Effetto Casimir in un campo gravitazionale debole

Effetto Casimir
in un campo gravitazionale debole
Luigi Rosa
Università di Napoli “Federico II”
Phys. Rev. D-74 085011 (2006)
con G.Bimonte, E. Calloni, and G. Esposito
Napoli 16-11-2006
• Introduzione all’effetto Casimir;
• Tensore Energia-Impulso in spazi piatti:
– procedura di point-splitting: (campo scalare);
– campo Elettromagnetico;
– risultati.
• background curvi;
• sviluppi perturbativi;
• risultati.
a
Z
Y
X
E=
X1
~c
~ω = A
2
2
Z
d2k
k
(2π)2
"
| kk | +2
∞
X
s
n=1
dopo aver regolarizzato e rinormalizzato
π 2 ~c
E = −A
720 a3
k2k +
n2π 2
a2
#
Residual square frequency shift (Hz2 )
0
-1000
-2000
-3000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
d ( m m)
♦ G. Bressi, G. Carugno, R. Onofrio e G. Ruoso:
“Measurement of the Casimir Force between Parallel
Metallic Surfaces”,
Phys. Rev. Lett. 88, (2002) 041804.
CAMPO SCALARE
Per un campo scalare ϕ(x) il valore di aspettazione sullo stato di vuoto del tensore energiaimpulso è dato da
1
hTµν (x)i = h∂µϕ(x)∂ν ϕ(x) − ηµν ∂λϕ(x)∂ λϕ(x)i
2
definiamo una nuova funzione (un bivettore):
Tµν 0
(x, x0)
= ∂µϕ(x)∂ν 0
ϕ(x0) −
0
1
λ
ηµν ∂λϕ(x)∂ ϕ(x0)
2
a
* P’(t’,x’,y’,z’)
*
* P(t,x,y,z)
Z
Y
X
ovviamente potremo scrivere
0
1
hTµν 0 (x, x0)i = h[∂µ∂ν 0 − ηµν 0 ∂λ∂ λ ]ϕ(x)ϕ(x0)i
2
≡ D(x, x0)hϕ(x)ϕ(x0)i con
0
1
0
λ
D(x, x ) = [∂µ∂ν 0 − ηµν 0 ∂λ∂ ]
2
1
= H(x, x0)
i
dove H(x, x0) è la funzione di Hadamard.
Si definisce
hϕ(x)ϕ(x0)i
hTµν (x)i = lim hTµν 0 (x, x0)i
x0→x
z Divergenze?
X Come effettuare il limite
Campo Elettromagnetico
Dato il funzionale di azione
¸
Z ·
√
1
1
S[Aµ, χ, ψ] =
− Fµν F µν − (∇µ Aµ )2 + χ;α ψ;α
−gd4 x,
4
2
(1)
il tensore energia-impulso si ottiene derivando
S rispetto alla metrica:
T µν
2 δS
≡√
.
−g δgµν
(2)
T risulta la somma di tre termini TA, TB , Tgh
relativi rispettivamente al settore di Maxwell,
di gauge-breaking e di ghost. In questo modo,
per il valore di aspettazione otteniamo:
µν
µν
µν
hT µν i = hTA i + hTB i + hTgh i,
(3)
Usando la procedura di point-splitting otteniamo
·
1
hTAµν i = lim
−
x0 →x
4
µ
g µρ g ντ
¶
¸
1 µν τ ρ
− g g
g αβ hFρα Fτ β i (4)
4
con
1£
hFρα Fτ β i = lim
Hαβ 0 ;ρτ 0 + Hβα0 ;τ ρ0 − Hατ 0 ;ρβ 0 − Hτ α0 ;βρ0
x0 →x 4
¤
0
0
0
0
0
0
0
0
−Hρβ ;ατ − Hβρ ;τ α + Hρτ ;αβ + Hτ ρ ;βα , (5)
Hµν (x, x0) ≡ h[Aµ(x), Aν (x0)]+i ≡ Hµν 0 ,
o
1n
[Aα;ρ, Aβ;τ ]+ = lim
[Aα0;ρ0 , Aβ;τ ]+ + [Aα;ρ, Aβ 0;τ 0 ]+ .
0
x →x 2
La funzione di Hadamard, H(x, x0), è legata
alla funzione di Feynmann, G(x, x0), dalla seguente
relazione:
H(x, x0) = −2i[G(x, x0) − G(x, x0)]
(6)
+ + G− ].
con G(x, x0) = 1
[G
2
La funzione Gµν 0 è soluzione dell’ equazione
¤xGµν 0 = −ηµν δ(x, x0).
(7)
Le condizioni al bordo
¯
~ t¯¯
E
S
= 0,
¯
~ n¯¯
H
S
= 0,
(8)
sono automaticamente soddisfatte richiedendo
l’annullarsi di A0(~
x), A1(~
x), A2(~
x) sulla frontiera S: z = 0, z = a.
La condizione su A3 si determina richiedendo
che la scelta di gauge (Lorenz) continui a valere
sulla frontiera, questo implica:
µ
A;µ|S = 0 ⇒ A3
;3 |S = 0
(9)
La soluzione è data da
Z
Gλν 0 = ηλν 0
dωd2k −iω(t−t0)+i~k⊥·(~x⊥−~x0 )
⊥ gD,N (z, z 0 ),
e
(2π)3
(10)
con
sin κ(az<) sin κ(a − z>)
, 0 < z, z 0 < a,
gD
≡
κ sin κa
cos κ(az<) cos κ(a − z>)
0
gN (z, z ; κ) ≡ −
, 0 < z, z 0 < a,
κ sin κa
(z, z 0; κ)
• D, N indicano condizioni al contorno omogenee di
tipo Dirichlet o Neumann,
• z> (z< ) rappresenta la maggiore (minore) tra z and
z 0,
• ~k⊥ ≡ (kx, ky ), ~
x⊥ ≡ (x, y) e κ =
p
ω 2 − k2,
Il valore di aspettazione del tensore energiaimpulso si può scrivere nella forma
Z
hT
µν
0
i = 2i
dωd2 k −iω(t−t0)+i~k⊥ ·(~x−~x0 )⊥ eµν 0
e
T [ω, ~k; z, z 0 ],
3
(2π)
(11)
♣ 2i viene dalla relazione tra le funzioni di
Hadamard e di Feynman;
0
♠ Te µν è un tensore simmetrico le cui componenti sono date da:
nel seguito (ξ ≡ aκ, s(ξ) ≡ zκ =
p
κ ≡ ω 2 − k2)
zξ
a
and s0 (ξ) ≡ z 0 κ =
z0ξ
,
a
0
Te 00
Te 01
0
=
=
0
02
e
T
=
0
03
e
T
=
Te 11
0
=
0
12
e
T
=
0
13
e
T
=
Te 22
0
Te 23
0
=
=
0
33
e
=
T
a ω2
−
cos(ξ + s − s0) csc(ξ)
2ξ
a kx ω
−
cos(ξ + s − s0) csc(ξ)
2ξ
a ky ω
−
cos(ξ + s − s0) csc(ξ)
2ξ
i
− ω csc(ξ) sin(ξ + s − s0)
2
³
´
2
2
2
2
ξ + a ky − ω
cos(ξ + s − s0) csc(ξ)
2aξ
a k x ky
−
cos(ξ + s − s0) csc(ξ)
2ξ
i
− kx sin(ξ + s − s0) csc(ξ)
2
a ky 2
cos(ξ + s − s0) csc(ξ)
−
2ξ
i
− ky sin(ξ + s − s0) csc(ξ)
2
ξ
−
cos(ξ + s − s0) csc(ξ)
2a
i) t0 → t e ~
x0⊥ → ~
x⊥;
ii) mantenendo z 6= z 0 passiamo il limite sotto
l’integrale;
a
*P’(t,x’,y’,z’)
*
*
P(t,x,y,z)
Z
Y
X
Posto ω → iω, (κ → iκ) e passando in coordinate sferiche ω 2 → −ξ 2 cos2 θ, ky2 → ξ 2 sin2 θ sin2 φ
dopo l’integrazione sulle variabili angolari otteniamo
0
1 1
hT µν i[z, z 0] =
(12)
diag(−1, 1, 1, −3)
2
4
Z6 π a
×
dξ ξ 3 × cosh(ξ − s − s0)csch(ξ).
Infine, eseguendo l’integrale su ξ otteniamo:
0
µν
hT i
1
=
diag(−1, 1, 1, −3)
4
2
16 a π

Ã
!
!
Ã
0−z
0
z
2
a
+
z
−
z

+ ζH 4,
× ζH 4,
2a
2a
z ζH è la funzione ζ di Hurwitz:
ζH (x, β) ≡
∞
X
n=0
(n + β)−x.
Nel limite z 0 → z + si trova
Ã
lim
z 0→z +
0
µν
hT i
=
Ã
+
π2
720a4
!
diag(−1, 1, 1, −3)
!
1
diag(−1, 1, 1, −3)
lim 2
0
4
0
+
z →z π (z − z )
X il termine che diverge nel limite di coincidenza può essere eliminato “sottraendo il contributo dello spazio infinito (assenza di lamine)”
BACKGROUND CURVI
Z
a
Y
X
X
I piatti sono rappresentati dai piani di equazioni z = 0
e z = a rispettivamente.
Il generico elemento di linea sarà, (trascurando la rotazione e la curvatura ) in coordinate di Fermi
³
z´ 2
2
2
ds = −c 1 + ²
dt + dx2 + dy 2 + dz 2 + O(| x |2 )
a
z
= ηµν dxµ dxν − ² c2 dt2 ,
(13)
a
con ² ≡ 2ga/c2 , e ηµν = diag(−1, 1, 1, 1).
Dato S[Aµ, χ, ψ]
¸
Z ·
√
1
1
S[Aµ, χ, ψ] =
−gd4 x,
− Fµν F µν − (∇µ Aµ )2 + χ;α ψ;α
4
2
(14)
hT i é dato da
µν
hT µν i = hTAµν i + hTBµν i + hTgh
i,
(15)
con
hFρα Fτ β i =
hTAµν i =
hTBµν i =
µν
hTgh
i =
1£
lim
Hαβ 0 ;ρτ 0 + Hβα0 ;τ ρ0 − Hατ 0 ;ρβ 0 − Hτ α0 ;βρ0
x0 →x 4
¤
−Hρβ 0 ;ατ 0 − Hβρ0 ;τ α0 + Hρτ 0 ;αβ 0 + Hτ ρ0 ;βα0 ,
µ
¶
¸
·
1
1
µρ ντ
µν τ ρ
αβ
g
g
−
g
g
g
hFρα Fτ β i
lim
−
x0 →x
4
4
·
1 αβ µρ ντ
−
lim
g (g g + g µτ g νρ − g µν g τ ρ )
0
x →x
4
¡
¢¤
Hβτ 0 ;αρ + Hτ β 0 ;ρα0
·
¢
1 αβ ¡ µα νβ
µβ να
µν αβ
g
g
+
g
g
−
g
g
g
lim
−
x0 →x
4
¡
¢¤
H;αβ 0 + H;βα0
Hµν (x, x0 ) ≡ h[Aµ (x), Aν (x0 )]+i ≡ Hµν 0 ,
H(x, x0 ) ≡ h[χ(x), ψ(x0 )]+i.
H(x, x0 ) = −2i[G(x, x0 ) − G(x, x0 )]
(16)
La funzione Gλν 0 è soluzione dell’ equazione
√
−gPµλ (x)Gλν 0 = gµν δ(x, x0 ).
(17)
l’operatore d’onda Pµλ , è dato da:
Pµλ (x) = −δµλ¤x + Rµλ (x),
dove ¤x ≡ g αβ ∇α∇β (x).
(18)
Posto
(1)
2
Gλν 0 ∼ G(0)
λν 0 + ² Gλν 0 + O(² ),
(19)
otteniamo
αβ
¤xGλν 0 = g ∇α∇β Gλν 0
= η
αβ
h
h
³
i
z α β´
(0)
(1)
αβ
= η + ² δ0 δ0 ∇α ∇β Gλν 0 + ²Gλν 0
a
(1)
(0)
µ
∂α∂β G(0)
λν 0 + ²∂α ∂β Gλν 0 − Γβλ Gµν 0 ,α
−Γµαβ G(0)
λν 0 ,µ
−
Γµαλ G(0)
µν 0 ,β
i
z
− ² δ0α δ0β ∂α ∂β G(0)
λν 0 .
a
con
Γαβγ
¢
1 αδ ¡
=
g
gδβ,γ + gδγ,β − gβγ,δ
2
¢
1 ² ¡ α0 0 3
α0 0 3
3α 0 0
= −
η δβ δγ + η δγ δβ − η δγ δβ .
2a
(20)
Pertanto, al primo ordine in ²:
(0)
¤0G(0)
µν 0 = Jµν 0 ,
(21)
(1)
¤0G(1)
µν 0 = Jµν 0 ,
(22)
dove
(0)
Jµν
0
(1)
²Jµν
0
−ηµν δ(x, x0 ),
(23)
³
´
z ηµν
≡
²
+ δµ0 δν0 δ(x, x0 ) + 2η ρσ Γτσµ G(0)
τ ν 0 ,ρ
a
2
z (0)
+ η ρσ Γτρσ G(0)
−
(24)
²G 0 ,
0
µν ,τ
a µν ,00
≡
e ¤0 ≡ η αβ ∂α∂β = −∂02 + ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 .
Le condizioni al bordo
¯
~ t¯¯ = 0,
E
S
¯
~ n ¯¯ = 0,
H
S
¯
¯
¯
Aµ;µ ¯S = 0 ⇒ A3;3 ¯S = (g 33 ∂3 A3 − g µν Γ3µν A3 )¯S = 0 .
Al primo ordine in ² troviamo:
¯
(0) ¯
Gµν 0 ¯ = 0, µ = 0, 1, 2, ∀ν 0 ,
S
¯
¯
∂3 G(0)
0
3ν ¯
S
= 0,
∀ ν 0,
¯
(1) ¯
Gµν 0 ¯ = 0, µ = 0, 1, 2, ∀ν 0 ,
S
¯
¯
∂3G(1)
3ν 0 ¯
S
1 (0)¯¯
=−
G 0¯ ,
2a 3ν S
∀ ν 0,
La soluzione del problema è (all’ordine 0 in ²)
Z
G(0)
λν 0
= ηλν 0
dωd2 k −iω(t−t0)+i~k⊥ ·(~x⊥ −~x0⊥ )
e
gD,N (z, z 0 ),
3
(2π)
con
gD (z, z 0 ; κ) ≡
sin κ(az<) sin κ(a − z> )
,
κ sin κa
gN (z, z 0 ; κ) ≡ −
cos κ(az< ) cos κ(a − z>)
,
κ sin κa
0 < z, z 0 < a,
0 < z, z 0 < a,
mentre al primo ordine abbiamo:
Z
G(1)
µν 0
=
dωd2 k −iω(t−t0)+i~k⊥ ·(~x⊥ −~x0⊥ )
Φµν 0 ,
e
3
(2π)
(25)
X Le funzioni di Green soddisfano le identità di Ward:
Gµν 0 ;µ + G;ν 0 = 0,
Gµν 0 ;ν + G;µ = 0,
0
(26)
in questo modo siamo sicuri che, a quest’ordine, l’invarianza
di gauge è esplicitamente preservata.
zξ
a
posto: ξ ≡ aκ, s(ξ) ≡ zκ =
·
−2
0
Φ00
=
e s0 (ξ) ≡ z 0 κ =
z0ξ
a
a2 sin (ξ)
−a2 ω 2 cos(2ξ − s − s0 )s2 + a2 ω 2 cos(s) cos(s0 )s2 +
4
8ξ
µ
¡
¡
¢
¢
sin(s) a2 ω 2 (s2 − s02 ) sin(2ξ − s0 ) + 2ξ 2 − s02 sin(s0 ) −
¡
2 ξ 2 + a2 ω
0
Φ03
¢
2
¶¸
(s + s0 ) sin(ξ) sin(ξ − s0 )
ia3
ω sin−1 (ξ) sin(s)((s − s0 ) cos(ξ − s0 ) − sin(ξ − s0 ))
3
2ξ
=
−
=
a2 sin−2 (ξ) 2 2
a ω cos(2ξ − s − s0 )s2 − a2 ω 2 cos(s) cos(s0 )s2 +
4
8ξ
·
0
Φ11
µ
¡¡
sin(s) a2 ω 2
¢
¡
¢
¶¸
2(ξ 2 − a2 ω 2 )(s + s0 ) sin(ξ) sin(ξ − s0 )
Φ22
0
=
0
=
Φ30
0
Φ33
=
0
Φ11
³
´
ia3 ω sin−1 (ξ)
0
−
(s − s) cos(s) + sin(s) sin(ξ − s0 )
3
2ξ
a2 sin−1 (ξ)
·
8ξ 4
¡
¡
2 ξ 2 − a2 ω 2 s2 − 1
µ
cos(s) csc(ξ)
¡¡
2
2
ξ −a ω
2
¡
¢¢
02
cos(ξ − s0 ) sin(s) +
¢¢
s −1
cos(2ξ − s0 )+
¢
¡ 2 2
¢ 2
¡ 02
2 2
cos(s )(− 2a ω + 1 ξ + a ω s − 1 +
¡ 2
¢
¢
ξ − a2 ω 2 (s + s0 ) sin(2ξ)) +
¶¸
¡ 2
¢
2 2
0
0
0
2 ξ −a ω
¢
s02 − s2 sin(2ξ − s0 ) + s02 − 2ξ 2 sin(s0 ) −
(s + s ) sin(ξ) sin(s )
(0)
² (1)
Definito Tµν 0 ∼ Tµν
T
otteniamo, all’ordine 0
0 +
a µν 0
"
µ
¶
0
1
2
a
+
z
−
z
hT (0)µν i =
ζH 4,
16 a4 π 2
2a
¶#
µ
0
z −z
diag(−1, 1, 1, −3)
+ ζH 4,
2a
0
µ
(0)µν
lim
hT
i=
0
+
0
z →z
π2
1
+
lim
z 0 →z + π 2 (z − z 0 )4
720a4
¶
diag(−1, 1, 1, −3)
Allo stesso modo, al primo ordine in ² troviamo:
(1)µν
(1)00
(1)11
(1)22
(1)33
lim
hT
i
=
diag(T
,
T
,
T
,
T
)
z 0 →z +
³
´
0
2
0 4
+ lim
diag − z /π (z − z ) , 0, 0, 0
0
+
0
z →z
con
T
(1)00
T
π cot( πaz ) csc2 ( πaz )
π2 z
π2
+
+
=−
1200 a3
3600 a4
240 a3
(1)11
π cot( πaz ) csc2 ( πaz )
π2
π2 z
=
−
−
3600 a3 1800 a4
120 a3
T (1)22 = T (1)11
¡ 2
¢
π
−
2
z)
(a
T (1)33 = −
720 a4
X gauge-breaking → ghost
ENERGIA CASIMIR
La densità di energia Casimir (ρ) si ottiene proiettando
hT µν i lungo la quadrivelocità della placchetta:
ρ = hT µν iuµ uν
√
con uµ = ( −g00 , 0, 0, 0) di modo che
π2
ρ = −
+
4
720a
µ
¶
π cot( πaz ) csc2 ( πaz )
g
π2
π2 z
2 2 −
−
+
.
c
1200 a3 900 a4
240 a3
L’ energia Casimir immagazzinata nella placchetta è
data da
Z
E=
~cπ 2 A
3
µν
d Σ −ghT iuµ uν = −
720 a3
√
µ
5 ga
1+
2 c2
¶
,
dove A è l’area della placchetta e l’integrale è stato
calcolato come valor principale.
FORZA RISULTANTE
Allo stesso modo, la pressione sui due piatti risulta
P(z=0)
π 2 ~c
=
240 a4
µ
2 ga
1+
3 c2
¶
, P(z=a)
π 2 ~c
=−
240 a4
µ
2 ga
1−
3 c2
¶
troviamo, quindi, una forza risultante che punta verso
l’alto di valore
π 2 A ~g
F =
.
180 ca3
TRACCIA
Notiamo, inoltre, che dalla espressione di T µν segue la
seguente anomalia di traccia τ :
µ 2
³ πz ´
³ πz ´¶
π z
π
~g
−
cot
csc2
.
τ =
4
3
c 160a
24a
a
a
Ancora una volta l’integrale di volume di questa densità
esiste come valor principale e il risultato è :
Z
π 2 ~g
3
τ d Σ=
A.
360 ca2
z Tende a zero quando a → ∞ o g → 0.
Conclusioni
• Questo è il primo studio del tensore energia-impulso
del campo elettromagnetico di una placchetta Casimir
in un campo gravitazionale debole;
• usando le funzioni di Green abbiamo valutato l’influenza
dell’accelerazione di gravità sul tensore confermando
un precedente risultato in cui si prevedeva una leggera spinta verso l’alto da parte del campo gravitazionale;
• questo risultato è consistente col fatto che l’energia
di Casimir, essendo negativa, si comporta in un
campo gravitazionale come una massa negativa;
• abbiamo messo in evidenza una anomalia di traccia
proporzionale alla accelerazione gravitazionale e che
si annulla quando la separazione tra i due piani va
all’infinito.
• Sarebbe interessante estendere queste considerazioni
nel caso di presenza di (rotazione) curvatura: ordine successivo;
• capire se è possibile evidenziare sperimentalmente
l’anomalia di traccia trovata.