Compito - Dipartimento di Matematica

\MATEMATICA GENERALE per SCIENZE BIOLOGICHE
A.A. 2008/2009 Appello 29 gennaio 2009
COGNOME e NOME
Matricola n.
Firma
Compito
1
2
3
4
A
5
Non scrivere nella tabella sopra riportata
Consegnare solo questo foglio, non la brutta.
E’ necessario riportare, oltre ai risultati, anche i passaggi fondamentali.
1. Calcolare il seguente integrale definito:
1 4
5e − 1
32
e
x3 (log x)2 dx.
1
2. Determinare l’equazione della retta tangente, nel generico punto (x0 , f (x0 )) , al grafico della funzione.
f(x) = ex .
[y = ex0 + ex0 (x − x0 )]
Determinare poi per quale scelta del punto x0 tale retta passa per l’origine degli assi (0, 0) .
[x0 = 1]
3. Data la funzione:
f(x) =
log (3x)
,
log (2x)
(a) stabilire l’insieme di definizione D di f;
[D = (0, 1/2) ∪ (1/2, +∞)]
(b) stabilire il segno di f , e discutere eventuali simmetrie;
[f (x) > 0 in (1/2, +∞) e (0, 1/3) , f(x) < 0 in (1/3, 1/2) ; f (x) = 0 in x = 1/3]
[non esistono simmetrie]
(c) calcolare i limiti agli estremi del dominio D;
lim+ f(x) = 1, lim − f (x) = −∞, lim + f(x) = +∞, lim f (x) = 1
x→0
x→(1/2)
x→(1/2)
x→+∞
(d) discutere l’eventuale presenza di asintoti per f ;
[y = 1 asintoto orizzontale per x → +∞; x = 1/2 asintoto verticale]
(e) calcolare la derivata prima di f;
log
(3/2)
f ′ (x) = −
(log 2x)2 x
(f) studiare il segno di f ′ e discutere eventuali punti di massimo e di minimo;
[f ′ (x) < 0 ∀x ∈ D =⇒ f(x) è decrescente in (0, 1/2) e in (1/2, +∞)]
[non ci sono punti di massimo e di minimo]
(g) calcolare la derivata seconda di f ;
log (3/2) (2 + log (2x))
′′
f (x) =
x2 [log (2x)]3
(h) studiare il segno di f ′′ e discutere eventuali punti di flesso;
1
1
1 1
′′
′′
f (x) > 0 in 0, 2 e in
, +∞ , f (x) < 0 in
,
2e
2
2e2 2
1
1
1 1
f (x) è convessa in 0, 2 e in
, +∞ e f (x) è concava in
,
2e
2
2e2 2
1
x = 2 è un punto di flesso
2e
(i) tracciare il grafico di f ed aggiungere eventuali commenti;
4
2
0
0.5
1
x
-2
-4
4. Calcolare il seguente limite:
e2x + ex − 2
.
x→0 log (1 + x)
lim
[3]
1.5
2
5. Dati la seguente matrice ed il seguente vettore:


 
3
0 1
2
A =  −1 −2 0  , v =  1  ,
−1 0 1
0
(a) calcolare il determinante di A e stabilire se esiste la sua inversa;
[det A = −8; esiste l’inversa di A]
(b) stabilire se esiste unica la soluzione del sistema Ax = v, e in caso affermativo calcolarla.



1

 2 



poiché det A = 0, esiste unica la soluzione del sistema; x =  − 3 

 4 

 1 
2