MD6 La teoria dei Giochi

Teoria dei giochi
Teoria che analizza in modo formale
l’interazione strategica di soggetti
razionali che agiscono in modo
strategico
Situazione strategica
Sette persone si recano insieme al ristorante
a) Si paga alla romana  semplice problema di scelta (Max U s.t. VdB)
 Ciascuno è in grado di controllare autonomamente il risultato delle sue scelte
b) Si paga dividendo il conto per 7  problema strategico
Non riesco a controllare la mia spesa
 Il risultato delle mie azioni dipende anche dalle scelte degli altri
Gioco
insieme astratto di regole
che vincolano il
comportamento dei
giocatori
definiscono i risultati
sulla base delle azioni che
essi intraprendono
Il gioco è le regole
In un gioco vi
sono tre
elementi
caratteristici
Rappresentazione di un gioco
• Forma normale: matrice delle vincite
• Forma estesa: albero del gioco
Esempio
Giocatori
Strategie B
B
A Alto
Basso
Sinistra
Destra
1,2
0,1
2,1
1, 0
Payoff A
Strategie A
Uno dei 4 esiti del gioco
Payoff B
Forma estesa
Rami
Nodi
A
Sx
Dx
B
B
Dx
2,3
Uno dei 4 esiti del gioco
Non
Sx
Dx
1,2
2,0
Sx
Payoff A
0,1
Payoff B
Classificazione dei giochi
Cooperativi
NON Cooperativi
Informazione
completa
Informazione
incompleta
i giocatori possono assumere degli
impegni che hanno valore
VINCOLANTE
i giocatori NON possono assumere
degli impegni che hanno valore
VINCOLANTE
Tutte le informazioni del gioco sono
note a tutti i giocatori
NON tutte le informazioni del gioco
sono note a tutti i giocatori
Classificazione dei giochi
Giochi a somma
zero
il guadagno di un giocatore CORRISPONDE
sempre alla perdita di un altro giocatore
La somma delle vincite (o delle perdite) dei
giocatori NON È COSTANTE
Giochi statici
I giocatori fanno le loro mosse
SEQUENZIALMENTE
Giochi one-shot
Vengono giocati PIÙ VOLTE fra gli stessi
giocatori
Giochi NON a somma
zero
I giocatori fanno le loro mosse
SIMULTANEAMENTE
Giochi dinamici
Vengono giocati UNA SOLA volta
Giochi ripetuti
Soluzione dei giochi
Equilibrio per un gioco: situazione in cui
nessun giocatore desidera modificare il
suo comportamento unilateralmente dato il
comportamento degli altri giocatori
Equilibrio di Nash
Un insieme di strategie, una per ogni giocatore, tale
che la strategia di ogni giocatore sia la migliore per lui,
quando anche gli altri giocatori giochino la loro
strategia di equilibrio
L’equilibrio di Nash si definisce strategicamente
stabile o autovincolante perché nessun giocatore,
singolarmente preso, desidera deviare dalla propria
strategia di equilibrio ferme restando le strategie
adottate dagli altri giocatori
Equilibrio di Nash
La strategia (a2,b3) è un equilibrio di Nash perché né A né B hanno
l’incentivo a cambiare strategia data la scelta dell’altro giocatore
B
A
b1
b2
b3
a1
0,3
2,2
1,3
a2
2,1
3,2
2,3
a3
5,1
1,4
1,0
Se B cambiasse otterrebbe 1
giocando b1 e 2 giocando b2
Se A cambiasse
otterrebbe 1
giocando a1 e 1
giocando a3
Equilibrio di Nash
La strategia (a2,b3) è un equilibrio di Nash perché né A né B hanno
l’incentivo a cambiare strategia data la scelta dell’altro giocatore
A preferirebbe il 5 di (a3,b1)
B
A
b1
b2
b3
a1
0,3
2,2
1,3
a2
2,1
3,2
2,3
ma (a3,b1) non è un equilibrio
perché B cambierebbe la sua
scelta in b2
ma allora A si
sposterebbe in a2
infine B si sposterebbe in b3
a3
5,1
1,4
1,0
da qui NON ci si muove più
L’equilibrio non produce né per A né per B necessariamente il
payoff più alto
Equilibrio di Nash
* *
*
*
* *
*
i (s1 , s 2 ,...si ,.., s n )  i (s1 , s 2 ,...ŝi ,.., s n )
*
si
*
si
è la soluzione del problema
* *
*
Max i (s1 , s 2 ,...si ,.., s n ) s.t.si  Si
si
Può essere vista come la ottima risposta del
giocatore i-esimo alle mosse degli altri giocatori
Possiamo definire una risposta ottima per ogni strategia degli altri
giocatori costruendo una funzione di risposta ottima
BRF  funzione di risposta ottima
L’equilibrio di Nash sarà caratterizzato dal fatto che per tutti i
giocatori è una risposta ottima alle scelte degli altri
Come si trova l’equilibrio di Nash
Strategia DOMINANTE
Se esiste una strategia
dominante un giocatore
razionale giocherà
QUELLA
Se esiste una strategia
dominata un giocatore
razionale non la giocherà
MAI
Strategia DOMINATA
strategia che risulta migliore
(garantisce più alti payoffs) per
un giocatore indipendentemente
dalle strategie adottate dagli altri
giocatori
strategia che risulta inferiore
(garantisce più bassi payoffs) per
un giocatore indipendentemente
dalle strategie adottate dagli altri
giocatori
Definzione
Strategia (debolmente)
DOMINANTE
Strategia (debolmente)
DOMINATA
strategia che risulta non
peggiore (garantisce payoffs
non inferiori) per un giocatore
indipendentemente dalle
strategie adottate dagli altri
giocatori
strategia che risulta non superiore
(garantisce payoffs non più alti)
per un giocatore
indipendentemente dalle strategie
adottate dagli altri giocatori
Esempio: strategia dominata
B
A
b1
b2
b3
a1
0,3
2,2
1,3
a2
2,1
3,2
2,3
a3
5,1
1,4
1,0
Strategia Dominata
Confrontiamo a1 con a2
qualunque sia la scelta di B
(b1,b2,b3) a1 permette di ottenere
un payoff più basso
Nessun giocatore razionale
sceglierebbe a1 se esiste a2
Per definire una strategia come dominata è
sufficiente che esista una sola altra strategia che
permetta di avere un payoff più altro qualunque
sia la scelta dell’altro giocatore
Esempio: strategia dominante
B
A
Strategia Dominante
b1
b2
b3
a1
1,3
2,4
1,3
a2
2,1
3,2
1,1
a3
5,1
4,4
2,0
Confrontiamo b2 con b1 e b3
qualunque sia la scelta di A
(a1,a2,a3) b2 permette di ottenere
un payoff più alto
Ogni giocatore razionale
sceglierebbe b2
Per definire una strategia come dominante è
necessario che permetta di ottenere un payoff
qualunque sia la strategia scelta dall’altro giocatore
Strategie dominanti e dominate sono collegate
Per definizione:
se esiste una strategia dominante tutte
le altre (dello stesso giocatore sono
dominate
B
b1
b2
b3
b1 e b3  sono dominate
a1 1,3 2,4 1,3
A
a2 2,1 3,2 1,1
a3 5,1 4,4 2,0
Ma non è vero che se la strategia b1 è dominata dalla strategia b2 questa sia
necessariamente dominante.
Strategie dominanti e dominate sono collegate
Nota è cambiato solo il payoff in rosso
(5 al posto di 0)
Strategia Dominata
B
b1
b2
b2 non è più una
strategia dominate
b3
a1 1,3 2,4 1,3
A
a2 2,1 3,2 1,1
a3 5,1 4,4 2,5
La strategia b1 è dominata da b2 ma b2 non è una strategia dominante
perché se A giocasse a3 sarebbe meglio per B scegliere b3
Esempio: prendiamo questi altri due giochi
Gli unici valori differenti
sono i payoffs segnati in
rosso
Strategia debolmente
Dominante
B
b1
b2
B
b3
b1
a1 0,3 3,2 1,3
A
a2 2,1 3,2 2,3
a3 5,1 1,4 1,0
Strategia debolmente
Dominata
b2
b3
a1 1,3 2,4 1,3
A
a2 2,1 3,2 1,1
a3 5,1 4,4 2,4
Come si trova l’equilibrio di Nash se esiste una
strategia dominante
B
a1
A
Il giocatore B sceglie b2 e
A lo sa
b1
b2
b3
1,3
2,4
1,3
Ora se A sceglie
a1  ottiene 2
a2  ottiene 3
a3  ottiene 4
a2
2,1
3,2
1,1
a3
5,1
4,4
2,0
A sceglie a3
(a3,b3)  Equilibrio di Nash
Come si trova l’equilibrio di Nash
A
a1
a2
a3
B1
B
b2
B3
0,3
2,1
5,1
4,2
3,2
1,4
1,3
2,3
1,0
Non ci sono né strategie dominate né strategie dominanti
Per trovare la soluzione occorre utilizzare la funzione di
risposta ottima (BRF)
risposta ottima
Funzione di
risposta ottima
La migliore strategia che un giocatore può effettuare
DATA la strategia scelta dagli ALTRI GIOCATORI
L’insieme delle risposte ottime di un giocatore
Trovare l’ E.d.N. utilizzando la BRF
A
a1
a2
a3
b1
B
b2
b3
0,3
2,1
5,1
4,2
3,2
1,4
1,3
2,3
1,0
E.d.N deve essere la
coppia di strategie che
è la risposta ottima di
entrambi i giocatori
Se il giocatore B sceglie b1 la migliore risposta di A è a3
Se il giocatore B sceglie b2 la migliore risposta di A è a1
Se il giocatore B sceglie b3 la migliore risposta di A è a2
Se il giocatore A sceglie a1 la migliore risposta di B è b1 o b3
Se il giocatore A sceglie a2 la migliore risposta di B è b3
Se il giocatore A sceglie a3 la migliore risposta di B è b2
Gioco della mano invisibile figura 4.2 del libro
Anil e Bala sono due agricoltori
• i payoff sono i profitti che ottengono
dalla coltivazione
• possono piantare solo R o M (due
strategie)
• il terreno di A è più produttivo se si
pianta M
• il terreno di B è più produttivo se si
pianta R
• se entrambi piantano la stessa cosa il
prezzo diminuisce così come il loro
profitto
(M,R)
Il giocatore di linea che sceglie M e il
giocatore di colonna che sceglie R è
Equilibrio in strategie dominanti
l’equilibrio di Nash
Gioco della mano invisibile
In questo caso la natura strategica della
interazione fra i soggetti non preclude la
possibilità che le decisione individuali
vengano coordinate e si raggiunga un
risultato socialmente desiderabile
Ma non è sempre così
Mano
invisibile
Limiti della definizione di equilibrio di Nash
P
Gioco del calcio di rigore
A
cerchiamo l’equilibrio con il
metodo della risposta ottima
dx
cx
sx
dx
0,2
2,0
2,0
cx
2,0
0,2
2,0
sx
2,0
2,0
0,2
E’ evidente che non esiste un equilibrio di
Nash per questo gioco
equilibrio di Nash
Consideriamo questo gioco classico
La guerra dei sessi
Lui
Esiste una
molteplicità
(due) di
equilibri di
Nash
Opera Stadio
Opera
1,2
0,0
Stadio
0,0
2,1
Lei
Quale selezionare ?
Consideriamo un altro gioco
Sempre Anil e Bala
Payoff differenti
In questo caso immaginiamo che
nel caso A e B producano lo
stesso bene i prezzi
diminuiscano in modo molto forte
Ci sono due
equilibri di Nash
Quale selezionare ?
Le due programmatrici
Di nuovo
Due equilibri di Nash
Come risolviamo il problema della ambiguità della
molteplicità degli equilibri
Prendiamo un altro gioco
Gioco dell’incrocio
Due auto (S e D) arrivano
contemporaneamente all’incrocio
Possono Fermarsi o Passare
S
D
P
F
P
-2, -2
2,0
F
0,2
0,0
Molteplicità equilibri di Nash: giochi sequenziali
Consideriamo il gioco dell’incrocio, immaginando che l’auto A si
presenti per prima all’incrocio
Il gioco non è più simultaneo ma sequenziale, l’auto A effettuerà
la prima mossa e successivamente muoverà l’auto B
Auto A
La
rappresentazione
del gioco a forma
estesa è
preferibile
P
F
Auto B
F
0,0
Auto B
P
F
0,2
2,0
P
-2 , -2
Giochi sequenziali in forma estesa: induzione a ritroso
Induzione a ritroso
Si parte dai nodi finali del gioco e si analizzano le scelte dei giocatori fino
a risalire all’inizio del gioco
B sceglierà P
che gli da 2 al
posto di 0
A lo sa e sa che
se sceglierà F
prenderà 0
Auto B
F
0,0
Auto A
P
F
A sceglierà P che
gli garantisce 2
mentre se
scegliesse F
F
P
avrebbe 0
0,2
2,0
B sceglierà F che gli
da 0 al posto di -2
A lo sa e sa che se
sceglierà P
prenderà 2
Auto B
P
-2 , -2
Giochi sequenziali in forma estesa: induzione a ritroso
Induzione a ritroso
Si parte dai nodi finali del gioco e si analizzano le scelte dei giocatori fino
a risalire all’inizio del gioco
B sceglierà P
che gli da 2 al
posto di 0
A lo sa e sa che
se sceglierà F
prenderà 0
Auto B
F
0,0
Auto A
P
F
A sceglierà P che
gli garantisce 2
mentre se
scegliesse F
F
P
avrebbe 0
0,2
2,0
B sceglierà F che gli
da 0 al posto di -2
A lo sa e sa che se
sceglierà P
prenderà 2
Auto B
P
-2 , -2
Gioco delle due
programmatrici
Se c’è una sequenza
temporale l’ambiguità
sparisce
Ipotesi
Astrid sceglie per prima
Astrid
Java
C++
M
Bettina
Java
4,3
C++
Java
C++
2,2
0,0
3,6
Molteplicità equilibri di Nash: meccanismi istituzionali
Quando non esistono altri sistemi per eliminare la molteplicità degli
equilibri possono intervenire dei meccanismi istituzionali che
regolamentano il comportamento individuale e risolvono l’ambiguità
Gioco dell’incrocio  il semaforo, regola
codice della strada
Guerra dei sessi  Se il rapporto dura nel tempo, la
coppia cerca una regola di
buona convivenza
Gioco programmatrici  Se sono inserite in un’impresa ci
può essere una struttura
gerarchica (la superiore decide
per prima)
Risolvere questo tipo di ambiguità è una delle
spiegazioni della nascita delle istituzioni
Criterio Paretiano (da W. Pareto)
Abbiamo visto che l’individuo ordina i panieri alternativi secondo le sue
preferenze e scegli il paniere che massimizza il suo benessere dati i
vincoli cui è soggetto
Come possiamo confrontare allocazioni che coinvolgano più di un soggetto
Problema
L’utilità non è misurabile
Non possiamo semplicemente sommare la soddisfazione
individuale
Esiste un punto di vista sociale per valutare le
allocazioni? Ci sono o no criteri che ci consentano di dire
se l’allocazione A è superiore all’allocazione B,
oppure se è vero il contrario?
Allocazione = distribuzione di beni, benessere o quant’altro fra più soggetti
Criterio Paretiano
Criterio Paretiano
Il “criterio di Pareto ” afferma quanto segue:
Un’allocazione A è superiore a un’altra allocazione B,
se almeno un soggetto preferisce A a B
e nessuno preferisce B ad A (e viceversa).
oppure
Un’allocazione A è superiore a un’altra allocazione B,
se in A tutti stanno altrettanto bene che in B e
almeno uno sta meglio in A che in B
Non tutte le allocazioni
sono Pareto Ordinabili
A = (10, 3, 7)
B = (10, 2, 7)
C = (9, 5, 16)
Criterio Paretiano (da W. Pareto)
Un'allocazione è efficiente nel senso di Pareto
se non ne esiste un'altra che sia migliore sulla
base del principio di Pareto;
cioè, se non è possibile migliorare il benessere
di qualcuno senza peggiorare quello di qualcun
altro
Criterio di efficienza distributiva e non di equità
Dilemma del prigioniero
• Thelma e Louise sono complici in un grave delitto e sono
detenute in celle separate (non possono comunicare).
• Ci sono le prove solo per accusarle di un reato minore la
cui pena è 1 anno di reclusione
• Ogni prigioniera può confessare il delitto grave o negare.
• Se confessa uscirà subito di prigione, mentre la complice
avrà una pena di 10 anni di reclusione.
• Se entrambe confessano saranno condannate a una pena
intermedia di 2 anni.
• Se nessuna delle due confessa la pena sarà di 1 anno.
Dilemma del prigioniero
L’EQUILIBRIO DI NASH È SOTT'OTTIMALE (in senso
Paretiano) rispetto ad un altro esito del gioco che sarebbe
preferito da entrambi i giocatori ma che non è ottenibile
Nota: essendo anni di prigione si tende a minimizzare i payoffs
Risultato paradossale
Un comportamento teso a
massimizzare il
benessere individuale
produce un risultato non
ottimo da un punto di
vista individuale
Thelma
Nega
Confessa
O.P
Nega
1,1
Louise
10 , 0
Nash
Confessa
0 , 10
5,5
Dilemma del prigioniero
Confessa è la strategia
dominante per entrambe
Louise
Nega
Confessa
Nega
1,1
10 , 0
Confessa
0 , 10
2,2
Thelma
Dilemma del prigioniero
Gioco del controllo dei parassiti (par. 4.3)
Ipotesi
a) Ci sono due contadini Anil e Bala (sempre quelli) cha hanno due
campi identici e adiacenti
b) Per distruggere i parassiti che rovinano il raccolto hanno 2
strategie
a)
Usare un potente antiparassitario (Terminator) che distrugge qualsiasi
tipo di insetto ma inquina la falda acquifera  costa poco
b)
usare la lotta integrata che non ha effetti sulla falda  costa di più
c) Se entrambi scelgono il T il danno alla falda sarà elevato e si
renderà necessario acquistare un costoso sistema di filtraggio;
d) Se solo uno sceglie di usare il T il danno sarà limitato e il
filtraggio non sarà necessario
Dilemma del prigioniero  framework generale
Gioco del controllo dei parassiti
Beatrix
Ana
IPC
T
Payoff Monetari
IPC
3, 3
4, 1
T
1,4
2,2
Sotto-ottimalità dell’equilibrio di Nash (DP)
possibili soluzioni
Soluzione A Intervento dall’esterno
Ruolo delle istituzioni  si vieta l’uso del Terminator
Meccanismi istituzionali
Mafia, malavita organizzata
dilemma del prigioniero
Modificano dall’esterno la struttura degli incentivi
Sotto-ottimalità dell’equilibrio di Nash (DP)
possibili soluzioni
Soluzione B  Reputazione e giochi ripetuti
Nella realtà il gioco è spesso ripetuto
Possono emergere dei meccanismi endogeni di punizione di
comportamenti devianti
Meccanismo punitivo
Se uno dei due contadini
utilizzasse il Terminator lo
farebbe anche l’altro
Ogni volta che sono chiamate a collaborare, Anil e Bala devono
decidere se collaborare (IPC) o «fregarsi» a vicenda
Sotto-ottimalità dell’equilibrio di Nash (DP)
possibili soluzioni
Soluzione B  Reputazione e giochi ripetuti
Immaginiamo che il gioco venga giocato per tre periodi
Al tempo t1 Anil deve decidere se usare il terminator
Se lo usa oggi sa che dal prossimo periodo in poi lo
userà anche Bala
πTA
=4+2+2=8
πIPCA
=3+3+3=9
Payoff di Anil se decide di «fregare»
Bala e passare al Terminator
Payoff di Anil se preferisce continuare ad
usare l’IPC
Questo calcolo è troppo semplificato  valore attuale = al valore futuro
Sotto-ottimalità dell’equilibrio di Nash (DP)
possibili soluzioni
Soluzione B  Reputazione e giochi ripetuti
Immaginiamo che il gioco venga giocato per più periodi
Vantaggio
immediato
π
Perdita
futura
4
3
2
1
2
3
4
tempo
Sotto-ottimalità dell’equilibrio di Nash (DP)
possibili soluzioni
Soluzione B  Reputazione e giochi ripetuti
Se i giocatori sono sufficientemente pazienti (attribuiscono un
peso adeguato ai guadagni futuri)
Nota
Il gioco deve durare
all’infinito o avere una
durata finita ma incerta
Il risultato pareto ottimale può essere raggiunto
Reputazione -- Credibilità
Sotto-ottimalità dell’equilibrio di Nash (DP)
possibili soluzioni
Soluzione C  Altruismo
Prossima lezione