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note sulle equazioni differenziali ii
Equazioni differenziali II Elisabetta Colombo Equazioni differenziali II Elisabetta Colombo Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico 2011-2012, http://users.mat.unimi.it/users/colombo/programmaBIO.html Eq. diff.II Equazioni differenziali II Elisabetta Colombo 1 Equazioni differenziali II esercizio aumento popolazione diffusione epidemia legge allometrica esercizio 2 Condizioni iniziali Teo. Cauchy I Problema Cauchy Esempi Teo. Cauchy II Problema di Cauchy II Esempi Eq. diff.II Equazioni differenziali Equazioni differenziali II Elisabetta Colombo Esercizio Quali delle seguenti funzioni sono soluzioni della seguente equazione differenziale Equazioni differenziali II esercizio y0 − aumento popolazione diffusione epidemia legge allometrica x +1 =0 y esercizio Condizioni iniziali Teo. Cauchy I Problema Cauchy Esempi Teo. Cauchy II Problema di Cauchy II Esempi (a)y = √ x 2 + 2x (b)y = x + 1 (c)y = x − 1 (d)y = (x + 1) ex √ (a) y = x 2 + 2x y0 = q 1 (2x + 2) = q 1 (x + 1) = 2 (x 2 +2x ) (x 2 +2x ) soluzione x+1 y è Equazioni differenziali Equazioni differenziali II Elisabetta Colombo Equazioni differenziali II esercizio (b)y = x + 1 y 0 = 1 = x+1 x+1 = x+1 y è soluzione aumento popolazione diffusione epidemia legge allometrica (c)y = x − 1 y 0 = 1 diverso da esercizio Condizioni iniziali Esempi Teo. Cauchy II Problema di Cauchy II Esempi = x+1 x−1 Non è soluzione (d)y = (x + 1) ex y 0 = ex + (x + 1) ex ex (2 + x) , diverso Teo. Cauchy I Problema Cauchy x+1 y da x+1 y = x+1 (x+1)ex = e−x Non è soluzione Equazioni differenziali Equazioni differenziali II Elisabetta Colombo Equazioni differenziali II esercizio aumento popolazione diffusione epidemia legge allometrica esercizio Esempio (aumento della popolazione) Anche in questo caso la variabile indipendente è il tempo t. La funzione y(t) indica la popolazione al tempo t mentre y 0 (t) è la velocità di crescita della popolazione (nella schematizzazione stiamo forzando il problema, la popolazione è una grandezza discreta e in crescita discreta mentre stiamo assumendo una crescita continua). Condizioni iniziali Teo. Cauchy I Problema Cauchy L’equazione differenziale che modella il problema è: Esempi Teo. Cauchy II Problema di Cauchy II y 0 (t) = ay (t) Esempi con a costante negativa (decrescita) o positiva (crescita) Come abbiamo visto le soluzioni di y 0 (t) = ay (t) sono del tipo y(t) = Aeat con A costante arbitraria. Equazioni differenziali Equazioni differenziali II Elisabetta Colombo Equazioni differenziali II esercizio aumento popolazione Esempio (diffusione di un’epidemia) La variabile indipendente è sempre il tempo t, abbiamo un modello in cui la velocità di diffusione è proporzionale sia alla porzione di popolazione malata y(t), sia la porzione (1 − y (t)) di popolazione non contagiata. (Per semplificare si è preso 1 per l’intera popolazione). diffusione epidemia legge allometrica esercizio Condizioni iniziali L’equazione che regola questo modello è detta equazione logistica ed è del tipo: Teo. Cauchy I Problema Cauchy Esempi Teo. Cauchy II Problema di Cauchy II Esempi y 0 (t) = ay (t) (1 − y (t)) con a costante che rappresenta il tasso di diffusione dell’epidemia. La soluzione generale dell’equazione logistica assume la 1 con A costante arbitraria forma y(t) = 1 + Ae−at Equazioni differenziali Equazioni differenziali II Elisabetta Colombo Equazioni differenziali II Per verificare che si tratta di una soluzione procediamo come sempre derivando. esercizio aumento popolazione diffusione epidemia Derivo y(t) = legge allometrica 1 : 1 + Ae−at esercizio Condizioni iniziali Teo. Cauchy I y 0 (t) Problema Cauchy = 1 Aae−at (1+Ae−at )2 =a 1 1 + Ae−at Ae−at 1 + Ae−at Esempi Teo. Cauchy II Problema di Cauchy II Esempi a 1 1 + Aeat 1− 1 1 + Aeat = ay (t) (1 − y(t)) = Equazioni differenziali Equazioni differenziali II Elisabetta Colombo Equazioni differenziali II Esempio (legge allometrica) Due organi diversi di uno stesso individuo (ad esempio fegato e cervello) crescono con velocità diverse ma esiste una relazione tra le velocità di crescita dei due organi. esercizio aumento popolazione diffusione epidemia legge allometrica esercizio Condizioni iniziali Teo. Cauchy I Problema Cauchy Esempi Teo. Cauchy II Indichiamo con x(t) e y (t) i volumi dei due organi all’istante t. supponiamo siano proporzionali i rapporti tra la crescita dei volumi e i volumi stessi, per un fattore k > 0 : y 0 (t) x0(t) y 0 (t) y(t) =k cioè 0 =k y(t) x(t) x (t) x(t) Problema di Cauchy II Esempi invertendo la funzione x(t) in un intorno di un certo t0 (se x0(t0 ) diverso da 0 si può) si ha y (x) = y(t(x)) e y 0 (t) y 0 (x) = y 0 (t)t 0 (x) = 0 x (t) Equazioni differenziali Equazioni differenziali II Elisabetta Colombo Equazioni differenziali II da cui, considerando x la variabile indipendente: esercizio aumento popolazione y 0 (x) = k diffusione epidemia y x legge allometrica esercizio Condizioni iniziali Teo. Cauchy I La soluzione è y(x) = Ax k con A costante arbitraria. Problema Cauchy Esempi Teo. Cauchy II Problema di Cauchy II Esempi Infatti y 0 (x) = kAx k−1 = k Ax k = k y(x) x . x Equazioni differenziali Equazioni differenziali II Elisabetta Colombo Equazioni differenziali II Esercizio Stabilire per quali valori di A e B la funzione 1 y (x) = Ae− 5 x + B è soluzione dell’equazione differenziale esercizio aumento popolazione y 0 (x) = diffusione epidemia legge allometrica 1 (y − 18) . 5 esercizio Condizioni iniziali Teo. Cauchy I 1 Deriviamo: y 0 (x) = − 15 Ae− 5 x Problema Cauchy Esempi Teo. Cauchy II Problema di Cauchy II 1 da cui − 51 Ae− 5 x = 1 5 1 Ae− 5 x + B − 18 Esempi per cui necessariamente A = 0, B = 18 Equazioni differenziali Equazioni differenziali II Elisabetta Colombo Equazioni differenziali II esercizio Vogliamo ora affrontare il problema di determinare le costanti che appaiono nelle soluzioni delle equazioni differenziali che abbiamo esaminato fino ad ora. aumento popolazione diffusione epidemia legge allometrica esercizio Condizioni iniziali Un’equazione differenziale è detta in forma normale se la derivata di ordine maggiore si scrive come funzione di x, di y e delle derivate di ordine inferiore. Teo. Cauchy I Problema Cauchy Esempi Teo. Cauchy II Problema di Cauchy II Esempi Esempio (a) L’equazione y 0 = e−ax y è in forma normale (b) L’equazione cos (2x + y 0 ) = y NON è in forma normale Equazioni differenziali Equazioni differenziali II Elisabetta Colombo Equazioni differenziali II Vediamo il problema dell’unicità delle soluzioni delle equazioni differenziali del primo ordine in forma normale Esempio y 0 = −2xy esercizio aumento popolazione diffusione epidemia legge allometrica esercizio Condizioni iniziali Teo. Cauchy I Problema Cauchy Esempi Teo. Cauchy II Problema di Cauchy II Assegnati 2 arbitrari valori alle variabili x e y otteniamo il valore corrispondente della derivata di y 0 come funzione di x e y. Ad esempio se (x, y ) = (2, −3) abbiamo y 0 = 12. Quindi una eventuale funzione soluzione dell’equazione differenziale con grafico passante per (2, −3) deve avere coefficiente angolare pari a 12. Esempi NOTA Le soluzioni dell’equazione sono quindi tutte e sole le funzioni il cui grafico raccorda le tangenti. Abbiamo perciò informazioni sull’andamento della funzione soluzione senza conoscerla. Equazioni differenziali Equazioni differenziali II Elisabetta Colombo Equazioni differenziali II esercizio aumento popolazione diffusione epidemia legge allometrica esercizio Condizioni iniziali Teo. Cauchy I Problema Cauchy Esempi Teo. Cauchy II Esempio Data l’equazione y 0 = e−2x y 2 , certamente una sua soluzione sarà sempre non decrescente perchè la sua derivata non è mai negativa. L’esistenza e unicità di una soluzione è garantita dal Teorema(di Cauchy) Sia y 0 = F (x, y) un’equazione differenziale del primo ordine in forma normale e sia (x0 , y0 ) un punto nell’insieme di definizione F (x, y). Allora per (x0 , y0 ) passa una e una sola curva che sia il grafico di una soluzione Problema di Cauchy II Esempi NOTA (a) L’esistenza ed unicità è stabilita localmente: nel punto (x0 , y0 )! (b) La coppia di numeri (x0 , y0 ) è detta la condizione iniziale Equazioni differenziali Equazioni differenziali II Elisabetta Colombo Equazioni differenziali II esercizio La ricerca della soluzione particolare dell’equazione differenziale è detto problema di Cauchy e si usa scrivere 0 0 y = F (x, y) y = F (x, y ) o (x0 , y0 ) y (x0 ) = y0 aumento popolazione diffusione epidemia legge allometrica esercizio Condizioni iniziali Teo. Cauchy I Problema Cauchy Esempi Intuitivamente le curve che sono soluzione dell’equazione differenziale possono essere pensate come traiettorie di un punto che si muove, tali che ogni punto ha un’unica traiettoria e 2 traiettorie non si incontrano mai. Teo. Cauchy II Problema di Cauchy II Esempi Regola Data la soluzione generale dell’equazione differenziale y 0 = F (x, y ), per determinare la soluzione particolare soddisfaciente a certe condizioni iniziali (x0 , y0 ) basta sostituire i valori x0 , y0 nella soluzione generale e calcolare il valore della costante. Equazioni differenziali Equazioni differenziali II Elisabetta Colombo Equazioni differenziali II esercizio aumento popolazione diffusione epidemia legge allometrica Esempio Trovare la soluzione particolare dell’equazione y 0 = −2xy che soddisfa la condizione iniziale y(1) = 4. Abbiamo già visto che la soluzione generale è la funzione 2 y = Ce−x ,sostituendo x = 1 e y = 4 si ha 4 = Ce−1 da cui C = 4 e quindi la soluzione particolare è 2 2 y = 4e · e−x = 4e1−x esercizio Condizioni iniziali Teo. Cauchy I Problema Cauchy Esempi Esempio Supponiamo che la crescita della popolazione di un dato territorio sia una funzione che soddisfa l’equazione differenziale y 0 = 2y. Teo. Cauchy II Problema di Cauchy II Esempi Supponiamo di voler trovare la soluzione particolare sotto l’assunzione y(0) = 103 . La soluzione generale abbiamo visto essere la funzione y = Ce2x , sostituendo x = 0 e y = 103 si ha 103 = Ce0 da cui C = 103 quindi la soluzione particolare è y = 103 e2x Equazioni differenziali Equazioni differenziali II Elisabetta Colombo Equazioni differenziali II esercizio aumento popolazione diffusione epidemia legge allometrica esercizio Condizioni iniziali Teo. Cauchy I Problema Cauchy Esempi Teo. Cauchy II Problema di Cauchy II Esempi NOTASe ora si studiano equazioni differenziali in forma normale ma di ordini superiori al primo, in generale la condizione y(x0 ) = y0 non è sufficiente per individuare un’unica soluzione particolare. Infatti abbiamo visto esempi di soluzioni di equazioni del secondo ordine che ammettono soluzioni generali che dipendono da 2 parametri. Nel caso di ordine 2 abbiamo bisogno quindi anche di y 0 (x0 ) = y00 . Teorema (di Cauchy) Sia y 0 = F (x, y, y 0 ) un’equazione differenziale di ordine 2 in forma normale e sia x0 , y0 , y00 un punto nell’insieme di definizione di F (x, y , z). Allora per (x0 , y0 ) passa una e una sola curva che sia il grafico di una soluzione che abbia in tale punto pendenza y00 . Equazioni differenziali Equazioni differenziali II Elisabetta Colombo Equazioni differenziali II esercizio Il corrispondente problema di Cauchy si usa scrivere aumento popolazione diffusione epidemia legge allometrica esercizio Condizioni iniziali Teo. Cauchy I Problema Cauchy Esempi Teo. Cauchy II Problema di Cauchy II Esempi 00 y = F (x, y, y 0 ) y (x0 ) = y0 y 0 (x0 ) = y00 Equazioni differenziali Equazioni differenziali II Elisabetta Colombo Equazioni differenziali II esercizio Esempio Trovare la soluzione particolare dell’equazione y 00 = −g che soddisfa le condizioni iniziali y(0) = 15 e y 0 (0) = −2. aumento popolazione diffusione epidemia legge allometrica esercizio Condizioni iniziali Teo. Cauchy I Problema Cauchy Esempi Teo. Cauchy II Problema di Cauchy II Esempi Abbiamo già visto che la soluzione generale è la funzione y = − 21 gx 2 + Ax + B, quindi y 0 = −gx + A. Facendo le sostituzioni abbiamo 15 = B 15 = − 21 g0 + A0 + B da cui quindi la −2 = A −2 = −g0 + A soluzione particolare è la funzione y = − 12 gx 2 − 2x + 15 Equazioni differenziali Equazioni differenziali II Elisabetta Colombo Equazioni differenziali II esercizio aumento popolazione Esempio Data l’equazione differenziale xy 0 = 13 y (legge allometrica). √ (a) Verificare che y = C 3 x è soluzione (l’abbiamo già visto): diffusione epidemia legge allometrica esercizio Condizioni iniziali Teo. Cauchy I Problema Cauchy Esempi Teo. Cauchy II Problema di Cauchy II Esempi 2 2 1 y 0 = 13 Cx − 3 da cui xy 0 = x 31 Cx − 3 = 31 Cx 3 = 13 y (b) Trovare la soluzione particolare che soddisfa la condizione iniziale y(8) = 3 : √ 3 = C 3 8 = C2 da cui C = 23 e quindi la soluzione √ particolare è y = 23 3 x Equazioni differenziali Equazioni differenziali II Elisabetta Colombo Equazioni differenziali II esercizio Esercizio Data l’equazione differenziale y 0 = −2y + 3 (a) Verificare che ogni funzione del tipo y = 23 + Ce−2x è soluzione: aumento popolazione diffusione epidemia legge allometrica y 0 = −2Ce−2x = − 2 Ce−2x + esercizio Condizioni iniziali Teo. Cauchy I Problema Cauchy Esempi 3 2 + 2 32 = − 2y + 3 (b) Trovare lasoluzione particolare il cui grafico passa per il punto −2, 32 Teo. Cauchy II Problema di Cauchy II Esempi 3 2 = y= 3 2 3 2 + Ce4 da cui C = 0 e quindi la soluzione particolare è Equazioni differenziali Equazioni differenziali II Elisabetta Colombo Equazioni differenziali II esercizio aumento popolazione Esercizio Data l’equazione differenziale y 00 − y 0 = 1 − 2x (a) Verificare che ogni funzione del tipo y = x + x 2 + Aex + B è soluzione: y 0 = 1 + 2x + Aex , y 00 = 2 + Aex quindi y 00 − y 0 = 2 + Aex − (1 + 2x + Aex ) = 1 − 2x diffusione epidemia legge allometrica esercizio Condizioni iniziali Teo. Cauchy I Problema Cauchy Esempi Teo. Cauchy II Problema di Cauchy II Esempi (b)Trovare la soluzione particolare che soddisfa le condizioni iniziali y(1) = 2 e y 0 (1) = 4 Facendo le sostituzioni abbiamo 2 = 1 + 12 + Ae1 + B B = −Ae cio è da cui 1 = Ae 4 = 1 + 2 + Ae1 B = −1 A = e−1 quindi la soluzione particolare è y = x + x 2 + ex−1 − 1 Equazioni differenziali Equazioni differenziali II Elisabetta Colombo Equazioni differenziali II Esercizio (a) Verificare che per qualunque valore di C, la funzione y(x) = 52 − Ce−2x è soluzione dell’equazione differenziale y 0 = −2y + 5. esercizio aumento popolazione diffusione epidemia legge allometrica Deriviamo: y 0 (x) = 2Ce−2x = − 2 −Ce−2x + esercizio Condizioni iniziali Teo. Cauchy I Problema Cauchy 5 2 − 5 2 = − 2y + 5 (b) Trovare la soluzione particolare che soddisfa la condizione iniziale y(0) = 1 Esempi Teo. Cauchy II Problema di Cauchy II Esempi sostituendo: 1 = 5 2 − Ce−2·0 da cui C = −1 + 5 2 = 32 . Quindi la soluzione che soddisfa le condizioni iniziali è: y (x) = 52 − 32 e−2x .
