(Microsoft PowerPoint - Apollonio-Descartes,Fermat - E
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Grecia ►Talete di Mileto - Asia Minore, primi decenni del VI sec. a.C. inizio di una razionalizzazione del sapere dimostrazioni in forma embrionale ► Scuola Pitagorica - Crotone in Italia meridionale, VI-V sec. a.C. fondata da Pitagora di Samo (VI sec a.C.) esigenza dimostrativa, tutto è numero, aritmogeometria scoperta delle grandezze incommensurabili ► Zenone di Elea - V sec. a.C. entra l’infinito nella matematica greca con i famosi paradossi ► I tre problemi classici: quadratura del cerchio, duplicazione del cubo, trisezione dell’angolo - Atene, V-IV secolo a.C. 1 Un problema geometrico che si può risolvere con un numero finito delle seguenti operazioni geometriche elementari, è risolubile graficamente con riga e compasso: a) condurre una retta per due punti; b) determinare il punto comune a due rette; c) costruire una circonferenza di centro e raggio assegnati; d) determinare i punti comuni ad una retta e ad una circonferenza o a due circonferenze. Se un problema geometrico di questo tipo viene tradotto algebricamente, dà luogo a un’equazione risolubile mediante radicali quadratici. Inversamente, se questo accade, il problema si dice risolubile con riga e compasso. [Roero 2006 ] I Greci consideravano la retta e il cerchio le figure geometriche fondamentali e quindi privilegiavano le costruzioni effettuate con la riga e il compasso. 2 1 L’importanza dei tre problemi classici: la duplicazione del cubo, la quadratura del cerchio e la trisezione dell’angolo sta nel fatto che i tentativi falliti di risolverli con riga e compasso condussero i Greci a ideare nuove curve ( le coniche, la quadratrice di Ippia, …) e ad ampliare il campo di indagine in geometria. Racconti, leggende e riferimenti letterari testimoniano l’impatto che ebbero sulla filosofia, sulla scienza e sulla matematica Ippocrate di Chio (V sec a. C.) Ippia di Elide (V-IV sec. a. C.) Platone (427-347 a. C.) Archita di Taranto (428-347 a. C.) Menecmo (IV sec. a. C.) Nicomede, Diocle (II sec. a. C.), Pappo, ... 3 La duplicazione del cubo Ippocrate di Chio riduce il problema della duplicazione del cubo al seguente: Dati due segmenti a, b, costruirne altri due x, y che con a e b , formino la proporzione: a : x = x : y = y : b, ma non lo risolse a x y = = x y b x2 = ay ab x = y . x 3 = a 2b e se b = 2 a x 3 = 2a 3 4 2 Menecmo (IV sec. a. C.) e le coniche usa tre tipi di cono: rettangolo, acutangolo e ottusangolo e li seziona con un piano perpendicolare a una generatrice parabola iperbole ellisse a3 2 a x y = = x y 2a Risolve il problema della duplicazione del cubo intersecando due parabole x2 = ay e y2 = 2ax o un’iperbole e una parabola 5 ► Prima Scuola di Alessandria III sec. a.C. – 30 a.C. - Euclide (300 a.C.), Elementi La geometria come teoria ipoteticodeduttiva - Archimede (287-212 a. C.) La matematica non è concepita solo come analisi dei problemi astratti, lontani dalle applicazioni, ma anche come studio di problemi concreti con riferimento alle altre scienze (fisica, astronomia, …) Sulla sfera e il cilindro, Misura del cerchio, Sulle spirali, Sull’equilibrio dei piani, Quadratura della parabola, Sui galleggianti, Metodo dei teoremi Meccanici, … - Apollonio (262-190 a. C.), Coniche ► I commentatori e gli enciclopedisti Pappo (III-IV sec.), Collezione matematica Proclo (V sec.), Commentario al I libro degli Elementi di Euclide 6 3 Apollonio e l’uso delle coordinate 7 Apollonio di Perga (circa 262-190 a. C.) La sua vita trascorse fra Alessandria, dove ricevette la sua educazione scientifica, e Pergamo dove c’erano importanti centri di studi superiori e ricche biblioteche. Le sue doti di matematico erano così notevoli che era chiamato “il grande geometra”. La sua opera più importante sono le Coniche in 8 libri di cui l’ottavo è andato perduto, dove vi è una teoria completa delle sezioni coniche. P. Ver Eecke, Les Coniques d’Apollonius de Perge, 1923 T. Heath, Apollonius of Perga. 8 Treatise on Conic Sections, 1896 4 Diversamente da Menecmo che utilizzava tre diversi tipi di cono circolare retto, variando l’angolo al vertice, Apollonio ottiene le coniche come sezione di un unico cono obliquo (a due falde) variando l’inclinazione del piano secante 9 A AO asse del cono β base del cono E C B O α L’intersezione del piano β con il triangolo assiale ABC è detta diametro della conica. D Libro I, def. 1 Se una retta, prolungantesi all’infinito e passante sempre per un punto fisso, viene fatta ruotare lungo la circonferenza di un cerchio che non si trovi nello stesso piano del punto in modo che passi successivamente attraverso ogni punto di quella circonferenza, la retta che ruota traccerà la superficie di un cono doppio [a due falde] β interseca α secondo DE. Se prendo BC (diametro del cerchio base) DE allora ABC è il triangolo assiale (contiene l’asse del cono) 10 5 Caratteristiche delle Coniche e metodi ♦ Apollonio usa l’origine stereometrica delle coniche per ottenere la proprietà fondamentale di ogni conica (proprietà piana) e questa costituisce la base dei successivi sviluppi della teoria ♦ Gli ‘strumenti’ o procedimenti utilizzati sono: - l’algebra geometrica (che sopperisce l’assenza dell’algebra in Grecia), i cui elementi basilari sono la teoria delle proporzioni (Elementi, V libro) che permette di eseguire le operazioni elementari (moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza, estrazione di radice) e l’applicazione delle aree (Elementi, II libro) che risolve problemi che si possono tradurre in equazioni di 1° e 2° grado (Elementi, II.5, II.14) - l’uso delle coordinate cioè il fissare enti (segmenti) comuni, in grado di dare la relazione fondamentale di ciascuna (modernamente stabilire cioè il legame fra ascisse e ordinate di un sistema di riferimento) diametro della conica (asse x) e tangente alla conica in un estremo del diametro (asse y). Gli assi possono essere ortogonali oppure obliqui. Ordinata: (tracciata ordinatamente, ordinatim applicata) ♦ L’opera è difficile per un lettore moderno poichè Apollonio salta spesso i passaggi intermedi. I commentatori Pappo e Eutocio ne hanno integrato il testo con 11 dei lemmi. Uso della teoria delle proporzioni per eseguire ‘geometricamente’ le operazioni algebriche (moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza, estrazione di radice) AB : BC = BD : BE d E C a :b = c :d a⋅d = b⋅c a0 a1 a2 a = = = ... = n −1 a1 a2 a3 an an a1 = a0 a0 n b a D A B c Medi proporzionali a a1 =n n a0 a0 12 6 Uso dell’applicazione delle aree per “risolvere” un’equazione quadratica Trovare un quadrato la cui area sia uguale a quella di un dato rettangolo ABCD Si prolunghi AB di un segmento BE = BC. Si prenda il punto medio F di AE, si tracci il cerchio di centro F e raggio FE. Sia G il punto di intersezione con la circonferenza del prolungamento del lato BE del rettangolo dato, allora BG è il segmento cercato. G x F A B E il triangolo AGE è rettangolo (inscritto in un semicerchio) e per il teorema di Euclide b a D BG2 = AB⋅⋅BE = AB⋅⋅BC C x2 = a ⋅ b 13 A β α Coniche I. 11 Costruzione: PM//AC E BC DE QV//DE Se PL ∈ β e PL PM e tale che PL : PA = BC2 : AB·AC allora PL : lato retto QV2=PL ·PV Costruisce HK//BC HQK ∈ alla sezione (cerchio) con piano // α, dunque QV2 = HV ·VK Per la similitudine dei triangoli PHV, AKH, ABC HV : PV = BC : AC Da PM // AC e dalla similitudine (AHK, ABC) è VK : PA = BC : AB e moltiplicando i membri delle due proporzioni HV · VK : PV · PA = BC2 : AC · AB QV2 PL : PA 14 QV2 : PV · PA = PL : PA QV2=PL ·PV 7 Apollonio utilizza l’origine stereometrica delle coniche come sezioni del cono per ottenere la proprietà fondamentale delle sezioni coniche che è piana (sistema di riferimento: diametro della conica e tangente alla conica in un estremo del diametro). A partire da questa proprietà ricava i successivi sviluppi della teoria. p Parabola, Coniche I.11 oggi , grazie a Descartes e Fermat (XVII sec.) y 2 = px QV2=PL ·PV 15 Quadrato(QV) è equivalente al Rettangolo (PV·PL) Iperbole, Coniche, I.12 QV2=PV ·VQ’ QV = y PV = x PL = p PP’= d Oggi, grazie a Descartes e Fermat: y 2 = x ⋅ VQ' d+x d p = VQ' = p + x VQ' p d p y 2 = px + x 2 d Quadrato(QV) è equivalente al Rettangolo(PV·VQ’) 16 8 Ellisse, Coniche, I.13 QV2=PV ·VR QV = y PV = x PL = p lato retto PP’= d diametro OGGI: Quadrato(QV) è equivalente al Rettangolo(PV·VR) y 2 = x ⋅ VR d d−x = p VR y 2 = px − VR = p − p 2 x d p x d 17 La tangente alla parabola Q’ K Q T P V V’ Prop. I. 33 “Si prenda un punto T sul diametro della parabola, oltre il vertice tale che TP = PV, dove V è il piede dell’ordinata da Q al diametro PV. La retta TQ sarà tangente alla parabola” Apollonio dimostra che TQ è tale che ogni suo punto diverso da Q giace al di fuori dalla parabola. Il ragionamento è per assurdo: suppone che K sia un punto del segmento TQ o del suo prolungamento, che cada all’interno della parabola e mostra con proprietà geometriche che ciò porta ad un assurdo. Il suo metodo non è generale, cioè applicabile ad ogni curva (come nei metodi infinitesimali del XVII secolo), ma è un teorema relativo a quella curva specifica, la parabola. 18 9 Le Coniche di Apollonio LIBRO I (60 prop.) definizioni e proprietà fondamentali delle sezioni coniche. Nelle Prop. 11, 12, 13 Apollonio trova le proprietà caratteristiche della parabola dell’iperbole e dell’ellisse. Alcune proprietà sulle tangenti (la tangente a una curva C in un punto P è una retta t tale che fra C e t non può essere tracciata nessuna altra retta passante per P, tale cioè che ogni suo punto diverso da P giace fuori della curva); per es. Prop. 33: Se si prende un punto T sul diametro PM di una parabola QPQ’ fuori della curva e tale che TP=PV, dove V è il piede dell’ordinata da Q al diametro PM, la retta TQ sarà tangente alla parabola. LIBRO II (53 prop.) Proprietà degli asintoti (nella Prop.14 dimostra che la distanza fra una curva e il suo asintoto, se prolungati all’infinito, diventa minore di una qualsiasi lunghezza data), delle tangenti e dei diametri coniugati (Def. I, 4: Si dice diametro di una curva piana la retta che taglia in due parti uguali tutte le corde della curva parallele ad una retta qualunque. Def. II, 6: Chiamo diametri coniugati di una curva le rette tali che ciascuna è un diametro che taglia in due parti uguali le rette parallele all’altra). 19 LIBRO III (56 prop.) Proprietà armoniche di polo e polare (vedi per es. Prop. 37) Proprietà dei fuochi (chiamati così nel Rinascimento per le loro proprietà ottiche). Apollonio usa la perifrasi «punti che nascono dall’applicazione» e li definisce solo per l’ellisse e per l’iperbole: Detto AA’ il diametro della conica e F e F’ i fuochi, questi sono definiti come punti tali che AF·FA’=AF’·F’A’= p AA’/4, dove p è il parametro della conica. Apollonio dimostra che in un’ellisse la somma (Prop. 52), in un’iperbole la differenza (Prop. 51) delle distanze di un punto dai fuochi è uguale all’asse AA’. «Il libro terzo contiene molti teoremi notevoli utili per la costruzione dei luoghi solidi. La maggior parte di essi e più belli sono nuovi. Fra l’altro, fu dimostrando questi teoremi che mi resi conto che Euclide non aveva costruito il luogo geometrico rispetto a tre o quattro linee …, non era infatti possibile farlo senza queste mie scoperte» (Prefazione al Libro I). Il problema è il seguente: Date 3 (4) rette giacenti in un piano, trovare il luogo geometrico dei punti P tali che il quadrato della distanza di P da una di queste rette sia proporzionale al prodotto delle distanze dalle altre rette (nel caso di 4 rette, il prodotto delle distanze da due di esse sia proporzionale al prodotto delle distanze dalle altre due), le distanze essendo misurate secondo angoli dati rispetto alle rette. Tale luogo è una sezione conica. Pappo generalizzò il problema a n rette, con n>4. Affrontando questo problema Descartes diede l’avvio alla sua ‘geometria analitica’ edita nel 1637. 20 10 LIBRO IV (57 prop.) Apollonio trova «In quanti modi le sezioni coniche possono incontrarsi l’una con l’altra», in particolare ottiene dei teoremi nuovi relativi al numero di punti in cui una sezione conica incontra i due rami di un’iperbole (fu Apollonio a considerare i due rami come un’unica curva) e ne è fiero infatti scrive che sono «degni di essere accettati per amore delle dimostrazioni stesse, allo stesso modo che accettiamo molte altre cose nella matematica per questa e nessuna altra ragione». LIBRO V (77 prop.) È dedicato ai segmenti massimi e minimi che si possono condurre da un punto ad una conica, «argomento degno di essere studiato per se stesso». Si tratta di teoremi sulle tangenti, normali e subnormali (per es. Prop. 8); ci sono proposizioni (Prop. 51 e 52) che conducono alla determinazione dell’evoluta. LIBRO VI (33 prop.) Tratta l’uguaglianza e la similitudine di coniche «Due coniche si dicono simili se, tracciando in esse, delle ordinate in egual numero a distanze proporzionali dal vertice, queste ordinate sono rispettivamente proporzionali alle ascisse corrispondenti» (Def. 2). Per es. dimostra che tutte le parabole sono simili (Prop.11). LIBRO VII Teoria dei diametri coniugati. (51 prop.) 21 Medioevo 476 caduta Impero Romano occidente 1453 caduta Impero Romano oriente ► Scienza e cultura islamica 750 – 1400, recupero delle opere greche, traduzioni e commenti ► Omar Al Khayyam (XI-XII sec.) soluzione geometrica (con le coniche) delle equazioni di terzo grado; critiche al postulato delle parallele ► In Occidente: geometria pratica ► Richard Bradwardine (XIV sec.) a Oxford e Nicole Oresme a Parigi studiano la variabilità e il moto - introduzione dei diagrammi e delle coordinate per lo studio di funzioni. 22 11 Omar al-Khayyam (1048 - 1123) Astronomo, matematico e poeta persiano, celebre per le sue Quartine (Rubáiyát) Il tuo oggi non ha potere sul domani, e il pensiero del domani non ti frutta che malinconia. Non buttar via questo istante, se il tuo cuore non è pazzo, ché questo resto di vita non si sa quanto possa valere 23 Sulle dimostrazioni dei problemi di al-jabr e al-muqabala Con al-Khayyam l'algebra diventa la teoria generale delle equazioni algebriche di grado minore o uguale a tre e con coefficienti interi positivi I caratteri salienti dell’opera di al-Khayyam si possono così riassumere Osserva il principio di omogeneità dimensionale tra le grandezze Per le equazioni di terzo grado non riconducibili ad equazioni di secondo, riconoscendo il suo fallimento nella ricerca delle radici per via algebrica, ricava le soluzioni per via geometrica mediante intersezione di coniche Considera solo le soluzioni positive (non le radici negative) delle quali discute le condizioni di esistenza Nonostante l’analisi sia profonda e dettagliata gli sfugge il caso della terza soluzione positiva dell’equazione x3+ bx = ax2+ c 24 12 Classifica le equazioni secondo il loro grado e il numero di monomi che le compongono, in particolare suddivide le equazioni di terzo grado in binomie, trinomie e quadrinomie, come segue (a, b, c costanti e positive): - equazione binomia x3 = c x3 + bx = c - equazioni trinomie senza termine di secondo grado I. x3 + c = bx bx + c = x3 - trinomie senza termine di primo grado x3 + ax 2 = c II. x3 + c = ax 2 ax 2 + c = x3 - quadrinomie in cui tre termini positivi sono uguali ad un termine positivo x3 + ax 2 + bx = c x3 + ax 2 + c = bx I. 3 x + bx + c = ax 2 ax 2 + bx + c = x3 - quadrinomie in cui due termini positivi sono uguali a due termini positivi x3 + ax 2 = bx + c II. x3 + bx = ax 2 + c x3 + c = ax 2 + bx 25 L’equazione trinomia del I tipo x3 + bx = c , (“un cubo più lati sono uguali a un numero”) viene scritta come 2 2 x3 + p 2 x = p 2q con b = p e c = p q per il principio di omogeneità dimensionale. La risoluzione si ottiene per intersezione della circonferenza x2 + y2 = q x e della parabola y = x2 /p. L’ascissa QS del punto P di intersezione delle curve rappresentate in figura è la radice cercata. Al-Khayyam non scrive equazioni, ma usa le proporzioni C(q/2,0) 26 13 Al-Khayyam dà una dimostrazione di tipo sintetico utilizzando la teoria delle proporzioni. Applica la proprietà della parabola data da Apollonio: x p = PS x (1) Considera ora il triangolo rettangolo QPR, la sua altezza PS è media proporzionale fra QS e RS: x PS = PS q − x Uguagliando le espressioni precedenti ricava: p PS = x q−x (2) D’altra parte dalla (1) PS = x2/p che sostituito nella (2) fornisce l’equazione x3 + p 2 x = p 2q 27 Lo studio della variabilità e del moto XIV sec. Oxford - Parigi Fu uno dei temi preferiti nelle università, in particolare a Oxford e a Parigi. I filosofi scolastici del Merton College di Oxford formularono la cosiddetta regola mertoniana: “se un corpo si muove di moto uniformemente accelerato, la distanza percorsa è uguale a quella che percorrerebbe nello stesso intervallo di tempo un altro corpo con moto uniforme e velocità pari a quella raggiunta dal primo corpo nell’istante medio dell’intervallo di tempo” La velocità non era definita in modo rigoroso, ma era intesa come una “qualità del moto” Nicole Oresme (1323?-1382) professore a Parigi e vescovo di Lisieux, ebbe l’idea di rappresentare i moti, come in geografia con longitudini e latitudini : lungo una linea orizzontale segnò dei punti a rappresentare gli istanti di tempo (longitudini) e da ogni punto innalzò un segmento perpendicolare la cui lunghezza indicava la velocità in quell’istante (latitudini) 28 14 v0=0 v0>0 Moto uniforme v = costante Moto uniformemente difforme [uniformemente accelerato] Moto difformemente difforme [vario] Oresme “dimostrò” la regola mertoniana v1 + v2 2 v1 t1 Tractatus de latitudinibus formarum t2 L’area del trapezio rettangolo, che rappresenta lo spazio percorso con moto uniformemente accelerato, è vuguale 2 all’area del rettangolo che rappresenta lo spazio percorso con m. uniforme con velocità pari a v1 + v2 29 2 Rinascimento XV – XVI sec. ► 1447 primo libro a stampa Nascita della prospettiva - Leon Battista Alberti (1404-1472) - Piero della Francesca (1410?-1492) - Albrecht Dürer (1471-1528) ► Nel Cinquecento si assiste a: - un formidabile sviluppo dell’algebra ad opera degli algebristi italiani (S. Dal Ferro, N. Tartaglia, G. Cardano, L. Ferrari, R. Bombelli, con la risoluzione delle equazioni di terzo e quarto grado) - la riscoperta dei classici greci (commenti e traduzioni di Euclide, Archimede e Apollonio ) ► François Viète (1540-1603) getta un ponte fra algebra e geometria classica ► Johann Kepler (1571-1630) le coniche, calcolo di volumi con tecniche infinitesimali 30 15 XVII sec. ► Nascita della geometria analitica - René Descartes (1596-1650) Géométrie (1637) - Pierre de Fermat (1601-1665) Ad loco planos et solidos isagoge (∼1629) ► Nascita della geometria proiettiva sostituire lo studio separato di ciascuna conica con una teoria generale valida per tutte - Girard Desargues (1591-1661), Brouillon projet d’une atteinte aux événemens des rencontres du cône avec un plan (1639) - Blaise Pascal (1623-1662) Essai sur les Coniques (1640) 31 32 16 Durante l’antichità e il Rinascimento (XVI sec.) i matematici si erano preoccupati di giustificare i procedimenti algebrici con dimostrazioni geometriche – la situazione iniziò a cambiare alla fine del XVI e nella prima metà del XVII sec. François Viète Isagoge in artem analyticem (1591) 1540-1603 ►l’interazione fra algebra e geometria cambia: l’algebra è in grado di risolvere problemi di geometria. L’algebra è vista come uno speciale procedimento di scoperta (ars analytica): si parte dall’assunzione di ciò che si cerca e mediante la deduzione si arriva ad una verità nota metodo dell’analisi si contrappone al metodo classico della sintesi (Euclide, Apollonio) 33 René Descartes 1596-1650 Filosofo, matematico e fisico. Dallo studio della matematica (algebra e geometria) elaborò un metodo per giungere alla vera conoscenza basato sui seguenti quattro principi: “non accettare mai per vera nessuna cosa che non conoscessi con evidenza essere tale” “dividere ciascuna difficoltà che stessi esaminando in tante piccole parti quante fosse possibile e necessario per giungere alla miglior soluzione di essa” “condurre con ordine i miei pensieri cominciando dagli oggetti più semplici e più facili … per salire a poco a poco, come per gradi, alla conoscenza dei più complessi” “procedere in ogni caso ad enumerazioni così complete … da essere certo di non aver omesso assolutamente nulla” Discorso sul Metodo in Opere scientifiche di Réné Descartes, 1983 34 17 La Géométrie 1637 Lo scopo dell’opera: “Tutti i Problemi di Geometria possono facilmente essere termini tali che poi per costruirli, non c’è da conoscere che la lunghezza di alcune linee rette” riportati a Il programma di Descartes è dunque quello di utilizzare l’algebra nello studio dei problemi geometrici. Per questo lo si indica come l’ideatore della geometria analitica e del ‘metodo analitico’ applicato alle curve geometriche (algebriche) “ Volendo risolvere qualche problema, si deve fin dal principio considerarlo come già risolto, e assegnare una lettera ad ogni linea che si ritiene necessaria per costruirlo, sia a quelle che non sono note, che alle altre. Poi, senza far nessuna differenza tra quelle note e le incognite, bisogna svolgere il problema seguendo quell’ordine che più naturalmente di ogni altro mostra in qual modo le rette dipendano mutuamente le une dalle altre, fino a che non si sia riusciti a trovare il procedimento per esprimere una stessa quantità in due modi, cioè non si sia pervenuti a ciò che si chiama equazione” 35 Il simbolismo algebrico nella Géométrie raggiunge il suo massimo sviluppo ed è sostanzialmente quello attuale, con l’unica differenza per il segno di uguale Descartes utilizza le prime lettere dell’alfabeto per indicare i parametri e le ultime per le incognite, per lui sempre concepiti come segmenti. Crea una rottura rispetto alla tradizione classica greca, interpretando anche x2, x3, … come segmenti, e non più come aree, volumi, ... Ridimensiona cioè la valenza dell’omogeneità dimensionale che aveva grande peso all’epoca sui matematici e sui fisici. 36 18 Scopo della Géométrie Gli scopi della Géométrie coinvolgono due livelli di problemi: uno tecnico e uno metodologico tecnico: il programma di Descartes è quello di usare l’algebra nello studiare i problemi geometrici (banco di prova è il problema di Pappo) metodologico: come trovare la costruzione geometrica di un problema quando la riga e il compasso sono insufficienti e quali curve accettare nella costruzione 37 Caratteri della Géométrie abolizione del requisito di omogeneità nelle formule algebriche (artificio: introduce un segmento unitario) Salto qualitativo considera problemi indeterminati. Le due coordinate x e y sono legate da una sola equazione. I punti che risolvono il problema sono infiniti e descrivono una curva La Géométrie è una geometria di curve non di teoremi curve Geometriche, che si possono esprimere con un'equazione algebrica. Sono le sole che D. considera accettabili in geometria Meccaniche (quadratrice, spirale, logaritmica, cicloide,...) Non è un’esposizione didattica 38 19 Il I libro della Géométrie si apre mostrando come interpretare geometricamente la moltiplicazione, la divisione e l’estrazione della radice quadrata ed anche la soluzione delle equazioni di secondo grado. E AB = 1 AB:BC = BD:BE C La moltiplicazione e la divisione BD·BC = BE D A 1 BE:BD = BC B L’estrazione della radice quadrata 1 FG = 1 FG:IG = IG:GH IG2 = FG·GH 39 La risoluzione delle equazioni di 2° grado O N 1 a 2 P L Per risolvere l' equazione 1 a2 OM = ON + MN = a + + b2 2 4 M b x 2 = ax + b 2 traccia un segmento LM = b e da L innalza un segmento NL = 1 a 2 1 a. 2 Traccia la retta passante per M e N che interseca il cerchio nei punti O e P . x = OM è il segmento cercato. e perpendico lare a LM . Con centro in N costruisce un cerchio di raggio Descartes trascura la seconda radice perché " falsa" , cioè negativa. 40 20 Il problema di Pappo Il problema di Pappo, enunciato nella sua forma più semplice, si presenta così: Date 2n rette, trovare il luogo dei punti tali che il prodotto delle distanze dalle prime n rette sia uguale al prodotto delle distanze dalle rimanenti. Pappo lo aveva risolto in casi particolari. Descartes ne diede la soluzione generale: scrivendo la curva con la sua equazione. Siano (x,y) le coordinate di un punto generico C e sia d(C, ri ) = | ai x + bi y + ci | la distanza di C dalla retta i-esima, dove ai , bi , ci sono i parametri della retta ri normalizzati in modo che ai2 + bi2 = 1. Il luogo geometrico dei punti che soddisfanola condizione ha equazione Π (aix + biy + ci ) = Π (aix + biy + ci) Descartes è quindi consapevole che una soluzione generale è possibile solo usando il formalismo dell’algebra: “ Mi pare di aver così interamente soddisfatto alle ricerche che, secondo Pappo, gli antichi avevano impostato in questo campo e proverò a darne la dimostrazione in pochi tratti, giacché sono già annoiato di averne scritto tanto” 41 “Siano AB, AD, EF, GH, ecc. parecchie linee date per posizione, e occorra trovare un punto, come C, dal quale, condotte su quelle date altre linee rette, come CB, CD, CF, CH, in modo che gli angoli CBA, CDA, CFE, CHG siano dati e tali che il prodotto di una parte di queste linee sia uguale al prodotto delle rimanenti o che l’uno stia all’altro in un rapporto dato: ciò infatti non rende il problema per nulla più difficile. Innanzitutto suppongo il problema come già risolto, e per liberarmi dalla confusione di tutte queste linee, considero una delle rette date e una di quelle che bisogna trovare, per esempio AB e CB come le principali, e a queste cerco così di riferire le altre.” (p. 553). T S E R G A B H F C D 42 21 Metodo per la determinazione della retta normale ad una curva Géométrie, libro II C(y0, x0) x0 suppone il problema risolto. Sia CP la normale alla curva P(x,y)=0 in C PM = v-y0 Considera il cerchio di centro P(v,0) e raggio s: x 2 + (v − y )2 = s 2 s y0 A M P(v,0) Se CP è normale alla curva in C il cerchio di centro P e raggio CP “tocca la curva in C senza intersecarla” P ( x, y ) = 0 ⇒ R( x) = 0 oppure R( y ) = 0 2 2 2 x + (v − y ) = s R(y) = 0 dovrà avere una radice doppia in y0, cioè dovrà essere della forma R ( y ) = ( y − y0 )2 Q( y ) 43 se P(x,y)=0 ha grado m, R(y)=0 ha grado 2m e Q(y) è un polinomio di grado 2m−2 Uguagliando uno a uno i coefficienti delle potenze omologhe si otterranno 2m+1 equazioni da cui si possono ricavare i coefficienti di Q(y), nonché i due parametri v e s. Caratteri e limiti del metodo ♦ è un metodo algebrico rigoroso ♦ l’uso della circonferenza raddoppia il grado di P(x,y)=0 ♦ serve solo per curve algebriche e, anche nei casi più semplici, dà luogo a calcoli lunghi e complessi (soprattutto in presenza di radicali) Descartes scrive: “Oso anzi dire che questo è il problema più utile e generale non solo tra tutti quelli che conosco, ma anche tra tutti quelli che in Geometria ho sempre desiderato conoscere” In effetti, mentre nella geometria greca e in quella anteriore a lui il problema della ricerca della retta tangente doveva essere affrontato caso per caso, operando invece sulle curve tramite le loro equazioni si offre un metodo valido per tutta una categoria di curve e non si deve ricorrere continuamente alle figure (all’immaginazione). Pregio sottolineato da Leibniz. 44 22 Esercizi 1. Trovare la normale alla curva y = x3 in P(1,1) con il metodo di Descartes e con quello moderno y = x 3 2 2 2 ( x − v ) + y = s x 2 − 2 xv + v 2 + y 2 = s 2 R( x) = x 6 + x 2 − 2 xv + v 2 − s 2 = 0 ( x − 1) 2 ( x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d ) = ( x − 2 x + 1)( x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d ) = = x 6 + ( a − 2) x5 + ... ≡ x 6 + x 2 − 2 xv + v 2 − s 2 eguaglio i coefficienti delle potenze omologhe ottengo 6 equazioni da cui ricavo v=4 2. Trovare la normale alla curva y = 1/x in P(2,1/2) con il metodo di Descartes e modernamente 1 y = x ( x − v) 2 + 1 = s 2 x2 15 ... v= 8 45 “E spero che i posteri mi saranno grati, non solo per quello che ho qui spiegato, ma anche per tutto ciò che ho omesso intenzionalmente al fine di lasciar loro il piacere della scoperta” La Géométrie presentava difficoltà di lettura e di interpretazione per le novità introdotte, senza molti commenti dell’autore, per cui dal 1649 al 1695 furono redatte dagli olandesi e da Jacob Bernoulli varie traduzioni latine con esemplificazioni, commenti, integrazioni e semplificazioni dei metodi. Particolarmente importante è la prima edizione latina con i commenti di Frans van Schooten Geometria a Renato De Cartes, Leida 1649 che si arricchì nelle successive del 1659-1661, 1679,1695 delle aggiunte e dei commenti di Jan de Witt, Jan Hudde, F. de Beaune, Jacob Bernoulli, che ne favorirono la diffusione. Fu l’edizione in due volumi del 1659-61 ad essere studiata da Newton e da Leibniz. C. Adam, P. Tannery, Oeuvres de Descartes, 12 voll, Paris 1897-1913 46 Hudde De Witt 23 Pierre de Fermat (1601-1665) Figlio di un mercante, compì studi giuridici a Tolosa, dove esercitò la professione di magistrato fino al 1648 quando divenne consigliere del re. Non fu quindi un matematico di professione, ma diede contributi rilevanti alla nascita dell’analisi infinitesimale e della geometria analitica. Fu l’iniziatore del calcolo delle probabilità e della teoria dei numeri vera e propria. La maggior parte dei suoi risultati hanno il carattere di brevi saggi o compaiono nelle lettere che scriveva agli amici. Pubblicò poco e molti dei suoi lavori apparvero solo dopo la sua morte. Sarà il maggiore dei suoi figli Samuel a divulgare le sue ricerche in teoria dei numeri sulla base delle annotazioni a margine della Arithmetica di Diofanto edita da C. G. Bachet de Méziriac. 47 Ad loco planos et solidos isagoge Introduzione ai luoghi geometrici rappresentati da rette e da curve di secondo grado ∼1629 È probabile che Fermat sia giunto alla geometria delle coordinate dallo studio dell’opera di Apollonio e dalla traduzione dei risultati in forma algebrica. “Gli antichi hanno trattato i luoghi, ma non erano in grado di trattarli in modo generale” “Ogni volta che in un’equazione finale si trovano due quantità incognite abbiamo un luogo, in quanto l’estremità di una di esse descrive una linea retta o curva” (Oeuvres Fermat, vol. I, p. 91) P. Tannery, Ch. Henry, Oeuvres de Fermat, 4 voll. Paris, 1891-1912 48 24 La trattazione di Fermat è più ‘didattica’ rispetto a quella di Descartes. Egli parte dall’equazione della retta e via via considera equazioni di grado superiore (circonferenza, coniche) tazioni e terminologia di F. Viète I(x,y) Ey N A x Z M Sia NMZ una retta data in posizione [asse x], si fissi N [origine], si ponga NZ = A (x, quantità incognita) e ZI (sotto l’angolo dato NZI, non necessariamente retto) = E (y, altra incognita) Sia D·A = B · E, allora I starà su una retta data in posizione. Infatti sarà B/D=A/E, dunque è dato il rapporto A/E, e, essendo dato l’angolo NZI (in fig retto), il triangolo INZ è dato, dunque I sarà su una retta data in posizione. D in A aequetur B in E → Dx = By (semiretta con estremo nell’origine. Fermat non usa ascisse negative) 49 Considera poi l’equazione lineare più generale: Zpl – D in A aequetur B in E C2 − Dx = By Si ponga D · R = C2 B/D = (R−x) /y Sia MN=R, sarà allora dato M e MZ = R−x, dunque MZ/ZI è dato come è dato l’angolo in Z, pertanto I y è dato anche il triangolo IZM, allora I starà su una retta data in posizione. x N R R-x Z M Aq aequatur D in E parabola x2 = Dy A in E aequatur Zpl iperbole xy= C2 Bq –Aq aequatur Eq cerchio B2 – x2 = y2 50 25 Retta tangente - FERMAT Metodo dei massimi e minimi Si consideri la funzione y=ƒ(x) e si voglia trovare il massimo o il minimo. Nelle vicinanze di un massimo o di un minimo le variazioni sono insensibili. Se a è il punto di massimo di ƒ si avrà ƒ(a) ~ ƒ(a + E) se E è infinitamente piccola. L’uguaglianza approssimata o, come dice Fermat, l’adaequatio, permette di determinare i max o min. Raccogliendo i termini e dividendo per E Fermat ottiene ƒ (a + E) – ƒ (a) ~ 0 E e ponendo E=0 giunge al risultato, con un procedimento non rigoroso, che introduce il rapporto incrementale e che porterà al concetto di derivata, una volta definito il concetto di limite. 51 Gilles Personne de Roberval 1601-1675 retta tangente per via cinematica "La direzione del movimento di un punto che descrive la curva è la retta tangente della curva in ogni posizione di quel punto." I D B F C A "Per le proprietà specifiche della curva, che vi sono date, esaminate i diversi movimenti che compie il punto che la descrive proprio là dove intendete condurre la tangente: componete poi tutti questi movimenti in uno solo, tracciate la linea che rappresenta la direzione del moto composto e avrete la tangente alla curva." 52 26 I D B F C A B r r r v F = r&1λ 1 + r1θ& 1µ 1 θ2 α2 r2 F r1 "Si abbia un’ellisse e sia F un punto sulla curva. Tracciamo le rette BFC e AFD condotte a partire dai fuochi A e B. Siccome il punto F si allontana da uno dei punti A e B tanto quanto si avvicina all’altro, è sufficiente dividere l’uno dei due angoli AFC o BFD in due parti uguali tramite la retta FI che sarà la tangente." r r v F ⋅ λ 1 = r&1 r1+r2 = cost. r r r r vF ⋅λ1 = − vF ⋅λ 2 θ1 cosα1= − r&1 + r&2=0 r&1 = − r&2 r r v F ⋅ λ 2 = r&2 r vF r r r v F = r&2 λ 2 + r2 θ& 2 µ 2 r vF cosα2, dunque α1=α2 53 La nascita dell’analisi infinitesimale Isaac Newton (1642-1727) Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) 1665-66 biennium mirabilissimum 1672-1676 soggiorno a Parigi 1684 Nova methodus 54 27 Bibliografia essenziale Boyer C., History of analytic geometry, The Scripta Mathematica Studies, New York, 1956 Freguglia P., La geometria tra tradizione e innovazione 1550-1650, Bollati Boringhieri, Torino, 1999, Cap. 4 Kline M., Storia del pensiero matematico, (1972), Torino, Einaudi, I vol., 1991, pp. 106-118, 227-228, 246-248, 353-354, 359-369, 636-647 Lojacono E., Cartesio, I Grandi della Scienza, Le Scienze, 2000 Katz V. (ed.), Historical Modules for the Teaching and Learning Mathematics, The Mathematical Association of America, 2005 I testi Heath T., Apollonius of Perga. Treatise on Conic Sections, Cambridge University Press, 1896. Ver Eecke P., Les Coniques d’Apollonius de Perge, De Brouwer, Bruges, 1923 Al Khayyam O., L’oeuvre algébrique, etablie, traduite et analysée par R. Rashed et A. Djebbar, Paris 1979 Adam CH., Tannery P., Oeuvres de Descartes, 12 voll., Paris, 1897-1913 Descartes R., Opere scientifiche, Classici della scienza, Utet, Torino, 1983 Tannery P., Henry Ch., Oeuvres de Fermat, 4 voll, Paris, 1891-1912 55 Euler L., Introductio in analysin infinitorum , II vol. Lausannae, 1748 28