Algoritmo di Inseguimento Automatico

SCIENTIA – http://www.scientiajournal.org
International Review of Scientific Synthesis – ISSN 2282-2119
Vol. 125 – doi:10.12969/Scientia.Vol125.Sect2.Art06 - xxxxxxxx xxth, 2014
Algoritmo di Inseguimento Automatico
Marcello Colozzo
Istituto Scientia – http://www.istitutoscientia.it – via Ortola 65, 54100 Massa, Italy
Sommario
Presentiamo una soluzione alternativa al problema di inseguimento[1] in cui
un aereo da caccia insegue un bombardiere che non esegue azioni evasive. In
quest’articolo illustriamo un algoritmo di Inseguimento Automatico in cui non è
richiesta la conoscenza della velocità del bersaglio.
Keywords: pursuit problem; pursuit curve; differential geometry;
1
Introduzione storica
La genesi del problema di inseguimento si perde nella notte dei tempi: i primi studi
risalgono addirittura a Leonardo da Vinci. Tale problema venne poi studiato da un
punto di vista fisico-matematico durante gli anni della guerra fredda, in forza della
sua importanza in ambito militare. In quel periodo il principale sistema di intercettazione di aerei nemici era rappresentato dal Radar. Nella metà degli anni cinquanta
furono progettati i primi sensori all’infrarosso (IRST, acronimo di InfraRed Search
and Track ), in grado di rilevare la radiazione infrarossa emessa dai gas di scarico del
bersaglio. Durante la guerra del Vietnam vennero utilizzati a bordo dei caccia Convair
F-102 Delta Dagger; si trattava, tuttavia, di dispositivi molto primitivi e lo sviluppo
vero e proprio si realizzò a partire dagli anni ’80.
Il presente lavoro non ha applicazioni militari: il suo scopo consiste nell’approfondire
l’aspetto fisico-matematico del problema, mostrando l’esistenza di un legame con la
sezione aurea e, in ultima istanza, con i numeri di Fibonacci [2].
2
Impostazione cinematica del problema
Un bersaglio B è inseguito da un inseguitore I, schematizzati da una coppia di punti
materiali che, per ipotesi, compiono un moto piano rispetto a un sistema riferimento
inerziale K = R ∪ Ω, dove R (Oxy) è di riferimento cartesiano ortogonale e Ω un
orologio che misura il tempo in K.
B e I sono rappresentati dai punti B (xB (t) , yB (t)) e P (x (t) , y (t)), essendo t il
tempo misurato da Ω. Denotiamo con v (t) la velocità di P rispetto a K:
v (t) = ẋ (t) ,
dove x (t) è il vettore posizione di P a tutti i tempi, mentre la notazione puntata denota
l’operazione di derivazione rispetto alla variabile t. Se i e j sono i versori degli assi
coordinati, si ha:
x (t) = x (t) i + y (t) j
Definizione 1 La distanza orientata tra inseguitore e bersaglio è la funzione vettoriale:
d : R −→ R3
t→d(t), ∀t∈R
1
data da:
d (t) = [xB (t) − x (t)] i + [yB (t) − y (t)] j
(1)
Condizione 2 (Condizione di inseguimento)


∀t ∈ R, v (t)

P insegue B ⇐⇒ 
è orientato verso B
⇐⇒ ∃τ (t) ≥ 0 | d (t) = τ (t) v (t) ,
essendo τ (t) una funzione reale non negativa.
In altri termini, P insegue B se e solo se il vettore velocità di P è parallelo e
concorde al vettore distanza orientata d (t). Ciò è illustrato in fig. 1.
Figura 1: La condizione di inseguimento si traduce nella condizione di parallelismo del
vettore velocità di P con il vettore “distanza orientata” d (t).
La funzione τ (t) ha le dimensioni di un tempo, e risulta:
τ (t) =
∆ (t)
,
v (t)
(2)
essendo:
def
∆ (t) = |d (t)| , e v (t) = |v (t)|
Condizione 3 (Condizione di raggiungibilità)
P raggiunge B se e solo se la funzione reale non negativa ∆ (t) è dotata di almeno
uno zero al finito.
Cioè:
P raggiunge B) ⇐⇒ ∃t∗ ∈ R | ∆ (t∗ ) = 0
2
Nel caso di raggiungibilità, dalla d (t) = τ (t) v (t) si ottiene l’equazione vettoriale:
τ (t∗ ) v (t∗ ) = 0
Assumendo v (t) 6= 0, ∀t ∈ R, la (3) è soddisfatta per τ (t∗ ) = 0.
(3)
def
Dopo questa premessa, definiamo le posizione di B e P in un istante iniziale t0 = 0.
A tale scopo, facciamo le seguenti ipotesi semplificative:
Hp1 B compie un moto rettilineo ed uniforme con velocità u.
Hp2 ∀t ∈ [0, +∞), v (t) = v0 . Cioè, P si muove con velocità di modulo costante.
L’istante inziale t0 = 0 è tale che u · v (t0 ) = 0, cioè l’istante in cui il vettore v (t) è
ortogonale a u. Orientiamo l’asse y di R (Oxy) nella direzione e nel verso del vettore
u, scegliendo l’origine O nella posizione del bersaglio a t0 = 0. Le posizioni iniziali
sono dunque:
B0 (0, 0) , P0 (x0, 0)
cioè a t = 0 l’inseguitore è in P0 (fig. 2).
Figura 2: All’istante iniziale t0 = 0 il bersaglio è in B0 (0, 0), mentre l’inseguitore è in
P0 (x0 , 0).
Osservazione 4 Se è verificata la condizione di raggiungibilità, dalla relazione τ (t) =
∆(t)
v0
segue che le funzioni non negative ∆ (t) e τ (t) sono monotonamente decrescenti e
hanno uno zero in comune in t = t∗ .
3
A un generico istante t > 0, si ha:
B (0, ut) , P (x (t) , y (t)) ,
dove u è la velocità costante del bersaglio. La distanza orientata (1) è:
d (t) = −x (t) i + [ut − y (t)] j,
(4)
come illustrato in fig. 3. Risulta:
Figura 3: All’istante t > 0 il bersaglio è in B (0, ut), mentre l’inseguitore è in
P (x (t) , y (t)).
∆ (t) =
q
per cui:
1
τ (t) =
v0
per t = 0:
x (t)2 + [ut − y (t)]2 ,
(5)
q
x (t)2 + [ut − y (t)]2
(6)
τ (0) =
x0
v0
Cioè τ (0) è il tempo impiegato da P per percorrere la distanza che lo separa inizialmente da B con velocità v0 . Se è verificata la condizione di raggiungibilità, cioè
se
∃t∗ ∈ (0, +∞) | ∆ (t∗ ) = 0,
4
(7)
l’inseguitore raggiunge il bersaglio nel punto B∗ (0, ut∗ ). Chiamiamo t∗ istante di raggiungimento. Se t∗ = +∞, l’inseguitore insegue indefinitamente il bersaglio senza mai
raggiungerlo. La velocità di P è v (t) = ẋ (t) i+ ẏ (t) j, che inserita in v (t) =
ẋ (t) i + ẏ (t) j =
Cioè:
1
{−x (t) i + [ut − y (t)] j}
τ (t)

 ẋ (t) = − x(t)
τ (t)
 ẏ (t) = ut−y(t)
d(t)
τ (t)
porge:
(8)
(9)
τ (t)
Tenendo conto della (6):


 ẋ (t) = − √

 ẏ (t) = √
v0 x(t)
x(t)2 +[ut−y(t)]2
v0 [ut−y(t)]
,
(10)
x(t)2 +[ut−y(t)]2
che è un sistema di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine nelle x (t), y (t).
Le condizioni iniziali sono:
x (0) = x0 , y (0) = 0
(11)
La soluzione (x (t) , y (t)) che verifica le condizioni iniziali (11) compone una rappresentazione parametrica della traiettoria ΓP dell’inseguitore:
ΓP : x = x (t) , y = y (t) , t ∈ [0, +∞)
(12)
Osservazione 5 Nel gergo anglosassone, la curva ΓP si chiama Pursuite curve [3].
Il moto di P si svolge nella regione
Alternativamente:
Λ = (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ x0 , 0 ≤ y < +∞
∀t ∈ [0, +∞) , P ∈ R (t) ,
dove R (t) è la regione istantanea del moto:
R (t) = (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ x0 , 0 ≤ y ≤ ut = [0, x0 ] × [0, ut]
(13)
Tenendo conto delle (10):
∀t ∈ [0, +∞) , ẋ (t) ≤ 0, ẏ (t) ≥ 0
Cioè i moti componenti lungo gli assi coordinati sono uno regressivo (asse x), l’altro
progressivo (asse y).
5
La rappresentazione parametrica (12) può essere scritta vettorialmente:
x (t) = x (t) i + y (t) j,
(14)
La x (t) è una funzione vettoriale della variabile reale t:
x : [0, +∞) −→ R2
t−→(x(t),y(t)), ∀t
La rappresentazione parametrica (14) è regolare. Infatti:
1. x (t) ∈ C 1 ([0, +∞)), i.e. è continua in [0, +∞) assieme alla sua derivata prima.
2. ẋ (t) = v (t) 6= 0 in [0, +∞).
Riuscendo ad eliminare il parametro t dalle (12) si perviene alla rappresentazione
cartesiana di ΓP :
ΓP : y = f (x) , ∀x ∈ X,
(15)
dove X = [0, x0 ] o X = (0, x0 ]. La continuità della funzione f dipende dall’esistenza di
uno zero al finito della funzione ∆ (t). Più precisamente, se è verificata la condizione di
raggiungibilità, cioè se t∗ < +∞, allora f è continua in [0, x0 ]. Viceversa, se t∗ = +∞,
allora x = 0 è un punto di infinito per f :
lim f (x) = +∞,
x→0+
o, ciò che è lo stesso, l’asse y è asintoto verticale per ΓP . Conseguentemente è X =
(0, x0 ]. Consideriamo la regione del piano:

 {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ x , 0 ≤ y ≤ f (x)} , se f è continua in [0, x ]
0
0
T =
 {(x, y) ∈ R2 | 0 < x ≤ x0 , 0 ≤ y ≤ f (x)} , se f è continua in (0, x0 ]
Cioè:

 {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ x , 0 ≤ y ≤ f (x)} , se t < +∞
0
∗
T =
 {(x, y) ∈ R2 | 0 < x ≤ x0 , 0 ≤ y ≤ f (x)} , se t∗ = +∞
Nel primo caso, T è il rettangoloide relativo a f (x) e di base [0, x0 ]. Nel secondo caso
è, invece, il rettangoloide generalizzato relativo a f (x) e di base [0, x0 ]. Quindi:

Zx0
 < +∞, se t < +∞
∗
misT = f (x) dx →
 ≤ +∞, se t∗ = +∞
0
6
Intuitivamente, la condizione di raggiungibilità è legata alla velocità di P . Ad esempio,
se v0 ≤ u è necessariamente t∗ = +∞. Sussistono le evidenti implicazioni:
t∗ < +∞ =⇒ v0 > u
v0 > u ; t∗ < +∞
v0 ≤ u =⇒ t∗ = +∞
Ci aspettiamo, dunque, una dipendenza parametrica della funzione f (x) dal parametro
def u
.
v0
reale non negativo β =
Anzichè integrare il sistema (10) per poi eliminare il parametro t, è conveniente
tentare di trovare un’equazione differenziale per la funzione f (x). Dalle (10) :
ẏ
ut − y
=−
ẋ
x
Ma
ẏ
ẋ
=
dy dt
dt dx
=
dy
dx
≡ y ′ , per cui:
−x
dy
= ut − y
dx
(16)
Se y = f (x), l’equazione precedente si scrive:
−x (t) f ′ [x (t)] = ut − y (t) ,
(17)
dove l’apice indica l’operazione di derivazione rispetto alla variabile x.
La (16) ci permette di eseguire uno studio di funzione qualitativo per f (x). Per
quanto riguarda l’insieme di definizione:
f (x) è definita in [0, x0 ] se t∗ < +∞
f (x) è definita in (0, x0 ] se t∗ = +∞
In entrambi i casi f è non negativa.
Intersezione con gli assi coordinati.
f (x) = 0 ⇐⇒ x = x0
Cioè:
P0 (x0 , 0) ∈ ΓP ∩ ~x
t∗ < +∞ =⇒ x (t∗ ) = 0, y (t∗ ) > 0 =⇒ B∗ (0, ut∗ ) ∈ ΓP ∩ ~y
1. t∗ < +∞
Il diagramma cartesiano ΓP interseca l’asse x in P0 (x0 , 0) e l’asse y in B∗ (0, ut∗ )
che è il punto in cui l’inseguitore raggiunge il bersaglio.
7
2. t∗ = +∞
Il diagramma cartesiano ΓP interseca l’asse x in P0 (x0 , 0), mentre l’asse y è
asintoto verticale:
lim f (x) = +∞
x→0+
Studio della derivata prima.
1. t∗ < +∞
∀t ∈ [0, t∗ ] , ut − y (t) ≥ 0 =⇒ −x
eq. (16)
dy
dy
≥ 0 =⇒
≤ 0, ∀x ∈ [0, x0 ]
x≥0 dx
dx
(18)
2. t∗ = +∞
∀t ∈ [0, +∞) , ut − y (t) ≥ 0 =⇒ −x
eq. (16)
dy
dy
≥ 0 =⇒
≤ 0, ∀x ∈ (0, x0 ] ,
x>0 dx
dx
per cui f (x) è decrescente in [0, x0 ] se t∗ < +∞ in (0, x0 ] se t∗ = +∞. Valutando
primo e secondo membro della (16) a t0 = 0 e tenendo conto della seconda delle (11):
−x0
dy
dx
x=x0
= −y (0) = 0 =⇒
x0 6=0
dy
dx
=0
x=x0
Ciò implica che ΓP è tangente all’asse x in P0 (x0 , 0). Abbiamo, cosı̀, le condizioni
iniziali:
y (x0 ) = 0,
dy
dx
=0
(19)
x=x0
Dalla (17):
ut − y (t)
(20)
x (t)
Se t∗ < +∞ si ha x (t∗ ) = 0, per cui la funzione composta f ′ [x (t)] non è definita in
f ′ [x (t)] = −
t = t∗ :
0
ut∗ − y (t∗ )
=
(21)
y(t∗ )=ut∗ 0
x (t∗ )
Conseguentemente la derivata prima non è definita in x = 0 (vedremo che il rapporto
f ′ [x (t∗ )] = f ′ (0) = −
(21) tende a −∞). Quindi:
f ′ [x (t)] = −
ut − y (t)
, ∀t ∈ [0, t∗ )
x (t)
Per t = 0:
f ′ [x (0)] = −
0 − y (0)
x (0)
Cioè:
f ′ (x0 ) = 0,
8
=
y(0)=0, x(0)=x0
0
in accordo con la seconda delle (19). Ricerchiamo eventuali zeri della funzione composta
f ′ [x (t)] interni all’intervallo [0, t∗ ] o ciò che è lo stesso, interni all’intervallo [0, x0 ].
Infatti, se ∃t̄ ∈ (0, t∗ ) | f ′ [x (t̄)] = 0 è f ′ (x̄) = 0 dove x̄ = x (t̄) | x̄ ∈ (0, x0 ). Cioè, x̄ è
punto estremale1 per f (x). Dalla (20):
∃t̄ ∈ (0, t∗ ) | f ′ [x (t̄)] = 0 =⇒ y (t̄) = ut̄
Inoltre, il diagramma cartesiano ΓP ha in P̄ (x̄, ȳ) tangente orizzontale. Ma ΓP è la
triettoria dell’inseguitore, per cui il vettore velocità v (t̄) è parallelo all’asse x. Tenendo
conto della regressione del moto componente nella direzione dell’asse x, si ha che v (t̄)
è antiparallelo a tale asse, per cui:
v (t̄) = ẋ (t̄) i,
giacchè ẋ (t̄) < 0. Inoltre, v (t̄) è orientato verso la posizione del bersaglio al tempo
t̄, cioè verso il punto B̄ (0, ut̄). Ciò si verifica solo se t̄ è un istante di arresto per il
bersaglio con o senza inversione del moto. Precisamente:


x̄ è punto di massimo relativo
t̄ istante di inversione
 =⇒ 
(22)
per f (x)
del moto


P̄ (x̄, ȳ) è punto di flesso a tangente orizzontale
t̄ istante di arresto
 =⇒ 
per ΓP : y = f (x)
senza inversione del moto
Ma, per ipotesi, B compie un moto uniforme, per cui non esistono istanti di arresto
(con o senza inversione del moto).
Osservazione 6 La prima delle (22) è, in ogni caso, da escludere. Infatti, senza
perdita di generalità se x̄ ∈ (0, x0 ) è punto di massimo relativo per la funzione f (x),
necessariamente f ′ (x) > 0, ∀x ∈ (0, x̄), contrariamente alla (18).
Quindi:
∄t̄ ∈ (0, t∗ ) | y (t̄) = ut̄
o ciò che è lo stesso:
∄x̄ ∈ (0, x0 ) | f ′ (x̄) = 0
Conclusione 7 La derivata prima f ′ (x) non si annulla mai in (0, x0 ).
1
Quindi o è un punto di estremo relativo per f (x) o un punto di flesso a tangente orizzontale per
ΓP .
9
Esaminiamo il comportamento di f ′ (x) per x → 0+ .
1. t∗ < +∞
Tenendo conto della (20):
0
lim+ f ′ (x) = lim− f ′ [x (t)] = ,
x→0
0
t→t∗
per cui la (20) non ci dice nulla sul comportamento di f ′ (x) in un intorno destro di
x = 0. Possiamo, tuttavia, dedurre tale comportamento attraverso considerazioni
cinematiche. Infatti, x → 0+ per t → t−
∗ , ovvero t tende all’istante in cui P
raggiunge B. Ciò implica che v (t∗ ) è orientato come u = uj:
v (t∗ ) = ẏ (t∗ ) j
Osserviamo che v (t∗ ) 6= 0, giacchè è |v (t)| = v0 > 0, ∀t ∈ [0, +∞). Ma v (t∗ ) è
tangente a ΓP in B∗ (0, ut∗ ), per cui ΓP ha retta tangente verticale in B∗ . Tale
tangente è orientata verso il basso, poichè è f ′ (x) < 0, ∀x ∈ (0, x0 ).
Conclusione 8
lim+ f ′ (x) = −∞
x→0
Cioè B∗ è punto cuspidale per ΓP .
Riassumendo: il diagramma cartesiano ΓP della funzione f (x) “parte” da B∗ (0, ut∗ )
con tangente verticale orientata verso il basso, e “arriva” in P0 (x0 , 0) con tangente orizzontale. Si badi che i termini “parte e “arriva” sono usati in senso
geometrico e non cinematico.
2. t∗ = +∞
Risulta:
lim f ′ (x) = −∞,
x→0+
poichè è limx→0+ f (x) = +∞ e f ′ (x) < 0, ∀x ∈ (0, x0 ).
Concavità, punti di flesso.
Dall’analisi precedente emerge chiaramente che ΓP volge la concavità verso l’alto e
pertanto è privo di punti di flesso.
In fig. 4 riportiamo l’andamento qualitativo per t∗ < +∞. Per t∗ = +∞, l’asse y è
asintoto verticale come mostrato in fig. 5.
10
Figura 4: Andamento qualitativo del diagramma della funzione y (x) per t∗ < +∞
Figura 5: Andamento qualitativo del diagramma della funzione y (x) per t∗ = +∞.
11
Derivando primo e secondo membro della (16) rispetto al tempo :
dy
d dy
− ẋ
= u − ẏ,
−x
dx
dt dx
|{z}
=ẋ dy
dt
dt
=ẏ
dx
cioè:
d
−x
dt
Osservazione 9 dtd
dy
dx
=
u
x(t)
dy
dx
=u
(23)
è la velocità di variazione (in funzione del tempo)
della pendenza della traiettoria dell’inseguitore ΓP : y = y (x).
La funzione x (t) è monotonamente decrescente in [0, t∗ ], per cui dtd
dy
dx
è mono-
tonamente crescente in [0, t∗ ). Risulta:
d dy u
dt dx = x0
t=0
d dy = u = +∞
lim− dx 0+
t→t∗ dt
dy per 0 ≤ t < t∗ cresce da xu0 a +∞. Tale risultato è consistente con il
Quindi, dtd dx
comportamento di f ′ (x) per x → 0+ :
lim+ |f ′ (x)| = +∞
x→0
Cioè:
d
lim− |f ′ [x (t)]| = +∞ =⇒ lim− f ′ [x (t)] = +∞
t→t∗ dt
t→t∗
Introduciamo la funzione reale della variabile reale t:
dy def d
φ (t) = ,
dt dx quindi:
φ (t) = uψ (t) ,
(24)
dove
def
ψ (t) =
1
,
x (t)
risultando:
lim− φ (t) = +∞, lim− ψ (t) = lim+
t→t∗
t→t∗
x→0
1
= +∞
x
Dalla (24) segue che se per t → t−
∗ la funzione ψ (t) è un infinito di ordine r, necessa−1
riamente φ (t) è un infinito dello stesso ordine per t → t−
∗ . Infatti, se h (t) = (t − t∗ )
è l’infinito di riferimento:
lim−
t→t∗
φ (t)
ψ (t)
r = l ∈ R {0} =⇒ lim−
r = ul ∈ R {0}
[h (t)]
t→t∗ [h (t)]
12
Cioè, per t → t−
∗ le funzioni φ (t) e ψ (t) sono infiniti dello stesso ordine. In altri
d dy è un infinito di
termini, se x (t) è, per t → t−
∗ , un infinitesimo di ordine r,
dt
ordine r (per t →
dx
t−
∗ ).
***
Riscriviamo la (16):
−x (t)
dy
= ut − y (t)
dx
(25)
dy
Tale equazione ha una semplice interpretazione geometrica: −x (t) dx
è la differenza
- al tempo t - tra l’ordinata del bersaglio all’istante t e l’ordinata dell’inseguitore al
medesimo istante. Si noti che allo stesso risultato si giunge attraverso considerazioni
trigonometriche, come illustrato in fig. (6). Infatti:
f ′ (x) =
QB
,
QP
dy
0+ e dx
dy
dx
Ma tan γ =
per cui
con x →
→ −∞.
dy
= tan α = tan (π − γ) = − tan γ
dx
dy
= − ut−y
, cioè la (25). E, per t → t∗ ≤ +∞ è −x dx
→ 0+ ,
x
dy
Figura 6: −x (t) dx
è la differenza - al tempo t - tra l’ordinata del bersaglio all’istante
t e l’ordinata dell’inseguitore al medesimo istante.
È istruttivo studiare l’andamento della funzione:
def
ζ (t) = ut − y (t) , ∀t ∈ [0, t∗ ]
13
(26)
Figura 7: La funzione ζ (t) data dalla (26) è, per t → t−
∗ , un infinitesimo di ordine
inferiore a x (t).
A tale scopo riferiamoci alla fig. 7, da cui ricaviamo:
tan γ =
ut − y
,
x
onde:
ζ (t)
= tan γ (t)
x (t)
Dalla medesima figura risulta:
lim− γ (t) =
t→t∗
π−
,
2
per cui:
lim−
t→t∗
ζ (t)
= lim tan γ (t) = lim
tan γ = +∞
x (t) t→t−∗
γ→ π2 −
Cioè x (t) è, per per t → t−
∗ , un infinitesimo di ordine superiore a ζ (t). Ciò implica che
in entrambi i casi [raggiungibilità (t∗ < +∞) e non raggiungibilità (t∗ = +∞)] l’ascissa
di P deve annullarsi - per t → t∗ - più rapidamente della differenza tra l’ordinata di B
e l’ordinata di P . Inoltre, per t∗ < +∞ risulta: ζ (0) = 0 e ζ (t∗ ) = 0. Per il teorema
di Rolle:
∃t1 ∈ (0, t∗ ) | ζ̇ (t1 ) = 0
14
Ma ζ̇ (t) = u − ẏ (t), quindi:
∃t1 ∈ (0, t∗ ) | ẏ (t1 ) = u
Deve essere:
t ∈ (0, t1 ) =⇒ u > ẏ (t)
t ∈ (t1 , t∗ ) =⇒ u < ẏ (t) ,
onde t1 è punto di massimo relativo per la funzione ζ (t). Abbiamo quindi la seguente
evoluzione cinematica: la componente y della velocità di P , ossia la funzione ẏ (t) è
monotonamente crescente in [0, t∗ ] da 0 a ẏ (t∗ ) = v0 , e ci sarà un istante t1 in cui
uguaglia la velocità u di B. La differenza delle ordinate di B e P , cioè la funzione
ζ (t) = ut − y (t), aumenta fino a raggiungere un massimo a t1 per poi diminuire
progressivamente fino ad annullarsi a t∗ ≤ +∞.
***
Riprendiamo l’equazione (23):
d
−x (t)
dt
Ma
d
dt
dy
dx
=
d ′
f
dt
dy
dx
=u
[x (t)] = f ′′ (x) dx
. Cioè:
dt
d dy
d2 y
= ẋ 2
dt dx
dx
Sostituendo tale espressione nella (23):
−xẋy ′′ = u,
(27)
dove abbiamo utilizzato la notazione apicale di Lagrange per le derivate di y = f (x).
Per ottenere dalla (27) l’equazione differenziale della traiettoria, dobbiamo svincolarci
da ẋ. A tale scopo riscriviamo la prima delle (9):
ẋ (t) = −
Ricordiamo che:
τ (t) =
x (t)
τ (t)
q
x (t)2 + [ut − y (t)]2
v0
Dalla (16) si ha che ut − y (t) = −xy ′ , per cui:
τ=
|x| p
1 + y ′2
v0
15
(28)
Dalla (13) vediamo che x ≥ 0 =⇒ |x| = x:
τ=
In tal modo la (28) diventa:
xp
1 + y ′2
v0
v0
ẋ = − p
,
1 + y ′2
(29)
(30)
che sostituita nella (27) ci dà l’equazione differenziale della traiettoria:
xy ′′ = β
dove β =
u
.
v0
p
1 + y ′2 ,
Tenendo conto delle (19):

√
 y ′′ = β 1+y′2
x
 y (x ) = 0, y ′ (x ) = 0
0
0
(31)
(32)
La sostituzione χ (x) = y ′ (x) abbassa di una unità l’ordine dell’equazione differenziale,
ottenendo il problema di Cauchy:

 χ′ = F (x, χ)
P:
,
 χ (x0 ) = 0
dove
(33)
p
1 + χ2
,
x
è una funzione F : A → R con A = {(x, χ) ∈ R2 | x 6= 0, −∞ < χ < +∞}. La funzioF (x, χ) = β
ne F (x, χ) è continua in A assieme alla derivata parziale Fχ (x, χ), onde per il teorema
di esistenza e di unicità:
∀ (x0 , 0) ∈ Å, ∃!ϑ (x) ∈ C 1

 ϑ′ (x) = F [x, ϑ (x)]
I− |
, x ∈ I−
 ϑ (x0 ) = 0
dove I − è un opportuno intorno sinistro del punto iniziale x0 . L’equazione differenziale
χ′ = F (x, χ) è a variabili separabili, giacchè:
F (x, χ) = F1 (x) F2 (χ) ,
essendo:
p
β
, F2 (χ) = 1 + χ2 ,
(34)
x
definite rispettivamente in X = R − {0} e Y = R. Pertanto, il problema di Cauchy
F1 (x) =
(33) si riscrive:

 χ′ = F (x) F (χ)
1
2
P:
 χ (x0 ) = 0
16
(35)
Prima di separare le variabili determiniamo eventuali integrali costanti. Dalla (34) si
ha F2 (0) = 1 6= 0, quindi per una nota proprietà delle equazioni differenziali (del primo
ordine) separabili, segue che la funzione identicamente nulla χ (x) ≡ 0 non risolve il
problema di Cauchy (35). Ciò premesso, separiamo le variabili:
dχ
dx
p
=β
x
1 + χ2
Integrando primo e secondo membro:
p
2
ln
1 + χ + χ = β ln x + b,
essendo b una costante di integrazione. Ponendo b = ln C, ∀C ∈ (0, +∞) si ottiene:
p
Dalla:
si ottiene:
1 + χ2 + χ = Cxβ
p
1
1 + χ2 + χ = p
,
1 + χ2 − χ
p
x−β
1 + χ2 − χ =
C
Quindi il sistema di equazioni algebriche:
 p
 1 + χ2 + χ = Cxβ
,
p
 1 + χ2 − χ = x−β
C
da cui l’integrale generale della χ′ = F1 (x) F2 (χ) è:
1 −β
1
β
Cx − x
χ (x, C) =
2
C
Deve essere χ (x0 ) = 0, da cui otteniamo l’equazione algebrica in C:
Cxβ0 −
1 −β
x = 0,
C 0
la cui unica soluzione è:
C̄ = x−β
0
Perciò l’unica soluzione del problema di Cauchy (35) è:
" −β #
β
1
x
x
ϑ (x) = χ x, C̄ =
−
2
x0
x0
(36)
Ripristinando la variabile y:
1
y ′ (x) =
2
"
x
x0
β
17
−
x
x0
−β #
(37)
Determiniamo:
1
lim+ y ′ (x) =
x→0
2
"
lim
x→0+
x
x0
β
− lim+
x→0
x
x0
−β #
Calcoliamo a parte i limiti a secondo membro:
−β
β
x β
x
x
0
= 0, lim+
= lim+
β > 0 =⇒ lim+
= +∞
x→0
x→0
x→0
x0
x0
x
Cioè:
lim y ′ (x) = −∞,
x→0+
come appunto doveva essere. Per β = 0 è y ′ (x) ≡ 0. Infatti, β = 0 =⇒ u = 0, ossia il
bersaglio è fermo nell’origine e l’inseguitore dovrà percorrere il segmento OP0 nel verso
delle x decrescenti. In fig. (8) riportiamo il diagramma cartesiano della derivata prima
y ′ (x) per diversi valori di β.
dy
dx
x
x0
-10
-20
-30
-40
-50
′
Figura 8: Grafico di y (x) =
1
2
β
x
x0
−
−β x
x0
per β = 0, 1, 2, 3, 4.
Integrando la (37):
1
y (x) =
2
Cioè:
"Z x
x0
β
dx −
Z x
x0
−β
dx
#
"
1+β
1−β #
x0
1
x
x
1
y (x, C1 ) =
+ C1 ,
−
2 1 + β x0
1 − β x0
dove C1 è una costante di integrazione che si calcola dalla condizione iniziale y (x0 , C1 ) =
0, cioè:
x0
2
1
1
−
1+β 1−β
18
+ C1 = 0,
β
da cui C̄1 = x0 1−β
2 . Abbiamo cosı̀ trovato la soluzione f (x) del problema di Cauchy
(32):
f (x) = y x, C̄1
"
1+β
1−β #
x0
1
x
x
1
β
=
−
+ x0
2 1 + β x0
1 − β x0
1 − β2
Osserviamo che tale soluzione è valida per β 6= 1. Per β = 1 la (37) si scrive:
x0
1 x
′
−
y (x) =
2 x0
x
Integrando:
1
y (x) =
2
Cioè:
1
x0
Z
xdx − x0
Z
dx
x
(38)
#
" 2
x0 1 x
− ln x + C1
y (x, C1 ) =
2 2 x0
dove C1 è una costante di integrazione. Deve essere y (x0 ) = 0, quindi è C̄1 =
x0
2
ottenendo l’integrale particolare:
" #
2
x0 1 x
1
x
f (x) =
−
− ln
2 2 x0
x0
2
ln x0 −
(39)
Quindi:
f (x) =







x0
2
x0
2
1
1+β
1+β
x
x0
2
1
2
x
x0
− ln
1
1−β
−
x
x0
1−β x
x0
−
1
2
β
+ x0 1−β
2 , se β ≥ 0, β 6= 1
(40)
, se β = 1
Si noti che per β = 0 è f (x) ≡ 0, come appunto doveva essere, giacchè per quanto
visto in precedenza, per β = 0 la traiettoria è il segmento OP0 orientato nel verso delle
x decrescenti.
Discutiamo la soluzione per β 6= 1. Scriviamo:
"
1+β
1−β #
1
1
x
x
1
1
β
−
f (x) =
+
x0
2 1 + β x0
1 − β x0
1 − β2
x e f (x) hanno le dimensioni di una lunghezza. È conveniente adimensionalizzare tali
grandezze. L’ascissa x è adimensionalizzata dal cambio di variabile:
ξ=
x
,
x0
mentre f (x) è adimensionalizzata dalla funzione:
def
g (ξ) =
1
f (x0 ξ)
x0
19
1
2
,
Cioè:
1
g (ξ) =
2
1 1+β
1 1−β
ξ
−
ξ
1+β
1−β
+
β
1 − β2
(41)
Dalla (41) vediamo che il comportamento di g (ξ) in un intorno destro di ξ = 0 dipende
da β. Più precisamente dobbiamo distinguere i casi2 : 0 < β < 1 e β > 1.
• 0<β<1
La funzione (41) è definita in R, ma a noi interessa la restrizione a Ξ = [0, 1]:
g : [0, 1] → R
Denotando con η i valori assunti da g, i.e. η = g (ξ), si ha:
η∗ = g (0) =
β
1 − β2
Cioè η∗ = g (0) è l’ordinata adimensionale del punto in cui l’inseguitore raggiunge
il bersaglio. Se y = f (x), risulta η =
y
,
x0
per cui:
y∗ = x0 η∗ = x0
β
,
1 − β2
(42)
essendo (come è noto) y∗ = ut∗ l’ordinata in cui P raggiunge B. Ne concludiamo che per 0 < β = vu0 < 1 l’inseguitore raggiunge il bersaglio nel punto
β
B∗ 0, x0 1−β 2 impiegando un tempo:
t∗ =
y∗
x0 β
=
u
u 1 − β2
Cioè:
t ∗ = x0
v02
v0
− u2
(43)
• β>1
Dalla (44):
β
1
1 1+β
1
+
ξ
+
g (ξ) =
β−1
2 1+β
(β − 1) ξ
1 − β2
(44)
Tale funzione è definita in R − {0}, ma anche qui interessa la restrizione all’in-
tervallo Ξ = (0, 1]. Abbiamo:
1
lim+ g (ξ) =
ξ→0
2
2
0+
1
1
· +
β−1 0
+
β
1 − β2
Il caso β = 0 è già stato esaminato (la soluzione del problema di Cauchy è la funzione identicamente
nulla).
20
Cioè:
lim g (ξ) = +∞ =⇒ lim+ f (x) = +∞
ξ→0+
x→0
Quindi per β > 1 il punto P insegue B indefinitamente senza mai raggiungerlo. Tale conclusione è ragionevole, poichè β > 1 ⇐⇒ u > v0 . In Appendice
B mostriamo che, per ξ → 0+ , g (ξ) è un infinito di ordine r = β − 1. Conse-
guentemente, il rettangoloide generalizzato relativo alla funzione g (ξ) e di base
[0, 1]:
Π = (ξ, η) ∈ R2 | 0 < ξ ≤ 1, 0 ≤ η ≤ g (ξ) ,
(45)
è un dominio misurabile per β < 2. Per maggiori dettagli, consultare l’appendice
C.
Riprendiamo il caso 0 < β < 1, riscrivendo la (42):
y∗ = x0
β
1 − β2
Si noti che y∗ è la distanza percorsa dal bersaglio nell’intervallo [0, t∗ ]. Tale distanza è
pari a quella (ovvero x0 ) che lo separava dall’inseguitore se e solo se:
√
5−1
2
β
√ = φ−1 ,
=
=
1
⇐⇒
β
=
1 − β2
2
1+ 5
esssendo φ il rapporto aureo [2]. Cioè se e solo se
v0
u
= φ.
Discutiamo la soluzione per β = 1. Eseguendo il solito cambio di variabile,
otteniamo la funzione:
1
g (ξ) =
2
per cui è g : Ξ = (0, 1] → R. Risulta:
1
lim+ g (ξ) =
ξ→0
2
1 2
1
ξ − ln ξ −
2
2
,
(46)
1
+
0 − ln 0 −
= +∞
2
Ne concludiamo che per β ≥ 1 il punto P insegue B indefinitamente senza mai rag-
giungerlo. Ne consegue che i casi β = 1 e β > 1 sono cinematicamente simili. Tuttavia,
essi sono differenti per ciò che riguarda il comportamento della traiettoria y = f (x)
in un intorno destro di x = 0 o, ciò che è lo stesso della curva η = g (ξ) in un intorno
destro di ξ = 0. Infatti, per β > 1 la funzione g (ξ) è, per ξ → 0+ , un infinito di ordine
r = β − 1. Per β = 1, risulterebbe r = 0 che è un risultato privo di senso. D’altra
parte, dalla (46) vediamo che:
1
g (ξ) ∼ + − ln ξ
ξ→0
2
21
In altri termini, in un intorno destro di ξ = 0 la funzione g (ξ) si comporta come
− 12 ln ξ e, come è noto, ln ξ è, per ξ → 0+ , un infinito di ordine infinitamente piccolo.
Ne concludiamo che per β = 1 la funzione g (ξ) è, per ξ → 0+ , un infinito di ordine
infinitamente piccolo.
***
Se non conosciamo il modulo del vettore u, ossia la velocità scalare di B, abbiamo
un’indeterminazione sulla traiettoria ΓP espressa attraverso il parametro β =
u
.
v0
Pos-
siamo comunque tentare di trovare un’equazione differenziale non contenente u. A tale
scopo, applichiamo l’operatore di derivazione
d
dt
al primo e al secondo membro della
(27):
d
(xẋy ′′ ) = 0,
dt
da cui:
ẋ2 y ′′ + xẍy ′′ + xẋ2 y ′′′ = 0
La derivata ẋ è data dalla (30) che, derivata rispetto al tempo, porge:
!
d
1
p
ẍ = −v0
dt
1 + y ′2
=−
v02 y ′ y ′′
(1 + y ′2 )2
Sostituendo nella precedente:
Cioè:
y ′′ 1 + y ′2 − xy ′ y ′′2 + xy ′′′ 1 + y ′2 = 0
xy ′′′ 1 + y ′2 + y ′′ 1 + y ′2 − xy ′ y ′′ = 0
che è l’equazione differenziale della traiettoria. Scritta in forma normale:
y ′′′ = −
y ′′ (1 + y ′2 − xy ′ y ′′ )
x (1 + y ′2 )
(47)
Si noti che non contiene nemmeno la velocità v0 dell’inseguitore. Si tratta dunque
di un’equazione universale. Essendo un’equazione del terzo ordine, il corrispondente
problema ai valori iniziali è:

 y ′′′ = − y′′ (1+y′2 −xy′ )
x(1+y ′2 )
,
 y (x0 ) = 0, y ′ (x0 ) = 0, y ′′ (x0 ) = k
22
(48)
dove k è un parametro reale positivo. Non conosciamo il valore di k, poichè la sola
informazione che abbiamo (riguardo alla derivata seconda) ci dice che la curva integrale
è concava verso l’alto. Possiamo comunque aiutarci considerando la soluzione (37).
Sussiste, infatti, la seguente proposizione:
Proposizione 10 Se ϑ (x) è la soluzione del problema di Cauchy:

√
 χ′ = β 1+χ2
x
P:
,
 χ (x ) = 0
0
risulta ϑ′ (x0 ) =
β
.
x0
Dimostrazione. La soluzione è data dalla (36) che riscriviamo:
" −β #
β
1
x
x
ϑ (x) =
−
,
2
x0
x0
derivando:
β
ϑ′ (x) =
2x0
"
β−1
+
ϑ′ (x0 ) =
β
x0
x
x0
x
x0
−(β+1) #
,
per cui:
Dalla proposizione appena dimostrata, ricordando che ϑ (x) = y ′ (x), segue :
y ′′ (x0 ) =
β
x0
Ne consegue che P raggiunge B se e solo se la derivata seconda della funzione f (x)
(che esprime l’equazione della traiettoria) assume in x0 un valore positivo minore di 1.
Eseguiamo la sostituzione χ (x) = y ′ (x) per cui (assumendo x0 = 1):
xχ′′ 1 + χ2 + χ′ 1 + χ2 − xχχ′ = 0
(49)
lim χ (0) = −∞, lim− χ (1) = 0
x→0+
x→1
In linea di principio, risolvendo il problema ai limiti (49) si ottiene l’equazione della
traiettoria.
23
3
Problema di intercettazione
È un tipico problema che si presenta in Navigazione marittima. Più precisamente, nella
cinematica radar [6]. Risolviamo il problema nel piano cartesiano Oxy, giacchè per
brevi distanze, la superficie terrestre può essere approssimata al piano tangente in un
punto assegnato.
Assumendo il medesimo stato iniziale del problema di inseguimento, le equazioni
orarie del moto di B sono:

 x (t) = 0
B
,
 yB (t) = ut
mentre quelle di P :
(50)

 x (t) = x + v t
0
x
 y (t) = vy t
(51)
Sia v0 il vettore velocità di P che, al pari di B, compie un moto rettilineo ed uniforme,
per cui v0 =cost. Inoltre, supponiamo noto il suo modulo |v0 | = v0 . La condizione di
intercettazione è:

 x (t′ ) = x (t′ )
B ∗
∗
∃t′∗ > 0 |
 yB (t′ ) = y (t′ )
∗
Cioè:
∗

 x + v t′ = 0
0
x ∗
,
′
 vy t = ut′
∗
∗
Dalla seconda ricaviamo (come c’era da aspettarsi) vy = u, onde vx = −
Dalla prima:
t′∗ = −
x0
x0
=p 2
vx
v 0 − u2
p
v02 − u2 .
Siamo ora in grado di scrivere le equazioni orarie del moto di P :

 x (t) = x − pv 2 − u2 t
0
0
,
 y (t) = ut
che compongono la rappresentazione
parametrica
della traiettoria di P , i.e. della retta
per i punti P0 (x0 , 0), B∗ 0, x0 √
r : x = x0 −
u
v02 −u2
q
. Assumendo t ∈ (−∞, +∞):
v02 − u2 t, y = ut, t ∈ (−∞, +∞)
Eliminando il parametro t otteniamo la rappresentazione cartesiana di r:
r : y = mx + y∗′ ,
24
(52)
dove il coefficiente angolare è dato da:
m = −√
1
α2 − 1
,
dove:
v0
u
α=
L’ordinata all’origine è:
x0
α2 − 1
Se α < 1 (i.e se v0 < u) m e y∗ sono immaginari. Più precisamente, in funzione di α
y∗′ = √
sono entrambi definiti per α > 1, risultando:
lim+ m = −∞, lim+ y∗′ = +∞
α→1
α→1
Come appunto c’era da aspettarsi, poichè se v0 = u il punto P non riuscirà ad
intercettare il bersaglio se non all’infinito. Confrontando con la (43):
r
α2
t∗
=
,
t′∗
α2 − 1
per cui, essendo α > 1, si ha t∗ > t′∗ . In altri termini, il tempo di intercettazione è
minore del tempo di inseguimento. Ciò può essere visto studiando l’intersezione delle
traiettorie (intercettazione e inseguimento). A tale scopo, riscriviamo la (52):
x
x0
−
+1
y=√
x0
α2 − 1
Eseguendo il solito cambio di variabile x → ξ =
√ 1
α2 −1
(1 − ξ). Ma α = β −1 , onde:
x
x0
e y → η =
y
,
x0
si ha g1 (ξ) =
β
(1 − ξ) ,
g1 (ξ) = p
1 − β2
(53)
con 0 < β < 1. La (53) è l’equazione della traiettoria di intercettazione nel piano ξη.
Le coordinate (adimensionali) degli eventuali punti di intersezione della traiettoria di
inseguimento η = g (ξ) con g (ξ) espressa dalla (44) con la traiettoria di intercettazione
η = g1 (ξ), si ottiene risolvendo l’equazione in ξ:
1
β
1 1−β
β
1 1+β
+
ξ
−
ξ
=p
(1 − ξ) ,
2
2 1+β
1−β
1−β
1 − β2
per assegnati valori di β. Scartando l’ovvia soluzione ξ = 1, ricerchiamo soluzioni
ξ0 ∈ (0, 1). Ciò può essere fatto numericamente con l’ausilio di un C.A.S (Computer
25
Η
Η0
Ξ
Ξ0
Figura 9:
Andamento della traiettoria di inseguimento e della traiettoria di
intercettazione. L’intersezione avviene nel punto di coordinate adimensionali (ξ0 , η0 ).
Η
Η*
Η'*
Ξ
0
1
Figura 10: Risulta η∗ > η∗′ . Conseguentemente, è t∗ =
26
x0
η
u ∗
>
x0 ′
η
u ∗
= t′∗ .
Algebra System). Ad esempio, per β = 21 , si ottiene la soluzione approssimata: ξ0 =
0.00898, η0 = 0.572163, come illustrato in fig. (9).
L’ordinata (adimensionale) di intercettazione è η∗′ = g1 (0) ⋍ 0.58, mentre l’ordinata
di inseguimento è η∗ ⋍ 0.67 come mostrato in fig. (10).
Infine, a differenza del pursuit problem, nel caso dell’intercettazione si ha y∗ = x0
√
se e solo se v0 = 2u, come si ricava facilmente dalle equazioni precedenti.
27
A
Successione di Fibonacci e sezione aurea
Consideriamo i segmenti non orientati AB e BC illustrati in fig. 11.
Figura 11: Le misure assolute a e b dei segmenti AB e BC sono tali che
b
a
=
a
.
a+b
Denotiamo con |AB| e |BC| le misure assolute dei suddetti segmenti. Prendiamo
il punto B in modo da verificare la proporzione:
|AB|
|AC|
=
|BC|
|AB|
Posto a = |AB| e b = |BC|, la proporzione precedente si scrive:
a
a+b
=
b
a
(54)
Definizione 11 a è medio proporzionale tra la lunghezza minore e la somma delle
due.
Posto α =
|AB|
|AC|
=
a
b
> 1, dalla (54) si ha:
α2 − α − 1 = 0,
la cui radice positiva è α =
√
1+ 5
,
2
onde affinchè sia verificata la (54) deve essere:
√
a
1+ 5
=
≃ 1.618033988749...
b
2
Definizione 12 Chiamiamo rapporto aureo o sezione aurea il numero irrazionale
φ=
√
1+ 5
.
2
Inoltre:
Ma
a
b
a 2 a
a+b
b
=
⇐⇒
− −1=0
a
a−b
b
b
= α, per cui l’equazione precedente si scrive:
α2 − α − 1 = 0,
la cui radice è la sezione aurea. Pertanto, la (54) può essere riscritta come:
b
a
=
,
b
a−b
che consente di disegnare il rettangolo aureo, come mostrato in fig. 12.
28
Figura 12: Il rettangolo aureo è ottenuto “accostando” un quadrato di lato b a un
rettangolo di lati b e a − b con a tale che
a
b
=
b
,
a−b
cosicchè il rapporto tra i lati a e b è
la sezione aurea Φ.
Il rapporto aureo è legato alla successione di Fibonacci dalla seguente operazione
di passaggio al limite:
Fn
,
n→+∞ Fn−1
φ = lim
(55)
Ricordiamo che la successione di Fibonacci {Fn } è una successione ricorsiva definita
da:
Fn = Fn−1 + Fn−2 , ∀n ∈ N {0, 1}
F0 = 0, F1 = 1
Quindi:
F0 = 0, F1 = 1 , F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5, F6 = 8, ...
In fig. 13 sono riportati i primi 10 numeri di Fibonacci. La (55) ci consente di definire il rettangolo aureo tramite un’operazione di passaggio al limite. A tale scopo
introduciamo nel piano contenente il rettangolo aureo (12) un riferimento cartesiano
ortogonale R (0xy).
Definizione 13 Il rettangolo di Fibonacci di ordine n è il dominio:

 [0, F ] × [0, F ] , n ∈ N {0, 1}
n
n−1
Rn =
 [0, 1] × [0, 1] , n = 1
(56)
Abbiamo, dunque, la successione di rettangoli {Rn } : R0 , R1 , ..., Rn , .... Poniamo:
R∞ = lim Rn
n→+∞
Per la (55) R∞ è un rettangolo aureo.
29
Fn
55
34
21
13
8
5
3
2
n
2
4
6
8
10
Figura 13: Valori assunti dalla successione di Fibonacci {Fn } per n ∈ {0, 1, ..., 10}
A.1
Rettangolo aureo e spirale aurea
In fig. 14 è tracciata la spirale di Fibonacci, ottenuta sfruttando la proprietà del
rettangolo aureo di contenere una infinità numerabile di rettangoli aurei. Più specificatamente, partiamo da un rettangolo in cui uno dei due lati è di lunghezza unitaria,
mentre l’altro misura φ, come è illustrato in (14). Si tratta, dunque, di un rettangolo
aureo che denotiamo con R1 . È facile rendersi conto che R1 contiene un rettangolo
aureo R2 . Infatti, risulta:
R 1 = Q1 ∪ R 2 ,
dove Q1 è il quadrato di lato 1, mentre R2 il cui lato di lunghezza maggiore misura 1
e il lato di lunghezza minore misura φ − 1 =
√
1+ 5
2
− 1 = φ1 , per cui il rapporto tra le
lunghezze dei due lati è φ, cioè R2 è un rettangolo aureo. Il procedimento può essere
ripetuto:
R 2 = Q2 ∪ R 3 ,
dove Q2 è il quadrato di lato 1/φ, mentre R3 il cui lato di lunghezza maggiore misura
1/φ e il lato di lunghezza minore misura 1/φ2 , per cui il rapporto tra le lunghezze dei
due lati è φ, cioè R3 è un rettangolo aureo.
30
Figura 14: Costruzione della spirale di Fibonacci.
Il procedimento può essere iterato, generando una successione {Rn } di rettangoli
aurei tali che Rn ⊂ Rn+1 , detrminando le relazioni notevoli:
1
φ
1
1
1− = 2
φ
φ
1
1
1
− 2 = 3
φ φ
φ
1
1
1
− 3 = 4
2
φ
φ
φ
φ−1=
...
1
1
1
− n+1 = n+2
n
φ
φ
φ
...
Consideriamo la successione di quadrati {Qn }. Detto λn il lato del quadrato ennesimo
Qn , denotiamo con Γn un quarto della circonferenza di raggio λn centrata in uno dei
vertici di Qn , come illustrato in (14). Abbiamo quindi la successione di archi {Γn }
raccordati sui vertici di due quadrati adiacenti. La successione {λn } è infinitesima,
avendosi:
lim λn = 0
n→+∞
Definizione 14 La spirale di Fibonacci è il luogo di punti
ΓF =
+∞
[
Γn
n=0
31
(57)
Proposizione 15 La spirale di Fibonacci ha per asintoto l’intersezione delle diagonali
dei rettangoli aurei Rn
Dimostrazione. Omessa
La spirale di Fibonacci approssima la spirale aurea, che è una spirale logaritmica
avente per asintoto l’asintoto di ΓF e per fattore di accrescimento b = π2 φ. Quindi, in
un sistema di coordinate polari (ρ, θ) avente per polo l’asintoto, si ha:
ΓA : ρ = aebθ
B
Ordine di infinito di g (ξ)
Denotiamo con h (ξ) = ξ −1 l’infinito di riferimento per ξ → 0. Quindi, se g (ξ) è, per
ξ → 0+ , un infinito dotato di ordine deve essere:
∃r ∈ N {0} | lim+
ξ→0
g (ξ)
= l ∈ R {0}
[h (ξ)]r
(58)
Tenendo conto della (44):
β
1
1
1
g (ξ)
1+β+r
r−β+1
+
lim+ ξ
lim+ ξ
lim+ ξ r ,
+
lim+
r =
2
ξ→0
ξ→0
ξ→0
ξ→0 [h (ξ)]
2 1+β
β−1
1−β
risultando:
lim ξ 1+β+r = 0, lim+ ξ r = 0
ξ→0+
ξ→0
Quindi:
lim+
ξ→0
per cui:
lim+
ξ→0
g (ξ)
1
lim ξ r−β+1 ,
r =
[h (ξ)]
2 (β − 1) ξ→0+
g (ξ)
= l ∈ R {0} ⇐⇒ lim+ ξ r−β+1 = λ ∈ R {0} ⇐⇒ r = β − 1
ξ→0
[h (ξ)]r
Ne concludiamo che per ξ → 0+ la funzione g (ξ) è un infinito di ordine β − 1. Si noti
che g (ξ) e
1
ξ β−1
non sono infiniti equivalenti, poichè:
lim+
ξ→0
g (ξ)
[h (ξ)]
β−1
Posto g1 (ξ) = 2 (β − 1) g (ξ), si ha:
lim+
ξ→0
=
1
6= 1
2 (β − 1)
g1 (ξ)
[h (ξ)]β−1
=1
Cioè:
g1 (ξ) ∼
1
ξ β−1
, ξ → 0+
In altri termini, la funzione g1 (ξ), in un intorno destro di ξ = 0, si comporta come
1
,
ξ β−1
come mostrato in fig. (15).
32
Η
25
20
15
10
5
Ξ
1
10-4
11
1
10-4
5
1
10-4
3
1
10-4
2
Figura 15: Andamento del grafico di g1 (ξ) = 2 (β − 1) g (ξ) e di
10-4
1
ξ β−1
in un intorno
destro di ξ = 0.
C
Misura di T
Per quanto visto, la funzione (40) è, per β ≥ 1, infinita per x → 0+ . Consideriamo,
dunque, il rettangoloide generalizzato relativo a f (x) e di base [0, x0 ]:
T = (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ x0 , 0 ≤ y ≤ f (x)
Risulta:
Zx0
misT = f (x) dx ≤ +∞,
0
giacchè l’integrale a secondo membro è un integrale generalizzato. Esguendo il cambio
di variabile ξ =
x
,
x0
g (ξ) =
1
f
x0
(x0 ξ):
misT = x20 I,
(59)
dove:
def
I = misΠ,
essendo Π il rettangoloide relativo a g (ξ) di base [0, 1] (eq. (45)). Quindi denotiamo
con I l’integrale generalizzato:
I=
Z1
g (ξ) dξ
0
33
(60)
Per un noto criterio, se g (ξ) è, per ξ → 0+ , un infinito di ordine r < 1, l’integrale
converge. Per quanto visto è r = β − 1, onde per β < 2 l’integrale converge e diverge
se β ≥ 2.
Procediamo al calcolo diretto per 1 < β < 2. A tale scopo osserviamo che I dipende
da β, giacchè tale è la funzione integranda g (ξ), quindi riscriviamo la (60):
I (β) =
Z1
g (ξ) dξ
(61)
0
Tenendo conto della (44):
1
I (β) =
2
Z1 0
Z1
Z1
dξ
(62)
Z1

1 1
dξ
2β
1
+
dξ 
ξ 1+β dξ +
β−1
2 1+β
β−1 ξ
1 − β2
0
0
0
1
2β
1
1
1
2+β ξ=1
,
·
ξ
· I1 (β) +
+
=
ξ=0
2 1+β 2+β
β−1
1 − β2
=
dove:

1 1+β
1
2β
1
ξ
+
+
β−1
1+β
1−βξ
1 − β2
I1 (β) =
Z1
dξ
ξ β−1
0
Tale integrale converge, giacchè stiamo considerando il caso 1 < β < 2. Quindi:
I1 (β) = lim+
ε→0
Z1
dξ
ξ β−1
ε
1
lim+ 1 − ε2−β
2 − β ε→0
1
=
2−β
=
Sostituendo nella (62):
1
1
2β
1
+
−
I (β) =
2 (1 + β) (2 + β) (β − 1) (2 − β) β 2 − 1
Cioè:
I (β) =
Sostituendo nella (59):
misT (β) = x20
β
4 − β2
β
, 1<β<2
4 − β2
34
Osserviamo che
lim misT (β) = +∞,
β→2−
e misT (β) = +∞, ∀β > 2 giacchè per β > 2 la funzione g (ξ) è, per ξ → 0+ , un
infinito di ordine > 1. Inoltre:
misT (β = 1) =
x20
,
3
cioè l’integrale converge. Infatti, nel caso β = 1 la funzione g (ξ) è, per ξ → 0+ , un
infinito di ordine infinitamente piccolo.
Conclusione 16 Il rettangoloide generalizzato T è per β ≥ 1 un dominio illimitato di
R2 .

1 ≤ β < 2 =⇒ 

β < 2 =⇒ 
T è un dominio illimitato
β
e misurabile con misT = x20 4−β
2
T è un dominio illimitato
di misura infinita: misT = +∞
Notiamo che T è di misura infinita se la velocità del bersaglio è u ≥ 2v0 .
35
Riferimenti bibliografici
[1] MacMillan R.H., 1956. Curves of Pursuit. The Matematical Gazette, Vol. 40, N.
331
[2] Coppola F., 2014. Il rapporto aureo, le sue potenze e i numeri di Fibonacci. Scientia
doi: 10.12969/Scientia.Vol125.Sect2.Art05
[3] Barton J.C., Eliezer C.J. 1996. On pursuit curves. Cambridge Journals, Vol. 41,
Issue 03. doi:dx.doi.org/10.1017/S0334270000011292
[4] Pursuit Curve, Mathworld, http://mathworld.wolfram.com/PursuitCurve.html
[5] Rionero S., Galdi G., Maiellaro M., 1979. Esercizi e complementi di Meccanica
Razionale. Vol. I. Liguori Editore.
[6] Capasso I., Fede S., 1976. Navigazione. Hoepli
[7] Fiorenza R., 1978. Lezioni di Analisi Matematica. Liguori Editore.
36