Analisi dei sistemi di controllo a segnali campionati

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Analisi dei sistemi di controllo
a segnali campionati
Controllo Digitale - A. Bemporad - A.a. 2007/08
Sistemi di controllo (già analizzati)
Tempo continuo (trasformata di Laplace / analisi in frequenza)
r(t)+
e(t)
segnale
- di errore
uscita
desiderata
C(s)
u(t)
ingresso
controllore
analogico
G(s)
y(t)
uscita
impianto +
attuatori + sensori
Corso Progettazione
Sistemi di Controllo
t=variabile continua (=tempo)
Tempo discreto (trasformata zeta)
+
r(k)
uscita
desiderata
e(k)
segnale
- di errore
C(z)
controllore
digitale
u(k)
ingresso
G(z)
y(k)
uscita
processo
discreto
k=variabile intera (=numero di intervalli di campionamento)
Tempo discreto vs. tempo continuo
• Il processo da controllare è (quasi sempre) di tipo
tempo-continuo:
G(s)
– Descritto da un modello ad equazioni differenziali (spesso lineari)
– I segnali agli attuatori (es: tensioni elettriche ai motori) e le
grandezze di uscita (es: temperature, pressioni, posizioni) variano
con continuità nel tempo
• Il controllore che viene implementato è (quasi sempre) di
tipo tempo-discreto:
C(z)
– Più economico da implementare rispetto alla forma analogica
(es. meno costoso delle reti elettriche RC+Op.Amp.)
– Più economico da riprogrammare (es: firmware centralina auto)
– Possibilità di time-sharing (più controllori, stesso hardware)
– Più versatile (es: leggi di controllo non lineari, discontinue, ecc.)
Sistemi di controllo a dati campionati
(sampled-data control systems)
È quindi fondamentale analizzare il comportamento di un processo
continuo in anello chiuso con un controllore digitale
clock
r(t)+
uscita
desiderata
e(t)
segnale
- di errore
A/D
e(k)
C(z)
u(k)
controllore digitale
D/A
u(t)
ingresso
G(s)
impianto +
attuatori + sensori
y(t)
uscita
Legame fra variabili TC/TD
clock
r(t)+
e(t)
uscita
desiderata
segnale
A/D
e(k)
C(z)
u(k)
D/A
u(t)
ingresso
- di errore
y(t)
G(s)
uscita
impianto +
attuatori + sensori
Il controllore digitale agisce con un tempo di campionamento T:
legame fra le variabili
tempo-continue e le
variabili tempo-discrete
u(t), u(k)
e(t), e(k)
t
t
Pro e contro del controllo digitale
Controllo a tempo continuo
Controllo a tempo discreto
r(t)+
e(t)
A/D
e(k)
C(z)
u(k)
D/A
u(t)
G(s)
r(t)+
y(t)
C(s)
u(t)
G(s)
y(t)
-
-
•
e(t)
•
Svantaggi
– Segnali di controllo soltanto
costanti a tratti
– Retroazione dall’uscita
soltanto agli istanti di
campionamento
– Possibile instabilità se T
è troppo lungo
Vantaggi
– Retroazione continua dall’uscita
(⇒ reazione tempestiva nei
confronti di disturbi sull’uscita)
– Segnali di controllo non
necessariamente costanti a tratti
• Svantaggi
• Vantaggi
– Economicità, versatilità
– Più difficili da implementare,
meno versatili
Sistemi di controllo a dati campionati
(sampled-data control systems)
clock
r(t)+
uscita
desiderata
e(t)
segnale
- di errore
A/D
e(k)
C(z)
u(k)
u(t)
D/A
ingresso
y(t)
G(s)
uscita
impianto +
attuatori + sensori
Possibilità di analisi:
1. Trattare il sistema G(s) come fosse un sistema a tempo-discreto,
ignorando il comportamento nell’inter-sampling
(punto di vista del controllore)
Analisi nel discreto
2. Modellare il controllore digitale come controllore a tempo-continuo
(punto di vista del processo)
Analisi nel continuo
3. Analisi puramente simulativa per via numerica (es: Simulink)
(con le dovute cautele nell’interpretazione dei risultati)
Analisi nel discreto - Campionamento esatto
y(t), y(k)
1
u(t), u(k)
Campionamento esatto (Review)
Campionamento esatto (Review)
In Matlab: sys=ss(A,B,C,D);
sysd=c2d(sys,T);
[Ab,Bb,Cb,Db]=ssdata(sysd);
Analisi a tempo discreto
Avendo trasformato il sistema G(s) nel suo equivalente a tempo-discreto
G(z) abbiamo ricondotto l’analisi del sistema ad anello chiuso a dati
campionati all’analisi di un anello di retroazione a tempo discreto
(“modello stroboscopico”):
+
r(k)
uscita
desiderata
e(k)
segnale
- di errore
u(k)
C(z)
ingresso
controllore
digitale
y(k)
G(z)
uscita
equivalente
a dati campionati
del processo
NB: l’analisi di stabilità/prestazione/simulazione non tiene conto di cosa
accade al processo fra un tempo di campionamento e l’altro
(intersampling)
Analisi a tempo continuo
clock
r(t)+
uscita
desiderata
e(t)
segnale
A/D
e(k)
C(z)
u(k)
- di errore
D/A
u(t)
ingresso
G(s)
impianto +
attuatori + sensori
Vogliamo analizzare il comportamento dell’anello chiuso a tempo
continuo:
• Capire il comportamento anche durante l’intersampling
• Analisi nel dominio della frequenza (es: comportamento
nei confronti di rumori additivi sull’uscita)
y(t)
uscita
Modello matematico del mantenitore
u(t)
Mantenitore di ordine zero
(Zero Order Holder, ZOH)
u(k)
GZOH(s)
u(t)
Consideriamo il mantenimento di un segnale impulsivo unitario:
g(t)
δ( t )
clock
GZOH(s)
t
t
u(k) i(t) R
T
Campionatore
La funzione “impulso rettangolare”di
ampiezza T è data da
C
u(t)
la cui trasformata di Laplace risulta essere
Risposta in frequenza dello ZOH
1
0.9
Filtro
ideale
ZOH
0.8
Oltre ad attenuare anche in
banda passante, lo ZOH
introduce un ritardo di fase
0.7
0.637
0.6
0.5
0.4
Lo ZOH è un filtro passa-basso
(non ideale)
0.3
0.2
0.1
0
− 3ω
s
− 2ω
s
−ω
s −
ω
2
s
0
ω
2
s
ω
s
2ω
s
3ω
s
u(t)
Calcoliamo il legame esistente fra i
campioni u(k) e u(t):
u(k)
GZOH(s)
u(t)
passando alle trasformate di Laplace:
dove
è la trasformata zeta dei campioni u(k).
Essendo
, si ottiene:
dove
è la trasformata zeta dei campioni e(k).
Richiami sul teorema di Shannon
Segnale originale
Segnale
ricostruito
Segnale campionato
e(k)
e(t)
e(t)
Campionatore
e(t)
ricostruzione
di Shannon
e(k)=e(kTs)
e(t)
Claude E. Shannon
(1916 – 2001)
Effetto del campionamento
e(t)
e*(t)
segnale
continuo
campionamento
Modello matematico del controllore
e(t)
u(t)
e(t)
GZOH(s)
u(t)
Calcoliamo il guadagno in continua dello ZOH:
Nel caso in cui e(t) ≡ 1, dovrà essere u(t) ≡ 1, quindi il campionatore
dovrà avere guadagno in continua pari a 1/T.
In conclusione:
(Ricorda: il risultato vale
per E(jω)≈0 per ω ≥ π/T)
Analisi in frequenza
r(t)+
e(t)
u(k)
u(t)
G(s)
y(t)
processo
Possiamo adesso analizzare il sistema a dati campionati mediante
strumenti del dominio della frequenza (per studiare ad esempio
la sensitività rispetto al rumore).
Appendice: Modello matematico ZOH
e(t)
Segnale originale
A/D
Segnale
ricostruito
Segnale campionato
e(k)
e(t)
e(k)
e(t)
Campionatore
e(t)
e(k)=e(kT)
filtro passa
basso ideale
e(t)
δ*(t) Portante
Segnale
digitalizzato
Segnale modulato
e*(t)
e(t)
e(t)
eh(t)
e*(t)
GZOH(s)
eh(t)
• Interpretazione: δ(kT) rappresenta la corrente impulsiva che scorre
nel circuito elettrico di sampling durante la chiusura dell’interruttore
δ*(t) Portante
Segnale da campionare
Segnale
digitalizzato
Segnale modulato
e*(t)
e(t)
eh(t)
GZOH(s)
e*(t)
e(t)
eh(t)
δ*(t)
Portante
Segnale da campionare
Segnale
digitalizzato
Segnale modulato
e*(t)
e(t)
e(t)
eh(t)
e*(t)
GZOH(s)
eh(t)
g(t)
δ( t )
t
GZOH(s)
t
T

Analisi dei sistemi di controllo a segnali campionati

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