• Una parabola ha uno dei seguenti andamenti
a seconda del segno del coe!ciente a 6= 0 e, in ogni caso, ammette una
retta parallela all’asse y come asse di simmetria, detto asse della parabola.
• Il sistema
½
y = ax2 + bx + c
x=0
ha sempre l’unica soluzione (0, c), che rappresenta quindi il punto di intersezione della parabola y = ax2 + bx + c con l’asse delle ordinate x = 0.
5
• Data la parabola P : y = ax2 + bx + c, le eventuali soluzioni del sistema
½
y = ax2 + bx + c
y=0
rappresentano le possibili intersezioni tra P e l’asse delle ascisse y = 0; si
tratta quindi di studiare l’equazione ax2 + bx + c = 0, il cui discriminante
= b2 4ac viene anche detto discriminante di P, e si potranno allora
presentare le seguenti situazioni:
< 0 / no intersezioni
= 0 / 1 intersezione
> 0 / 2 intersezioni
• L’asse della parabola y = ax2 + bx + c ha equazione
x=
b
2a
()
mentre il punto V di intersezione tra parabola ed asse ha coordinate
µ
¶
b
V ,
2a 4a
e viene detto vertice della parabola.
• La parabola y = ax2 + bx + c passa per l’origine O (0, 0) se e solo se c = 0,
mentre ha il vertice sull’asse y se e solo se b = 0.
Stabilito (in base al segno di a) se rivolge la sua concavità verso l’alto piuttosto che verso il basso, per disegnare una parabola ci accontenta in genere di
posizionarne il vertice e le eventuali intersezioni con gli assi coordinati.
Esempio Si vuole determinare l’equazione della parabola con asse x =
passante per i punti P (0, 2) e Q (2, 0).
6
1
2
e
Tale equazione sarà del tipo y = ax2 + bx + c e si tratta quindi di determinare
a, b, c in modo che le condizioni richieste siano soddisfatte. La parabola passa
per P e Q se e solo se le loro coordinate ne verificano l’equazione, ossia
2 = c e 0 = a4 + b2 + c.
Inoltre, a!nché la retta x = 12 sia asse della parabola, dalla formula () segue
che a e b devono essere tali che
b
1
= ,
2a
2
ossia b = a.
Siccome la parabola in questione soddisfa simultaneamente le tre condizioni
imposte, le equazioni in cui esse sono state tradotte vanno considerate a sistema:
;
? c = 2
4a + 2b + c = 0
=
b = a.
Sostituendo la prima e l’ultima equazione nella seconda, si ha 4a 2a 2 = 0,
cioè a = 1. Il sistema ha quindi l’unica soluzione a = 1, b = 1, c = 2 e
¤
l’equazione cercata è dunque y = x2 x 2.
7.5
Iperbole equilatera
I luoghi geometrici rappresentati da equazioni di 2 grado del tipo
xy = k
con k 6= 0
sono curve dette iperboli equilatere (riferite ai propri asintoti).
• Un’iperbole equilatera è formata da due rami che hanno uno dei seguenti
andamenti
a seconda del segno del termine k 6= 0 e, in ogni caso, ammette
— le bisettrici dei quadranti come assi di simmetria
— gli assi coordinati come asintoti 1 .
1 Ricordiamo che, intuitivamente parlando, una retta è asintoto per una curva se quest’ultima le si avvicina indefinitamente senza raggiungerla.
7
• Le intersezioni tra un’iperbole equilatera e la bisettrice dei quadranti in
cui giacciono i suoi rami sono detti vertici dell’iperbole.
Esempio Si vogliano determinare gli eventuali punti di intersezione tra l’iperbole xy = 3 e la parabola y = 2x2 3x + 2.
Le coordinate degli eventuali punti di intersezione tra due curve sono le soluzioni
del sistema delle loro equazioni, ossia
½
xy = 3
y = 2x2 3x + 2.
Sostituendo la seconda equazione nella prima, si ottiene
¡
¢
x 2x2 3x + 2 = 3
2x3 3x2 + 2x 3 = 0
x2 (2x 3) + 2x 3 = 0
¢
¡ 2
x + 1 (2x 3) = 0
che ha l’unica soluzione x = 32 , la quale, sostituita in una qualsiasi delle equazioni
del sistema, fornisce
¡ poi¢ y = 2. L’iperbole e la parabola si intersecano dunque
nell’unico punto P 32 , 2 .
¤
7.6
Circonferenza
I luoghi geometrici rappresentati da equazioni di 2 grado del tipo
x2 + y 2 + ax + by + c = 0
con
b2
a2
+
c>0
4
4
sono circonferenze, e viceversa. Per disegnare una circonferenza è su!ciente
posizionarne il centro C e conoscerne il raggio r; si può dimostrare che
r
µ
¶
a b
a2 b2
C ,
+
c.
(†)
ed
r=
2 2
4
4
• La circonferenza x2 + y 2 + ax + by + c = 0 passa per l’origine O (0, 0) se e
solo se c = 0.
• La circonferenza di centro C (, ) e raggio r > 0 ha equazione
2
2
(x ) + (y ) = r2 .
(‡)
In particolare, x2 + y 2 = 1 rappresenta la circonferenza con centro nell’origine e raggio 1.
2
2
di equazione
Osserviamo che, se a4 + b4 c = 0, allora il luogo
¡ a geometrico
¢
b
2
2
x + y + ax + by + c = 0 si riduce al solo punto 2 , 2 .
8
Esempio Data la circonferenza x2 + y 2 + 2x y = 0 di centro C (, ) e
raggio r0 , si vuole scrivere l’equazione della circonferenza ad essa concentrica ed
avente raggio doppio.
Dalle formule (†) si ricava
q
q
1
4
1
5
=
+
=
.
= 22 = 1, = 1
e
r
=
2
2
4
4
4
q
¢
¡
La circonferenza cercata ha dunque centro C 1, 12 e raggio 2 54 e, per la
formula (‡), ha equazione
¢2
¡
(x + 1)2 + y 12
x2 + 2x + 1 + y 2 y +
2
2
x + y + 2x y 1
4
3
4
=
µ q ¶2
2 54
= 5
= 0.
¤
Esercizi
1. Dato il fascio di rette (k 1) x+ (k + 2) y + k = 0, determinare k in modo
che la retta corrispondente
• sia parallela all’asse delle ascisse
[k = 1]
• abbia coe!ciente angolare 2
[k = 5]
x
k1
k+2
k
k+2
Per k 6= 2, la generica retta del fascio si scrive y =
ed
k1
ha quindi coe!ciente angolare m = k+2 . La condizione di parallelismo
con l’asse y = 0 è m = 0. Si tratta dunque di determinare k a!nché sia
k1
= 0 (nel primo caso) e k1
= 2 (nel secondo caso).
k+2
k+2
2. Scrivere l’equazione della retta r passante per i punti O (0, 0) e P (5, 2).
Verificare poi se R (15, 6) e Q (20, 7) appartengono alla retta r.
£
¤
r : y = 25 x; solo R appartiene ad r
3. Determinare il valore del parametro k per cui la retta (2 + k) x+(k 1) y+
3k =0
• passa per il punto P (0, 2)
[k = 1]
• è parallela all’asse x
[k = 2]
• è perpendicolare alla retta r : 2x y + 5 = 0
[k = 5]
• è parallela alla retta per i punti A (2, 1) e B (1, 3)
• determina con gli assi cartesiani un triangolo di area
9
1
2
[k = 8]
£
¤
k = 11
7
P appartiene alla retta se e solo se le sue coordinate (0, 2) ne soddisfano
l’equazione, ossia è (k 1) 2 + 3 k = 0. Per k 6= 1, la retta si può
3k
2+k
scrivere y = 2+k
k1 x k1 ed ha quindi coe!ciente angolare m = k1 .
La condizione di parallelismo con l’asse x è m = 0. La condizione di
perpendicolarità alla retta r è m = 12 , essendo 2 il coe!ciente angolare di
r. La retta per A e B è y = 23 x+ 73 e la condizione di parallelismo
³
´ ³ con essa
´
è quindi m = 23 . La retta interseca gli assi nei punti 0, k3
k1 e
il triangolo rettangolo individuato ha allora area data da
k3
2+k , 0
1 k3 k3
.
2 k1 2+k
;
¢
¡
4. Scrivere l’equazione dell’asse del segmento di estremi A (1, 2) e B 2, 12 .
Si ricordi che l’asse di un segmento è la retta ad esso perpendicolare e
passante per il suo punto medio.
[8x 4y + 1 = 0]
5. Trovare l’equazione della retta parallela alla bisettrice dei quadranti I e III
e passante per il punto di intersezione tra le rette r : x + y 4 = 0 ed
s : x 3y + 4 = 0.
[y = x]
6. Che cosa rappresenta l’espressione xy = 3? Descriverne le caratteristiche.
[iperbole equilatera con asintoti gli assi cartesiani
s ¢¤
¡s s ¢
¡ s
e vertici V1 3, 3 eV2 3, 3
7. Dopo aver disegnato la curva xy = 1, trovare i suoi punti di intersezione
con la retta x y + 1 = 0.
Le coordinate degli eventuali
punti di intersezione delle due curve sono
½
xy = 1
le soluzioni del sistema
La seconda equazione si scrive
x y + 1 = 0.
y = x + 1.sSostituendos nella prima si ha x2 + x = 1, che ha le soluzioni
x1 = 1+2 5 e x2 = 51
2 . Le corrispondenti ordinate sono fornite ad
esempio dalla seconda equazione: y1 = x1 + 1 e y2 = x2 + 1.
h ³
³s
´i
s
s ´
s
51
5+1
P1 1+2 5 , 12 5 , P2
,
2
2
8. Trovare l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y passante
per i punti (1, 0) , (2, 1) , (5, 2) e disegnarla nel piano cartesiano.
Imponendo che le coordinate dei punti soddisfino;
l’equazione della generica
? 0 =ab+c
1 = 4a + 2b + c
parabola y = ax2 + bx + c, si ottiene il sistema
in
=
2 = 25a + 5b + c
cui le incognite sono i coe!cienti della parabola cercata.
¤
£
y = 29 x2 + 59 x + 79
10
9. Trovare l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y passante
per l’origine e con vertice V (2, 4); disegnarla poi nel piano cartesiano.
2
Imponendo che la generica parabola passante
½ perb l’origine y = ax + bx
£
¤
2a = 2
y = x2 4x
abbia vertice in (2, 4) si ottiene il sistema
b2
4a
= 4.
10. Determinare la lunghezza della corda staccata dalla parabola y = x2 +
5x 6 sulla retta di equazione x + y + 1 = 0.
Si tratta di calcolare la lunghezza del segmento che ha per estremi i£punti
s ¤
4 2
di intersezione tra parabola e retta.
11. Scrivere l’equazione della parabola y = ax2 + bx + c che £taglia l’asse y nel¤
punto di ordinata 2 e che passa per A (2, 1) e B (4, 2). y = 14 x2 x + 2
12. Un quadrato
¢ ha un vertice in (1, 0) e le sue diagonali si intersecano nel
¡
punto 32 , 32 . Determinare le coordinate degli altri tre vertici, il perimetro
P del quadrato, le aree S1 ed S2 dei cerchi inscritto e circoscritto.
Si ricordi che il cerchio inscritto ha per raggio la metà del lato del quadrato,
mentre il cerchio circoscritto ha per raggio la metà della diagonale.
s
¤
£
(0, 2) , (3, 1) , (2, 3) ; P = 4 5; S1 = 54 , S2 = 52 13. Scrivere le equazioni delle circonferenze aventi il centro sull’asse delle ascisse, passanti per l’origine degli assi e con raggio r = 2.
; b
A
? 2 = 0
c=0
Le tre condizioni si traducono nel sistema
A
= a2 b 2
4 + 4 c = 4.
¤
£ 2
2
x + y + 4x = 0; x2 + y 2 4x = 0
14. Scrivere le equazioni delle rette tangenti la circonferenza di equazione x2 +
y 2 6x 2y + 9 = 0 nei punti in cui questa incontra l’asse delle ascisse.
La circonferenza data(incontra l’asse delle ascisse nei punti in cui è y =
x2 + y 2 6x 2y + 9 = 0
0; siccome il sistema
ammette la soluzione
y=0
doppia (3, 0), l’asse delle ascisse è l’unica tangente cercata.
[y = 0]
15. Data l’equazione x2 + y 2 4x 4y + 8 = 0, verificare se essa rappresenta
una circonferenza.
Poiché è
punto.
16
4
+
16
4
8 = 0, non si tratta di una circonferenza, bensì di un
[No]
11
16. Verificare se si intersecano le curve di equazioni x2 + y 2 =
x2 + x + 1.
1
4
e y =
Senza ricorrere all’impostazione analitica del problema tramite il sistema
tra le due equazioni, si vede subito come la prima equazione rappresenti
una circonferenza con centro l’origine e raggio r = 12 , mentre la seconda è
l’equazione
¢ di una parabola con concavità rivolta verso l’alto, con vertice
¡
V 12 , 34 e che interseca l’asse delle ordinate in un punto C (0, 1). Le
due curve sono quindi esterne l’una rispetto all’altra e non hanno punti in
comune.
[No]
12