Sviluppo in serie di Fourier - IIS "Crocetti

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Istituto Tecnico Industriale “Vincenzo Cerulli” - via Gramsci , Giulianova
Dipartimento di Elettrotecnica e Automazione – Laboratorio di Sistemi Automatici
“Istruire non significa riempire un secchio, ma cercare di accendere un fuoco”
William Butler Yeats
Sviluppo in Serie di FOURIER
e
Ricostruzione di Segnali Periodici
Analisi Numerica in Ambiente di Programmazione Bidimensionale Agilent HP VEE
Unità d’Innovazione Didattica
Sviluppo in Serie di FOURIER e Ricostruzione di Segnali Periodici
Unità d’Innovazione Didattica - Prof. Piero Nardi
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1. Sulle motivazioni del progetto didattico
E’ paradossale che la diffusione del calcolatore negli istituti d’istruzione secondaria superiore
non abbia portato all’impiego diffuso di alcune classiche tecniche matematiche specialmente utili
nella totalità delle discipline scientifiche. Il paradosso è nella constatazione di come tali speciali
strategie matematiche, formulate dai grandi matematici del passato (particolarmente produttivi
sono stati il XVIII e il XIX secolo), siano rimaste appannaggio dei soli esperti nell’arte matematica
a motivo di talune difficoltà di calcolo che sono da considerare, oggi, totalmente superate con
l’impiego del calcolatore e delle tecniche di analisi numerica.
Le straordinarie peculiarità dell’ambiente di programmazione bidimensionale Agilent HP VEE
consentono di avviare nelle scuole secondarie superiori il processo per l’acquisizione di una nuova
cultura dell’uso del mezzo matematico basato sulla la sperimentazione.
Gli effetti dell’impiego in ambiente numerico di strategie matematiche apparentemente
complesse renderanno immediatamente percepibili sia la potenza e che l’importanza delle stesse.
Da qui, la scintilla che porterà i giovani utenti a desiderare, e perfino ad amare, l’impiego del
mezzo matematico per una migliore formazione professionale.
2. Serie di Fourier e formule di Eulero
Sia f(t)
una funzione del tempo, periodica di periodo T. Vale l’equazione seguente per
qualsiasi intero n:
f(t+n*T) = f(t)
Il numero T è il periodo della funzione f(t). Joseph Fourier (1768-1830) ha dimostrato che la
funzione f(t) può essere effettivamente ricostruita come somma di una infinità funzioni elementari
caratterizzate tutte dall’essere del tipo sinusoidale e dall’avere ognuna un’ampiezza diversa da tutte
le altre e un periodo che, pur diverso l’uno dall’altro, risulta sempre un multiplo intero del periodo
T della funzione periodica f(t) .
Lo sviluppo in serie di Fourier consente di ricostruire la funzione secondo la serie matematica
espressa nella relazione:
f(t)=a0 + [ an*cos(n*2*/T*t) + bn*sin(n*2*/T*t) ]
(1)
I termini an e bn , nella equazione (1), rappresentano le ampiezze delle funzioni elementari
di tipo cosinusoidale e sinusoidale, mentre i termini (n*2*/T*t) corrispondono agli argomenti
delle medesime funzioni elementari e la sommatoria si deve intendere estesa a tutta la infinità di
interi n=0, 1,2,3,…….,i,………….
L’equazione (1) , in forma esplicita, così apparirebbe:
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f(t)=a0+a1*cos(1**2*/T*t)+b1*sin(1**2*/T*t)+a2*cos(2*2*/T*t)+b2*sin(2*2*/T*t)+a3*c
os(3*2*/T*t)+b3*sin(3*2*/T*t)+a4*cos(4*2*/T*t)+b4*sin(4*2*/T*t)+a5*cos(5*2*/T*t)+
b5*sin(5*2*/T*t)+…………………… (2)
Il termine a0 è una costante e corrisponde al valore medio della funzione periodica f(t); può
essere positivo o negativo e vale zero solo se la funzione f(t) è a valore medio nullo.
a1*cos(1*2*/T*t)+b1*sin(1*2*/T*t) rappresenta la prima armonica, di cui
La somma
a1*cos(1*2*/T*t)
ne costituisce la componente cosinusoidale e b1*sin(1*2*/T*t) la
componente sinusoidale.
La somma a2*cos(2*2*/T*t)+b2*sin(2*2*/T*t) costituisce la seconda armonica, di cui
a2*cos(2*2*/T*t)
ne rappresenta la componente cosinusoidale e b2*sin(2*2*/T*t)
la
componente sinusoidale.
La
a3*cos(3*2*/T*t)+b3*sin(3*2*/T*t)
somma
a3*cos(3*2*/T*t)
è
la
terza
armonica,
ne è la componente cosinusoidale e b3*sin(3*2*/T*t)
di
cui
la componente
sinusoidale.
E così di seguito, per una infinità di termini. Fourier ha dimostrato che i termini a0 , an e bn
possono essere determinati con le seguenti formule (3):
a0=1/T*integrale[ f(t)*dt ]
integrale esteso da: -T/2 a +T/2
an=2/T*integrale[ f(t)*cos(n*2*/T*t)*dt ]
bn=2/T*integrale[ f(t)*sin(n*2*/T*t)*dt ]
con n=1,2,3,4,5,……,n,…..
note come formule di Eulero.
L’infinito matematico è solo uno “sfuggevole concetto” e nella pratica non sarà mai possibile
produrre alcuna somma di infiniti termini. Ci si dovrà accontentare di sommare un numero limitato
di componenti armoniche. Tuttavia l’uso del calcolatore permettere di sommare un numero
comunque elevato di armoniche, numero limitato solo dal tempo a disposizione per giungere ai
risultati e dalle prestazioni del sistema di calcolo. Si avrà modo, comunque, di sperimentare che
nella maggior parte dei casi la riproduzione della funzione periodica f(t)
potrà giudicarsi
soddisfacente anche con un limitato numero di armoniche.
Le sezioni seguenti illustreranno dettagliatamente la sequenza di passi necessari per
determinare, in ambiente di programmazione bidimensionale Agilent HP VEE, i valori
da
assegnare alle ampiezze delle diverse componenti cosinusoidali e sinusoidali delle armoniche e le
tecniche per riprodurre la funzione data attraverso la somma delle diverse componenti.
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Per quanto attiene alle caratteristiche di periodicità della funzione f(t) e delle armoniche, è
prassi fare riferimento alle frequenze, o alle pulsazioni, anziché al periodo della funzione e ai
periodi delle armoniche. Così,
f=1/T è la frequenza della funzione f(t) e  =1/f
ne indica la
pulsazione. Allo stesso modo n*2**(1/T) ovvero n*2**f ovvero n* indica la pulsanzione
delle componenti cosinusoidali e sinusoidali della n_esima armonica. Le componenti della
armonica n_esima sono quelle la cui frequenza risulta n volte la frequenza del segnale f(t) da
ricostruire.
Le formule di Eulero possono essere così riscritte:
a0=1/T*integrale[ f(t)*dt ]
integrale steso da: -T/2 a +T/2
an=2/T*integrale[ f(t)*cos(n**t)*dt ]
bn=2/T*integrale[ f(t)*sin(n**t)*dt ]
con n=1,2,3,4,5,…………………..
3. L’integrale definito calcolato per via numerica
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Le immagini riportate nelle Figura_1 e Figura_2 illustrano due trame minime per la
valutazione degli integrali definiti:
integrale[ sin(x)*dx ]
esteso da 0 a 
integrale[ cos(x)*dx ]
esteso da 0 a 
L’operatore sceglie la funzione da integrare, sin(x) oppure cos(x) , per intervento diretto
sull’oggetto tipo SelectionControl. L’oggetto Formula denominato funzione_da_integrare riceve
sia il segnale relativo alla espressione matematica della funzione attraverso il morsetto d’ingresso
denominato formula, sia una collezione di 256 valori della variabile indipendente per tramite il
morsetto d'’ngresso x. I valori della variabile indipendente sono organizzati in una struttura ad
Array1D prodotta dall’oggetto Formula denominato ramp(256, limite inferiore, limite superiore.
Viene qui impiegata la funzione di libreria ramp(numElem,start,stop) per produrre un segnale
(Data) del tipo (type) Real con organizzazione (shape) ad Array1D composto di 256 elementi
(parametro numElem) linearmente crescenti dal valore minimo 0 (parametro start) al valore
massimo  (parametro stop).
Ogni funzione matematica, come è noto, agisce su un argomento. L’argomento deve avere
determinate caratteristiche per essere “trattato” dalla funzione prescelta; le funzioni log10(x)
oppure ln(x), ad esempio, non possono “trattare” argomenti negativi. Quì l’argomento della
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funzione ramp(……..) è composto di tre parametri che devono assegnare, nell’ordine: il numero di
elementi componenti l’Array1D (il size dell’Array1D) , il valore assegnato al primo elemento
dell’Array1D (quello di indirizzo 0), il valore assegnato all’ultimo elemento dell’Array1D (quello
di indirizzo numElem-1). In tutte le strutture di dati ad Array, ad una dimensione (vettori) o a più
dimensioni (matrici), gli elementi componenti sono indirizzati a partire dall’intero 0 (zero). E’
stata questa la scelta della Hewlett&Packard e della Agilent Technologies; altre multinazioni,
quali la IBM, iniziano l’indirizzamento dall’intero 1 (uno).
L’oggetto Formula denominato funzione_da_integrare si attiva quando sui morsetti d’ingresso
(Input Pins) sono presenti entrambi i segnali. Conseguenza della ”messa in moto” è l’emissione
dal morsetto d’uscita Result (Default Output Pin) un Array1D di 256 elementi corrispondenti ai
valori che la funzione da integrare, sin(x) oppure cos(x), assume in corrispondenza di ogni valore
campionato dell’ascissa nell’intervallo 0---------.
L’oggetto Build_Coord riceve ai morsetti d’ingresso gli Array1D di reali relativi ai valori
dell’ascissa e a quelli della funzione, li organizza e li emette in uscita, dal morsetto Coord, sotto
forma di segnale (Data) del tipo (Type) Coord strutturato (Shape) ad Array1D. L’oggetto
Build_Coord organizza i dati d’ingresso in coppie di valori ognuna composta da un valore
dell’ascissa e dal corrispondente valore della ordinata ovvero del valore che la funzione ha assunto
in corrispondenza di quell’ascissa. In definitiva, dall’oggetto Build Coord vengono emesse 256
coppie di valori reali organizzati in una struttura di dati indirizzabili del tipo Array1D.
L’oggetto Formula denominato defintegral (f(x), limite inferiore, limite superiore) utilizza la
funzione di
libreria defintegral(x,a,b)
per il calcolo dell’integrale definito. Nella
parametrizzazione di default i tre parametri della funzione defintegral(x,a,b)
indicano
rispettivamente la funzione da integrare (x), il limite inferiore (a) e quello superiore (b)
dell’intervallo d’integrazione. Nei casi specifici in esame, l’istruzione all’interno dell’oggetto
Formula appare come defintegral(array,0, ). Il risultato dell’integrazione è un numero reale che
viene visualizzato su un Alphanumeric display. L’oggetto del tipo XvsY_Plot visualizza, in verde,
l’area sottesa dalla funzione che corrisponde al valore dell’integrale definito.
4. La funzione periodica da riprodurre
Lo sviluppo in serie di Fourier permette la ricostruzione di qualsiasi funzione periodica come
somma di armoniche di tipo cosinusoidale e sinusoidale. Le espressioni (1), (2), (3) mostrano che è
necessario, per la determinazione dei valori da assegnare alle ampiezze delle diverse componenti
armoniche, disporre della funzione f(t) da riprodurre. La soluzione non numerica esigerebbe la
conoscenza dell’espressione della funzione f(t) . Per praticare la via numerica saranno ugualmente
utili sia la conoscenza dell’espressione della f(t) sia una collezione adeguata di valori assunti dalla
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funzione in corrispondenza di ascisse note. In quest’ultimo caso sarà necessario di disporre di tante
coppie di valori, ascisse e ordinate, in un intervallo della variabile indipendente pari, almeno, ad un
periodo della funzione che si vuole ricostruire
con l’impiego di componenti armoniche
cosinusoidali e sinusoidali.
La libreria Agilent HP VEE dispone di un oggetto Function_Generator per la produzione di
segnali periodici canonici del tipo Sine, Cosine, Square, Tri, +Ramp, -Ramp (ovviamente in forma
numerica).
In Figura_3 è riportata una trama per la produzione e visualizzazione di un segnale sinusoidale,
esteso ad un periodo, mediante 32 campioni indirizzati da 0 a 31. I valori delle ordinate sono
mostrati sull’Alphanumeric_display. Il segnale prodotto dal Function_Generator è del tipo
Waveform con struttura ad Array1D e mappings lineare da 0 a 20.6452E-3 per l’associazione dei
valori corrispondenti delle ascisse.
Per le immagini di Figura_4, Figura_5, Figura_6, Figura_7, Figura_8 valgono considerazioni
analoghe in riferimento alla produzione e visualizzazione di segnali del tipo Cosine, Square, Tri,
+Ramp e –Ramp rispettivamente.
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Il numero di campioni del segnale canonico è stato volutamente limitato a 32 per consentire la
lettura di tutti i valori sull’oggetto Alphanumeric_display. Tanto maggiore è il numero di campioni
con cui si riproduce un periodo della funzione nota tanto più la “approssimazione numerica” del
segnale si avvicina al segnale analogico. Il numero di campioni è limitato solo dalla precisione
fissata nel progetto di calcolo automatico, dalle prestazioni hardware del sistema e dai tempi
ammissibili
per la produzione dei risultati. Anche quando il tracciato sul display del tipo
Waveform (Time) apparirà continuo, in realtà di tratta della rappresentazione di un segnale
discreto e, perciò, con un numero limitato di stati o livelli. Le due immagini seguenti di Figura_10
rendono chiaro quanto appena affermato. Si riferiscono entrambe ad un stesso segnale. Nella prima
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è stato visualizzato l’intero tracciato riferito ad un periodo mentre nella seconda sul display
Waveform(Time) appare il risultato di una forte zoomata.
5. Le componenti della prima armonica
Verrà qui illustrato il procedimento per determinare le ampiezze delle componenti
cosinosuidale e sinusoidale della prima armonica con impiego delle formule di Eulero. La
Figura_11 è una delle possibili trame che assolvono allo scopo. E’ un programma strutturato in
quanto utilizza uno UserObject (sottoprogramma) denominato Calcola Ampiezze Armoniche.
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Uno UserObject non è un componente della libreria di default bensì un programma realizzato
dall’utente per assolvere ad uno scopo preciso e limitato. E’ stato costruito per determinare le
ampiezze delle componenti di un numero qualsiasi di armoniche ma viene qui impiegato per
calcolare solamente le ampiezze delle componenti della prima armonica.
L’organizzazione interna dello UserObject Calcola Ampiezze Armoniche è mostrata nella
successiva immagine di Figura_12 . I morsetti d’ingresso f , c , s sono dedicati alla ricezione
delle informazioni tipo Waveform (type: Waveform, shape:Array1D, con mappings) relative alla
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funzione f(t) da riprodurre, alla componente cosinusoidale e a quella sinusoidale, rispettivamente,
di ampiezze unitarie e frequenze pari a quella della f(t). La comprensione della trama di Figura_11
è immediata:

il segnale da riprodurre, del tipo +Ramp a frequenza 50 Hz, è generato dal
Function_Generator denominato segnale_f(t)_da_riprodurre

la componente cosinusoidale di ampiezza unitaria e frequenza 50 Hz, è generata dal
Function_Generator denominato COSINE

la componente sinusoidale di ampiezza unitaria e frequenza 50 Hz, è generata dal
Function_Generator denominato SINE

i precedenti tre segnali del tipo Waveform (type: Waveform, shape:Array1D, con mappings)
vengono trasmessi ai morsetti f , c , s dello UserObject Calcola_Ampiezze_Armoniche che li
elabora ed emette in uscita, ai morsetti
ac
ed
as,
due segnali tipo Real (type:Real,
shape:Scalar) corrispondenti alle ampiezze delle componenti cosinusoidali e sinusoidali
rispettivamente, della prima armonica (quella di frequenza 1*50 Hz) e calcolate attraverso
l’integrazione delle formule di Eulero.
L’organizzazione interna dello UserObject Calcola_Ampiezze_Armoniche permette di
comprenderne la logica:

gli oggetti UnBuild_Waveform_f , UnBuild_Waveform_c , UnBuild_Waveform_s convertono
i segnali tipo Waveform (type: Waveform, shape:Array1D, con mappings) in segnali tipo
Real(type: Real, shape:Array1D, con mappings)

l’oggetto Formula_1 produce i segnali y1 ed y2 corrispondenti, rispettivamente, al prodotto
delle ordinate della funzione da riprodurre f(t) per quelle della componente cosinusoidale di
ampiezza unitaria e al prodotto della medesima f(t) per le ordinate della componente
sinusoidale di ampiezza unitaria

l’oggetto formula denominato ramp(numElem,start,stop) impiega la funzione ramp( , , )
per produrre un Array1D di valori dell’ascissa temporale composto da 256 elementi indirizzati
da 0 a 255 e crescenti linearmente dal valore minimo (start) 0 al valore massimo (stop)
20.0784E-3.

gli oggetti Build_Coord_f1 e Build_Coord_f2 ricevono in ingresso gli Array1D realtivi alle
ascisse di campionamento e alle ordinate delle funzioni y1 e y2 rispettivamente e producono i
segnali del tipo Coord con struttura ad
Array1D
necessari per eseguire l’operazione
successiva di integrazione definita
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
l’oggetto Formula_2 calcola le ampiezze delle componenti cosinusoidale e sinusoidale della
prima armonica, ne associa i valori alle due variabili localmente create ac ed as e li mette a
disposizione ai morsetti d’uscita.
6. Armoniche in numero qualsiasi
La procedura per la determinazione delle ampiezze delle componenti cosinusoidale e
sinusoidale di un numero qualsiasi di armoniche è la naturale estensione della trama precedente. E’
solo necessario specificare il numero di armoniche e predisporre un algoritmo iterativo affinché la
procedura di Figura_11 venga rielaborata, in modo automatico, per ogni frequenza multipla di
quella della funzione da riprodurre f(t), fino alla armonica di ordine massimo prestabilito.
La Figura_13 riproduce il programma per la determinazione delle ampiezze delle componenti
COSINE e SINE di dieci armoniche, dalla frequenza minima 50 Hz alla massima 500 Hz. Il
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For_Range è uno degli oggetti utilzzabili per il controllo iterativo di una trama logica. Quando
viene attivato emette in uscita, uno alla volta, dieci scalari reali, da 1 fino a 10 con passo 1. Ogni
volta che il For_Range emette uno scalare, a partire dal primo, l’evento attiva l’intera trama di
oggetti che al controllore di flusso è relazionata e il For_Range emetterà il prossimo scalare solo
dopo che il flusso logico della trama si è compiuto.
Alla prima attivazione il For_Range emette lo scalare 1 e viene completato il calcolo delle
ampiezze delle due componenti dell’armonica di frequenza 50 Hz. Segue la seconda attivazione del
For_Range con l’emissione dello scalare 2 e il conseguente calcolo delle ampiezze delle due
componenti della seconda armonica di frequenza 100 Hz. Quindi la terza attivazione del
For_Range determina il calcolo delle ampiezze delle componenti della terza armonica di frequenza
150 Hz. Così di seguito fino alla decima riattivazione, quando verranno calcolate le ampiezze
relative alle componenti della decima armonica di frequenza 500 Hz.
Il numero di armoniche è stato qui limitato a 10 solo per permettere la visualizzazione delle
frequenze e delle ampiezze delle componenti sui display del tipo Logging_Alphanumeric.
Si può osservare come la trama di Figura_13 discenda da una modesta variante eseguita su
quella di Figura_11. Nell’immagine successiva di Figura_14, le ampiezze delle componenti
cosinusoidale e sinusoidale delle armoniche sono riportate, anziché sui Logging_Alphanumeric, su
due diversi visualizzatori del tipo Xvs.Y_Plot a formare i relativi spettri di ampiezza. Si nota che le
ampiezze delle componenti sinusoidali sono molto più elevate di quelle delle componenti
cosinusoidali e questo particolarmente per le armoniche di più bassa frequenza. Perciò, nella
ricostruzione del segnale f(t) la somma delle componenti cosinusoidali avrà una rilevanza molto
minore rispetto alle altre. Ogni vertice dei due tracciati è determinato dalle coordinate della
frequenza e dell’ampiezza della componente armonica.
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7. Il contributo delle componenti cosinusoidali e sinusoidali
Nella ricostruzione della funzione periodica f(t), i contributi delle componenti di tipo COSINE
e SINE sono generalmente molto diversi. Lo sviluppo in serie di Fourier afferma che nella
ricostruzione delle funzioni di tipo dispari sono le componenti SINE a contribuire maggiormente
mentre nella ricostruzione delle funzioni di tipo pari sono le componenti COSINE a svolgere il
ruolo primario.
Una funzione f(t) si dice dispari quando risulta f(t) = -f(-t), mentre si dice pari quando risulta
risulta f(t) = f(-t). La funzione Sine(*t), tracciata nell’intervallo - <= *t <= + va considerata
dispari, mentre la funzione Cosine(*t), nello stesso intervallo, deve ritenersi pari, così come
evidenziato nell’immagine successiva di Figura_15.
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8. La somma delle componenti armoniche
E’ necessario ampliare la trama di calcolo per realizzare la somma delle componenti
cosinusoidali e sinusoidali di tutte le armoniche. La procedura di Figura_16 calcola le ampiezze
delle componenti cosinusoidali e sinusoidali di dieci armoniche e mostra i risultati su una serie di
visualizzatori del tipo Waveform(Time).
Ancor prima di spiegare nel dettaglio la parte di algoritmo che permette di sommare le
componenti armoniche, si vuole fare qualche osservazione sui diversi tracciati. Sul primo
visualizzatore è riprodotto un periodo del segnale f(t) , del tipo +Ramp, da riprodurre. Sul secondo
Waveform(Time) appare il tracciato derivante dalla somma delle sole componenti cosinusoidali
delle dieci armoniche; si nota che le ampiezze di picco (positivo e negativo) ammontano a 7.36m e
26.14m, rispettivamente. Poiché il segnale f(t) ha ampiezza unitaria, appare immediato riconoscere
che i contributi millesimali delle componenti cosinusoidali avranno un peso molto ridotto nella
ricostruzione. Al contrario, sul successivo visualizzatore emerge che il tracciato derivante dalla
somma delle componenti riproduce abbastanza fedelmente il tracciato della funzione f(t) sia nella
forma che nell’ampiezza.
Abbiamo una prima conferma strumentale alla teoria di Fourier: il segnale f(t) da riprodurre è
del tipo dispari e solo le componenti sinusoidali (funzioni del tipo dispari) contribuiscono
efficacemente alla ricostruzione.
Se il numero di armoniche fosse stato più elevato, l’aderenza tra il segnale originario e quello
ricostruito sarebbe stata ancora più evidente, così come mostrato nelle immagini riportate in
Figura_17.
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9. Un algoritmo con retroazione
La ricostruzione della funzione data f(t) avviene attraverso la somma di un prefissato numero
di armoniche, ognuna composta di una componente di tipo COSINE ed una di tipo SINE di
ampiezze diverse e con frequenze multiple della fondamentale. La Figura_18 è relativa alla
stralcio dei soli oggetti dedicati alla ricomposizione della funzione f(t) attraverso la somma delle
armoniche, come è evidente a motivo del fatto che al alcuni morsetti d’ingresso di taluni oggetti
non giunge alcun collegamento per la ricezione dei segnali.
Il For_Range scandisce l’ordine dell’armonica e la restante parte della trama, quella non
riportata in Figura_18, calcola i valori delle ampiezze per le componenti cosinusoidale e
sinusoidale. Tali valori, insieme a quello della frequanza dell’armonica n_esima, vengono trasmessi
agli oggetti Function_Generator, rispettivamente denominati genera_comp._COSINE
e
genera_comp._SINE, che provvedono alla generazione di due segnali tipo Waveform, uno di tipo
COSINE e l’altro di tipo SINE, corrispondenti alle componenti dell’armonica n_esima.
In
ognuno
degli
oggetti
tipo
Formula denominati
somma_comp._COSINE
e
somma_comp._SINE si realizza, ad ogni attivazione del controllore di flusso For_Range, la
somma a+b: alla variabile a viene consegnato il segnale Waveform
prodotto via via da
genera_com._COSINE mentre alla variabile b è associato il segnale all’uscita dell’oggetto
Formula medesimo. Con la prima attivazione dell’oggetto Formula il segnale b non potrebbe
provenire dall’uscita dello stesso in quanto non ancora prodotto. Gli oggetti JCT funzionano come
blocchi logici di tipo OR e fanno si che solo alla prima attivazione, cioè quando il For_Range
emette lo scalare 1, ai morsetti B dei relativi oggetti Formula vengano passate le informazioni tipo
Waveform prodotte dagli oggetti Function_Generator denominati, rispettivamente, COSINE_iniz.
e SINE_iniz. Esaurita la prima iterazione, quindi a partire dalla seconda armonica, ai morsetti B
delle due Formule vengono retroalimentate le uscite degli stessi oggetti, uscite che corrispondono,
passo dopo passo, alla somma delle diverse componenti armoniche di tipo cosinusoidale e
sinusoidale.
All’interno di ogni oggetto i segnali scorrono da sinistra verso destra. L’attivazione degli
oggetti è asincrona. Gli oggetti JCT consentono il feedback del segnale prelevato in uscita agli
oggetti tipo Formula denominati rispettivamente somma_comp._COSINE e somma_comp._SINE
permettendone il rientro sui rispettivi morsetti d’ingresso. Il segnale prelevato in una sezione di
valle della catena di produzione del segnale viene fatto rientrare in una sezione di monte della
stessa catena a condizionare il valor del segnale nella sezione di valle.
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Gli oggetti tipo Gate fanno si che il segnale in attesa sull’ingresso A possa transitare sul
morsetto d’uscita X, solo quando il Gate stesso riceve l’impulso di attivazione attraverso il
Sequence Input Pin superiore. Tale impulso di attivazione del Gate viene emesso dal controllore
di flusso For_Range, attraverso il Sequence Output Pin, solo quando questo ha scandito l’ordine
dell’ultima armonica e tutti gli effetti conseguenti si sono realizzati..
Quando i Gate si attivano, il segnale che transita sul morsetto X d’uscita corrisponde alla
somma di tutte e dieci le componenti cosinusoidali, per l’uno, e sinusoidali per l’altro e ciò è quello
che si voleva ottenere.
E’ necessario comprendere senza equivoci alcuni aspetti procedurali per la realizzazione della
retroalimentazione di un segnale:

il feedback può esistere solo nell’ambito di un processo dinamico;

in ambiente Agilent HP VEE il dinamismo esiste solo se la struttura logica di una trama
viene gestita da almeno uno fra gli oggetti della categoria Repeat del tipo For_Count,
For_Range, For_Log_Range, Until_Break, On_Cycle;

il feedback di un segnale necessita di un valore iniziale per quel segnale;

il feedback può avvenire solo con l’impiego dell’oggetto Junction.
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10. Una procedura strutturata
La Figura_19 riporta l’immagine del pannello d’interfaccia (panel view) di una procedura in
forma strutturata per la ricostruzione di segnali periodici canonici.
L’operatore interviene sul datore di segnale tipo Selection_Control denominato
segn._f(t)_da_riprodurre per decidere la tipologia del segnale canonico da riprodurre, agisce sul
cursore del sensore tipo Integer_Slider denominato numero_di_armoniche per assegnare il
numero di armoniche per la ricostruzione, interviene sul cursore dell’oggetto tipo Real_Slider
denominato fase_segn._f(t)_da_riprodurre per fissare la fase del segnale f(t).
Gli attuatori esterni del tipo Xvs.Y_Plot e Waveform(Time) permettono di osservare i risultati
sotto forma di tracciati XY. In particolare, sul visualizzatore Xvs.Y_Plot denominato
spettro_ampiezze_componenti_COSINE è riportato lo spettro delle ampiezze delle componenti
cosinusoidali, sul visualizzatore Xvs.Y_Plot denominato spettro_ampiezze_componenti_SINE è
riportato lo spettro delle ampiezze delle componenti sinusoidali, infine sul visualizzatore tipo
Waveform(Time)
denominato
segnali:_originale,_ricostruito,_somma_comp._COS,
somma_comp._SIN sono riportati i tracciati relativi al segnale canonico f(t) da riprodurre, il
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segnale ricostruito come somma di tutte le componenti armoniche, il segnale ricostruito come
somma delle sole componenti armoniche di tipo COSINE e il segnale ricostruito come somma
delle sole componenti armoniche di tipo SINE.
La struttura del programma è caratterizzata da una dinamicità molto elevata che consente, con
la sola limitazione dovuta alle prestazioni del sistema hardware, di modificare in fase di running
qualsiasi tra i parametri d’ingresso e osservarne immediatamente gli effetti.
Come è noto un panel view può esistere solo se esiste un programma ad esso associato.
L’immagine di Figura_20 riporta il programma che ha permesso la realizzazione del pannello
d’interfaccia precedente.
Si tratta di una procedura di calcolo molto compatta che utilizza il modulo UserObject
denominato Fourier,_2002. Gli oggetti sulla work area sono pochi; oltre allo UserObject sono
visibili i datori di segnale, i visualizzatori e il controllore di flusso On_Cycle. L’attivazione di
quest’ultimo, per intervento sul bottone di Start oppure per azione su uno qualsiasi dei datori di
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segnale nel panel view, mette in stato di running continuo la trama operativa. Ogni modifica
ulteriore dei parametri d’ingresso, a partire dall’istante d’avvio, verrà rilevata e tradotta nei
conseguenti risultati.
La struttura interna dello UserObject denominato Fourier,_2002 mostra che lo stesso utilizza
due ulteriori UserObject denominati Calcola_Ampiezze_Armoniche e Sommatore_di_Armoniche.
L’immagine di Figura_21 ne mostra l’organizzazione interna.
Le ridotte dimensioni dello schermo e della pagina non consentono di disporre gli oggetti in
modo da rendere lineare e chiara la lettura della trama. Tuttavia, nel file Agilent HP VEE gli
oggetti sono disposti su una direttrice orizzontale e si estendono da sinistra verso destra per tre
pagine video. La collocazione topografica consente di cogliere pienamente il significato
dell’algoritmo insito nella trama del sottoprogramma Fourier,_2002.
Le caratteristiche interne del sottoprogramma Calcola_Ampiezze_Armoniche sono già state
mostrate
nell’immagine
di
Figura_12
.
L’organizzazione
dello
Sommatore_di_Armoniche è esplicitata nella seguente Figura_22
Pagina 26
UserObject
11. Alcuni pannelli d’interfaccia
Sono state redatte diverse versioni del progetto di calcolo automatico relativo alla ricostruzione
dei segnali canonici periodici mediante lo sviluppo in serie di Fourier, ognuna dotata di peculiarità
che possono renderla preferibile alle altre in riferimento alle diverse contingenze del momento
didattico. Di seguito sono riportati i pannelli d’interfaccia relativi alle diverse versioni di
programma.
Pagina 27
Panel View del programma archiviato sul file : Fourier – definitivo A
Pagina 28
Panel View del programma archiviato sul file : Fourier – definitivo B
Pagina 29
Panel View del programma archiviato sul file : Fourier – definitivo C
Pagina 30
Panel View del programma archiviato sul file : Fourier – definitivo E
Pagina 31
12. Conclusioni
Lo sviluppo di una procedura di calcolo automatico in ambiente di programmazione visuale
Agilent HP VEE è un processo articolato che coinvolge tutte le risorse intellettuali dell’allievo:
dalla conoscenza degli specifici argomenti tecnici, alla padronanza delle regole sintattiche e
semantiche della lingua italiana, alla comprensione dell’inglese tecnico, all’abilità nell’uso degli
strumenti della matematica, all’intuizione nel perseguire gli obiettivi attraverso percorsi di
maggiore efficienza.
Se pure a digiuno di una solida cultura della programmazione numerica, l’elevatissima
efficienza dell’ambiente di programmazione bidimensionale gli consente di dare concretezza al
processo logico che procede dall’analisi del sistema fisico, alla modellazione matematica attraverso
l’applicazione dei principi di conservazione dell’energia, alla ricerca dell’algoritmo solutore, alla
progettazione passo dopo passo della procedura di calcolo automatico.
Sono poche le regole di sintassi per la gestione degli oggetti compresi nelle varie librerie del
menu Agilent HP VEE. La gestione degli oggetti segue regole di assoluta logicità, spesso mutuate
da quelle che disciplinano la gestione dei dispositivi hardware elementari e perciò facilmente
identificabili e traslabili per la costruzione delle trame algoritmiche.
La costruzione del programma di calcolo automatico segue le regole basilari di stesura di
qualsiasi progetto: dalle specifiche
alla prima bozza, e via via per affinamenti e correzioni
successive fino alla versione definitiva, quella che meglio soddisfa le specifiche progettuali.
La trattazione teorica dello sviluppo in serie di Fourier non è quasi mai riuscita a mostrarne,
agli allievi delle classi terminali dei corsi di specializzazione, la reale importanza per le
applicazioni pratiche. Le peculiarità della piattaforma di sviluppo software Agilent HP VEE induce
gli allievi a cimentarsi nella trattazione di problematiche altrimenti ritenute al di sopra delle proprie
possibilità.
Le procedure di calcolo automatico, costruite passo passo secondo il criterio della
progettazione strutturata, consentono a tutti di vedere oltre la “ cortina di mistero” che avvolge la
serie di Fourier e le formule di Eulero.
Giulianova, aprile 2002
Prof. Piero Nardi
Pagina 32
Indice Generale
1. Sulle motivazioni della ricerca
pagina 2
2. Serie di Fourier e formule di Eulero
pagina 2
3. L’integrale definito calcolato per via numerica
pagina 4
4. La funzione periodica da riprodurre
pagina 6
5. Le componenti della prima armonica
pagina 13
6. Un numero qualsiasi di armoniche
pagina 16
7. Il contributo delle componenti cosinusoidali e sinusoidali
pagina 20
8. La somma delle componenti armoniche
pagina 21
9. Un algoritmo con retroazione
pagina 23
10. Una procedura strutturata
pagina 25
11. Alcuni pannelli d’interfaccia
pagina 28
12. Conclusioni
pagina 33
Riferimenti bibliografici:
Advanced Engineering Mathematics
Erwin Kreyszig - Third Edition
Wiley
Ambienti software:
Agilent HP VEE 5.01
Agilent Techologies & Hewlett Packard
Microsoft Word 97
Microsoft Corporation
Pagina 33

Sviluppo in serie di Fourier - IIS "Crocetti

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