Mathcad - balistica2.xmcd

Ing. Luciano Pirri
Balistica
Giovedi 28/08/03, 17.42
Rev. Venerdi 04/12/09
© Ing. L.Pirri
Proiettile in un fluido viscoso
Il problema
Studio del moto di un proiettile sferico che viene lanciato con velocità iniziale V e con una angolazione
sull'orizzontale *. Il moto avviene in un fluido reale (viscoso). Ipotizziamo inoltre che la sfera non ruoti
(colpo senza effetto).
L'effetto della rotazione modifica completamente il comportamento. In particolare se consideriamo una
pallina da golf che viene colpita sopra la mezzeria questa assume una rotazione oraria . nel senso del moto
e quindi un punto sulla superficie ha una velocità periferica v=. r, dove r è il raggio della pallina.
Se ora consideriamo un punto della pallina che transita nella parte alta notiamo che esso procede con
una velocità assoluta che è pari alla somma della velocità di traslazione più quella di rotazione Vsup =V+v,
analogamente per un punto che transita nella parte inferiore Vinf =V-v.
In conclusione la velocità dell'aria relativa alla pallina è maggiore nella parte alta e minore nella parte
bassa. Il teorema di Bernoulli afferma che nei punti in cui aumenta la velocità diminuisce la pressione e
viceversa. Ne segue che nella parte superiore della pallina la pressione dell'aria è minore che nella parte
inferiore (effetto Magnus). Nasce quindi una spinta verso l'alto detta portanza, che solleva la pallina oltre il
previsto. Se il giocatore è bravo si può verificare la situazione apparentemente paradossale di un lancio
controvento più lungo di uno con vento a favore in quanto nel primo caso la pallina sale molto più in alto che
non nel secondo.
Condizioni di equilibrio
La forza totale che
agisce sulla sfera vale
F=P+S+R
dove
P = forza peso
S = spinta di Archimede
R = resistenza aerodinamica
Introducendo il peso
apparente Pa = P - S
F = Pa + R
Scomponiamo la precedente equazione vettoriale nelle due equazioni scalari corrispondenti
Fx = Rx
Fy = Pa
Ry
Spinta di Archimede
Pa = P
Il peso apparente è
S=
4
3
π r g( δ2
3
δ1)
Portiamo in conto la spinta di Archimede con una virtuale riduzione dell'accelerazione di gravità, infatti
possiamo porre
Pa =
4
3
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π r g( δ2
3
δ1) =
4
3
3
π r g0 δ2
⇒
(
g δ2
δ1) = g0 δ2
⇒
g0 = g 1
δ1
δ2
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Ing. Luciano Pirri
Resistenza laminare
La resistenza aerodinamica a basse velocità è proporzionale alla velocità stessa, si tratta di una resistenza
dovuta all'attrito interno (o viscosità 8 ) del fluido (regime laminare o di Stokes).
Rs = 6π μ r V
Rsx = 6π μ r Vx
⇒
Rsy = 6π μ r Vy
⇒
Resistenza turbolenta
Per la resistenza Newton (pur basandosi su un ragionamento dalla logica discutibile fondato sulla variazione
della quantità di moto del fluido spostato) ha fornito una espressione che è formalmente corretta
1
Rn = C
2
δ1 V
2
C è un coefficiente che dipende dalla forma dell'oggetto (Newton riteneva che
dipendesse solo dalla forma della parte anteriore dell'oggetto e non anche
dalla forma coda come le evidenze sperimentali hanno dimostrato) il cui valore
va determinato sperimentalmente. Il valore in realtà varia con la velocità (o più
propriamente con il numero di Reynolds) e lo possiamo ritenere praticamente
costante solo in un campo limitato di velocità.
( π r 2)
Il termine entro la prima parentesi è la pressione dinamica dell'aria,
Il termine entro la seconda parentesi è l'area sezione maestra (o frontale) che per la sfera è una circonferenza
B=
Ponendo
1
2
C δ1 π r
2
otteniamo
Rn = B V
2
che in forma vettoriale è
Rn = B V
Quadrato del vettore velocità
2
a cui corrispondono le due scalari
vy
v
v vy
v
v
2
v vx
x
2
2
2
2
Rnx = B Vx V = B V x
Vx + V y
Rny = B Vy V = B V y
V x + Vy
Resistenza totale
R = Rs + Rn
2
2
2
2
Rx = Rsx + Rnx = 6π μ r Vx + B Vx
Vx + Vy
Ry = Rsy + Rny = 6π μ r Vy + B Vy
Vx + Vy
Equazione del moto
Fx = Rx =
Fy = Pa
Ry =
4
3
H=
4.5 μ
r
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2
δ2
3
π r g0 δ2
La massa del proiettile è
Ponendo
2
6π μ r Vx + B V x
m=
4
3
K =
Vx + V y
2
6π μ r Vy + B Vy
2
Vx + Vy
2
3
π r δ2 quindi le accelerazioni valgono
3 C δ1
8 r δ2
otteniamo
ax = H Vx
ay = g0
ax =
K Vx
H Vy
Fx
m
e
2
ay =
Fy
m
2
Vx + Vy
K Vy
2
2
Vx + Vy
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Esempio numerico - Analisi completa
g = 9.807 N/kg
Dati del problema in unità del SI:
Caratteristiche del proiettile
r =
10
C = 0.4
m
100
δ2 = 7860
kg
m
3
Caratteristiche del fluido
kg
δ1 = 1.225
m
μ = 1.84 10
Ns
5
m
ν =
μ
δ1
Densità
3
= 1.502 × 10
m
5
2
=
kg
ms
Viscosità, per numeri di Reynolds >>1
l'influenza è trascurabile e può porsi µ=0
2
Viscosità dinamica
s
Costanti di comodo per il calcolo numerico
δ1
g0 = g 1
H =
4.5 μ
r
K =
m =
δ2
2
= 1.0534 × 10
8 r δ2
3
s
6
2
s
=
1
δ2
3 C δ1
4
m
= 9.8055
3
= 2.3378 × 10
π r δ2 = 32.9239
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4
m
kg
1
N
kg
Gravità effettiva, tiene conto della spinta di
Archimede
Resistenza viscosa prop. alla velocità, valore
rigoroso solo per la sfera
Turbolenza prop. al quadrato della velocità
Massa del proiettile
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Il fatto che la resistenza dipenda dal quadrato della velocità rende non applicabile il principio di
Galileo. In altri termini le equazioni del moto risultano accoppiate dal termine sotto radice e non è
possibile studiare indipendentemente i moti componenti come viene fatto se il moto è senza attrito.
Le equazioni del moto da risolvere a sistema sono:
lungo l'asse x
lungo l'asse y
vx ( Vx , Vy) = Vx
vy ( Vx , Vy) = Vy
ax ( Vx , Vy) = H Vx
2
2
Vx + Vy
K Vx
ay ( Vx , Vy) = g0
H Vy
K Vy
2
2
Vx + Vy
Valori iniziali del moto:
m
V0 = 100
V0 2 r
1
2
s
Numero di Reynolds a cui corrisponde C, è molto maggiore di 2500
quindi il moto è turbolento e la viscosità è trascurabile.
La resistenza è in pratica proporzionale al solo quadrato della velocità.
Nel calcolo terremo conto, per generalità, anche del contributo viscoso.
6
= 1.3315 × 10
ν
E0 =
Deve essere al massimo uguale al 30% del numero
di Mach, per l'aria circa 100 m/s
2
5
m V0 = 1.6462 × 10
J Energia cinetica iniziale
α = 45 ° = 0.7854 rad
x0 = 0
V0x = V 0 cos ( α ) = 70.7107
(
)
v y ( iniz2 , iniz3)
ax ( iniz2 , iniz3)
ay ( iniz2 , iniz3)
v x iniz2 , iniz3
y0
D ( t , iniz) =
V0x
V0y
Fissiamo
angolo di lancio e coordinate di lancio
V0y = V0 sin ( α ) = 70.7107
x0
iniz =
y0 = 0
La durata del volo in assenza di attrito è
tf =
∆t = 0.05 quindi i punti di calcolo sono
0
, Sol
1
,t
)
Vx ( t ) = linterp Sol
(
0
, Sol
2
,t
)
Vy ( t) = linterp Sol
(
Ax ( t ) = ax Vx ( t) , V y ( t )
)
(
0
, Sol
3
,t
(
0
, Sol
4
,t
(
Ay ( t) = ay Vx ( t ) , Vy ( t)
)
)
si trova nell'elemento
è raggiunta in
tmax = z ∆t = 6.75
all'ascissa
Xmax = Sol
Equazione della traiettoria
y ( x ) = linterp Sol
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(
Ymax = max Sol
(
1
(
)
)
) = 232.5715
2
z = match ( Ymax , Sol ) 0 = 135
L'altezza massima
= 14.4205
= 289
∆t
(
(
Y ( t) = linterp Sol
g
Sol = Rkadapt iniz , 0 , tf , Np , D
Soluzione numerica del sistema di equazioni differenziali:
X ( t) = linterp Sol
tf
Np = ceil
2 V0y
2
)z = 446.4533
1
, Sol
2
,x
⇔
)
X ( tmax) = 447.318
y ( Xmax) = 232.5715
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Per trovare l'istante in cui tocca terra, cioè la durata del volo, risolviamo l'equazione assumendo tf come
valore iniziale.
( ( ) )
tv = root Y tf , tf = 13.7685
t = 0 , 0.01 .. tf
a cui corrisponde:
Xmax
( )
X tv = 864.0544
300
Ymax
200
( )
Vx tv = 55.8391
100
0
500
Ef =
( )
Ax tv = 1.1166
( )
Ay tv = 8.51
Af =
E0
E0
Ef
( )
Vy tv = 64.7867
Vx t v
1
2
2
5
m Vf = 1.2042 × 10
( )2 + Ay (tv )2 = 8.5829
Ax t v
L'energia meccanica (per quota di arrivo = quota di partenza) persa per attrito vale E0
cioè il
14
( )2 + Vy (tv )2 = 85.5296
Vf =
1000
( )
Y tv = 3.3751 × 10
4
Ef = 4.4195 × 10
= 26.8468 % di quella iniziale.
Ponendo µ=0 i risultati cambiano di pochissimo, a conferma che nel moto turbolento la resistenza
viscosa è trascurabile.
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Esempio numerico - Analisi semplificata
Vediamo il caso precedente con alcune ipotesi semplificative trascurando la viscosità e la spinta di Archimede
r = 0.1
a=
F
m
m = 32.9239
m
=
C 0.5 δ1 A V
2
m
=K V
2
A = r π = 0.0314
kg
2
K =
dove
C 0.5 δ1 A
m
Sezione frontale
4
= 2.3378 × 10
i = 1 .. Np
vx1
V0x
vxi+1
vy1
V0y
vyi+1
v1
V0
v i+1
0
axi+ 1
ay1
g
ayi+ 1
x1
0
x i+1
y1
0
y i+1
ax1
=
vxi + axi ∆t
vyi + ayi ∆t
(vxi) 2 + ( vyi)2
Per la soluzione usiamo il
metodo di Eulero nella sua
forma più semplice
K v i vxi
=
g
K vi vyi
x i + vxi ∆t + 0.5 axi ∆t
2
y i + vyi ∆t + 0.5 ayi ∆t
2
Confronto risultati
Analisi completa
Analisi semplificata
i = 1 .. Np + 1
tti = i ∆t
X1 ( t) = linterp ( tt , x , t)
tv = 13.7685
Senza attrito
Y1 ( t) = linterp ( tt , y , t)
( ( ) )
t1v = root Y1 tf , tf = 13.8046
tf = 14.4205
Gittata
( )
X tv = 864.0544
( )
X1 t1v = 863.4507
V0x tf = 1019.6798
Quota massima
Ymax = 232.5715
Y1max = max ( y ) = 232.4887
V0y
2
2g
= 254.92
che è contenuto nel vettore
y nell'elemento numero
z = match ( Y1max , y ) 0 = 136
tmax = 6.75
z ∆t = 6.8
Xmax = 446.4533
xz = 447.4878
tf
2
= 7.2102
V0x tf
2
= 509.8399
Nell'analisi completa per l'integrazione è usato il metodo RK4 con adattamento del passo che è
intrinsecamente molto più preciso del metodo di Eulero usato nell'analisi semplificata.
Più è grande il proiettile minore è l'effetto dell'attrito.
Se il raggio è di 1 m si vede che l'attrito è trascurablie, mentre se è di 1 cm la gittata si riduce a 399 m.
Se il proiettile è un pallone da spiaggia la sua gittata è addirittura superiore a quella in assenza di attrito,
infatti la spinta di Archimede riduce in modo significativo la gravità effettiva.
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