UN MODELLO DI CALCOLO PER MOTORI WANKEL E

S.P. Cicconardi, M. Marini, A. Perna
1
UN MODELLO DI CALCOLO PER MOTORI WANKEL
E COMPRESSORI VOLUMETRICI ROTATIVI
S. P. Cicconardi, M. Marini, A. Perna
Dipartimento di Ingegneria Industriale, Università di Cassino
SOMMARIO
Il motore Wankel,, volumetrico e rotativo, ha attirato a lungo l’attenzione dei ricercatori per le sue
intrinseche doti di alta potenza specifica e assenza di vibrazioni. La recente evoluzione dei motori
alternativi, sollecitata soprattutto dalla necessità di ridurre le emissioni inquinanti, ha posto in secondo
piano i motori rotativi che tuttavia mantengono alcune caratteristiche degne d’interesse. Nella
memoria viene presentato un modello di calcolo del campo di moto che s’instaura nel motore Wankel.
Il reticolo di calcolo, che si muove e si deforma nel tempo ciclicamente, é generato mediante un
metodo algebrico descritto nel dettaglio. Il flusso, nel dominio delimitato da rotore e cassa, è calcolato
con un metodo esplicito ai volumi finiti.. Un esempio applicativo evidenzia le caratteristiche del
metodo sviluppato.
1. INTRODUZIONE
Una delle caratteristiche meno attraenti del tradizionale motore a combustione interna è costituita dal
fatto che il moto dei pistoni è di tipo rettilineo alternato, richiedendo dunque un complesso sistema
biella-manovella per poter essere trasformato in rotatorio. Inoltre, non va dimenticato che il pistone di
un motore alternativo è soggetto a sollecitazioni elevatissime, perché deve a ogni inversione del moto
decelerare fino a fermarsi per poi accelerare, il che, naturalmente, comporta una rilevante riduzione
del rendimento complessivo a causa di vibrazioni, attriti e inerzia.
Un motore rotativo dovrebbe essere in grado di offrire una notevole riduzione, sia nelle dimensioni sia
nel numero delle parti in movimento e dovrebbe costituire un'unità motrice leggera e affidabile, capace
di funzionare senza dar luogo a vibrazioni di rilievo.
Nonostante i potenziali vantaggi offerti dal motore rotativo, finora solo uno dei numerosi motori
progettati e realizzati nel corso degli anni può vantare un'applicazione pratica di un certo rilievo:
quello ideato e sviluppato dal progettista tedesco Felix Wankel nel 1954. In precedenza questo tecnico
si era occupato dello sviluppo di compressori volumetrici rotativi per la Luftwaffe. Appena terminata
la Seconda Guerra Mondiale, Felix Wankel entrò a far parte, come progettista, della NSU (una
fabbrica tedesca di automobili assorbita in seguito dal gruppo Audi-Volkswagen) ed è qui che gli studi
condotti sui compressori rotativi furono applicati alla progettazione di un efficiente motore a
combustione interna. Uno dei principali problemi del Wankel è sicuramente la fase di combustione,
dal momento che, a differenza di quanto accade nei motori alternativi, la particolare configurazione
del “pistone” non consente grossi margini di libertà e le camere di combustione finiscono
inevitabilmente con l'essere molto sviluppate in lunghezza e quindi quasi piatte. Questa configurazione
non è certo ideale, soprattutto per la notevole distanza tra gli elettrodi della candela e i punti estremi
della camera di combustione.
Una delle tecniche utilizzate per ridurre questo inconveniente è l’uso di due candele di accensione per
ogni rotore. Nel caso particolare della Mazda RX-7 i progettisti hanno ulteriormente perfezionato la
tecnica della doppia accensione: infatti, la scintilla della seconda candela scocca qualche istante dopo
rispetto alla prima. Questa raffinatezza implica, però, due sistemi di accensione completamente
indipendenti. Questo difetto è la causa principale della mancata affermazione del motore Wankel: si
determina, infatti, un elevato consumo di carburante, dovuto a una combustione incompleta della
miscela aria-benzina. Come fenomeno collaterale, ma tutt'altro che trascurabile di una combustione
imperfetta, si ha un elevato livello di emissione nocive, in particolare di idrocarburi incombusti.
I vantaggi, a parte quelli già individuati grazie a una meccanica più semplice, sono molteplici. A parità
di cilindrata, infatti, il Wankel eroga una potenza superiore a quella di un tradizionale motore a
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alternativo dal momento che in 2 giri dell'albero motore di un birotore avvengono 6 accensioni contro
le 4 di un 4 cilindri alternativo. La NSU Wankel Spider, ad esempio, con il suo monorotore di soli 498
cm3 raggiungeva una velocità massima superiore ai 150 km/h. E ancora, la più recente Mazda RX-7,
dotata di un propulsore birotore con cilindrata totale di 1308 cm3, ha prestazioni quasi identiche alla
Porsche 924S, eppure quest'ultima è dotata di un motore a pistoni alternativi di ben 2479 cm3.
Nel motore rotativo Wankel non ci sono valvole di alcun tipo: l'entrata della miscela aria-benzina e la
fuoruscita dei gas combusti sono controllate direttamente dal rotore, che scopre alternativamente le
luci di aspirazione e di scarico secondo una sequenza ben precisa, così come avviene in un motore a 2
tempi. Viene così eliminata la necessità di un qualsiasi sistema di comando della distribuzione, e ciò si
traduce in una maggiore semplicità meccanica: basti dire che, rispetto a un equivalente motore a
quattro tempi alternativo, il Wankel ha appena la metà dei componenti in movimento. Esso, inoltre, è
più leggero e più compatto, anche se, ovviamente, il motore rotativo ha bisogno di quasi tutti gli
accessori necessari per far funzionare un propulsore tradizionale: sistemi di avviamento, di
raffreddamento, di accensione, di alimentazione, ecc. Una volta corredato con tutti questi accessori, il
Wankel perde buona parte dei suoi vantaggi in termini di leggerezza e di minor ingombro, ma
conserva comunque caratteristiche decisamente interessanti e, cioè, dolcezza di funzionamento e
assenza pressoché totale di vibrazioni. Queste qualità vengono ancor più esaltate nelle versioni
birotore, ossia con due rotori sfasati di 180°. Non essendoci componenti in moto alternato, le fonti di
vibrazioni del Wankel sono già molto ridotte e l’impiego di due rotori contribuisce in maniera
determinante a bilanciare le forze dinamiche generate dai rotori stessi.
Molte delle considerazioni effettuate a proposito del motore Wankel possono essere riferite anche ai
compressori volumetrici rotativi, che presentano vantaggi analoghi rispetto ai compressori a stantuffo
ed un più esteso campo d’applicazione, che comprende i casi in cui sono richieste elevate pressioni. In
generale le macchine operatrici volumetriche rotative, caratterizzate da una molteplicità di geometrie
(compressori Roots, a vite, a lobi ecc…) sono molto diffuse. Così come per il motore Wankel la
definizione della geometria dei contorni è un passo cruciale ed è stato oggetto di numerosi studi volti a
produrre dei metodi generali ed automatizzabili per la loro definizione accurata (Feng, 1993). Nel
seguito viene presentato un metodo algebrico per generare reticoli di calcolo ed un modello di calcolo
del flusso su griglie mobili che può essere applicato alle geometrie delle macchine volumetriche
motrici, come il motore Wankel, ma anche operatrici.
2. LA GEOMETRIA ED IL RETICOLO DI CALCOLO
La geometria della camera di combustione di un motore Wankel è definita attraverso i contorni della
cassa statorica ed i contorni del rotore. Per lo statore si ha l'equazione seguente:
X 1 = E cos(3 A) + (R + C ) cos( A)
Y1 = E sen (3 A) + (R + C ) sen ( A)
(1 )
I parametri geometrici R (raggio), E (eccentricità) e C (gioco) definiscono il “manovellismo” del
motore Wankel mentre A è l’angolo corrente che varia tra 0 e 2π. Per quanto riguarda il rotore, esso è
delimitato da tre facce e ruota. Di questo possiamo tenere conto considerando tre coppie di coordinate,
indicate rispettivamente con X2, Y2 oppure X3,Y3 oppure X4,Y4. Le due equazioni che descrivono il
contorno del rotore sono denotate da ”i” che può assumere il valore 2, 3 o 4. L’angolo θ varia nel
tempo come la giacitura del lato che delimita il rotore.. Assumendo una velocità di rotazione costante
pari a Ω, vale la relazione θ = Ωt.
ϑ 
ϑ 
ϑ 
ϑ 
X i = E sen (ϑ ) + X RO cos  + Y RO sen  Yi = E cos(ϑ ) + Y RO cos  − X RO sen  ( 2 )
3
3
3
3
I vari lati del rotore si distinguono specificando nei termini XR0, YR0 appena introdotti: il campo di
variazione di V è da π/6 a π/2 per i=2, da 5π/6 a 7π/6 per i=3, da 3π/2 a 11π/6 per i=4.
π
π
X RO = X R cos  + YR sen 
6
6
π
π
YRO = YR cos  − X R sen 
6
6
  9E 2
3E
X R = R cos (2V )sen (6V ) sen (2V ) + 2 E 1 − 
R
  R 2
2
1
2

 sen 2 (3V ) cos(3V ) cos(2V ) − Px



( 3)
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3
1
  9E 2 
2
3E
 sen 2 (3V ) cos(3V ) sen (2V ) − Py (3')
sen (6V ) cos(2V ) + +2 E 1 − 
Y R = R sen (2V ) +
R
  R 2 

Con i termini PX e PY si si tiene conto di incavi nel profilo limite di Wankel che sono di grande utilità
in prossimità del punto morto superiore in cui si sviluppa la combustione.
Px = P cos(2V )
Py = P sen (2V )
2
Il termine P ha un'espressione complessa per fare in modo che l’incavo sia delimitato: essa viene
riportata per esteso nell'appendice A.
Fig.1: Geometria del motore Wankel
Per un dominio spaziale che varia nel tempo, quale quello di un motore Wankel, la generazione del
reticolo comporta la seguente trasformazione di coordinate:
( X,Y,t ) ←→ (ξ,η,τ )
Ciò significa che il dominio delimitato dallo statore e dalla faccia del rotore, che si modifica nel tempo
di forma e posizione, viene trasformato in un dominio fisso rettangolare a maglia uniforme (fig. 2).
Tale trasformazione si ottiene con sistemi ellittici (Marini, 1991) che sono accurati e flessibili ma
richiedono tempi relativamente lunghi che risultano critici in un calcolo come il presente.
Fig. 2: Dominio fisico e dominio trasformato
Pertanto è stata adottato un metodo di generazione di tipo algebrico che,con tempi di calcolo
estremamente ridotti (Yang e Shih, 1986), consente comunque di ottenere reticoli ortogonali sui
contorni evitando le forti distorsioni locali che si otterrebbero nel caso di geometrie complesse.
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Si consideri il dominio in un istante t=τ, con la mappatura che fa corrispondere a tale dominio fisico
quello rettangolare trasformato ξη. Il lato AB corrisponde al contorno η=0; lungo di esso ξ varia da 0
(in A) ad 1 (in B). Il lato (CD) corrisponde al contorno η=1; lungo di esso ξ varia da 0 (in D) ad 1 (in
C). Siccome il contorno AB appartiene al contorno del rotore e si fissa l’attenzione sul lato 2, tale
contorno fisicamente corrisponde alle coordinate (X2,Y2); il contorno CD appartiene allo statore e lo
descrivono le coordinate (X1,Y1).
X 2 = X (ξ,η = 0,τ ) = X 2 (ξ,τ )
Y2 = Y (ξ,η = 0 ,τ ) = Y2 (ξ,τ )
X 1 = X (ξ,η = 1,τ ) = X 1 (ξ,τ )
Y1 = Y (ξ,η = 1,τ ) = Y1 (ξ,τ )
ξ varia tra 0 ed 1 e dipende da A e V che intervengono nella definizione di statore e rotore (vedi fig.1)
A − AL
V − VL
(4)
ξ =1−
ξ =1−
AT − AL
VT − V L
Per chiarire la cosa è opportuno esaminare in dettaglio che succede al variare dei parametri nei due
contorni estremi corrispondenti a statore e rotore. Per lo statore:
π ϑ
2π
AL = −
AT = AL +
6 3
3
Lo statore ovviamente è fermo ma la porzione di esso interessata al dominio di calcolo mobile con il
rotore varia. All’istante iniziale in cui τ=0 e corrispondentemente θ=0:
AL= π/6
AT=π/6+2π/3=5π/6
Facendo variare A tra AL e AT a questo punto si ottengono tutti i punti intermedi, ad esempio:
ξ=0.5 se A= π/2,
ξ=0
se A= AT= 5π/6
ξ=1 se A= AL= π/6,
X (ξ,1,0 ) = E cos(3 A) + (R + C ) cos( A) Y (ξ,1,0 ) = E sen (3 A) + (R + C ) sen ( A)
Il rotore invece chiaramente si sposta, o meglio si sposta il lato 2. In questo caso si ha: VL= π/6 e
VT=π/2. Si noti che θ non compare espressamente, ma interviene poi nelle espressioni (2). Anche qui ξ
varia tra 0 ed 1 secondo quanto evidenziato dall’esempio:
ξ=1 se V= VL= π/6;
ξ=0.5 se V= π/3;
ξ=0 se V= VT= π/2
Nel caso in cui θ=0 e η=0, si ottiene la seguente equazione per il lato 2 del rotore:
X (ξ,0,0 ) = E sen (0 ) + X RO cos(0) + YRO sen (0) Y (ξ,0,0 ) = E cos(0 ) + YRO cos(0 ) − X RO sen (0)
In queste due equazioni XR0 ed YR0 si ottengono dalle (3) e seguenti. Avendo individuato i punti che
definiscono i due contorni principali, si genera il reticolo unendo tali punti per ricavare la magliatura
completa, inizialmente con la semplice interpolazione di Lagrange.
X (ξ,η,τ ) = (1-η )X 2 (ξ,τ ) + ηX 1 (ξ,τ )
Y (ξ,η,τ ) = (1-η )Y2 (ξ,τ ) + ηY1 (ξ,τ )
Tale interpolazione non è soddisfacente in quanto collega semplicemente con dei tratti rettilinei i punti
di definizione sui contorni di coordinate X1,Y1 e X2,Y2; il grigliato che ne deriva può essere molto
distorto e soprattutto non è affatto ortogonale sul contorno. Questi limiti possono essere superati con
una interpolazione di tipo diverso nota come interpolazione di Hermite. La formula da utilizzare è la
seguente:
∂X (ξ,η = 0,τ )
∂X (ξ,η = 1,τ )
X (ξ,η,τ ) = X 2 (ξ,τ )h1 (η ) + X 1 (ξ,τ )h2 (η ) +
h3 (η ) +
h4 (η )
∂η
∂η
∂Y (ξ,η = 0,τ )
∂Y (ξ,η = 1,τ )
Y (ξ,η,τ ) = Y2 (ξ,τ )h1 (η ) + Y1 (ξ,τ )h2 (η ) +
h3 (η ) +
h4 (η )
∂η
∂η
In queste equazioni alcuni termini sono noti, altri no. In particolare prima si sono calcolati
X1,Y1,X2,Y2, restano da valutare h1,h2,h3,h4 e le quattro derivate sui contorni ad η=cost. I termini h
sono funzioni di η determinati a partire da precise condizioni al contorno:
h1 (η = 0 ) = 1
h1 (η = 1) = 0
h2 (η = 0 ) = 0
h2 (η = 1) = 1
Queste altre condizioni per assicurare una variazione graduale sui contorni:
dh1 (η = 0) dh1 (η = 1)
dh2 (η = 0 ) dh2 (η = 1)
=
=0
=
=0
dη
dη
dη
dη
Per i coefficienti moltiplicativi delle derivate si nota che, sui contorni η=cost, entrambi debbono
annullarsi affinché le assunzioni fatte a proposito di h1 ed h2 sui contorni abbiano significato. Pertanto:
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h3 (η = 0 ) = 0
5
h3 (η = 1) = 0
h4 (η = 0) = 0
h4 (η = 1) = 0
Inoltre:
dh3 (η = 0) dh4 (η = 1)
dh3 (η = 0) dh4 (η = 1)
=
=1
=
=0
dη
dη
dη
dη
Secondo quanto specificato sui contorni si ottengono le seguenti funzioni:
h1 (η ) = 2η 3 − 3η 2 + 1
h2 (η ) = −2η 3 + 3η 2
h3 (η ) = η 3 − 2η 2 + η
h4 (η ) = η 3 − η 2
Le derivate che compaiono nella generazione con interpolazione di Hermite, possono essere esplicitate
con la condizione che le maglie del reticolo siano ortogonali lungo i contorni. Essa si traduce
innanzitutto nelle seguenti eguaglianze:
∂Y (ξ,τ )
∂X 2 (ξ,τ )
∂Y (ξ,η = 0 ,τ )
∂X (ξ,η = 0 ,τ )
=− 2
=−
∂η
∂η
∂η
∂η
Possiamo sostituire tali relazioni con queste altre che consentono maggiori gradi di libertà, utili nella
creazione di reticoli soddisfacenti anche in geometrie abbastanza complicate
∂X (ξ,τ )
∂Y (ξ,τ )
∂X (ξ,η = 0,τ )
∂Y (ξ,η = 0 ,τ )
= K 2 (ξ ) 2
= − K 2 (ξ ) 2
∂η
∂η
∂η
∂η
Lungo l’altro contorno valgono relazioni simili, in base alla condizione di ortogonalità:
∂Y (ξ,τ )
∂X (ξ,τ )
∂X (ξ,η = 1,τ )
∂Y (ξ,η = 1,τ )
= − K1 (ξ ) 1
= K1 (ξ ) 1
∂η
∂η
∂η
∂η
Le funzioni K1(ξ) e K2(ξ) vengono scelte in modo empirico per evitare che le linee coordinate
s'intersechino all'interno del “dominio fisico”.
{
}
[X 1 (ξ,τ ) − X 2 (ξ,τ )]2 + [Y1 (ξ,τ ) − Y2 (ξ,τ )]2
K1 (ξ ) = K 2 (ξ ) = 2
A questo punto si possono calcolare anche le altre derivate che intervengono nella interpolazione di
Hermite, ed effettuare finalmente la generazione algebrica del reticolo
∂X 1 (ξ,τ )
∂Y1 (ξ,τ )
∂Y1 ∂A
∂X 1 ∂A
=
=
∂A ∂ξ
∂ξ
∂ξ
∂A ∂ξ
Ricordando le due espressioni di X1 ed Y1 (1) e la definizione di ξ (4) si può procedere al calcolo della
derivata. Rielaborando l’ultima relazione si cerca un’espressione del tipo A=f(ξ)
A = AT − ξ ( AT − AL )
Essendo poi AT-AL=2π/ 3 risulta δA/δξ=-2π/3.
In appendice B sono sviluppate in dettaglio le derivate δX1/ δA e δY1/ δA, δX2/ δV e δY2/ δV ecc, nel
caso presente della generazione di un reticolo per la camera di un motore Wankel. Evidentemente il
metodo di generazione di reticoli di calcolo ha una validità generale e può essere applicato ad altre
geometrie i cui contorni siano noti parametricamente.
3. IL MODELLO DI CALCOLO
Le equazioni che governano un flusso bidimensionale comprimibile, scritte in forma conservativa,
sono:
∂Q ∂F ∂G
+
+
=T
∂t
∂x
∂y
essendo:
[
+ p, ( ρE + p )v ]
Q = [ρ , ρu , ρv, ρE ]T
[
F = ρu , ρu 2 + p, ρuv, ( ρE + p)u
T
]
T
G = ρv, ρuv, ρv 2
T = [0,τ cosα ,τ cos β ,0]T
u e v sono le componenti di velocità secondo x e y, ρ la densità, E l'energia interna comprensiva del
termine cinetico, p la pressione statica, τ la tensione di taglio di origine viscosa, α e β gli angoli tra la
direzione locale della velocità e d x ed y rispettivamente. L'integrazione nel tempo di tali equazioni è
stata effettuata con uno schema Runge-Kutta multipasso, mentre le derivate spaziali sono state
calcolate con i volumi finiti in versione "cell-vertex"(Cravero e Satta, 1995). La discretizzazione con i
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volumi finiti non necessita di alcuna trasformazione di coordinate, pertanto la trattazione della
precedente sezione va considerata come una procedura per disporre opportunamente i punti di calcolo
nel piano fisico xy.
Nel caso di una griglia mobile una forma integrale delle equazioni di Eulero, trascurando il termine
viscoso (He e Denton, 1994), è la seguente:
∂
∫∫ Qdxdy + ∫ F − u mg Q dx + G − vmg Q dy = 0
∂t ∆V
A
Compaiono le componenti ugm e vgm con cui la griglia si muove localmente nelle direzioni x ed y
rispettivamente. Tale movimento comporta dei flussi aggiuntivi nei bilanci di massa, energia e
quantità di moto come evidenzia l'equazione appena riportata. Si è adottato uno schema a due passi per
far avanzare la soluzione nel tempo da n ad n+1:
n
n
n+ 1
n ∆S
1 ∆t  

Q 2 =Q
F − u gm Q ∆y i − G − v gm Q ∆x j  − D n 
−
∑

i
j


1
1

2

n+
n+ 
 ij 
∆S 2
∆S 2
n
n+ 1
n+ 1 
n +1
n ∆S
∆t  
2

2
−
=Q
−
−
∆
−
−
∆
Q
F
u
Q
y
G
v
Q
x
D
∑

gm i
i
gm
j
j
n +1
n +1  

∆S
∆S
 ij

Essendo lo schema di calcolo di tipo esplicito il passo di avanzamento temporale è determinato in base
alla nota condizione di Courant-Friederichs-Lewy. Il passo ∆t, comune a tutti i punti perché il campo
di moto calcolato abbia significato fisico, consente di ricavare la rotazione ∆θ = Ω∆t e quindi il nuovo
reticolo ruotato rispetto a quello proprio dell'istante n. In realtà occorrono tre reticoli per ciascun
passo, corrispondenti ai tre livelli temporali n, n+1/2 e n+1. Essi sono costruiti con il generatore
algebrico descritto in precedenza, in corrispondenza delle rotazioni θn , θn +∆θ/2, θn +∆θ: per questa
ragione è essenziale che i tempi di generazione del reticolo siano ridotti il più possibile.
Il calcolo ai volumi finiti è effettuato con l'approccio cell-vertex, attraverso una supercella di quattro
elementi che diventa di due oppure un solo elemento per punti che giacciono sui contorni solidi. L'area
finita ∆Sij che interviene nello schema di avanzamento nel tempo è illustrata in fig.3. Nello stesso
tempo debbono essere modificati i termini dissipativi del secondo e quarto ordine del termine D
(Cravero e Satta, 1995) negli stessi punti sui contorni che risultano estremi.
[(
)
(
(
) ]
(
)
)
(
(
)
)
Fig.3: Supercella del calcolo ai volumi finiti nei punti interni (a) e sui contorni (b) e (c)
Sui contorni solidi mobili devono anche essere specificati particolari bilanci affinché siano
correttamente trasmesse le condizioni al contorno. In un calcolo non viscoso sono nulli sui contorni
solidi i contributi dei termini di flusso che contengono le velocità, non potendo passare attraverso le
pareti solide alcuna portata. Tuttavia la pressione, che compare nei bilanci di quantità di moto, è
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trasmessa e nell'equazione dell'energia il termine con la pressione è mantenuto anche sulla parete per
tener conto del lavoro scambiato quando essa è mobile. Le velocità ugm e vgm si ottengono
semplicemente con le differenze finite essendo noti i reticoli all'istante n ed n+1.
(u gm )i, j =
x in, +j 1 − x in, j
(v gm )i, j =
y in, +j 1 − y in, j
∆t
∆t
Il modello qui adottato viene generalmente utilizzato nel calcolo di flussi ad alta velocità in cui le
variazioni di densità del fluido dipendono dagli effetti di comprimibilità legati al numero di Mach. Nel
caso presente le velocità in gioco sono modeste e la densità varia in relazione al volume a disposizione
durante la rotazione.
4. APPLICAZIONI
Il metodo di generazione algebrico dei reticoli ed il risolutore esplicito ai volumi finiti sviluppato per
griglie mobili è stato applicato ad un motore Wankel di caratteristiche geometriche e regime di
funzionamento fissati. Si tratta di un motore trascinato che ruota con una velocità costante pari a 5000
giri/min, caratterizzato dai seguenti valori dei parametri geometrici fondamentali: raggio R pari a
0.1045 m, eccentricità E pari a 0.015 m e il gioco C pari a 0.005 m. Inizialmente si è supposto che le
luci di ammissione e di scarico fossero mantenute chiuse e si è studiato il moto fluido entro una delle
camere del motore.
Il reticolo di calcolo consta di 21 nodi in direzione ξ a di 13 nodi in direzione η, tale magliatura è da
ritenersi sufficiente per un calcolo di tipo non viscoso (Yang e Shih, 1986). Gli infittimenti del reticolo
presso le pareti, parimenti necessari nel caso di un calcolo viscoso, sono ottenibili modificando le
eq.(4) che nel caso presente individuano una dipendenza lineare tra A e ξ e tra V e ξ.I reticoli di
calcolo per l'angolo θ=0° e θ=270° sono mostrati nelle fig.4 e 5: tali geometrie corrispondono
rispettivamente all'area minima e massima della camera mobile del motore Wankel. Si noti
l'ortogonalità delle maglie trasversali (ξ=cost) del reticolo sul contorno rotorico e statorico (η=cost.).
Il
Fig.4 : Reticolo di calcolo per θ=0°
Fig.5 : Reticolo di calcolo per θ=270°
Si assume che l'aria inizialmente sia in condizioni quasi statiche ad una temperatura e pressione
fissata; nel caso presente il rotore è nella posizione di fig.5 (θ=270°) e l’aria si muove lentamente in
modo uniforme(Ma=0.1). Istantaneamente l'albero del motore si mette a ruotare a 5000 giri/min,
facendo ruotare a sua volta la faccia del rotore e muoversi e deformarsi la camera del motore Wankel,
oggetto del calcolo. Vi è quindi un transitorio privo di preciso significato fisico in quanto
l'accelerazione non può essere fisicamente infinita. Tuttavia, tale transitorio è di modesta entità come
dimostra il diagramma della densità media del fluido di fig.6. Vi sono delle oscillazioni ma in breve la
media si assesta sull'andamento dato dalla geometria del Wankel e dalla conservazione della massa. La
densità è in forma adimensionale.
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Fig.6: Andamento della densità media del fluido durante le rotazione
A titolo di esempio sono riportati diagrammi vettoriali delle velocità in corrispondenza di diversi
angoli di rotazione. Gli andamenti dei vettori velocità della fig.7 sono in accordo con le distribuzioni
che Yang e Shih hanno ricavato attraverso un metodo di calcolo implicito alle differenze finite. Nella
stessa figura per completezza è diagrammato il campo delle pressioni per lo stesso angolo θ.
Fig.7a: Campo di velocità i corrispondenza
dell'angolo di rotazione θ=844°
Fig.7b: Linee isopressione in corrispondenza
dell'angolo di rotazione θ=844°
Anche per quanto riguarda il campo di moto in corrispondenza di θ=135° l'accordo con i risultati di
Yang e Shih è ragionevole (fig.8). Infine in fig.9 è mostrato il diagramma vettoriale delle velocità in
prossimità del volume minimo (θ=525°). Negli ultimi due casi il calcolo era stato effettuato per un
intero giro (θ=1080°) prima della rotazione a cui si è fatto riferimento, allo scopo che fossero
ininfluenti le condizioni iniziali.
Lo stretto limite sul passo temporale che l'adozione di uno schema esplicito comporta, aggiunta
all'impossibilità di utilizzare un passo di avanzamento locale per poter ricavare soluzioni di significato
fisico istante per istante, ha fatto sì che il numero di iterazioni necessarie per ottenere la simulazione
riassunta in fig.6 fosse molto elevato. La rotazione che fa passare dal volume massimo al minimo (per
esempio da θ=270° a θ=540°) richiede 15000 iterazioni con CFL=0.7. In corrispondenza delle tenute
laterali, in effetti, si hanno delle celle molto piccole che limitano il ∆t ammissibile e di conseguenza
∆θ. I tempi sono comunque contenuti nel caso del calcolo di un flusso non viscoso.
S.P. Cicconardi, M. Marini, A. Perna
Fig.8: Campo di velocità i corrispondenza
dell'angolo di rotazione θ=135°
9
Fig.9: Campo di velocità i corrispondenza
dell'angolo di rotazione θ=525°
Non vengono considerati ulteriori diagrammi ottenibili dal calcolo in quanto non confrontabili con dati
sperimentali o numerici di confronto.
5. CONCLUSIONI
Il modello di calcolo presentato costituisce un primo passo sulla via della modellizzazione effettiva di
un motore Wankel. Gli aspetti relativi alla combustione non sono stati affrontati e risultano basilari per
lo sviluppo di questo motore. Tuttavia la generazione del reticolo con un metodo algebrico di veloce
esecuzione e la risoluzione delle equazioni del moto su griglia mobile possono essere applicate anche
a macchine operatrici volumetriche, quindi il metodo di cui sono state presentate alcune prime
applicazioni, presenta ampie prospettive. La possibilità di effettuare delle prove sperimentali su un
motore Wankel su banco conferisce al presente lavoro il carattere di una ricerca parziale, da
completare proprio con dei confronti tra teoria e misure.
Bibliografia
Yang S.L., Shih T.I.P (1986): “An Algebraic Grid Generation Technique for Time-Varying Two-Dimensional
Spatial Domains”, International Journal for Numerical Methods in Fluids, Vol.6, pp.291-304.
Marini M. (1991): "An Elliptic Technique To Generate Orthogonal Grids Along Boundaries" , ASME FEDVol.119, Fluid Machinery Forum, Book No. G00607.
Feng P.H. (1993): “Computerized Design, Generation and Meshing of Cycloidal Gears and Rotors of Screw
Compressors", Ph. D. Thesis, University of Illinois, Chicago (USA).
He L., Denton J. D. (1994): “Three-Dimensional Time-Marching Inviscid and Viscous Solutions for Unsteady
Flows Around Vibrating Blades”, ASME Journal of Turbomachinery, Vol.116, pp.469-476.
Cravero C., Satta A. (1995): " An Algorithm for the Numerical computation of Convective Fluxes in a Finite
Volume Method for Complex configurations", Fluid Machinery Forum, ASME Summer Meeting, Milton Head
(USA).
APPENDICE A
Il parametro P che determina la forma dell'incavo (fig.1) rispetto alla curva limite di Wankel ha
l'espressione:
S.P. Cicconardi, M. Marini, A. Perna
P=0
 (V − V )  
P 
P = 1 1 − cos π 1

2 
 (V1 − V 2 )  
(V − V3 )
P = P2 + (P1 − P2 )
(V2 − V3 )
10
se
V1 ≤ V ≤ VT
se
V2 ≤ V ≤ V1
se
V3 ≤ V ≤ V 2
 (V − V 4 )  
P 
se V4 ≤ V ≤ V3
P = 2 1 − cos π

2 
 (V3 − V 4 )  
P=0
se V L ≤ V ≤ V4
P1 e P2 corrispondono alla profondità dell’incavo che è simmetrico se P1=P2; V1,V2,V3 e V4 , che
definiscono la forma dell’incavo, sono definiti come segue essendo VL e VT rispettivamente l'angolo
iniziale e finale:
V1 = V L + 0.75(VT − V L )
V2 = V L + 0.625(VT − V L )
V 3 = V L + 0.375(VT − V L )
V4 = V L + 0.25(VT − V L )
I valori assunti da V, come pure da VL e VT assumono valori diversi a seconda della faccia del rotore,
(fig.1). Per il lato 2 VL=π/6 VT=π/2, per il lato 3 VL=5π/6 VT=7π/6, per il lato 4 VL=3π/2 VT=11π/6.
APPENDICE B
Si riprendono le derivate delle coordinate che definiscono lo statore rispetto al parametro A, che in
base alle eq.(1) valgono:
∂Y1
∂X 1
= −3E sen (3 A) − (R + C ) sen ( A)
= 3E cos(3 A) + (R + C ) cos( A)
∂A
∂A
In tal modo si ottengono le derivate cercate rispetto a :
∂X 1
∂Y1
2π
2π
= [3E sen (3 A) + (R + C ) sen ( A)]
= −[E cos(3 A) + (R + C ) cos( A)]
∂ξ
3
3
∂ξ
Nel caso del contorno rotorico 2 la definizione analitica del contorno stesso è molto più articolata,
come mostrato in precedenza. Ma il procedimento rimane lo stesso:
ϑ 
ϑ 
ϑ 
ϑ 
X 2 = E sen (ϑ ) + X RO cos  + YRO sen 
Y2 = E cos(ϑ ) + YRO cos  − X RO sen 
3
3
3
3
Il parametro indipendente in questo caso è V, che è legato a ξ secondo la (4). Da notare infatti che
XR0=f(V) e YR0=f(V):
V = VT − ξ (VT − V L )
∂V
π
= − e:
Nel calcolo delle derivate che compaiono nella interpolazione di Hermite
∂ξ
3
∂X 2 ∂V
∂X 2 π
∂Y2 (ξ,τ )
∂Y2 ∂V
∂Y2 π
∂X 2 (ξ,τ )
==
==
∂V 3
∂V ∂ξ
∂V 3
∂ξ
∂V ∂ξ
∂ξ
Sviluppando le due derivate δX2/ δV e δY2/ δV:
∂X 2
∂Y2
 ϑ  ∂X RO
 ϑ  ∂X RO
 ϑ  ∂Y
 ϑ  ∂Y
= cos 
+ sen  RO
= cos  RO − sen 
∂V
∂V
 3  ∂V
 3  ∂V
 3  ∂V
 3  ∂V
Si ritorna (3) alle definizioni di XR0 e YR0 per valutarne le rispettive derivate:
∂YRO
∂X RO
 π  ∂X R
 π  ∂Y
 π  ∂Y
 π  ∂X R
= cos  R − sen 
+ sen  R
= cos 
∂V
∂V
 6  ∂V
 6  ∂V
 6  ∂V
 6  ∂V
Finalmente si ha una dipendenza esplicita di XR ed YR dal parametro V:
 3E 2 
 2
∂X R
6 cos(6V ) sen (2V ) −  3E 2 sen (6V ) cos(2V ) − ∂PX +
= −2 R sen (2V ) − 
 R 
 R 
∂V
∂V




S.P. Cicconardi, M. Marini, A. Perna
−
 18 E 2
E cos(3V ) cos(2V )
 R2

  9E 2
1 − 
  R 2
11

3 sen (3V ) cos(3V )


1
2

 sen 2 (3V )



−
  9E 2
2 E 1 − 
  R 2
1
2

 sen 2 (3V )



[3 sen(3V ) cos(2V ) + 2 sen(3V ) sen(3V )]−1

2 sen (6V ) sen (2V ) + ∂PY +

∂V


  9E 2 
 18 E 2 
 sen 2 (3V )
3 sen (3V ) cos(3V )
2 E 1 − 
E cos(3V ) sen (2V )
 R2 

  R 2 


−
+
1
[-3 sen(3V )sen(2V ) + 2 cos(3V ) cos(2V )]−1
  9E 2 
2
 sen 2 (3V )
1 − 
2

  R 

Rimangono da specificare le due derivate della variazione di P in corrispondenza delle "tasche”:
 3E 2
∂YR
= 2 R cos(2V ) + 
 R
∂V

 2

6 cos(6V ) cos(2V ) −  3E
 R



∂Px ∂P
=
cos(2V ) − 2P sen(2V )
∂V ∂V
∂Py
∂V
=
∂P
sen(2V ) + 2P cos(2V )
∂V
La derivata di P rispetto a V deve essere specificata con una serie di opzioni, come è stato fatto con la
funzione stessa nell’appendice A:
∂P
=0
∂V
∂P P1   (V1 − V )  
= sen π

∂V
2   (V1 − V2 )  
∂P
= (P1 − P2 )
∂V
∂P P2   (V − V4 )  
=
sen π

2   (V3 − V4 )  
∂V
∂P
=0
∂V
se V1 ≤ V ≤ VT
se V2 ≤ V ≤ V1
se V3 ≤ V ≤ V2
se V4 ≤ V ≤ V3
se V L ≤ V ≤ V 4
ABSTRACT
The rotating volumetric Wankel engine has been attracting the attention of researchers for a long time
because of its low vibrations and high specific power. Recently the evolution of reciprocating engines,
fuelled especially by low emission constraints, has set apart the rotating internal combustion engines
that keep some interesting features anyway. In the paper a model to calculate the flow field in a
Wankel engine is presented. The computational grid, which is moving and changing in form, is
repeatedly generated through an algebraic method that is described in detail. The flow within the
domain embedded between a rotor face and the outer casing is calculated through an explicit finite
volume method. A worked example allows to show the characteristics of the model.