SVILUPPI DI TAYLOR E MACLAURIN / ESERCIZI PROPOSTI

ANALISI MATEMATICA I - A.A. 2013/2014
SVILUPPI DI TAYLOR E MACLAURIN / ESERCIZI PROPOSTI
1. Calcolare lo sviluppo di MacLaurin di ordine 4 delle funzioni
a) f (x) = log 1 − 6x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f (x) = −6x2 − 18x4 + o x4
2
b) g (x) = −
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g (x) = −2 + 4x2 − 8x4 + o x4
2
1 + 2x
1
2
c) h (x) = sin2 x − e−2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h (x) = − 12 + 2x2 − 43 x4 + o x4
2
quindi calcolare il limite
lim
x→0
f (x) + g (x) + h (x) + 5/2
.
x6 − x4
............................................................................................
82 3
2. Calcolare lo sviluppo di MacLaurin di ordine 4 delle seguenti funzioni:
5
2
a) f (x) = 1 + xex−x + x4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f (x) = 1 + x + x2 − 12 x3 + o x4
6
√
1 4
b) f (x) = cosh x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f (x) = 1 + 14 x2 − 96
x + o x4
c) f (x) = log 1 − sin2 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f (x) = −x2 − 16 x4 + o x4
5 4
d) f (x) = cos (log (1 + x)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f (x) = 1 − 12 x2 + 12 x3 − 12
x + o x4
e) f (x) = tan x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f (x) = x + 13 x3 + o x4
sin x
f) f (x) = √
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f (x) = x − 16 x3 − 12 x4 + o x4
1 + x3
x
g) f (x) = (1 + x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f (x) = 1 + x2 − 12 x3 + 56 x4 + o x4
3. Per ciascuna delle funzioni sviluppate nell’Esercizio 2, calcolare f (n) (0) per n = 0, 1, 2, 3, 4 e rispondere alle seguenti domande:
• se f è infinitesima in 0, quali sono ordine e parte principale di f rispetto a x per x → 0?
• l’origine è punto critico per f ? se sì, di che natura (max, min, flesso o nessuna delle tre)?
• l’origine è punto di flesso per f ?
• qual è la retta tangente ad f in x = 0?
4. Allungare lo sviluppo ottenuto al punto e) dell’Esercizio 2, ricavando il seguente sviluppo notevole:
1
2
tan x = x + x3 + x5 + o x6 x→0
3
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tan x =
3
sin x
cos x
=
5
x
x− x6 + 120
+o(x6 )
2
4
1− x2 + x24 +o(x5 )
= ...
5. Determinare la parte principale p (x) rispetto a x per x → 0 della funzione
f (x) = sin (sin x) − x cos x
e calcolare il limite lim
x→0 x5
f (x)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p (x) = 16 x3 , 0
5/3
+x
1
2
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6. Calcolare i seguenti limiti:
2
ex − cos x − 32 x2
a) lim
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
24
x→0
x4
x
e − 1 + log (1 − x)
b) lim
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . − 12
x→0
tan x − x
√
log (1 + sin 2x) + 1 − 1 + 4x
√
c) lim
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . − 83
x→0
x3 + x4 3 x
sin2 x + 2 log (cos x)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−1]
x→0
cosh (x2 ) − 1
d) (tema d’esame 2005) lim
7. Scrivere lo sviluppo di Taylor di ordine 3 delle seguenti funzioni nel punto base x0 indicato:
k
l
a) f (x) = (x − 2)2 + 8 log x, x0 = 2 . . . . . f (x) = 8 log 2 + 4 (x − 2) + 13 (x − 2)3 + o (x − 2)3
k
l
b) f (x) = esin x , x0 = π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f (x) = 1 − (x − π) + 12 (x − π)2 + o (x − π)3
√
c) f (x) = 2 x −
k
1
, x0 = 1 . . . . . . . . . . . . f (x) = 1 −
2−x
5
4
(x − 1)2 −
7
8
l
(x − 1)3 + o (x − 1)3
Per ciascuna delle funzioni precedenti, rispondere alle seguenti domande:
• il punto x0 è punto critico per f ? se sì, di che natura?
.....................................................
• il punto x0 è punto di flesso per f ?
............................................
a,b) no; c) sì, punto di max locale
a) sì, ascendente; b) no; c) sì, discendente
• qual è la retta tangente ad f in x = x0 ?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a) y = 8 log 2 + 4 (x − 2); b) y = 1 − (x − π); c) y = 1
8. Sia f derivabile 4 volte in x = 0. Sapendo che
f (x) = −2x + x4 + o x4
per x → 0,
calcolare la retta tangente ad f in x = 0 e stabilire se x = 0 è un punto di flesso per f.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[y = −2x, x = 0 non è punto di flesso]
9. Sia f derivabile 5 volte in x = 0. Sapendo che
f (x) = 7 − 3x4 + 2x5 + o x5
per x → 0,
calcolare f (5) (0) e stabilire la natura del punto critico x = 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f (5) (0) = 240, x = 0 è punto di massimo relativo
10. Sia f derivabile 6 volte in x = −3. Sapendo che
1
(x + 3)5 + 2 (x + 3)6 + o (x + 3)6
2
calcolare f (−3) e stabilire la natura del punto critico x = −3.
f (x) = 4 −
per x → −3,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[f (−3) = 4, x = −3 è punto di flesso discendente a tangente orizzontale]
11. Sia f ∈ C 2 (R). Sapendo che
1
2
2
per x → 1,
(x − 1) + o (x − 1)
2
determinare segno, monotonia e concavità di f nell’intorno di x = 1, giustificando la risposta.
f (x) = 1 − 2 (x − 1) +
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3
1
12. Determinare ordine di infinitesimo e parte principale rispetto a
per x → +∞ delle seguenti
x
funzioni:
1
1
a) f (x) = e x − esin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 6x13
128 4
− x82
+ cosh
b) f (x) = e
− 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4, 3x
4
x
13. Calcolare il seguente limite:
1
2
lim x − x log 1 + sin
x→+∞
x
.............................................................................................
14. Sia
1
2
f (x) = cos 2x + x log (1 − 2x) .
a) Scrivere lo sviluppo di MacLaurin di ordine 4 di f . . . . f (x) = 1 − 4x2 − 2x3 − 2x4 + o x4
b) Verificare che x0 = 0 è punto critico per f , determinare le derivate di f fino all’ordine 4 in x0
e stabilire la natura di x0
. . . . . f (0) = 0, f (0) = −8, f (0) = −12, f (4) (0) = −48, x0 è punto di massimo relativo
f (x) − 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−4]
x→0 tan2 x
c) Calcolare il limite lim
15. Sia
sin x
+ sinh 3x.
f (x) = √
3
1 + x2
a) Scrivere il polinomio di MacLaurin di ordine 4 di f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T4 (x) = 4x + 4x3
b) Trovare l’equazione della retta tangente al grafico di f in x0 = 0 e stabilire se x0 è punto di
flesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [y = 4x, x0 è punto di flesso ascendente]
c) Determinare la parte principale di f rispetto a x per x → 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [4x]
16. Sia
2
f (x) = 3xe5x + 2 sin x log (1 + 3x) − 3xe2x .
a) Scrivere lo sviluppo di MacLaurin di ordine 4 di f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f (x) = 13x4 + o x4
b) Determinare la parte principale di f rispetto a x per x → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13x4
c) Calcolare f (0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [0]
d) Stabilire la natura del punto critico x0 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [x0 è punto di minimo relativo]
13 f (x)
e) Calcolare il limite lim
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
24
x→0 sinh (5x2 ) − x4 + 3x7
17. (tema d’esame 2006) Calcolare la derivata quarta in x0 = 0 della funzione
s
2
1 − x2 .
f (x) = e−x − log 1 + sinh4 x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f (4) (0) = −3
18. (tema d’esame 2007) Calcolare lo sviluppo di MacLaurin di ordine 8 della funzione
2
s
f (x) = ex − 1 − x2 1 − 1 − x2
e determinare la parte principale p (x) di f (x) rispetto a x per x → 0.
7 8
x + o x8 , p (x) = 14 x6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f (x) = 14 x6 + 48
4
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19. (tema d’esame 2006) Determinare la parte principale p (x) rispetto a x per x → 0 della funzione
√
1
f (x) =
− sin2 ( 2x) − 1
2
1 − 2x
e calcolare quindi il limite
f (x)
.
lim
x→0 tan(x4 ) − 2x6
4 16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p (x) = 16
3 x , 3
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5
ALTRE SOLUZIONI.
3. a) f (0) = f (0) = 1, f (0) = 2, f
(0) = −3, f (4) (0) = 0.
f non è infinitesima in 0; l’origine non è punto critico, né di flesso; la retta tangente è y = 1 + x.
b) f (0) = 1, f (0) = f
(0) = 0, f (0) = 12 , f (4) (0) = − 14 .
f non è infinitesima in 0; l’origine è punto critico di min locale e non è punto di flesso; la retta
tangente è y = 1.
c) f (0) = f (0) = f
(0) = 0, f (0) = −2, f (4) (0) = −4.
f è infinitesima di ordine 2 in 0 con p.p. −x2 ; l’origine è punto critico di max locale e non è
punto di flesso; la retta tangente è y = 0.
d) f (0) = 1, f (0) = 0, f (0) = −1, f
(0) = 3, f (4) (0) = −10.
f non è infinitesima in 0; l’origine è punto critico di max locale e non è punto di flesso; la retta
tangente è y = 1.
e) f (0) = f (0) = f (4) (0) = 0, f (0) = 1, f
(0) = 2.
f è infinitesima di ordine 1 in 0 con p.p. x; l’origine non è punto critico ed è punto di flesso
ascendente; la retta tangente è y = x.
f) f (0) = f (0) = 0, f (0) = 1, f
(0) = −1, f (4) (0) = −12.
f è infinitesima ordine 1 in 0 con p.p. x; l’origine non è punto critico ed è punto di flesso
discendente; la retta tangente è y = x.
g) f (0) = 1, f (0) = 0, f (0) = 2, f
(0) = −3, f (4) (0) = 20.
f non è infinitesima in 0; l’origine è punto critico di min locale e non è punto di flesso; la retta
tangente è y = 1.
11. f è positiva, strettamente decrescente e strettamente convessa nell’intorno di x = 1; infatti f, f , f
sono continue in x = 1 per ipotesi (f ∈ C 2 (R)) e quindi f (1) = 1, f (1) = −2 ed f (1) = 1
implicano
f (x) > 0,
per permanenza del segno.
f (x) < 0,
f (x) > 0 nell’intorno di x = 1,