L`equazione di Fokker-Planck in ambiti astrofisici

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Università degli Studi di Torino
L'equazione di Fokker-Planck
in ambiti astrofisici
MercoledÌ 5 Dicembre 2012
Laurea Triennale in Fisica
Candidato: Domenico Barbato
Relatrice: Prof.ssa Fiorenza Donato
Equazione di Fokker-Planck
●
Introdotta da Adriaan Daniël Fokker e Max Planck
[A.D.Fokker, Ann. Phys. 348, pg 810-820 (1914)]
[M.Planck, Stiz.ber. Preuß Akad. Pg 324-341(1917)]
1
●
●
Alcuni utilizzi fisici:
●
●
●
Studio del moto browniano di molte particelle
Collisioni Coulombiane nella fisica del plasma
Studio del moto delle stelle negli ammassi stellari
1
●
●
Alcuni utilizzi fisici:
●
●
●
●
Studio del moto browniano di molte particelle
Collisioni Coulombiane nella fisica del plasma
Studio del moto delle stelle negli ammassi stellari
Altri campi di utilizzo:
●
●
●
●
Chimica: evoluzione del numero di molecole di una specie chimica in una reazione
Geologia: infiltrazione dell'acqua in un terreno non coerente e legame con frane
Genetica: probabilità della fissazione di un gene in una popolazione
Matematica finanziaria: modelli di smile di volatilità per opzioni
1
●
Equazione di Boltzmann: il moto delle molte particelle di coordinate
w = (x , v) nello spazio delle fasi esadimensionale è descritto da:
6
∂f
∂f
+ ∑ ẇ i
= Γ( f )
∂ t i= 1 ∂ w i
oppure
df
= Γ( f )
dt
con f(w , t) funzione di densità dello spazio delle fasi e Γ(f) termine
di collisione da essa dipendente.
2
●
Equazione di Boltzmann: il moto delle molte particelle di coordinate
w = (x , v) nello spazio delle fasi esadimensionale è descritto da:
6
∂f
∂f
+ ∑ ẇ i
= Γ( f )
∂ t i= 1 ∂ w i
oppure
df
= Γ( f )
dt
con f(w , t) funzione di densità dello spazio delle fasi e Γ(f) termine
di collisione da essa dipendente.
●
Detta Ψ(w , Δw) la sezione d'urto delle particelle, è possibile riscrivere il
termine Γ come:
∂f
∂f
Γ (f ) = ( ) + ( )
∂t i n
∂ t out
=
∫ [ Ψ ( w⃗ −Δ w⃗ , Δ ⃗w ) f ( ⃗w −Δ ⃗w )− Ψ( w⃗ , Δ ⃗w ) f ( ⃗w)] d 3 Δ ⃗w
2
●
Dominanza delle collisioni deboli (velocità relative basse).
È possibile sviluppare in serie di Taylor il termine:
6
Ψ( ⃗
w −Δ ⃗
w,Δ w
w,Δ w
w) f ( w
⃗ ) f (w
⃗ −Δ w
⃗ ) = Ψ( ⃗
⃗ ) f (w
⃗ ) − ∑ Δ w i ∂ [ Ψ( w
⃗ ,Δ⃗
⃗ )]
∂ wi
i =1
1
+
2
6
2
∂
∑ Δ wi Δ w j ∂ w ∂ w Ψ ( w⃗ , Δ w⃗ )f ( w⃗ ) + ...
i , j =1
i
j
3
●
Dominanza delle collisioni deboli (velocità relative basse).
È possibile sviluppare in serie di Taylor il termine:
6
Ψ( ⃗
w −Δ ⃗
w,Δ w
w,Δ w
w) f ( w
⃗ ) f (w
⃗ −Δ w
⃗ ) = Ψ( ⃗
⃗ ) f (w
⃗ ) − ∑ Δ w i ∂ [ Ψ( w
⃗ ,Δ⃗
⃗ )]
∂ wi
i =1
6
●
2
1
∂
+
∑ Δ wi Δ w j ∂ w ∂ w Ψ ( w⃗ , Δ w⃗ )f ( w⃗ ) + ...
2 i , j =1
i
j
Approssimazione di Fokker–Planck: tronchiamo la serie al secondo
ordine.
Sostituendo in Γ(f) otteniamo l'equazione di Fokker-Planck:
6
df
1
= −∑ ∂ [f ( w
⃗ ) D(Δ w i )] +
dt
2
i=1 ∂ w i
6
∑
i , j=1
∂2
[f ( w
⃗ ) D(Δ w i Δ w j )]
∂ wi ∂ w j
avendo definito i coefficienti di diffusione:
D( Δ w i) =
3
Δ
w
Ψ
(
w
⃗
,Δ
w
⃗
)d
Δw
⃗
∫ i
D( Δ w i Δ w j ) =
∫ Δ w i Δ w j Ψ( ⃗w , Δ w⃗ ) d 3 Δ ⃗w
3
Applicazione in astrofisica
dell’equazione di Fokker-Planck
NGC 6093 (Foto: HST)
Ammassi stellari: grande numero di stelle che si muovono sotto l’influenza del
potenziale gravitazionale, e nell'avvicinarsi perturbano le rispettive orbite.
4
Applicazione in astrofisica
Ammassi stellari: grande numero di stelle che si muovono sotto l’influenza del
potenziale gravitazionale, e nell'avvicinarsi perturbano le rispettive orbite.
●
●
●
La dominanza degli incontri deboli è giustificata dalle grandi distanze
interstellari e conseguenti basse velocità relative.
Chiamiamo stella di test una stella campione di cui seguiamo l'orbita
e stelle di campo le stelle i cui incontri ne perturbano la traiettoria
Non ci sono collisioni ma avvicinamenti tra stelle.
4
Approssimazione Locale
Lungo range della forza gravitazionale: la stella di test è perturbata da tutte le
stelle dell'ammasso, anche le più lontane.
Occorre considerare solo le perturbazioni dovute agli avvicinamenti, non
quelle causate dalla presenza di stelle di campo lontane.
5
●
Incontri locali: parametro d'impatto negli incontri molto inferiore al
raggio del sistema stellare. L'incontro influenza così solo le velocità
e non la posizione delle stelle coinvolte:
b<<R
Δw
⃗ = (0 , Δ⃗v )
D( Δ x i ) = D(Δ x i Δ x i) = D( Δ x i Δ v i) = 0
5
●
Incontri locali: parametro d'impatto negli incontri molto inferiore al
raggio del sistema stellare. L'incontro influenza così solo le velocità
e non la posizione delle stelle coinvolte:
b<<R
Δw
⃗ = (0 , Δ⃗v )
●
D( Δ x i ) = D(Δ x i Δ x i) = D( Δ x i Δ v i) = 0
Equazione di Fokker-Planck in approssimazione locale:
3
df
1
= −∑ ∂ [ f ( w
)
D
(Δ
v
)]
+
⃗
i
dt
∂
v
2
i =1
i
3
∑
i , j =1
∂2 [ f ( w
⃗ ) D (Δ vi Δ v j )]
∂ v i∂ v j
5
Calcolo dei coefficienti di diffusione
●
In approssimazione locale, incontri indipendenti e tra due stelle.
Stella di test di massa m, velocità v .
Stelle di campo di massa ma , con distribuzione di velocità fa(va).
6
Calcolo dei coefficienti di diffusione
●
●
In approssimazione locale, incontri indipendenti e tra due stelle.
Stella di test di massa m, velocità v .
Stelle di campo di massa ma , con distribuzione di velocità fa(va).
Studiando l'incontro con interazione Newtoniana tra i due corpi è
possibile ottenere i coefficienti di diffusione come:
∂h(⃗v )
∂2 g (⃗v )
2 2
D( Δ v i ) = 4 πG m a (m+m a) ln Λ
; D(Δ v i Δ v j ) = 4 π G ma ln Λ
∂ vi
∂ vi vj
2
Con:
b max v 2typ
f a (v⃗a ) 3
Λ=
; h(⃗v ) = ∫
d Δ v⃗a ; g(⃗v ) = ∫ f a ( v⃗a )∣⃗v − v⃗a∣d 3 Δ v⃗a
∣⃗
v − v⃗a∣
G (m +ma )
h(v) e g(v) sono detti potenziali di Rosenbluth.
6
Coefficienti di diffusione per fa isotropa
●
Possiamo avere scritture più semplici dei coefficienti di diffusione se f a
dipende solo da va = | va|. Direzione preferenziale è quella di v.
7
●
●
Possiamo avere scritture più semplici dei coefficienti di diffusione se f a
dipende solo da va = | va|. Direzione preferenziale è quella di v.
Definendo un sistema di coordinate { e1, e2, e3 } per cui v ║ e1 si ha:
D(Δ v 2) = D (Δ v 3 ) = 0
D[(Δ v 2)2 ] = D[(Δ v 3 )2]
D(Δ v1 Δ v 2) = D(Δ v1 Δ v3 ) = D( Δ v 2 Δ v3 ) = 0
troviamo che restano tre coefficienti indipendenti:
D( Δ v 1) ≡ D( Δ v ║ )
2
decelerazione nella direzione
2
tasso di diffusione totale parallelo a e
D [(Δ v 1 ) ] ≡ D (Δ v ║ )
2
e1
1
2
2
2D [(Δ v 2) ] = 2D [(Δ v 3 ) ] ≡ D(Δ v ┴ )
tasso di diffusione totale nel piano
perpendicolare a e
1
7
●
Sfruttiamo la simmetria sferica nello spazio delle velocità per
sviluppare in polinomi di Legendre.
Detto γ l'angolo compreso tra v e va:
l
∞
v
∣⃗v − v⃗a∣−1 = ∑ min
Pl (cos γ)
l +1
l= 0 v max
l
∞
v min
∣⃗v − v⃗a∣ = ∑ l+1 Pl (cos γ)( v 2 +v 2a−2v v a cos γ)
l =0 v max
8
●
Sfruttiamo la simmetria sferica nello spazio delle velocità per
sviluppare in polinomi di Legendre.
Detto γ l'angolo compreso tra v e va:
l
∞
v
∣⃗v − v⃗a∣−1 = ∑ min
Pl (cos γ)
l +1
l= 0 v max
l
∞
v min
∣⃗v − v⃗a∣ = ∑ l+1 Pl (cos γ)( v 2 +v 2a−2v v a cos γ)
l =0 v max
È possibile riscrivere i potenziali di Rosenbluth come:
f a( v⃗a ) 3
h (⃗
v) = ∫
d Δ v⃗a
∣v⃗ − v⃗a∣
v
∞
1
= 4 π[ ∫ v 2a f a (v a )dv a + ∫ v a f a( va )dv a ]
v 0
v
g(⃗v ) = ∫ f a ( v⃗a)∣⃗v − v⃗a∣d 3 Δ v⃗a
v
4
2
∞
v
v
4
= π v [ ∫ (3v 2a + a2 ) f a( v a )dv a + ∫ (3 a + v v a )f a ( v a )dv a ]
3
v
v
0
v
8
●
Questa riscrittura ci permette di dire:
v
16 π 2 G2 ma ln Λ
2
D( Δ v║ ) = −
(m+m
)
v
a ∫
a f a( v a )dv a
2
v
0
2
2
v
4
∞
32
π
G
m
ln
Λ
v
2
a
a
D( Δ v║ ) =
[ ∫ 2 f a (v a )dv a + v∫ v a f a (va )dv a ]
3v
0 v
v
2 2
v
4
∞
32
π
G
m
ln
Λ
v
2
a
2
a
D( Δ v ┴ ) =
[ ∫ (3v a − 2 ) f a (v a) dva + 2v ∫ v a f a ( va )dv a ]
3v
v
0
v
9
●
Questa riscrittura ci permette di dire:
D(Δ v║ ) = −
16 π2 G 2 m a ln Λ
v
(m+ ma ) ∫ v 2a f a (v a ) dva
v2
0
2
2
4
v
∞
32π
G
m
ln
Λ
v
2
a
a
D(Δ v║ ) =
[ ∫ 2 f a (v a)dv a + v ∫ v a f a (v a )dva ]
3v
0 v
v
2
2
v
4
∞
32
π
G
m
ln
Λ
v
2
a
2
a
D(Δ v ┴ ) =
[ ∫ (3v a − 2 ) f a (v a ) dva + 2v ∫ v a f a (v a) dv a ]
3v
v
0
v
●
La cui relazione con i coefficienti di diffusione in un sistema di
coordinate arbitrario è data da:
vi
D (Δ v i ) = D(Δ v ║ )
v
vi v j
1
1
D (Δ v i Δ v j ) = 2 [ D (Δ v ║2)− D (Δ v ┴ 2 )]+ δ ij D (Δ v ┴ 2 )
2
2
v
9
Coefficienti di diffusione per fa maxwelliana
●
Calcoliamo i coefficienti di diffusione per una fa(va) particolare, la
distribuzione maxwelliana:
2
va
−
ρ
2σ
f a ( va ) =
e
m a(2 π σ 2)3 / 2
2
10
●
Calcoliamo i coefficienti di diffusione per una fa(va) particolare, la
distribuzione maxwelliana:
2
va
−
ρ
2σ
f a ( va ) =
e
m a(2 π σ 2)3 / 2
2
per la quale:
D(Δ v║ ) = −
4 πG 2 ρ(m+ ma )ln Λ
v
F (
)
√ 2σ
σ2
2
8
G
π ρ ma ln Λ
v
2
D(Δ v║ ) =
F (
)
v
√ 2σ
2
8
G
π ρ ma ln Λ
v
v
2
D(Δ v ┴ ) =
[erf (
)− F (
)]
v
√ 2σ
√ 2σ
con:
2
v
v
2v
σ
F(
) = 2 [ erf (
)−
e
√2σ
v
√2 σ
√2 πσ
2
v
− 2
2σ
x
2
−t
] ; erf (x ) = √ π ∫ e dt
2
0
10
●
Consideriamo un tipico ammasso globulare con:
Massa della stella di test
Massa della stella di campo
Tipica velocità stellare
Dispersione di velocità delle stelle di campo
Parametro d'impatto massimo
Densità delle stelle di campo
m =2 M☉
ma = 2 M ☉
v typ = 8 km s−1
σ = 7 km s−1
13
b max = 1.5pc = 4.63 10 km
ρ = 2.72 10− 37 M ☉ km−3 = 5.41 10−19 g cm−3
Con questi valori calcoliamo i coefficienti di diffusione.
11
Coefficiente D(Δv║) per fa maxwelliana
2
D(Δ v║ ) = −
4 πG ρ(m+ m a )ln Λ
σ2
v
F (
)
√ 2σ
b max v 2typ
Λ=
G (m +ma )
Diverse ma
0.08 M☉
2 M☉
150 M☉
12
2
D(Δ v║ ) = −
σ2
v
F (
)
√ 2σ
b max v 2typ
Λ=
G (m +ma )
Diverse m
0.08 M☉
2 M☉
150 M☉
12
2
D(Δ v║ ) = −
σ2
F (
v
)
√ 2σ
Diverse σ
0.001 km/s
7 km/s
100 km/s
12
Coefficiente D(Δv║2) per fa maxwelliana
2
8 G π ρ m a ln Λ
v
2
D(Δ v║ ) =
F (
)
v
√ 2σ
b max v 2typ
Λ=
G (m +ma )
Diverse ma
0.08 M☉
2 M☉
150 M☉
13
2
8 G π ρ m a ln Λ
v
2
D(Δ v║ ) =
F (
)
v
√ 2σ
b max v 2typ
Λ=
G (m +ma )
Diverse m
0.08 M☉
2 M☉
150 M☉
13
2
8 G π ρ m a ln Λ
v
2
D(Δ v║ ) =
F (
)
v
√ 2σ
Diverse σ
0.001 km/s
7 km/s
100 km/s
13
Coefficiente D(Δv┴2) per fa maxwelliana
2
8 G π ρ m a ln Λ
v
v
2
D(Δ v ┴ ) =
[erf (
)− F (
)]
v
√ 2σ
√ 2σ
b max v 2typ
Λ=
G (m +ma )
Diverse ma
0.08 M☉
2 M☉
150 M☉
14
2
8 G π ρ m a ln Λ
v
v
2
D(Δ v ┴ ) =
[erf (
)− F (
)]
v
√ 2σ
√ 2σ
b max v 2typ
Λ=
G (m +ma )
Diverse m
0.08 M☉
2 M☉
150 M☉
14
2
8 G π ρ m a ln Λ
v
v
2
D(Δ v ┴ ) =
[erf (
)− F (
)]
v
√ 2σ
√ 2σ
Diverse σ
0.001 km/s
7 km/s
100 km/s
14
Soluzione analitica dell’equazione di FokkerPlanck in regime stazionario
●
Riprendiamo l'equazione in approssimazione locale:
3
df
1
= −∑ ∂ [ f ( w
⃗ ) D (Δ v i)] +
dt
2
i =1 ∂ v i
3
∑
i , j =1
∂2 [ f ( ⃗
w ) D (Δ vi Δ v j )]
∂ v i∂ v j
che sotto le precedenti condizioni (v1=v, v2=v3=0) è riscrivibile come:
df
1 ∂2
2
∂
= −
[ f (w
⃗ ) D( Δ v║ )] +
[
f
(
w
⃗
)
D(Δ
v
║ )]
2
dt
∂v
2 ∂v
15
●
Riprendiamo l'equazione in approssimazione locale:
3
df
1
= −∑ ∂ [ f ( w
⃗ ) D (Δ v i)] +
dt
2
i =1 ∂ v i
3
∑
i , j =1
∂2 [ f ( ⃗
w ) D (Δ vi Δ v j )]
∂ v i∂ v j
che sotto le precedenti condizioni (v1=v, v2=v3=0) è riscrivibile come:
df
1 ∂2
2
∂
= −
[ f (w
⃗ ) D( Δ v║ )] +
[
f
(
w
⃗
)
D(Δ
v
║ )]
2
dt
∂v
2 ∂v
●
Imponendo condizioni di stazionarietà, la soluzione di questa
equazione è:
v
D( Δ v ' ║ )
m+m a v 2
N
N
f st (v ) =
exp [ ∫
dv ' ] =
exp[ −
]
2
2
2
2
4m a σ
D (Δ v ║ )
D(Δ v ║ )
0 D( Δ v ' ║ )
15
m+ ma v 2
N
f st (v ) =
exp [ −
]
2
2
4m a σ
D (Δ v║ )
16
Tempo di rilassamento di una stella
●
Diciamo tempo di rilassamento il tempo dopo il quale l'orbita della
stella di test è significativamente perturbata:
v2
t relax =
2
D(Δ v ║ )
17
Tempo di rilassamento di una stella
●
●
Diciamo tempo di rilassamento il tempo dopo il quale l'orbita della
stella di test è significativamente perturbata:
v2
t relax =
2
D(Δ v ║ )
Per un valore tipico di v (8 km/s), si trova che trelax= 3.7 107 yr; l'età
tipica di un ammasso globulare è 1010 yr.
17
Considerazioni finali
In questo lavoro di tesi ho:
●
studiato l’equazione di Fokker-Planck
●
applicato questa equazione ad un contesto astrofisico
●
●
●
calcolato i coefficienti di diffusione in approssimazione locale e per una
distribuzione delle stelle di campo maxwelliana
ricavato la soluzione analitica dell’equazione in approssimazione locale
ed in regime stazionario
analizzato il tempo di rilassamento di una stella dell’ammasso
Questo lavoro ha seguito una trattazione analitica altamente accademica;
il reale studio del problema richiede approssimazioni meno stringenti e
metodi di analisi numerica complicati.
18
Grazie dell'attenzione
BIBLIOGRAFIA
J.Binney, S.Tremaine, “Galactic Dynamics” (Princeton University Press) 1987
L.Spitzer, “Dynamical Evolution of Globular Clusters” (Princeton University Press) 1987
M.N. Rosenbluth, W.M. MacDonald, D.L. Judd, Phys. Rev., 107, 1, 1967
H.Risken, “The Fokker-Planck Equation” II ed (Springer-Verlag) 1989
C.W.Gardiner, “Handbook of Stochastic Methods” II ed (Springer-Verlag) 1989
A.1 – Energia cinetica della stella di test
●
In approssimazione locale e per v1=v, v2=v3=0 il tasso di variazione
dell'energia cinetica della stella di test è:
3
1
D (Δ v i 2)]
2
i =1
1
1
2
= m [ v D (Δ v ║ ) + D(Δ v ║ ) + D (Δ v ┴ 2)]
2
2
D( Δ E ) = m ∑ [ v i D( Δ vi ) +
v
2
va
2
2
= 16 π G m m a ln Λ [m a∫ v a f a (v a) dv a −m ∫ f a (v a) dv a ]
v
v
0
∞
●
Il primo integrale descrive la tendenza della stella di test ad essere
scaldata dalle stelle di campo, il secondo l'effetto raffreddante
dell'attrito dinamico. La stella di test raggiunge l'equilibrio quando i due
termini si bilanciano, cioè per velocità quadratiche media proporzionali
a m-1.
A.2 – Calcolo dei coefficienti di diffuzione in
approssimazione locale
●
Il valore iniziale della velocità relativa V=v – va è V0 e la sua variazione
a seguito dell'incontro è ΔV. Sistema di coordinate per cui V0 ║ e1. ;
diciamo φ l'angolo tra il piano orbitale e e1 in modo da scrivere:
Δ ⃗v = −Δ v ║ e⃗1 + Δ v ┴ (cos ϕ e⃗2 +sin ϕ e⃗3 )
Con le relazioni di parallelismo e perpendicolarità intese rispetto a V0 , e:
−1
2 ma V 0
b2 V 40
Δ v║ =
[1+ 2
]
2
m+m a
G (m+m a)
3
2
4
−1
2 ma b V 0
b V0
Δ v┴ =
[1+ 2
]
2
2
G (m+m a)
G (m+ ma )
●
Possiamo scrivere le variazioni della velocità dopo un incontro come:
Δ v i = ∑ ( Δ ⃗v ⋅ e⃗k ) ( e⃗i ⋅ e⃗k )
k
Δ v i Δ v j = ∑ (Δ ⃗v ⋅ e⃗k ) (Δ ⃗v ⋅ ⃗
e l ) ( e⃗i ⋅ e⃗k ) ( e⃗j ⋅ ⃗
el )
k ,l
Mediando su φ ∈ (0, 2π) si ottiene:
〈 Δ v i 〉 ϕ = −Δ v║ (⃗
ei ⋅ e⃗1)
1
2
〈 Δ v i Δ v j 〉 ϕ = (Δ v ║ ) ( e⃗i ⋅ e⃗1 )( e⃗j ⋅ e⃗1) + (Δ v ┴ ) [( ⃗
e i ⋅ e⃗2)( e⃗j ⋅ e⃗2 ) + ( e⃗i ⋅ e⃗3 )( e⃗j ⋅ e⃗3 )]
2
2
●
Sommando gli effetti di tutti gli incontri si ha:
D( Δ vi ) = 2 π∫ f a ( v⃗a) V 0 〈Δ v i 〉 ϕ b db d 3 v⃗a
3
D( Δ vi Δ v j ) = 2 π∫ f a ( v⃗a)V 0 〈 Δ v i Δ v j 〉 ϕ b db d v⃗a
Cioè:
b max
D( Δ v i ) = −2 π ∫ f a( v⃗a )V 0 (⃗
e i⋅⃗
e 1) d 3 v⃗a
∫ Δ v ║ b db
0
D( Δ v i Δ v j ) = 2 π∫ f a ( v⃗a)V 0 d v⃗a ×
3
b max
b max
1
×{( e⃗i ⋅ e⃗1)( e⃗j ⋅ e⃗1) ∫ ( Δ v ║ )2 b db + [ δij −( e⃗i ⋅ e⃗1)( e⃗j ⋅ e⃗1) ∫ (Δ v ┴ )2 b db ]}
2
0
0
Notando che:
V 0i
( e⃗i⋅⃗
e 1) =
⃗
V0
V0
e⃗1 =
V 0i V 0j
V0
δ ij −(⃗
e i ⋅ e⃗1)( e⃗j ⋅ e⃗1 ) = δij −
2
V0
si ottiene:
b
max
D( Δ vi ) = −2 π ∫ f a( v⃗a )V 0i d 3 v⃗a
∫ Δ v ║ b db
0
D( Δ vi Δ v j ) = 2 π∫ f a ( v⃗a)V 0 d v⃗a ×
3
×{
V 0i V 0j
V 20
b max
∫ ( Δ v║ )2 b db +
0
V 0i V 0j
1
[ δij −
2
V 20
b max
∫ ( Δ v ┴ )2 b db ]}
0
●
Gli integrali in db nei coefficienti di collisione sono::
b max
2
∫ Δ v║ b db = G
ma (m+ ma )
0
bmax
∫
(Δ v ║ )2 d db = 2
0
b max
2
0
V
G 2 m 2a
(1−
1
)
2
1+Λ
bmax V 20
con Λ =
G(m +ma )
1
]
2
2
V0
1+Λ
0
Nelle nostre applicazioni Λ è molto grande; approssimiamo e diciamo:
b
2 m a ( m+m a )
ln Λ
∫ Δ v║ b db = 2G
3
V0
0
2
(Δ
v
)
∫ ┴ b db = 2
●
V 30
G 2 m2a
ln (1+Λ 2)
[ ln(1+ Λ2 )−1+
max
bmax
∫ (Δ v ║ )2 d db = 0
0
b max
∫ (Δ v ┴ )2 b db = 4
0
G 2 m2a
V
2
0
ln Λ
●
Allora:
V 0i
D( Δ v i ) = −4 π G ma (m +ma ) ∫
2
3
δij
D( Δ v i Δ v j ) = 4 π G m ∫ [
−
V0
2
2
a
f a ( v⃗a) ln Λ d 3 v⃗a
V0
V 0i V 0j
3
V0
] f a ( v⃗a) ln Λ d 3 v⃗a
Essendo Λ grande, non compiamo grandi errori nel porlo indipendente
da va :
bmax V 20
Λ=
G(m +ma )
bmax V 20
Λ=
G(m +ma )
In modo da avere:
D( Δ vi ) = −4 π G ma (m +ma ) ln Λ ∫
2
V 0i
δ ij
D( Δ vi Δ v j ) = 4 π G m ln Λ ∫ [
−
V0
2
2
a
3
f a ( v⃗a ) d 3 v⃗a
V0
V 0i V 0j
3
V0
] f a ( v⃗a) d 3 v⃗a
●
Essendo infine:
V0 =
√
V 0i
∂ 1
=
−
3
∂vi V 0
V0
2
δij
V 0i V 0j
∂
−
=
V0
3
V0
∂ v i∂ v j
V0
3
(v i − v ai)2
∑
i =1
Otteniamo:
∂h(⃗v )
D( Δ v i ) = 4 πG m a (m+m a) ln Λ
∂ vi
2
2
∂ g(⃗v )
2
2
D( Δ v i Δ v j ) = 4 π G m a ln Λ
∂ vi v j
con:
f a ( v⃗a) 3
3
h (⃗
v) = ∫
d Δ v⃗a ; g(⃗v ) = ∫ f a ( v⃗a )∣⃗
v − v⃗a∣d Δ v⃗a
∣⃗v −v⃗a∣
A.3 – Sviluppo dei potenziali di Rosenbluth
●
Se la fa è isotropa possiamo sviluppare i potenziali di Rosenbluth in
serie di polinomi di Legendre. Diciamo γ l'angolo compreso tra v e va e
siano vmin , vmin rispettivamente il minore e maggiore tra v e va :
v lmin
∞
1
= ∑ l +1 Pl (cos γ)
∣⃗v − v⃗a∣ l= 0 v max
Per cui:
∞
∞
h (⃗
v) = 2π ∑∫
l=0 0
v 2a v lmin
v
l +1
max
π
f a ( v⃗a ) d v a
∫ Pl (cos γ) sin γ d γ
0
Che, per l'ortogonalità dei polinomi di Legendre:
1
1
2 (l +m)!
m
m
∫ Pl ( X ) P n ( X ) dX = 2l+1 (l−m)! δ lm
∫ Pl ( X ) dX = 2 δl0
−1
−1
Diventa:
v
∞
1
h (⃗
v ) = 4 π[ ∫ v 2a f a (v a) dv a + ∫ v a f a (v a) dva ]
v 0
v
A.3 – Sviluppo dei potenziali di Rosenbluth
●
Analogamente:
∞
v lmin
l =0
v max
∣⃗v − v⃗a∣ = ∑
l+1
Pl (cos γ)( v 2 +v 2a−2v v a cos γ)
Per cui:
∞
∞
g(⃗v ) = 2 π ∑ ∫
l =0 0
v 2a v lmin
v
π
l +1
max
f a ( v⃗a) d v a×
π
×[(v 2+ v 2a)∫ Pl (cos γ)sin γ d γ − 2v v a∫ Pl (cos γ)sin γ cos γ d γ ]
0
0
Che, per l'ortogonalità dei polinomi di Legendre:
1
1
∫ Pl ( X ) dX = 2 δl0
−1
;
∫ Pl ( X ) XdX =
−1
2
δ l1
3
Diventa:
v
4
2
∞
v
v
4
g(⃗v ) = π v [ ∫ (3v 2a + a2 ) f a ( v a )dv a + ∫ (3 a + v v a )f a (v a )dv a ]
3
v
v
0
v

L`equazione di Fokker-Planck in ambiti astrofisici

Transcript

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