Lezione 4: Conversione A/D Conversione A/D

Transcript

Teoria dei segnali
Conversione A/D
Segnali a potenza media finita e conversione A/D
Lezione 4: Conversione A/D
Conversione A/D
Generalità
Campionamento ideale
Campionamento reale
Quantizzazione
Esempi
2
© 2005 Politecnico di Torino
1
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Conversione A/D
generalità
Conversione A/D
La conversione A/D trasforma un segnale a
analogico, x(t), in una sequenza di numeri interi
Questa sequenza, codificata in binario, costituisce
un bit stream che porta informazione sul
segnale analogico
I blocchi costituenti di un convertitore A/D sono:
campionatore
quantizzatore
4
2
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Campionamento
Campionare un segnale a tempo continuo x(t)
significa estrarre dal segnale stesso i valori che
esso assume in un insieme discreto di valori
dell’asse tempi
Generalmente il campionamento avviene a
intervalli temporali equidistanti, cioè multipli di un
intervallo Tc, detto periodo di campionamento
5
Campionamento
L’operazione di campionamento crea una
sequenza di numeri xn = x(nTc), -8 <n<8
Generalmente si tratta di numeri reali, e che
comunque condividono la tipologia dei valori del
segnale a tempo continuo di partenza x(t)
6
3
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Campionamento
Rappresentazione grafica dell’operazione di
campionamento
x (t )
x n = x (nT c )
t
Tc
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Perché campionare
Obiettivo del campionamento è rappresentare
l’informazione portata da x(t) mediante una
sequenza di numeri (reali)
Vedremo le condizioni affinché questo sia
possibile preservando la possibilità di esatta
ricostruzione di x(t) a partire dai suoi campioni
La rappresentazione numerica ha il vantaggio di
permettere un’elaborazione del segnale nel
dominio digitale
8
4
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Perché numerico
La tendenza moderna, risultante dai progressi
compiuti dai componenti elettronici ad altissima
integrazione (VLSI, Very Large Scale Integration)
è quella di usare per l’elaborazione dei segnali dei
microprocessori dedicati (DSP, Digital Signal
Processor)
L’elaborazione del segnale viene eseguita su
valori numerici estratti dal segnale, e si risolve
nell’esecuzione di un opportuno programma da
parte del microprocessore
9
Perché numerico
Questa struttura è estremamente flessibile, e
diverse funzioni di elaborazione possono essere
realizzate semplicemente cambiando il
programma di elaborazione (software) senza
modificare la struttura del circuito (hardware)
Questo abilita molte opzioni, tra cui
l’interoperabilità di sistemi diversi, e l’integrazione
di segnali diversi in un’unica trama di dati da
elaborare e trasmettere
L’elaborazione software abilita anche operazioni
quali criptografia, watermarking ecc. per la
tutela di sicurezza e copyright
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5
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Perché numerico
Naturalmente per tutto ciò non è sufficiente
campionare x(t); è anche necessario che i
campioni xn=x(nTc) siano rappresentati in
aritmetica finita o quantizzati (mentre
normalmente si tratta di numeri reali)
Le operazioni di campionamento e successiva
rappresentazione finita dei campioni (conversione
A/D) danno come risultato il segnale numerico
denotato come x[n]
11
Conversione D/A
Ovviamente, dopo l’elaborazione e la
trasmissione, è necessario che il segnale
numerico venga riconvertito in forma analogica
(cioè in un segnale a tempo continuo)
Ciò avviene mediante una conversione
digitale/analogica (D/A)
È necessario quindi approfondire le condizioni
sotto le quali una conversione A/D e D/A è
possibile, con buoni risultati, ovvero: il segnale
ricostruito “molto simile” al segnale di partenza
x(t)
12
6
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Conversione A/D e D/A
Obiettivo: ricostruire un segnale il più possibile
simile a x(t) dopo la catena di conversione A/D
e D/A
Nel seguito analizzeremo:
effetti del campionamento sul segnale ricostruito
effetti della quantizzazione sul segnale ricostruito
x(t )
conversione
A/D
x[n]
Conversione
D/A
x^(t )
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Conversione A/D
campionamento ideale
7
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Nel campionamento ideale, da x(t) vengono
semplicemente estratti i valori x(nTc) senza
distorsione
Questa operazione si può modellare come una
moltiplicazione di x(t) per un treno di delta di
Dirac, spaziate di un periodo Tc, per ottenere il
segnale campionato idealmente:
∞
∑ δ (t − nT )
xc (t ) = x (t ) ⋅ Tc
n =−∞
c
Tc è un fattore di normalizzazione
15
Schema a blocchi di un campionatore ideale:
x(t)
x
xc (t )
∞
Tc
∑ δ (t − nT )
n=−∞
c
16
8
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Supponiamo che x(t) sia un segnale Fouriertrasformabile e che X(f) sia la sua trasformata di
Fourier
Troviamo un’espressione per Xc(t), la trasformata
di Fourier del segnale campionato xc(t):
∞
X c ( f ) = X ( f ) ∗ ∑ δ ( f − Tnc ) =
n =−∞
=
∞
∑ X( f −
n =−∞
n
Tc
)
17
Lo spettro del segnale campionato idealmente è
una ripetizione periodica di X(f), con periodo fc =
1/Tc
X( f )
− 2 fc
− fc
X
0
c
( f )
f
fc
2 fc
18
9
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Supponiamo ora che x(t) sia a banda
strettamente limitata:
X ( f ) = 0∀ | f |> Bx < ∞
In questo caso una buona scelta di fc permette
che le repliche di X(f) non si sovrappongano nello
spettro del segnale campionato
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Se x(t) è strettamente limitato in banda a
|f|<Bx<8 , le repliche periodiche dello spettro X(f)
non si sovrappongono, a patto che
fc =
1
≥ 2 Bx
Tc
X
X(f)
0
c
( f )
fc
− fc
B = fc / 2
− Bx = − f c / 2 x
f
20
10
Teoria dei segnali
Conversione A/D
In questo caso, è possibile recuperare X(f) a
partire da Xc(f) per mezzo di un filtro passabasso
che separi X(f) dalle sue repliche periodiche
Questo significa che x(t) può essere recuperato
esattamente da xc(t) mediante un filtro
ricostruttore con risposta in frequenza
1| f |≤ f c / 2 
H( f ) = 

0
|
f
|
>
f
/
2

c

21
Rappresentazione grafica del campionamento
ideale di un segnale a banda limitata, e relativa
ricostruzione
x(t )
arg(X( f ))
X( f )
xn = x(nTc)
Tc
−Tc
t
xn = x(nTc )
Tc 2Tc
− Bx
Bx
f
Xc( f )
fc =
1 f
Tc
22
11
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Teorema di Nyquist
Sia dato un segnale x(t) strettamente limitato in
banda: X(f)=0 |f|>Bx <8
Il segnale può essere recuperato dai suoi
campioni x(nTc), senza alcuna perdita di
informazione, a patto che
fc =
1
≥ 2Bx
Tc
fc viene detta frequenza di campionamento,
ed è il reciproco di Tc, periodo di campionamento.
Si misura in campioni/s
La frequenza di campionamento minima fN = 2Bx
viene detta frequenza di Nyquist
23
Teorema di Nyquist
Nella pratica nessun segnale è rigorosamente a
banda limitata
Infatti questo comporterebbe che il segnale
debba essere illimitato nel tempo, il che non ha
rilevanza fisica
Di fatto però molti segnali sono praticamente
limitati in banda, se, al di fuori della banda di
riferimento, il loro spettro di ampiezza assume
valori trascurabili
Di fatto un piccolo tasso di distorsione ci sarà
sempre, ma se il campionamento è “buono”, esso
sarà non percettibile
24
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Teoria dei segnali
Conversione A/D
Filtro ricostruttore
x(t)
xc (t)
x
x( t )
H(f)
∞
Tc
∑ δ (t − nT )
n =−∞
c
xc ( t ) = Tc ∑ x ( nTc )δ ( t − nTc )
H( f )
()
→
c( )

→
xt
x t
Tc
−
1
1
2Tc 2Tc
25
Il filtro ricostruttore H(f) è un passabasso ideale
con banda B = fc/2 = 1/(2Tc)
La sua risposta all’impulso vale quindi
h(t ) = F −1[H ( f )] =
sin(π t / Tc )
πt
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13
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Campionamento ideale nel tempo
Traduciamo nel dominio del tempo la relazione
che lega gli spettri del segnale ricostruito x^(t) e
originario x(t), assumendo che sia soddisfatto il
criterio di Nyquist
∞
^
X ( f ) = X c ( f )H ( f ) = [ X ( f ) ∗ ∑ δ ( f − nf c )]H( f )
n =−∞
∞
^
x(t ) = [ x( t ) ⋅ Tc ∑ δ (t − nTc )] ∗ h(t ) =
n=−∞
=
∞
∑ Tc x(nTc )h(t − nTc ) =
n=−∞
∞
∑ x(nT )
n=−∞
c
∞
∑ T x(nT )δ (t − nT ) ∗ h(t ) =
n =−∞
c
sin(π t /Tc − nπ )
π t / Tc −nπ
c
c
= x (t )
27
Questa relazione si può interpretare come segue:
Se il criterio di Nyquist è rispettato, il segnale si
può ricostruire perfettamente dai suoi campioni
x(nTc), mediante un’interpolatore ideale
Le funzioni interpolatrici sono del tipo
f n (t ) =
sin(π t / Tc − nπ )
π t / Tc − nπ
, −∞ < n < ∞
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Teoria dei segnali
Conversione A/D
Rappresentazione grafica del campionamento
ideale nel dominio t: funzioni di interpolazione
ideale
x(t)
t
Tc 2Tc 3Tc
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Aliasing
Se il segnale x(t) non è strettamente limitato in
banda, non si può identificare alcuna frequenza di
campionamento sufficientemente grande da
permettere l’esatta ricostruzione di X(f) a partire
da Xc(f)
Se si ricostruisce un segnale a banda illimitata
usando un filtro ricostruttore passabasso ideale di
banda fc/2, il segnale ricostruito avrà uno spettro
affetto dalla presenza delle “code” delle repliche
periodiche
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15
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Aliasing
Questo significa che non esiste un filtro
ricostruttore in grado di ricostruire idealmente
X(f) (e quindi x(t))
Lo stesso accade se il segnale è a banda limitata,
ma viene campionato a una frequenza inferiore al
limite di Nyquist
La conseguente distorsione del segnale
ricostruito rispetto a x(t) è detta aliasing
31
Aliasing
La distorsione da aliasing è fastidiosa in quanto non
è confinata in una banda di frequenze, ma colpisce
tutta la banda del segnale
Per esempio, in applicazioni audio, l’aliasing dà
luogo a un disturbo distintamente percepibile
L’aliasing va assolutamente evitata; vedremo che si
preferisce filtrare il segnale prima di campionarlo,
riducendone la banda a priori
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16
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Aliasing per sottocampionamento
Questo è un esempio di aliasing generato da
sottocampionamento (frequenza di
campionamento troppo bassa, non rispetta il
criterio di Nyquist)
se
f c < 2Bx
Xc( f )
fc
f
ALIASING
33
Gli effetti dell’aliasing si vedono bene se si
campiona un segnale sinusoidale al di sotto della
frequenza di Nyquist (che in questo caso coincide
con il doppio della frequenza del segnale, f0)
In questo caso viene ricostruito un segnale
sinusoidale con una frequenza errata, come
esplicato dal seguente esempio
34
17
Teoria dei segnali
Conversione A/D
x ( t ) = sin2π f0t f0 = 5.5kHz
fc = 8kHz
5.5kHz
t
prima replica prima replica
a sinistra
a destra
f (kHz)
35
x ( t ) = sin2π f0t f0 = 5.5kHz
fc = 8kHz
5.5kHz
5.5kHz
t
campionamento
t
a sinistra
a destra
f (kHz)
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18
Teoria dei segnali
Conversione A/D
x ( t ) = sin2π f0t f0 = 5.5kHz
fc = 8kHz
5.5kHz
5.5kHz
campionamento
t
t
a sinistra
a destra
5.5kHz
2.5kHz
f (kHz)
ricostruzione
37
Il filtro anti-aliasing
Come accennato, i segnali fisici non sono mai a
banda strettamente limitata
Tuttavia, in pratica la maggior parte dell’energia
dei segnali fisicamente realizzabili è concentrata
in una banda (-Be,Be) (definita ad esempio come
la banda al Q% del segnale)
38
19
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Se si sceglie una frequenza di campionamento
fc=2Be, ci sarà sempre e comunque errore di
aliasing, che, anche se di energia limitata,
comporta comunque una distorsione apprezzabile
(specie in applicazioni audio-visuali)
È decisamente conveniente, prima del
campionamento, pre-filtrare il segnale in modo
da renderlo veramente a banda limitata
39
A questo fine si usa (concettualmente) un filtro
passabasso ideale di banda fc/2= Be
Questo filtro di dice filtro anti-aliasing
Si noti come esso sia identico al filtro
ricostruttore, ma venga utilizzato prima delle
successive operazioni di campionamento
40
20
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Il segnale ricostruito dopo il filtraggio antialiasing e il successivo campionamento a
frequenza fc=2Be porterà informazione solamente
sulla banda (-Be,Be)
Esso quindi non fornirà in ogni caso perfetta
ricostruzione di x(t)
Il filtro anti-aliasing introduce sul segnale
ricostruito una distorsione dovuta al troncamento
di componenti spettrali
41
Campionamento con aliasing
campionatore
x (t)
x(nT )
x (t)
c
ricostruttore
 → nT = n  →
A→
c
fc
X( f )
fc
fc
2
X A( f )
f
aliasing
42
21
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Campionamento con aliasing
filtro
antialiasing
x (t)

→
1
campionatore
H (f)
fs
2
xT(t)

→
nTc =
n
fc

→
X(f )
ricostruttore
x’(t)

→
X '( f )
f
f
Componenti spettrali soppresse
43
La distorsione dovuta al filtro anti-aliasing è più o
meno fastidiosa di quella dovuta ad aliasing?
Test soggettivi effettuati su segnali audio o video
dimostrano che la ricostruzione con filtro antialiasing è molto migliore
Infatti, essa garantisce l’identità dello spettro del
segnale ricostruito con X(f) nella banda |f| <<
fc/2. La distorsione è confinata alle alte frequenze
dello spettro di x(t), dove c’è meno sensibilità
dell’occhio o orecchio
44
22
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Oltre alla qualità soggettiva, la presenza del filtro
anti-aliasing riduce anche l’errore quadratico
medio di ricostruzione rispetto alla distorsione
dovuta all’aliasing
Per dimostrare questa affermazione, calcoliamo
quindi l’errore quadratico medio tra il segnale di
partenza x(t), illimitato in banda, e le due
ricostruzioni: x’(t) con filtro anti-aliasing e xa(t)
senza filtro anti-aliasing
45
E'=
=
∞
∞
−∞
−∞
2
2
∫ | x(t) − x '(t) | dt = ∫ | X ( f ) − X '( f ) | df =
∞
∫ [ X ( f ) − X '( f )][ X ( f ) − X '( f )] df
*
−∞
Notiamo che X’(f) = X(f) per |f|<Be,
0 altrove
Quindi
E'=
− Be
∫
−∞
∞
| X ( f ) | df + ∫ | X ( f ) |2 df
2
Be
46
23
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Ea =
∞
∫ | X( f )− X
a
( f ) |2 df =
−∞
=
− Be
∫ | X( f )|
−∞
∞
2
df + ∫ | X ( f ) | df +
2
Be
Be
∫ | X( f )− X
a
( f ) |2 df
− Be
Siccome l’ultimo integrale è definito positivo e
generalmente non nullo, data la presenza di
aliasing, si deduce che E’=Ea
Quindi l’errore quadratico medio con il filtro
anti-aliasing è inferiore a quello senza filtro
anti-aliasing
47
Conversione A/D
campionamento reale
24
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Campionamento reale
Nello schema di campionamento ideale, ci sono
diversi blocchi irrealizzabili fisicamente:
il campionatore a treno di delta di Dirac sarà
sostituito nella pratica da un treno di impulsi di
durata e ampiezza finita, fisicamente realizzabili
il filtro ricostruttore (così come quello anti-aliasing)
saranno filtri passa basso fisicamente realizzabili,
non ideali
49
Campionamento reale
Per prima cosa, verifichiamo che cosa succede
usando impulsi fisicamente realizzabili, r(t), al
posto delle delta di Dirac nella funzione di
campionamento
Eseguiamo quindi come prima operazione la
moltiplicazione del segnale a tempo continuo con
∞
Tc ∑ r (t − nTc )
n =−∞
50
25
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Campionamento reale
r(t) è il segnale elementare usato per il
campionamento reale; imponiamo come unica
condizione che il suo supporto temporale sia
τ ≤ Tc
Il fattore di normalizzazione Tc è stato introdotto
solamente per mantenere uniformità con il
campionatore ideale; si vedrà come non abbia
alcun impatto pratico
51
Campionamento reale
Nell’esempio seguente r(t) è rappresentato come
un impulso rettangolare causale di durata Tr e
ampiezza unitaria. Nella pratica la sua forma non
sarà rettangolare, di nuovo per motivi di fisica
realizzabilità
x(t)
xr (t)
x
∞
Tc
∑ r (t − nT )
c
n=−∞
52
26
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Campionamento reale
Il segnale campionato reale, xr(t), si può
esprimere come
xr (t ) = Tc
∞
∑ x(nT )r (t − nT ) =
c
c
n =−∞
= Tc
∞
∑ x (nT )δ (t − nT ) ∗ r (t ) =
c
c
n =−∞
∞
= Tc x(t ) ∑ δ (t − nTc ) ∗ r (t)
n =−∞
53
Campionamento reale
Questa espressione si può interpretare come la
cascata di un campionatore ideale e di un
filtraggio con un filtro la cui risposta all’impulso
vale h(t) = r(t)
Questa interpretazione permette di capire
velocemente l’impatto della forma dell’impulso
r(t) sulla ricostruzione del segnale a tempo
continuo
54
27
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Campionamento reale
xr (t )
x(t )
x(t )
Tc ∑δ (t − nTc )
xr (t )
1 r(t )
τ
t
n
t
Tr
t
55
Campionamento reale
xr (t )
x(t )
x(t )
xr (t )
1 r(t )
τ
t
n
Tr
t
t
t
56
28
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Campionamento reale
Lo spettro del segnale campionato reale è il
prodotto dello spettro del segnale campionato
idealmente, e di R(f) = F[r(t)]
X r ( f ) = X c ( f )R ( f ) =
∞
∑ X ( f − nf
n=−∞
c
)R( f )
57
Campionamento reale
Se r(t) è un impulso rettangolare di durata τ ≤ Tc ,
il suo spettro avrà il primo zero in corrispondenza di
f = τ1 ≥
1
Tc
= fc
Di conseguenza, nella banda [-fc,fc], R(f) non si
annulla mai
58
29
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Campionamento reale
Xr ( f )
Xc ( f )
R( f )
τ ≤ Tc
f
f
Se r(t) è un impulso rettangolare di durata τ ≤ Tc ,
il suo spettro avrà il primo zero in corrispondenza di
f = τ1 ≥
1
Tc
= fc
Di conseguenza, nella banda [-fc,fc], R(f) non si
annulla mai
59
Se r(t) non è un impulso rettangolare, ma
smussato per motivi di fisica realizzabilità, il suo
spettro non avrà comunque zeri prima della
frequenza f=1/t
Il segnale x(t) si può quindi ricostruire da xr(t)
usando un filtro ricostruttore sagomato:
 R (1f ) per | f |≤ f2c 
Hr ( f ) = 

fc
 0 per | f |> 2 
60
30
Teoria dei segnali
Conversione A/D
x(t )
1
r (t )
τ
xr (t )
t
1 H( f ) x(t )
− 1 Tc
2
1 R( f )
x(t )
f
f
1 T
2 c
n
CAMPIONATORE
RICOSTRUTTORE
61
x(t )
1
r (t )
τ
xr (t )
t
1 H( f ) x(t )
1 R( f )
f
x(t )
f
− 1 Tc 1 Tc
2
2
n
CAMPIONATORE
t
CAMPIONATORE
REALE
RICOSTRUTTORE
t
Hr ( f )
t
f
62
31
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Campionamento sample-hold
Si tratta di un caso particolare: r(t) rettangolare
causale, t =Tc
Il pratica il valore del segnale nel punto nTc viene
mantenuto costante fino al successivo istante di
campionamento (n+1)Tc
τ = Tc
t
63
Vediamo com’è in questo caso il filtro
ricostruttore:
R( f ) =
sin(2π fTc ) jπ fTc
e
πf
πf

− jπ fTc
 sin(2π fTc) e

Hr ( f ) = 


0


fc 
| f |≤
2


fc 
| f |>
2
64
32
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Questa funzione non ha alcun polo entro la
banda di interesse, quindi non crea alcun
problema progettuale
65
Conversione A/D
quantizzazione
33
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Quantizzazione
Come accennato, la conversione A/D prevede
anche la quantizzazione
Infatti, i numeri che derivano dal campionamento
sono in genere reali, e anche una loro
rappresentazione in floating point (32 bit) è
eccessivamente onerosa per la maggior parte
delle applicazioni
È quindi necessario attribuire ai campioni una
rappresentazione in fixed point (per esempio 8
bit/campione)
67
Quantizzazione
Rappresentazione grafica della catena di
conversione A/D completa
x(t )
Filtro
Antialising
Ha ( f )
xA (t )
xc (t )
Sample &
hold
Ora ci focalizziamo su
questo blocco
Quantizzatore
xq (t )
Q( x )
S H
xq (t)
xc (t)
Ts
t
t
68
34
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Quantizzazione
Quantizzare un campione significa approssimarne
il valore in modo che sia rappresentabile come
numero intero in [0,2R-1]
5
4
3
2
1
0
t
69
Quantizzazione scalare
Un quantizzatore scalare su R bit codifica ogni
singolo campione di ingresso x ? (-∞,+ ∞) in un
insieme discreto di L=2R possibili valori [0,2R-1]
Ciò richiede R bit/campione per la codifica (rate
del quantizzatore)
Il bit rate per un segnale campionato a
frequenza fc vale Rb=R fc bit/s
Il quantizzatore si dice scalare perché i campioni
sono quantizzati singolarmente
70
35
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Dequantizzazione scalare
La dequantizzazione trasforma i numeri interi
in [0,2R-1] in valori reali
Si noti come solamente L=2R valori in (-∞,+ ∞)
possano essere rappresentati
Contrariamente al campionamento, la
quantizzazione genera quindi perdita di
informazione irreversibile
71
Notazione
Vediamo ora, sotto semplici ipotesi di partenza,
come si analizzano le prestazioni di un
quantizzatore scalare
Per questo, innanzitutto dobbiamo stabilire una
notazione congruente che verrà usata nella
successiva trattazione analitica
72
36
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Notazione
x = campione di ingresso
x* = versione quantizzata di x
q = x - x* = errore di quantizzazione
R = rate (bit/simbolo)
L = numero di intervalli di quantizzazione
? k = larghezza del k-esimo passo di
quantizzazione
xk = soglie di decisione del quantizzatore
yk = rappresentanti o valori di ricostruzione
var(x) = varianza di x
73
Notazione
L’asse reale è diviso in L=2R intervalli Ik,
k=1,…,2R di cui le soglie xk sono gli estremi
Se l’ampiezza del campione x cade in Ik, x è
rappresentata dall’indice k
In dequantizzazione, ogni indice k è associato a
un valore di ricostruzione yk
Ik
xk-1
xk
xk+1
74
37
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Notazione
L’asse reale è diviso in L=2R intervalli Ik,
k=1,…,2R di cui le soglie xk sono gli estremi
Se l’ampiezza del campione x cade in Ik, x è
rappresentata dall’indice k
In dequantizzazione, ogni indice k è associato a
un valore di ricostruzione yk
Ik
yk-1
xk-1
yk
xk
xk+1
75
Notazione
Un quantizzatore scalare è specificato da
Rate R
L+1 valori x k, k=1,…,L+1, che identificano L
intervalli IK, k=1,…,L (tipicamente x1 =-∞ e
xL+1=+∞)
Il dequantizzatore è specificato dai valori di
ricostruzione yk, k=1,…,L
La funzione y=Q(x) è detta caratteristica del
quantizzatore
76
38
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Quantizzatore uniforme
Nella quantizzazione scalare uniforme, tutti gli
intervalli hanno la stessa ampiezza:
xk+1-xk=∆ e yk+1-yk=∆ per ogni k
Si può dimostrare che i valori di ricostruzione
ottimi, ovvero quelli per cui il segnale
dequantizzato y è massimamente simile a x nel
senso dell’errore quadratico medio (MSE), sono i
punti centrali degli intervalli:
yk=(xk+ xk+1)/2
77
Quantizzatore uniforme
Caratteristica di un quantizzatore scalare
uniforme
Segnale quantizzato
y=x*=Q(x)
yk
yk-1
∆
xk xk+1
Segnale x originale
78
39
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Rumore di quantizzazione
Per un segnale di ingresso deterministico, anche
l’errore di quantizzazione q=x-y=x-x* =x-Q(x) è
a sua volta un segnale deterministico
Se invece il campione x è modellato come una
variabile casuale X, ogni campione di errore q è a
sua volta una variabile casuale Q, detta rumore
di quantizzazione
79
Rumore di quantizzazione
Rumore di sovraccarico
(overload): avviene
quando |x| > xL+1
Overload
xL+1
Granularità
x1
t
Rumore granulare: tutti
i valori dell’intervallo Ik
sono rappresentati con
l’unico rappresentante
yk
80
40
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Metrica di qualità
Le prestazioni di un quantizzatore si valutano
normalmente in termini dell’errore quadratico
medio dell’errore di ricostruzione, E[Q]
Si definisce
SNR=E[X2]/E[Q2] = var(X)/var(Q)
SNR = rapporto tra potenza del segnale e
potenza del rumore di quantizzazione (signal to
noise ratio)
81
SNR
In figura vediamo un tipico andamento di SNR in
funzione della varianza del campione di ingresso
Al crescere di E[X2] inizialmente SNR cresce
Oltre una certa soglia invece, SNR diminuisce in
quanto aumenta l’errore dovuto a sovraccarico
SNR
Granularità
Sovraccarico
E[x2]
82
41
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Calcolo di SNR
X sia una variabile casuale a media nulla,
varianza var(X)=E[X2] e pdf pX(x)
L’ uscita del quantizzatore, Y, è a sua volta una
variabile casuale
L’errore di quantizzazione Q=X-Y è una variabile
casuale con pdf pQ(q) e varianza var(Q):
+∞
var(Q) = var( X − Q( X ) = E[Q 2 ] = ∫ q 2 pQ ( q)dq
−∞
83
Calcolo di SNR
var(Q) si può scrivere separando i contributi dei
singoli intervalli Ik
L
var(Q) = ∑ ∫
k =1
x k +1
xk
[ x − yk ]2 p X ( x)dx
84
42
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Esempio di calcolo
Ipotesi semplice: Quantizzazione uniforme di
ingresso limitato
x ? (-A,A); non c’è sovraccarico
passo di quantizzazione uniforme: ∆=2A/2R
Q ? (–∆/2,∆/2)
∆ è sufficientemente piccolo da poter ipotizzare
che l’errore di quantizzazione abbia pdf uniforme in
(–∆/2,∆/2) (ipotesi di alto rate)
di conseguenza: var(Q)=∆2/12 =1/3 A 2 2-2R
questa formula lega la distorsione al rate R
85
Esempio di calcolo
Facciamo alcune considerazioni sull’andamento
di SNR=var(X)/var(Q) sapendo
che var(Q)= ∆2/12 =1/3 A2 2-2R
1. SNR diminuisce quadraticamente con ∆
2. SNR aumenta esponenzialmente con R
3. Un bit di quantizzazione in più à var(Q)
diminuisce di un fattore 4 à SNR aumenta di
6 dB
86
43
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Commento
Per un quantizzatore scalare uniforme, nell’ipotesi
di alto rate e assenza di sovraccarico, l’aumento
di 1 bit/campione comporta un miglioramento di
6 dB in SNR
Naturalmente una valutazione meno
approssimata della bontà del quantizzatore
richiede la conoscenza della densità di probabilità
del segnale di ingresso
Uno studio dettagliato degli effetti della
quantizzazione esula dagli scopi del corso
87
Quantizzazione ottima
La scelta di un quantizzatore uniforme, per
quanto semplice, non è generalmente ottima
Intuitivamente, sarebbe meglio definire intervalli
di quantizzazione più piccoli nelle regioni dove il
campione di ingresso assume valori con alta
probabilità, e intervalli più ampi nelle regioni dove
è poco probabile trovare il segnale di ingresso
88
44
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Quantizzazione ottima
Il quantizzatore ottimo (o di Lloyd-Max) usa
informazioni sulla pdf delle ampiezze del
campione di ingresso per ottimizzare l’ampiezza
degli intervalli di quantizzazione, e la scelta dei
rappresentanti
Il quantizzatore ottimo, pur fornendo risultati
eccellenti in termini di SNR, comporta un
progetto complesso e fortemente dipendente
dalla statistica dell’ingresso
Le sue prestazioni degradano se tale statistica
cambia
89
Quantizzazione vettoriale
Anche quantizzare ogni singolo campione in
isolamento non è una scelta ottima
Infatti, se più campioni vengono quantizzati
insieme, è possibile sfruttare la correlazione
eventualmente presente per conseguire
un’ottimizzazione dei livelli e dei rappresentanti
del quantizzatore (quantizzazione vettoriale)
90
45
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Quantizzazione vettoriale
Anche in assenza di tale correlazione, una
quantizzazione vettoriale comporta comunque un
vantaggio di prestazioni, in quanto consente
migliori tassellazioni operando in uno spazio
multidimensionale
La quantizzazione vettoriale, specie se a alto
numero di dimensioni, è un’operazione a elevata
complessità
91
Conversione A/D
Esempi
46
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Esempi di conversione A/D
Concludiamo questa lezione con alcuni esempi di
conversione A/D di importanti categorie di segnali
Per ciascuna categoria, valuteremo il bit rate che
deriva da un campionamento adeguato e da una
quantizzazione scalare dei campioni
93
Esempio 1: segnale telefonico
Il segnale vocale ha una banda di circa 20kHz
Questa banda può essere tagliata a Bx ~ 4kHz,
con una degradazione della qualità accettabile
per applicazioni di telefonia (qualità telefonica)
Vediamo quindi il bit rate necessario per
convertire un segnale telefonico in formato
numerico
94
47
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Esempio 1: segnale telefonico
Frequenza di campionamento: fc=8KHz
Dal segnale vengono prelevati 8 kcampioni/s
Ogni campione viene quantizzato su R=8
bit/campione
Il bit rate risultante è dunque
Rb=64 kbit/s
95
Esempio 2: segnale audio
Il segnale audio (qualità CD) ha una banda di
circa 20kHz
Con un leggero sovracampionamento, si
campiona tale segnale a fc= 44.1 kcampioni/s
La quantizzazione avviene su R=16 bit/campione
Ne risulta un bit rate pari a
Rb = 1.4112 Mbit/s
96
48
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Esempio 3: segnale video
Il segnale video in uscita da una telecamera ha
una componente di luminanza L(t) e due
componenti di crominanza c1(t) e c2(t)
La luminanza viene campionata a
fcL=13.5
Mcampioni/s, mentre le crominanze a fcc=6.75
Mcampioni/s (normativa CCIR-602, segnale 4:2:2
senza compressione)
Sia la luminanza che le crominanze vengono
quantizzate su R= 8 bit/campione
97
Esempio 3: segnale video
Da questi dati si deduce come il segnale video
richieda un bit rate pari a
Rb=108 Mbit/s + 2*54Mbit/s =216Mbit/s
Questo bit rate, enormemente elevato, viene
drasticamente ridotto se si applicano tecniche di
compressione dati
Con compressione dati si può rappresentare il
segnale video a bit rate di appena 4 Mbit/s
98
49
Teoria dei segnali
Conversione A/D
Riepilogo (1/2)
La conversione A/D permette di convertire il
segnale analogico x(t) in una sequenza di numeri
La conversione A/D consta di campionamento e
quantizzazione
Il teorema di Nyquist sancisce che, per segnali a
banda limitata campionati a frequenza almeno
pari al doppio della banda, l’operazione di
campionamento non implica perdita di
informazione
99
Riepilogo (2/2)
La quantizzazione implica perdita irreversibile di
informazione, e quindi distorsione tra il campione
di ingresso e quello ricostruito
La qualità del quantizzatore si misura in termini
del rapporto segnale-rumore di quantizzazione
(SNR)
Come regola approssimata, aumentando di 1 il
rate del quantizzatore (R bit/campione) SNR
aumenta di 6 dB
La quantizzazione può essere uniforme o ottima
(Max-Lloyd), scalare o vettoriale
100
50

Lezione 4: Conversione A/D Conversione A/D

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