xv ciclo grandi e piccole scale nella turbolenza di parete

1
DOTTORATO DI RICERCA IN INGEGNERIA IDRAULICA
Sede Amministrativa: Politecnico di Milano
Sedi Consorziate:
Politecnico di Milano, Politecnico di Torino,
Università di Bologna, Università di Pavia.
XV CICLO
GRANDI E PICCOLE SCALE NELLA
TURBOLENZA DI PARETE
Dottorando: Ing. Davide POGGI
Tutore: Ch.mo Prof. Luigi BUTERA
Coordinatore: Ch.mo Prof. Renzo ROSSO
2
I
Indice
Indice
1 Introduzione
1
1.1
Lo stato dell’arte nella turbolenza libera e di parete . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Struttura della tesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2 Richiami teorici sulla turbolenza
8
2.1
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2
Le equazioni di Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2.1
L’ipotesi del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2.2
Le equazioni di Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.3
La scomposizione di Reynolds
2.2.4
Le equazioni mediate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
La dinamica della turbolenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1
Energia cinetica del moto medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2
Energia cinetica della turbolenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.3
Le scale della turbolenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.4
Dinamica degli spettri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.5
La cascata di energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.6
Analisi spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4
La molteplicità delle scale nella turbolenza di parete . . . . . . . . . . . . 35
2.5
Analisi dei segnali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
II
Indice
2.5.1
Il fenomeno turbolento come processo stocastico . . . . . . . . . . 38
2.5.2
Introduzione all’analisi statistica dei segnali . . . . . . . . . . . . . 41
2.5.3
Descrizione statistica di un segnale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.3.1
Funzione densità di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.3.2
Momenti statistici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Turbolenza di parete
48
3.1
Lo strato limite turbolento in breve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2
Strutture coerenti di parete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3
3.2.1
Considerazioni sui metodi di visualizzazione delle strutture coerenti 54
3.2.2
Tipologia delle strutture coerenti nella turbolenza di parete . . . . 57
3.2.3
Evoluzione dello studio sulle strutture coerenti di parete . . . . . . 59
3.2.4
Modelli concettuali
3.2.5
Strutture coerenti in canali aperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2.6
Strutture coerenti in presenza di superfici scabre . . . . . . . . . . 76
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Il campo turbolento nella turbolenza di parete . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.1
Le caratteristiche dell’intermittenza . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.2
L’anisotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4 Elaborazione del segnale
80
4.1
Stima delle caratteristiche idrauliche della corrente . . . . . . . . . . . . . 80
4.2
Effetto dell’errore di posizionamento dell’anemometro . . . . . . . . . . . . 82
4.2.1
Moto verticale della slitta non parallelo al vetro . . . . . . . . . . . 85
4.2.2
Difetto di parallelismo tra lente e parete . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3
Influenza della fessura nella sezione di misura . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.4
Stima del tempo di attraversamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.5
Elaborazione del segnale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
III
Indice
4.5.1
Struttura dei dati forniti dal BSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.5.2
Limiti del programma di acquisizione nella conversione dei dati . . 100
4.5.3
Pulizia del segnale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.5.4
Calcolo dei momenti statistici sulle serie storiche non equispaziate 104
4.5.5
Analisi della frequenza di acquisizione e delle interruzioni del campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.5.6
Verifica della stabilità e stima dell’errore . . . . . . . . . . . . . . . 111
5 Il profilo di velocità longitudinale
5.1
118
Profilo di velocità su superfici liscie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.1.1
Evoluzione della legge di profilo
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.1.2
Ipotesi di autosimilitudine completa per la determinazione del profilo di velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.1.3
Suddivisione del profilo di velocità longitudinale . . . . . . . . . . 123
5.1.4
Estensione della legge logaritmica nella zona esterna . . . . . . . . 124
5.1.5
La zona di parete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.1.6
5.1.5.1
Profilo di velocità nel sottostrato viscoso . . . . . . . . . . 126
5.1.5.2
Profilo di velocità nella buffer region . . . . . . . . . . . . 128
Limite inferiore di validità per l’approssimazione logaritmica . . . . 129
5.1.6.1
I parametri di taratura delle funzioni di velocità . . . . . . 130
5.1.6.2
I parametri A e κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.1.6.3
Il parametro Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2
La velocità di attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.3
Profilo di velocità su superfici scabre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3.1
Ricerca del profilo di velocità per pareti scabre . . . . . . . . . . . 136
5.3.2
La legge del profilo di velocità di Nikuradse . . . . . . . . . . . . . 138
IV
Indice
5.3.3
Problemi particolari in presenza di scabrezza . . . . . . . . . . . . 140
5.3.3.1
Ricerca della dimensione caratteristica della scabrezza . . 141
5.3.3.2
Determinazione della scabrezza equivalente in sabbia . . . 143
5.3.3.3
La funzione di scabrezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.3.3.4
Determinazione della funzione di scabrezza nella zona di
transizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.3.3.5
5.4
Origine del profilo di velocità . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Estensione del profilo di velocità alle correnti in canale aperto . . . . . . . 149
5.4.1
Influenza delle dimensioni del canale sul profilo di velocità . . . . . 153
5.4.2
Influenza della presenza del pelo libero sul profilo di velocità
5.4.3
I parametri della legge logaritmica nel caso di canale
5.4.4
Influenza delle dimensioni del canale sulla velocità di attrito . . . . 160
. . . 154
. . . . . . . 159
5.5
Problemi nel calcolo degli sforzi di Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.6
Calcolo della velocità di attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.6.1
Calcolo della velocità di attrito mediante l’interpolazione dei profili
di velocità media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.6.2
Calcolo dei parametri A e κ mediante interpolazione . . . . . . . . 178
5.6.3
Calcolo della velocità di attrito mediante l’interpolazione degli sforzi di Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.7
Profilo di velocità esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6 Influenza del numero di Reynolds
6.0.1
Analisi del profilo di velocitá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.0.2
Intensit turbolenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7 Il metodo dei quadranti
7.1
186
195
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Indice
V
7.2
Utilizzo del metodo dei quadranti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.3
Effetto della scabrezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.4
Analisi dei risultati ottenuti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8 Il campionamento condizionato
8.1
211
I metodi classici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.1.1
8.1.2
8.1.3
Applicazione della tecnica MULEVEL . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.1.1.1
Scelta dei valori di soglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.1.1.2
Tempi di raggruppamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.1.1.3
Risultati campionamento condizionato . . . . . . . . . . . 217
8.1.1.4
Influenza dell’altezza y + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.1.1.5
Influenza dei numeri di Reynolds e Froude . . . . . . . . . 222
Applicazione della tecnica VITA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
8.1.2.1
Problemi di calcolo della media di insieme . . . . . . . . . 230
8.1.2.2
Scelta delle soglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.1.2.3
Risultati del campionamento condizionato . . . . . . . . . 236
8.1.2.4
Influenza dell’altezza y + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.1.2.5
Influenza dei numeri di Reynolds e di Froude . . . . . . . 238
Commenti finali sul campionamento classico . . . . . . . . . . . . . 241
8.1.3.1
Tempi medi di bursting al variare dell’altezza y + . . . . . 241
8.1.3.2
Tempi medi di bursting al variare dei numeri di Reynolds
e Froude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.1.3.3
Ciclo di bursting completo e commenti . . . . . . . . . . . 243
8.1.3.4
Ciclo di bursting al variare di y + . . . . . . . . . . . . . . 245
8.1.3.5
Variazione del ciclo di bursting in funzione dei numeri di
Reynolds e Froude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
VI
Indice
9 Analisi delle piccole scale
248
9.1
Analisi spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
9.2
Funzioni di struttura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
9.3
Ruolo dello Shear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
10 Conclusioni
254
1
GRANDI E PICCOLE SCALE NELLA TURBOLENZA DI PARETE
Capitolo 1
Introduzione
1.1
Lo stato dell’arte nella turbolenza libera e di parete
La turbolenza é un fenomeno caotico ed imprevedibile che caratterizza la maggiorparte
dei fluidi in movimento. Essa gioca un ruolo fondamentale in moltissimi processi, da
quelli ambientali come il moto delle nuvole, alla dispersione degli inquinanti, fino a quelli
altamente tecnologici come i reattori chimici. Il fenomeno turbolento é ”semplicemente”
spiegabile con la cascata di energia, l’energia cinetica media viene sottratta al flusso medio alle grandi scale, trasportata alle scale piú piccole dalla cosidetta cascata di vortici ed
infine dissipata alle scale piú piccole dall’azione della viscosità. Sebbene il concetto cosı́
espresso sia molto semplice le difficoltá nella comprensione del fenomeno sono immense.
La ricerca di base ha portato negli ultimi decenni a migliorare notevolmente la conoscenza
nel campo della turbolenza omogenea ed isotropa. Alle soluzione teoriche di Kolmogorov,
una di queste (k41) é ancor’oggi l’unica ad essere rigorosamente dimostrabile, si sono via
via aggiunte teorie piú adatte alla descrizione del fenomeno. Nondimeno allo stato attuale
le certezze acquisite e comunemente acettate sono di gran lunga in numero inferiore alle
incertezze che necessitano di una soluzione. Tra le certezze é ormai chiaro che la turbolenza é un fenomeno altamente intermittente e che tale intermittenza é connessa all’esistenza
di porzioni di fluido in cui le grandezze fondamentali, come le componenti di velocità o
la temperatura, rimangono correlate tra loro o con altre grandezze su un intervallo di
spazio e/o di tempo superiore a quello delle scale caratteristiche della turbolenza. Queste
porzioni di fluido, che vengono chiamate strutture coerenti, contengono una grande quantitá di energia, e di vorticitá, che permette loro di ”viaggiare” industurbate all’interno
del campo di moto costituendo l’anomalia alla base dell’intermittenza. Le incertezze sono
invece tante ed importanti per la comprensione del fenomeno. Basti pensare che ancor
oggi non é affatto chiaro se la cascata di energia sia solo di tipo locale o se l’energia
possa essere trasportata alle scale piú piccole anche non localmente, in tal senso oscura é
l’interazione tra le strutture coerenti e le scale molto piú piccole con le quali le strutture
stesse interagiscono. Parallelamente ai progressi nella comprensione delle basi teoriche
lo sviluppo di tecniche per l’indagine sperimentale e numerica del fenomeno é di fondamentale importanza. Nondimeno negli ultimi anni il campo sperimentale ha accumulato
un sempre crescente ritardo sia nei confronti della teoria di base, forse troppo attenta
all’aspetto speculativo del problema, che della simulazione numerica, ancora molto limitata nel numero di Reynolds risolvibile dall’enorme mole di dati da elaborare. Questo
fenomeno é principalmente da imputarsi all’enorme difficoltá, sia in termini di costo che
di precisione, che la ricerca sperimentale si trova ad affrontare per poter ”restare al passo”
della ricerca teorica. Questo problema é di fondamentale importanza poiché i sempre piú
sofisticati approcci teorici non possono trovare verifica nei dati sperimentali.
Il grande interesse che la turbolenza suscita in molteplici campi giustifica gli enormi
sforzi che nel campo della fisica, della matematica e dell’ingegneria vengono compiuti
da quasi un secolo. Nondimeno l’interesse di matematici e fisici é stato spesso limitato,
tranne qualche importante eccezione, alla turbolenza omogenea ed isotropa. Sebbene la
turbolenza isotropa affascini matematici e fisici per la sua ”purezza” i problemi reali di
moto dei fluidi interessano maggiormente la turbolenza a contatto con pareti. Proprio per
la maggior applicabilitá ed importanza nei casi reali la turbolenza dello strato limite é
2
stata principalmente studiata dal punto di vista ingegneristico. Nondimeno, per la natura
stessa del problemi da risolvere, gli sforzi sono stati spesso indirizzati alla soluzione ad
hoc dei singoli problemi piuttosto che ad un inquadramento generale del fenomeno turbolento. Solo negli ultimi anni l’argomento della turbolenza di parete ha registrato notevoli
risultati speculativi. In tal senso di grande aiuto sono spesso stati i risultati precedentemente ottenuti nel campo della turbolenza omogenea ed isotropa. Strumenti ed approcci
giá adottati per lo studio della turbolenza libera, come lo studio dell’intermittenza, la
dinamica delle strutture coerenti, l’interazione tra piccole e grandi scale sono stati molto
utili, anche se non unici, nella comprensione di qualche aspetto della turbolenza di parete.
In particolare notevoli risultati riguardo la dinamica delle strutture coerenti (Robinson,
1991; Zhou et al., 1999; Adrian et al., 2000), la natura dell’intermittenza (Toschi et al.,
1999; Jimenez, 2000), il ruolo dell’anisotropia (Antonia et al., 1998; Benzi et al., 1999; Toschi et al., 2000; Ruiz-Chavarria et al., 2000) e i legami fra grandi e piccole scale (Onorato
et al., 2000; Laval et al., 2001) sono stati ottenuti.
Tuttavia tali risultati hanno riguardato soprattutto il caso di parete liscia, ci a dispetto
sia della riconosciuta importanza della geometria della parete in ognuno di questi aspetti
sia del maggiore interesse applicativo nei riguardi delle pareti scabre. Basti pensare al
moto dei fluidi nei condotti di adduzione, allo scorrere delle acque in canali e fiumi o
all’importante ruolo della vegetazione nell’interazione tra suolo ed atmosfera. Le ragioni
di questo ritardo sono per ben comprensibili e risiedono nei problemi sperimentali di
misurare il campo di moto molto vicino ad una parete scabra, nella difficolt di generalizzare
i risultati, causa la notevole variet di geometrie e, infine, nella complicazione di simulare
numericamente pareti non lisce.
Nonostante queste difficolt, tuttavia sono cominciati ad emergere alcuni risultati importanti i cui principali sono i seguenti. Nel caso di parete scabra, i moti di grande scala
3
sembrano possedere una minore anisotropia rispetto al caso di parete liscia, inoltre essi risultano maggiormente inclinati e pi estesi nel senso longitudinale (Krogstad et al.,
1992; Krogstad e Antonia, 1994, 1999). Anche la struttura di piccola scala parrebbe risentire allo stesso modo della geometria della parete, anche in questo caso registrando-si
una minore anisotropia ed intermittenza (Onorato et al., 2000). Tale accordo fra il comportamento delle diverse scale turbolente potrebbe spiegarsi attraverso il fenomeno del
blocking nella cascata di energia (Jimenez, 2000), indotto dal passaggio delle strutture
coerenti. Tale fenomeno agirebbe quindi da ponte fra piccole e grandi scale, facendo si
che gli effetti della scabrezza su quest’ultime si risenta anche a scala minore. Infine, viene
suggerita (Jimenez, 1999) l’interpretazione della scabrezza come una sorta di forzante esterna dell’energia turbolenta che, scompaginando l’organizzazione del campo di moto nei
pressi della parete, comporterebbe un minore grado di anisotropia e intermittenza; fatto
che si risente anche al di fuori della zona di parete (Antonia e Krogstad, 1994, 2001).
In uno strato limite turbolento, l’energia cinetica del flusso viene convertita in fluttuazioni turbolente e quindi dissipata in energia interna dall’azione della viscosità, secondo
un processo continuo che si autosostiene. La dinamica di un fluido in moto è notevolmente influenzata dalla viscosità, perché esso è obbligato ad assumere la stessa velocità
di eventuali corpi solidi all’interno del campo di moto. Non si può quindi prescindere
dal considerarne gli effetti quando si tratta di fluidi che scorrono all’interno di tubi o di
canali, per l’effetto che le pareti hanno su di esso.
Le motivazioni più importanti che spingono ad investigare la struttura dei moti coerenti
negli strati limite di parete possono essere:
1. sviluppare modelli preditivi delle caratteristiche di larga scala dei flussi turbolenti,
2. definire metodi di alterazione e controllo della turbolenza mediante mezzi meccanici
o chimici,
4
3. far luce sui fenomeni dinamici responsabili delle proprità statistiche che solitamente
si misurano e predirle attraverso dei modelli matematici.
Il moto all’interno dello strato limite non è completamente casuale, ma vi è una forte
correlazione tra le componenti di velocità longitudinale, u, e verticale, v; negli ultimi anni
si sono poi individuate, cosı́ come per la turbolenza isotropa ed omogenea, porzioni di
fluido in cui le grandezze fondamentali del flusso, come potrebbero essere le componenti
di velocità o la temperatura, rimangono correlate tra loro o con altre grandezze su un
intervallo di spazio e/o di tempo superiore a quello delle scale più piccole del moto. Queste
regioni di fluido vengono dette strutture coerenti ed al pari delle strutture coerenti nella
turbolenza isotropa giocano un ruolo molto importante nell’intermittenza del fenomeno e
nel sostentamento della turbolenza.
Molte descrizioni statistiche e molti modelli dello strato limite di parete ignorano la
presenza di moti coerenti, la cui traccia rilevata sperimentalmente si presenta in modo quasi periodico; tuttavia, poiché questi moti sembrano essere responsabili del mantenimento
della turbolenza nello strato limite (produzione e dissipazione), lo studio della struttura
della turbolenza è di fondamentale importanza per capire la dinamica dello strato limite.
L’obbiettivo della presente tesi é lo studio sperimentale del campo di moto di un fluido,
nella fattispecie acqua, a contatto con una parete. Il primo passo é l’analisi delle strutture
coerenti di grande scala, dell’intermittenza del campo di moto turbolento in prossimitá
della parete e la connessione tra queste due ultime. Successivamente si analizza, anche
alla luce dei risultati ottenuti dalla precedente analisi, l’influenza della scabrezza della
parete sulle strutture di grande e piccola scala.
Si ritiene opportuno anteporre alla descrizione della struttura di questo lavoro una
semplice descrizione del problema in generale.
5
1.2
Struttura della tesi
La tesi si articola secondo lo schema seguente:
• nel secondo capitolo si espongono, i concetti teorici necessari per la comprensione del
lavoro successivo, partendo dalle equazioni di base utilizzate per descrivere la meccanica dei fluidi newtoniani, come l’acqua, per arrivare alle equazioni di Reynolds,
che richiedono la conoscenza dei soli valori medi delle grandezze misurate. Quindi si
descrive il ruolo della vorticità nella dinamica della turbolenza, per concludere con
un breve cenno sull’analisi spettrale e statistica di un segnale.
• Nel terzo capitolo si fa una completa seppur concisa analisi dei vari metodi di visualizzazione delle strutture coerenti e sui modelli geometrici utilizzati per descriverle,
sia all’interno di tubi che in canali aperti, dando cosı̀ un’idea dello sviluppo dello
studio della turbolenza nel corso del tempo, a partire dagli anni ’30 ad oggi.
• Nel capitolo quarto si descrive, l’apparato sperimentale usato per effettuare le misure di velocità dell’acqua all’interno di un canale aperto costruito all’interno del
Dipartimento di Idraulica del Politecnico di Torino. Ci si soffermerà soprattutto sul
principio di funzionamento dell’anemometro laser doppler (LDA) e dell’analizzatore
di spettro dei segnali di Doppler burst (BSA).
• Il quinto capitolo tratta dei principali problemi sperimentali incontrati durante la
campagna di misurazioni; è questa una parte fondamentale della tesi, perché in essa
vi sono risolti grossi problemi sperimentali che consentiranno in futuro di eseguire
misure di ottima qualità.
• Nel sesto capitolo si presenta una breve ricerca dei modelli pià adatti a interpolare
il profilo di velocità ed i risultati ottenuti dalle presenti misure.
6
• Nel settimo capitolo di discutono i momenti statistici di ordine superiore al primo,
la loro relazione con le varie zone dello strato limite e con le strutture coerenti.
• Nell’ottavo capitolo si fa un breve cenno all’analisi dei quadranti e della corrispondente distribuzione di probabilità congiunta.
• Nel nono capitolo si applicano due metodi di campionamento condizionato per indagare sull’influenza dell’altezza, del numero di Reynolds e di Froude sulle caratterisiche delle strutture coerenti. Si farà anche un breve cenno all’analisi spettrale.
• Nel decimo capitolo si presentano le conclusioni del lavoro.
• Nelle appendici sono riportati tutti i risultati ottenuti nelle varie misurazioni e i
programmi più importanti usati per compiere le elaborazioni dei segnali.
7
8
GRANDI E PICCOLE SCALE NELLA TURBOLENZA DI PARETE
Capitolo 2
Richiami teorici sulla turbolenza
2.1
Introduzione
La turbolenza è governata dalle equazioni della dinamica dei fluidi ma non può essere
studiata con un approccio deterministico; infatti, le fluttuazioni delle grandezze caratteristiche della turbolenza sono irregolari e, almeno apparentemente, casuali. Il tipo di
studio comunemente accettato è quello basato sull’analisi statistica.
Occorre dire che affinché la turbolenza si manifesti, sono necessari numeri di Reynolds sufficientemente alti, per i quali il moto diviene instabile a causa delle interazioni
non lineari fra i termini viscosi e quelli inerziali. All’interno di un condotto circolare, il
flusso passa da laminare a turbolento per numeri di Reynolds (calcolato in base alla velocità media della corrente) poco superiori a 2000, a meno che non si adottino particolari
precauzioni, atte a ritardare l’innesco della turbolenza.
La turbolenza è fortemente tridimensionale e rotazionale; il campo di moto presenta, infatti, notevoli fluttuazioni di velocità nelle tre dimensioni, indispensabili per
l’autosostentamento della stessa. Al contempo la turbolenza è sempre fortemente dissipativa e dispersiva: dispersiva perché qualsiasi grandezza scalare o vettoriale, presente
in un volume ristretto di fluido, viene rapidamente dispersa spazialmente; dissipativa in
quanto la viscosità produce un lavoro di deformazione, che aumenta l’energia interna del
fluido a spese di quella cinetica della turbolenza, la quale necessita, quindi, di un continuo
supporto di energia per sostenere le dissipazioni viscose e per non decadere rapidamente.
Questa energia viene acquisita dalla turbolenza a scapito del moto medio.
Lo scopo del presente capitolo è quello di fornire sinteticamente le nozioni teoriche
necessarie alla corretta e completa comprensione del lavoro esposto successivamente.
2.2
Le equazioni di Reynolds
I flussi turbolenti vengono studiati da più di un secolo, ma non esiste ancora un approccio
generale per la risoluzione del problema; infatti, nonostante le equazioni del moto siano
state analizzate in grande dettaglio, non è possibile una descrizione nel tempo e nello
spazio di tutti i punti di un flusso turbolento, ma è necessario utilizzare metodi statistici.
In base a queste considerazioni, Reynolds sviluppò nel 1895, partendo dalle equazioni
di Navier-Stokes, una relazione che regola il comportamento delle sole quantità medie.
2.2.1
L’ipotesi del continuo
Le equazioni che legano le varie grandezze fisiche, come velocità, pressione, densità, temperatura, ecc. . . , si basano sull’idea che queste varino con continuità da particella a particella
del campo fluido. In realtà questo non è vero se si scende a livello molecolare, ma il fatto
che il fluido sia un sistema discreto non s’avverte a livello macroscopico, se si considera
come particella una piccola porzione di fluido in equilibrio termodinamico e contenente
un numero di molecole tale da poter eseguire un’analisi statistica delle varie proprietà
fisiche. L’equilibrio termodinamico si ha quando il disequilibrio meccanico è debole, ossia
quando le variazioni delle grandezze fisiche sono molto lente e ridotte rispetto a quelle che
si hanno su scala molecolare. In questo caso, quindi, le proprietà fisiche non subiscono
grandi variazioni all’interno del volumetto di fluido considerato ed i valori di velocità,
pressione, densità, temperatura da associare alla particella possono essere i valori medi
9
delle azioni delle singole molecole contenute nella particella. Affinché l’ipotesi del continuo sia valida, è ancora necessario che esista un intervallo di dimensioni caratteristiche
del volume elementare, nel quale i risultati dell’analisi statistica non dipendano dalla sua
dimensione.
Si ha, poi, una dipendenza tra ciò che avviene a livello macroscopico con quello che
succede a livello microscopico; infatti un volumetto di fluido non contiene sempre le stesse
molecole. Questo scambio di molecole tra particelle viene considerato a livello macroscopico assegnando al fluido proprietà diffusive, quali la viscosità e la conduttività termica.
Quindi, se si considera il campo fluido come insieme di particelle cosı̀ definite, si può
assumere che le grandezze varino con continuità da punto a punto e si possono utilizzare
le equazioni di Navier-Stokes per lo studio del moto.
2.2.2
Le equazioni di Navier-Stokes
Le equazioni caratteristiche di una corrente fluida incomprimibile sono le tre equazioni
del moto
∂ ũi
1 ∂ σ̃ij
∂ ũi
+ ũj
=
∂t
∂xj
ρ ∂xj
(i = 1 . . . 3,j = 1 . . . 3),
(2.1)
e l’equazione di continuità
∂ ũi
= 0,
∂xi
(2.2)
dove ũi rappresenta la generica componente i-esima del vettore velocità, mentre σ̃ij è il
tensore degli sforzi. Con la tilde si indicano i valori istantanei di una variabile, che non
è stata scomposta in valor medio e parte fluttuante. Nelle espressioni (2.1) e (2.2), ed in
quelle che seguono, si fa uso, per semplicità, della notazione indiciale per vettori e della
convenzione di sommatoria sugli indici ripetuti1 .
→
−
Siano b = b(x,y,z,t) un campo scalare, b (x,y,z,t) un campo vettoriale e B(x,y,z,t) un campo tensoriale, supposti di classe C 2 . Gli operatori differenziali che si useranno nel seguito sono definiti nel modo
1
10
Se il fluido, oltre ad essere incomprimibile, è anche Newtoniano, σ̃ij è un tensore
simmetrico definito come
σ̃ij = −p̃δij + 2µs̃ij .
(2.3)
Nella (2.3) δij è la delta di Kronecker, pari ad uno per i = j e nulla altrimenti; p̃ è
la pressione idrodinamica e µ è la viscosità dinamica, che si assume costante, mentre il
termine
1
s̃ij =
2
∂ ũi ∂ ũj
+
∂xj
∂xi
,
(2.4)
rappresenta la velocità di deformazione. Se la (2.3) viene sostituita nella (2.1), richiamando l’equazione di continuità (2.2), si ricavano le equazioni di Navier-Stokes:
∂ ũi
1 ∂ p̃ij
∂ 2 ũi
∂ ũi
+ ũj
=−
+ν
,
∂t
∂xj
ρ ∂xj
∂xj ∂xj
dove ν è la viscosità cinematica (ν = µ/ρ).
seguente:
3
X−
→ ∂b
∂b
=
grad(b) =
λj
∂xj
∂xj
j=1

→
−
∂bi
grad( b ) =
=
∂xj
→
−c · B = c B =
j ji
= [c1
c2
∇2 (b) =

∂b1
∂x
 ∂b11
 ∂x2
∂b1
∂x3
Gradiente di uno scalare.
∂b2
∂x1
∂b2
∂x2
∂b2
∂x3
3
X
→
−
λi cj Bji

∂b3
∂x1
∂b3 
∂x2 
∂b3
∂x3
Gradiente di un vettore.
i,j=1
B11

c3 ] B21
B31
B12
B22
B32

B13

B23 
B33
3
X
∂2b
∂2b
∂2b
∂2b
+
+
=
2
2
2
∂xj
∂x1
∂x2
∂x23
j=1
3
X
→
−
→
− 2
∂ 2 bi
=
∇2 ( b ) =
λi ∇ (bj ) =
2
∂xj
i,j=1
−
→
−
→
−
→
= λ1 ∇2 (b1 ) + λ2 ∇2 (b2 ) + λ3 ∇2 (b3 )
−
→ −
→
−
→
λ1 , λ2 ed λ3 sono i versori dei tre assi x, y e z.
11
Prodotto misto.
Laplaciano di uno scalare.
Laplaciano di un vettore.
(2.5)
2.2.3
La scomposizione di Reynolds
La velocità ũi è solitamente scomposta in un termine costante ed in uno fluttuante
ũi = ui + ui ,
(2.6)
dove ui è la velocità media,
1
ui = lim
T →∞ T
Z
t0 +T
ũi dt,
(2.7)
t0
calcolata in un intervallo T di tempo sufficientemente lungo, mentre ui è la quantità
fluttuante, il cui valore medio è nullo per definizione.
L’uso di medie temporali corrisponde alla tipica situazione di laboratorio, dove le misure vengono realizzate in punti fissi, all’interno di un flusso spesso non omogeneo, in cui
la media temporale è funzione della posizione. Tuttavia, affinché una media temporale
possa avere senso, l’integrale della (2.7) deve essere indipendente da t0 . È pertanto necessario che il flusso sia statisticamente stazionario o stazionario in media, ossia che sia
verificata la relazione
∂ui
= 0.
∂t
(2.8)
L’operatore di media introdotto gode delle proprietà di linearità e di invertibilità con
l’operatore differenziale. Quest’ultima caratteristica fa sı̀ che il valore medio della derivata
spaziale di una variabile sia uguale alla corrispondente derivata spaziale del valor medio
di quella variabile. Per esempio
∂ ũi
∂ui
=
,
∂xj
∂xj
(2.9)
∂ui
= 0.
∂xj
(2.10)
essendo per definizione
Anche la pressione p ed il tensore σij possono essere scomposti in un termine medio
ed uno fluttuante
p̃ = P + p
12
(2.11)
σ̃ij = Σij + σij ,
(2.12)
dove i valori medi delle componenti fluttuanti sono nulli. Come (2.7) anche P e Σij sono
indipendenti dal tempo. La media del tensore delle tensioni Σij è data da
Σij = −P δij + 2µSij ,
(2.13)
e la componente fluttuante delle tensioni σij è
σij = −pδij + 2µsij .
(2.14)
In questo caso la velocità media delle deformazioni, Sij , e le fluttuazioni della velocità di
deformazione, sij , sono definite come
1 ∂ui ∂uj
,
Sij =
+
2 ∂xj
∂xi
1 ∂ui ∂uj
sij =
+
.
2 ∂xj
∂xi
2.2.4
(2.15)
(2.16)
Le equazioni mediate
È ora possibile ricavare le equazioni caratteristiche che legano le grandezze medie del
moto. Se si applica la scomposizione di Reynolds (2.6) all’equazione di continuità (2.2),
si ottiene
∂ ũi
∂ui ∂ui
=
+
= 0.
∂xi
∂xi ∂xi
(2.17)
Applicando la media alla (2.17), tenendo conto della relazione (2.9) e considerando
che il valor medio delle fluttuazioni è nullo, allora risulta che la derivata spaziale del valor
medio delle fluttuazioni di velocità risulta anch’esso nullo. Da ciò segue che il flusso medio
è incomprimibile, ossia
∂ui
= 0.
∂xi
(2.18)
Sottraendo l’espressione (2.18) dalla (2.17), si trova infine che anche le fluttuazioni della
velocità sono incompressibili
∂ui
= 0.
∂xi
13
(2.19)
Prima di ricavare le equazioni del moto per il flusso medio, è opportuno precisare che
la media di un prodotto tra variabili viene calcolata nel modo seguente:
ũi ũj = (ui + ui )(uj + uj ) = ui uj + ui uj + ui uj + uj ui = ui uj + ui uj .
(2.20)
Si può notare che i termini costituiti dal prodotto tra un valore medio ed uno fluttuante
sono nulli, perché la media di una quantità fluttuante è nulla. Se ui uj 6= 0, si dice che le
due variabili sono correlate; una misura del loro grado di correlazione si ottiene dividendo
il termine ui uj per la radice quadrata del prodotto delle varianze u2i e u2j . Si ha cosı̀ un
coefficiente di correlazione, cij , definito come
ui uj
.
cij = q
u2i u2j
(2.21)
Se cij è uguale a ±1 si dice che la correlazione è completa e ciò comporta anche che ogni
variabile sia completamente correlata con se stessa. Se invece cij = 0, le variabili sono
non correlate.
A questo punto, le equazioni del moto per il flusso medio si ricavano sostituendo la
(2.6) e la (2.12) nella (2.1) e mediando i termini dell’espressione risultante. Si ottiene
uj
1 ∂Σij
∂ui
∂ui
+ uj
=
.
∂xj
∂xj
ρ ∂xj
(2.22)
Utilizzando l’equazione di continuità (2.19), le fluttuazioni della velocità turbolenta
possono essere espresse nella forma
uj
∂ui uj
∂ui
=
.
∂xj
∂xj
(2.23)
Questo termine rappresenta il trasporto medio di quantità di moto fluttuante da parte
delle fluttuazioni di velocità turbolenta. Se ui e uj non sono correlate non si verifica
trasferimento di quantità di moto nella turbolenza.
Essendo il flusso di quantità di moto associato ad una forza tramite la seconda legge di
Newton, il termine (2.23) di trasporto turbolento può essere pensato come la divergenza
14
di una tensione. Allora, in base alla scomposizione di Reynolds, il moto turbolento può
essere visto come la causa della presenza di tensioni nel flusso medio. Per questo motivo
la (2.22) e la (2.23) sono riorganizzate in modo da raggruppare tutte le tensioni. Si
ottengono cosı̀ le equazioni di Reynolds della quantità di moto:
uj
∂ui
1 ∂
=
(Σij − ρui uj ) .
∂xj
ρ ∂xj
(2.24)
Utilizzando la (2.13), si può definire la tensione totale media Tij in un flusso turbolento:
Tij = Σij − ρui uj = −P δij + 2µSij − ρui uj .
(2.25)
Il contributo al moto turbolento da parte del tensore delle tensioni medie è indicato con
il simbolo τij , denominato tensore degli sforzi di Reynolds
τij = ρui uj .
(2.26)
Il tensore di Reynolds è simmetrico: τij = τji . Le componenti diagonali di τij sono le
pressioni normali, ρu21 , ρu22 , ρu23 , che contribuiscono in minima parte al trasporto della
quantità di moto media. Sono le altre componenti del tensore, ossia gli sforzi di taglio, a
giocare un ruolo dominante in tale processo.
La separazione, tra il valore medio di velocità ed i termini fluttuanti, ha permesso di
isolare gli effetti delle fluttuazioni sul moto medio, ma, dal punto di vista matematico,
il problema è insolubile: le quattro equazioni del flusso medio, ossia la (2.18) e le tre
relazioni espresse dalla (2.24), contengono, come incognite addizionali a P ed alle tre
componenti di ui , nove componenti di τij , tra cui solo sei sono indipendenti dalle altre,
data la simmetria del tensore. La non linearità del fenomeno porta i momenti statistici
del secondo ordine ad influire su quelli del primo; avendo cosı̀ un numero di incognite
superiore a quello delle equazioni; esse non possono essere risolte in forma chiusa.
Per rendere il problema risolubile, si è cercato, molto spesso, di esprimere il tensore di
Reynolds, τij , in funzione di quello delle velocità medie di deformazione, Sij , ricorrendo
15
alla cosiddetta ipotesi diffusiva: essa consiste nel supporre che, agli effetti del moto medio,
le fluttuazioni di velocità agiscano in maniera qualitativamente analoga alla diffusione molecolare, ma con intensità ben maggiore, poiché inducono scambi di quantità di moto che
coinvolgono non singole molecole, ma intere masse fluide. Dal punto di vista matematico
l’analogia si realizza tramite la relazione
τij = µt Sij ,
(2.27)
dove µt è definita come viscosità turbolenta (eddy viscosity). In realtà una simile tecnica
di chiusura risulta fisicamente poco attendibile, sia per i problemi inerenti alla stima della
viscosità turbolenta, che talvolta non resta costante ma diventa una variabile del flusso,
sia soprattutto perché la correlazione delle fluttuazioni puntuali di velocità viene associata
solo alle grandezze medie locali, indipendentemente dal resto del campo di moto.
2.3
La dinamica della turbolenza
Dopo avere mostrato gli effetti che le fluttuazioni della velocità turbolenta hanno sul moto
medio, si affronta il tema del trasferimento di energia cinetica nella turbolenza e del ruolo
della vorticità e del vortex stretching nello studio della meccanica della turbolenza.
Si vedrà che la turbolenza riceve dal moto medio l’energia delle grandi scale, dissipandola poi alle piccole scale per effetto della viscosità e che il trasferimento di energia dalle
grandi alle piccole scale viene realizzato grazie al meccanismo dinamico della vorticità.
2.3.1
Energia cinetica del moto medio
Moltiplicando per ui l’espressione della quantità di moto di Reynolds (2.24) e scindendo
opportunamente in due componenti il termine legato alle tensioni totali T , si ottiene
l’equazione scalare dell’energia meccanica nella seguente forma
∂
ρuj
∂xj
1
ui uj
2
=
∂
∂ui
(Tij ui ) − Tij
.
∂xj
∂xj
16
(2.28)
Poiché Tij è un tensore simmetrico, l’ultimo termine della (2.28) è equivalente al prodotto
di Tij per la parte simmetrica Sij della velocità di deformazione; la (2.28) può dunque
essere scritta come
∂
ρuj
∂xj
1
ui uj
2
=
∂
(Tij ui ) − Tij Sij .
∂xj
(2.29)
Il primo termine del secondo membro rappresenta il trasporto di energia del moto medio
da parte del tensore delle tensioni Tij . Con riferimento alla (2.25), esso è costituito dal
lavoro di pressione e dal trasporto di energia del moto medio da parte degli sforzi viscosi
e del tensore di Reynolds. L’integrale di questo termine è zero, se l’integrazione è riferita
ad un volume di controllo sulla cui superficie sia Tij che ui si annullano. Infatti, secondo
il teorema della divergenza, si ha
Z
V
∂
(Tij ui ) dV =
∂xj
Z
nj Tij ui dS,
(2.30)
S
dove nj rappresenta un vettore unitario normale all’elemento di superficie dS. Se il lavoro
fatto dagli sforzi sulla superficie S del volume di controllo V è nullo, allora il termine di
flusso tende solo a ridistribuire l’energia cinetica media all’interno del volume considerato.
Il termine Tij Sij è chiamato invece lavoro di deformazione ed in base al principio
di conservazione dell’energia rappresenta l’energia cinetica che viene sottratta al flusso
medio, in seguito all’azione esercitata dalle tensioni. Il lavoro di deformazione è causato
dalle tensioni che costituiscono Tij . Utilizzando quindi la relazione (2.25), si ottiene
Tij Sij = 2µSij Sij − τij Sij .
(2.31)
Il contributo della pressione al lavoro di deformazione è assente nella (2.31), poiché risulta
nullo in un fluido incomprimibile, essendo
−P δij Sij = −P Sii = 0.
17
(2.32)
Il termine dovuto agli sforzi viscosi è sempre negativo nella (2.28), e dunque rappresenta una perdita di energia da parte del moto medio, cui si dà il nome di dissipazione
viscosa, generalmente non molto rilevante.
Il contributo di gran lunga più importante è dovuto agli sforzi di Reynolds, ed anch’esso
comporta nella maggior parte dei flussi una dissipazione di energia cinetica, valori negativi
di τij tendono infatti a comparire associati a valori positivi di Sij , e molto raramente si
realizzano condizioni tali da rendere, anche solo localmente, τij Sij > 0. D’altronde ciò
viene confermato esprimendo τij tramite la (2.27), che, almeno qualitativamente, è sempre
valida. Per questa ragione τij Sij è noto come termine di produzione di energia turbolenta
e rappresenta il trasferimento di energia dal moto medio alla turbolenza.
2.3.2
Energia cinetica della turbolenza
Per dedurre l’equazione che governa il bilancio dell’energia cinetica media delle fluttuazioni
turbolente di velocità, 21 ui ui , è necessario moltiplicare la (2.5), che esprime le equazioni
di Navier-Stokes, per ũi e ricavae, quindi, le relazioni scalari. Di queste deve essere
fatta la media temporale e, successivamente, dalle equazioni ottenute si sottrae membro
a membro la (2.28), riguardante l’energia cinetica del flusso medio. Il risultato finale è
costituito dalla espressione seguente
∂
uj
∂xj
1
ui ui
2
∂
=−
∂xj
1
1
uj p + ui ui uj − 2νui sij
ρ
2
− ui uj Sij − 2νsij sij ,
(2.33)
dove la componente sij fornita dalla (2.4) rappresenta il tensore delle fluttuazioni della
velocità di deformazione. Come evidenzia la (2.33), la variazione di energia turbolenta
è dovuta al lavoro del gradiente di pressione, al trasporto da parte delle fluttuazioni di
velocità e da parte delle tensioni viscose, e a due tipi di lavori di deformazione.
Analogamente a quanto osservato in riferimento alla (2.28), i termini di trasporto sono
divergenze di flussi di energia. Se in un volume di controllo chiuso il flusso di energia è
18
nullo, questi termini rappresentano solamente un trasferimento di energia da un punto ad
un altro della corrente.
I termini −ui uj Sij e −2νsij sij , relativi al lavoro di deformazione, sono più importanti. La produzione turbolenta −ui uj Sij , che nel bilancio delle quantità medie costituiva
una perdita di energia per il moto medio, rappresenta nella (2.33) un termine positivo di
produzione meccanica. Invece −2νsij sij è la dissipazione viscosa, che contrasta gli sforzi
di tensione comportando una perdita di energia; essa gioca un ruolo essenziale nella dinamica della turbolenza, a differenza dell’analogo termine dissipativo presente nel bilancio
energetico del moto medio.
Nel caso particolare di un flusso continuo e omogeneo, in cui tutte le quantità medie
sono indipendenti dalla posizione eccetto Ui e in cui Sij è costante, la (2.33) si riduce a
−ui uj Sij = 2νsij sij .
(2.34)
In questa equazione, la parte di produzione di energia turbolenta dovuta agli sforzi di
Reynolds è uguale a quella della dissipazione viscosa. In generale, invece, i due termini
non si bilanciano cosı̀ esattamente, nonostante siano quasi sempre dello stesso ordine di
grandezza.
Prima di concludere è bene fare ancora una riflessione sul termine 2ν ∂u∂xi sji j , dell’equazione
2.33, che rappresenta l’effetto della dissipazione di energia turbolenta da parte della viscosità, il cui bilancio netto è sempre negativo: la viscosità dissipa sempre l’energia cinetica
della turbolenza. Tuttavia quel termine può essere scomposto in due addendi rappresentativi di due distinti effetti fisici: la dissipazione e la redistribuzione dell’energia cinetica
turbolenta. Il secondo termine, di redistribuzione, è mediamente nullo, ovvero la sua media integrale calcolata su un volume sufficientemente grande è nulla; mentre localmente
può assumere valori positivi. Questo significa che gli sforzi viscosi sono in grado di aumentare l’energia cinetica turbolenta di un volumetto di fluido. Il secondo termine di
19
dissipazione ha anch’esso bilancio netto sempre negativo.
Nelle regioni del campo di moto in cui il termine di redistribuzione agisce in modo da
aumentare l’energia di un volumetto di fluido, il termine di produzione dell’energia cinetica
turbolenta della 2.34 localmente deve cambiare segno. Questo passaggio di energia dagli
sforzi viscosi alla turbolenza può essere un fenomeno instabilizzante.
2.3.3
Le scale della turbolenza
Per interpretare correttamente la relazione (2.33), è necessario fare riferimento alle scale
caratteristiche della turbolenza. Le grandezze medie del flusso sono in relazione con i
parametri geometrici propri del sistema: indicando con l la scala delle lunghezze o scala
integrale e con u quella delle velocità, si possono definire le relazioni di scala −ui uj ∼ u2
e Sij ∼ ul .
Ciò permette di scrivere la (2.34) nella forma
CulSij Sij = −2νsij sij ,
(2.35)
dove C è un coefficiente indeterminato avente ordine di grandezza pari a uno. Poiché
il numero di Reynolds della turbolenza di grande scala, Rel = ul/ν, è generalmente
molto alto, se ne deduce che sij sij >> Sij Sij , ossia che le fluttuazioni delle velocità
di deformazione sono di ordine ben maggiore rispetto ai valori medi. Avendo inoltre
le velocità di deformazione la dimensione dell’inverso di un tempo (t−1 ), se ne deduce
che i vortici che contribuiscono maggiormente alla dissipazione di energia, hanno scale
temporali molto più piccole di quelle del flusso medio.
Si verifica, quindi, una diretta interazione tra le fluttuazioni ed il moto medio alle
grandi scale, mentre la dissipazione, se Rel è alto, avviene alle scale più piccole e veloci.
Pertanto, come si vedrà meglio parlando di dinamica spettrale alle alte frequenze, la
struttura delle piccole scale tende ad essere isotropa, cioè indipendente dalle caratteristiche
geometriche del flusso.
20
Queste considerazioni suggeriscono che la scala delle lunghezze proprie delle fluttuazioni sij debba essere molto inferiore ad l, affinché la dissipazione di energia turbolenta
bilanci la produzione. Nella turbolenza isotropa, tale dissipazione può essere valutata con
l’espressione
∂u1
ε = 2νsij sij = 15ν
∂x1
Il termine
∂u1
∂x1
2
2
.
(2.36)
viene definito come
∂u1
∂x1
2
=
u2
u21
∼
,
λ2
λ2
(2.37)
dove λ è appunto la nuova lunghezza caratteristica ricercata, denominata microscala di
Taylor, ed è anche associata alla curvatura della funzione di autocorrelazione delle velocità.
Dal bilancio semplificato (2.28) si può ottenere anche la relazione che lega la microscala
di Taylor alla scala integrale:
Au3
15νu2
,
=
l
λ2
da cui segue che il rapporto
λ
l
λ
=
l
(2.38)
è dato da
15
A
12 ul
ν
− 21
=
15
A
12
−1
Rel 2 .
(2.39)
Nelle espressioni (2.38) e (2.39), A è una costante indeterminata, presumibilmente di
ordine uno. Poiché in tutti i flussi turbolenti Rel >> 1, la microscala di Taylor è molto
più piccola della scala integrale l. Questo indica ulteriormente che la dissipazione di
energia è dovuta ai piccoli vortici della turbolenza. La microscala delle lunghezze di
Taylor non rappresenta una vera lunghezza caratteristica del campo delle fluttuazioni
delle velocità di deformazione, né la dimensione dei vortici in cui la dissipazione è molto
forte. In questo senso, non è una scala di dissipazione, perché è definita in riferimento alla
scala di velocità u, che non è rilevante nei fenomeni dissipativi. Perciò, quella di Taylor
non è la più piccola tra le scale di lunghezza presenti nella turbolenza.
21
Considerando scale di lunghezza ancor più piccole, si può supporre che il carattere
della turbolenza dipenda interamente dal flusso di energia dalle grandi scale alle piccole
e dalla dissipazione viscosa, che devono essere uguali per il bilancio energetico. Quindi,
per scale inferiori a quella di Taylor, le grandezze che caratterizzano la turbolenza sono
essenzialmente la dissipazione viscosa ε e la viscosità ν. Queste considerazioni hanno
portato Kolmogorov a formulare la sua prima ipotesi2 , secondo cui per numeri di Reynolds
elevati vi sono dimensioni molto piccole del campo turbolento dove la turbolenza è in
equilibrio universale ed è unicamente determinata dalla dissipazione viscosa per unità
di massa e di tempo e dalla viscosità cinematica; l’equilibrio è universale, perché quel
che avviene a queste scale di lunghezza è indipendente dalle condizioni esterne. Con
ragionamenti dimensionali è possibile definire la più piccola scala spaziale della turbolenza,
detta microscala di Kolmogorov, come
η=
2.3.4
ν3
ε
41
.
(2.40)
Dinamica degli spettri
Per esaminare in maniera dettagliata il trasferimento di energia dalle fluttuazioni di grande
scala a quelle di piccola scala, cui corrispondono diverse frequenze di fluttuazione, è indispensabile introdurre l’analisi spettrale, che costituisce un ottimo strumento di interpretazione del fenomeno appena descritto.
Gli spettri di potenza consentono la scomposizione di una funzione in componenti
sinusoidali di diverso periodo, se calcolati nel dominio delle frequenze, o di differenti
lunghezze d’onda, nel dominio dei numeri d’onda, e forniscono, ad una data frequenza
o numero d’onda3 , l’energia media della componente corrispondente. Si può pensare,
quindi, di utilizzare la dinamica spettrale, per studiare il modo in cui vortici di differenti
2
V’è anche una seconda ipotesi di Kolmogorov, secondo la quale, se il numero di Reynolds è molto
elevato, per le piccole scale lo spettro di energia è indipendente dalla viscosità, ma dipende solamente
dalla dissipazione per unità di massa e di tempo.
22
dimensioni si scambiano energia, ossia per capire come la turbolenza riceve energia alle
grandi scale e la trasferisce alle piccole scale, dove viene dissipata.
Un flusso turbolento varia casualmente nel tempo e nelle tre direzioni dello spazio.
Alcuni esperimenti hanno dimostrato che la velocità è una funzione casuale della posizione
o del tempo. Se essa è statisticamente stazionaria o omogenea, si può calcolare la curva di
autocorrelazione e quindi lo spettro. Quando l’autocorrelazione è funzione di un intervallo
di tempo, la variabile di trasferimento è la frequenza, f ; quando invece è funzione di una
distanza spaziale, la variabile di trasferimento è il numero d’onda, k, e lo spettro ottenuto
viene detto monodimensionale.
Questo tipo di spettro non sembrerebbe appropriato alla descrizione della turbolenza, che invece è tridimensionale: esso fornisce infatti un’informazione distorta del campo
tridimensionale, in quanto contiene al numero d’onda k contributi da parte di tutte le
componenti oblique rispetto alla direzione spaziale considerata aventi numeri d’onda più
grandi di k. Questo fenomeno è chiamato aliasing. Generalmente, uno spettro monodimensionale presenta un valore finito all’origine, proporzionale alla scala integrale. Ciò non
significa che al numero d’onda zero l’energia sia finita, ma che è stata sottoposta ad aliasing da numeri d’onda più grandi di zero. Comunque tale problema non è preoccupante
3
Le onde in questione sono soluzione dell’equazione di propagazione d’onda di D’Alambert
2
1 ∂ Ψ(x,t)
,
Cs2
∂x2
∂ 2 Ψ(x,t)
∂t2
=
per la quale si cerca una soluzione stazionaria. La velocità del suono, C s , dipende solo dalle
caratteristiche fisiche del mezzo in cui le onde si propagano.
Un’onda è stazionaria quando dipende da una sola frequenza angolare ω e da una sola fase φ, la
cui ampiezza è funzione solamente del punto che si considera. Essa si può scrivere come Ψ(x,t) =
2
A(x)
ω2
= −C
A(x) cos(ωt + φ). Derivandola e sostituendola nell’espressione precedente si ottiene: d dx
2
2 A(x).
s
Quest’ultima equazione differenziale definisce una oscillazione
armonica nello spazio, che nella forma
generale può scriversi come A(x) = A sin 2π λx + B cos 2π λx , in cui la costante λ si chiama lunghezza
d’onda e rappresenta la distanza sulla quale si manifesta un’oscillazione completa. La sua funzione nello
spazio è analoga a quella del periodo nel tempo: il periodo definisce infatti la durata di una singola
oscillazione.
2
Sostituendo le derivate della soluzione A(x) nell’equazione differenziale si ottiene − 2π
A(x) =
λ
ω2
A(x),
dal
che
si
evidenzia
il
seguente
legame
tra
la
lunghezza
d’onda
spaziale
e
la
pulsazione
tempo−C
2
s
s
rale dell’onda stazionaria: λ = 2πC
ω .
Si definisce il numero d’onda come l’inverso della lunghezza d’onda λ. Esso fisicamente rappresenta il
numero di cicli d’onda per unità di lunghezza: n = λ1 [cicli · cm− 1].
23
ad alti numeri d’onda, perché i piccoli vortici tendono ad avere la stessa dimensione in
tutte le direzioni e, quindi, ci sono poche possibilità che l’aliasing si manifesti alle piccole
scale.
Per evitare il problema dell’aliasing si potrebbero eseguire le misurazioni non lungo una direzione ma in tutte le possibili direzioni. Questo permetterebbe di definire una
funzione di autocorrelazione dipendente dal vettore distanza tra i punti di misura. La trasformata di Fourier tridimensionale produrrebbe uno spettro funzione del numero d’onda
ki . Sfortunatamente si otterrebbero molte meno informazioni manipolabili: l’aggiunta
dell’informazione riguardante la direzione elimina il problema dell’aliasing ma rende più
difficile l’interpretazione fisica dei risultati.
Per rimuovere il problema dell’informazione direzionale lo spettro è solitamente integrato su una superficie sferica. In questo modo si ottiene uno spettro funzione del
numero d’onda (scalare), il quale rappresenta l’energia totale ad esso assegnata. Questo
è chiamato spettro tridimensionale.
L’ultimo problema è dovuto al fatto che spesso le componenti di velocità u1 , u2 , u3
sono misurate separatamente, mentre per l’analisi spettrale è necessario uno spettro che
rappresenti tutta l’energia posseduta da un certo numero d’onda. Quindi, per risolvere
il problema, si sommano tra loro gli spettri di u1 , u2 ed u3 ottenendo cosı̀ lo spettro di
energia tridimensionale.
È ora necessario formalizzare quanto descritto a parole.
Il tensore delle correlazioni Rij è definito come:
Rij (r) = ui (x,t)uj (x + r,t)
(2.41)
Esso è funzione del solo vettore distanza quando la turbolenza è omogenea e pienamente sviluppata.
24
Si calcola lo spettro Φij del tensore Rij facendone la trasformata:
1
Φij (k) =
(2π)3
Rij (r) =
Z+∞
ZZ
Z+∞
ZZ
e −jk·r Rij (r) dr
−∞
e jk·r Φij (k) dk
−∞
dove k è il vettore dei numeri d’onda.
Di primario interesse è la traccia del tensore degli spettri Φii : se la si integra rispetto
ad una componente del vettore dei numeri d’onda si ottiene l’energia totale in esso contenuta. Tuttavia il risultato dipende dalla direzione scelta e per rimuovere l’informazione
direzionale in Φii (k) è necessario integrare su di una superficie sferica di raggio k, dove k
è il modulo del vettore numero d’onda, che può essere calcolato come k 2 = k · k = ki ki .
Introducendo l’elemento infinitesimo di superficie sferica dσ si ottiene lo spettro tridimensionale:
ZZ
1
E(k) = Φii (k) dσ
2
Il fattore
1
2
(2.42)
fa diventare le dimensioni dell’integrale dello spettro tridimensionale E(k)
uguali alle dimensioni dell’energia cinetica all’unità di massa:
Z
+∞
0
1
E(k) dk =
2
Z
+∞
0
ZZ
Z+∞
ZZ
1
1
1
3
Φ(k) dσ dk =
Φii (k) dk = ui ui = u2 (2.43)
2
2
2
2
−∞
In genere, si preferisce comunque utilizzare spettri monodimensionali, piuttosto che
ricorrere a quelli tridimensionali, che, pur eliminando il problema dell’aliasing, sono difficili
da ottenere e, soprattutto, troppo complessi da analizzare fisicamente, proprio perché
contengono informazioni sintetiche sull’intero campo di moto, che non permettono di
valutare compiutamente il ruolo delle singole componenti dinamiche.
Gli spettri unidimensionali più misurati sono le trasformate di Fourier unidimensionali
della correlazione longitudinale R11 (r,0,0) e della correlazione trasversale R22 (r,0,0). Gli
25
spettri unidimensionali longitudinale F11 (k1 ) e trasversale F22 (k1 ) sono definiti come:
R11 (r,0,0) =
R22 (r,0,0) =
Z
+∞
−∞
Z +∞
e jk1 r F11 (k1 ) dk1 ,
(2.44)
e jk1 r F22 (k1 ) dk1 .
(2.45)
−∞
Uno spettro monodimensionale può essere misurato impiegando una sonda che attraversa il campo delle fluttuazioni turbolente con velocità talmente elevata da far risultare
trascurabile il tempo di misura rispetto alla porzione spaziale del campo indagata. Qualora la velocità media del flusso, ui , sia molto superiore rispetto al livello delle fluttuazioni,
ui , tale condizione sperimentale viene realizzata mediante una misura di velocità a punto
fisso. Infatti, se ui >> ui , i gradienti temporali delle velocità misurate si possono ritenere
proporzionali a quelle spaziali nella direzione del moto, ossia
∂
∂
= −u .
∂t
∂x
(2.46)
x − x0 = u (t − t0 ) ,
(2.47)
In tal caso, essendo inoltre
si deduce facilmente che l’autocorrelazione temporale della serie misurata è uguale a quella
spaziale, ossia
ρ(t) = ρ(x),
(2.48)
e che lo spettro spaziale monodimensionale E(k), con k numero d’onda nella direzione
longitudinale, è legato allo spettro temporale S(f ) della serie temporale dalla relazione
E(k) = uS(f ).
(2.49)
Questa approssimazione è nota come ipotesi di Taylor della turbolenza congelata. La
sostituzione t =
x
u
è valida solo se
u
u
<< 1.
26
2.3.5
La cascata di energia
Lo scambio di energia tra il flusso medio e la turbolenza è governato dalla dinamica dei
grandi vortici, che contribuiscono maggiormente alla produzione turbolenta. Come si è
appena visto, l’energia viene infatti sottratta dalla turbolenza al flusso medio soprattutto
a scale comparabili con la scala integrale l. La dissipazione viscosa avviene, invece, a scale
delle lunghezze confrontabili con la microscala di Kolmogorov.
Deve perciò esistere un meccanismo responsabile del trasferimento di energia cinetica
dalle fluttuazioni di grande scala a quelle di piccola scala: il ruolo fondamentale in questo
processo viene assunto dalla dinamica della vorticità, ed, in particolare, dal fenomeno di
allungamento dei vortici (vortex stretching).
La vorticità, ω̃i , viene definita applicando l’operatore di rotore al vettore velocità
ω̃ = εijk
∂ ũk
,
∂xj
(2.50)
dove εijk è un tensore antisimmetrico che vale +1 se i, j, k sono in ordine ciclico, −1 se
i, j, k sono in ordine anticiclico, 0 se uno qualsiasi degli indici è ripetuto. Analogamente,
applicando lo stesso operatore alle equazioni di Navier-Stokes si ottiene la relazione che
governa la dinamica della vorticità; essa può essere scritta nella forma
∂ 2 ω̃i
∂ ω̃i
∂ ω̃i
+ ũj
= ω̃j s̃ij + ν
.
∂t
∂xj
∂xi ∂xj
(2.51)
Se allora si ignora l’influenza della viscosità, sensibile solo all’interno degli strati limite,
l’espressione che regola la dinamica della vorticità è la seguente:
dω̃i
= ω̃j s̃ij .
dt
(2.52)
Quando la vorticità si trova in un campo delle velocità di deformazione, è soggetta
ad un fenomeno di stretching. In base al principio di conservazione del momento angolare, ci si aspetta che la vorticità nella direzione di una velocità di deformazione positiva
27
sia amplificata, mentre nella direzione di una velocità di deformazione negativa venga
attenuata.
Consideriamo, ad esempio, il campo bidimensionale di figura 2.1, in cui gli assi principali delle velocità di deformazione sono allineati col sistema di coordinate. Ne deriva
che sij ha solo le prime due componenti diagonali, mentre tutte le altre sono nulle, e, per
l’equazione di continuità (2.19), risulta anche s11 = −s22 = s. Se si assume s costante per
Figura 2.1: Vortex Streching in un campo di moto. a) Prima dell’allungamento. b) Dopo
l’allungamento.
ogni t > 0 e ω1 = ω2 = ω0 per t = 0, l’espressione (2.52) si sdoppia semplicemente in
dω1
= ωs
dt
dω2
= −ωs.
dt
(2.53)
(2.54)
Questo significa che la soluzione può essere cercata con la forma:
ω1 = ω0 e st
(2.55)
ω2 = ω0 e −st
(2.56)
ω12 + ω22 = 2ω02 cosh(2st).
(2.57)
Quadrando e sommando si ottiene:
28
Eccetto che per piccoli valori di st, la vorticità totale cresce con st. La componenti di
vorticità nella direzione dello stretching cresce rapidamente mentre decresce lentamente
nella direzione che si sta accorciando, per grandi valori di st.
L’allungamento dei vortici comporta uno scambio di energia, perché la velocità di
deformazione compie un lavoro sui vortici deformati.
Poiché nel campo delle velocità di deformazione sij la produzione di energia legata alle
componenti di velocità ui ed uj è pari a −ui uj sij (per unità di massa e di tempo), con
riferimento alla situazione di figura 2.1 la velocità di scambio energetico T è fornita dalla
relazione
T = s u22 − u21 .
(2.58)
La componente di vorticità ω1 cresce ed in corrispondenza le componenti u2 e u3 aumentano sensibilmente, mentre l’attenuazione di ω2 comporta una lenta diminuzione di u1 e
u3 . Quindi si suppone che u22 cresca e u21 decresca, mentre u23 globalmente aumenti con
lentezza: la differenza u22 − u21 , sebbene inizialmente sia nulla, diventa positiva. Questo
significa che anche T diventa positivo, e quindi, il tensore delle deformazioni finisce per
esercitare un lavoro sui vortici, contribuendo ad aumentare l’energia totale.
In definitiva, un campo di moto turbolento può essere immaginato come composto
da vortici più piccoli e vortici di dimensioni maggiori. I piccoli vortici sono sottoposti al
campo delle velocità di deformazione dei vortici più grandi. A causa delle deformazioni,
la loro vorticità aumenta, e conseguentemente cresce la loro energia a spese di quella dei
grandi vortici. In questo modo si verifica un flusso di energia dalle grandi alle piccole
scale.
La velocità di deformazione dei grandi vortici è confrontabile con quella del flusso
medio. Quindi, i grandi vortici presentano una forte anisotropia dovuta alla velocità di
deformazione del flusso medio, che mantiene un preciso orientamento. Anche la velocità
29
di deformazione dei piccoli vortici è comparabile con quella del flusso medio e dei grandi
vortici, ma per essi non si può parlare di anisotropia permanente.
Ciò non significa che i piccoli vortici siano isotropi, perché il trasferimento d’energia
è possibile solo se i vortici sono orientati secondo il campo delle velocità di deformazione. Si verifica, però, un’anisotropia temporanea. I vortici di una data dimensione
sono deformati, soprattutto, da qualche vortice più grande, il cui campo delle velocità
di deformazione varia continuamente in ampiezza e direzione. Per vortici di dimensioni
inferiori, l’anisotropia decresce, cosı̀ che alle piccole scale il campo delle velocità di deformazione può essere mediamente isotropo. In altre parole la turbolenza è più disordinata
alle piccole scale, cosicchè appare perduto ogni senso di direzione permanente. Quanto
descritto viene definito isotropia locale. Essa non esiste se il numero di Reynolds non è
sufficientemente alto.
La questione è ora capire quali sono gli eddy che traggono maggiore beneficio dal
trasferimento di energia attraverso un numero d’onda k.
L’energia di tutti gli eddy di dimensione λ = 2π/k è proporzionale ad E(k) volte
p
l’ampiezza dello spettro, che è pari a k. Cosı̀ la velocità caratteristica è data da kE(k).
La dimensione di un eddy è circa 2π/k, quindi la celerità di deformazione (e la vorticità
caratteristica) di un eddy di numero d’onda k è data da:
√
√
kE
k3E
vλ
∼
=
s(k) ∼
λ
2π/k
2π
(2.59)
Ricordiamo che la celerità di deformazione dei grandi eddy è dell’ordine di u`, dove `
è la scala integrale, mentre le fluttuazioni nella celerità di deformazione alla microscala
sono dell’ordine di uλ, dove λ è la microscala di di Taylor. Quindi ci aspettiamo che la
celerità di deformazione s(k) cresca col numero d’onda.
Si vede che molta dell’energia che attraversa un numero d’onda proviene dagli eddy
con numero d’onda minore e dunque lunghezza d’onda maggiore.
30
Il trasferimento di energia dipende dalla capacità del campo di deformazione di allineare piccoli eddy in modo che essi abbiano u22 ed u21 differenti. In questo modo il campo di
deformazioni ha sopraffatto la tendenza degli eddy ad omogeneizzare u21 , u22 ed u23 . Questa
tendenza è detta “ritorno all’isotropia”. Poiché la celerità di deformazione ha come unità
di misura l’inverso del tempo, la scala dei tempi per il ritorno all’isotropia è circa pari a
1/s(k) per quegli eddy il cui numero d’onda è k. Questo significa che gli eddy ritornano in
condizioni di isotropia in un tempo dell’ordine di 1/s(k) se il campo di deformazione viene
rimosso. Gli eddy più piccoli sono quelli che ritornano più rapidamente alle condizioni di
isotropia in quanto hanno una celerità di deformazione maggiore.
Sia S la combinazione della celerità di deformazione di tutti gli eddy che hanno numero
d’onda inferiore a k, la scala temporale del campo di deformazione applicato è dell’ordine
di 1/S. Se S è grande rispetto a s(k) allora l’anisotropia è grande; se S è piccolo rispetto
a s(k) il ritorno relativamente rapido all’isotropia previene la formazione di anisotropia.
Sembra allora ragionevole assumere che il grado di anisotropia sia proporzionale a S/s(k).
L’energia trasferita da tutti gli eddy più grandi a ad un eddy di numero d’onda pari
a k è circa S 2 kE(k)/s(k) in ragione della (2.58).
Stimando l’ordine di grandezza dell’energia assorbita da tutti gli eddy al di sotto del
numero d’onda che stiamo considerando, otteniamo che essa vale circa 14 S 2 kE(k)/s(k).
Gli eddy di numero d’onda k ricevono cosı̀ circa i due terzi del flusso di energia totale,
quelli della scala immediatamente inferiore ne ricevono circa un sesto, e tutti quelli delle
scale ancora più piccole ne ricevono globalmente un altro sesto.
La maggior parte dell’energia che è scambiata attraverso un dato numero d’onda viene
dall’eddy di dimensione immediatamente più grande e va a finire nell’eddy di dimensione
immediatamente più piccola, tuttavia una piccola frazione viene fornita anche alle strutture più piccole.
Sembra più giusto definire il trasferimento di energia non come una singola cascata
31
ma come una serie di cascate più piccole, ciascuna delle quali riempie una pozza che
trabocca e riempie le pozze sottostanti. Questo concetto si dimostra molto utile quando
andiamo a pensare che gli eddy di larga scala e quelli di piccola scala non influenzano
direttamente il trasferimento di energia ai numeri d’onda intermedi. Comunque non ci
si deve aspettare molto dal modello a cascata a causa di alcune assunzioni piuttosto
grossolane. L’assunzione più forte e meno valida che è stata fatta è di stimare la scala dei
tempi di un eddy come 1/s(k), perché c’è comunque un limite viscoso su di essa: la scala
dei tempi più piccola è (ν/)1/2 e la celerità di deformazione corrispondente è dell’ordine
di (ν/)1/2 , cosı̀ il modello non è valido se s(k) e (/ν)1/2 diventano dello stesso ordine di
grandezza.
Inoltre, il modello a cascata non considera l’effetto della viscosità e potrebbe essere
applicato solamente a quelle strutture che hanno un numero di Reynolds s(k)/(k 2 ν) abbastanza grande.
La situazione non è però, ancora oggi, sufficientemente chiara. Infatti, sebbene ci si
aspetti un flusso di energia dai più piccoli ai più grandi numeri d’onda (ossia dalle basse
alle alte frequenze), non si conoscono le dimensioni dei vortici coinvolti nel trasferimento
di energia attraverso un dato numero d’onda: è infatti difficile capire se l’energia viene
fornita dai vortici più grandi di una data lunghezza d’onda o da tutti i grandi vortici
indistintamente, ed ancora se l’energia è assorbita ad un numero d’onda maggiore di un
dato valore, o a tutti i numeri d’onda maggiori.
2.3.6
Analisi spettrale
È interessante, a questo punto, entrare nel dettaglio della dinamica spettrale, allo scopo
di distinguere le diverse regioni caratteristiche di uno spettro turbolento e gli adeguati
parametri di scala.
Nella parte dello spettro in cui prevale l’isotropia locale, le scale temporali sono poco
32
confrontabili con quelle del flusso medio, e pertanto il trasferimento d’energia tra il flusso
medio e la turbolenza diventa trascurabile. I piccoli vortici sono sempre in equilibrio
approssimativo con le condizioni locali del flusso medio. Per questo motivo, tale campo
di numeri d’onda è detto campo d’equilibrio. La quantità totale di energia che arriva alle
piccole scale è il principale parametro da cui dipende lo spettro in questa zona. Essendo,
alla fine, tutta l’energia dissipata dalla viscosità, l’energia totale trasferita deve essere
uguale alla dissipazione; il secondo parametro da cui risulta dipendere lo spettro è la
viscosità stessa. Allora è possibile adimensionalizzare lo spettro, indicandolo nella forma
E(k)
5
4
ν ε
1
4
=
E(k)
= f (kη),
v2η
(2.60)
dove η è la microscala di Kolmogorov, alle cui lunghezze d’onda avvengono la maggior
1
parte delle dissipazioni viscose, mentre v = (νε) 4 è la velocità di Kolmogorov.
Può essere dimostrato che lo spettro delle dissipazioni, D(k), è dato da
D(k) = 2νk 2 E(k).
(2.61)
La dissipazione è proporzionale al quadrato dei gradienti di velocità e la presenza del
fattore k 2 nella (2.61) deriva dal fatto che l’operazione di derivazione corrisponde ad una
moltiplicazione per il numero d’onda. La dissipazione ε può allora essere espressa tramite
la seguente relazione:
ε = 2νsij sij =
Z
∞
D(k) dk =
0
Z
∞
k 2 E(k) dk.
(2.62)
0
Per piccoli numeri d’onda, invece, lo spettro è scalato in modo diverso, poiché la viscosità non è più rilevante. I principali parametri sono quelli che descrivono il trasferimento
di energia dal flusso medio alla turbolenza e dalle grandi scale alle piccole. La turbolenza
riceve la sua energia dalla velocità media delle deformazioni e trasferisce energia alle piccole scale con velocità ε. Ciò significa che lo spettro alle grandi scale dipende da S ∼
33
u
l
e
da ε ∼
u3
,
l
il che consente di adimensionalizzarlo nella forma
E(k)
3
2
ε S
− 25
=
E(k)
= F (kl).
u2 l
(2.63)
Questa relazione non ha validità universale, in quanto la scala integrale differisce in flussi
con differenti geometrie.
Consideriamo ora l’insieme dei vortici associati al numero d’onda k: essi possono essere
pensati, richiamando le proprietà delle trasformate di Fourier come disturbi di dimensione
caratteristica pari a
2π
k
nella funzione di autocorrelazione, aventi energia approssimativa-
mente proporzionale ad E(k) volte il valore di k. Pertanto, esprimendo la loro scala di
1
velocità come (kE(k)) 2 , è possibile definire la velocità di deformazione associata ad un
dato numero d’onda, s(k), tramite la relazione
1
s(k) =
(kE(k)) 2
2π
k
.
L’espressione (2.61) dello spettro di Kolmogorov è valida per
(2.64)
s(k)
S
→ ∞, cioè per kη
che resta di ordine uno ed Rel → ∞, mentre non può rappresentare le condizioni per
kη → ∞; invece lo spettro delle grandi scale dato dalla (2.64) è relativo a numeri d’onda
per i quali
s(k)
k2 ν
→ ∞ ed è quindi applicabile per kl di ordine uno e Rel → ∞, ma non
è valido per kl → ∞. Questo significa che ci sono scale viscose ad alti numeri d’onda e
scale inerziali a bassi numeri d’onda, entrambe valide per Rel → ∞.
Se fossero verificate contemporaneamente kη → 0 e kl → ∞, si potrebbe supporre
l’esistenza di una zona comune di validità per le leggi delle due scale in cui si troverebbero
assieme le più piccole scale dello spettro delle grandi scale e le più grandi scale dello spettro
di Kolmogorov. Ipotizzando allora che sia legittima una relazione del tipo kl = Re nl , con
n > 0, e derivando dalle espressioni (2.39) e (2.40) che, si ottiene:
kη = kl
η
−3
n− 3
∼ klRel 4 = Rel 4 .
l
34
(2.65)
3
4
Per valori di n compresi nell’intervallo 0 < n <
è allora possibile avere contemporanea-
mente kη → 0 e kl → ∞. All’interno di questa zona, lo spettro è dato dalla seguente
espressione:
2
5
E(k) = αε 3 k − 3 ,
(2.66)
dove α è approssimativamente pari ad 1.5.
La finestra di numeri d’onda, per i quali è valida la (2.66), è chiamata subrange
inerziale, ed è l’equivalente spettrale del sottostrato inerziale nello strato limite. Da
quanto detto, appare chiaro che la zona inerziale non esiste se Rel non è sufficientemente
alto.
2.4
La molteplicità delle scale nella turbolenza di parete
Nel seguito si affrontano, nei loro aspetti peculiari, i flussi turbolenti di parete. La presenza
di una parete solida impone infatti dei vincoli alla corrente assenti in altre condizioni
di turbolenza, quali, ad esempio, le scie o i getti. Il più importante di essi è dovuto
alla viscosità del fluido, da cui dipende la condizione di aderenza: ossia, la velocità del
fluido a contatto con la superficie solida è pari a quella della parete stessa. Ciò causa la
formazione di forti gradienti di velocità in prossimità della parete, che generano fenomeni
di instabilità su scale decisamente inferiori a quelle tipiche nel resto della corrente, dando
cosı̀ origine e sostentamento alla turbolenza. È allora opportuno considerare in termini
qualitativi il problema della molteplicità delle scale in uno strato limite.
Il vincolo viscoso lega le dinamiche del flusso ad una lunghezza caratteristica
ν
,
w
dove
ν è la viscosità cinematica e w è una velocità caratteristica del livello delle fluttuazioni
turbolente. Ad elevati valori del numero di Reynolds, definito come Re? =
dello stato limite di parete è molto maggiore di
35
ν
,
w
wd
,
ν
lo spessore
e quindi il flusso turbolento presenta
contemporaneamente due differenti scale di lunghezza. Quando poi la superficie è scabra, abbiamo, in aggiunta a quella viscosa, una scala delle lunghezze caratteristiche della
scabrezza; ma di questo non ci occuperemo.
Essendo solitamente molto minore di δ,
ν
w
non influenza l’intera corrente, ma solamente
le dinamiche di una limitata regione in prossimità della parete, chiamata appunto strato
di parete (inner layer), che presenta un comportamento diverso da quello del rimanente
strato limite e di conseguenza va trattata separatamente. La parte lontana dalla parete è
detta strato esterno (outer layer). Per gran parte dello strato limite, con esclusione dello
strato di parete, la scala caratteristica delle lunghezze è dunque lo spessore δ che risulta
appropriato, perché i vortici di larga scala hanno dimensioni ad esso comparabili.
Se la turbolenza nello strato limite è dominata dalle tensioni di Reynolds, il gradiente
∂u
∂y
deve essere dell’ordine di
w
.Questo
δ
ragionamento non può essere applicato al flusso
in prossimità della superficie solida, perché la scala è differente. La legge differenziale di
similitudine
y
w dF δ
∂u
=
,
∂y
δ dy
(2.67)
deve, quindi, essere integrata tra le zone esterne allo strato limite e la parete per ottenere
una legge di similitudine per u. Il risultato è
w
u − u0 = −
δ
Z
∞
y
y dF yδ
,
dy = −wF
dy
δ
(2.68)
dove u0 è la velocità oltre lo strato limite. Il difetto di velocità u0 −u, dell’ordine di w, non
potrà mai rispettare la condizione di aderenza alla parete u0 −u = u0 , se
w
u0
<< 1. Questo
indica che, allo scopo di soddisfare le condizioni al contorno, deve esistere uno strato di
parete, dinamicamente distinto, con un gradiente di velocità molto elevato. Se le scale
di velocità e lunghezza nello strato di parete sono, rispettivamente, w e
velocità devono essere dell’ordine di
w2
,
ν
strato esterno, che sono dell’ordine di
ν
,
w
i gradienti di
quindi molto elevati rispetto a quelli tipici dello
w
.
ν
36
Esiste una stretta analogia tra la struttura spaziale dello strato limite turbolento e
quella spettrale della turbolenza. Per alti valori di Re? , la dinamica dello strato limite
nella regione esterna è indipendente dalla viscosità, proprio come la dinamica spettrale di
larga scala della turbolenza; nello strato di parete, invece, la viscosità induce una perdita
di quantità di moto analoga alla dissipazione energetica che avviene alle piccole scale dello
spettro. Inoltre, le equazioni asintotiche, che regolano il legame tra le dinamiche di larga
e piccola scala, portano ai concetti strettamente associati di un subrange inerziale nello
spettro di energia e di un sottostrato inerziale nello strato limite. Il sottostrato inerziale
costituisce l’intervallo delle distanze y dalla parete, in cui, se Re? è sufficientemente elevato, si verificano contemporaneamente le condizioni
presumibilmente, la scala viscosa delle lunghezze,
y
δ
<< 1 ed
w
,
ν
yw
ν
>> 1. In questa regione,
è troppo piccola per controllare la
dinamica del flusso, mentre la scala esterna, c, è troppo ampia: l’unica scala rilevante è
la distanza stessa dalla parete, y. Se w è indicativa dell’intensità delle fluttuazioni turbolente di velocità, il gradiente di velocità media,
∂U
,
∂y
può dipendere solo da w ed y. Vale
dunque la relazione
∂U
w
=c ,
∂y
y
(2.69)
U
= c ln(y) + d
w
(2.70)
che si integra nella
con c e d costanti. Il profilo medio di velocità nel sottostrato inerziale è dunque logaritmico; per questa ragione, in letteratura, spesso ci si riferisce ad esso utilizzando il termine di
regione logaritmica. È d’obbligo precisare, infine, che l’analisi dei flussi di parete appena
presentata è valida solo se l’evoluzione della corrente in direzione longitudinale avviene
lentamente; se L è la dimensione longitudinale di lunghezza, è necessario che sia d << L,
affinché solo le scale trasversali d e n/w siano rilevanti nell’analisi dimensionale.
37
2.5
Analisi dei segnali
Per poter studiare il fenomeno della turbolenza e per rappresentare l’andamento delle
grandezze fisiche di interesse, sono necessari i concetti propri della teoria dei segnali e
dell’analisi statistica di serie temporali. Al fine di fornire, quindi, gli strumenti necessari
per un’indagine accurata della turbolenza, si ritiene indispensabile una breve introduzione
sull’analisi dei segnali, per definire in generale i significati fondamentali delle grandezze
statistiche, di ergodicità, energia e potenza, cosı̀ da poterle poi applicare ai segnali turbolenti.
2.5.1
Il fenomeno turbolento come processo stocastico
L’ipotesi fondamentale dell’impostazione statistica della meccanica dei fluidi è di trattare
le variabili idrodinamiche come variabili casuali, alle quali applicare le leggi della statistica.
Nel caso di flussi stazionari nella media e nella varianza l’analisi dei fenomeni turbolenti
è basata sul concetto di sistema ergodico. Prima dunque di entrare nel merito delle
considerazioni sul tempo di misura, è opportuno fare brevemente il punto e richiamare
alcuni fondamentali concetti di base.
Uno degli approcci che ha dato maggiori risultati nello studio del fenomeno turbolento
è stato quello di trattare i campi delle variabili fluidodinamiche come campi di variabili
casuali, e quindi studiarli con le tecniche matematiche della Teoria delle Probabilità.
Il punto fondamentale dell’approccio statistico sta nel considerare il processo turbolento
come processo stocastico, passando da un singolo flusso turbolento ad un insieme statistico
di flussi simili, creati cioè dallo stesso insieme di condizioni esterne al fenomeno. Per
fissare le idee, si supponga di misurare una variabile fluidodinamica x, quale ad esempio
la velocità o la pressione, in un generico punto di coordinate x? nel flusso del fluido.
Nel caso di moto laminare, dove si mantengono sempre le stesse condizioni esterne,
ogni volta che si ripete l’esperienza, ad un certo istante t? fissato si rileva sempre lo stesso
38
valore di xL (x? ,t? ).
Diversamente nel moto turbolento, a causa dei disturbi del flusso e delle condizioni
iniziali, quando si ripete n volte l’esperienza, sia pure nelle stesse condizioni iniziali ed
al contorno, si osservano diversi valori x1 (x? ,t? ); x2 (x? ,t? ); . . . ; xn (x? ,t? ). Ragionando
in questo modo si può pensare ad un numero infinito di esperienze, sempre con le medesime condizioni esterne: i flussi ottenuti sono detti simili e gli infiniti valori x i (x? ,t? )
con (i = 1,2, . . . ,n, . . . ,∞) ottenuti costituiscono “l’insieme di tutti i valori x i (x? ,t? ) ricavati nell’istante t? e nella posizione x? per date condizioni al contorno ed iniziali”, ossia
la popolazione della variabile casuale x(x? ,t? ). Il singolo valore xi (x? ,t? ), realizzazione
i-esima del processo studiato, è quindi la i-esima estrazione a caso della popolazione della
x(x? ,t? ).
Posto cosı̀ il problema della turbolenza come complesso fenomeno stocastico (Kolmogoroff e la sua scuola, Kampè de Fèrièt) è possibile definire mediante strumenti statistici
alcuni concetti che interverranno in seguito: i concetti di media, di stazionarietà e di
ergodicità.
Riprendendo l’esempio precedente, la popolazione della variabile x(x? ,t? ) è definita da
una funzione di densità di probabilità p [x(x? ,t? )] e descritta nelle sue principali caratteristiche dai momenti statistici.
Si definisce media d’insieme della variabile x(x? ,t? ) il momento del primo ordine della
sua popolazione; tale valore può essere indicato con la notazione hx(x? ,t? )i.
Esso rappresenta la media di tutte le possibili realizzazioni del processo stocastico
considerato. Se si considerano altri punti di osservazione x, oppure diversi istanti di
misura t, si individuano altre variabili statistiche x(x,t), in numero pari alle coppie (x,t)
considerate. Ciascuna di tali variabili è definita da infinite realizzazioni e quindi ognuna
di esse ha la propria media d’insieme
hx(x,t)i = f (x,t),
39
(2.71)
evidentemente anch’essa ancora funzione sia del punto di osservazione x, sia dell’istante
di misura t. Quando in ogni punto x del campo di moto in studio tale media d’insieme
non dipende dall’istante di misura t ma si mantiene costante, il flusso si dice stazionario
nella media. Si scrive quindi
hx(x,t)i = f (x).
(2.72)
Dunque spostando l’origine dei tempi la media d’insieme non cambia: fissata la generica posizione spaziale x? del punto di misura nel flusso, la media di tutte le realizzazioni
di ogni variabile statistica x(x? ,t), ottenuta al variare di t, è indipendente dal tempo.
Analogamente, si parla di flusso stazionario nell’n-esimo momento.
Rimanendo nell’ambito dei flussi stazionari, si definisce il concetto di ergodicità. Il
concetto di media appena definito è in generale differente da quello di media temporale
che usualmente viene utilizzato nella pratica sperimentale, definito come
1
XT (x) =
T
Z
t0 +T
x(x,t)
(2.73)
t0
dove si considera una sola registrazione che, nel punto x, si protrae per un intervallo
di tempo T a partire dal generico istante t0 , mediata sull’intervallo stesso. Operando
in tal modo si raccoglie una sola realizzazione per ognuna delle variabili casuali x(x ? ,t),
campionata per ciascun istante t di misura che cade nell’intervallo [t0 ,t0 + T ].
Sarebbe cosı̀ impossibile valutare una media di insieme, poiché di ciascuna popolazione si avrebbe una sola estrazione a caso, mentre l’unica media possibile sarebbe quella
temporale, dove però si mescolano realizzazioni appartenenti a popolazioni differenti. La
differenza fra le due medie costituisce un enorme ostacolo nella sperimentazione; infatti
per ottenere delle stime di x(x? ), che è il valore di reale interesse in tutte le considerazioni
sperimentali e teoriche, sarebbe necessario ripetere n volte la stessa esperienza, con tutte
le immaginabili difficoltà operative.
40
Quando è possibile affermare con certezza, ossia con probabilità pari a i, che la media
di insieme è pari alla media temporale calcolata su di un tempo infinito allora la variabile
si dice ergodica. In termini matematici si scriverà
lim |xt − x|2 = 0.
T →∞
(2.74)
Ciò autorizza, per stimare la media x(x? ), a sostituire le n realizzazioni della stessa esperienza con la media temporale valutata su di un’unica prova, con l’enorme vantaggio di
rendere statisticamente possibile la sperimentazione su flussi turbolenti. Grazie al teorema ergodico, di cui si dirà successivamente, è possibile dimostrare che i flussi turbolenti
stazionari possono essere assunti ergodici. Tale teorema diviene cosı̀ uno dei capisaldi
delle analisi teoriche e sperimentali della Meccanica dei Fluidi Statistica.
2.5.2
Introduzione all’analisi statistica dei segnali
Si fa riferimento ad un segnale generico x(t), reale, definito nell’intervallo finito o infinito (a,b); le proprietà che verranno evidenziate potranno tuttavia essere estese a segnali
complessi e definiti anche in più dimensioni.
Un segnale può essere continuo, x(t), oppure discreto, x̃(tj ), con j = 1, . . . , n; a < t < b
con i vari tj equispaziati o distribuiti in modo casuale nel tempo. I segnali continui si
distinguono in deterministici e casuali; sono del primo tipo quando traggono origine da un
fenomeno fisico esprimibile in forma analitica, mentre sono detti casuali se la grandezza
fisica che rappresentano dipende da un numero troppo elevato di fenomeni e risulta possibile solo uno studio numerico statistico. In realtà anche i segnali cosiddetti deterministici
possono essere non predicibili e presentare quindi un comportamento “caotico”: è questo
il comportamento aperiodico proprio di molti segnali generati da sistemi dinamici non
lineari frequentemente studiati in questi ultimi anni.
Un segnale x(t), definito su un intervallo infinito, per il quale i valori medi non sono
funzioni del tempo, viene detto statisticamente stazionario. Solo in tale situazione si può
41
parlare di media temporale, definita come
1
x = lim
T →∞ T
Z
T
x dt.
(2.75)
0
Nella pratica sperimentale, si usa scomporre il segnale in una componente media x,
indipendente dal tempo, e in una fluttuante x con media nulla
x̃ = x + x
(2.76)
Molte delle considerazioni che verranno fatte in seguito si riferiscono in genere a serie
temporali a cui già è stato sottratto il valore medio. Si definisce energia del segnale x(t)
la grandezza
ε(x) =
Z
b
a
|x(t)|2 dt.
(2.77)
Se questa ha un valore finito, si dirà che il segnale x(t) ha energia finita. Nella realtà
fisica tutti i segnali sono ad energia finita; un segnale nasce infatti come risposta ad
una data sollecitazione, non raggiunge valori infiniti in nessun istante di tempo e tende a
smorzarsi al cessare dello stimolo che l’ha generato: da queste condizioni deriva un’energia
finita.
Oltre alla classe dei segnali ad energia finita, una classe di segnali di particolare interesse è la classe dei segnali periodici, definiti dalla relazione
x(t + T ) = x(t).
(2.78)
I segnali periodici costituiscono un caso particolare di una classe più vasta di segnali,
per i quali la potenza media, definita come
1
P (x) = lim
a→∞ a
Z
+a/2
−a/2
|x(t)|2 dt
(2.79)
è finita; tutti i segnali per i quali è verificata la (2.79) sono denominati segnali a potenza
media finita e tali sono, ad esempio, i segnali stazionari. Si noti che questi segnali sono
42
tutti ad energia infinita, perché soltanto in questo caso la potenza media può essere non
nulla.
Anche se in realtà non esistono segnali a potenza media infinita; tuttavia essi costituiscono un’ottima approssimazione di segnali che si ripetono con una certa regolarità in
un intervallo di tempo cosı̀ ampio da potersi considerare infinito. Tale segnale è costituito
da una successione di brevi segnali tutti della stessa forma, ma con ampiezza che assume
valori positivi o negativi senza una regola apparente.
2.5.3
Descrizione statistica di un segnale
Per studiare una serie temporale, è necessario capire come le fluttuazioni presenti in essa
sono distribuite intorno al valore medio e come ogni valore è legato agli altri nel tempo e
nello spazio. Tale studio necessita dell’introduzione della funzione densità di probabilità
e dei momenti statistici ad essa relativi.
2.5.3.1
Funzione densità di probabilità
Volendo studiare una grandezza fluttuante stazionaria, una delle prime cose che interessano è la valutazione della frazione di tempo totale che la variabile x̃(tj ) spende ai diversi
valori che può assumere; queste informazioni sono contenute nella funzione densità di probabilità, che indica appunto la probabilità che la grandezza x̃(tj ) assuma un certo valore
particolare.
Si suppone di aver registrato le variazioni nel tempo della funzione x̃(tj ). Fissata una
finestra ∆x̃ ad una certa altezza, si misura il tempo in cui la x ha assunto valori compresi
nella finestra.
La somma di tali tempi
P
∆t, rapportata al tempo totale T fornisce la frazione di
tempo spesa da x tra i due livelli. Spostando la finestra ∆x̃ successivamente ad altezze
diverse, si ottiene allora una funzione simile a quella mostrata sulla destra della figura
2.2.
43
Figura 2.2: Funzione densità di probabilità di una variabile stazionaria.
Poiché però la frazione di tempo spesa entro due livelli è proporzionale all’ampiezza
della finestra stessa, risulta conveniente definire una quantità B(x̃), sempre indicativa del
modo di fluttuare di x̃(tj ), ma al tempo stesso indipendente dall’ampiezza della finestra,
come
∆
1X
∆t.
T →∞ T
B(x̃)∆x̃ = lim
(2.80)
La funzione B(x̃) è chiamata funzione densità di probabilità. Questa definizione mostra
appunto come la probabilità che il segnale si trovi tra x̃ e x̃ + ∆t è proporzionale al tempo
trascorso nella finestra stessa.
Poiché rappresenta una frazione di tempo, B(x̃) è sempre positivo e la somma dei
valori B(x̃) per tutte le x̃ deve essere uguale ad uno, cioè
B(x̃) ≥ 0,
Z
+∞
B(x̃) dx̃ = 1
(2.81)
−∞
La forma di B(x̃) dipende naturalmente dall’andamento della serie.
La figura 2.2 ad esempio ha la tipica forma della densità di probabilità di una grandezza turbolenta, mentre in figura 2.3 è rappresentata la funzione densità di probabilità
relativa ad una funzione sinusoidale. Senza entrare nel dettaglio, si osserva solamente che
44
Figura 2.3: Densità di probabilità di una funzione sinusoidale.
la trasformata di Fourier della funzione densità di probabilità viene detta funzione caratteristica, ed è molto utilizzata nello studio della probabilità composta tra più variabili.
2.5.3.2
Momenti statistici
E’ possibile ora esprimere le grandezze medie temporali in termini di B(x̃). Si supponga
di avere una funzione f (x̃); la media temporale
1
f = lim
t→∞ T
Z
t0 +T
f (x̃) dt
t0
può anche essere espressa come
f=
Z
+∞
f (x̃)B(x̃) dx̃.
(2.82)
−∞
Nello studio del comportamento statistico sono di particolare interesse i valori medi
delle potenze di x̃, che sono chiamati momenti; il momento dei primo ordine è il valore
medio, o media, definito come
x=
Z
+∞
x̃B(x̃) dx̃.
(2.83)
−∞
Come già accennato, negli studi sperimentali il valore medio viene sempre sottratto
dalla serie fluttuante x̃(t), per cui risulta
B(x̃) = B(x̃ + x)
45
(2.84)
E’ comodo allora utilizzare una funzione densità di probabilità B(x), ottenuta traslando B(x̃) di una quantità lungo l’asse x̃. I momenti formati con xn e B(x) sono chiamati
momenti centrati; il momento centrale del primo ordine vale, ovviamente, zero.
Il momento centrale del secondo ordine, o varianza, è definito come
2
σ =
x2
=
Z
+∞
2
x B(x̃) dx̃ =
−∞
Z
+∞
x2 B(x) dx.
(2.85)
−∞
La radice quadrata della varianza, σ, è lo scarto quadratico medio e rappresenta un
indice della larghezza di B(x), ossia di quanto i valori x(t) sono dispersi attorno al valore
medio nullo. Il valore della varianza non è influenzato dalla mancanza di simmetria di
B(x) intorno all’origine.
Il momento centrale del terzo ordine, è definito come
x3
=
Z
+∞
x3 B(x) dx
(2.86)
−∞
e dipende soltanto dalla mancanza di simmetria in B(x): se B(x) è simmetrico rispetto
all’origine, allora x3 è nullo. Per avere una misura adimensionalizzata dell’asimmetria, si
introduce lo skewness:
1
x3
Sk = 3 = 3
σ
σ
Z
+∞
x3 B(x) dx
(2.87)
−∞
Il suo significato è esplicato nella figura 2.4.
Il momento del quart’ordine adimensionalizzato è chiamato kurtosis:
1
x4
Ku = 4 = 4
σ
σ
Z
+∞
x4 B(x) dx
(2.88)
−∞
ed il suo significato è evidenziato in figura 2.5.
Il coefficiente kurtosis è alto se il valore di B(x) nelle code della funzione densità di
probabilità è alto, ed inoltre, essendo adimensionalizzato con σ 4 , non contiene informazioni
sulla larghezza di B(x).
46
Figura 2.4: Funzione con skewness positivo.
Figura 2.5: Funzioni con valore di kurtosis
alto e basso.
47
48
GRANDI E PICCOLE SCALE NELLA TURBOLENZA DI PARETE
Capitolo 3
Turbolenza di parete
3.1
Lo strato limite turbolento in breve
Secondo il concetto introdotto da Prandtl nel 1904, lo strato limite è quella parte di fluido
a contatto di un corpo nella quale la velocità passa dal valore di velocità del corpo a quello
del fluido lontano dal corpo stesso. Nel caso di un canale od un tubo lo strato limite è la
porzione di fluido che si localizza in prossimità della parete.
Esso viene comunemente suddiviso in due zone, riportate nella figura 3.1: lo strato
a contatto con la parete, detto inner layer ed uno strato superiore, detto outer layer.
Quando lo strato limite si sviluppa su fondo liscio gli effetti viscosi persistono in uno strato
estremamente sottile, chiamato sottostrato laminare o viscoso, che appartiene all’inner
layer, nel quale si localizza il maggior gradiente di velocità.
Nonostante il termine “sottostrato viscoso” possa far pensare a un’evoluzione del fluido
di tipo laminare, la realtà si presenta piuttosto varia, infatti il campo di velocità longitudinale è organizzato in strette striscie a bassa ed alta velocità, tra loro alternate, le
quali sono persistenti e relativamente in quiete per buona parte del tempo. La maggior
parte della produzione di turbolenza avviene nell’inner layer durante violente ed intermittenti eiezioni da parete di fluido a bassa velocità, seguite poi da spazzate di fluido
veloce proveniente dagli strati esterni. Il processo di produzione turbolenta nei pressi
della parete, normalmente denominato bursting, è considerato un processo quasi ciclico,
Figura 3.1: Profili di velocità in un flusso turbolento in corso di sviluppo e pienamente
sviluppato, in un canale a pelo libero.
autosostenente, la cui dinamica non è ancora nota.
Nella regione esterna vi sono strutture di larga scala, tridimensionali, separate da valli
di fluido irrotazionale attraverso le quali viene attirato fluido della regione a potenziale;
al di sotto di queste strutture se ne osservano delle altre, larghe e debolmente rotazionali.
Si pensa che queste strutture in qualche modo diano il via agli eventi che si sviluppano
a parete, ma questi seguono la loro dinamica. Gli eventi che si sviluppano nella regione
esterna hanno un effetto definito sui processi di produzione turbolenta di parete ma non
sono in grado di controllarli; tale effetto sembre essere in parte dipendente dal numero
di Reynolds. Le relazioni dinamiche tra le piccole scale di parete, delle regioni in cui la
produzione di energia è forte e le scale grandi scale delle strutture esterne non è ancora
ben compresa. Inoltre non si è ancora verificato se le strutture di parete interagiscono tra
di loro anche in senso orizzontale, sul piano della parete, oltre che verticalmente.
Tecniche di visualizzazione hanno dimostrato l’esistenza di vortici con la forma di un
ferro di cavallo, o di forcina, i quali nella loro evoluzione giocano un ruolo fondamentale
49
Figura 3.2: Modello concettuale di Smith.
nella produzione turbolenta. Smith (1984) propone un modello concettuale relativamente
semplice per spiegare la cinematica e la dinamica dell’evoluzione dei vortici a forcina e
la loro relazione con le striscie di bassa velocità, le spazzate e le eiezioni (figura 3.2).
Smith propose che il ciclo di bursting inizi con il sollevamento di una striscia a bassa
velocità e la formazione di un vortice a ferro di cavallo, disposto trasversalmente alla
corrente, causata dall’instabilità del moto ad altezze maggiori; una volta formatosi, il
vortice si solleva per autoinduzione e si muove lungo il flusso seguendo il gradiente di
velocità. Le zampette del vortice rimangono vicino a parete ma vengono stirate; esse
formano degli altri vortici controrotanti che agiscono come pompe, allontanando fluido
da parete e accumulandolo tra di loro. La coalescenza di queste zampette, provenienti
da vortici differenti ed a lungo stirate, sembra essere il meccanismo col quale le striscie a
bassa velocità si formano e si mantengono per lunghezze molto superiori alla dimensione
longitudinale di qualunque altra struttura presente. Una volta staccatesi da parete, queste
strutture vorticose evolvono per tutta l’altezza dello strato limite.
Nel presente lavoro si effettueranno misure di velocità all’interno di un canale, all’imbocco
del quale si forma uno strato limite laminare; dopo un certo tratto iniziale questo tipo di
50
moto diventa instabile e si ha l’insorgere della turbolenza. Dato che l’altezza dell’acqua
non sarà mai molto grande, lo strato limite occuperà tutta l’altezza della corrente fino al
pelo libero; in questi casi si parla di flusso completamente sviluppato.
Per descrivere ciò che succede nello strato limite è interessante definire l’andamento
lungo lo strato limite delle velocità medie e dei momenti statistici di ordine superiore al
primo, che danno utili informazioni sulla dinamica del flusso. Inoltre, la conoscenza di due
componenti di velocità, longitudinale e verticale, nel caso di moto che può considerarsi
piano, permette di individuare il contributo degli eventi di ejection e sweep alle tensioni
di Reynolds −ρu0 v 0 ; tale contributo sarebbe certamente nullo se i moti e le componenti di
velocità delle particelle non fossero fisicamente correlati.
Negli anni 0 70 si sono sviluppate tecniche che prendono il nome di campionamento
condizionato, il cui scopo è definire quali sono i parametri che generano la scala della frequenza dei burst e l’entità media dei picchi di velocità durante la produzione di turbolenza
al variare delle condizioni di moto; il campionamento condizionato era inoltre motivato
dalla ricerca delle cause della generazione e dell’autosostentamento della turbolenza, cercando di comprendere le differenti influenze della parete e dello strato esterno.
Grande importanza assumono poi le caratteristiche della parete. La maggioranza degli
studi effettuati si riferisce al moto di fluidi a contatto con pareti idraulicamente lisce,
mentre minori sono quelli con superfici scabre, a causa dell’aumento della complessità del
moto e delle difficoltà sperimentali.
La presente tesi riguarda lo studio dello strato limite di un fluido in presenza di parete
ed intende studiare come cambia la struttura dei moti coerenti, in funzione dell’altezza,
all’interno del campo di moto turbolento apparentemente disordinato. Prima di giungere a tali risultati si premette uno studio statistico “classico” per evidenziare alcune
caratteristiche del campo di moto.
51
3.2
Strutture coerenti di parete
Particolarmente significativa è una recente definizione proposta da Robinson (1991):
Una struttura coerente è una regione tridimensionale di un flusso turbolento nella quale almeno una variabile fondamentale (velocità, densità, temperatura, . . . ) mostra una significativa correlazione con se stessa o con un’altra
variabile su un intervallo spazio-temporale decisamente più ampio della più
piccola scala locale del flusso.
Generalmente, tuttavia, con il termine di strutture coerenti si indicano soprattutto
quelle aventi dimensioni caratteristiche dell’ordine della scala spaziale tipica del fenomeno
considerato (sia essa l’altezza dello strato limite o il diametro del condotto o lo spessore del
getto, . . . ) e dunque strettamente connesse alla configurazione geometrica della corrente;
la definizione fornita da Robinson include dunque al suo interno anche regioni di moto
correlate su scale spaziali minori, intermedie tra la scala integrale e la microscala di
Kolmogorov, che, come si vedrà, hanno grossa importanza soprattutto nella dinamica dei
flussi turbolenti di parete.
Una delle principali caratteristiche delle strutture coerenti è quella di presentarsi
sempre spazialmente non sovrapposte: ognuna di esse occupa una porzione di spazio
autonoma. Pertanto il modello a cascata, presentato nel paragrafo 2.3.5, resta valido per
descrivere il meccanismo di scambio energetico tra la parte coerente e quella incoerente
del moto, ma non può essere esteso alle interazioni fra strutture coerenti: queste risultano
tipicamente non lineari e coinvolgono processi di unione tra coppie (pairing) e di scissione
di una singola struttura in due elementi (tearing), come evidenziato da Hussain (1986).
Sin dalla loro scoperta, tuttavia, lo studio delle strutture coerenti nelle correnti turbolente è stato sempre condizionato dalla efficacia e dalla precisione dei metodi adottati per
la loro identificazione. Per quanto oggi sia ormai universalmente riconosciuta la centralità
52
della funzione che esse hanno nel meccanismo di produzione dell’energia turbolenta, la
loro individuazione resta un problema estremamente complesso, soprattutto per quanto
concerne i flussi turbolenti di parete.
In questo capitolo si concentrerà l’attenzione proprio sulle strutture coerenti di parete,
illustrando le tecniche che nel corso degli anni sono state utilizzate per la loro identificazione. Si farà riferimento in maniera particolare ai metodi sperimentali che abbiamo
adottato nel presente lavoro, sia a quelli di visualizzazione diretta delle strutture coerenti
mediante l’uso di traccianti, soffermandosi non solo sugli aspetti tecnici ma anche sul loro
fondamentale contributo nel far luce sull’argomento.
Se nella fase di transizione da moto laminare a turbolento o nei flussi eccitati artificialmente l’operazione di identificazione delle strutture coerenti risulta generalmente
abbastanza semplice, nella turbolenza di parete completamente sviluppata tali strutture
sono inserite all’interno del più ampio comportamento caotico del campo turbolento circostante e quindi la loro distinzione presenta difficoltà molto maggiori. In questi casi, il
campo di moto può essere visto come la risultante di tre componenti (una legata al moto
medio, una costituita dalle strutture coerenti di larga scala fluttuanti in modo aperiodico
ma comunque organizzato, ed una dovuta alle fluttuazioni quasi-casuali di piccola scala),
che non sono additive, ma fortemente interagenti dinamicamente. Dunque la componente
coerente non è solo mascherata da quella non organizzata, ma viene da essa anche condizionata e distorta. A questo si aggiunga infine che non esiste un solo tipo di struttura
coerente: esse differiscono da corrente a corrente ed anzi ne esistono forme o manifestazioni
diverse nella stessa corrente.
I metodi di visualizzazione rappresentano storicamente il primo approccio di tipo sperimentale nel campo della turbolenza di parete. Per quanto il loro utilizzo sia circoscritto
a correnti con bassi numeri di Reynolds e consenta di ottenere informazioni di carattere solamente qualitativo, le visualizzazioni, mostrando le relazioni spazio-temporali tra
53
le varie componenti del moto, hanno costituito negli anni un supporto indispensabile
all’elaborazione di modelli concettuali che evidenziassero i nessi dinamici tra le strutture
coerenti.
3.2.1
Considerazioni sui metodi di visualizzazione delle strutture coerenti
I metodi di visualizzazione di flussi turbolenti consentono di desumere le proprietà dinamiche della regione d’esame dalla marcatura delle particelle fluide, evidenziate nel loro
moto con un opportuno sistema di illuminazione. La scelta della sostanza marcante risulta di fondamentale importanza per conseguire risultati soddisfacenti e deve dunque
rispondere a requisiti ben precisi. È infatti necessario che il tracciante sia costituito da
particelle insolubili nel fluido e di dimensioni molto modeste (nell’ordine dei micron), cosı̀
da mettere in risalto le caratteristiche della turbolenza anche alle scale più piccole; esso
deve inoltre avere densità all’incirca pari a quella del fluido, affinché il moto delle particelle marcate non risulti distorto, ma sia effettivamente rappresentativo dell’andamento
della corrente nella zona d’interesse.
Una tecnica classica per i flussi turbolenti in acqua è quella che prevede l’iniezione di un
tracciante liquido, in genere un colorante o una sostanza fluorescente, all’interno del flusso
turbolento. Si tratta di un procedimento ormai sperimentalmente ben collaudato, visto
l’ampio numero di studi in cui è stato adottato. Si ricordano, tra gli altri, Runstadler et
al. (1963), Schraub e Kline (1965), Kim et al. (1968; 1971), Offen e Kline (1974), Bogard
(1982), Bogard e Tiederman (1983; 1986; 1987), Luchik e Tiederman (1987), Tubergen e
Tiederman (1993). L’immissione del tracciante può essere realizzata tramite una fessura
di parete, cosı̀ da poter indagare la regione interna dello strato limite, o un iniettore
immesso nel flusso (generalmente un tubo sottilissimo) allo scopo di visualizzare quella
esterna.
54
È necessario che la portata di tracciante immessa sia sufficientemente contenuta, per
evitare che possa trasformarsi in un getto, dando luogo a disturbi che possono condurre
alla formazione di vortici. In particolare, nel caso venga utilizzato un iniettore, conviene
contenerne il più possibile le dimensioni ed ubicarlo in modo che risulti inclinato rispetto
alla parete di circa 55◦ nella direzione della corrente: infatti, come verificato da Offen
e Kline (1974), questa collocazione consente di minimizzare la dimensione dei vortici
eventualmente generatisi. In alternativa, è possibile l’utilizzo di piccole bolle gassose
disperse nella corrente liquida, preferibilmente di piccolo diametro, d < 10 µm, come
consigliato da Hinze (1975). In questo caso, la differenza di densità rispetto alle particelle
d’acqua può costituire un limite, e circoscrive il campo di applicazione a correnti lente che
presentino fluttuazioni turbolente di bassa frequenza. Le prime sperimentazioni in tale
senso venivano generalmente realizzate tramite l’immissione di bolle d’aria nella corrente;
ricordiamo quelle più significative eseguite da Willmarth e Lu (1966), Coantic (1967) e
Gupta (1970).
Ben presto, però, la soluzione proposta da Schraub e Kline (1965), che consiste nella
produzione di bolle di idrogeno direttamente all’interno del fluido tramite elettrolisi (senza
immissione di sostanze esterne), si è rivelata una delle più seguite nel corso degli anni,
come testimoniano le applicazioni di Davis e Fox (1966), Kline (1967), Clark (1968), Grass
(1971), Kim (1971), Offen e Kline (1974), Achia e Thompson (1976), Smith (1978), Smàh
e Paxson (1983), Talmon (1985), Lu e Smith (1985; 1991), Brereton e Hwang (1994).
La tecnica prevede l’utilizzo di un filo di platino, che ha funzione di catodo, disposto
perpendicolarmente rispetto alla direzione di moto principale e parallelamente alla parete
(ossia lungo la direzione trasversale), avente diametro d generalmente compreso tra 10 e
50 µm; la parete stessa invece costituisce l’anodo. Il circuito viene collegato a un generatore di tensione la cui polarità si inverte ad intervalli regolari di tempo (con frequenza
usualmente prossima ai 20 Hz), che consente di ottenere la formazione al catodo di bolle
55
di idrogeno (di diametro φ, con 0.5d < φ < d ), disposte su linee parallele al filo di platino.
Spesso al filo trasversale ne viene affiancato uno normale alla parete, allo scopo di generare
una doppia linea di bolle. Il tempo di vita delle linee di idrogeno, che pure si dissolvono
rapidamente in acqua, è comunque sufficiente a rendere significativa la loro osservazione.
Un procedimento analogo applicato recentemente (Rashidi e Banerjee (1988), Kaftori et
al. (1994)) è quello che prevede la generazione, sempre per via elettrolitica, di bolle di
ossigeno. In questo caso, il filo di platino funge da anodo, mentre il catodo viene messo
in posizione più avanzata, rispetto alla direzione del flusso.
Un’altra tecnica di visualizzazione ampiamente diffusa sia per flussi turbolenti in acqua
sia soprattutto in aria, utilizza olio per macchine, che vaporizzando origina una sottile
nebbia di piccole goccioline (con dimensioni dell’ordine dei micron), indicata col termine di
fumo. Tra le sperimentazioni basate su questo metodo, citiamo i lavori di Tani e Sakagami
(1962), Fernholz (1964), Falco (1977; 1979; 1980; 1987), Corke et al. (1980), Swearingen
e Blackwelder (1987), Goldstein e Smith (1993). È possibile immettere direttamente nel
flusso le goccioline da una o più fessure di parete, oppure adottare un procedimento più
sofisticato, che consiste nello scaldare a resistenza un sottile filo di platino (con spessore di
circa 50 µm disposto trasversalmente all’interno della corrente e precedentemente immerso
nell’olio: il calore vaporizza la pellicola d’olio formatasi attorno al filo, originando cosı̀ dei
sottili fogli orizzontali costituiti da svariati filamenti di fumo.
Soluzioni di altra natura vengono sperimentate se si utilizzano per la visualizzazione
fluidi differenti. Ad esempio, Corino (1965), Corino e Brodkey (1969) e Fishler e Brodkey
(1991) adottano il tricloroetilene, che presenta rispetto all’acqua il vantaggio di avere un
indice di rifrazione molto vicino a quello del vetro. In questi casi, per marcare il fluido,
si introducono nella corrente particelle colloidali in sospensione, generalmente costituite
da ossido di magnesio ed aventi dimensione inferiore ai 20 µm. Per quanto concerne la
scelta del tipo di illuminazione, questa risulta molto legata all’apparato sperimentale ed
56
ai sistemi di ripresa adottati. Tuttavia anche il tipo di tracciante influenza tale scelta. In
particolare, per ottenere una buona resa visiva quando si impiegano traccianti liquidi, è
opportuno utilizzare una luce diffusa alle spalle del dispositivo di ripresa; al contrario, negli
altri casi, soprattutto in presenza di bolle di idrogeno e particelle colloidali, si preferisce
ricorrere ad una o più sorgenti puntuali particolarmente intense.
3.2.2
Tipologia delle strutture coerenti nella turbolenza di parete
L’evidenza sperimentale ha mostrato, nel corso degli anni, la presenza di un’ampia gamma di moti coerenti nelle varie regioni dello strato limite turbolento, contraddistinti da
diverse caratteristiche strutturali. Il campo di velocità longitudinale nel sottostrato viscoso è organizzato in un’alternanza di sottili strisce di fluido ad alta e bassa velocità,
relativamente quiescenti e durevoli nel tempo. Nella zona di sovrapposizione, i violenti
ed intermittenti scoppi (ejections) delle strisce a bassa velocità e la penetrazione di fluido proveniente dalla regione esterna (sweeps) sono responsabili del picco di produzione
turbolenta: i due eventi sembrano susseguirsi in un processo quasi-ciclico, generalmente
indicato con il nome di bursting. Alle stesse ejections sembra associata la formazione di
sottili strati d’attrito (shear layers), contraddistinti da forti gradienti locali di velocità che
si verificano quando masse di fluido veloce incontrano l’ostacolo di elementi più lenti.
Nella zona esterna, si osservano invece strutture di larga scala, con dimensioni dell’ordine dello spessore dello strato limite (nel caso di correnti in condotti circolari coincidente
con il raggio del tubo), che appaiono come rigonfiamenti (bulges) caratterizzati dalla presenza al loro interno di corpi debolmente rotazionali (tipical eddies) e separati ai margini
da ampie e profonde vallate. L’impatto di fluido veloce sulla parte posteriore di queste
strutture porta spesso alla formazione di shear layers legati ai gradienti macroscopici della
componente assiale di velocità, e dunque aventi dimensione dell’ordine dello spessore dello
57
Figura 3.3: Vortici a ferro di cavallo (Robinson 1991).
strato limite, ben maggiori rispetto a quelle degli strati di scorrimento che si generano
nella regione interna.
L’intero strato limite è infine attraversato da vortici longitudinali e trasversali di varia forma e dimensione, che hanno un ruolo essenziale nel trasporto del momento della
quantità di moto tra la zona interna e quella esterna. A bassi numeri di Reynolds sembrano articolarsi in una caratteristica struttura a forcina (harpin-shaped vortices) che
va evolvendosi al crescere del numero di Reynolds verso una configurazione a ferro di
cavallo (horseshoe-shaped vortices), come mostrato in figura 3.3. In figura 3.4 vi è una
visualizzazione di tali vortici, realizzata mediante in aria usando del fumo come tracciante.
Se lo stato attuale delle conoscenze consente ormai l’individuazione dei vari tipi di
strutture coerenti presenti nei flussi turbolenti di parete, restano invece per molti versi
ancora incerti i nessi dinamici tra le stesse. In particolare, uno dei temi più controversi, che
è stato per lungo tempo ed è tuttora oggetto di studi, è quello che riguarda le interazioni
fra le strutture della regione interna e di quella esterna; o meglio la maniera in cui le
strutture di grande scala ed i vortici sono coinvolti nel processo di bursting (si veda al
58
Figura 3.4: Visualizzazione di vortici a ferro di cavallo (Perry et al. 1981).
riguardo il paragrafo 3.2.2).
3.2.3
Evoluzione dello studio sulle strutture coerenti di parete
Come suggerito da Robinson (1991), sembra conveniente, per quanto schematico, suddividere l’evoluzione storica degli studi condotti sulle strutture coerenti nei flussi turbolenti
di parete in quattro fasi fondamentali.
Quello che va dal 1932 sino alla fine degli anni ’50 può essere considerato il periodo
della scoperta. Proprio nel 1932, infatti, i primi esperimenti di Fage e Townsend, contraddicendo le teorie più in voga al momento, mostrano come quello che si instaura in regime
turbolento in prossimità della parete non sia uno strato di vero moto laminare: nel corso dei loro esperimenti vengono osservate delle importanti fluttuazioni nella componente
trasversale della velocità, che chiaramente indicano che il flusso alla parete risulta essere
quanto meno bidimensionale.
Durante questo periodo, grazie ai primi tentativi di utilizzo di tecniche di visualizzazione, di correlazione spazio-temporale e dei primi schemi di campionamento condizionato,
59
viene messa in evidenza la presenza di strutture coerenti alla parete e la loro presunta
importanza nel meccanismo di trasporto turbolento.
A partire dagli inizi degli anni ’60, prendono decisamente piede le tecniche che utilizzano l’iniezione di traccianti nella regione del moto che interessa studiare. Si apre cosı̀
quella che può essere definita la fase della visualizzazione. La semplice osservazione o
la registrazione fotografica degli elementi evidenziati dai traccianti nella loro evoluzione,
coadiuvata a volte da misurazioni di tipo quantitativo, fornisce una informazione più precisa e una opportuna visione tridimensionale del fenomeno esaminato. L’inconveniente
maggiore rimane però il limitato campo di numeri di Reynolds a cui tali tecniche sono
applicabili in modo attendibile e soddisfacente. Oltre certi valori del parametro, infatti,
le fluttuazioni turbolente diventano cosı̀ intense e rapide da non consentire un corretto e
proficuo utilizzo di tali metodi.
Nei primi anni ’70, tuttavia, la disponibilità di computer digitali cambia radicalmente
le potenzialità di ricerca, favorendo lo sviluppo di numerosi e sempre più sofisticati metodi
di indagine quantitativa per la rilevazione sperimentale del bursting e delle sue principali
caratteristiche.
Questo è il periodo in cui si sviluppano le tecniche del campionamento condizionato,
che, basandosi sulla misura di una delle variabili caratteristiche del fenomeno (velocità
istantanea, pressione o temperatura), puntano ad estrarne particolari intervalli, in cui si
riconosce il passaggio di strutture coerenti.
Dall’inizio degli anni ’80, l’utilizzo di sistemi hardware di maggiori potenzialità ha
consentito lo sviluppo di nuove tecniche di analisi, aprendo la cosiddetta fase della simulazione numerica. Le simulazioni numeriche dei flussi turbolenti di parete, spesso utilizzate
negli ultimi anni sia a scopo di indagine teorica, sia per fini ingegneristici, hanno consentito
di ottenere maggiori informazioni sull’evoluzione nel tempo e nello spazio delle strutture
vorticose. In tale ambito, si sono sviluppati due filoni di ricerca differenti: l’uno consiste
60
nell’integrazione numerica delle equazioni di Navier-Stokes in forma completa (Direct Numerical Simulation o DNS); l’altro prevede l’utilizzo di versioni semplificate delle stesse
(Large Eddies Simulation o LES).
Nelle LES le fluttuazioni di scala più piccola presenti all’interno della corrente vengono
modellizzate, cosı̀ da tenere conto, nella simulazione numerica, solo delle componenti di
scala maggiore. Questo approccio è basato sulla constatazione che le strutture di piccola
scala hanno un comportamento analogo in tutti i flussi turbolenti, a differenza dei vortici di
grande scala, aventi forme e dimensioni fortemente legate alle caratteristiche geometriche
e cinematiche del flusso. La tecniche di simulazione numerica diretta presentano invece il
vantaggio di risolvere le equazioni del moto in forma completa, e consentono, a differenza
delle LES (troppo carenti sul piano della risoluzione spaziale per evidenziare i fenomeni
che avvengono in prossimità della parete), uno studio di carattere non solo qualitativo ma
anche quantitativo delle strutture turbolente di parete. D’altra parte le DNS risultano
estremamente onerose per quanto riguarda i tempi ed i costi computazionali, il che ne
limita l’applicazione a flussi di semplice geometria e con bassi numeri di Reynolds. In
figura 3.5 è riportato un esempio di simulazione numerica diretta che rappresenta la forma
di un vortice a ferro di cavallo.
Attualmente, la ricerca nel campo della turbolenza di parete è impegnata su più fronti: da un lato l’analisi sperimentale, che consiste nello studio delle strutture coerenti di
parete tramite metodi basati sull’utilizzo, anche combinato, di visualizzazioni e misure di
velocità, e dall’altro le simulazioni numeriche.
Poiché nel presente lavoro non si è fatto ricorso a metodi numerici, nel seguito del
capitolo l’attenzione sarà rivolta solamente alla descrizione delle tecniche sperimentali di
visualizzazione diretta delle strutture e di individuazione delle stesse dalla misura euleriana di una o più grandezze turbolente.
61
Figura 3.5: Esempio di vortice a forcina ottenuto mediante simulazione DNS (Nezu 1993)
3.2.4
Modelli concettuali
Nel corso degli anni, l’utilizzo delle tecniche di visualizzazione ha consentito di evidenziare
le relazioni spazio-temporali tra le diverse componenti del moto, rivelandosi di fondamentale importanza per lo sviluppo dei modelli concettuali riguardanti i legami tra le strutture
coerenti e la produzione di energia cinetica nello strato limite turbolento.
Pertanto, in questo paragrafo, si vuole richiamare il percorso attraverso il quale, a
partire dai primi studi nell’ambito delle visualizzazioni, si è fatta gradualmente luce sul
problema. Ciò nonostante, allo stato attuale delle conoscenze, molti aspetti relativi alle
interazioni dinamiche fra le strutture coerenti restano ancora controversi.
Tra le prime indagini sperimentali, quella condotta da Kline et al. (1967) risulta di
notevole interesse. Essi infatti mettono in evidenza come il sottostrato laminare non sia
62
Figura 3.6: Strutture vorticose longitudinali. Kline et al. (1967) y + = 4,5 ed y + = 82.
bidimensionale e stabile, come ipotizzato fino ad allora, ma, contenendo moti tridimensionali e instabili, sia più correttamente da considerarsi di natura viscosa. Inoltre sono tra i
primi a dare prova, attraverso accurate operazioni di visualizzazione con bolle di idrogeno, della presenza nella regione interna della turbolenza di parete, di strisce di fluido (low
speed streaks) in moto con velocità minore di quella del flusso medio locale.
Durante il loro cammino nella direzione del flusso medio, queste strisce tendono lentamente ad allontanarsi dalla parete (lift) e, giungendo ad una certa distanza dalla stessa
(8 < y + < 12), cominciano ad oscillare in modo sempre più evidente, fino a raggiungere
(per 10 < y + < 40) uno stato di forte instabilità. A questo punto, qualcosa di molto
simile ad uno scoppio (ejection o breakup) sospinge queste masse fluide verso le zone più
esterne, in cui mediamente la corrente ha velocità maggiore, e l’interazione che ne deriva
sembra determinare una maggiore complessità del moto. Come mostrano chiaramente le
figure 3.6 e 3.6, più ci si allontana dalla parete e più le strisce di fluido a bassa velocità
risultano aggrovigliate e poco evidenti.
Ciò è dovuto al fatto che l’interazione delle masse provenienti dalle regioni più interne
con il fluido locale sicuramente perturba il campo di moto. Kline et al. (1971) completano lo studio effettuando delle prove con gradienti di pressione favorevoli e contrari,
che evidenziano come nel primo caso le strisce risultino più lunghe e meno contorte e nel
63
secondo più corte ed oscillanti con più violenza. Con gradienti di pressione fortemente favorevoli esse vengono quasi totalmente soppresse e il moto sembra dare segni di un ritorno
allo stato laminare. Inoltre, tramite l’aggiunta di un filo di platino perpendicolare alla
parete, che consente la produzione di linee di bolle nella direzione normale, essi studiano
l’andamento dei profili verticali di velocità durante il processo di ejection (figura (??)),
mostrando come il moto oscillatorio delle strisce sia in evidente relazione con la presenza
di una sensibile inflessione nel profilo.
Negli stessi anni Cannon (1965), Gadd (1965), Halleen e Johnston (1967) ottengono
processi di rilaminarizzazione del campo di moto turbolento alla parete, a bassi numeri
di Reynolds grazie alla soppressione, con diverse tecniche, del fenomeno di scoppio delle
strisce a bassa velocità. Cannon, ad esempio, utilizza una tecnica che consiste nella
rotazione intorno al suo asse di un tubo cilindrico, alla cui parete si studia il flusso
turbolento, con velocità angolari opportune. In questo caso la forza centrifuga che si viene
a creare costringe tali strisce a restare in prossimità della parete, impedendo, in questo
modo, l’evoluzione dei fenomeni esplosivi prima descritti. Allo stesso scopo vengono
utilizzate anche l’aspirazione di fluido lungo la parete del condotto o l’iniezione di additivi
polimerici a lunga catena, si veda per esempio Butera (1969), che, come spiega Gadd
(1965), subendo un processo di stiramento ad opera delle strisce di fluido, ne inibiscono il
fenomeno di scoppio e di allontanamento dalla parete, fondamentale per lo sviluppo del
processo di trasmissione dell’energia turbolenta.
Il fatto che si possano ridurre gli effetti dissipativi, bloccando l’evoluzione delle strutture vorticose longitudinali osservate da Kline et al. (1967), costituisce una chiara prova dell’importanza di queste ultime all’interno del processo di produzione e trasporto
dell’energia cinetica turbolenta. A tale riguardo, le visualizzazioni realizzate da Corino e
Brodkey (1969) confermano l’importanza del fenomeno di trasferimento di masse fluide
dalla parete verso le regioni più esterne in precedenza descritto. In particolare, per primi,
64
essi intuiscono la ciclicità del processo di bursting, evidenziando la presenza di un movimento di fluido di più ampia scala e immediatamente successivo all’ejection, che dalle
regioni più esterne giunge a lambire la parete del condotto avendo l’effetto di una spazzata
(sweep); da ciò ipotizzano che all’interno dello strato limite esista un’unica regione attiva,
quella in cui si realizza il processo di produzione turbolenta legato al bursting, definita
pertanto generation region (5 < y + < 70), che separa il sottostrato viscoso dalla zona
esterna, entrambe passive.
Offen e Kline (1974), allo scopo di verificare sperimentalmente le conclusioni, indagano le interazioni spazio-temporali tra la regione interna (visualizzata sia con bolle di
idrogeno, sia immettendo un tracciante da una fessura di parete) e quella esterna (esaminata utilizzando un iniettore spostato, a seconda delle esigenze, in posizione avanzata
o arretrata rispetto alla fessura). Il loro studio mostra da un lato che la nascita e la
crescita di disturbi nel flusso esterno (sweeps) precede sempre la comparsa di una striscia
di fluido lento e dall’altro che una o più violente ejection sono in stretta relazione con
la formazione di un nuovo disturbo del flusso esterno a chiudere il ciclo. Ne deducono
dunque, in accordo con Corino e Brodkey (1969), che i fenomeni caratteristici della zona
logaritmica ed esterna sono originati da processi tipicamente di parete.
Gli elementi emersi in questi primi studi sono sintetizzati nel modello proposto da
Hinze (1975), che cerca di mettere in relazione le strutture responsabili della produzione
turbolenta, osservate nelle visualizzazioni, con le dinamiche dei classici vortici a ferro di
cavallo, già indicati come strutture dominanti nella turbolenza di parete da Theodorsen
(1952), Willmarth e Lu (1967), Black (1968). Viene infatti ipotizzato un processo ciclico avente molte caratteristiche simili a quello di transizione tra moto laminare e moto
turbolento.
Come mostrato in figura 3.7 si immagina che idealmente il ciclo cominci alla parete
con la nascita, dovuta a disturbi turbolenti già presenti nel sottostrato inerziale e nello
65
Figura 3.7: Modello concettuale di Hinze (1975).
strato di sovrapposizione, di un vortice a ferro di cavallo. Questo viene deformato dal
flusso in una forma ad ∪ sempre più allungata nella direzione del moto. A causa di
processi di autoinduzione, la sommità del vortice si allontana dalla parete giungendo in
zone della corrente dove la velocità del fluido circostante è sempre maggiore e subendo
cosı̀ un processo di stiramento che ne aumenta la vorticità.
Ha intanto inizio tra le due estremità del vortice ad ∪ un movimento di fluido a bassa
velocità diretto verso le regioni più esterne, che provoca un sostanziale aumento delle
resistenze al moto. La risultante instabilità locale produce uno scoppio simile a quello
osservato durante la transizione alla turbolenza, che distrugge la struttura del vortice, e
le onde di pressione che ne derivano si propagano all’interno dell’intera regione di parete.
Nello stesso tempo, la punta superiore del vortice, inizialmente spinta dalle correnti ad alta
velocità e in seguito aiutata dalle onde di pressione originatesi nello scoppio turbolento,
viene a spostarsi verso la parete, nel tipico movimento di spazzata. Il passaggio di fluido
66
veloce in prossimità della parete dà infine origine ad un nuovo vortice a ferro di cavallo,
chiudendo in questo modo il ciclo.
Se il modello di Hinze ribadisce l’ipotesi che esista un processo autorigenerativo di
produzione turbolenta, dominato dai vortici di grande scala ed alimentato dalle strutture
coerenti di parete che prendono parte al ciclo di bursting, in cui la zona esterna dello
strato limite gioca soltanto un ruolo passivo, invece in altri studi dello stesso periodo
comincia a farsi strada una teoria antitetica, secondo cui la produzione di turbolenza
sarebbe influenzata dalle dinamiche del flusso nella regione centrale. In particolare Falco
(1974; 1977) propone alcuni concetti di notevole interesse.
Tramite visualizzazioni condotte a diversi numeri di Reynolds egli osserva come,
contrariamente a quanto ritenuto in precedenza, le strutture che maggiormente contribuiscono allo sforzo turbolento non siano i vortici di grande scala, bensı̀ elementi, contenuti
entro i rigonfiamenti (bulges) della regione esterna, debolmente vorticosi ed in scala con
le variabili di parete, definiti con il nome di typical eddies. Le caratteristiche di questi
typical eddies si mostrano fortemente dipendenti dal numero di Reynolds: solo per valori
molto bassi del parametro hanno dimensioni dell’ordine dello spessore dello strato limite,
che le fanno apparire strutture di grande scala; invece, al crescere del numero di Reynolds,
le loro scale tipiche diventano una frazione sempre più modesta di tale spessore ed appare
chiaro che essi costituiscono solo una parte dei bulges esterni.
In corrispondenza del limite superiore di una struttura di grande scala, si possono osservare typical eddies che si muovono con velocità maggiore rispetto al fluido circostante,
generalmente allontanandosi dalla parete; invece, quelli che si formano nella regione logaritmica hanno velocità inferiore ai bulges in cui sono contenuti e tendono pertanto a
portarsi nella loro parte posteriore (producendo un notevole sforzo turbolento), fino ad
essere inglobati nella struttura seguente.
67
Poiché questi typical eddies si spostano per lo più verso la parete, è naturale ricondurli ai ben noti fenomeni di spazzata da cui si originano le ejections. Lo studio di Falco è
tuttavia innovativo per l’ipotesi che i typical eddies più vicini alla parete non si autorigenerino direttamente nel processo di bursting, ma siano il risultato di una redistribuzione
di vorticità nella regione logaritmica indotta dalle strutture di grande scala.
Anche il modello concettuale proposto da Praturi e Brodkey (1978) correla direttamente i moti coerenti della regione esterna ai fenomeni di produzione turbolenta vicino
la parete. Nel loro schema, un ruolo centrale è assunto dallo strato d’attrito macroscopico (shear layer), che si genera quando masse di fluido veloce incontrano l’ostacolo di
elementi più lenti; su di esso, infatti, si avvolgerebbero vortici trasversali di larga scala,
responsabili dei processi di sweeps ed ejections, nonché della formazione dei bulges nella
regione esterna.
Negli anni seguenti, si intensificano ulteriormente gli studi sulla turbolenza di parete,
spesso basati sull’uso combinato di tecniche di visualizzazione e misure puntuali di una o
più componenti di velocità, nel tentativo di fare luce sui numerosi aspetti ancora oscuri
di questo fenomeno. Emerge cosı̀ l’importanza che assumono piccole strutture vorticose
longitudinali di parete (streamwise vortices) nell’ambito del processo di bursting.
Cantwell et al. (1978), osservando la presenza di coppie di vortici longitudinali controrotanti che spingono verso l’esterno le strisce di fluido lento tra essi contenuto e sono
dunque in stretta relazione con le ejections delle strisce, ipotizzano che la loro formazione
sia legata ad un meccanismo di instabilità di Taylor-Gòrtler, indotto dalla curvatura rispetto alla direzione del flusso imposta dalle strutture esterne di grande scala.
Tali considerazioni vengono riprese e ampliate da Swearingen e Blackwelder (1987),
i quali notano come la crescita dei vortici interferisca nel moto di allontanamento delle
strisce lente dalla parete, innescando fenomeni oscillatori evidenziati dalla presenza di forti
gradienti della componente principale di velocità sia in direzione verticale sia in quella
68
Figura 3.8: Modello concettuale di Smith (1984).
trasversale. Queste oscillazioni, già notate da Kim et al.(1971), originano un meccanismo
di instabilità secondaria, che cresce in maniera molto più rapida rispetto a quello che aveva
generato i vortici, e li porta rapidamente ad una degenerazione turbolenta (breakdown).
Riconosciuta l’essenzialità dei vortici longitudinali di parete nei processi di produzione
turbolenta, la comune tendenza di numerosi studi recenti è quella di cercare di ampliare
il raggio di indagine, includendoli all’interno di una struttura globale.
Smith (1984) è uno dei primi a percorrere questa strada, cercando di porre i vortici
longitudinali di parete in relazione con i classici vortici a forcina o a ferro di cavallo: le
coppie di vortici controrotanti costituirebbero le gambe della forcina, che restano arretrate
rispetto al corpo, disponendosi orizzontalmente nella zona interna dello stato limite (figura
3.8). Inoltre un meccanismo simmetrico di unione delle gambe allungate appartenenti a
più forcine sarebbe la causa per cui le strisce di fluido lento si sviluppano su lunghezze
sensibilmente maggiori rispetto all’estensione longitudinale media di un singolo vortice a
forcina (figura 3.9). In figura 3.10 è rappresentata la schiera di vortici di figura 3.4 ripresa
da una altro punto di vista.
69
Figura 3.9: Evoluzione del modello di Smith (1984).
70
Figura 3.10: Schiera di vortici a forcina (Perry et al. 1981). Si veda anche la figura 3.4.
Molti lavori successivi, non ultimi quelli di Robinson (1990), Grass et al.(1991), Banerjee (1992) e Jimenez (1994), pur accogliendo l’impostazione di base del modello di
Smith (1984), ne contestano la struttura simmetrica, sulla base dei risultati forniti da
visualizzazioni e simulazioni numeriche, da cui emerge non solo che i vortici a forcina, soprattutto per alti valori del numero di Reynolds appaiono spesso sbilanciati o incompleti,
ma anche che i vortici longitudinali di parete si presentano solo raramente come coppie simmetriche e controrotanti. In particolare Jimenez (1994) propone un interessante
meccanismo rigenerativo dei vortici longitudinali, che risulta sostanzialmente diverso da
quello indicato da Cantwell et al.(1978), pur facendo anch’esso riferimento all’azione di
una forzante esterna sulle strutture di parete. Nel suo modello, la presenza dei vortici
longitudinali induce una rotazione della vorticità dominante di parete, che da trasversale (in ragione del forte gradiente verticale di velocità caratteristico dello strato limite)
diventa verticale, a causa della formazione di shear layers locali normali alla parete che
definiscono trasversalmente i contorni delle strisce di fluido a diversa velocità.
71
Contemporaneamente, le perturbazioni di grande scala agiscono sul flusso interno aumentando lo sforzo globale di taglio in maniera selettiva ed asimmetrica, cosı̀ da amplificare principalmente le instabilità dei sottili strati d’attrito verticali. Risultano dunque
da un lato esaltate le fluttuazioni di velocità e le scale integrali del moto in direzione longitudinale e trasversale, dall’altro smorzate verticalmente, il che porta alla formazione di
fogli orizzontali costituiti da vortici longitudinali a chiudere il ciclo. In sostanza dunque,
la vorticità verticale viene piegata in avanti e schiacciata in forma di fogli paralleli alla
parete, mentre la vorticità trasversale dominante è ruotata dalle strutture longitudinali
in nuovi shear layers verticali.
Anche Hamilton et al. (1995) presentano un nuovo schema rigenerativo dei vortici
longitudinali, ponendo la loro nascita in stretto rapporto con il processo di sfaldamento
delle strisce di fluido soggette all’ejection, durante il quale un insieme di complicate interazioni non lineare fornirebbe nuova energia ai vortici longitudinali, portando cosı̀ alla
formazione di nuove strisce a diversa velocità.
In altra direzione si muove un interessante articolo di Kaflori et al. (1994), che oltre
a rappresentare un moderno esempio di utilizzazione parallela di diverse tecniche di indagine (visualizzazioni, misure istantanee di velocità e simulazioni numeriche di verifica),
prospetta un originale modello riassuntivo del fenomeno. Essi propongono come principale responsabile del fenomeno turbolento alla parete un nuovo modello che sembra
contrapporsi a quello tradizionale del vortice a ferro di cavallo.
La loro indagine parte dalla supposizione che i fenomeni di più piccola scala fino ad
ora osservati (scoppi, spazzate e vortici longitudinali di parete) siano le manifestazioni
più evidenti di una unica struttura sottostante, avente la forma di una spirale che ha
inizio in prossimità della parete e si muove nella direzione del flusso medio, aumentando
progressivamente le sue dimensioni (figura 3.11).
72
Figura 3.11: Interpretazione di scoppi e spazzate come tratti elementari del vortice a
spirale. Kaflori et al. (1994).
Durante la sua crescita, la spirale si estende in zone più distanti dalla parete, incontrando cosı̀ masse di fluido con velocità locali sempre più elevate; pertanto l’estremità superiore diventa instabile e conferisce alla struttura una ulteriore rotazione intorno all’asse
trasversale, che sembra poter essere responsabile dei movimenti vorticosi trasversali tipici
nelle regioni più esterne della turbolenza di parete.
Rispetto alle zone più vicine alla parete, questi vortici agiscono come masse ad elevata
velocità che, attraversando regioni di fluido più lente, le dividono nelle caratteristiche
strisce, a cui spesso si è fatto riferimento in precedenza. Gli autori si soffermano inoltre
sul possibile processo rigenerativo dei vortici a spirale, imputando anch’essi la continuità
del ciclo alla formazione di shear layers locali tra strisce di fluido lento e veloce: l’attrito
indotto dal rapido moto rotazionale di un vortice esistente porterebbe alla nascita di un
nuovo embrione nella zona vicina di fluido indisturbato.
Anche gli studi più recenti mostrano dunque chiaramente come, nonostante i grandi
progressi compiuti negli ultimi decenni, il quadro generale del fenomeno sia tuttora incerto
e necessiti ancora di approfondite analisi.
Fra le questioni ancora aperte una delle più difficili concerne lo stabilire se le stesse
strutture coerenti dominino un processo autorigenerativo di produzione turbolenta, il
che implicherebbe il loro scalamento con le variabili di parete, oppure se quest’ultimo
venga alimentato dal passaggio di moti più esterni, che introdurrebbero la dipendenza
73
da parametri di maggiore scala. In numerosi lavori si fa riferimento alla caratteristica
spaziatura trasversale media, delle strisce di fluido lento presenti nella regione interna,
quale parametro indicativo per la soluzione del problema. Tuttavia, se alcuni studi classici,
tra cui quelli di Kline et al. (1967), Lee et al. (1974), Oldaker e Tiederman (1977),
Smith e Metzler (1983), ne avevano individuato un valore medio caratteristico in termini
adimensionali (λ+ =
λν
u?
∼
= 100) che scalava λ con le variabili di parete, invece recenti
analisi basate su visualizzazioni e simulazioni numeriche, di Robinson et al. (1989), Brooke
e Hanratty (1993), Bernard (1993), Goldstein e Smith (1994), Brereton e Hwang (1994),
mostrano che il valore di tale parametro risulta spesso più incerto e sembrerebbe dipendere
dal numero di Reynolds.
La mancanza di risultati dettagliati a numeri di Reynolds elevati insieme all’incertezza
sui metodi di rilevazione non ha ancora permesso, a tutt’oggi, di chiudere in modo soddisfacente tale discussione. Ciò che sembra più plausibile è che la dinamica del bursting
sia governata fondamentalmente dalle variabili di parete. Esse però non si rivelano sufficienti per un corretto riscalamento del fenomeno in quanto, soprattutto durante la fase
di instabilità e scoppio, diventa importante l’influenza delle zone esterne della corrente.
3.2.5
Strutture coerenti in canali aperti
Il discorso articolato fino ad ora non faceva distinzione tra flussi in tubi e correnti in canali;
si cercherà ora di estendere quanto riportato nei paragrafi precedenti al caso specifico dei
canali aperti, evidenziando l’importanza che le strutture di grande scala hanno soprattutto
nel caso dei canali.
Sul fenomeno di bursting resta l’incertezza se le strutture di larga scala influenzino,
e se si, come, l’insorgere delle esplosioni nella zona di parete; in questo caso potrebbero
esistere delle differenze tra tubazioni e canale essendo le macrostrutture in quest’ultimo
leggermente differenti da quelle presenti nei tubi a causa della presenza della superficie
74
Figura 3.12: Visualizzazione dell’evento di ejection. Nezu (1977).
libera e spesso degli effetti di correnti secondarie legate alla presenza di angoli vivi, le
cosiddette “correnti secondarie di Prandtl del secondo tipo”.
Studi particolarmente mirati sono stati effettuati da Nezu (1977), il quale individua,
in un canale aperto e mediante la tecnica delle bolle d’idrogeno, le strisce a bassa velocità
già introdotte nella spiegazione del fenomeno di scoppio da Kim (1967), di cui riportiamo
un esempio in figura 3.12.
Queste visualizzazioni confermano che le strutture che si formano sul fondo di un
canale aperto sono le stesse di quelle riscontrate sulla parete delle tubazioni.
La maggiore differenza è comunque riscontrabile nella turbolenza di grande scala, introdotta, per i canali aperti, da Matthes (1947) con il nome improprio di macroturbolenza
(non essendo tutte le strutture legate alla turbolenza), e che possono essere classificate in
sei fondamentali gruppi:
Pulsazioni periodiche. Caratterizzate dalla periodica pulsazione del flusso medio sia
nello spazio che nel tempo.
Quasi-steady roller. Vortici di grande scala aventi un asse quasi monodimensionale
75
tanto da ricavarne il nome di vortici a rullo, i più evidenti sono quelli che si creano
dopo un risalto idraulico.
Vortici “Kolk”. Vortici di grande intensità con asse inclinato ed intermittenti e che
scaturiscono nelle vicinanze della parete, individuati da Matthes (1947) che li descrisse come dei piccoli tornadi capaci di risucchiare il materiale dal fondo fino alla
superficie.
Durante la risalita verso il pelo libero questi vortici perdono di intensità e lasciano
cadere il materiale che trasportano riuscendo comunque a raggiungere la superficie
e a dare vita alle “boil” che si manifestano sul pelo libero nella forma di rigonfiamenti; si tenga presente che questo fenomeno può essere definito a tutti gli effetti
macroscopico essendo la dimensione di certe bolle nel fiume Mississippi dell’ordine
delle decine di metri.
Downward vortex. Sono i vortici che si creano a causa di ostacoli come pilastri di
ponti o ostacoli sommersi, sono anche chiamati vortici a ferro di cavallo a causa
della forma che assumono a valle dell’ostacolo.
Correnti secondarie di primo tipo. Sono le correnti secondarie, già citate in precedenza, create dall’instabilità del moto per cause esterne come grosse curve o particolari morfologie del letto del canale.
Correnti secondarie del secondo tipo. Correnti secondarie indotte dall’anisotropia
e dalla non uniformità della turbolenza.
3.2.6
Strutture coerenti in presenza di superfici scabre
Si è fin qui cercato di fare il punto sullo stato attuale della ricerca nel campo delle strutture
coerenti sia in tubi che in canali, ma sempre nel campo di superfici lisce; occorrerà ora
introdurre l’ulteriore parametro della scabrezza del letto cosı̀ da completare questa breve
76
recensione storica. Si premette che nel campo delle strutture coerenti su fondo scabro gli
studi sono molto arretrati rispetto alla già incompleta ricerca su fondo liscio; sarà dunque
possibile fare solo una breve introduzione delle principali teorie cercando di focalizzare i
punti salienti che serviranno più avanti per capire, nel limite del possibile, le differenze
tra i campionamenti su fondo liscio e fondo scabro.
Gli studi di Grass (1971) evidenziarono per primi la presenza degli stessi fenomeni
di bursting, riscontrati nei tubi aventi pareti lisce, anche in presenza di scabrezza. Successivamente molti altri studiosi confermarono l’esperienza di Grass senza però chiarire
le ragioni della persistenza degli eventi di esplosione e spazzata anche in un moto con
condizioni tanto differenti da quelle fino ad allora studiate.
Precedentemente si sono evidenziate le ricerche di Kline et al. (1967) i quali misero in
evidenza come il sottostrato viscoso contenga moti tridimensionali tra i quali la presenza di
strisce (low speed streaks) di fluido in moto con velocità minore di quella del flusso medio
locale. Durante il loro cammino nella direzione del flusso medio, queste strisce tendono
lentamente ad allontanarsi dalla parete e, giungendo ad una certa distanza dalla stessa
(8 < y + < 12), cominciano ad oscillare via via in modo più evidente, fino a raggiungere
per 10 < y + < 40 uno stato di forte instabilità. A questo punto, qualcosa di molto
simile ad uno scoppio (ejection o breakup) sospinge queste masse fluide verso le zone più
esterne, in cui mediamente la corrente ha velocità maggiore, e l’interazione che ne deriva
sembra determinare una maggiore complessità del moto. Riconosciuta l’essenzialità dei
vortici longitudinali di parete nei processi di produzione turbolenta, Smith (1984) li pose
in relazione con i classici vortici a forcina o a ferro di cavallo affidando ad essi il ruolo di
gambe della forcina. Dal 1984, come già visto, furono molti gli studi che si contrapposero,
modificarono e confermarono l’ipotesi di Smith lasciando comunque immutato il ruolo di
primo piano assunto dalle strutture esistenti nel sottostrato viscoso.
In parallelo la scabrezza su di una parete, nel caso di moto turbolento completamente
77
sviluppato (vedremo in seguito a quali sono la definizione di questo moto e i suoi limiti),
invade completamente, distruggendolo, il sottostrato viscoso ed operando un rimescolamento del moto anche nella buffer region. È dunque plausibile affermare che non possono
più esistere su una parete scabra gli stessi fenomeni, come le strisce a bassa velocità,
presenti nel caso di parete liscia a causa della distruzione “dell’ambiente vitale” delle
strutture stesse. Il quesito principale che tutti gli studiosi si sono posti è, dunque, come
sia possibile il riproporsi degli stessi fenomeni di burst nonostante la perdita delle strutture che si presumeva esserne all’origine. Fondamentalmente le strade percorse sono due:
da una parte ricercare la presenza di strutture originarie di parete anche in presenza di
scabrezza, dall’altra confutarne la paternità dell’evento di bursting e relegarle ad un ruolo
secondario e di non indispensabilità cercando altrove la causa scatenante degli eventi di
parete.
All’interno della prima ipotesi si pongono i lavori di Liu (1973) che, indagando solamente strutture scabre di tipo d (scabrezza costituita da barre trasversalmente disposte
rispetto al moto aventi un preciso rapporto massimo tra la reciproca distanza e la larghezza) ritrova delle strutture simili alle low speed streaks che scorrono su di uno pseudopiano
liscio formatosi sulle barre e su dei cuscinetti d’acqua in quiete tra gli stessi. Non sembrerebbe comunque uno studio del tutto attendibile nel campo della scabrezza, avendo
l’autore ricostruito un piano praticamente liscio scansando cosı̀ il problema reale.
Successivamente Wood ed Antonia (1975) utilizzando sempre una scabrezza a barre ma
di tipo k (distanza tra le barre maggiore di un certo rapporto) e osservarono la presenza
di vortici all’interno del fluido che stanzia, mediamente fermo, tra le barre, adducendo
all’instabilità della vorticità le esplosioni nella zona di parete. Sulla scia di questo lavoro
si pongono Bandyopadhyay e Watson (1978), autori di una ricerca che portò alla luce la
presenza di vortici a cavallo tra gli elementi della scabrezza, rifacendosi ad una vorticità
simile a quella sviluppata da un ostacolo all’interno di una corrente. Raupach (1981) cercò
78
di guardare il problema da una diversa prospettiva attribuendo l’origine del fenomeno
all’inflessione del profilo della velocità media, svincolandosi cosı̀ dalla presenza o meno
della scabrezza, essendo questo fenomeno presente anche su fondi non lisci.
Sulla seconda strada si pongono invece i lavori di Blackwelder (1987) il quale attribuı̀
l’origine dei burst al flusso medio che, strappando il liquido in quiete presente tra gli
elementi e proiettandolo in un campo di moto con velocità media superiore, genera un
fenomeno simile all’irruzione delle strisce a bassa velocità nel campo di moto sviluppato.
Nezu (1988) si pone sulla scia di Blackwelder ipotizzando che la teoria dell’instabilità del
profilo di velocità non è di per sé sufficiente a spiegare gli eventi di bursting; sarebbero
gli eventi di spazzata i maggiori responsabili dei vortici che si creano sul fondo. Nezu,
rilevando l’aumento di sweep in rapporto alla diminuzione di eventi di ejection, e notando
in parallelo un notevole aumento di streamwise vortex, afferma che gli eventi di burst sono
generati dall’irruzione nella zona di parete di liquido avente forte velocità orizzontale, che
spazza il liquido stagnante a basse velocità tra gli elementi scabri.
In questo campo si può anche inserire il lavoro di Antonia e Krogstad (1994) i quali,
insospettiti dall’interazione da loro desunta tra outer zone ed inner zone, trovarono degli
eventi di ejection maggiormente inclinati ed al contempo un minore smorzamento della
velocità verticale da parte della rete, in pratica, nella zona più vicina alla parete gli eventi
di ejection vengono fortemente smorzati sia in intensità che nello sviluppo longitudinale
ed in parallelo vengono esaltati, in proporzione, quelli di spazzata. Questo fenomeno
potrebbe essere causato proprio da un’evoluzione simile a quella appena descritta.
3.3
Il campo turbolento nella turbolenza di parete
3.3.1
Le caratteristiche dell’intermittenza
3.3.2
L’anisotropia
79
80
GRANDI E PICCOLE SCALE NELLA TURBOLENZA DI PARETE
Capitolo 4
Elaborazione del segnale
In questo capitolo si tratteranno alcuni problemi pratici, relativi all’anemometro laser e
all’elaborazione dei dati, sorti prima e durante la campagna di acquisizione.
4.1
Stima delle caratteristiche idrauliche della corrente
Sono state fatte 3 campagne di misura, con numeri di Reynolds della corrente pari a
10000, 20000, 30000, 40000 e 50000, per tre altezze d’acqua, 30, 40 e 50 mm su un fondo
liscio e due scabri. Per completare le informazioni si sono eseguite due prove in regime
di transizione, con Reynolds 5000 ed altezza 40 mm sui due fondi scabri. Gli stramazzi
e la pendenza del canale sono stati regolati in modo che la corrente si avvicinasse il più
possibile ai valori stabiliti.
Per calcolare l’altezza dell’acqua hm nella sezione di misura, ci si basa sulle misurazioni
nei punti hC3 ed hC4 di figura ??:
h3 = hC3 − h?C3 ,
h4 = hC4 − h?C4 ,
hm = h3 − (h3 − h4 )
dl
,
dt
essendo h?C3 ed h?C4 la lettura dell’altezza in corrispondenza del fondo, dl la distanza del
laser dal punto di misura 3 e dt la distanza tra i punti di misura 3 e 4.
Per calcolare il numero di Reynolds secondo la sua definizione,
Re =
um 4<
,
ν
bisogna definire la viscosità cinematica ν in funzione della temperatura:
ν=
µ
,
ρ
(4.1)
ρ = 9,81 · 101,923(1 + 52,939 · 10−6 T − 6,532 · 10−6 T 2 + 14,15 · 10−9 T 3 ),
(4.2)
µ=
(4.3)
9,81 · 180,8 · 10−6
,
1 + 33,7 · 10−3 T + 220 · 10−6 T 2
dove T indica la temperatura dell’acqua rilevata all’inizio di ogni sessione di misura.
Le equazioni (4.2) e (4.3) provengono dall’interpolazione mediante polinomi dei punti
sperimentali misurati riportati da Marchi e Rubatta (1981). < indica il raggio idraulico
della sezione calcolato come
<=
Ω
b · hm
=
,
℘b
2hm + b
avendo indicato con b = 0,3 m la larghezza del canale e con ℘b il perimetro bagnato della
sezione. La velocità media è calcolata semplicemente come rapporto tra la portata e la
sezione:
um =
Q
Q
=
.
Ω
hm b
(4.4)
La portata Q che attraversa il canale viene misurata con uno stramazzo triangolare,
simile a quello riportato in figura (4.1), la cui curva di taratura è stata determinata
sperimentalmente in laboratorio. Essa è rappresentata dall’espressione:
Q = 0,4818 · h2,4375
,
str
molto simile a quella ricavabile analiticamente: Q =
81
8
C
15 c
(4.5)
√
5/2
2gh0 tan(α/2).
Figura 4.1: Stramazzo triangolare utilizzato per la misura di portata.
Il carico hstr sullo stramazzo si ricava come differenza tra l’altezza hstrp del pelo libero
dell’acqua in quiete, quando è sfiorato tutto l’eccesso, e la misura dell’altezza effettuata
nel corso della prova, hstr0 :
hstr = hstrp − hstr0 .
(4.6)
Nella misura delle altezze si adotta sempre lo stesso riferimento fisso.
Riassumendo, è possibile calcolare l’altezza della corrente ed il suo numero di Reynolds misurando l’altezza dell’acqua nei punti di misura 3, 4 e al serbatoio dello stramazzo.
Tutti questi calcoli devono essere eseguiti ogni volta che si regola il canale, cosı̀, per procedere rapidamente, si è automatizzata la procedura scrivendola in un semplice programma
Basic.
4.2
Effetto dell’errore di posizionamento dell’anemometro
Affinché i quattro raggi laser uscenti dal gruppo ottico dell’anemometro si incontrino
nello stesso volume di misura, è necessario che, attraversando l’aria, il vetro e l’acqua,
percorrano gli stessi cammini geometrico ed ottico.
Il posizionamento del gruppo ottico dell’anemometro nei confronti della parete laterale
del canale deve sottostare a particolari vincoli di tipo geometrico: i quattro raggi devono
giungere sulla superficie del vetro tutti con lo stesso angolo di incidenza e, quindi, la
superficie della lente frontale deve essere perfettamente parallela al vetro. Inoltre, per
82
misurare correttamente le componenti di velocità dell’acqua, il fondo deve essere parallelo
alla superficie libera (in quiete) e le pareti di vetro ortogonali ad essa.
Prima dell’esecuzione delle prove si è provveduto a realizzare queste condizioni geometriche, prima regolando la posizione dell’anemometro cosı̀ che i raggi orizzontali, usati
nella misura della componente longitudinale di velocità u, fossero paralleli alla superficie
libera dell’acqua; poi, abbassato l’anemometro, inclinando trasversalmente il canale in
modo da renderlo parallelo ai raggi e, di conseguenza, al pelo libero. A questo punto,
tolta l’acqua, si è verificata l’ortogonalità della parete laterale del canale con il fondo,
mediante una semplice squadra.
Tuttavia è necessaria un’ulteriore prova del corretto posizionamento dell’ottica rispetto alla parete, legata alla presenza di quattro punti luminosi distintamente visibili
laddove i raggi uscenti dal gruppo ottico attraversano la lente. Quando i raggi incontrano
il vetro, in parte lo attraversano ed in parte vengono riflessi indietro verso la lente frontale,evidenziando sulla superficie della lente altri quattro punti luminosi, più vicini al suo
centro. Se la parete fosse perfettamente parallela alla lente, allora i due quadrati formati
dai raggi uscenti e da quelli riflessi, avrebbero i lati perfettamente paralleli tra loro, della
stessa lunghezza e con diagonali sovrapposte.
Sperimentalmente si è verificato il corretto posizionamento controllando che le diagonali dei punti luminosi fossero sovrapposte. Questo assicura che la lente frontale del
gruppo ottico sia sufficientemente parallela alla parete di vetro.
Nei casi in cui è necessario raggiungere valori elevati del numero di Reynolds (50000),
con una piccola altezza della corrente (30 mm), si rende necessario inclinare longitudinalmente il fondo del canale. In questi casi si è inclinato lateralmente il gruppo ottico per
rendere i raggi orizzontali paralleli al fondo, cosı̀ da misurare correttamente la componente
di velocità u.
83
Per completare le verifiche geometriche si è applicato alla slitta, mediante base magnetica, un comparatore centesimale, col quale si è verificato che la corsa verticale fosse
parallela al vetro. Purtoppo si è rilevato uno spostamento di 1,5 mm del tastatore, in seguito a uno spostamento di 60 mm in verticale, causato dall’imperfetta posa del basamento
della slitta.
È estremamente importante valutare - un piccolo studio di ottica - l’ordine di grandezza dell’errore sul coefficiente di conversione C della frequenza Doppler in velocità (??),
causato dal difetto di parallelismo tra il laser e la parete oppure dal moto non esattamente
verticale1 .
1
Riportiamo qui alcuni brevi richiami di ottica.
La velocità di propagazione della luce in un mezzo isotropo è data da:
1
v=√ ,
εµ
(4.7)
dove ε è la costante dielettrica e µ la permeabilità magnetica del mezzo in questione. Le costanti ε e µ
per il vuoto si indicano solitamente con ε0 e µ0 , mentre per un generico mezzo omogeneo ed isotropo si
pongono ε = ε0 εr e µ = µ0 µr . Sostituendo queste definizioni nella (4.7) si ottiene:
v=√
c
1
=√
,
ε0 εr µ 0 µ r
εr µ r
(4.8)
dove c = √ε10 µ0 è la velocità della luce nel vuoto. Essendo, per tutti i mezzi materiali, εr µr > 0 la velocità
della luce nel vuoto è la massima possibile. Si definisce indice di rifrazione il rapporto tra la velocità di
propagazione della luce nel vuoto e nel mezzo materiale attraversato:
n=
√
εr µ r .
(4.9)
L’esperienza pratica suggerisce che quando un’onda elettromagnetica incide su una superficie piana
infinita, di dimensioni molto superiori alla lunghezza d’onda, che separa due diversi mezzi isotropi, si
verificano i due fenomeni di riflessione e rifrazione: parte della luce viene riflessa lungo un’altra direzione
mentre la parte restante attraversa la superficie.
Gli elementi geometrici necessari per descrivere in modo completo questi fenomeni sono: l’angolo di
incidenza i1 tra la direzione di propagazione e la normale alla superficie, l’angolo di riflessione r compreso
tra la direzione dell’onda riflessa e la stessa normale e, infine, l’angolo di rifrazione i 2 , compreso tra la
normale e la direzione di propagazione nel secondo mezzo.
L’esperienza mostra che l’angolo di riflessione è uguale a quello di incidenza i 1 = r e che i seni degli
angoli di rifrazione ed incidenza stanno tra loro nel rapporto
v1
n2
sin(i1 )
=
=
= n12 ;
sin(i2 )
v2
n1
(4.10)
n12 è detto indice di rifrazione del mezzo 2 rispetto al mezzo 1. L’equazione (4.10) è la legge di Snell.
84
4.2.1
Moto verticale della slitta non parallelo al vetro
Dopo aver verificato il corretto posizionamento del laser e del vetro, come spiegato nel
paragrafo precedente, si è misurata in acqua ferma la distanza tra i raggi e la distanza
dal vetro del punto di intersezione tra i raggi. Si sono ottenuti i seguenti valori:
bs = 22 mm
fl = 150 mm.
Con bs si intende beam separation, mentre con fl , focal lenght. Questi dati devono
essere inseriti all’interno del programma di acquisizione BURSTware perché possa calcolare il coefficiente di conversione frequenza-velocità, usato nelle successive elaborazioni.
In aria si sono misurati i seguenti valori:
bs = 60 mm
fl = 310 mm,
ai quali corrisponde un angolo tra i raggi di 11,05 ◦ . Questo valore resta costante perché
imposto dal gruppo ottico; esso sarà utile in seguito per verificare l’ordine di grandezza
degli errori causati dalle imperfezioni di posizionamento. La trattazione verrà ristretta al
solo caso dei raggi blu destinati alla misura della componente verticale di velocità.
La figura 4.2 rappresenta la configurazione geometrica dei raggi vicino al fondo; con
riferimento ad essa si può scrivere che
2fl tan(α3 /2) = bs .
(4.11)
Sostituendo i valori è immediato calcolare il semiangolo tra i raggi: α3 /2 = 4,194 ◦ .
Per calcolare l’angolo di incidenza dei raggi entranti nel vetro è necessario studiare
come cambia la direzione del raggio laser nell’attraversare i tre mezzi. Qui come nel seguito
si trascura lo spessore del vetro rispetto alle altre lunghezze in gioco, ovvero 150 mm tra
85
Figura 4.2: Effetto dello spostamento indietro del gruppo ottico, rispetto al vetro, di una
quantità ∆.
il vetro e il punto di misura e 180 mm tra il gruppo ottico e il vetro2 . Scrivendo la legge
di Snell (4.10) all’ingresso e all’uscita del vetro si ottengono le seguenti relazioni:
n2
sin(α1 /2)
= ,
sin(α2 /2)
n1
n3
sin(α2 /2)
= .
sin(α3 /2)
n2
Gli angoli sono rappresentati in figura 4.2. Facendo il rapporto delle espressioni precedenti, si conclude che la deviazione del raggio nell’attraversare i tre mezzi non dipende
dal mezzo intermedio che esso attraversa:
n3
sin(α1 /2)
= .
sin(α3 /2)
n1
(4.12)
Nel loro manuale di fisica, Koškin e Širkevič (1989) forniscono valori degli indici di
rifrazione relativi, rispetto all’aria, di svariati materiali, attraversati da luce di diversa
lunghezza d’onda. Nella prima parte della tabella 4.1 sono riportati i dati rilevati dal
manuale, mentre nella seconda vi sono i valori che interessano i calcoli successivi, ricavati
mediante interpolazione lineare.
2
La lunghezza focale del gruppo ottico in aria è pari a 310 mm.
86
Tabella 4.1: Indici di rifrazione relativi (Koškin e Širkevič (1989)) e valori interpolati.
λ
[nm]
486,4
589,3
Indici di rifrazione
Vetro Crown leggero Acqua
1,5230
1,3371
1,5170
1,3330
488,0
514,5
1,5229
1,5213
1,3360
1,3370
Nella tabella 4.2 sono riportati i valori degli indici di rifrazione relativi tra vero e
acqua, calcolati coi valori già riportati in tabella 4.1, applicando la seguente espressione:
n23 =
n13
n12
(4.13)
La (4.13) può essere dimostrata facilmente applicando la definizione dell’indice di
rifrazione.
Sostituendo i valori, l’angolo di ingresso risulta essere pari a α1 /2 = 5,612 ◦ . La lieve
discordanza col valore misurato di 11,05 ◦ è dovuta alla poca precisione degli indici di
rifrazione.
Facendo ora riferimento ai triangoli di figura 4.2, si possono scrivere le seguenti relazioni trigonometriche:
h = ∆ tan(α1 /2) = ∆0 tan(α3 /2),
dove ∆ rappresenta lo spostamento del laser dal vetro e ∆0 il corrispondente spostamento
del punto di misura. Imponendo ∆ = 1,5 mm, come si è rilevato col comparatore, risulta
Tabella 4.2: Indici di rifrazione relativi per i colori verde e blu nei tre mezzi attraversati.
Mezzo
Aria / Vetro n12
Aria / Acqua n13
Vetro / Acqua n23
Colore verde
λg = 514,5 nm
1,5213
1,3360
0,8752
87
Colore blu
λb = 488,0 nm
1,5229
1,3370
0,8779
Figura 4.3: Disposizione geometrica dei raggi laser. a) Corretta disposizione spaziale dei
raggi. b) Effetto dell’errore di parallelismo tra lente e vetro.
che lo spostamento del punto di misura è pari a ∆0 ∼
= 2 mm. Tale valore è ancora
accettabile in quanto gli effetti delle pareti laterali sono trascurabili cosı̀ vicino al centro
del canale.
4.2.2
Difetto di parallelismo tra lente e parete
Ci si propone ora di stimare l’errore introdotto nel coefficiente di conversione della frequenza Doppler in velocità dal difetto di parallelismo tra il vetro e la lente. Poiché la geometria
da considerare sarebbe molto complessa, si introdurranno delle semplificazioni nei calcoli,
cosı̀ da ottenere, alla fine, almeno una stima dell’ordine di grandezza dell’errore.
Si supponga la parete di vetro inclinata nel senso verticale rispetto al laser della stessa
quantità rilevata con il comparatore, come indicato nella figura 4.3b.
Essa illustra bene che l’angolo di incidenza del raggio superiore si riduce mentre cresce
quello del raggio inferiore; dunque entrambi si discostano dal valore teorico α 1 /2 = 5,612 ◦
calcolato nel paragrafo 4.2.1. Ipotizzando che il vetro formi con la verticale l’angolo
= 1.432 ◦ e trascurando lo spessore del vetro, gli angoli di incidenza
θ = arctg 1,5
60
88
all’ingresso diventano
α1a /2 = α1 /2 − θ = 4.180 ◦ ,
α1b /2 = α1 /2 + θ = 7.044 ◦ .
I corrispondenti angoli di uscita si ottengono applicando la relazione (4.12). Essi
valgono:
α3a /2 = 3.125 ◦
α3b /2 = 5.263 ◦ .
Ammettendo che la separazione tra i raggi sia ancora pari a 22 mm, come se la
parete fosse dritta, si può scrivere fl0 tan(α2a ) + fl0 tan(α2b ) = bs , dalla quale si ricava
fl0 ∼
= 150,23 mm. Anche in questo caso la mancanza di parallelismo tra la lente e il vetro non introduce errori significativi nel posizionamento del punto di misura: se anche
vi fossero tali errori i raggi si incontrerebbero praticamente nello stesso punto. Questo
fatto è stato provato anche dall’utilizzo di un “pinhole” posto all’interno del canale parallelamente alle pareti laterali; posizionato l’anemometro in corrispondenza del forellino
pinhole, si è verificato che i quattro raggi passassero singolarmente attraverso il foro 3 .
Al fine di verificare la sensibilità del coefficiente C (??) di conversione della frequenza
in velocità, occorre utilizzare i due semiangoli appena determinati, ottenendo i seguenti
valori:
488
= 4,735 · 10−6
a
2 sin(α3 /2)
488
= 2,806 · 10−6
C=
2 sin(α3b /2)
C=
3
m/s
Hz
m/s
.
Hz
Il pinhole è stato costruito “artigianalmente” con un foglio nero nel quale è stato praticato un sottilissimo foro, poi incollato su un angolare trasparente in plexiglass.
89
Questi risultati , molto differenti tra loro, dimostrano come il coefficiente C sia sensibilissimo alla variazione dell’angolo tra i raggi. Calcolando il giusto semiangolo di apertura
α30
αa /2 + α3b /2 ∼
= 3
= 4,194,
2
2
si ottiene un valore praticamente identico a quello originale. Il valore del coefficiente
C=
488
m/s
= 3,336 · 10−6
,
2 sin(α3 /2)
Hz
anche quando è affetto dall’errore di parallelismo si discosta di una quantità trascurabile
da quello teorico, essendo α30 ∼
= α3 . Si conclude, pertanto, che tale errore non può alterare
in maniera significativa i risultati delle misure.
4.3
Influenza della fessura nella sezione di misura
Per valutare approssimativamente l’influenza della fessura praticata tra due lastre in corrispondenza della sezione di misura, con lo scopo di permettere il campionamento della
componente verticale di velocità in prossimità del fondo, si è effettuato un confronto tra
due prove con stesse condizioni di moto, una con la fessura completamente aperta, senza
i fili di ferro di chiusura, l’altra ponendo sul fondo alcuni vetrini per microscopio dello
spessore di 0,15 mm; la prova è stata effettuata con Re ∼
= 50000 e h = 43 mm. Si sono
rilevati 15 punti per ciascuna condizione, in prossimità del fondo, senza mai raggiungere
il pelo libero, pertanto non è stato possibile adimensionalizzare i valori. I risultati sono
riportati nelle figure 4.4 - 4.8.
Dalle due misure si sono ottenuti gli andamenti del valor medio e delle statistiche di u e
v pressoché identici tra loro, mentre si sono riscontrate notevoli differenze sull’andamento
del valor medio di v e di uv.
Questo andamento della componente verticale della velocità sembra indicare che nelle
due prove la v abbia la stessa componente fluttuante, ma a cavallo di valor medi differenti;
90
0.5
0
0.45
-0.0005
-0.001
0.35
v [m/s]
u [m/s]
0.4
0.3
0.25
-0.002
-0.0025
0.2
0.15
0.1
-0.0015
-0.003
Vetrino
Aperta
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y [mm]
3.5
4
4.5
-0.0035
5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y [mm]
3.5
4
4.5
5
Figura 4.4: Confronto tra le velocità medie u e v delle prove con fessura aperta e chiusa.
0.085
0.035
0.08
0.03
0.025
σu [m/s]
σu [m/s]
0.075
0.07
0.065
0.015
0.06
0.01
0.055
0.05
0.02
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y [mm]
3.5
4
4.5
0.005
5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y [mm]
3.5
4
4.5
5
1
0.3
0.8
0.2
0.6
0.1
Sku [m/s]
Sku [m/s]
Figura 4.5: Confronto tra gli scarti σu e σv delle prove con fessura aperta e chiusa.
0.4
0.2
0
-0.1
0
-0.2
-0.2
-0.3
-0.4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y [mm]
3.5
4
4.5
-0.4
5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y [mm]
3.5
4
4.5
5
Figura 4.6: Confronto tra lo skewness Sku e Skv delle prove con fessura aperta e chiusa.
la difficoltà nella lettura degli andamenti sta nel fatto che potrebbe esservi sia l’influenza
della fessura, che distorce, specialmente sul fondo, il flusso nel suo moto verticale, sia
l’influenza dello spessore dei vetrini, che rappresenta il limite maggiore della prova.
Per quanto riguarda uv, si è visto che l’andamento nel caso della prova tradizionale è
91
4.5
4
4
Kuu [m/s]
Kuu [m/s]
4.5
3.5
3
3
2.5
2.5
2
3.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y [mm]
3.5
4
4.5
2
5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y [mm]
3.5
4
4.5
5
Figura 4.7: Confronto tra il kurtosis Kuu e Kuv delle prove con fessura aperta e chiusa.
0
-0.0001
−u0 v 0 [m/s]2
-0.0002
-0.0003
-0.0004
-0.0005
-0.0006
-0.0007
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y [mm]
3.5
4
4.5
5
Figura 4.8: Confronto tra gli sforzi di Reynolds u0 v 0 delle prove con fessura aperta e chiusa.
0.00018
1.2e-005
0.00016
1e-005
u0 v 0 1 [m/s]2
u0 v 0 1 [m/s]2
0.00014
0.00012
0.0001
8e-005
6e-005
4e-005
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y [mm]
3.5
4
6e-006
4e-006
2e-006
Vetrino
Aperta
0
8e-006
4.5
0
5
0
0.5
1
1.5
2
2.5 3
y [mm]
3.5
4
4.5
5
Figura 4.9: Confronto del I quandrante con la fessura aperta e chiusa. Soglie H = 0 ed
H = 4.
92
-0.0001
0
-0.00015
-2e-005
-0.00025
u0 v 0 2 [m/s]2
u0 v 0 2 [m/s]2
-0.0002
-0.0003
-0.00035
-0.0004
-0.00045
-6e-005
-8e-005
-0.0001
-0.0005
-0.00055
-4e-005
0
0.5
1
1.5
2
2.5 3
y [mm]
3.5
4
4.5
-0.00012
5
0
0.5
1
1.5
2
2.5 3
y [mm]
3.5
4
4.5
5
0.00016
1.2e-005
0.00014
1e-005
0.00012
8e-006
u0 v 0 3 [m/s]2
u0 v 0 3 [m/s]2
Figura 4.10: Confronto del II quandrante con la fessura aperta e chiusa. Soglie H = 0 ed
H = 4.
0.0001
8e-005
6e-005
4e-005
6e-006
4e-006
2e-006
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y [mm]
3.5
4
4.5
0
5
0
0.5
1
1.5
2
2.5 3
y [mm]
3.5
4
4.5
5
Figura 4.11: Confronto del III quandrante con la fessura aperta e chiusa. Soglie H = 0
ed H = 4.
-0.0001
-0.00015
u0 v 0 4 [m/s]2
u0 v 0 4 [m/s]2
-0.0002
-0.00025
-0.0003
-0.00035
-0.0004
-0.00045
0
0.5
1
1.5
2
2.5 3
y [mm]
3.5
4
4.5
5
-1.5e-005
-2e-005
-2.5e-005
-3e-005
-3.5e-005
-4e-005
-4.5e-005
-5e-005
-5.5e-005
-6e-005
-6.5e-005
0
0.5
1
1.5
2
2.5 3
y [mm]
3.5
4
4.5
5
Figura 4.12: Confronto del IV quandrante con la fessura aperta e chiusa. Soglie H = 0
ed H = 4.
93
migliore dell’altro. La scorrelazione dei due segnali di velocità nella prova con i vetrini è
probabilmente legata allo spessore di questi; infatti, subendo il raggio laser, nel passaggio
attraverso i vetrini, una deviazione dell’ordine di mezzo millimetro ed essendo la grandezza
del volume di misura dell’ordine del centesimo di millimetro, è da escludersi una buona
correlazione spaziale, poiché le misure di u e di v sono fatte in punti differenti.
La prova non ha permesso di trarre conclusioni sicure, anche se può supporsi che le
statistiche calcolate con la media pesata sul tempo risentano molto poco dell’influenza
della fessura, fatta eccezione per la v,la cui misura è incerta; nulla si può dire sugli sforzi
di Reynolds. Alla luce della misura effettuata, non è possibile escludere una significativa
influenza della presenza della fessura sulle condizioni di moto.
Per avere maggiori informazioni a riguardo del ruolo della fessura si è effettuata
un’altra prova in cui questa è stata coperta con un foglio di Teflon FEP (fluorised ethylene propylene) spesso 0,075 mm, il cui indice di rifrazione, 1,344 ± 0,003, è molto simile a
quello dell’acqua, 1,33, e provoca uno spostamento dei raggi blu di circa 0,04 mm, minore
della grandezza del volume di misura. Come si vede nelle figure 4.13- 4.17, gli andamenti
delle medi coincidono nelle due prove, eccetto che il valor medio di v e lo skewness di v.
Nella prova con il teflon la componente verticale di velocità ha valore più vicino a zero,
come ci si aspetta essendo vicino a parete. I primi punti dello skewness hanno valore
positivo, mentre dovrebbe essere negativo; è bene però ricordare che i primi punti sono
stati presi molto vicino al fondo ed è probabile che il foglio interferisse con i raggi laser.
A differenza della prova con il vetrino non si ha perdita di correlazione tra u e v.
4.4
Stima del tempo di attraversamento
Nel paragrafo ?? si era già parlato del periodo di acquisizione del BSA (o record interval)
e del fatto che per un funzionamento ottimale esso deve essere dell’ordine di grandezza del
tempo impiegato da una particella ad attraversare il volume di controllo. Qui si esegue
94
0.001
0
0.4
-0.001
0.35
-0.002
v [m/s]
u [m/s]
0.5
0.45
0.3
0.25
0.2
-0.004
-0.005
0.15
0.1
-0.003
-0.006
Teflon
Aperta
0
2
4
6
8
10
y [mm]
12
14
16
-0.007
18
0
2
4
6
8
10
y [mm]
12
14
16
18
Figura 4.13: Confronto tra le velocità medie u e v delle prove con fessura aperta e chiusa.
0.075
0.07
0.065
σu [m/s]
σu [m/s]
0.06
0.055
0.05
0.045
0.04
0.035
0.03
0
2
4
6
8
10
y [mm]
12
14
16
18
0.026
0.024
0.022
0.02
0.018
0.016
0.014
0.012
0.01
0.008
0.006
0
2
4
6
8
10
y [mm]
12
14
16
18
0.8
0.3
0.6
0.2
0.4
0.1
Sku [m/s]
Sku [m/s]
Figura 4.14: Confronto tra gli scarti σu e σv delle prove con fessura aperta e chiusa.
0.2
0
-0.2
-0.4
0
-0.1
-0.2
0
2
4
6
8
10
y [mm]
12
14
16
-0.3
18
0
2
4
6
8
10
y [mm]
12
14
16
18
Figura 4.15: Confronto tra le velocità medie Sku e Skv delle prove con fessura aperta e
chiusa.
95
Kuu [m/s]
Kuu [m/s]
3.4
3.3
3.2
3.1
3
2.9
2.8
2.7
2.6
2.5
2.4
2.3
0
2
4
6
8
10
y [mm]
12
14
16
18
3.4
3.3
3.2
3.1
3
2.9
2.8
2.7
2.6
2.5
2.4
2.3
0
2
4
6
8
10
y [mm]
12
14
16
18
Figura 4.16: Confronto tra le velocità medie Kuu e Kuv delle prove con fessura aperta e
chiusa.
-5e-005
-0.0001
−u0 v 0 [m/s]2
-0.00015
-0.0002
-0.00025
-0.0003
-0.00035
-0.0004
-0.00045
-0.0005
0
2
4
6
8
10
y [mm]
12
14
16
18
Figura 4.17: Confronto tra gli sforzi di Reynolds u0 v 0 delle prove con fessura aperta e
chiusa.
una stima di massima dei tempi di attraversamento, calcolandoli semplicemente come:
tat =
lat
,
um
avendo posto la lunghezza di attraversamento lat = 2a = 0,079 mm, ricavata nel paragrafo
??. I valori di velocità media locale, um , variano nell’intervallo 0,01−1,0 m/sec. I risultati
sono riportati nella tabella 4.3.
Tali valori, unitamente alla visualizzazione del segnale di envelope sull’oscilloscopio e
del segnale di velocità sul calcolatore, hanno guidato la scelta del corretto record interval.
96
Tabella 4.3: Stima del tempo di attraversamento del volume di misura.
u
[m/s]
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
4.5
4.5.1
tat
[µs]
7900,0
3950,0
2633,3
1975,0
1580,0
1316,7
1128,6
987,5
877,8
790,0
718,2
658,3
607,7
564,3
526,7
493,8
464,7
438,9
415,8
395,0
u
[m/s]
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
tat
[µs]
376,2
359,1
343,5
329,2
316,0
303,8
292,6
282,1
272,4
263,3
254,8
246,9
239,4
232,4
225,7
219,4
213,5
207,9
202,6
197,5
u
[m/s]
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
tat
[µs]
192,7
188,1
183,7
179,5
175,6
171,7
168,1
164,6
161,2
158,0
154,9
151,9
149,1
146,3
143,6
141,1
138,6
136,2
133,9
131,7
u
[m/s]
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
tat
[µs]
129,5
127,4
125,4
123,4
121,5
119,7
117,9
116,2
114,5
112,9
111,3
109,7
108,2
106,8
105,3
103,9
102,6
101,3
100,0
98,7
u
[m/s]
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
tat
[µs]
97,5
96,3
95,2
94,0
92,9
91,9
90,8
89,8
88,8
87,8
86,8
85,9
84,9
84,0
83,2
82,3
81,4
80,6
79,8
79,0
Elaborazione del segnale
Struttura dei dati forniti dal BSA
Nel corso delle esperienze è nata la necessità di superare alcune grosse limitazioni del
programma BURSTware scrivendo un programma che eseguisse la conversione dei file
contenenti le misure di velocità e di tempo dal formato binario al formato ASCII. Poiché
si è reso necessario accedere direttamente ai dati emessi dai BSA, sembra ora opportuno
descriverne la struttura in modo sintetico.
Il BSA è in grado di fornire i seguenti dati all’interfaccia col computer:
97
Tabella 4.4: Struttura dei dati binari.
at
tt
v
AC1
0
IBF
AC0
0
NVAL
B13
0
B13
MS byte
B12
B11
0
B11
B12
B11
B10
B10
B10
B9
B9
B9
B8
B8
B8
B7
B7
B7
B6
B6
B6
B5
B5
B5
LS byte
B4
B3
B4
B3
B4
B3
B2
B2
B2
B1
B1
B1
B0
B0
B0
1. v velocità o frequenza Doppler,
2. at tempo di arrivo della particella che causa un Doppler burst rilevato e validato dal
BSA,
3. tt tempo di transito della particella nel volume di misura.
IL BSA emette sempre i dati della velocità, mentre gli altri due sono opzionali.
I dati trasmessi dal BSA al computer, siano essi di velocità o tempo, sono in formato
binario, hanno lunghezza pari a due byte e sono organizzati come indicato in tabella 4.4.
Le sigle che compaiono nella tabella 4.4 hanno il seguente significato:
• MS è il byte più significativo (most significant byte);
• LS è il byte meno significativo (least significant byte);
• AC0 ed AC1 sono i codici del tempo di arrivo il cui significato è spiegato in tabella
4.5;
• B0-B13 sono i bit sui quali vengono discretizzate le misure, utilizzando:
– 14 bit per la velocità e il tempo di arrivo,
– 12 bit per il tempo di transito;
• IBF viene posto a 1 nel primo burst emesso dal BSA dopo che si è verificato il
riempimento del buffer dei tempi; il dato marcato in tale modo non è significativo;
• NVAL posto a 1 identifica quei burst che non sono stati validati dal processore del
BSA.
98
Tabella 4.5: Significato dei bit del tempo di arrivo.
AC1
0
0
1
1
AC0
0
1
0
1
Descrizione
misura del tempo di arrivo normale
comando esterno tramite encoder, canale 1
riempimento del buffer del tempo di arrivo
comando esterno tramite encoder, canale 2
Il BSA misura il tempo dall’inizio della prova incrementando di uno il contatore intero
ad ogni ciclo di clock. Quando viene riconosciuto un burst esso legge il valore del contatore
e lo invia al calcolatore di acquisizione.
Tuttavia, essendo la frequenza di campionamento elevata, i 14 bit a disposizione sono
certamente insufficienti a misurare una prova dall’inizio alla fine. Per risolvere questo
problema il BSA pone ad 1 il bit AC1 ogni qual volta si colma il buffer dei tempi di arrivo
e subito dopo lo riazzera. BURSTware calcola il tempo trascorso dall’inizio della prova,
sommando al tempo indicato dall’attuale contatore, la durata dell’intero buffer dei tempi,
tante volte quante si è rilevato il bit AC1 posto a 1. In formule:
atbin = tbin + nAC1 tbuf
(4.14)
dove
• atbin è il tempo di arrivo della particella, misurato dall’inizio della prova,
• tbin il valore del contatore intero reso dal BSA, azzerato ogni volta che si riempie,
• nAC1 un contatore incrementato di uno ogni volta che si rileva il bit AC1 pari ad 1,
• tbuf la durata corrispondente al massimo valore che il buffer dei tempi può contenere.
Il coefficiente di conversione da contatore intero a tempo di arrivo, dipendente dalla
lunghezza del record Rl impostata e dalla frequenza di campionamento fs = 1,5BW , vale:
at = atbin Rl Ts =
99
2Rl atbin
,
3BW
(4.15)
Tabella 4.6: Valore del coefficiente RL .
Rl
RL
8
0
16
1
32
2
64
3
dove atbin è il valore del contatore intero dato dalla (4.14). Il tempo cosı̀ calcolato è
espresso in millisecondi.
Il coefficiente di conversione della frequenza in velocità dipende dalla frequenza di centraggio, dall’ampiezza della banda, dal record lenght e dallo stato dell’unità di frequency
shifting, secondo una delle seguenti relazioni:
3
3BW
fd = fc − BW + Vbin 12+R
L
4
2
3BW
3
fd = fc + BW − Vbin 12+R
L
4
2
shift al di sotto della banda,
shift al di sopra della banda.
RL è un fattore che dipende dalla lunghezza del record secondo la tabella di equivalenza
4.6.
Il gruppo di traslazione delle frequenze montato nel BSA esegue lo shift al di sotto
della banda, per cui, nel calcolo della velocità, si usa la prima formulazione.
Le impostazioni dei BSA vengono salvate su disco dal programma BURSTware in file
con estensione .par, mentre i dati di velocità vengono salvati con estensione .000 in file
con nome differente per distinguere la componente u dalla componente v. All’inizio di
ciascun file delle velocità, vengono anche ripetuti i principali dati delle impostazioni. Le
strutture dei dati salvati sono riportate sul manuale del programma per cui è possibile
accedere a tutte le informazioni del file di dati anche senza il programma BURSTware.
4.5.2
Limiti del programma di acquisizione nella conversione dei
dati
Il primo difetto riscontrato in BURSTware è l’utilizzo di variabili in singola precisione
per la memorizzazione dei tempi di arrivo, in quanto esse non garantiscono una precisione
100
sufficiente quando il valore del tempo diventa elevato. Per ogni cifra che si aggiunge prima
della virgola se ne perde una dopo, finché, quando le cifre intere sono pari a 6, non si hanno
più decimali a disposizione e tutti i valori misurati vengono troncati all’intero. Questo
è un grave problema, perché il periodo di acquisizione, nel campo di nostro interesse, è
pari a 0,2 ms circa e, quindi, in un millisecondo possono esserci anche 5 dati differenti che
risultano indistinguibili tra loro quando si perde l’informazione sui decimali.
Nel corso delle elaborazioni si è scoperto che i BSA a volte non segnalano il riempimento del buffer dei tempi, causando un errato funzionamento dell’algoritmo di conversione
dei tempi utilizzato da BURSTware. Esso incrementa il contatore dei buffer che si sono
riempiti solo quando rileva il bit AC1 posto a 1; se questa informazione viene a mancare
il conto del tempo risulta errato perché nella (4.14) tbin si azzera senza che nAC1 venga
incrementato di uno. Da quel punto in poi il tempo calcolato è in difetto di una quantità
pari alla lunghezza di un buffer. Questo problema è stato evidenziato dalla rappresentazione grafica dei prodotti u0 v 0 : là dove il BSA non marca il riempimento del buffer il
prodotto diventa bruscamente disperso, sintomo di una scorrelazione temporale.
Questi due problemi sono stati risolti scrivendo un programma dedicato alla conversione dei file da binario ad ascii. Si è scelto di utilizzare il linguaggio C poiché sul manuale
del BURSTware le strutture dei dati utilizzate per memorizzare le impostazioni delle
prove sono scritte in tale linguaggio. Il programma è riportato nell’appendice ??.
Per evitare il problema della marcatura inaffidabile del BSA, nel ciclo principale di
conversione si tiene in memoria il tempo del campione precedente e lo si confronta con
quello attuale. Quando il tempo del campione attuale è inferiore a quello del campione
precedente significa che si è verificato il riempimento del buffer e si incrementa il relativo
contatore. Solo a questo punto si calcola il tempo di arrivo. In questo modo si possono
conteggiare senza errori i riempimenti del buffer dei tempi.
101
Dal confronto dei risultati forniti dal programma di conversione con quelli di BURSTware si è verificato che la velocità e il tempo di arrivo vengono calcolati correttamente.
4.5.3
Pulizia del segnale
Una volta convertito il segnale, il secondo grosso problema da affrontare prima dell’elaborazione vera e propria consiste nella pulizia dal rumore, dovuto a false misurazioni eseguite
dall’anemometro, che non hanno a che vedere con la velocità puntuale; inoltre, come già
accennato al paragrafo ??, il BSA rileva una densa banda di rumore sulla frequenza di
centraggio. È evidente che, innanzitutto, occorre eliminare questi falsi segnali prima di
procedere con qualunque altra elaborazione.
A tale scopo sono stati scritti due semplici programmi in Pascal, riportati nelle appendici ?? e ??, aventi la funzione di eliminare tutti i dati del tutto estranei al segnale di
velocità, mediante l’applicazione di due soglie, rispettivamente passa-basso e passa-alto,
adeguatamente posizionate.
Descriviamo ora brevemente il funzionamento del primo programma. Innanzitutto,
esso calcola la distribuzione di probabilità del segnale di velocità, discretizzando in n max
punti l’intervallo tra il massimo e il minimo valore misurato . Poi, presi due valori di
velocità consecutivi, va a sommare nei corrispondenti elementi del vettore della curva di
probabilità, il rapporto tra il tempo trascorso in quell’intervallo di velocità e l’ampiezza
dell’intervallo, in modo simile a quanto descritto dalla relazione (2.80). Qui non è stata
fatta la divisione per il tempo massimo, in quanto esso è uguale per ciascuna prova. Alla
fine di questa operazione si ottiene un vettore contenente la densità di probabilità del
segnale di velocità.
Calcolata la distribuzione di probabilità del segnale, il programma ne cerca il valore
massimo e, successivamente, scandisce il vettore partendo dal massimo e muovendosi verso
le code, per cercare tre valori di probabilità successivi coincidenti tra loro. Questi indicano
102
il raggiungimento delle code della distribuzione; i punti all’esterno dei valori di velocità
ad essi corrispondenti hanno pochissima probabilità di presentarsi.
Il taglio risulta più o meno severo a seconda della discretizzazione della curva di
probabilità, in quanto essa diventa sempre più selettiva, perché i punti isolati del rumore,
all’esterno del segnale vengono a pesare sempre di meno.
Scegliendo opportunamente il numero di intervalli nmax si ottiene un taglio adeguato
per i segnali puliti, in grado di eliminare tutti i punti di rumore strumentale, compresa la
folta banda del BSA1, senza intaccare il segnale.
Tuttavia tale valore risulta inadatto per i segnali con più rumore che si ottengono
quando il record interval è un po’ piccolo; in questo caso i limiti di taglio risultano troppo
ampi e non sempre si riesce a eliminare la banda di rumore del BSA1, soprattutto se
questa è vicina al segnale.
Per essere sicuri di non tagliare troppo i segnali puliti e di non tagliare troppo poco
quelli un poco più rumorosi, si è pensato di fare una seconda operazione di taglio nella
quale i limiti vengono scelti dall’operatore, il quale si assume tutte le responsabilità. Con
un po’ di esperienza si può fare un ottimo lavoro.
Queste elaborazioni sono state eseguite su tutte le misurazioni eseguite in back-scatter.
Nella configurazione forward-scatter si è mantenuto Rl al valore massimo, 64, ottenendo
cosı̀ dei segnali molto puliti e con un record interval più vicino al tempo di attraversamento,
senza ridurre troppo la frequenza di acquisizione. Per queste misure è stato sufficiente
una sola operazione di pulizia.
Al termine di queste elaborazioni si ottiene il segnale ripulito dai campionamenti spuri.
103
0.015
0.01
v
0.005
0
-0.005
-0.01
-0.015
0
500
1000
1500
t [ms]
2000
2500
3000
Figura 4.18: Serie di dati non equispaziati nel tempo, acquisita con l’anemometro laser
Doppler.
4.5.4
Calcolo dei momenti statistici sulle serie storiche non equispaziate
Negli esperimenti effettuati sono state misurate le componenti di velocità u e v ad una
certa distanza y dal riferimento fisso costituito dal fondo del canale, sia nel caso di fondo
liscio che di fondo scabro.
Le serie temporali misurate, date le caratteristiche dell’anemometro laser Doppler, risultano non equispaziate (figura 4.18) e quindi comportano grandi difficoltà nella trattazione dei dati, perché impediscono l’utilizzo degli algoritmi standard del calcolo numerico.
Soluzioni alternative sono già stata utilizzate con successo in lavori precedenti, Salomone (1995) e Poggi (1998), per cui qui si fornisce solamente un breve cenno delle tecniche
utilizzabili per giustificare quella adottata nel presente lavoro.
Alcuni metodi per costruire una serie storica equispaziata da una che non lo è, sono,
ad esempio:
Interpolazione: scelta una opportuna funzione interpolatrice, si costruisce una serie
104
storica equispaziata basata su quella nota. Tuttavia questa soluzione non è priva
di problemi, infatti, l’interpolazione agisce sulla serie come un filtro passa basso e,
privandolo dei contenuti armonici di alta frequenza, distorce il segnale. L’entità
della distorsione, cosı̀ come la frequenza minima di influenza dipendono dal tipo di
interpolazione utilizzato.
Gli effetti dell’interpolazione si vedono soprattutto nello spettro del segnale, ed è
proprio in questo ambito che Porporato e Ridolfi (1994) hanno confrontato su un
gruppo di segnali i diversi metodi di interpolazione qui elencati:
• sampling and holding
• lineare
• spline cubica.
Nell’interpolazione sampling and holding si assume che la velocità sia costante
nell’intervallo di tempo ti − ti−1 e pari al valore ui , oppure pari ad ui−1 . La funzione interpolante cosı̀ ottenuta, cambia il suo valore a gradini in corrispondenza
degli istanti di acquisizione, allontanandosi molto dalla realtà fisica del fenomeno, e
non essendo oltretutto di classe C 0 . Essa è estremamente semplice e trova validità
nella estrema velocità di calcolo, parametro da non trascurare quando si debbano
interpolare milioni di dati.
Le spline nei casi usuali di interpolazione forniscono ottimi risultati, in quanto si
avvicinano maggiormente alla fisica del segnale, assicurando, per esempio, la continuità fino alla derivata seconda. Purtroppo nelle applicazioni LDA esse generano
grossi errori, soprattutto quando nel segnale vi sono forti gradienti subito prima di
un intervallo di tempo di maggiore ampiezza rispetto all’intervallo medio di campionamento. Nella serie ricampionata a passo costante appaiono delle oscillazioni
vistose, incompatibili col fenomeno fisico studiato.
105
È risultato evidente che l’interpolazione lineare causa nello spettro disturbi inferiori
a quelli delle altre due e anche minori della tecnica di equispaziatura.
Equispaziatura: si assume che i valori di velocità misurati siano tra loro equispaziati
del periodo medio di acquisizione, ignorando completamente gli istanti di tempo nei
quali essi erano stati acquisiti.
In uno studio successivo Porporato e Ridolfi (1996) hanno verificato che l’interpolazione lineare può ricostruire fedelmente la serie originale senza introdurre grandi imprecisione nel segnale ricampionato, purché questo abbia una frequenza di acquisizione elevata,
10 kHz, e le discontinuità nel segnale non superino i 100 msec.
Non è detto che la linearizzazione sia il metodo di interpolazione migliore, ma è sicuramente quello più utilizzato, mancando metodi interpolatori più affidabili e testati. Inoltre
è piuttosto semplice e poco onerosa nel calcolo.
Nella prima fase di elaborazione, si è già provveduto a costruire, per ciascun segnale,
la corrispondente serie storica linearizzata, con un periodo di 0,1 ms (frequenza 10000 Hz),
per i primi 180 secondi e la serie storica linearizzate con frequenza 1000 Hz per l’intera
durata della prova, 900 s. Le prime verranno usate per il calcolo preliminare dello spettro
del segnale in quanto assicurano un’ottima convergenza, le seconde per il campionamento
condizionato. I semplici programmi che eseguono la linearizzazione sono riportati in
appendice ??.
Tuttavia, essendo molto ricche di dati, per il calcolo dei momenti statistici si possono
usare le serie storiche non equispaziate. Si descrive ora il metodo adottato per calcolare
le grandezze medie caratteristiche del moto partendo dalle serie temporali. La prima
grandezza presa in considerazione, per importanza, è la velocità media puntuale. Essa è
stata ottenuta, dalla relativa serie temporale, mediando nel tempo il segnale attraverso
106
l’uso di un metodo geometrico, che consiste nell’eseguire la media integrale del segnale
misurato valutandone l’area sottesa con la formula dei trapezi.
In altre parole si pesano i valori delle fluttuazioni di velocità, con il tempo tra un
campionamento ed il successivo ∆t = ti+1 − ti . Allo stesso modo si calcolano i momenti
statistici centrati del 2◦ 3◦ e 4◦ ordine, relativi alle serie sperimentali, già introdotti nel
paragrafo 2.5.3.2 a pagina 45. Queste sono fondamentalmente operazioni di linearizzazione.
Formalizzando quanto descritto sopra, si ottengono le seguenti espressioni, applicate
a tutte le prove:
Pn
(ui+1 + ui )(ti+1 − ti )
P
2 ni=1 ti+1 − ti
Pn
u)2 + (ui − u)2 ] (ti+1 − ti )
2
i=1 [(ui+1 − P
σ =
2 ni=1 ti+1 − ti
√
σ= σ
Pn
[(ui+1 − u)3 + (ui − u)3 ] (ti+1 − ti )
P
Sk = i=1
2σ 3 ni=1 ti+1 − ti
Pn
[(ui+1 − u)4 + (ui − u)4 ] (ti+1 − ti )
P
Ku = i=1
2σ 4 ni=1 ti+1 − ti
u=
i=1
Velocità media
(4.16)
Varianza
(4.17)
Scarto quadratico medio
(4.18)
Skewness
(4.19)
Kurtosis
(4.20)
Utilizzando le precedenti equazioni, su tutte le serie temporali delle velocità misurate, si sono determinati i momento statistici di tutte le misure, commentate nei capitoli
seguenti. I risultati numerici sono riportati nelle tabelle dell’appendice ??.
Il metodo della linearizzazione dei dati sperimentali è sicuramente quello che, in mancanza di metodi interpolatori di sicura efficacia, risulta essere il più affidabile. Si cerca
ora di capire quale sia il margine di errore che l’adozione della linearizzazione comporta e quale sia dunque i suoi limiti di validità, soprattutto in termini di errore massimo
commesso nella valutazione dei momenti. Tale problema è già stato affrontato da Poggi
(1998), il quale ha confrontato i risultati ottenuti applicando la formula dei trapezi con
107
quelli che si ottengono applicando le formule dei rettangoli, scritte nei due modi seguenti:
f (x) = max{yi ; yi+1 },
per yi < x < yi+1
(4.21)
f (x) = min{yi ; yi+1 },
per yi < x < yi+1
(4.22)
Sicuramente la funzione lineare sarà compresa tra la (4.21) e la (4.22), per cui è lecito
aspettasi che queste siano anche, in linea di massima, i limiti di un’eventuale funzione
interpolatrice ottimale (non sarebbe altrettanto vero se si assumessero funzioni di tipo
spline che, per la loro particolare natura, hanno delle oscillazioni notevoli).
In base a queste considerazioni si è proceduto a ricalcolare i momenti statistici delle
funzioni a gradino (4.21) e (4.22) e successivamente a confrontare i valori cosı̀ ottenuti con
quelli della funzione lineare. Gli errori relativi sui quattro momenti sono risultati piccoli
per le ultime serie storiche acquisite nel corso della sessione di misure, perché quelle
contengono un grande numero di punti, circa 1500000. In vicinanza del fondo l’errore
cresce esponenzialmente in quanto le frequenze di acquisizione si riducono ad 1/3, circa.
Per tale motivo anche nel presente lavoro si utilizzano le formule di calcolo dei trapezi.
4.5.5
Analisi della frequenza di acquisizione e delle interruzioni
del campionamento
In questo paragrafo si intende descrivere in modo qualitativo la struttura del segnale in
uscita dall’anemometro laser che, come si è già detto, risulta essere non equispazizato. Si
è pensato di descrivere meglio la struttura del segnale andando a valutare la distribuzione
di probabilità degli intervalli temporali nei quali manca il campionamento. Tale indagine
è stata eseguita su una prova per ciascuno dei tre fondi e ha permesso di costruire le
distribuzioni di probabilità delle figure 4.19 - 4.22 alle pagine 112, 113.
Si sono considerate prove con le stesse caratteristiche della corrente, Sm 3B, Rt 3B,
Rl3B ed ancora la Sm 3B in forward- scatter, cosı̀ da poter fare un confronto, che non può
essere spinto molto avanti, poiché nelle diverse prove si sono impostate bande differenti,
108
con conseguenti frequenze di acquisizione dei BSA diverse tra loro. Si sono scelti tre punti
di misura alle diverse altezze ya /h ∼
= 0,0156; yb /h ∼
= 0,0779; yc /h ∼
= 0,3894 per mettere
in evidenza gli effetti sul segnale dell’innalzamento dell’anemometro. Nella tabella 4.7 si
riportano le caratteristiche di ciascuna prova; analizzandola si può notare che la frequenza
media di acquisizione della componente v si è alquanto ridotta a causa del progressivo
esaurimento del generatore laser, mentre la frequenza si è mantenuta abbastanza costante
sulla componente u; infine, le frequenze di acquisizione medie si mantengono tutte ben al
di sotto della frequenza massima del BSA.
In tutte le prove eseguite in modalità back-scatter si può osservare che la frequenza di
acquisizione media cresce con l’altezza, perché il gruppo ottico è sempre meno nascosto
dal fondo del canale: al crescere dell’altezza aumenta la superficie utile di ricezione della
lente frontale. Nella prova in forward scatter le frequenze di acquisizione sono nettamente
più alte anche al fondo poiché, essendo il fotomoltiplicatore posizionato a fianco e più
in alto del volume di misura, non vi sono ostacoli che riducono la capacità di captare
la radiazione dispersa; in tali prove è abbastanza semplice mantenere la frequenza di acquisizione costante riducendo la tensione al fotomoltiplicatore quando essa cresce troppo.
La frequenza media di acquisizione di v nella prova Sm 3B mostra come aumentando la
banda a parità di Rl aumenta la frequenza media di acquisizione; questa tecnica non deve
essere spinta agli estremi in quanto si riempirebbe di rumore il segnale. Invece quando si
aumentano contemporaneamente sia l’ampiezza della banda, sia la lunghezza del record,
si nota che solitamente la frequenza media scende, nonostante la frequenza di acquisizione
del BSA resti costante; ciò è dovuto alla perdita di risoluzione nel campionamento che
conduce a una riduzione della percentuale di dati validi; quanto detto è ben visibile nella misura di v delle prova Rl 3B e Sm 3B back scatter, nella misura della componente u
l’effetto di aumento della frequenza dovuto all’innalzamento dell’anemometro prevale su
quello di riduzione.
109
Tabella 4.7: Confronto delle frequenze medie di acquisizione.
Componente u
Componente v
Descrizione
ya /h
yb /h
yc /h3
ya /h
yb /h
yc /h
Misura Sm 3B in back scatter (25/11/99).
Banda acquisiz.
[m/s]
0,4
0,8
0,4
0,2
0,4
0,8
Record lenght
32
64
32
32
32
64
Freq. acquisiz. BSA
[KHz]
5,8
5,8
5,8
2,9
5,8
5,8
% dati validi
10
12
19
7
8
7
Freq. acquisiz. media [Hz]
617
671
1084
246
501
450
Tot. int. senza camp.
161287 209845 188664 154557 186389 208520
Max. ampiezza int.
[ms]
85
52
24
133
86
85
Misura Sm 3B in forward scatter (24/03/00).
Banda acquisiz.
[m/s]
1,7
1,7
1,7
1,7
Record lenght
64
64
64
64
Freq. acquisiz. BSA
[KHz]
11,7
11,7
11,7
11,7
% dati validi
49
48
49
45
Freq. acquisiz. media [Hz]
1993
2238
2346
1185
Tot. int. senza camp.
220404 178876 144645 188706
Max. ampiezza int.
[ms]
113
96
96
64
1,7
64
11,7
45
1960
190020
25
1,7
64
11,7
38
1904
188781
27
Banda acquisiz.
Record lenght
Freq. acquisiz. BSA
% dati validi
Freq. acquisiz. media
Tot. int. senza camp.
Max. ampiezza int.
Misura Rt 3B (28/01/00).
[m/s]
1,7
1,7
1,7
64
64
64
[KHz]
11,7
11,7
11,7
3
8
11
[Hz]
485
921
1161
107441 237909 257668
[ms]
167
105
105
0,4
32
5,8
2
136
55006
211
0,4
32
5,8
4
265
171776
96
0,4
32
5,8
4
282
188542
102
Banda acquisiz.
Record lenght
Freq. acquisiz. BSA
% dati validi
Freq. acquisiz. media
Tot. int. senza camp.
Max. ampiezza int.
Misura Rl 3B (25/02/00).
[m/s]
1,7
1,7
1,7
64
64
64
[KHz]
11,7
11,7
11,7
2
6
8
[Hz]
276
676
1064
116965 214293 201906
[ms]
225
120
90
0,4
32
5,8
2
116
103756
275
0,8
64
5,8
2
111
99659
229
0,8
64
5,8
3
124
110583
198
110
Osservando la massima ampiezza degli intervalli di interruzione del campionamento si
nota che essi hanno la tendenza a ridursi con l’altezza del punto di misura, segno che il
segnale viene acquisito in modo migliore; tuttavia il numero di interruzioni cresce.
Come appare evidente dalle figure 4.19 - 4.22, al crescere dell’altezza i segnali presentano intervalli di non acquisizione più brevi e più frequenti, contro un’acquisizione al
fondo che sembra di carattere più intermittente; dai dati della tabella 4.7 si rileva infine
che l’ampiezza massima degli intervalli si riduce al crescere dell’altezza. Confrontando gli
stessi dati al passare del tempo si nota come l’ampiezza sia cresciuta, segno che, al ridursi
della potenza del raggio laser, l’anemometro tende a campionare particelle di dimensioni
via via più grandi. È notevole la riduzione dell’intervallo massimo che si ha nella prova in
forward scatter, soprattutto sulla componente v, che la rende migliore anche della prima
prova.
Nei grafici sono riportate le distribuzioni di probabilità al variare della dimensione
dell’intervallo di non campionamento, tra 0 e 15 ms per passi discreti di 1 ms. Per il
tempo di interruzione ∆tint = 0 vengono contati quegli intervalli di ampiezza minore a
0,5 ms, per ∆tint = 1 vengono contati gli intervalli compresi tra 0,5 ms incluso e 1,5 ms
escluso.
4.5.6
Verifica della stabilità e stima dell’errore
Poiché nei capitoli successivi si presenteranno i risultati numerici di tutte le misure, è
qui necessario definire l’errore di cui esse sono affette. La precisione delle misure non è
tanto determinata dallo strumento, poiché sarebbe dell’ordine di grandezza dell’errore di
discretizzazione4 , quanto dalla lunghezza della finestra temporale usata per l’osservazione
4
Nel paragrafo 4.5.1 si è evidenziato che il BSA discretizza i valori della velocità su n = 14 bit, ovvero
suddivide l’intervallo BW in N = 2n = 16384 sottointervalli, a ciascuno dei quali corrisponde un diverso
valore digitale. L’errore di discretizzazione cambia in funzione del modo in cui si assegna un valore
digitale, variabile per passi discreti, al valore analogico del segnale, variabile con continuità.
Siano Ii , con i = 1 . . . N , gli estremi di ciascun sottointervallo e ∆BW la loro ampiezza. Se si assegna
alla “parola” digitale corrispondente a Ii il segnale di velocità che cade nell’intervallo [Ii ; Ii+1 ], si ottiene
111
35
30
v
ya /h
yb /h
yc /h
% Intervalli interruzione
% Intervalli interruzione
u
35
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
25
20
15
10
5
0
16
ya /h
yb /h
yc /h
30
0
2
4
6
∆tint. [ms]
8
10
∆tint. [ms]
12
14
16
Figura 4.19: Distribuzione di probabilità delle interruzioni di campionamento. Componenti u e v della prova Sm 3B.
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
∆tint. [ms]
12
14
v
u
% Intervalli interruzione
40
ya /h
yb /h
yc /h
35
% Intervalli interruzione
25
30
25
20
15
10
5
0
16
ya /h
yb /h
yc /h
0
2
4
6
8
10
∆tint. [ms]
12
14
16
60
ya /h
yb /h
yc /h
0
2
4
6
8
10
12
14
ya /h
yb /h
yc /h
v
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
50
% Intervalli interruzione
% Intervalli interruzione
u
Figura 4.20: Distribuzione di probabilità delle interruzioni di campionamento. Componenti u e v della prova Rt 3B.
40
30
20
10
0
16
∆tint. [ms]
0
2
4
6
8
10
∆tint. [ms]
12
14
16
Figura 4.21: Distribuzione di probabilità delle interruzioni di campionamento. Componenti u e v della prova Rl 3B.
112
35
30
v
ya /h
yb /h
yc /h
% Intervalli interruzione
% Intervalli interruzione
u
35
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
∆tint. [ms]
12
14
25
20
15
10
5
0
16
ya /h
yb /h
yc /h
30
0
2
4
6
8
10
∆tint. [ms]
12
14
16
Figura 4.22: Distribuzione di probabilità delle interruzioni di campionamento. Componenti u e v della prova Sm 3B in forward scatter.
del fenomeno. Secondo quanto anticipato nel paragrafo 2.5.1, supponendo che il fenomeno esaminato sia ergodico, per stimare la media di insieme di un processo con la media
temporale sarebbe necessario protrarre il tempo di osservazione all’infinito, cosa evidentemente non realizzabile. Nella pratica si cerca di ottenere la convergenza della media
temporale alla media di insieme, eseguendo l’osservazione del fenomeno per un tempo
sufficientemente lungo. Questo significa che nella formula (2.74) non si farà tendere il
tempo T all’infinito, ma ad un tempo T0 sufficientemente lungo da rendere la differenza
tra le due medie inferiore ad un valore ritenuto accettabile. In queste condizioni la (2.74)
dovrebbe essere riscritta come
lim |xt − x|2 ≤ ,
T →T0
un errore di discretizzazione pari a ∆BW . Se invece si assegna alla parola digitale corrispondente ad
Ii il segnale di velocità che cade nell’intervallo [Ii − ∆BW/2; Ii + ∆BW/2], si minimizza l’errore di
discretizzazione, che risulta essere pari a ∆BW/2. L’errore di discretizzazione assoluto è dell’ordine di
grandezza di ∆BW/2:
BW
BW
∆BW
=
= n+1 .
E=
n
2
2·2
2
Per calcolare l’errore relativo, si suppone di avere un segnale turbolento che si sviluppa in un intervallo
di velocità molto prossimo all’ampiezza di una banda e che, per acquisirlo completamente, sia necessario
adottare la banda immediatamente superiore. Assumendo, allora, che l’intervallo di velocità nel quale si
sviluppa il segnale turbolento misurato sia pari a ∆u = BW/2 si ha che l’errore relativo percentuale è
pari a
E
1
ε% =
100 = n 100 ∼
= 0.006%,
∆u
2
valore decisamente piccolo.
113
dove è l’errore ammesso.
Per assicurare la convergenza dei momenti statistici si è scelto un tempo di osservazione più alto possibile, pari a T0 = 15 min. Questo non può essere ulteriormente
aumentato perché la regolazione iniziale del canale e le aquisizioni renderebbero la durata
delle esperienze troppo lunga.
Avendo quindi fissato sulla base di indicazioni preesistenti una lunghezza della finestra
temporale di osservazione del fenomeno turbolento non resta che verificare quanto i risultati sono attendibili esaminando la stabilità dei momenti statistici al variare del tempo
di acquisizione. Essi sono stati calcolati sulle realizzazioni già acquiste facendo variare T 0
da 15 s a 15 min, con passo di 15 s. Ci si aspetta, soprattutto nei primi secondi, che il
valore del coefficiente calcolato presenti delle oscillazioni piuttosto marcate; tuttavia, al
crescere della lunghezza della finestra di osservazione esse dovrebbero smorzarsi sempre
di più perché la media temporale approssima sempre meglio la media d’insieme. Se la
durata dell’acquisizione è sufficientemente lunga per assicurare una buona convergenza,
le oscillazioni dei parametri dovrebbero essere contenute in bande ristrette, prima che si
giunga al termine della prova.
Per rendere confrontabili i risultati di misure diverse si è calcolato l’errore percentuale
tra il valore medio che la grandezza in esame assume per le varie durate della finestra
temporale ed il risultato finale, assunto come valore esatto di quella grandezza.
Nelle figure da ?? a ??, tra le pagine ?? e ??, sono riportati i grafici della stabilità dei
momenti statistici al variare dell’altezza dei punti di misura nelle prove in modalità backscatter.
In generale si nota che media, varianza e skewness oscillano in fasce sempre più ristrette
al crescere del tempo e già dopo 5 min le oscillazioni di media e scarto sono comprese in
una fascia abbastanza ristretta. Solamente lo skewness e la media di v sembrano non
stabilizzarsi, poiché le loro oscillazioni sono grandi fino al termine della prova. Nella
114
tabella ?? sono riportati i valori degli errori percentuali massimi che affliggono le misure
in back-scatter. I valori proposti sono basati sulle osservazioni di più prove scelte come
campione tra quelle terminali di ogni campagna di acquisizione sui tre fondi presi in
considerazione, più una prova in forward scatter, cosı̀ da evidenziare eventuali effetti della
perdita di potenza del generatore laser sulla precisione delle misure. La sigla In indica le
grandezze che sembrano non convergere.
Osservando le tabelle riportate nell’appendice ??, si nota che con le prove in forwardscatter si ottengono fascie di variazione che sono dello stesso ordine di grandezza di quelle
ottenute in back- scatter; nonostante tale modalità consenta di ottenere buone frequenze
di acquisizione e di mantenerle costanti su entrambe le componenti, la descrizione del
segnale non cambia molto.
La media di v sembra non stabilizzarsi mai, ma questo può essere giustificato dal
fatto che essa dovrebbe essere idealmente nulla,5 quindi gli errori assoluti divisi per un
valore che tende a zero diventano molto grandi. Un’altra ragione per questa marcata
oscillazione della media di v è l’utilizzo di bande più ampie del necessario per l’acquisizione
del segnale, usate per cercare di mantenere elevata la frequenza di acquisizione; in alcuni
casi risulta che l’ampiezza degli intervalli di discretizzazione digitale sono dello stesso
ordine di grandezza del valore medio e, quindi, esso non può essere calcolato.
È invece preoccupante la marcata oscillazione dello skewness per la quale si intende
eseguire uno studio diverso. Per il teorema del limite centrale
Z x
m − m
t2
1
p √ < x =
e− 2 dt,
2π −x
σ/ N
(4.23)
la media di un insieme di campioni statisticamente indipendenti differisce dalla me√
dia dell’intera popolazione |m − m| al più della quantità xσ/ N , con una probabilità
R x − t2
1
data da 2π
e 2 dt. Imponendo la confidenza che si desidera ottenere, ad esempio
−x
5
In realtà può essere localmente diversa da zero a causa delle correnti secondarie.
115
1
2π
Rx
t2
e− 2 dt = ℘%, si ricava mediante le tabelle della funzione d’errore il corrispondente
√
valore di x. Questo, una volta sostituito in xσ/ N , fornisce la banda di errore |m − m|
−x
che nel ℘% dei casi contiene le misure eseguite; nel nostro caso è stata scelta ℘% = 99%,
ossia x ∼
= 3.
Per l’applicazione pratica di tali formulazioni si sono suddivise le serie storiche acquisite
in 15 intervalli di 60 s, sui quali si sono calcolati i valori dei momenti statistici dei primi
quattro ordini, la media e lo scarto dei loro risultati. È necessario dire che l’approccio
seguito ha alcuni punti deboli: innanzitutto 15 campioni sono pochi per l’applicazione del
teorema del limite centrale, la causa che disperde i punti sperimentali deve essere di tipo
accidentale e casuale. Questo non è verificato nel segnale di velocità turbolenta perché la
dinamica è governata un’equazione matematica, inoltre, due campioni di 60 s tra di loro
adiacenti, non sono statisticamente indipendenti, in quanto quello successivo “ricorda”
ciò che è avvenuto in quello precedente; tuttavia questa memoria dura solamente per
una piccola frazione di tempo all’inizio del segnale. Per finire, un minuto è un tempo
sicuramente insufficiente per avere la convergenza dei momenti statistici di terzo e quarto
ordine; infatti, per alcuni punti di misura si evidenziano errori anche del 40%. Per ovviare
in parte a quest’ultimo problema si è pensato di ripetere i calcoli suddividendo il segnale
in 5 intervalli di 3 minuti.
Alla luce dei risultati forniti dalla tabella ?? ed integrando con i risultati dell’analisi
statistica appena descritta, si sono definiti gli errori percentuali che affliggono le misure,
riportati nella tabella 4.8. Nonostante gli errori percentuali sullo skewness siano piuttosto
elevati, si ottengono dei grafici abbastanza ben definiti, nei quali l’andamento del momento
statistico è ben distinto e regolare; solo quando questi vengono riportati tutti su uno
stesso grafico si vede che la fascia di valori occupata dal loro inviluppo ha una ampiezza
corrispondente all’errore citato.
116
Tabella 4.8: Errori percentuali massimi dei quali sono affetti i momenti statistici.
Momento statistico
Media
Scarto
Skewness
Kurtosis
Sforzi di Reynolds
117
u
v
0,5 In
1,0 1,5
20 30
1,5 1,5
4,0
118
GRANDI E PICCOLE SCALE NELLA TURBOLENZA DI PARETE
Capitolo 5
Il profilo di velocità longitudinale
Questo capitolo è dedicato all’interpolazione delle velocità medie locali, ricavate sperimentalmente per ciascuna stazione di misura, mediante la ricerca in letteratura di
un’equazione idonea allo scopo e di metodologie per risalire ad una interpolazione ottimale. Il fine non è solo ricavare funzioni di velocità adeguate, ma anche determinare
una grandezza, detta parametro di scabrezza, che permetta di quantificare la scabrezza
della rete posta sul fondo del canale. Questa ricerca si inserisce perfettamente all’interno
del capitolo essendo il parametro di scabrezza parte integrante nell’interpolazione del
profilo di velocità in un canale avente il letto scabro.
Successivamente si analizzerà l’effettiva possibilità di applicare le equazioni trovate
anche al caso del canale trattato in questa tesi con tutti i problemi e gli accorgimenti
annessi. In ultimo si cercherà di chiarire l’influenza della scabrezza sul moto medio della
corrente e quindi come la presenza di irregolarità sulle superfici influisca sulla funzione di
velocità, riportando i diversi approcci al problema adottati da vari ricercatori.
Scelta la formulazione che si riterrà essere più adatta, si procederà con l’interpolazione
dei dati a disposizione avendo cura di verificare, nei limiti del possibile, l’attendibilità dei
risultati ottenuti mediante il confronto con i lavori di analoga natura che si possono
reperire in letteratura.
Vi saranno anche alcune parti più applicative nelle quali si discuteranno i problemi
inerenti le elaborazioni.
5.1
5.1.1
Profilo di velocità su superfici liscie
Evoluzione della legge di profilo
Sembra opportuno anteporre alla trattazione dell’interpolazione dei dati sperimentali una
breve introduzione storica con la quale si richiama l’evoluzione degli studi relativi al profilo
di velocità, per condotti aventi superficie liscia. In seguito si estenderanno i risultati
ottenuti al caso di canale a pelo libero.
La determinazione della legge del profilo di velocità nelle correnti turbolente uniformi
completamente sviluppate, a contatto di una parete rigida, è uno dei problemi più studiati
e dibattuti nell’ambito dello studio della turbolenza.
La prima espressione del profilo di velocità, degli inizi del 0 900, ricavata per via puramente empirica, era una legge di potenza:
φ=
1
u
= Cη n ,
?
u
(5.1)
u
u?
è la velocità media puntuale adimensionalizzata mediante l’utilizzo della
p
velocità di attrito u? , definita come u? = τ0 /ρ, con τ0 tensione di attrito alla parete e
dove φ =
ρ densità del liquido in esame alla temperatura in cui esso si trova. La variabile η =
yu?
ν
rappresenta il numero di Reynolds locale, mentre C ed n sono parametri da determinare
sperimentalmente. Il parametro n, assunto pari a 7, risultava in realtà variabile con il
numero di Reynolds.
Negli anni ’30 venne proposta la legge del profilo di velocità in forma logaritmica
determinata in forma semiempirica
φ = A log(η) + B,
119
(5.2)
con A e B parametri da determinare empiricamente. Sfruttando la base concettuale e la
buona interpolazione sperimentale, la legge logaritmica soppiantò l’approssimazione con
legge esponenziale.
Millikan (1939) dedusse, rafforzandone la validità, la legge logaritmica mediante la
semplice quanto potente analisi dimensionale, svincolandosi quindi dalla deduzione semiempirica.
L’approccio della legge di potenza per descrivere il profilo di velocità venne ripreso,
con l’ipotesi di dipendenza del parametro A dal numero di Reynolds, da Barenblatt (1979,
1993b) il quale propose l’equazione per il profilo di velocità nella forma
φ = Γ(Re)η δ .
(5.3)
Questa espressione trova fondamenti nell’analisi dimensionale con l’introduzione dell’autosimilitudine incompleta1 del profilo rispetto al numero di Reynolds locale della corrente.
I procedimenti matematici adottati per ricavare il profilo di velocità logaritmico sono
molti e basati su molteplici approcci. Nel seguente paragrafo si farà ricorso al metodo
basato sull’autosimilitudine completa proposto da Barenblatt (1972, 1987).
1
Due fenomeni fisici sono detti simili quando differiscono solo per il valore delle grandezze governanti,
mentre i valori dei parametri adimensionalizzati Πi , detti parametri di similitudine, e quindi Φ, sono
uguali.
In particolare, quando accade che ad una variazione significativa del parametro Π i non consegua un
cambiamento fisicamente apprezzabile di Φ, si dice che il fenomeno è autosimile nel parametro Π i . In
pratica, poiché le soluzioni di un problema di si riferiscono sempre a situazioni limite, s’è soliti studiare
il comportamento di Φ per Πi tendente a 0 o ad ∞.
Nel caso in cui, al tendere di Πi a 0 o ad ∞, Φ tenda ad un valore finito diverso da zero, ossia essa
non risenta della variazione di Πi , si parla di autosimilitudine completa nel parametro Πi ; è possibile
allora escludere Πi dai paramtri da cui dipende Φ. Qualora invece Φ andasse a 0 o ad ∞, l’esclusione
del parametro Πi le impedirebbe di tendere, appunto, a 0 o ad ∞; è dunque in questo caso necessario
mantenere il legame tra Φ e Πi . In questa condizione si parla di autosimilitudine incompleta.
120
5.1.2
Ipotesi di autosimilitudine completa per la determinazione
del profilo di velocità
Riferendosi al moto di un fluido confinato in un tubo, si definisce una terna cartesiana
con origine all’imbocco, l’asse x lungo l’asse di simmetria del tubo preso con verso positivo nella direzione del moto, l’asse y normale alla parete di confinamento del flusso con
origine sulla parete stessa e l’asse z preso ortogonale ai precedenti per formare una terna
cartesiana destrorsa.
Si possono cosı̀ definire tre diversi tipi di velocità che si indicheranno come:
• um , velocità media globale nella direzione del flusso,
• u, v, w, velocità medie locali secondo i tre assi principali x, y, z,
• u0 , v 0 , w0 , fluttuazioni delle componenti di velocità intorno alla velocità media.
Considerando una corrente turbolenta uniforme che percorre un canale avente fondo
liscio, si può ipotizzare che il gradiente di velocità media locale dipenda dalla densità ρ e
dalla viscosità µ del fluido considerato, dalla distanza dal fondo del canale y, dall’altezza
del pelo libero h e dalla velocità di attrito u? ; si può quindi scrivere
du
= f (y,h,u? ,ρ,µ)
dy
(5.4)
Scegliendo ρ, u? e y come grandezze dimensionalmente indipendenti e riferendosi al
teorema Π si ottiene
Π = Φ(Π2 ; Π5 )
(5.5)
con
y du
u? dy
h
Π2 =
y
Π=
121
(5.6)
(5.7)
Π5 =
ν
yu?
(5.8)
Si osservi che i due rapporti adimensionali Π2 e Π5 esprimono rispettivamente l’influenza della scala spaziale globale della corrente e l’influenza della viscosità del fluido.
Analizzando il comportamento di tali rapporti in funzione della distanza dal fondo si
possono trarre le seguenti considerazioni:
• il rapporto Π2 tende a valori infiniti, al tendere di y a zero; è logico supporre che,
per posizioni prossime al fondo, esso assuma valori cosı̀ elevati, da poter ipotizzare
autosimilitudine completa del fenomeno in Π2 ;
• cosı̀ come per il precedente rapporto anche Π5 tende all’infinito avvicinandosi alla
parete, ma già nella zona di transizione il suo valore diviene estremamente piccolo
(1/30 → 1/60) e continua a diminuire al crescere di y. Su questa constatazione è
possibile ipotizzare che nella gran parte della zona di moto Π sia insensibile alle
variazioni di Π5 2 .
2
È bene sottolineare che nell’assunzione molto forte dell’autosimilitudine completa, è implicita
l’indipendenza del gradiente di velocità dalla viscosità; con questa ipotesi di base si può ricavare
l’andamento del profilo logaritmico con un metodo differente da quello presentato. Infatti, prendendo
in considerazione un flusso piano stazionario, nella regione molto vicina a parete, nel sottostrato
viscoso
0 v 0 ; in
o sottostrato laminare, gli sforzi viscosi sono maggiori degli sforzi di Reynolds, ossia du
u
>>
dy questa zona è possibile assumere che
du
= τ0 = cost,
ρν
dy
essendo τ0 la tensione a parete. Da questa si ricava per integrazione
u(y) =
τ0
u?2
y=
y.
ρν
ν
A distanza sufficientemente elevata dalla parete gli sforzi di Reynolds dovuti alle fluttuazioni turbolente
sono molto maggiori di quelli viscosi, per cui al limite del sottostrato viscoso si avrà τ 0 = −ρu0 v 0 . Quindi
la legge di variazione di velocità dipenderà solamente dalla densità del fluido ρ, dalla tensione a parete τ 0 ,
dall’altezza y e non dalla viscosità. Con queste tre√ grandezze si può formulare un unico raggruppamento
?
τ
con dimensioni di un gradiente di velocità, ossia √ρy0 = uy . È possibile cosı̀ scrivere
u?
du
=A ,
dy
y
da cui si ottiene il profilo logaritmico di velocità.
122
Riferendosi alle ipotesi sopra descritte è possibile supporre l’esistenza di una zona di
sovrapposizione comune alle due sopra descritte, nella quale sia valida l’autosimilitudine
completa di entrambi i raggruppamenti adimensionali. L’esistenza pratica e i limiti di
validità di questa ipotesi devono comunque trovare conferma nelle indagini sperimentali.
Concludendo, se le ipotesi sono verificate, nel campo di moto sopra descritto si può
scrivere
Π = Φ(∞,0) = k 0 = cost.
y du
u? dy
Ricordando la definizione di Π =
(5.9)
ed integrando la precedente si ottiene la nota
espressione del profilo logaritmico:
1
u
= ln
?
u
κ
yu?
ν
avendo posto κ = 1/k 0 . La grandezza
2,303
+A=
log
κ
yu?
ν
yu?
ν
+ A,
(5.10)
verrà in seguito indicata con y + .
Oggi la (5.10) è accettata come una buona funzione per approssimare il profilo di velocità media longitudinale, anche se è valida per un intervallo di altezze piuttosto ristretto.
5.1.3
Suddivisione del profilo di velocità longitudinale
Prima di trattare direttamente i limiti di validità del profilo di velocità logaritmico è
opportuno richiamare come è possibile suddividere il flusso da un punto di vista energetico:
1. Zona di produzione di energia turbolenta
2. Zona inerziale
3. Zona di dissipazione viscosa
Nella prima l’energia globale del sistema viene assorbita con la generazione di grandi
vortici e di strutture coerenti per essere trasformato in fluttuazioni turbolente, successivamente è trasferita a vortici sempre più piccoli fino ad essere dissipata per effetto viscoso
nella terza zona.
123
In parallelo alle precedenti tre zone, di differente produzione e dissipazione turbolenta,
possiamo definire in un generico tubo, tre regioni caratteristiche dal punto di vista del
moto, rappresentate nella figura 5.1:
• Regione di parete (y/r < 0,15 − 0,20); essa corrisponde alla Inner Layer e le scale
caratteristiche sono rispettivamente ν/u? e u? per le distanze e per le velocità.
• Regione centrale o (di superficie libera per i canali) (0,6 < y/r < 1,0); la turbolenza
in questa regione è comandata dalle variabili esterne come la velocità massima umax
e il raggio r del tubo.
• Regione intermedia (0,15 − 0,2 < y/r < 0,5); è la regione di sovrapposizione nella quale si risente sia della zona sovrastante che di quella sottostante. Le scale
p
caratteristiche sono la τ /ρ e y.
La legge logaritmica può essere considerata valida solamente nel main body del flusso,
ossia nell’intervallo di distanze y dalla parete sufficientemente elevate rispetto allo spessore
dello strato viscoso (solitamente per distanze non inferiori a y + ∼
= 30) e molto minori delle
lunghezze caratteristiche del flusso (y/h < 0.2). La suddivizione in tre zone è comunque
indicativa e non è detto che i limiti riportati siano esatti.
5.1.4
Estensione della legge logaritmica nella zona esterna
Fino agli anni quaranta, per motivi di semplicità, si riteneva opportuno estendere la legge
logaritmica anche nella zona esterna alla parete (Outer region), adattando la stessa ai
profili di velocità ottenuti mediante la variazione dei parametri κ e A.
Gli studi successivi agli anni ’40, ’50 hanno mostrato come i parametri κ e A si possano
considerare praticamente costanti in qualunque tipo di moto; cosı̀ facendo la legge logaritmica perde di significato nella zona esterna, in quanto i dati misurati si discostano da essa
spesso in modo significativo. Per ovviare a questo difetto e migliorare l’interpolazione,
124
Figura 5.1: Divisione del flusso.
tenendo conto dello scostamento delle velocità reali da quelle teoriche rilevato allontandosi
dalla parete, è stata aggiunta un’ulteriore parte alla funzione logaritmica, la cosiddetta
funzione di scia (wake function).
In primo luogo vediamo come si può descrivere l’andamento della velocità nella regione
esterna. Stanton (1911) introdusse la velocità massima e propose, per 0,15 < y/r < 1, la
legge di similitudine chiamata anche legge del difetto di velocità
y umax − u
=
f
,
u?
r
(5.11)
dove umax è la velocità media locale massima, questa venne modificata successivamente
da Rouse (1949) con l’introduzione del profilo logaritmico in
umax − u
= 2.5 ln
u?
r
y
(5.12)
La (5.12) può essere determinata dalla legge logaritmica (5.10) riscritta per y = r e
u = umax .
125
Nella zona poco al di sotto della zona centrale la (5.10) può essere ulteriormente trasformata mediante l’aggiunta di una funzione nel solo argomento y/r, la cui determinazione
può essere fatta agevolmente per via sperimentale.
Questa nuova funzione, il cui scopo è migliorare l’interpolazione dei dati sperimentali,
si scriverà
u
1
= ln
?
u
κ
yu?
ν
+A+ω
y r
.
(5.13)
La funzione ω(y/r) prese il nome di legge di scia, per la quale Coles (1956) propose la
seguente espressione:
ω
y r
=
2Π 2 πy sin
.
κ
2r
(5.14)
Il parametro Π fu denominato dallo stesso Coles “efficacia di scia”. Negli anni seguenti
alcuni autori proposero diversi tipi di funzione di scia (si veda a tale proposito Sarma et
al. (1983) e Coleman & Alonso (1983)), tuttavia la formula di Coles rimane tutt’oggi
la più usata ed accettata. L’utilizzo di questa funzione aggiuntiva è di estrema utilità,
infatti, oltre ad interpolare il profilo di velocità anche nelle zone esterne a quella di parete
permette di svincolarsi dalla determinazione del limite superiore, essendo valida fino al
centro del tubo.
5.1.5
La zona di parete
Si è visto che la semplice legge logaritmica è valida solo in un intervallo piuttosto ridotto
della zona di parete (y + > 30 e y/h < 0,2). Nei paragrafi successivi si cercherà di trovare
una forma matematica del profilo di velocità anche per la restante zona di parete.
5.1.5.1
Profilo di velocità nel sottostrato viscoso
L’evidenza sperimentale ha mostrato che esiste a stretto contatto con la parete (y + < 5),
come in figura (5.3), una zona in cui l’effetto delle fluttuazioni di velocità sulle tensioni
totali è trascurabile rispetto agli effetti della viscosità.
126
Figura 5.2: Interpolazione dei profili di velocità mediante l’estensione con la legge di scia.
Nezu (1993)
Figura 5.3: Sottostrato viscoso e zona turbolenta
127
In questa zona, le tensioni di Reynolds sono una piccola frazione di u?2 ; ricordando
che
τ
du
y
=ν
− uv = u?2 1 −
ρ
dy
r
(5.15)
−uv
d (u/u? )
y
+
=1− ∼
= 1,
?2
+
u
dy
r
(5.16)
e riscrivendola nella forma
trascurando le tensioni di Reynolds e il termine y/r a fronte di 1 si ottiene
u
= y+
u?
(5.17)
In definitiva, il profilo di velocità nello strato di parete deve soddisfare la relazione
per valori di y + < 5 e la legge logaritmica per valori elevati. È evidente che esisterà una
zona, detta buffer region, in cui si ha il raccordo tra i due profili, quello lineare e quello
logaritmico.
5.1.5.2
Profilo di velocità nella buffer region
In accordo con quanto sostenuto da Prandtl (1925), si può scrivere
p p
τ
∂u
=ν
+ r u0 2 v 0 2 ,
(5.18)
ρ
∂y
p p
dover è il coefficiente di relazione definito u0 v 0 = −r u0 2 v 0 2 ; introducendo le lunghezze
p
p
e
, e imponendo
v 0 2 = l2 ∂u
di miscelamento l1 e l2 , definite rispettivamente u0 2 = l1 ∂u
∂y
∂y
l = rl1 l2 , la 5.18 diventa
τ
∂u
=ν
+ l2
ρ
∂y
∂u
∂y
2
.
(5.19)
Van Driest (1956) introdusse una funzione di smorzamento della lunghezza di mescolamento della turbolenza nella zona di parete, che usando grandezze adimensionali, ha la
forma
l+ = κy + Γ(y + )
128
(5.20)
y+
Γ(y + ) = 1 − e − B ,
(5.21)
dove κ è la costante di von Karman, Γ(y + ) è la funzione di Van Driest e B è il fattore di
smorzamento assunto per via sperimentale pari a 26. Introducendo la lunghezza caratteristica della turbolenza (5.20) nella (5.18), considerando la tensione nella zona di parete
costante, si ottiene una funzione di velocità in termini differenziali che raccorda quella
lineare a quella logaritmica nella zona di sovrapposizione, ossia
∂u
=
∂y
2
1+
r
1 + 4κ2 y +2 1 − e
+
− yB
2 .
(5.22)
L’equazione (5.22) è di difficile impiego in quanto per ricavare il valore di u è necessario
eseguire un’integrazione numerica ed occorre scegliere un valore iniziale di velocità tra
quelli sperimentali, cosı̀ le inevitabili imprecisioni cui sono soggetti i calcoli numerici ed
i valori sperimentali, rendono i risultati a loro volta poco precisi.
5.1.6
Limite inferiore di validità per l’approssimazione logaritmica
Come è stato evidenziato l’equazione logaritmica della velocità può essere considerata
valida solo in una porzione molto ristretta del campo di moto; assumendo come ragionevolmente accettabile la funzione modificata, mediante l’introduzione dell’equazione di scia,
potremo considerarla valida da un limite inferiore yinf , fino ad una altezza y sufficiente a
contenere le misurazioni qui effettuate.
La discussione e la scelta di un limite inferiore riveste una grossa importanza per
la determinazione sperimentale di parametri molto importanti come l’origine del profilo
di velocità e la funzione di scabrezza. In letteratura si trovano valori differenti e spesso
sensibilmente discordanti; nel paragrafo seguente viene riportato un breve elenco dei valori
utilizzati da differenti ricercatori.
129
Figura 5.4: Legge di parete.
+
+
I valori di yinf
= 11,5, yinf
= 30 furono proposti rispettivamente da Taylor (1916) e
da Von Karman (1939). Successivamente Laufer (1955), Deissler (1955) e Rannie (1956)
+
+
+
indicarono i valori di yinf
= 100, yinf
= 26 e yinf
= 27,5 mentre Coles indicò il valore
+ ∼
+ ∼
di yinf
= 30. Monin e Yaglom (1971) indicarono yinf
= 30. Pierce & Gold (1977) e
+ ∼
+
Yaglom (1979) suggerirono rispettivamente i valori di yinf
= 60, Van
= 30 → 100 e yinf
+
Driest (1956) utilizzò yinf
= 26. La notevole dispersione dei valori è un chiaro indice della
soggettività nella scelta del limite inferiore. Questa soggettività viene accentuata quando
il fondo non è più liscio, ma affetto da una scabrezza più o meno rilevante o in termini di
moto, quando si è in regime completamente scabro o di transizione.
5.1.6.1
I parametri di taratura delle funzioni di velocità
Altro problema estremamente importante è la determinazione sperimentale dei parametri
A, κ e Π da inserire nell’equazione logaritmica del profilo di velocità. In questo paragrafo
130
si farà un breve cenno sui valori assegnati a questi parametri da diversi autori, per poter
successivamente verificare la validità dei risultati, in termini di profilo di velocità, ottenuti
in questo lavoro.
5.1.6.2
I parametri A e κ
Nikuradse (1932) ottenne i valori A = 5,55 e κ = 0,4 per la zona fino al centro del
condotto e A = 5,84 e κ = 0,417 limitando l’analisi alla sola zona intermedia. Coles
(1968) e Dean (1978) suggerirono rispettivamente i valori A = 5,0, κ = 0,41, e A =
5,17, κ = 0,41. Successivamente sia Brederode & Bradshaw (1974) che Nezu & Rodi
(1986) concordarono sul valore della costante di Karman confermando κ = 0,41, mentre
definirono rispettivamente A = 5,2 e A = 5,39. Sembra comunque confermata anche da
studi successivi di Tominaga & Nezu (1992) su canali, l’indipendenza dei parametri κ e
A al variare sia delle condizioni di moto che da quelle della scabrezza del fondo.
5.1.6.3
Il parametro Π
La trattazione del parametro Π risulta essere molto più complicata della precedente;
diversi studi hanno evidenziato come sia impossibile definire univocamente tale parametro,
in quanto esso è fortemente influenzato dal numero di Reynolds. In origine Coles assunse
il valore di Π = 0,55; in seguito Cebeki & Smith (1974) proposero il valore di Π = 0,50
per le tubazioni; recentemente Nezu & Rodi (1986) e Cardoso (1989) proposero il valore
di Π = 0,2.
5.2
La velocità di attrito
Nei paragrafi 5.1 si è introdotta la grandezza definita velocità di attrito al fondo (friction
velocity); è bene inquadrare, da un punto di vista fisico, matematico e pratico, questo
fondamentale parametro. Si segua questo breve iter matematico utile per capire l’origine
della u? e la sua reale essenza.
131
Partendo dall’equazione di continuità (2.18) e da quella di Reynolds ed ipotizzando
ancora un flusso bidimensionale stazionario, ed una corrente completamente sviluppata,
l’equazione diviene
1 ∂P
duv
d2 u
0=−
−
+ν 2
ρ ∂x
dy
dy
2
1 ∂P
dv
0=−
−
ρ ∂y
dy
(5.23)
(5.24)
Integrando la (5.24) si ottiene
P
P0
= v2 =
,
ρ
ρ
(5.25)
avendo indicato con P0 la pressione ad y = 0; ricordando che, per ipotesi, v 2 è indipendente
da x ed integrando la prima da y = 0 ad un generica y si ha
0=−
y dP0
du
− uv + ν
− (u? )2 ,
ρ dx
dy
(5.26)
dove, compare la velocità di attrito u? al posto della tensione tangenziale alla parete. È
evidente come questa grandezza, nonostante il nome, non sia fisicamente una velocità, ma
ne abbia solamente le dimensioni; risulta comunque molto utile per scrivere l’equazione
riferita a soli termini di velocità, infatti, imponendo che al centro del condotto la tensione
tangenziale totale sia nulla per simmetria, si ottiene
u
?2
y
du
τ
1−
= −uv + ν
= .
r
dy
ρ
(5.27)
In questa espressione è inoltre evidente il ruolo giocato dalle tensioni viscose e dal
tensore di Reynolds; in figura 5.5 è riportato l’andamento lineare delle tensioni totali ed
è evidenziato il contributo di entrambe le quantità.
L’importanza pratica di questa grandezza è fondamentale essendo la velocità di attrito
una delle scale nella zona di parete (in particolare la scala delle velocità) e viene utilizzata
per le adimensionalizzazioni di altre grandezze in gioco (Rek ; u+ ; y + ; ecc. . . ). In pratica
132
Figura 5.5: Contributo della tensione turbolenta e di quella viscosa in un condotto.
la u? può essere determinata mediante vari metodi; alcuni di questi sono riportati qui di
seguito:
1. calcolo mediante la conoscenza della perdita di carico o della pendenza del canale
in condizioni di moto stazionario ed uniforme, ricorrendo alla definizione
u? =
p
g<i
(5.28)
dove < è il raggio idraulico del canale; essendo, nel nostro caso, la larghezza del
canale molto maggiore dell’altezza (anticipiamo che per costruzione b >> h) il
raggio idraulico è approssimabile con h. Il parametro i è la pendenza del canale, nel
caso di tubi o canali chiusi è la pendenza della piezometrica;
2. calcolo mediante la conoscenza del profilo di velocità, scrivendo il profilo nella regione logaritmica con l’equazione (5.10), dalla quale si ricava u? , mediante interpolazione dei dati sperimentali;
3. calcolo mediante la misura della distribuzione delle tensioni di Reynolds e quindi la
determinazione del profilo, legando la conoscenza delle tensioni di Reynolds alla già
citata (5.27); per la linearità della distribuzione di τ (y) si giunge alla τ 0 = τ(y=0) ,
p
dalla quale si ricava u? = τ /ρ. Nella zona lontano dalla parete, dove il contributo
133
viscoso è trascurabile, la (5.27) si può approssimare come
τ ∼
= −uv;
ρ
(5.29)
4. calcolo mediante la conoscenza del profilo di velocità nel sottostrato viscoso. Nel
caso in cui esista e siano disponibili misure di velocità nel sottostrato viscoso si può
far ricorso alla legge di velocità u+ = y + , ovvero
yu?
u
=
.
u?
ρ
(5.30)
Data l’estrema difficoltà (vedasi capitolo ??) di misurazione nella zona prossima
alla parete questo approccio è da considerarsi, per questo lavoro, valido solo da un
punto di vista puramente teorico;
5. calcolo mediante la misurazione diretta della tensione di parete τ0 . È possibile
determinare direttamente il parametro τ0 mediante l’utilizzo di un tubo di Preston
p
e calcolare la velocità di attrito come u? = τ0 /ρ.
Il primo metodo è sicuramente il più semplice ed è stato utilizzato da molti ricercatori,
Raichlen (1967), McQuivey & Richradson (1969), Blinco & Partheniades (1971), Imamoto
(1973). Occorre però dire che la precisione, e quindi l’affidabilità del metodo, dipendono
dall’accuratezza della misura della pendenza del canale o dalla misura della pendenza
della piezometrica. Inoltre la u? cosı̀ determinata è un valore globale che mal si presta ad
una valutazione puntuale come quella richiesta dai fenomeni turbolenti.
Come sopra evidenziato il quarto approccio è molto poco utilizzato, data la difficoltà
di indagare nel sottostrato viscoso. Solamente qualche ricercatore come Eckelmann (1974)
Durst et al. (1995, 1996) sfruttando bassissimi numeri di Reynolds e tecnologie avanzate
riescono a farne uso.
134
Il secondo è stato spesso utilizzato per la sua semplicità concettuale e sperimentale
(occorre la conoscenza della sola velocità media puntuale). Nel profilo di velocità si
assumono costanti i parametri κ e A secondo le indicazioni di letteratura.
Il terzo metodo è universalmente accettato come più adatto e preciso alle esigenze di
questi studi. La sua bontà si basa sull’elevata precisione sperimentalmente raggiungibile,
sul fatto che l’equazione della tensione di attrito può essere determinata teoricamente e
che la tensione di Reynolds è una grandezza di scala della turbolenza.
L’ultimo è stato usato per indagare nel campo della legge d’attrito, ma a causa della
scarsa precisione e dell’ intrusività è poco usato.
È stato sperimentalmente accertato da Nezu (1977) che i primi tre metodi, a parità
di condizioni, ricadono in una fascia di errore relativo del 30%. Questa dispersione si
fa sempre più ampia al crescere del numero di Reynolds, del numero di Froude e della
scabrezza del fondo. Successivamente, facendo ricorso a misurazioni via via più accurate,
Nezu e Rodi (1986) strinsero la fascia di dispersione dei primi tre metodi fino al 5%.
5.3
Profilo di velocità su superfici scabre
Nei paragrafi precedenti si è visto come determinare il profilo di velocità nel caso di un
fluido che lambisce una parete liscia, questa condizione è però molto restrittiva, in quanto
quasi tutti i moti turbolenti avvengono in condizioni di moto su parete scabra. Infatti in
natura tutti i fluidi in movimento sono confinati da superfici che presentano delle rugosità
più o meno accentuate, che influenzano la dinamica del moto, rendendone difficile lo
studio.
Nonostante i molti studi svolti a partire da gli anni ’40 ad oggi, i dati sulle caratteristiche turbolente e sulla dinamica del moto sopra superfici scabre sono ancora molto scarsi,
a conferma delle effettive difficoltà che si incontrano nel trattare la materia. Dal punto
di vista ingegneristico, l’approccio più conveniente è ricercare gli effetti della scabrezza
135
in termini di resistenza al moto, tralasciando la ricerca del fenomeno fisico, anche a causa dei già incerti risultati nel campo delle pareti lisce. Questo ha portato ad avere una
grande quantità di risultati nel campo dei coefficienti di resistenza per tubazioni rivestite
in sabbia uniforme (Nikuradse, 1933) e per tubazioni industriali (Moody, 1944, Colebrook
e White, 1937), ma una grande scarsità di studi approfonditi sulla reale fenomenologia
dell’influenza della scabrezza sulle resistenze.
5.3.1
Ricerca del profilo di velocità per pareti scabre
Nella zona di parete si può asserire che generalmente la velocità media locale dipende
da y, u? e dalla dimensione S rappresentativa della scabrezza (Raupach 1994). Per una
superficie idraulicamente liscia il paramento S si riduce alla sola scala viscosa ν/u? , mentre
per una superficie scabra S è funzione della ν/u? , dell’altezza k della scabrezza e di
un parametro Li caratteristico della scabrezza. In particolare il parametro Li riassume
le dimensioni fisiche, la distribuzione spaziale e altre caratteristiche che possono essere
importanti nel descrivere la scabrezza. Riassumendo è possibile scrivere per la zona di
parete
u
= F (y + ,Rek ,L+
i ),
?
u
(5.31)
dove Rek è l’altezza della scabrezza adimensionalizzata mediante le variabili di parete,
Rek = ku? /ν; ricordando, inoltre, la legge di difetto della velocità per la zona esterna
y umax − u
= G(η),
=
G
u?
r
(5.32)
con η = y/r, ed asserendo che debba esistere una zona di sovrapposizione in cui entrambe
le leggi possono essere considerate valide, essendo le (5.31) e (5.32) governate da variabili
diverse, deve valere la seguente uguaglianza
dF
dG
y du
= y+ + = η
= κ−1
?
u dy
dy
dη
136
(5.33)
in cui κ indica la costante di Karman. Integrando la precedente si ottiene la ben nota
legge logaritmica
u
1
= ln(y + ) + C(Rek ,L+
i ),
?
u
κ
(5.34)
dove C questa volta è anche funzione della scabrezza. Quando il moto è idraulicamente
liscio C è costante con uguale valore della A del paragrafo 5.1.6.2 a pagina 131.
Partendo dalla precedente legge logaritmica la funzione del profilo di velocità venne
riformulata in vari modi. Perry et al. (1969), seguendo le indicazioni precedenti di
altri autori, posero l’attenzione sul fatto che passando da fondo liscio a scabro si ha un
abbassamento del profilo di velocità e, sul piano logaritmico, si ottenevano rette parallele
a quella corrispondente al fondo liscio traslate di una quantità ∆u/u? (Monin & Yaglom
(1965), Schlichting (1968), Hinze (1975)). Da questa osservazione si deduce la seguente
espressione
1
u
∆u
+
(Rek ,L+
= ln y + C0 −
i ),
?
?
u
κ
u
dove
∆u u?
(5.35)
è la funzione di scabrezza e rappresenta l’abbassamento del profilo di velocità
a fonte del fondo liscio. Il legame tra ∆u/u? e Rek è stato ottenuto sperimentalmente per
molti tipi di scabrezza diversa (figura 5.6), si vedano ad esempio Hama (1954), Krogstad
et al. (1992) e Krogstad e Antonia (1994) per le reti, Clauser (1956), Bandyopadhyay
(1987), Raupach et al. (1991).
Si è già accennato al fatto che il parametro Rek rappresenta la dimensione caratteristica della scabrezza, senza però definire quale sia la dimensione k della scabrezza
da adimensionalizzare; a titolo di esempio vengono riportate alcune delle assunzioni più
comuni:
• Rek = d+
s nel caso di scabrezza uniforme in sabbia,
• Rek = k + , con k diametro del filo, nel caso di reti,
• Rek = ks+ nel caso di scabrezza equivalente in sabbia.
137
Figura 5.6: Andamento di ∆u/u? in funzione di Rek (Bandyopadhyay (1987)).
Riassumendo si nota che, confrontando i profili di velocità longitudinale in regime di
moto di parete liscia e parete scabra, in generale, il profilo delle velocità medie in un
canale avente fondo scabro è ritardato rispetto ad un pari profilo in una corrente che gode
di fondo liscio. Chiameremo in seguito questo scostamento tra i due, profili, nelle due
diverse configurazioni, con il termine di “slittamento”.
5.3.2
La legge del profilo di velocità di Nikuradse
Nel caso di tubi circolari scabri una serie di esperienze fu eseguita da Nikuradse (1933),
impiegando condotte rese artificialmente scabre con l’applicazione sulla parete interna di
sabbie omogenee di diametro assegnato k. Nikuradse non ebbe bisogno di introdurre il
parametro Li essendo la sabbia di caratteristiche omogenee e non avendo alcun bisogno
di paragonarne le caratteristiche con altre scabrezze; inoltre utilizzò la dimensione caratteristica della scabrezza, k, per adimensionalizzare la profondità y, riconducendosi alla
138
seguente espressione del profilo di velocità:
u
=f
u?
yu? y
;
ν k
.
(5.36)
Il primo rapporto mette in conto gli effetti della viscosità del fluido ed ha un’influenza
progressivamente minore, rispetto al secondo, al crescere del numero di Reynolds. Nikuradse verificò sperimentalmente che quando il rapporto supera il valore di 70, la distribuzione della velocità nel tubo scabro dipende essenzialmente dal parametro di scabrezza
y/k ed è rappresentata dalla legge logaritmica
u
1 y =
ln
+ 8,5,
u?
κ
k
(5.37)
che conferma quanto detto nel precedente paragrafo essendo il valore 1/κ, pendenza della
retta logaritmica, uguale a quello riscontrato per i tubi lisci; inoltre, essendo il valore della
costante superiore a 5,5, questo profilo è traslato rispetto a quello trovato per i tubi lisci.
Il moto in questo particolare campo è chiamato regime completamente scabro.
Si può ritrovare la formulazione di Nikuradse partendo dalla (5.35):
1 y u
= ln
+B
u?
κ
k
ku?
ν
(5.38)
dove la funzione B è chiamata funzione di scabrezza ed è stata diagrammata sperimentalmente dallo stesso autore. Oltre a trovare che B diviene costante per valori di Re k > 70
Nikuradse trovo un’ulteriore zona, vicino alla parete, con Rek < 5 in cui tale funzione è
lineare con ln(Rek ). Tra questa zona, in cui il moto è in regime di tubo liscio e quella
precedente, ne esiste una terza di transizione con 5 < Rek < 70, in cui B non ha un
andamento altrettanto semplice, come si vede in figura 5.7.
Si è quindi giunti a due equazioni differenti del profilo di velocità, la (5.35) e la (5.38),
entrambe di tipo logaritmico.
139
Figura 5.7: Andamento della funzione di scabrezza B per la sabbia.
5.3.3
Problemi particolari in presenza di scabrezza
Nel caso di moto dei fluidi su superficie scabra si devono affrontare due questioni di
notevole importanza. La prima è legata alla possibilità di trovare un unico fattore da
utilizzare per la classificazione della scabrezza in termini adimensionali, al fine di poter
eseguire un confronto tra scabrezze fisicamente diverse, come granulometria della sabbia,
sfere, reti o griglie, forme di fondo, ed in modo da eliminare il termine Li presente nella
(5.35), riconducendosi ad una funzione simile a quella trovata da Nikuradse.
La seconda questione riguarda la determinazione della posizione dell’origine del profilo
di velocità, da determinare disponendo di misure di velocità puntuale. Infatti, avendo una
superficie non liscia (figura 5.8), non è immediata l’individuazione di un preciso piano di
riferimento sul quale prendere l’origine dell’asse delle altezze.
140
Figura 5.8: Origine del profilo di velocità su parete scabra. Nezu (1993).
5.3.3.1
Ricerca della dimensione caratteristica della scabrezza
Si è visto che per descrivere correttamente il profilo di velocità su fondo scabro bisogna
definire una variabile k che tenga conto della geometria della scabrezza.
L’approccio più rigoroso al problema sarebbe quello di cercare la dimensione caratteristica della scabrezza, che potrebbe essere il diametro delle sferette, l’altezza della rete,
le dimensioni delle barre, ecc. . . , e una volta trovata, inserirla nell’equazione del profilo
(5.38) cosı̀ da poter diagrammare la funzione di scabrezza in termini di ∆u/u? al variare
di Rek . Questo approccio, anche se fisicamente corretto, presenta diversi problemi di
attuazione.
Innanzitutto si dovrebbe cercare la dimensione caratteristica k della scabrezza in
esame. Questa grandezza per le prove di Nikuradse coincideva con il diametro del granello
di sabbia utilizzato per rivestire il tubo; la scelta risultò molto efficace in quanto la scabrezza era costituita da sabbia a granulometria uniforme incollata sulle pareti secondo la
distribuzione di massima densità. Al contrario, quando la scabrezza risulta disuniforme,
141
come nel caso di tubazioni commerciali o scabrezze di altra forma, il parametro da scegliere non è più banale, non esistendo, in genere, una dimensione tanto ben definita come
il diametro di una sferetta.
In secondo luogo questo metodo porterebbe ad avere una funzione di scabrezza per
ogni tipo di letto scabro e altrettanti diagrammi di resistenza, con conseguenti problemi
nel confronto di esperienze diverse e nell’estensione ad una scabrezza qualsiasi delle leggi
trovate.
Per questi motivi si preferisce fare ricorso alla scabrezza relativa in sabbia, ricercando
quell’altezza fittizia della sabbia omogenea, che indicheremo ks , che darebbe luogo, nel
moto completamente sviluppato, allo stesso coefficiente di resistenza della scabrezza in
esame. In termini di profilo di velocità questo approccio corrisponde a trovare la scabrezza
equivalente in sabbia avente il profilo di velocità trovato da Nikuradze e quindi, dalla
(5.38), lo stesso coefficiente B = 8,5. In questo modo si cerca di adattare la legge di
Nikuradze, valida solo per la sabbia, a profili per scabrezze differenti, evitando di trattare
il problema del termine Li . Questo metodo, comunque, è sicuramente conveniente in
quanto sfrutta la notevole mole di esperienze che coprono un largo intervallo di numeri
di Reynolds e rapporti ks /R (dove R indica il raggio del tubo utilizzato) sia in termini di
resistenza che di profilo di velocità.
In pratica, nella zona di moto turbolento completamente sviluppato è possibile sovrapporre funzioni di scabrezza differente sfruttando l’orizzontalità delle stesse. I limiti
principali di questo metodo insorgono quando si tratta di cercare lo slittamento del profilo
di velocità nella zona di transizione, infatti, è proprio qui che il termine L i rivendica la
(Rek ,Li ).
sua importanza conferendo differente forma alla funzione di scabrezza ∆u
u?
142
5.3.3.2
Determinazione della scabrezza equivalente in sabbia
Il problema della determinazione della scabrezza equivalente in sabbia fu studiato da
molti ricercatori negli anni passati, i quali proposero i diversi metodi riportati nelle pagine
seguenti.
Il primo metodo si basa sull’utilizzo del coefficiente di resistenza λ e del profilo di
velocità longitudinale (Schlichting 1968). La scabrezza equivalente in sabbia k s si può
ricavare dalla legge di attrito attraverso il profilo di velocità sperimentale interpolato con
la legge logaritmica
um
=
u?
r
8
1
= ln
λ
κ
r
ks
+ Br,
(5.39)
dove um è la velocità media ed il parametro B r può considerarsi costante e pari a 4,75 in
regime completamente scabro. La (5.39) nel caso di tubi si riduce alla semplice formula
λ = 2 log
r
ks
+ 1,74
−2
,
(5.40)
riconducendosi cosı̀, noto λ, ad una equazione nella sola incognita ks .
Un secondo metodo si basa sull’analisi della distribuzione della velocità media nella
zona logaritmica:
u
1
= ln
?
u
κ
y
ks
+ B,
(5.41)
?
nella quale B è la costante di integrazione dipendente da Rek = ks uν nella zona di
transizione, mentre si approssima al valore costante B = 8,5 quando si passa al regime di
moto completamente scabro (Collins (1982), Tani(1988), Schlitching (1968)).
Indicando con k l’altezza caratteristica della scabrezza, si può scrivere la legge di
velocità come
1 y u
+ B0,
= ln
?
u
κ
k
143
(5.42)
e, nel caso di regime completamente scabro, eguagliando la (5.41) con la precedente (5.42)
si ottiene
1
ln
κ
ks
k
= B − B0,
per cui è semplice determinare il ks una volta calcolato B 0 dalla (5.42).
Questi metodi possono anche non portare agli stessi risultati, soprattutto quando la
scabrezza è fortemente disuniforme.
5.3.3.3
La funzione di scabrezza
Solitamente ci si riconduce alla funzione di scabrezza ricavata da Nikuradse vista in precedenza. Il diagramma della funzione di scabrezza, riportato in figura 5.7, può essere
suddiviso in tre parti fisicamente e sperimentalmente molto differenti:
1. zona di regime di fondo liscio
2. zona di transizione
3. zona di regime di fondo scabro
L’interpretazione fisica data da Schlichting (1979) evidenzia come nella zona idraulicamente liscia la scabrezza è sommersa nel sottostrato viscoso, mentre, in regime scabro,
gli elementi della scabrezza sono completamente emersi dalla zona laminare e sono ormai
costantemente immersi nella zona turbolenta.
Nelle due zone estreme, il comportamento di B è universale, non dipende cioè dal tipo
di scabrezza. In particolare nella zona di regime scabro B può essere assunto costante
pari a 8,5, mentre, nella zona di fondo idraulicamente liscio, il legame tra B e log(Re k )
è di tipo lineare e il loro rapporto è invariante rispetto alla geometria della scabrezza.
Ricordando la (5.38) si ricava immediatamente il valore di ks , nel caso di regime di moto
scabro completamente sviluppato, imponendo B = 8,5 e conoscendo il valore della velocità
144
di attrito e della velocità media locale:
ks = ye −( u? −8,5)
ku
5.3.3.4
(5.43)
Determinazione della funzione di scabrezza nella zona di transizione
Quanto affermato nel paragrafo 5.3.3.1 può essere riassunto affermando che, nella zona di
transizione, ogni tipo di scabrezza genera un differente comportamento della funzione di
scabrezza; si pone dunque il problema di determinare il legame tra la forma della funzione
di scabrezza ed il tipo di scabrezza.
Prima di questo è necessario individuare quali sono i limiti delle tre zone della funzione
di scabrezza e come variano in funzione del tipo di scabrezza e dei parametri del moto.
Sia Prandtl (1934) che Goldstein (1936) studiarono il problema, per la scabrezza di
tipo “K”3 nel numero Rek = 7 (per scabrezza in sabbia). Il maggior contributo allo studio
della zona di transizione, per tubi e per scabrezze in sabbia, è stato comunque portato
da Nikuradse, che suggerı̀ i limiti Rekinf = 5 e Reksup = 70, dove Rekinf e Reksup sono
rispettivamente il limite inferiore e quello superiore della zona di transizione. Altri valori
sono indicati da Ligrani e Moffat (1996), Rekinf = 15 e Reksup = 55 per un letto scabro
costituito da sferette addensate, mentre altri autori propongono, sempre per la sabbia,
valori di Rekinf = 5,5 e Reksup = 90. Si noti come questi limiti non siano stabili e che,
nonostante la scarsità di dati, s’intraveda la dipendenza degli stessi dal tipo di scabrezza.
Per trovare un punto d’incontro tra la funzione di scabrezza di Nikuradse e la reale
funzione di scabrezza, è utile richiamare la funzione trovata da Ligrani e Moffatt (1987),
che bene si adegua sia alle tubazioni rivestite in sabbia che ai dati, anche se esigui, ritrovati
per scabrezze di diverso tipo (figura 5.9).
La scabrezza si definisce di tipo “K”, quando ∆u/u? è dello stesso ordine di grandezza di k, altezza
fisica della scabrezza.
3
145
Figura 5.9: Funzione di scabrezza in sabbia per scabrezze differenti (Ligrani & Moffat,
1987).
In termini matematici la relazione in esame è
πg 1
1
B = A + ln(Rek ) + 8,5 − A − ln(Rek ) sin
,
κ
κ
2
(5.44)
nella quale

ln(Rek /Rekinf )


g
=


ln(Reksup /Rekinf )
g=0



g = 1
per Rekinf < Rek < Reksup
per Rekinf < Rek
per Rek > Reksup
La funzione, come si vede dalla figura 5.9, interpola bene i dati sperimentali ed inoltre evidenzia la dipendenza dell’andamento da Rekinf e da Reksup , che giocano un ruolo
fondamentale.
Si noti prima di tutto la differente forma della funzione di scabrezza cosı̀ ricavata, ciò
è sintomatico di un comportamento sensibilmente differente della scabrezza geometricamente diversa da quella in sabbia.
146
5.3.3.5
Origine del profilo di velocità
Il secondo problema da risolvere in presenza di scabrezza riguarda la determinazione
dell’origine del profilo di velocità. Esso ha posto in passato notevoli problemi e ha dato
adito a varie interpretazioni, al punto da spingere i ricercatori a formulare metodi diversi
per determinare il valore corretto dell’origine. Oggi si ritiene che il luogo dei punti origine
del profilo di velocità sia un piano fittizio da posizionarsi al di sotto della sommità della
scabrezza, ad una distanza δ misurata a partire dal piano passante per la sommità della
scabrezza, cosı̀ da riscrivere la coordinata verticale come y = y 0 + δ (figura 5.8).
Questa definizione si può applicare ogni qual volta la scabrezza abbia una granulometria e una distribuzione uniforme, mentre per i casi dove non è possibile individuare
un piano di sommità della scabrezza per una evidente e troppo marcata disuniformità
nella distribuzione spaziale e granulometrica, la determinazione dell’origine di riferimento
diventa molto complessa e il risultato è affetto da notevoli incertezze, legate per esempio
alla presenza o meno di una protuberanza in prossimità del punto in cui viene effettuata la misura, soprattutto se in vicinanza della parete, dove l’effetto geometrico locale è
predominante sull’andamento del profilo di velocità.
Alla luce di quanto detto è evidente che il valore di δ deve essere compreso nell’intervallo 0 ≤ δ ≤ k, dove k rappresenta l’altezza caratteristica della scabrezza 5.8, per la
sabbia k = ds , per le sfere k = d, per la rete k = 2ds , il doppio del diametro del filo della
trama.
È possibile riscontrare in letteratura diversi rapporti δ/ks : per la sabbia e regime di
moto turbolento completamente sviluppato esso è compreso tra 0,15 e 0,30. Occorre dire
che questo rapporto è fortemente dipendente dalle condizioni in cui è condotta la prova
sperimentale; per esempio Grass (1971) propose δ/ks = 0,18, Blinco & Partheniandes
(1971) δ/ks = 0,27, Nakagawa (1975) δ/ks = 0,25. Altri valori sono riportati da Tani
147
(1987), da Coulstols e Savill (1991) e da Haizhou Tu (1991) per vari tipi di scabrezza;
in quest’ultimo sono citati anche i vari metodi seguiti nella determinazione del δ. Per
una più facile e completa consultazione in tabella 5.3, alla fine di questo capitolo, sono
riportati i valori del rapporto δ/ks ed i metodi utilizzati per ottenerlo in molti lavori
di letteratura. Molteplici sono i metodi proposti, per la determinazione dell’origine del
profilo di velocità, dei quali ne vengono riportati alcuni tra i più significativi.
Nel lavoro di Raupach et al. (1991) si determina l’origine del profilo di velocità
attraverso la definizione di Thom (1971) il quale definisce lo spostamento δ come l’altezza
media dell’assorbimento della quantità di moto dovuto alla superficie, la distanza δ viene
quindi calcolata attraverso il centro del profilo di resistenza della scabrezza.
Monin e Yaglom (1971) calcolano la quantità δ attraverso la minimizzazione dello
scostamento del profilo logaritmico teorico dai dati sperimentali. Furuya (1976) e Bandyopadhyay (1987) ricavarono il valore di δ interpolando i dati misurati nello strato limite
con un appropriato profilo di velocità u(y).
Un altro metodo proposto, e riportato da Raupach et al. (1991), è il prolungamento
asintotico mediante il profilo di velocità che interpola i dati sperimentali cosı̀ come Perry
et al. (1987) determinarono δ interpolando il profilo di velocità sperimentale, utilizzando
la legge proposta da Hama (1954) nella zona logaritmica. Il metodo consiste nel diagrammare per ogni prova il valore di δ assunto variabile e il parametro L. Quest’ultimo
è funzione della distanza tra il profilo logaritmico e la velocità massima e del coefficiente
2
locale di attrito. Ricavando poi il valore del parametro 12 Cf0 legato alla pendenza della
retta logaritmica e del rispettivo δ in corrispondenza del valore di L calcolato per mez-
zo della formulazione di Hama (1954) o Coles (1968). Krogstad e Antonia (1992) fanno
però notare che la formulazione di Hama approssima bene il fondo liscio mentre non è
altrettanto precisa per il fondo scabro, mettendo quindi in dubbio i risultati ottenuti da
Perry.
148
Figura 5.10: Determinazione di δ secondo il metodo di Perry et al. (1987).
5.4
Estensione del profilo di velocità alle correnti in
canale aperto
Si cercherà di estendere quanto visto fin’ora a riguardo del profilo di velocità e delle
tensioni totali al caso del canale aperto. Si tratterà dapprima di un generico canale con
qualsivoglia forma e dimensioni, per poi passare, con scelte motivate, al canale rettangolare
largo su cui si sono effettuate le misure di velocità, argomento di questa tesi.
Sperimentalmente si è verificato che la legge logaritmica di distribuzione delle velocità
medie temporali lungo le normali al contorno è soddisfatta con sufficiente approssimazione
anche nelle correnti a pelo libero, quando il moto è turbolento. Questo fa ritenere che la
turbolenza sia sviluppata mediamente con la stessa intensità nei punti ad uguale distanza
dalla parete. In generale si può affermare che, indicando con τ0m la tensione tangenziale
q
τ0m
la corrispondente velocità di attrito, l’equazione
media sul contorno e con u?m =
ρ
149
logaritmica assuma la forma generale (Marchi 1981)
u
1
= log
?
um
κ
y
y0
+f
y0 u?m
,rs ,rf
ν
(5.45)
dove y è la distanza dalla parete più vicina ed y0 il valore massimo che tale distanza può
assumere nella sezione. Con rf e rs si sono indicati parametri adimensionali di scabrezza e
p
di forma. Detta u? = τ0 /ρ la velocità di attrito variabile sul contorno, dalla precedente
si ottiene per la legge di distribuzione della velocità in regime di parete liscia
1
u
= log
?
um
κ
yu?m
ν
+ bl
u?
u?m
,
(5.46)
e in regime scabro completamente sviluppato
y 1
u
=
log
+ br
u?m
κ
ε
u?
u?m
,
(5.47)
dove i parametri bl e br sono variabili lungo il contorno, se la sezione ha forma generica, e
ε è l’altezza fisica della scabrezza. Secondo le due equazioni precedenti la pendenza delle
u
rette u? in funzione di log yy0 è la stessa su qualunque normale al contorno, indipenm
dentemente dalla forma della sezione: questa posizione è suggerita dall’esame delle misure
sperimentali di velocità, di cui sono riportati alcuni esempi nelle figure 5.11, e 5.12.
Se il canale può considerarsi largo e la sua sezione è rettangolare, allora lo sforzo
tangenziale nella zona centrale al fondo può ritenersi con buona approssimazione costante;
inoltre la velocità può considerarsi massima in prossimità del pelo libero. In questo caso
la tensione tangenziale media τ0m coincide localmente con quella misurata sul fondo del
canale (τ0 ) e i coefficienti bl e br risultano essere pressochè costanti; ne consegue che
u
1
= log
?
um
κ
yu?m
ν
+ cost.
(5.48)
In particolare si veda il lavoro di Nezu e Rodi (1986), in cui si approfondisce la ricerca
del profilo di velocità su canali aperti con una grande varietà di numeri di Reynolds e di
Froude, confermando l’applicabilità della legge logaritmica.
150
Figura 5.11: Misure di velocità effettuate da Varwick (1944), a sinistra e da Marchi
(1957-1959), a destra.
Figura 5.12: Distribuzione logaritmica della velocità nel moto piano.
151
Figura 5.13: Interpolazione delle velocità sperimentali mediante l’utilizzo della legge logaritmica in canali aperti.
152
5.4.1
Influenza delle dimensioni del canale sul profilo di velocità
Il presente studio si basa sulla bidimensionalità del moto del fluido. Qui si intendono
evidenziare gli effetti tridimensionali che scaturiscono dall’utilizzo di un canale rettangolare aperto. La conoscenza di questi fenomeni permetterà di adottare le contromisure
necessarie a rendere il flusso per quanto possibile bidimensionale.
Nel precedente paragrafo è stata estesa la generica funzione di velocità ad un canale definito largo; dobbiamo ora caratterizzare in modo accurato il significato del termine largo,
cercando sia le motivazioni fisiche sia un’adeguata quantificazione di tipo geometrico.
Innanzitutto, essendo il canale in esame di tipo aperto, le dimensioni (fisicamente
rilevanti e non geometrico-costruttive) sono variabili in funzione dell’altezza del pelo libero
dal fondo; occorre dunque introdurre un parametro α =
B
h
variabile, che definisce in
maniera ottimale il rapporto tra la larghezza del canale B e l’altezza del pelo libero h.
Questa forma del canale comporta, tralasciando l’effetto del pelo libero che verrà
trattato successivamente, una duplice conseguenza sul moto complessivo del fluido. Innanzitutto le pareti laterali impongono un proprio profilo di velocità che si sviluppa orizzontalmente partendo dalla velocità nulla a contatto delle pareti fino a raggiungere quella
massima, per simmetria, al centro del canale. Se il canale non è sufficientemente largo
il suddetto profilo non ha lo spazio sufficiente per svilupparsi completamente, andando
ad influenzare, falsandolo, l’andamento della funzione di velocità verticale (Kirkgőz e
Ardichoglu (1997)).
In secondo luogo la presenza delle pareti e della loro particolare disposizione geometrica, nel nostro caso ad angolo retto, genera correnti secondarie all’interno del flusso
principale, la cui influenza non è da sottovalutare. L’importanza rivestita, nel campo
dell’ingegneria, delle tubazioni e dei canali chiusi, ha portato a notevoli studi fino dai primi anni ’60 nel campo delle correnti secondarie. In contrapposizione il limitato interesse
153
in termini applicativi delle stesse per i canali aperti, ha fatto sı̀ che gli studi in questa direzione fossero piuttosto ridotti. Sembra comunque confermato un ruolo di prim’ordine delle
correnti secondarie nella formazione del velocity-dip, ossia di quel fenomeno che porta,
nel caso di canali aperti, ad avere la massima velocità verticale al di sotto del pelo libero.
È dunque evidente che l’influenza delle correnti secondarie è da conglobare nel computo dei contributi tridimensionali da tenere in forte considerazione, cercando di evitarne
l’influenza. Non sembra necessario, comunque, soffermarsi sullo studio di queste correnti;
è sufficiente sapere che le stesse sono catalogate correnti secondarie di Prandtl del primo
tipo e correnti secondarie di Prandtl del secondo tipo, a seconda che gli effetti scatenanti
siano dovuti alla non uniformità del moto nella direzione della corrente, come canali in
curva e generalmente tutti fiumi e canali naturali, o all’anisotropia e disomogeneità della
turbolenza, quindi canali anche rettilinei, come nel caso del presente lavoro.
Tralasciando l’origine e la classificazione delle correnti secondarie ci soffermiamo sugli
effetti pratici, cosı̀ da adottare le adeguate modalità costruttive ed operative per evitarne
l’inflenza. Nel lavoro di Nezu e Rodi (1985) viene ricavato il coefficiente αc = 5 (figura
5.14), definito come il limite superiore del rapporto tra larghezza e profondità della corrente, entro cui la corrente secondaria, creata dalle pareti laterali e dagli angoli retti del
canale, influisce sull’affondamento al di sotto del pelo libero del massimo delle velocità
orizzontali. Si è dunque avuta cura, nel corso dei campionamenti, di non travalicare mai
il limite di αc = 6 cosı̀ da avere un ulteriore margine di sicurezza.
5.4.2
Influenza della presenza del pelo libero sul profilo di velocità
Nelle sezioni aperte non è solo la forma della sezione, ma anche la presenza della superficie
libera ad influenzare la distribuzione della velocità. L’effetto è reso evidente da una riduzione della velocità sul pelo libero, il già evidenziato velocity-dip, rispetto a quella degli
154
Figura 5.14: Esempi di correnti secondarie al variare del parametro α = B/h.
strati sottostanti. Il massimo di velocità si osserva sperimentalmente in corrispondenza
ad un affondamento, rispetto alla superficie libera, variabile fra il 5% ed il 20% della
profondità passando da sezioni larghe a sezioni strette.
L’influenza del pelo libero si riflette sulle leggi di resistenza, nel senso che le costanti
d’integrazione non possono essere le stesse della corrispondente sezione chiusa. Fra le
155
Figura 5.15: Esempi dell’influenza delle correnti secondarie sulla distribuzione delle velocità medie orizzontali al variare del parametro α = B/h (Nezu (1193).
156
Figura 5.16: Misure di velocità, in m/ s, in un canale rettangolare con rapporto B/h = 2.
diverse cause avanzate per giustificare l’effetto del pelo libero sull’assetto cinematico della
corrente, le più attendibili sembrano essere quelle derivanti dall’anisotropia della turbolenza e dall’incremento di viscosità dello strato pellicolare di confine della fase liquida con
l’aeriforme.
La prima causa prevede un aumento delle tensioni tangenziali in vicinanza del pelo
libero di una sezione aperta, rispetto alla corrispondente situazione nella sezione chiusa,
perché, essendo impedita l’agitazione turbolenta nella direzione perpendicolare alla superficie, tende ad aumentare la componente turbolenta di agitazione trasversale, a parità
delle altre condizioni. Questa ipotesi, suggerita da Cocchi (1958), porta a ritenere l’effetto
del pelo libero praticamente nullo sulle sezioni molto larghe e crescente al diminuire della
larghezza. D’altra parte, l’importanza relativa della resistenza dovuta alla fascia prossima
alla superficie libera diminuisce, in confronto alla resistenza totale, con il diminuire della
larghezza di quest’ultima rispetto al contorno bagnato, e quindi diventa trascurabile nelle
sezioni molto strette e profonde. In definitiva è prevedibile che l’influenza del pelo libero
sia più sentita nelle sezioni semicircolari e in quelle altrettanto raccolte.
157
Figura 5.17: Evoluzione dello strato turbolento in funzione della distanza dall’imbocco
del canale per correnti a pelo libero.
La seconda causa è stata suggerita per spiegare l’effetto del pelo libero rilevato sperimentalmente anche in correnti laminari da Straub, Silberman e Nelson (1956), Bartolini
(1977). Già Boussinesq (1913), e poi Scriven (1960) e Slattery (1967) avevano introdotto per l’interfaccia un’equazione costitutiva in cui compare un particolare coefficiente di
viscosità tangenziale. L’ipotesi secondo la quale lo stato di tensione cui è soggetta la superficie libera possa provocare un’alterazione della resistenza viscosa della porzione fluida
che costituisce questa membrana, è stata ripresa ed utilizzata da Becchi e Seminara (1971)
per interpretare l’influenza del pelo libero sulla distribuzione di velocità, da loro rilevata
sperimentalmente in correnti laminari di sezione semicircolare.
Comunque agiscano, o interagiscano, le cause predette, si può dire che il pelo libero esercita, in misura diversa secondo la forma della sezione, una funzione di contorno
paragonabile, sia pure in modo molto attenuato, a quella di una parete.
La sua influenza sul moto della corrente può quindi essere interpretata, globalmente,
attraverso una variazione del coefficiente f , già introdotto nelle leggi di resistenza. Si
158
assume cosı̀ che tale coefficiente non dipenda solo dalla forma della corrispondente sezione chiusa, ma risenta anche dell’effetto del pelo libero, e sia quindi un coefficiente
caratteristico della forma della sezione aperta.
5.4.3
I parametri della legge logaritmica nel caso di canale
Sembra ormai confermato da studi effettuati su canali, per esempio Tominaga & Nezu
(1992), l’indipendenza dei parametri κ e A, al variare delle condizioni di moto, dal tipo
di condotto e dalla scabrezza del fondo. Il problema maggiore è costituito dal parametro
della funzione di scia Π; si è infatti visto che la zona prossima alla superficie libera è
fortemente influenzata dagli effetti di quest’ultima sul moto, per cui è difficile scindere
l’apporto dovuto alla superficie libera dalla funzione di scia, non presente nei tubi.
In generale si può dire che il parametro Π per canali a superficie libera è funzione del
tipo di moto ed è inferiore a quello riscontrato per le tubazioni, ossia circa 0.55 (Cebeki
& Smith (1974)). Secondo Nezu & Rodi (1986), Steffler (1983) e Coleman (1981) Π va da
zero per bassi numeri di Reynolds locali (Re? < 500) fino a stabilizzarsi intorno ai valori
0.2 e 0.1 per Kirkgőz (1989) e Kirkgőz et al. (1997) per Re? > 2000.
Dalle osservazioni di Huffman & Bradshaw (1972), Eckelman (1974) Cardoso et al.
(1989) e Tominaga & Nezu (1992) il valore di Π si annulla per bassi numeri di Reynolds
(Re? < 500), mentre, al crescere del numero di Reynolds il profilo di velocità si allontana
dalla retta logaritmica e il parametro Π aumenta. Nezu & Nakagawa (1993) riportano la
variazione di Π in funzione del numero di Reynolds e di Froude per fondo idraulicamente
liscio; l’intervallo di variazione è da 0 a 2,53. Purtroppo la letteratura è carente per quanto
riguarda i dati su fondo scabro o in transizione; a tale proposito si rimanda a Coleman &
Alonso (1983), in cui sono riportati i valori di Π per vari casi studiati, e a Tominaga &
Nezu (1992), che effettuarono misure con LDA sia su fondo liscio che scabro.
159
Figura 5.18: Valori del parametro di scia al variare delle condizioni di moto.
5.4.4
Influenza delle dimensioni del canale sulla velocità di attrito
Le pareti laterali del canale e le correnti secondarie da queste generate, oltre ad influenzare
il profilo di velocità, come già osservato, sono molto importanti anche per la formazione
delle tensioni di fondo, specialmente per canali non sufficientemente larghi. Ricordiamo
brevemente che
τuv
∂U
= −uv + ν
=
ρ
∂y
Z y
Z y
Z y
∂U
τuv
∂U
∂
−
dy
V
W
= gIe (h − y) +
dy +
dy +
∂y
∂y
ρ
h
h
h ∂y
1 ∂P
Ie = sin θ −
,
ρg ∂x
(5.49)
(5.50)
dove τuv è la generica tensione su un piano (x; y) parallelo al moto del fluido, i termini
a destra dell’uguale sono rispettivamnete il contributo della gravità, due contributi della
corrente secondaria e il contributo della tensione di Reynolds. Nel caso esistano correnti
secondarie e quindi sia presente anche un moto su un piano normale al precedente, si
160
Figura 5.19: Contributo delle correnti secondarie alla tensione di Reynolds.
genera un’altra tensione da non trascurare
∂u
τuw
= −uw + ν
=
ρ
∂z
Z y
Z y
Z y
τuv
∂U
∂u
∂
= gIe (−z) +
−
dz,
v
w
dz +
dz +
∂u
∂z
ρ
h
h
h ∂y
(5.51)
dove z si riferisce ad un asse perpendicolare al piano (x; y) con origine nel centro del
canale. Combinando le due precedenti equazioni ed introducendo il rapporto α =
B
h
ci si
può ricondurre alla
τb
+
ρ
τs
2
2
= 1+
u?2 ,
α
ρ
α
(5.52)
con τb e τs rispettivamente tensione al fondo e sulle parete laterali; è dunque evidente
come la velocità d’attrito è funzione sia della tensione al fondo che di quella sulle pareti
laterali. La condizione minima per svincolarsi dall’influenza delle pareti è in questo caso
meno restrittiva rispetto a quella vista precedentemente con α = 5, infatti già per rapporti
α = 2τb diviene circa uguale a τs e conseguentemente
τb
= u?2 .
ρ
In figura 5.19 è riportata l’influenza delle correnti secondarie sulla tensione τ uv .
161
(5.53)
1
Sm 1B
Sm 1M
Sm 2B
Sm 2M
Sm 2A
Sm 3B
Sm 3M
Sm 3A
Sm 4B
Sm 4M
Sm 4A
Sm 5B
Sm 5M
0.8
y+
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
τRe
1
1.2
1.4
1.6
Figura 5.20: Distribuzione degli sforzi di Reynolds di tutte le prove.
5.5
Problemi nel calcolo degli sforzi di Reynolds
Il calcolo degli sforzi di Reynolds è la parte più delicata del presente lavoro perché, come
si è visto, la velocità di attrito u? deve essere calcolata con la maggior precisione possibile
essendo uno dei parametri fisici sul quale scalano le altre grandezze nella zona di parete.
Nel paragrafo 5.2 si è detto che il modo migliore per calcolare u? è utilizzare la relazione
(5.27), ma nel presente lavoro non è stato possibile fare questo nonostante vi fossero tutte
le potenzialità per farlo. Dall’esame delle distribuzioni degli sforzi di Reynolds riportate
nell’appendice ??, oppure osservando la figura 5.20, si nota che l’andamento è ben lontano
da quello teorico che ci si aspetta, schematizzato nella figura 5.5. La maggioranza dei
grafici presentano un tratto rettilineo verso la superficie libera, che tende al valore di
τ = 0 per y/h → 1 ed un tratto quasi rettilineo che tende a τ = 0 per y/h → 0, però i
due non sono raccordati da una curva dolce, ma per y/h < 0,1 si evidenzia un forte picco.
I valori di u0 v 0 sono stati calcolati nel modo più semplice possibile, ovvero eseguendo
162
la media matematica del prodotto dei punti di u0 e v 0 acquisiti allo stesso istante di tempo
u0 v 0 =
PN
i=1
(u0 · v 0 )coinc.
,
N
(5.54)
dove u0 e v 0 sono i valori delle componenti turbolente della velocità, calcolate sul segnale
originario ed acquisite in tempi rigorosamente coincidenti.
Questa strada è praticamente obbligata in quanto per eseguire l’analisi dei quadranti,
di cui si parlerà più avanti, è necessario poter trattare dei punti singoli. Eseguendo la
media sul numero di punti, si assegna a ciascuno di essi lo stesso peso e affinché non si
generino grossi errori è necessario che la serie storica dei punti coincidenti sia spaziata
nel modo più uniforme possibile. Se cosı̀ non fosse e, ad esempio, i picchi di velocità
fossero campionati con una frequenza locale più alta della media (punti più ravvicinati
di quelli che si hanno nel resto del segnale), si prenderebbero in considerazioni molti
contributi piuttosto forti, tutti dello stesso evento. Si può cercare di soddisfare questa
esigenza con una buona frequenza di acquisizione su entrambe le componenti, ma questo
non è sempre stato possibile, soprattutto nelle ultime misure, a causa del progressivo
esaurimento del generatore laser. Non si può fare la media pesata sul tempo perché la
linearizzazione implicita nelle formule dei trapezi causerebbe l’introduzione di punti non
fisicamente correlati, i quali ridurrebbero il risultato del calcolo in modo inaccettabile;
inoltre, la media pesata sul tempo perderebbe significato nell’applicazione del metodo dei
quadranti con soglia, dove, cercando gli eventi più forti e quindi più distanti tra loro, si
introdurrebbero troppi punti scorrelati tra loro.
Si sono fatte molte ipotesi sulla causa che ha generato il picco nella distribuzione degli
sforzi di Reynolds; ad esempio, in un primo tempo si è pensato che, per l’esaurimento
del generatore laser, la componente di velocità v potesse essere campionata male. In
particolare, la frequenza di acquisizione è il risultato di due effetti opposti: in un caso
una elevata velocità puntuale implica una grande portata istantanea attraverso la sezione
163
del volume di misura, che, con buona probabilità, può far passare più particelle le quali
vengono campionate ad istanti di tempo molto ravvicinati. Secondo questa ipotesi i picchi
di velocità, campionati con frequenza maggiore, potrebbero dare un contributo troppo
alto alla tensione di Reynolds. Questo fenomeno si potrebbe verificare in particolare
vicino a parete perché la superficie della lente frontale è in parte coperta dal fondo del
canale. Tuttavia, se le particelle fossero presenti contemporaneamente nel volume di
misura, si osserverebbe solamente un peggioramento del rapporto segnale-rumore che non
garantirebbe nessun aumento della frequenza di acquisizione (si vedano il paragrafo ?? e
la figura ??).
Il secondo effetto è insito nel principio di funzionamento del BSA ed agisce nel senso
opposto portando le particelle più veloci ad essere meno campionate di quelle lente; si pensi
che il record interval sia esattamente dell’ordine di grandezza della massima velocità in
gioco, quando una particella attraversa il volume di misura a tale velocità, essa esegue una
sola completa modulazione del doppler burst (si vedano il paragrafo ?? e la figura ??),
quindi il BSA emetterà un solo dato di velocità. Se invece la particella avesse velocità
pari alla metà o meno di quella massima in gioco, essa attraverserebbe il volume di
misura in un tempo corrispondente a due o più record inteval, per cui il BSA acquisirebbe
due o più modulazioni incomplete del doppler burst che, se validate, produrrebbero in
corrispondenza del suo passaggio due valori di velocità, distanziati di un record interval.
Questa osservazione conduce alla conclusione che nel segnale le velocità più basse sono
campionate con frequenza più alta. A priori non è possibile stabilire quale dei due effetti
possa prevalere e pertanto è necessario procedere per tentativi.
Si è cercato correggere il problema suggerito dalla prima ipotesi uniformando la frequenza di acquisizione del segnale, togliendo dei dati dal segnale là dove la frequenza
locale di acquisizione è superiore a quella media. Questa soluzione ha generato solo una
riduzione dei valori di tutta la distribuzione e un blando attenuamento del picco.
164
Per correggere il problema suggerito dalla seconda ipotesi, si sono scartati i punti di
velocità v distanti tra loro di un tempo inferiore al tempo di attraversamento del volume
di misura, calcolato come già indicato nel paragrafo 4.4, utilizzando però la velocità
istantanea:
tat =
lat
.
ṽ
Tale rimedio è stato efficace in alcuni casi, nel senso che l’ampiezza del picco vicino a
parete non è cambiata, ma in compenso si è alzata la distribuzione rettilinea superiore,
fino a far tornare un andamento visivamente accettabile, simile a quello di figura 5.5. La
spiegazione di questo è che si tolgono molti punti dalle zone centrali dei quadranti, i quali
altrimenti avrebbero abbassato la media (capitolo 7). Tuttavia, la stessa tecnica applicata
alle prime prove in back scatter, si veda ad esempio la figura ??, nelle quali l’andamento
degli sforzi di Reynolds è abbastanza regolare, porterebbe a un notevole innalzamento
di tutta la curva, al quale corrisponderebbe una velocità di attrito troppo alta, tale da
far precipitare gli scarti adimensionalizzati a valori troppo bassi, decisamente inferiori a
quelli riportati in letteratura per misure analoghe.
In conclusione, queste due ipotesi non hanno condotto a nessun risultato. Guardando
ad occhio la rappresentazione dei segnali u e v al passare del tempo non si sono notate
differenze sostanziali, tra le prime prove che sembravano buone e le ultime. Questo lo si
poteva in parte intuire dallo studio delle frequenze medie e dei periodi di acquisizione del
paragrafo 4.5.5.
Si è poi pensato che la frequenza di acquisizione della componente v, ancora ridotta
dalla ricerca dei soli dati coincidenti, fosse troppo bassa ed allora si sono presi come buoni
tutti i punti della v e ricostruiti mediante linearizzazione i corrispondenti punti mancanti
della u. Questa soluzione dovrebbe introdurre una scorrelazione contenuta, in quanto la
buona frequenza di acquisizione su u rende i dati tra loro cosı̀ ravvicinati da rendere piccoli
gli errori introdotti dalla linearizzazione. Anche questo approccio ha dato esito positivo
165
solamente in alcuni casi, nei quali si è rilevato visivamente un andamento accettabile, ma
accompagnato da una riduzione anche del 20% dei valori di u0 v 0 ; in altre situazioni il picco
è solo stato attenuato.
Solamente calcolando u0 v 0 con la media pesata sul tempo si sono ottenute nella maggior parte dei casi delle distribuzioni simili a quelle teoriche, ma tutte caratterizzate da
un’ampiezza inferiore del 20% rispetto a quella ottenuta con la (5.54). Andando a sommare la componente viscosa si è notato un marcato difetto nella tensione totale, che vicino
a parete, dove gli sforzi di Reynolds iniziano a perdere rapidamente la loro importanza,
presenta una grossa valle. Anche questo è un sintomo di scorrelazione introdotta dalla
linearizzazione implicita nelle formule dei trapezi e conferma che tali tecnica non sono
applicabile al calcolo degli sforzi di Reynolds.
Solamente alla fine si è scoperto cosa disturbasse l’acquisizione. Nel paragrafo ??
si è parlato del funzionamento della cella di Bragg e si è detto come questa in uscita
emetta più di un raggio e che solo ad uno di questi debba essere permesso di uscire.
Si è notata la presenza in acqua di un secondo raggio, debolissimo, parallelo a quello
principale proveniente dalla cella di Bragg, su entrambe le componenti u e v, visibile solo
dalla parte opposta al gruppo ottico. Si è allora eseguita una semplice misura al fine di
evidenziarne eventuali effetti. Dapprima si è regolato il sistema in una condizione in cui
fossero presenti il segnale e subito al di sotto la banda di rumore, poi si sono fatte due
acquisizioni: coprendo il debole raggio secondario si è notata la scomparsa della banda di
rumore e coprendo il raggio principale si è acquisito solamente il rumore senza il segnale.
Il raggio debole, uscente dalla cella di Bragg, è sullo stesso piano di quello principale e
dunque si interseca con l’altro raggio che non è passato per la cella, in un punto posizionato
tra il volume di misura e la lente frontale del gruppo ottico. In quell’intersezione si forma
un volume che può avere caratteristiche simili a quelle del volume di misura. Nonostante
all’interno del gruppo ottico vi sia un pinhole, nel quale viene focalizzata l’immagine del
166
volume di misura cosı̀ da eliminare i disturbi ambientali, si risente qualche effetto data la
vicinanza del volume di misura indesiderato con quello reale.
Si vuole qui sottolineare che, nel progetto del gruppo ottico, il costruttore ha preso
tutti i possibili accorgimenti per ridurre i disturbi, ma l’estrema raffinatezza delle misure
porta ai limiti fisici del sistema e della tecnica, che risulta sensibilissima ai disturbi.
Tale banda di rumore è stata subito scoperta per il segnale u, acquisito sul BSA1
perché questo è decisamente più sensibile del BSA2 alla sua presenza. Gli effetti del rumore acquisito dal BSA1 sono macroscopici e facilmente riscontrabili nella distribuzione
di probabilità del segnale, che presenta un forte picco in prossimità della banda; pertanto,
nell’utilizzo di quell’apparecchiatura si sono subito prese le opportune contromisure. Il
segnale v, acquisito prevalentemente sul BSA2, meno sensibile all’influenza del rumore,
non ha mai presentato irregolarità percepibili, nè nella distribuzione di probabilità, nè
tantomeno nei momenti statistici, con l’eccezione di v che è comunque scarsamente rappresentativo. La conseguenza di questo è che il segnale v è sempre stato acquisito con
centraggio del BSA2 in corrispondenza dello zero e quindi esso è sempre stato alterato
dalla banda di rumore.
La convergenza dei momenti statistici di v è spiegata solamente dalla media pesata sul
tempo, che è riuscita ad attenuare gli effetti del poco rumore presente, come è accaduto
agli sforzi di Reynolds calcolati con la media pesata sul tempo.
La media calcolata sul numero di punti è allora molto sensibile e richiede segnali puliti,
acquisiti con buona frequenza e il più possibile equispaziati. Queste condizioni possono
essere soddisfatte al meglio solo con la modalità forward scatter.
Per quanto riguarda le misure discusse nel presente lavoro bisogna riconoscere che tali
condizioni sono venute a mancare soprattutto verso la fine, quando, con il ridursi della
potenza del laser e della frequenza di acquisizione, nelle serie storiche c’è stato sempre più
posto per il rumore.
167
25%
50%
75%
90%
3
2
1
0
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
Figura 5.21: Distribuzione di probabilità congiunta dei quadranti, della prova con y/h =
0,043 della misura Sm 3M . È bene in evidenza l’effetto della banda di rumore contenuta
in v, che distorce le curve nel secondo e quarto quandrante.
Anticipiamo ora un argomento che verrà discusso nel capitolo 7 per evidenziare come
nel segnale v sia presente una banda di rumore, localizzata poco al di sopra della frequenza
di centraggio. Le curve isolivello della distribuzione di probabilità congiunta di figura 5.21,
invece che avere un aspetto grossomodo ellittico, risultano deformate in modo marcato nel
secondo e nel quarto quadrante. Il contributo di quei punti è tale da far convergere u 0 v 0
a valori più alti del dovuto. Si è rilevata la presenza di tale deformazione solamente nelle
prove più basse, proprio dove compare il picco nella distribuzione degli sforzi di Reynolds,
più in alto, dove migliora il rapporto segnale-rumore, l’aspetto diviene ellittico.
In conclusione, le elaborazioni sulla componente u sono attendibili perché si sono prese
le dovute cautele nell’acquisizione; per quanto riguarda la v le elaborazioni fatte con le
medie pesate sul tempo sono attendibili, ma con riserva, perché esse sembrano in grado
di ridurre l’effetto del rumore. Gli sforzi di Reynolds sono quasi del tutto inutilizzabili,
per cui la velocità di attrito deve essere ricavata per altra via, come si vedrà nel prossimo
paragrafo.
168
In alcune prove in forward scatter su fondo liscio, eseguite prima di scoprire il problema, si è ottenuto un andamento degli sforzi di Reynolds ben delineato verso la superficie
ma piatto vicino a parete: là dove gli sforzi dovrebbero curvare per poi tendere rapidamente a zero si è rilevato un ampio piano. Questo perché non si erano ancora prese
le dovute precauzioni contro la banda di rumore sul segnale v. L’andamento è risultato
complessivamente migliore del precedente nella parte alta per il notevole miglioramento
del rapporto segnale rumore che si consegue passando alla modaliltà forward scatter. Tuttavia questo non è stato sufficiente a ridurre l’effetto della banda di rumore soprattutto in
prossimità del fondo, dove ancora adesso non si sono risolti in modo definitivo i problemi
di acquisizione.
Si è tentato di risolvere il problema incollando sulla lente due foglietti di carta con un
piccolo foro al centro, in modo tale da consentire il passaggio del solo raggio principale,
tuttavia questo ha solamente ridotto in parte la banda di rumore. Come unico rimedio,
per evitare che essa si inserisca nel segnale è necessario utilizzare bande di ampiezza doppia di quella che servirebbe per contenere interamente il segnale e scegliere una frequenza
di centraggio che sia al di fuori del segnale stesso, su entrambi i BSA. Con questo accorgimento nelle prove in forward scatter Sm 3B ed Sm 1A si sono ottenuti i corretti andamenti
degli sforzi di Reynolds, con la sola eccezione dei primi punti più vicini a parete. Si pensa
che il problema sia dovuto a un disturbo fisico della fessura oppure a un disturbo ottico
causato dal riflettersi del volume di misura sul fondo in plexiglass. Si osserva infine che
l’eliminazione dei raggi secondari eseguita mediante un ostacolo posto sulla lente frontale renderebbe ancora più difficoltoso l’utilizzo della modalità back-scatter, in quanto
ridurrebbe la sezione utile per la ricezione della radiazione dispersa.
Per quanto riguarda le misure su fondo scabro, può succedere che la distribuzione
degli sforzi di Reynolds presenti un’irregolarità vicino alla rete, in quanto il taglio in essa
praticato per far passare il raggio laser genera sicuramente un disturbo. A parte questo
169
può succedere che gli elementi di scabrezza, essendo un punto di arresto della corrente,
introducano un gradiente di velocità longitudinale al quale è associato anche un gradiente
di pressione. Si dimostra (Tennekes & Lumley 1972, pag. 170 e seguenti) che l’effetto di
un tale gradiente può influenzare gli sforzi di Reynolds e quindi, eventuali loro deviazioni
dalla distribuzione attesa può essere dovuta a questo fenomeno fisico.
5.6
Calcolo della velocità di attrito
Nei casi delle prove in forward scatter Sm 3B e Sm 1A, in cui le distribuzioni degli sforzi
di Reynolds sono accettabili, si può calcolare la tensione di parete e la corrispondente
velocità di attrito, quindi si possono determinare mediante tecniche di interpolazione, il
valore di A e κ, minimizzando l’errore tra i punti misurati sperimentalmente e le formule
analitiche che descrivono il profilo di velocità media, presentate nel corso del presente
capitolo. Il confronto di tali valori con quelli proposti in letteratura possono costituire
una prova della bontà delle misure eseguite e confermare la base concettualmente forte
presentata nelle pagine precedenti.
Tuttavia, nella maggioranza delle altre misure non è possibile fare questo, pertanto la
velocità di attrito deve essere determinata dal profilo di velocità, ricorrendo a tecniche
numeriche che consentano di minimizzare l’errore tra il profilo di velocità misurato e le
formule che lo descrivono. Imponendo alle costanti A e κ i valori desunti dalla letteratura
si va a ricavare la u? .
Nel corso del presente paragrafo verrà descritto il metodo qui utilizzato e la sua applicazione pratica.
170
5.6.1
Calcolo della velocità di attrito mediante l’interpolazione
dei profili di velocità media
Il profilo di velocità su superficie liscia può essere rappresentato mediante l’equazione
(5.13) e quello su superficie scabra mediante l’equazione (5.35). Qui si intende ricavare la
velocità di attrito, scegliendo i parametri u? , Π, δ e ∆u in modo da minimizzare l’errore tra
le corrispondenti formulazioni matematiche e i punti misurati sperimentalmente, tuttavia,
tale operazione non è semplice, perché le equazioni sono non lineari e il metodo dei minimi
quadrati non può essere applicato, nella sua formulazione classica, se non in casi semplici 4 .
Il metodo qui utilizzato per stimare i parametri delle leggi del profilo di velocità media
è quello di ottimizzazione non lineare di Levenberg-Marquardt.
Si supponga di dover interpolare un insieme di punti sperimentali con un modello
matematico y = y(x; a), il quale dipende in modo non lineare dall’insieme di M parametri
ak , k = 1,2 . . . M , non noti. Si definisce una “funzione obiettivo”
2
χ (a) =
2
N X
yi − y(x; a)
σi
i=1
,
(5.55)
per la quale occorre determinare i valori dei parametri che la rendono minima. Con una
dipendenza non lineare la minimizzazione deve procedere iterativamente, assegnati dei
valori di tentativo per i parametri occorre definire una procedura che migliori la soluzione.
Essa verrà ripetuta fino a quando χ2 non smettera di decrescere.
Si noti il ruolo giocato da σi : se l’incertezza sui punti sperimentali è grande, la σi sarà
ad essa commisurata e dunque, facendo la sommatoria, essi peseranno poco nella (5.55).
Qualora non fosse possibile conoscere lo scarto quadratico medio dei punti sperimentali,
si può utilizzare lo stesso metodo ponendo σi = 1 per tutti.
4
I minimi quadrati possono essere risolti solo nel caso di verifica, in cui si intendano valutare i parametri
A e Π della formula (5.13). Deve essere nota la costante κ, imposta secondo le indicazioni della letteratura
o ricavata ad esempio dalla distribuzione degli sforzi di Reynolds. Riportiamo brevemente la soluzione ai
171
Sufficientemente vicino al minimo, la funzione di merito può essere approssimata da
minimi quadrati nel caso possa tornare utile. La funzione completa che si considera è
u+ =
πy 1
2Π
.
ln(y + ) + A +
sin2
κ
κ
2h
Si vede che le coordinate e le velocità dei punti sperimentali devono già essere adimensionalizzate.
+
L’errore assoluto tra il generico punto sperimentale u+
i e il punto u calcolato con la relazione analitica
+
+
+
per il corrispondente yi , è = (u − ui ). Si impone che la somma degli errori calcolati in tutti i punti
sperimentali, elevata al quadrato, debba essere minima; in formule:
N
X
2i
=
N
X
i=1
i=1
+
(u −
2
u+
i )
=
N X
i=1
πy 2Π
1
i
sin2
u − ln(yi+ ) − A −
κ
κ
2h
+
2
→ min.
Per determinare i coefficienti A e Π che minimizzano l’errore è sufficiente porre:
∂
PN
2
i=1 i
∂A
∂
= 0,
PN
2
i=1 i
∂Π
= 0.
Esplicitando si ottiene il seguente sistema:
N
X
2
u+
i sin
i=1
N
X
i=1
πy i
2h
−
N
u+
i −
N
N
N
πy πy X
1X
2 X 4 πyi i
i
=A
+Π
,
ln(yi+ ) sin2
sin2
sin
κ i=1
2h
2h
κ i=1
2h
i=1
N
2 X 2 πyi 1X
ln(y + ) = N A + Π
sin
.
κ i=1
κ i=1
2h
Ponendo
c1 =
N
X
2
u+
i sin
i=1
c2 =
N
X
i=1
a11 =
N
X
i=1
πy i
2h
N
u+
i −
sin2
N
−
πy 1X
i
,
ln(yi+ ) sin2
κ i=1
2h
1X
ln(y + ),
κ i=1
πy i
2h
N
a12 =
2 X 4 πyi ,
sin
κ i=1
2h
a21 = N,
N
,
a22 =
2 X 2 πyi ,
sin
κ i=1
2h
il sistema può essere riscritto nella forma canonica
c1 = a11 A + a12 Π,
c2 = a21 A + a22 Π,
che si risolve facilmente con la regola di Cramer:
a
11 c1 a21 c2 a c − c1 a21
= 11 2
Π= a
11 a22 − a12 a21
a11 a12 a21 a22 c a 1
12 c2 a22 c a − a12 c2
= 1 22
A= .
a
11 a22 − a12 a21
a11 a12 a21 a22 172
una forma quadratica che si può scrivere come
1
χ2 (a) ∼ γ − d · a + a · D · a,
2
(5.56)
dove d è un vettore di dimensione M e D è la matrice delle derivate seconde (Hessiano).
Se l’approssimazione fosse buona si potrebbe saltare dai valori di tentativo correnti a cur
a quelli che minimizzano χ2 in un solo passaggio, ponendo
amin = acur + D−1 · −∇χ2 (acur ) .
(5.57)
Se invece la (5.56) fosse una povera approssimazione locale della forma della funzione
di merito, tutto quello che si potrebbe fare sarebbe spostarsi di un certo passo lungo il
gradiente. In formule,
anext = acur − cost · ∇χ2 (acur ),
(5.58)
dove la costante è sufficentemente piccola ma tale da non esaurire il processo di discesa
verso il minimo di χ2 .
Per utilizzare le formule (5.57) e (5.58) è necessario calcolare il gradiente di χ 2 per
ognuno dei parametri a; per utilizzare la (5.57) bisogna conoscere anche la matrice delle
derivate seconde; ma questo non è un problema perché la forma di χ2 è basata sul modello
matematico scelto per rappresentare il fenomeno.
Solitamente si utilizza la (5.57), salvo nei casi in cui essa fallisca nel ridurre la funzione
di merito, cosa che se si verificasse, segnalerebbe una scarsa approssimazione locale della
(5.56).
Si ricorda di non mettere nel conto i punti con y + ≤ 30 circa, in quanto al di sotto di tale soglia non
vale la legge logaritmica.
Si potrebbero applicare i minimi quadrati per ricavare anche il valore di κ dai punti sperimentali,
tuttavia la formulazione diventerebbe troppo laboriosa e lunga da ricavare ed applicare.
I minimi quadrati non possono essere usati per ricavare il valore dell’origine δ, poiché il termine y + δ
all’interno del seno e il termine corrispondente all’interno del logaritmo impediscono una soluzione in
forma chiusa.
173
Il gradiente di χ2 , che si annulla in corrispondenza del minimo, ha le seguenti componenti calcolate rispetto a tutti i parametri a
N
X [yi − y(xi ; a)] ∂y(xi ; a)
∂χ2
= −2
∂ak
σi2
∂ak
i=1
k = 1,2 . . . M.
(5.59)
Le componenti della matrice Hessiana sono
N
X
1 ∂y(xi ; a) ∂y(xi ; a)
∂ 2 χ2
∂ 2 y(xi ; a)
=2
− [yi − y(xi ; a)]
,
2
∂ak ∂al
σ
∂a
∂a
∂a
∂a
k
l
k
l
i
i=1
(5.60)
con k,l = 1,2 . . . M . Nell’equazione (5.60) si nota la dipendenza dalle derivate prime e
dalle derivate seconde del modello matematico, fatte rispetto ai suoi parametri. È prassi
comune trascurare le derivate seconde all’interno della (5.60), ma è bene fare alcuni brevi
commenti. Le derivate seconde compaiono perché i termini del gradiente possono ancora
dipendere dai parametri; esse possono essere trascurate quando sono nulle (nei casi di
dipendenza lineare del modello dai parametri), oppure quando sono abbastanza piccole
da essere trascurate rispetto alle derivate prime. In pratica potrebbe esserci ancora una
condizione tale da rendere trascurabile il contributo delle derivate seconde, ossia che il
termine moltiplicativo [yi − y(xi ; a)] sia piccolo. Se il modello matematico si adatta bene
ai punti sperimentali, allora l’errore [yi − y(xi ; a)] dovrebbe essere di tipo accidentale,
scorrelato col modello e con segno qualunque; dunque la sua somma secondo l’indice i
dovrebbe tendere a cancellare il contributo delle derivate seconde.
L’inclusione del termine delle derivate seconde avrebbe, nella pratica, un effetto instabilizzante sulla convergenza dell’interpolazione, se il modello non si adattasse troppo
bene ai punti o fosse contaminato da punti distanti, mal compensati da punti di segno
opposto.
Nella pratica il metodo di Levenberg-Marquardt lavora molto bene e per questo è
diventato lo standard dei metodi di interpolazione ai minimi quadrati non lineari. Esso passa elegantemente dal metodo dell’Hessiano, (5.57), al metodo di discesa lungo la
174
direzione di massima pendenza, (5.58). La seconda equazione è usata soprattuto a distanza dal minimo, dove la descrizione della sola matrice Hessiana sarebbe insufficiente, per
poi passare al primo. La scelta della costante nella (5.58) non è banale, ma, per questo
problema si rimanda a Vetterling et al. (1989). Concludiamo dicendo che la condizione
per interrompere le iterazioni, una volta raggiunta la convergenza alla precisione della
macchina o il limite di arrotondamento, è che per due iterazioni χ2 si riduca di una quantità trascurabile, dell’ordine di 0,1; d’altra parte, proseguire con le iterazioni, una volta
raggiunta la convergenza sarebbe del tutto inutile, perché, nella migliore delle ipotesi, il
minimo è soltanto una stima statistica dei parametri a. Il valore indicato è desunto sulla
base di precise considerazioni per le quali si rimanda a Vetterling et al. (1989), dove si
possono trovare ulteriori dettagli su come l’algoritmo è stato implementato in linguaggio
Pascal. Qui si precisa solamente che, in alcuni casi, si sono trovate matrici singolari che
hanno bloccato l’algoritmo di eliminazione di Gauss-Jordan e, per risolvere il problema, si
è aggiunta una costante piccola (una sorta di rumore) agli elementi nulli della diagonale.
La soluzione ha funzionato nel senso che ha permesso al programma di superare quel
momento e di minimizzare χ2 e determinare i relativi parametri.
Tale algoritmo è stato usato
• su fondo liscio, per determinare la velocità di attrito u? ,
• su fondo scabro, per determinare contemporaneamente u? e lo slittamento ∆u e
• su fondo liscio, nelle misure in forward-scatter, per determinare κ ed A.
Si riportano qui di seguito tutte le derivate necessarie per eseguire l’interpolazione con
il metodo di Levenberg-Marquardt.
175
Su fondo liscio si intende ricavare u? dal profilo di velocità. Sono necessarie le seguenti
formule:
1
2Π 2 π(y + δ)
y+δ ?
,
u=u
ln
u +A+
sin
κ
ν
κ
2(h + δ)
y+δ ?
∂u
1
1
2Π 2 π(y + δ)
= ln
u +A+
sin
+ ,
?
∂u
κ
ν
κ
2(h + δ)
κ
∂u
1
2Ππ
π(y + δ)
π(y + δ) h + 2δ + y
? 1
,
=u
+
sin
cos
∂δ
κy+δ
κ
2(h + δ)
2(h + δ)
(h + δ)2
∂u
π(y + δ
2u?
2
.
=
sin
∂Π
κ
2(h + δ)
?
(5.61)
(5.62)
(5.63)
(5.64)
Il parametro δ che compare nelle formule precedenti, relative al fondo liscio, tiene
presente l’incertezza di posizionamento dell’origine dell’anemometro. Nelle prove su fondo liscio, come su quelle di fondo scabro, si è assunta come origine dell’asse y l’altezza
dell’anemometro per la quale i raggi verdi orizzontali sono interrotti per metà dal fondo di
plexiglass; tale posizione è stata rilevata volta per volta ad occhio ed è pertanto soggetta
ad una lieve incertezza, dell’ordine di 0,2 mm. Non è detto che essa coincida con l’orgine
effettiva del profilo di velocità su fondo liscio. In tali condizioni il volume di misura della
componente longitudinale risulta dimezzato e pertanto l’anemometro non è in grado di
rilevare alcun segnale.
È sconsigliabile eseguire l’interpolazione ricercando i tre coefficienti u? , δ e Π, in quanto l’effetto di scia è stato a volte mascherato dal velocity-dip, vicino al pelo libero la
velocità dell’acqua è rallentata rispetto a quella degli strati sottostanti dall’attrito con
l’aria. In questa situazione l’algoritmo troverebbe una soluzione con Π < 0 cosa fisicamente inattendibile. Lasciando cercare al programma l’origine δ esso potrebbe trovare
una soluzione che porta il primo punto di misura al di sotto del piano del fondo e la
qual cosa sarebbe ancora fisicamente non valida. Questo succede perché la soluzione del
problema non è necessariamente unica, la u? e δ hanno un effetto simile nel posizionare il
profilo di velocità.
176
Inoltre, quanti più parametri si intendono determinare, tanti più devono essere i punti
sperimentali noti, Durst (1996) consiglia che i punti sperimentali siano almeno cinque
volte il numero dei coefficienti incogniti cosı̀ da ottenere errori limitati. Qui, nella parte
logaritmica del profilo, si hanno a disposizione mediamente una decina di punti e pertanto
non sarebbero attendibili i risultati dell’interpolazione di più di due coefficienti.
In sostanza l’unica cosa possibile è rilevare u? imponendo dei valori di tentativo per
Π, cercando visivamente una buona interpolazione. Per questo motivo la precisione su Π
risulterà bassa, ma anche i dati riportati in letteratura dimostrano che i sui valori sono
soggetti a notevole dispersione, basti vedere per esempio la figura 5.18. Per δ si cerca
un valore ottimale che faccia tornare nell’origine la parte bassa del profilo di velocità
misurato, essendo su fondo liscio u = 0, sempre.
Per fare questo lavoro si è usato il programma in Pascal riportato nell’appendice
??, nel quale è stata inserita solo la formula (5.62). Esso è dotato di una semplice
interfaccia grafica che rappresenta il profilo di velocità sperimentale, il grafico della (5.61)
e permette di scegliere il punto iniziale dell’interpolazione, cosı̀ da poter scartare i punti
sotto y + ≤ 30. Con la pressione dei soli tasti di cursore si possono modificare a piacere
i valori dei parametri Π e δ in modo da ottenere visivamente una buona interpolazione.
Il parametro δ, che porta i grafici di ciascuna prova nell’origine, deve essere ricavato dal
confrtonto contemporaneo di tutte le prove insieme sullo stesso grafico; ciò è stato fatto
con il programma Gnuplot.
Nel programma di interpolazione ?? è stata inserita una versione semplificata della
(5.62), nella quale al denominatore del seno è stato tolto il δ. L’imprecisione che ne deriva
è trascurabile in quanto δ << h. Per l’interpolazione su profilo scabro si è usata la formula
completa perché il valore di δ potrebbe raggiungere quello dell’altezza della rete, pari a
177
circa 0,75 mm e l’imprecisione potrebbe diventare sensibile. Le formule usate sono:
y+δ ?
2Π 2 π(y + δ)
? 1
ln
u +A+
sin
u=u
,
(5.65)
κ
ν
κ
2h
y+δ ?
∂u
1
2Π 2 π(y + δ)
1
= ln
u +A+
sin
(5.66)
+ .
?
∂u
κ
ν
κ
2h
κ
Su fondo scabro si intendono ricavare per interpolazione del profilo di velocità media
lo slittamento ∆u e la velocità di attrito u? . Si utilizzano le seguenti formule:
2Π 2 y + δ π
y+δ ?
? 1
u=u
− ∆u,
ln
u +A+
sin
κ
ν
k
h 2
∂u
2Π 2 y + δ π
1
1
y+δ ?
+ ,
= ln
u +A+
sin
?
∂u
κ
ν
κ
h 2
κ
∂u
= −1.
∂∆u
5.6.2
(5.67)
(5.68)
(5.69)
Calcolo dei parametri A e κ mediante interpolazione
Per le prove in forward scatter su fondo liscio la distribuzione degli sforzi di Reynolds è
accettabile, dunque si possono ricavare per interpolazione i valori di A e κ per un confronto
coi dati riportati in letteratura. Nel programma di interpolazione non lineare è sufficiente
sostituire le seguenti formule:
1
2Π 2 π y + δ
+
u = ln(y ) + A +
,
sin
κ
κ
2 h
∂u+
1
y+δ ?
πy+δ
2
,
= − 2 ln
u + 2Π sin
∂κ
κ
ν
2 h
∂u+
= 1.
∂A
+
(5.70)
(5.71)
(5.72)
Anche in questo caso è bene scegliere Π visivamente e δ in modo che il profilo misurato
abbia effettivamente origine per y = 0.
5.6.3
Calcolo della velocità di attrito mediante l’interpolazione
degli sforzi di Reynolds
Nel paragrafo 5.2 si è detto che per calcolare la velocità di attrito è necessario conoscere
la tensione tangenziale di parete e che quest’ultima può essere ricavata dall’estrapolazione
178
della distribuzione triangolare degli sforzi tangenziali τ = µ du/ dy − ρu0 v 0 , oppure estrapolare al fondo la parte rettilinea verso il pelo libero degli sforzi di Reynolds. La seconda
soluzione dovrebbe portare a un risultato leggermente sottostimato a causa della mancanza della componente viscosa, tuttavia la differenza dovrebbe essere minima perché gli
sforzi viscosi perdono rapidamente di importanza allontanandosi da parete. Per maggiore
sicurezza si è allora scelta la prima soluzione.
Inoltre si è fatta l’assunzione di trascurare l’effetto del pelo libero sugli sforzi di Reynolds, evidenziato nel paragrafo 5.4.4, figura 5.19 e pertanto si è imposto il passaggio della
retta interpolatrice per y/h = 1.
Per eseguire l’interpolazione si sono usati i minimi quadrati nella loro formulazione
classica. Siano τi i valori misurati della tensione tengenziale e τ il valore della corrispondente retta interpolatrice calcolata nel punti yi . Si impone che la somma degli errori
= τi − τ al quadrato sia minima. In formule:
N
X
2i
=
i=1
N
X
i=1
(τi − τ |y=yi )2 → min.
(5.73)
Interpolando con la retta τ = ayi + b ed imponendo che essa passi per un punto
obbligato (y0 ,τ0 ) (τ0 = ay0 + b), si può scrivere la precedente relazione come:
N
X
i=1
2i
=
N
X
i=1
(τi − ayi − τ0 + ay0 )2 → min.
Il coefficiente angolare a può essere ricavato facilmente imponendo
P
2
∂ N
i=1 i
=0
∂a
e con alcuni semplici passaggi matematici si ottiene
PN
(yi − y0 )(τi − τ0 )
.
a = i=1
PN
2
i=1 (yi − y0 )
(5.74)
(5.75)
(5.76)
Imponendo τ0 = 0 per y0 = h e ricavando b si ottengono infine le seguenti formule:
PN
(yi − y0 )τi
,
(5.77)
a = Pi=1
N
2
(y
−
y
)
i
0
i=1
179
b = τ0 − ay0 .
(5.78)
Alla fine di questi calcoli è nota la retta interpolatrice ai minimi quadrati della distribuzione degli sforzi tangenziali, τ = ayi + b. Si può osservare come il parametro b
rappresenti lo sforzo tangenziale di parete.
I risultati degli sforzi Reynolds si prestano comunque a fare una semplice riflessione
qualitativa. Dall’esame delle figure ??, ??, ??, ??, ?? (pagine ??, ??, ??, ??, ??) si nota
che a parità di Reynolds lo sforzo tangenziale di parete τw cresce con il ridursi dell’altezza,
√
ovvero cresce con il numero di Froude, F r = u/ gh.
Osservando le figure ??, ?? ed ?? (pagine ??, ??, ??) si nota come la tensione di
parete cresca col numero di Reynolds.
Vicino alla superficie si sono ottenuti alcuni punti che sembrano essere allineati su
una retta, poiché l’effetto della banda di rumore in v, riducendosi con l’altezza, dovrebbe
diventare trascurabile.
Tracciando una retta interpolatrice su quei pochi punti, si sono estrapolati i valori
della tensione di parete e calcolate le corrispondenti velocità di attrito. I valori ottenuti
sono confrontati nella tabella 5.1 con quelli ricavati mediante l’interpolazione del profilo
discussa nel precedente paragrafo. Nonostante la grande incertezza dell’interpolazione
della distribuzione degli sforzi di Reynolds si vede che i risultati sono in buon accordo tra
loro.
Non si può essere sicuri dell’interpolazione fatta sulla prova Sm 5M in quanto sembrano
essere utilizzabili solo due o tre punti.
5.7
Profilo di velocità esponenziale
Cosı̀ come detto per il profilo logaritmico, il gradiente di velocità dipende dalla densità
ρ, dalla viscosità ν, dallo spessore dello strato limite h, dalla velocità d’attrito u ? e dalla
distanza dalla parete y. Scegliendo le grandezze dimensionalmente indipendenti ρ, u? e y
180
Tabella 5.1: Confronto della velocità di attrito ricavata con l’interpolazione del profilo di
velocità e con l’interpolazione degli sforzi di Reynolds.
Data
1811
1711
1511
2311
2411
2511
2611
Nome
Sm 1B
Sm 1M
Sm 2B
Sm 2M
Sm 2A
Sm 3B
Sm 3M
u0 v 0 int
[m2 /s2 ]
0,01043
0,00798
0,01831
0,01535
0,01252
0,02407
0,01986
u0 v 0 Re
[m2 /s2 ]
0,01032
0,00810
0,01773
0,01539
0,01286
0,02293
0,01980
ε%
1,0
-1,5
3,1
-0,3
-2,7
4,7
0,3
Data
2911
0712
0612
1911
0112
0912
u0 v 0 int
[m2 /s2 ]
0,01703
0,03127
0,02762
0,02127
0,03447
0,03272
Nome
Sm 3A
Sm 4B
Sm 4M
Sm 4A
Sm 5B
Sm 5M
u0 v 0 Re
[m2 /s2 ]
0,01759
0,03055
0,02720
0,02207
0,04182
0,03317
ε%
-3,3
2,3
1,5
-3,8
-21,3
-1,4
e applicando il teorema Π, si ottiene
Π = φ (Π2 ,Π5 ) ,
(5.79)
con Π5 = 1/y + .
Seguendo il ragionamento di Barenblatt (1993), si supponga che non esista un valore
finito di φ (Π2 ,Π5 ) al tendere di Π2 e di Π5 ad infinito, ma s’assuma che vi sia un andamento
esponenziale asintotico del tipo φ ∼ A/P2α , con A e α dipendenti dal numero di Reynolds
del moto medio; per integrazione si ottiene il profilo esponenziale
? α
u
uy
,
=C
?
u
ν
(5.80)
con C dipendente dal numero di Reynolds del moto medio. Il ragionamento precedente è
valido nel main body, dove Π2 e y + assumono valori sufficientemente elevati.
In accordo con i dati sperimentali, Barenblatt propone le relazioni
3
2 ln(Re)
√
3 + 5α
C=
.
2α
α=
(5.81)
(5.82)
Introducendo la funzione
1
Ψ = ln(y ) = ln
α
+
181
2α uu?
√
3 + 5α
,
(5.83)
Tabella 5.2: Valori dei parametri delle leggi di velocità logaritmica ed esponenziale
Sm 2A
k 0,42 Re 38200
A 5,10 α
0,142
Π 0,02 C
8,13
δ 0,30
k
A
Π
δ
Sm 3B
0.40 Re 48400
5,51 α
0,140
0,05 C
8,93
0,05
i punti devono trovarsi sulla bisettrice del primo quadrante del piano (ln(y + ), Ψ), come
risulta da Barenblatt & Prostokishin (1993); per piccoli valori di y + le curve sperimentali
si distaccano in modo sistematico dalla bisettrice, evidenziando la non validità della legge
esponenziale in prossimità della parete.
Si sono confrontati gli andamenti di due profili di velocità interpolati sia con la legge
logaritmica che con quella esponenziale in due prove, Sm 2A, in backscatter, e Sm 3B, in
forward-scatter. I risultati sono riportati nelle figure 5.22 e 5.23.
Il numero di Reynolds del moto medio è stato calcolato utilizzando come lunghezza
caratteristica 4h, ossia 4 volte il raggio idraulico, dato dal rapporto tra la sezione e il
contorno bagnato, e come velocità quella media, ottenuta con la relazione
n
1 X (ui+1 + ui )(hi+1 + hi )
,
u=
h i=1
2
(5.84)
dove h è l’altezza del pelo libero e ui è il valor medio della velocità all’altezza hi . Il valore
della costante C è stato assunto dipendente dal numero di Reynolds, ma con coefficienti
differenti da quelli di Barenblatt, essendo le nostre condizioni sperimentali diverse dalle
sue e dovendo considerare l’errore di posizionamento dell’origine delle altezze. I valori dei
parametri usati sono riportati in tabella 5.2.
Si può notare che il profilo esponenziale interpola meglio gli andamenti rispetto a
quello logaritmico.
Nella figura 5.24 si è verificato l’andamento lineare di Ψ in funzione di ln(y + ).
182
u+
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Punti misurati
Profilo logarit.
Profilo esponenz.
1
10
100
y
1000
+
Figura 5.22: Profilo di velocità della prova Sm 2A.
25
20
u+
15
10
5
0
Punti misurati
Profilo logarit.
Profilo esponenz.
1
10
100
y+
Figura 5.23: Profilo di velocità della prova Sm 3B.
183
1000
7
6
Ψ=
5
1
α
+
ln √2αu
= ln η, α =
3+5α
3
2 ln Re
Ψ
4
3
2
1
0
Sm 2A
Sm 3B
0
1
2
3
4
5
6
7
ln(y + )
Figura 5.24: Andamento di Ψ in funzione di ln(y + ).
È opportuno sottolineare che il profilo esponenziale si basa sull’ipotesi che la viscosità
influenzi il moto anche al di fuori dello strato di parete (inner layer), ossia che la presenza
della superficie sia sentita in tutto lo strato limite. Anche se entrambi gli andamenti di
velocità, logaritmico ed esponenziale, approssimano con sufficiente precisione il profilo
medio ottenuto sperimentalmente, non è comunque possibile prescindere dalle ipotesi di
base, che evidenziano un approccio al fenomeno sostanzialmente diverso.
184
Tabella 5.3: Valori di y/ks proposti da diversi ricercatori, per diversi tipi di scabrezza.
N◦
Ricercatore/i
Tipo di scabrezza
ks
Risultato
Riferimento
Primo approccio: y0 è ottenuto per tentativi in modo che l’andamento di u in funzione di log y approssimi in modo ottimale
la legge logaritmica con k = 0.4.
1
Einstein e El-Samni (1949)
semisfere
y0 = 0.20ks
Benedict e
y0 = 0.20ks
Christensen (1972)
2
O’Loughlin e
O’Loughlin e
Macdonald (1964)
sabbia
ks = 0.29 cm
y0 = 0.27ks
Macdonald (1964)
3
Goma e Gelhar (1968)
scabrezza uniforme
y0 = 0.23ks
Blinco e
Partheniades (1971)
4
Blinco e
Blinco e
Partheniades (1971)
carburo di silicio
ks = 0.245 cm
y0 = 0.27ks
Partheniades (1971)
5
Grass (1971)
rounded pebble
ks = 0.9 cm
y0 = 0.18ks
Grass (1971)
6
Kamphuis (1974)
sedimenti naturali
ks = 0.054 − 4.6 cm y0 = 0.30ks
Kamphuis (1974)
7
Zagni e Smith (1976)
mixture
ks = 0.2 − 1.7 cm
y0 = 0.68ks
Zagni e Smith (1976)
8
Zippe e Graf (1983)
grani di plastica
di forma ellissoidale
ks = 0.29 cm
−0.2 < y0 /ks < 0.8
Zippe e Graf (1983)
9
Tu et al.(1988)
scabrezza naturale
ks = 2.35 cm
−0.3 < y0 /ks < 0.4
Tu et al.(1988)
Secondo approccio: y0 è al livello cui dovrebbe essere se gli elementi scabri fossero posti in modo da formare una nuova
superficie piana.
10
Nikuradse (1933)
scabrezza artificiale
Pyle e Novak (1981)
11
Schlichting (1937)
Pyle e Novak (1981)
12
Benedict e
Benedict e
Christensen (1972)
semisfere
yo = 0.198ks
Christensen (1972)
? = [ln(y/k )]/k + B e
Terzo
approccio:
y
è
valutata
per
tentativi
usando
le
equazioni
di
Chezy
e
Manning
o
usando
u/u
s
r
0
p
1/f = 0.88 ln(D/ks ) + E, dove Br e E sono costanti e k = 0.4 (Bayazit) o k = 0.285 (Pyle e Novak).
13
Cheng e Clide (1972)
sfere
ks = 30.48 cm
y0 = 0.15ks
Cheng e Clide (1972)
14
Bayazit (1976)
semisfere
ks = 2.3 cm
y0 = 0.35ks
Bayazit (1976)
15
Pyle e
sfere
ks = 1.65 cm
y0 /ks = 0.3 − 1
Pyle e
Novak
semisfere
ks = 3.3 cm
in funzione della
Novak
(1981)
pietre naturali
ks = 15 cm
concentrazione
(1981)
Quarto approccio: y0 è determinato con una relazione empirica.
16
Ashida e Bayazit (1971)
scabrezza uniforme
ks = 0.5 − 0.12 cm
y0 = 015ks
Ashida e Bayazit (1971)
185
186
GRANDI E PICCOLE SCALE NELLA TURBOLENZA DI PARETE
Capitolo 6
Influenza del numero di Reynolds
É ben noto come il numero di Reynolds sia un parametro fondamentale nella meccanica
dei fluidi ed esso giuochi un ruolo fondamentale nell’ambito della turbolenza di parete.
Tuttavia a tutt’oggi esiste un forte dibattito inerente all’esistenza o meno di un limite
oltre al quale il campo di moto risulta essere indipendente dal numero di Reynolds, ossia
l’esistenza della cosiddetta similitudine nel numero di Reynolds. La risposta a questo
interrogativo é importante sia per la comprensione del fenomeno della turbolenza sia ai
fini applicativi. Si pensi infatti alle sperimentazioni eseguite in laboratorio a bassi numeri
di Reynolds ed estese alle configurazioni reali aventi numeri di Reynolds molto piú elevati. Nonostante negli ultimi anni molti lavori, sperimentali e non, siano stati presentati
(Metzger e Klewicki, 2001; Mochizuki e Nieuwstadt, 1996), i loro risultati sono ancor oggi
alquanto discordanti, sia nelle conclusioni sia nell’entitá di una possibile influenza dal
numero di Reynolds sul campo di moto turbolento. I motivi della discrepanza tra i vari
risultati pubblicati sono da ricercarsi nell’estrema difficoltá che i metodi sperimentali presentano, specialmente quando utilizzati per indagare la zona di parete, e nelle incertezze
introdotte dalla non sempre adeguata valutazione delle grandezze caratteristiche (p.es.
la velocitá di attrito) utilizzate per l’adimensionalizzazione. Il presente lavoro concerne
l’analisi statistica di dati sperimentale acquisiti mediante l’utilizzo di un anemometro laser Doppler in una corrente a superficie libera. La campagna di misura ha interessato un
ampio intervallo di numeri di Reynolds (da circa 4200 a circa 77000) per ognuno dei quali
si é campionato, su di una verticale, un grande numero di punti. La particolare cura posta
nell’investigare la zona prossima a parete ha permesso di ottenere dati di ottima qualitá
anche fino a y + = 1 (dove y + é la distanza dal fondo adimensionalizzata con le variabili
di parete). In tal modo é stato possibile eseguire una dettagliata analisi dei risultati sia
in funzione della distanza dal fondo sia in funzione del numero di Reynolds. Inoltre, la
velocitá di attrito é stata ricavata direttamente dall’andamento delle tensioni totali alla
parete, ció grazie alla precisione dei dati campionati mediante una particolare tecnica sviluppata (Poggi et al., 2001). In tal modo é stato possibile evitare i problemi evidenziati
dai metodi comunemente utilizzati nella sperimentazione in correnti a superficie libera
(Durst et al., 1996). I risultati ottenuti, in particolare il profilo di velocitá e le statistiche
turbolente dei primi quattro ordini, evidenziano una marcata influenza del numero di Reynolds solo fino a valori di circa 30000 oltre i quali tale influenza diviene impercettibile.
L’analisi congiunta degli spettri di energia e dei profili di velocitá nella zona logaritmica
evidenzia la simultanea comparsa, per numeri di Reynolds superiori a 30000, del range
inerziale. Tale comportamento é sintomatico dell’instaurarsi di una fascia, sia localmente
nel campo delle frequenze che spazialmente nella campo delle distanze dalla parete, dove
il contributo viscoso delle piccole scale ed il contributo delle grandi scale divengono ininfluenti ed a dominare é l’equilibrio tra guadagno e perdita di energia. La presente analisi
non pretende di dare una risposta sull’esistenza dell’autosimilitudine completa nel numero
di Reynolds, sia a causa del limitato range del numero di Reynolds analizzato sia delle
limitate analisi statistiche, ma semplicemente evidenziare che l’influenza del numero di
Reynolds é da ricercarsi attraverso metodi d’analisi e strumenti maggiormente sensibili
ed affidabili.
187
6.0.1
Analisi del profilo di velocitá
Probabilmente uno dei pi importanti argomenti di discussione nello studio della turbolenza di parete é la legge che descrive il profilo delle velocitá. Sebbene la funzione pi
conosciuta ed utilizzata sia quella logaritmica, diversi dubbi sono stati avanzati inerentemente alla validitá della stessa per numeri di Reynolds finiti (Wosnik et. al., 2000;
Barenblatt G.I., 1993; Zagarola e Smits, 1998). Gli accesi dibattiti sul reale andamento
del profilo di velocitá sono costantemente alimentati dall’interesse non solo speculativo
che questo argomento suscita. Infatti, l’adozione del profilo logaritmico di velocitá implica l’accettazione che il flusso nella regione di validitá del profilo, regione che dallo stesso
prende il nome, dipenda esclusivamente dalla velocitá di attrito e dalla distanza dalla parete. Diversamente il profilo di velocitá esponenziale presuppone la dipendenza del moto
anche dal numero di Reynolds e relega il profilo logaritmico al ruolo di profilo asintotico
al tendere del numero di Reynolds ad infinito. Nonostante che il chiarimento di questo
annoso dilemma sia fondamentale, ed in tal senso notevoli sforzi sono stati e saranno
fatti (p.es. Superpipe; rif. Zagarola), per numeri di Reynolds comunemente ottenibili
in laboratorio l’assunzione dell’una piuttosto che dell’altra legge non porta a sostanziali
differenze in quanto entrambe sono delle ottime funzioni interpolatici dei profili di velocitá sperimentali. In figura 6.1 sono mostrati i profili delle velocitá di alcune prove aventi
alto numero di Reynolds (superiore a 30.000), adimensionalizzati con la velocitá di attrito
ed in funzione dell’altezza y + = yu∗ /η. E’ evidente che i dati collassano su di un unico
andamento sia nella regione logaritmica sia nella zona di parete. In quest’ultima zona i
valori si adagiano gradualmente sulla legge lineare che descrive il profilo di velocitá nel
sottostrato viscoso. Sullo stesso grafico sono riportati i profili di velocitá dedotti dalla
legge logaritmica e da quella esponenziale. Come anticipato entrambi i profili si dimostrano essere delle ottime leggi interpolatrici. Nel profilo logaritmico presentato in figura
188
4
3
u’ u
2.5
2
1.5
1
0.5
1.2
a
1
0.8
v’ u
3.5
0.6
0.4
0.2
10 1
10 2
10 3
y
b
10 1
10 2
10
y
Figura 6.1: Profili di velocitá per numeri di Reynolds maggiori di 30000 (a) e per numeri
di Reynolds inferiori di 30000 (b).
6.1 i coefficienti k ed A della legge logaritmica sono assunti rispettivamente pari a 0.436
e 6.4. Si noti che la costante di von Kármán, e di conseguenza il valore di A, si discosta leggermente da quello classico di k=0.4 in accordo con recenti studi sperimentabili e
teorici riscontrabili in letteratura (Wosnik et. al., 2000; Zagarola e Smits, 1998).
Mentre il profilo logaritmico si presta ottimamente quale funzione interpolatrice per le
prove aventi numero di Reynolds elevato, lo stesso mostra notevoli limiti allorch le prove
a basso numero di Reynolds sono analizzate. E’ inoltre chiara la forte dipendenza del
profilo delle velocitá dal numero di Reynolds. L’inapplicabilitá della legge logaritmica per
bassi numeri di Reynolds non é in realtá inaspettata. Infatti se si adotta il procedimento
utilizzato da Millikan (1939) (si veda anche Tennekes and Lumley 1972) per la deduzione
della legge logaritmica, e della conseguente indipendenza nel numero di Reynolds, si deve
ipotizzare che nella zona di validitá della stessa la distanza dal fondo tenda ad infinito
quando adimensionalizzata con le variabili di parete (y+) ed a zero quando adimensionalizzata con le variabili esterne (d = y/H). Ció equivale a dire che una volta fissato
189
un punto ad una certa distanza dal fondo le caratteristiche cinematiche di questo punto
divengono indipendenti dal numero di Reynolds solo se la sua scala caratteristica delle
lunghezze, y, é molto pi grande di quella di parete (y >> n/u∗ ) e molto pi piccola rispetto
a quella esterna (y << H). Poich in tale zona i moti aventi come scala caratteristica delle
lunghezze n/u∗ e quelli aventi come scala caratteristica H sono rispettivamente troppo
piccoli e troppo grossi per influenzare il punto preso in esame, il numero di Reynolds e la
viscositá divengono ininfluenti. Nella regione dove ció é verificato, chiamata zona inerziale,
l’unica grandezza caratteristica delle distanze é y ed il profilo logaritmico é adottabile. Si
noti che un parallelismo utile nell’analisi dei risultati puó essere fatto tra la zona inerziale
della regione di parete, nel dominio delle lunghezze, ed il range inerziale dello spettro di
energia nel dominio delle frequenze. Infatti un ragionamento simile a quello sopra esposto,
riformulato per il numero d’onda k, la scala delle lunghezze di Kolmogorov η e la scala
integrale y, portó alla formulazione, rigorosa per turbolenza isotropa, del legame diretto
tra energia e numero d’onda, E(k) = ck 5/3 nella zona inerziale; il risultato pi conosciuto
ed utilizzato nel campo dello studio della turbolenza
Per entrambi i range inerziali le leggi che reggono il fenomeno possono esistere quindi
solo se le piccole (h e n/u*) e le grandi scale (H e y) sono sufficientemente distanti e perció
non interagenti; ció é possibile solo se il numero di Reynolds é sufficientemente elevato.
Interessante é indagare per quali valori le zone inerziali compaiono. In tal senso nelle
figure 2ab, sono diagrammati i valori di velocitá, in funzione di y+, e gli spettri di energia
in funzione di ky. In entrambi i grafici gli andamenti relativi ai diversi punti sono traslati
in modo da evidenziare le relative zone in cui é possibile riscontrare un range inerziale.
E’ possibile notare che per bassi numeri di Reynolds (fino a circa Re=30000) tale range é
del tutto assente sia nei profili delle velocitá sia negli spettri di energia. Differentemente
per alti numeri di Reynolds una chiara e sempre pi ampia regione inerziale compare,
190
um u
35
30
20
15
191
10 1
10 2
y
10
10
10
10 3
10
10 1
10
3
1
u2
u
ky
10 5
10
3
10
2
Re 7 104
10
25
10 7
a
1
1
10 0
ky
10 1
Figura 6.2: Regioni inerziali per i profili di velocitá (a) e gli spettri di energia (b) per
diversi numeri di Reynolds.
40
10 9
Re 5 10
4
b
Re 3 10
4
53
53
53
3
Re 1.5 104
5
7
10 2
10 3
evidenziando che le piccole e le grandi scale divengono sempre pi distanti e, presumibilmente, non interagenti. Da quanto emerge si puó quindi affermare che la dipendenza dal
numero di Reynolds é probabilmente legata all’interazione, evidenziata negli spettri di
energia, tra i moti dominati dalle forze viscose e quelli dominati dalle forzanti di grande
scala. Ció comporta che la normale cascata di energia, responsabile della sottrazione di
energia alle grandi scale e del relativo trasferimento a quelle pi piccole, é fortemente alterata se non del tutto soppressa. Ció é in accordo con un recente lavoro di Fischer et
al. (2001) che osservarono come a bassi numeri di Reynolds la dissipazione, e, é fortemente influenzata dall’anisotropia delle piccole scale del campo di moto. All’aumentare
del numero di Reynolds l’anisotropia diminuisce e con essa l’anomalo comportamento di e.
Occorre sottolineare che tutto quanto fino ad ora evidenziato é valido solo se le condizioni
di localitá sono rispettate. Infatti, se un eventuale interazione tra le scale responsabili
dell’immissione, trasferimento e dissipazione di energia avesse luogo anche un alto numero di Reynolds non sarebbe pi sufficiente ad assicurare la non influenza tra scale scale
integrali (H e y) e locali (y e k) (Qian, 1998; Barenblatt, 1999; Danaila et al., 1999). Nel
campo dell’analisi spettrale tale fenomeno é conosciuto come cascata non locale (Biferale
e Vergassola, 2001) ma puó essere esteso anche all’analisi della zona logaritmica.
6.0.2
Intensit turbolenta
L’analisi del profilo di velocitá é un utile strumento per lo studio della zona logaritmica ma
perde di efficacia quando occorre analizzare la zona di transizione tra quella logaritmica e
quella viscosa a contatto con la parete. In tale zona, che di seguito indicheremo come zona
di separazione (y+” 530), hanno luogo le pi caratteristiche ”attivitá” del moto turbolento
su parete liscia. Infatti la nascita e l’evoluzione delle tipiche strutture di parete (y+”
550), le massime oscillazioni turbolente (y+” 15) ed il surplus di energia turbolenta (y+”
15) hanno appunto luogo nella zona di separazione.
192
Figura 3. Profili di intensitá turbolenta delle velocitá: componente longitudinale (a)
e componente verticale (b).
Nella zona di transizione lo strumento pi adatto é l’analisi dei momenti di ordine superiore ed in particolar modo quello del secondo ordine, un utile indice dell’intensitá turbolenta. Al contempo l’analisi dell’influenza del numero di Reynolds attraverso l’andamento
dell’intensitá turbolenta non é utile nella zona logaritmica a causa dell’apporto di energia
turbolenta da parte delle fluttuazioni di pressione fortemente dipendenti dal numero di
Reynolds. Nel seguito indicheremo rispettivamente con u’ e con v’ gli scarti quadratici
medi della componente longitudinale e verticale della velocitá. In figura 3 é riportato
l’andamento, in funzione della distanza dalla parete y+, degli scarti della componente
longitudinale e verticale delle velocitá adimensionalizzatai rispetto alla velocitá di attrito.
E’ evidente la marcata sensibilitá degli andamenti al numero di Reynolds fino al valore
limite di Re=30000 oltre il quale i profili collassato su di un’unica curva. L’andamento
in funzione del numero di Reynolds, la posizione del picco ed il suo valore confermano i
risultati ottenuti da Durst (1996) e Den Toonder e Niewstadt (1997). Come sopra evidenziato lo scalaggio con le variabili di parete é valido solo fino a y + = 70 − 80. Ancor
pi interessante, in funzione delle precedenti considerazioni sull’interazione tra numero di
Reynolds e dissipazioni, é l’analisi dell’intensitá turbolenta in prossimitá della parete. Infatti, per la zona di parete (y+0) é possibile ricavare la relazione approssimata ey0=na2,
dove a é dato dall’espansione in serie di Mac Laurin delle intensitá turbolente u=ay+by2+
Unendo queste approssimazioni con l’espressione del profilo di velocitá nella zona viscosa
di parete, , si ottiene
Figura 4. Profili di intensitá turbolenta delle velocitá longitudinali adimensionalizzata
con um. Essendo molto pi facile la determinazione sperimentale sia di u’ sia di um rispetto
a quella di e, la precedente equazione é un utile strumento per l’analisi delle dissipazioni
nella zona di parete. In figura 3 é possibile notare l’influenza del numero di Reynolds
193
sul rapporto u’/um, e quindi su e, in prossimitá della zona di parete. Sebbene in questa
zona i dati non siano moltissimi la dipendenza é evidente, in particolare al crescere del
numero di Reynolds il valore, in costante aumento, tende al valore di 0.4, in accordo con
le simulazioni numeriche di Antonia e Kim (1994) ed i lavori sperimentali di DeGraaff
e Eaton (2000). Quanto detto in questo paragrafo ben si confá con le analisi svolte in
quello precedente, infatti per bassi numeri di Reynolds le scale dissipative h giocano un
importante ruolo riducendo l’entitá delle oscillazioni turbolente, riscontrabili sia nella
zona di parete che in quella di separazione, e di conseguenza l’entitá delle dissipazioni.
Adottando un differente punto di vista si puó dire che la cascata di energia é compromessa
dall’interazione tra le scale dissipative e quelle integrali e la dissipazione non puó avvenire
secondo le leggi classiche.
194
195
GRANDI E PICCOLE SCALE NELLA TURBOLENZA DI PARETE
Capitolo 7
Il metodo dei quadranti
7.1
Introduzione
Le analisi statistiche delle due componenti della velocità, effettuate precedentemente, sono
uno strumento valido ma non esauriente per descrivere il moto nel suo complesso. Infatti,
l’analisi statistica delle serie temporali delle componenti di velocità, u e v, individua
alcune caratteristiche intrinseche delle singole serie, senza però ricercare una specifica
correlazione.
Per capire meglio questo concetto, si riporta in modo sintetico quanto succede in
vicinanza della parete in un fluido in moto; per una trattazione più completa si veda
il terzo capitolo. Il fenomeno di esplosione turbolenta, denominato burst, si sviluppa
attraverso una sequenza di eventi (Kline et al. 1971): inizialmente strisce di fluido a
bassa velocità cominciano a sollevarsi gradualmente dal fondo e ad oscillare lentamente in
direzione trasversale oltre che normale al fondo, quindi tutto il filamento o parte di esso
improvvisamente esplode degenerando in un moto disordinato con fluido spinto verso la
zona esterna. Dunque, un’eiezione è definita come il sollevamento dalla zona di parete
di una massa di fluido a bassa velocità; conseguenza di ciò è l’abbassamento improvviso
della velocità longitudinale rispetto al suo valor medio, cui è associato un rapido aumento
della componente di velocità normale alla parete. Questa evidente correlazione giustifica
uno studio più approfondito, con un’analisi congiunta delle due componenti di velocità.
Questo può essere realizzato tramite il metodo dei quadranti, introdotto da Wallace
et al. (1972) e da Willmarth & Lu (1972), che consiste nell’individuare in quale quadrante
del piano (u0 ,v 0 ) si trovino i punti dati dal prodotto delle fluttuazioni turbolente u0 v 0 .
Per una maggiore efficacia il metodo viene integrato con un campionamento a soglia
del segnale; in tal modo si individua un evento di eiezione o di burst solo se il prodotto
istantaneo u0 v 0 appartiene al secondo quadrante ed è contemporaneamente superiore al
valore limite rappresentato dalla soglia. Il vantaggio di tale tecnica rispetto ad altre,
proposte in letteratura, consiste nel fatto che essa indaga direttamente la situazione fisica
associata ad una eiezione.
Potranno cosı̀ distinguersi i vari eventi, di outward interaction, quando si è nel primo
quadrante (u0 > 0,v 0 > 0), di ejection nel secondo (u0 < 0,v 0 > 0), di inward interaction
nel terzo (u0 < 0,v 0 < 0) e di sweep nel quarto (u0 > 0,v 0 < 0).
Si può associare alle quattro sopracitate una quinta zona, che raccoglie tutti gli eventi
per cui il prodotto u0 v 0 è inferiore a una soglia prefissata, definita come Hσu σv , essendo
H un numero positivo, σu e σv gli scarti quadratici medi rispettivamente di u e di v.
S’individua cosı̀ un’area entro la quale le fluttuazioni turbolente sono di intensità limitata,
o addirittura del tutto scorrelate (figura 7.1).
Individuata la posizione di ogni prodotto di velocità nel piano (u0 ,v 0 ), l’utilizzo del metodo dei quadranti diviene molteplice. Lo scopo principale è individuare il contributo che
i quattro quadranti danno in termini di tensione di Reynolds e visualizzare la variazione di
questo contributo al cambiare della soglia H, cercando cosı̀ l’influenza degli eventi di burst
al crescere di H, si quantifica la potenza dell’evento. Un secondo utilizzo è finalizzato alla
ricerca del volume di attività nei singoli quadranti e del posizionamento sul piano (u 0 ,v 0 )
di questo volume; si ricostruisce cosı̀ una funzione di probabilità tridimensionale, tramite
la quale è possibile trarre utili considerazioni sul tipo di moto in osservazione. L’analisi
dei quadranti viene inoltre utilizzata nel campionamento condizionato per la valutazione
196
Figura 7.1: Suddivisione in quadranti del piano u0 v 0 .
della periodicità degli eventi di ejection e di sweep mediante l’analisi del tempo medio di
bursting. Infine, il metodo dei quadranti può essere esteso anche all’analisi delle differenze
esistenti tra eventi di burst su fondo liscio e su fondo scabro.
7.2
Utilizzo del metodo dei quadranti
Oltre ai già citati ideatori si riporta in questo paragrafo l’utilizzo del metodo di Wallace
(1972) e Willmarth & Lu (1972) da parte di altri ricercatori.
Krogstad, Antonia & Browne (1992) valutano l’intensità di eventi di burst e sweep
mediante l’introduzione di soglie iperboliche. Il contributo di u0 v 0 per un particolare
quadrante può scriversi come
(u0 v 0 )
Q,H
1
= lim
T →∞ T
Z
T
u0 v 0 I2 (t) dt,
(7.1)
0
dove il pedice Q indica il quadrante, T il periodo su cui si sono effettuate le misure e
I2 =
(
1 quando |u0 v 0 |Q ≥ Hσu σv ,
0 negli altri casi.
197
(7.2)
Krogstad, Antonia & Browne studiano solamente quel che avviene nel secondo e quarto
quadrante, ossia concentrano la loro attenzione sui fenomeni di ejection e sweep. È possibile quindi fissare un valore di H e valutare come varia (u0 v 0 )Q in funzione della distanza
da parete y; analogamente si può studiare la variazione di (u0 v 0 )Q , ad una certa distanza
costante da parete, all’aumentare di H.
Come già suggerito da Lu & Willmarth (1973), per quantificare l’importanza relativa
delle fluttuazioni che ricadono nel secondo o terzo quadrante, è utile studiare l’andamento
del rapporto α = (u0 v 0 )2 /(u0 v 0 )4 oppure quello della differenza (u0 v 0 )2 − (u0 v 0 )4 ; anche
questo può farsi a soglia fissa e y variabile o viceversa. Willmarth & Lu e Raupach (1981)
hanno esaminato anche variazioni di scale temporali associate con le sweep e le ejection di
una certa forza, studiando gli andamenti dei tempi medi, che intercorrono tra due eventi
consecutivi con intensità superiore ad una soglia fissata.
Un procedimento più sofisticato viene utilizzato da Nakagawa & Nezu (1977), i quali
ricercano funzioni teoriche che seguano gli andamenti dei dati sperimentali. In particolare
indicano con w = u0 v 0 /uv la tensione istantanea di Reynolds normalizzata e ricavano la
densità di probabilità pw (w) dalla densità di probabilità delle componenti di velocità u e
v.
Essi cercano innanzitutto una formulazione della densità di probabilità che possa essere
legata con l’analisi delle statistiche ad una sola variabile, per poi definire il contributo alla
tensione di Reynolds in funzione della stessa pw (w).
Nel caso in cui la densità di probabilità p(u,v) segua la distribuzione Gaussiana con
media nulla, si può scrivere
pw (w) = 2pG (w)
R Rx K0 (|x|)
e
1
2π
(1 − R2 ) 2
Rw
−uv
x=
= 0 0
2
1−R
u v (1 − R2 )
pG (w) =
198
(7.3)
(7.4)
(7.5)
R=
−uv
,
u0 v 0
(7.6)
dove K0 (x) è la funzione di Bessel modificata del secondo tipo di ordine zero
1
ed R è
il coefficiente di correlazione della tensione di Reynolds che indica il grado di stabilità
della stessa. Esso cresce monotonicamente nella regione di parete e rimane pressochè
costante allontanandosi da questa, iniziando a decrescere quando ci si avvicina alla superficie libera. Le esperienze eseguite in passato mostrano che il valore di R è universale,
indipendentemente dalle proprietà del flusso e dalla scabrezza di parete.
Analizzando il contributo dei quadranti (u,v) alle fluttuazioni w della tensione di
Reynolds riportata in figura7.1, i due ricercatori hanno derivato la densità di probabilità
condizionale per i quattro quadranti, ottenuta mediante la distribuzione del terzo ordine di
Gram-Charlier, utilizzando la tecnica dello scarto cumulato2 . Gli andamenti della densità
1
Le funzioni di Bessel modificate di ordine n sono le soluzioni dell’equazione differenziale
x2 y 00 + xy 0 − (x2 + n2 )y = 0
n ≥ 0.
(7.7)
x2
x4
x6
+
(1
+
1/2)
+
(1 + 1/2 + 1/3) + . . . ,
22
22 42
22 42 62
(7.8)
La funzione di secondo tipo di ordine 0 è
K0 (x) = − (ln(x/2) + γ) I0 (x) +
dove
x4
x6
x2
+ 2 2 + 2 2 2 + ...
2
2
2 4
2 4 6
1 1
1
γ = lim 1 + + + . . . + − ln(n) = 0,57721
n→∞
2 3
n
I0 (x) = 1 +
e
(7.9)
(7.10)
è la costante di Eulero.
La funzione di Bessel modificata di ordine 1/2 è
K1/2 (x) =
π
I−1/2 (x) − I1/2 (x) ,
2 sin(π/2)
(7.11)
p
p
dove I1/2 = 2/(πx) sinh x e I−1/2 = 2/(πx) cosh x.
Per ulteriori approfondimenti è possibile consultare R. Spiegel (1974).
2
In molti casi è conveniente utilizzare al posto della distribuzione di probabilità la sua trasformata di
Fourier, detta funzione caratteristica della densità di probabilità corrispondente, che è
ZZ ∞
Φ(ξ,η) =
ei(uξ+vη) p(u,v) du dv,
(7.12)
−∞
dove ξ e η sono gli argomenti della funzione Φ; grazie all’antitrasformata di Fourier definire la funzione
caratteristica è equivalente a dare la densità di probabilità. Anche i momenti della distribuzione di
199
di probabilità per i quattro quadranti sono:
p1 (w) = pG (w) + Ψ+ (w),
(7.15)
p2 (w) = pG (w) + Ψ− (w),
(7.16)
p3 (w) = pG (w) − Ψ+ (w),
(7.17)
p4 (w) = pG (w) − Ψ− (w),
(7.18)
dove i pedici da 1 a 4 si riferiscono al quadrante e le funzioni Ψ+ e Ψ− sono
1
+
R Rx
2−R +
S
|x| 2
+
+
Ψ (w) =
e K 1 (|x|)
+D
S +D
|x| −
,
(1 + R)
2
2π
(1 − R)2
3
3
(7.19)
−
1
R Rx
x2
S
2+R −
Ψ− (w) =
e K 1 (x)
+ D− x −
S + D− , (7.20)
(1 − R)
2
2
2π
(1 + R)
3
3
+
in cui S ± = (Sv ±Su )/2, D± = (Dv ±Du )/2 e K1/2 (x) è la funzione di Bessel modificata del
secondo tipo e di ordine 1/2; indicando con ũ = u/σu e con ṽ = v/σv , Su = ũ3 e Sv = ṽ 3
sono gli skewness di u e v; Du = ũṽ 2 e Dv = ṽũ2 corrispondono alla diffusione turbolenta
rispettivamente nella direzione x e y. In letteratura Du e Dv sono anche indicati come
fattori di diffusione. Le due funzioni Ψ+ (w) e Ψ− (w) sono importanti per descrivere il
contributo degli eventi di bursting alla tensione di Reynolds e sono fortemente correlate
al processo di diffusione turbolenta attraverso lo skewness e il coefficiente di diffusione.
probabilità, quindi, possono essere espressi in funzione di Φ(ξ,η), ossia
∂ j+k
Φ(ξ,η)
Mjk = (−i)j+k
.
j
k
∂ξ ∂η
ξ=η=0
(7.13)
Da ciò segue che, se sono noti tutti i momenti della distribuzione, è possibile determinare la funzione
caratteristica e quindi la densità di probabilità; solitamente nei fenomeni di turbolenza i momenti di
ordine piuttosto elevato si possono trascurare e nella teoria della turbolenza isotropa è possibile scartare
i momenti di ordine superiore al quarto.
Una combinazione dei momenti di particolare interesse sono i cumulanti o semiinvarianti, definiti come
j+k
j+k ∂
,
(7.14)
Qjk = (−i)
ln Φ(ξ,η)
j
k
∂ξ ∂η
ξ=η=0
che possono essere espressi in funzione dei momenti.
Per una trattazione più generale oltreché approfondita dell’argomento si veda Monin & Yaglom (1971).
200
Definito l’andamento delle densità di probabilità, Nakagawa & Nezu passano alla determinazione del contributo dei singoli quadranti alla tensione di Reynolds introducendo
una zona centrale parabolica con soglia H e definendo l’apporto alla tensione delle cinque
zone con il termine RSi (H), indicando con il pedice i = 5 la zona centrale. Inoltre utilizzano un parametro definito frazione di tempo Ti (H), che rappresenta il volume sotteso
dalla pw (w) in ciascuna delle cinque zone. In termini matematici si ha
Ti (H) =
Ti (H) =
∞
Z
pi (w) dw,
H
Z −H
pi (w) dw,
i = 2,4
i = 1,3
(7.21)
(7.22)
−∞
T5 (H) = 1 −
RSi (H) =
RSi (H) =
Z
4
X
Ti (H),
(7.23)
i=1
∞
wpi (w) dw,
H
Z −H
wpi (w) dw,
i = 2,4
i = 1,3
(7.24)
(7.25)
−∞
RS5 (H) = 1 −
4
X
RSi (H).
(7.26)
i=1
Se si impone w 0 = Rw = −uv/(u0 v 0 ), l’ampiezza della zona centrale H può porsi
uguale a H 0 /R, dove H 0 viene utilizzato come soglia nel metodo dei quadranti.
Nella figura 7.2, in cui è rappresentata la distribuzione di densità di probabilità degli
sforzi di Reynolds w nella zona di parete, nella zona intermedia e nella zona di superficie
secondo i dati di Nakagawa & Nezu (1977a-1979) per canali a superficie libera, e nella
figura 7.3, che riporta un esempio del contributo alle tensioni di Reynolds in funzione del
tempo di ogni evento, è evidenziato come le curve teoriche ben si sovrappongano a quelle
sperimentali.
Sebbene il tempo della zona centrale T5 (H 0 ) per H 0 = RH < 0,4 sia circa metà di tutto
il tempo di misura, il contributo alle tensioni di Reynolds è piuttosto basso in percentuale,
201
Figura 7.2: Funzione di densità di probabilità delle tensioni di Reynolds.
Figura 7.3: Andamento del contributo alle tensioni di Reynolds al variare della soglia.
202
per cui la tensione di Reynolds w(t), è fortemente intermittente. Inoltre, nonostante il
terzo quadrante, ossia RS3 (H 0 ), mostri una densità inferiore al primo, ossia a RS1 (H 0 ),
entrambi diventano trascurabili a per H 0 = 2. Gli eventi del quarto quadrante, RS4 (H 0 ),
decrescono rapidamente al crescere di H 0 e si approssimano a zero per H 0 > 4; quindi
solo gli eventi del secondo quadrante, ossia le ejection, danno un contributo per H 0 > 4,
sebbene il tempo di permanenza degli eventi in questo campo sia molto piccolo; il fatto
che il valore di T5 per H 0 = 4 raggiunga il 98%, risultato ottenuto anche da Alfredsson
e Johansson (1984) per i canali chiusi, implica che le ejection sono pulsanti e di forte
intensità, in accordo con le, visualizzazioni effettuate.
In conclusione, si possono definire i parametri universali RS2 , RS4 , T2 , T4 , che sono
circa costanti nella regione di parete e nella regione intermedia, dove 30 < y + < 0,6Re? ;
sperimentalmente si è ottenuto
RS2 = 0,77 ± 0,029
T2 = 0,29 ± 0,012
(7.27)
RS4 = 0,57 ± 0,029
T4 = 0,34 ± 0,008,
(7.28)
mentre i valori ricavati tramite la simulazione numerica diretta per 30 < y + < 100 sono
dell’ordine di RS2 = 0,76, RS4 = 0,52. Come si può notare essi concordano abbastanza
con i valori sperimentali. Questi dati indicano che in presenza di strutture turbolente in
equilibrio i due eventi si comportano allo stesso modo dando un contributo costante e
indipendente da y + .
Le sweep giocano un ruolo importante nella regione viscosa, per y + ∼ 10, poiché
trasportano energia dal centro verso la parete; a y + ∼ 12 si ha RS2 = RS4 .
7.3
Effetto della scabrezza
Krogstad, Antonia & Browne (1992) fanno notare, figura 7.4a, come il contributo alle
tensioni di Reynolds del secondo quadrante sia sempre maggiore nel caso di parete scabra
203
Figura 7.4: Contributo alla tensione di Reynolds del secondo quadrante a) e del quarto
quadrante b) per il valore di soglia H = 0.
Figura 7.5: Contributo alla tensione di Reynolds del secondo quadrante a) e del quarto
quadrante b) per il valore di soglia H = 4.
per H = 0, mentre, per gli eventi di maggior rilevanza, ossia con H = 4, il contributo
delle ejection si inverte, rispetto al caso di parete liscia, al di sotto di y/h = 0,2, essendo h
lo spessore dello strato limite (figura 7.5a). Nella zona esterna, l’outer region, le ejection
sono predominanti, sia su scabro che su liscio; nella regione di parete, l’inner region, nel
caso di fondo scabro si ha un predominio degli eventi di sweep, ossia del quarto quadrante,
(figure 7.4b e 7.5b) probabilmente perché i picchi positivi della componente di velocità
normale alla parete sono limitati dalla “natura aperta” della superficie scabra.
Conclusioni analoghe si possono desumere dall’analisi di u0 v 0 2 − u0 v 0 4 di figura 7.12,
oppure del parametro α = (u0 v 0 )2 /(u0 v 0 )4 di figura 7.7, che nel caso di fondo scabro diviene
204
Figura 7.6: Contributo delle tensioni di Reynolds nel secondo quadrante per il valore di
soglia H = 4.
notevolmente inferiore di quello con fondo liscio, quando y/h < 0,2 e i valori di soglia sono
alti.
Anche altri ricercatori, come Nezu & Nakagawa (1977) e Kim (1987), hanno ottenuto
gli stessi risultati; secondo Nezu il rapporto 1/α (figura 7.8) cresce con il crescere della
scabrezza, ma tale effetto viene mitigato dall’incremento di y + = yu? /ν.
Questo comportamento sembra concorde con la diminuzione, vicino alla parete, della
Figura 7.7: Coefficiente α per i valori di soglia H = 0 ed H = 4.
205
Figura 7.8: Coefficiente α diagrammato da Nezu (1977).
funzione S − e del fattore di dispersione D − al crescere della scabrezza. Nezu notò anche
che su fondo scabro sono molto più forti e frequenti vortici in direzione della corrente,
che, se associati alle oscillazione di moto, possono giustificare la maggiore produzione
turbolenta e la maggiore isotropia nel caso di fondo scabro rispetto al liscio.
L’analisi di Nezu trova delle logiche conclusioni nell’affermazione che la teoria dell’instabilità del profilo di velocità non è sufficiente a spiegare gli eventi di bursting, ma
sarebbero gli eventi di spazzata i maggiori responsabili dei vortici che si creano sul fondo,
confermando anche le indicazioni date dall’analisi dei quadranti. Riassumendo, Nezu
afferma che, leggendo l’aumento di sweep in rapporto alla diminuzione di eventi di ejection
e notando in parallelo un notevole aumento di streamwise vortex, gli eventi di bursting
sono generati da fluido avente forte velocità orizzontale, che irrompe nella zona di parete,
spazzando il liquido presente tra gli elementi scabri, che si possiede bassa velocità.
206
0.7
(H = 0)
0.5
u+ v + 2
0.6
0.3
0.4
0.2
Sm 2A
Sm 1M
Sm 3B
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
y/h
Figura 7.9: u+ v + nel secondo e quarto quadrante al variare di y + con H = 0.
7.4
Analisi dei risultati ottenuti
Nelle figure 7.9-7.11 si riportano i risultati ottenuti nelle prove S m 2A, effettuata in modalità back-scatter, Sm 3B e Sm 1M , in modalità forward-scatter.
In tutte le prove si vede che il contributo alle tensioni di Reynolds dato dal primo e
dal terzo quadrante è decisamente minore rispetto a quello dato dagli altri due e che il
contributo maggiore è dovuto agli eventi del secondo quadrante, ossia alle ejection. Nel
caso di soglia uguale a 4, infatti, le sweep hanno importanza solo in prossimità della parete
e già per valori di y/h = 0,1 assumono valori decisamente inferiori a quelli delle ejection,
come è evidente dall’andamento del rapporto α e della differenza u+ v + 2 − u+ v + 4 . Inoltre
per alti valori del rapporto y/h gli eventi del quarto quadrante tendono a diminuire più di
quelli del secondo, mentre il loro rapporto rimane pressoché costante nella zona intermedia
del flusso.
Gli andamenti ottenuti sono simili a quelli in letteratura ed in particolare a quelli
di Krogstad, Antonia & Browne (1992), riportati in figura 7.4a. In questi i contributi
207
0.3
u+ v + 2
(H = 2.5)
0.25
0.2
0.15
0.1
Sm 2A
Sm 1M
Sm 3B
0.05
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
y/h
Figura 7.10: u+ v + nel secondo e quarto quadrante al variare di y + con H = 2,5.
degli eventi di secondo quadrante sono maggiori di quelli da noi ottenuti, probabilmente
a causa delle differenti condizioni di moto, ossia del numero di Reynolds e dello spessore
dello strato limite. Ben più difficile è il confronto delle sweep, poiché in letteratura non si
sono trovati dati di misure condotte molto vicino a parete. Per quanto riguarda valori di
0.3
u+ v + 2
(H = 2.5)
0.25
0.2
0.15
0.1
Sm 2A
Sm 1M
Sm 3B
0.05
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
y/h
Figura 7.11: u+ v + nel secondo e quarto quadrante al variare di y + con H = 4.
208
1.4
u+ v + 2 /u+ v + 4
(H = 0)
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
Sm 2A
Sm 1M
Sm 3B
0.6
0.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
u+ v + 2 /u+ v + 4
(H = 4)
y/h
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Sm 2A
Sm 1M
Sm 3B
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
y/h
Figura 7.12: α = u+ v + 2 /u+ v + 4 con H = 0; H = 2,5; H = 4 e u+ v + 2 − u+ v + 4 con H = 0.
y/h > 0,2 non sembrano esservi differenze importanti; vicino a parete, da quanto risulta
dalle misure da noi effettuate, gli eventi di sweep giocano un ruolo molto importante e il
loro contributo alle tensioni di Reynolds è maggiore di quello delle ejection. Questo fatto
è ben visibile dall’andamento dei valori percentuali di u0 v 0 dei vari quadranti in funzione
della soglia ad un y + fissato della prova Sm 3B; molto vicino a parete, y + = 10, ossia
209
100
y + = 10
80
I quad.-out.
II quad.-ej.
III quad.-in.
IV quad.-sw.
zona V
%uv
60
40
20
0
-20
-40
0
2
4
6
8
10
H
Figura 7.13: Andamento del contributo dei quattro quadranti al variare del valore di
soglia H nella prova Sm 3B.
y/h = 0,015, le sweep sono maggiori in percentuale, ma già poco distanti dalla superficie
diventano in percentuale inferiori alle ejection (figura 7.13).
Si nota, inoltre, che, all’aumentare del numero di Reynolds l’altezza y/h in cui gli
eventi di spazzata sono predominanti va diminuendo, schiacciandosi contro la parete (figura 7.12).
Bisogna comunque considerare che può esservi, soprattutto vicino alla superficie, un
disturbo generato dalla presenza della fessura tra le due lastre di plexiglass, che costituiscono il fondo liscio; questo potrebbe aver dato luogo ad un aumento del valore della
componente verticale di velocità.
210
211
GRANDI E PICCOLE SCALE NELLA TURBOLENZA DI PARETE
Capitolo 8
Il campionamento condizionato
8.1
8.1.1
I metodi classici
Applicazione della tecnica MULEVEL
Il problema principale legato all’applicazione dei metodi di campionamento condizionato
è quello della scelta dei valori di soglia; è infatti riconosciuta una certa soggettività ed
arbitrarietà nella loro determinazione, testimoniata dall’ampia rosa di valori adottati in
lavori differenti, anche in quei casi in cui la taratura viene realizzata sulla base di tecniche
di visualizzazione.
8.1.1.1
Scelta dei valori di soglia
La tecnica MULEVEL, è stata applicata prima, in quanto offre una buona garanzia di
riconoscere la quasi totalità delle manifestazioni di bursting, come risulta da Bogard &
Tiederman (1986), Luchik & Tiederman (1987) e Tubergen & Tiederman (1993).
La soglia k1 deve essere scelta come miglior compromesso tra due opposte esigenze,
da un lato l’intenzione di rilevare il maggior numero di bursting spinge a scegliere valori
bassi, anche se questo comporta l’ottenimento di un gran numero di rilevamenti multipli
in corrispondenza di singoli eventi. I risultati evidenziano come l’MULEVEL, nel seguire
fedelmente l’evoluzione del segnale di velocità istantanea attraverso le soglie fissate, fornisca, accanto a quella relativa al picco negativo principale, una serie di rilevazioni multiple
vicine, dovute a rapide fluttuazioni di velocità. D’altra parte l’esigenza di rilevazioni più
selettive ed accurate potrebbe essere soddisfatta aumentando la soglia, riducendo però
la capacità di riconoscere i fenomeni più deboli. In particolare, i fenomeni di bursting
differiscono tra loro per lo stadio di sviluppo al quale si trovano mentre attraversano il
volume di misura; Bogard & Tiederman (1987) sulla base di visualizzazioni degli eventi
di ejection che stabiliscono il loro insorgere, li hanno classificati nel modo seguente:
1. ejection a metà dello stadio di sviluppo, chiaramente distinguibili, provocano il
violento sollevamento di fluido dalla parete;
2. ejection allo stadio finale dello sviluppo, ancora chiaramente distinguibili, causano
un lento sollevamento da parete;
3. stadio iniziale della formazione, le ejection si sono formate appena a monte del
volume di misura e sono difficili da riconoscere;
4. ejection completamente sviluppate prima del volume di misura, lo attraversano apparentemente senza sollevamento;
5. ejection completamente sviluppate, di cui solo la coda attraversa il volume di misura
mentre il corpo vi passa sopra; se esiste un sollevamento della coda è difficile da
rilevare.
Inoltre, la disposizione trasversale delle strutture coerenti può essere tale che solo una
coda, piuttosto che una testa attraversi il volume di misura e possa quindi essere rilevata.
Questo spiega come strutture simili possono lasciare nel segnale traccie del loro passaggio
profondamente diverse.
La questione della scelta dei valori di soglia per il metodo MULEVEL è meno complessa rispetto agli altri metodi, grazie alla buona convergenza delle indicazioni fornite in
letteratura; si adotteranno infatti i valori proposti da Luchik & Tiederman (1987) k 1 = 1
212
e k2 = 0,25 ed adottati con successo in numerosi lavori successivi (Tubergen & Tiederman
(1993)). Tuttavia con tali valori il problema delle rilevazioni multiple risulta importante
e deve essere risolto applicando opportune tecniche di raggruppamento.
8.1.1.2
Tempi di raggruppamento
La questione della individuazione di un criterio attraverso il quale si possa realizzare un
raggruppamento delle rilevazioni multiple dell’MULEVEL è stata affrontata in passato da
molti studiosi, tra cui Bogard & Tiederman (1986), Luchik & Tiederman (1987), Shah &
Antonia (1988) e Tubergen & Tiederman (1993), attraverso lo studio della distribuzione
di probabilità dei tempi tra gli eventi campionati dal metodo.
Si è infatti notato (Luchik & Tiederman (1987)) che la distribuzione di probabilità
dei tempi tra le singole rilevazioni dovrebbe presentare una evidente bimodalità, legata
all’esistenza di due famiglie di campionamenti, l’una corrispondente alle ejection multiple,
provenienti dal sollevamento di tratti successivi della stessa striscia (low speed streak),
l’altra costituita da rilievi effettivamente appartenenti a cicli di bursting completamente
diversi. Idealmente, i tempi TE intercorrenti tra due ejection dovrebbero avere una distribuzione di probabilità simile a quella schematizzata in figura 8.1, ma in realtà è molto
difficile verificare sperimentalmente tale bimodalità, innanzitutto perché i due lobi della
distribuzione sono parzialmente sovrapposti tra loro e poi perché il numero di rilevamenti
è solitamente piccolo e tale da impedire una costruzione accurata della distribuzione.
Si aggira questo problema passando alla rappresentazione della distribuzione di probabilità cumulata p(T > TE ), di cui si riporta un esempio in figura 8.2. Bogard & Tiederman
(1986) rilevano che la distribuzione di probabilità degli eventi è ben approssimata da una
distribuzione esponenziale descrescente, per cui andando a rappresentare il tutto in scala
semilogaritmica si osservano due rette con diversa pendenza, tra loro raccordate, le quali
corrispondono ai due lobi della distribuzione di probabilità. Essi assumono come tempo di
213
Figura 8.1: Disegno schematico della distri- Figura 8.2: Distribuzione di probabilità cubuzione di probabilità ideale dei tempi tra mulata dei tempi tra le ejection usando la
ejection consecutive.
tecnica del secondo quadrante uv.
raggruppamento il TE che deriva dall’intersezione delle due rette. Se per T molto piccolo
l’istogramma della distribuzione reale fosse in accordo con la distribuzione esponenziale
fisicamente le ejection si sarebbero presentate ad intervalli casuali; questo nella realtà
non si verifica e quindi è un’altra testimonianza del determinismo di fondo del fenomeno
studiato.
Tuttavia, la costruzione della cumulata non è semplice, tanto che gli stessi autori
consigliano di eseguire alcune prove per determinare l’ampiezza ottimale degli intervalli
di discretizzazione degli istogrammi.
Si noti, infine, che gli autori hanno utilizzato come criterio per rilevare gli eventi di
ejection il metodo del secondo quadrante, il quale è uno dei migliori in fatto di precisione
e selettività.
Numerose prove effettuate su alcuni dei segnali acquisiti per calcolare, variando il
numero di suddivisioni, la funzione densità di probabilità dei tempi tra le rilevazioni
TE fornite da MULEVEL non hanno evidenziato in maniera netta la presenza delle due
famiglie di rilevazioni né, tanto meno, di un tempo caratteristico di separazione. Nonostate
214
l’utilizzo della componente u per la costruzione dell’istogramma abbia avuto in passato
esito favorevole (Salomone 1995), nel presente lavoro non si è raggiunto alcun risultato.
Per determinare il tempo di raggruppamento si è reso necessario applicare la tecnica
del secondo quadrante. In pratica si assume che una rilevazione abbia inizio quando
|u0 v 0 |Q=2 > Hσu σv
(8.1)
dove u0 v 0 è il prodotto dei valori di velocità dei segnali u e v entrambi filtrati con la stessa
frequenza, indicata nella tabella ??. Si assume H = 1 secondo le indicazioni di Bogard &
Tiederman (1986).
Per l’applicazione di questo metodo nel presente lavoro si presentano due grossi problemi: l’effetto della banda di rumore presente in v e la scorrelazione introdotta dalla
linearizzazione. Il primo dovrebbe essere fortemente attenuato dal filtraggio mentre il
secondo non può essere controllato in nessun modo, tuttavia sebbene i picchi nel segnale
u0 v 0 risultino ridotti in ampiezza, essi sono ancora mediamente rappresentativi degli eventi
dai quali provengono.
Nelle figura 8.3 si riportano due distribuzioni di probabilità cumulate a titolo di esempio, le altre sono riportate in seguito.
Tali grafici si costruiscono con l’ausilio di un programma in Pascal, il quale calcola la
distribuzione di probabilità; i risultati sono riportati su un grafico in scala semilogaritmica,
mediante l’ausilio di un foglio di calcolo. La curva viene suddivisa ad occhio in cinque
intervalli:
1. contiene tempi TE tanto piccoli che tutti i tempi tra i bursting sono superiori ad essi;
in questo intervallo la curva mantiene il valore costante del 100% per poi raccordarsi
all’andamento successivo;
2. andamento sensibililmente rettilineo, corrisponde al primo lobo della distribuzione
bimodale; esso viene interpolato ai minimi quadrati con una funzione esponenziale;
215
100
P (T > Te )
80
60
40
20
0
50
100
150
200
250
Te [ms]
300
350
400
Figura 8.3: Tempo di raggruppamento per
la prova Sm 3B; y + = 15.
3. raccordo tra due diversi andamenti;
4. un altro andamento sensibililmente rettilineo corrisponde al secondo lobo della distribuzione bimodale; anche questo viene interpolato ai minimi quadrati con una
funzione esponenziale;
5. coda caratterizzata da marcate variazioni a gradino, essa viene esclusa dal calcolo e
non è nemmeno riportata sui grafici.
Il secondo e il quarto intervallo vengono interpolati ai minimi quadrati con due funzioni
esponenziali il cui punto di intersezione è il tempo di raggruppamento TE cercato. Nella
tabella ?? sono riportati i valori di TE desunti da tali grafici.
A differenza di quanto rilevato da Salomone (1995) qui si nota una certa dipendenza
di TE+ dai parametri fluidodinamici ed in particolare TE+ cresce col numero di Reynolds,
con Froude e con y + mantenendo costanti gli altri due parametri.
216
100
P (T > Te )
80
60
40
20
0
100
200
300
400
Te [ms]
500
600
700
Figura 8.4: Tempo di raggruppamento per
la prova Sm 2A; y + = 15.
8.1.1.3
Risultati campionamento condizionato
8.1.1.4
Influenza dell’altezza y +
Nelle figure 8.5-8.10 sono riportati i risultati del campionamento condizionato eseguito con
il metodo MULEVEL; nella colonna di sinistra sono riportati i segnali adimensionalizzati
in funzione dello scarto quadratico medio, mentre a destra vi sono quelli normalizzati in
funzione della velocità di attrito. Si ricorda che per T + = 0 si ha il punto di allineamento
delle singole rilevazioni.
Si inizia a studiare la serie di segnali adimensionalizzati in funzione dello scarto quadratico medio.
La figura 8.5 mostra che la coda sinistra è più lunga di quella destra; la sua notevole
lunghezza evidenzia che il rilevamento ha inizio ben prima del passaggio della struttura
coerente, il cui punto fisicamente rappresentativo è, in questo caso, il minimo valore locale
di velocità. Il valore prossimo allo zero nei tratti iniziali, indica che i segnali di velocità
sono fisicamente scorrelati, tanto che quando si fa la media di insieme si ottiene un valore
217
u/σu
u/σu
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
+
-1.4
y+
= 15
y + = 30
-1.6
y + = 93
y
= 152
-1.8
y + = 250
-2
-300 -250 -200 -150 -100 -50
0
50 100 150 200
+
T
Figura 8.5: Ciclo medio di bursting ottenuto mediante il campionamento condizionato del
segnale u, con la tecnica MULEVEL, al variare di y + . La media di insieme è calcolata
su intervalli di ampiezza variabile, con le rilevazioni allineate in corrispondenza del punto
di velocità minima. A sinistra il segnale è adimensionalizzato in funzione dello scarto
quadratico medio σu , a destra in funzione di u? .
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-1.6
-1.8
-2
-150
+
y+
y+
y+
y+
y
= 15
= 30
= 93
= 152
= 250
u/σu
0
50
100
150
+
T
Figura 8.6: Come sopra, ma con una finestra temporale più stretta per togliere le code
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-1.6
-100
-50
218
+
y+
= 15
y + = 30
0
-0.2
-0.4
u/σu
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-1.6
-400
+
y+
y+
y+
y+
y
= 15
= 30
= 93
= 152
= 250
-300
-200
-100
0
100
200
300
+
T
Figura 8.8: Ciclo medio di bursting ottenuto mediante il campionamento condizionato del
segnale u, con la tecnica MULEVEL, al variare di y + . La media di insieme è calcolata su
intervalli di ampiezza variabile, con le rilevazioni allineate in corrispondenza del punto di
massimo gradiente di velocità. A sinistra il segnale è adimensionalizzato in funzione dello
scarto quadratico medio σu , a destra in funzione di u? .
0
-0.2
-0.4
u/σu
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-1.6
-150
+
y+
y+
y+
y+
y
= 15
= 30
= 93
= 152
= 250
-100
-50
0
50
100
150
+
T
Figura 8.9: Come sopra, ma con una finestra temporale più stretta per togliere le code
219
0
-0.2
-0.4
u/σu
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-1.6
-40
+
y+
y+
y+
y
y+
-30
= 15
= 30
= 93
= 152
= 250
-20
-10
0
10
20
30
+
T
Figura 8.10: Ingrandimento del punto di allineamento.
40
praticamente nullo.
Per T + > −150 (figura 8.12) inizia ad essere evidente la decelerazione che indica l’inizio
della fase di ejection; in quella zona i segnali distinti in funzione dell’altezza sono molto
distanti dal punto di allineamento e presentano un certo grado di dispersione, cosı̀ che
risulta impossibile stabilire se essi si presentano con un ordine preciso. Si ha un fenomeno
simile anche quando si è oltrepassato il punto di minimo.
Nella figura 8.7 si può studiare la posizione relativa tra i vertici dei singoli segnali,
nel punto di allineamento corrispondente alla velocità minima. L’ingrandimento mostra
che in quella zona non esiste un punto angoloso, come potrebbe sembrare dal grafico 8.5,
ma l’andamento del segnale e della sua derivata sono chiaramente continui. La grande
variazione di velocità che si realizza in un intervallo di tempo piuttosto limitato, indica
che le particelle di fluido sono soggette ad una forte accelerazione. Osservando l’ordine
con cui si presentano i picchi si nota che al crescere di y + si raggiungono velocità negative
più grandi in modulo, a causa del fatto che per y + > 15 lo scarto quadratico medio è già
nella fase discendente. Si vedano tal proposito le figure ?? e ?? e la tabella 8.2.
220
Passando ai segnali adimensionalizzati con la velocità di attrito, sembra che prima e
dopo il punto di velocità minima i segnali siano ordinati tra loro in modo tale che ad y +
maggiori corrispondano velocità minori e, quindi, le particelle sul fondo subiscano una
maggiore decelerazione (figura 8.7). Si rileva un andamento simile anche per la posizione
dei picchi di minima velocità se non fosse per il segnale ad y + = 30 che passa al di sopra
di quello ad y + 15.
Il discorso dell’accelerazione non vale per i segnali adimensionalizzati con la σu in
quanto questa varia per ciascuno di essi; solamente l’adimensionalizzazione con u? , costante per tutti questi punti che appartengono ad una stessa prova, consente di mantenere
la proporzione tra il valore minimo di velocità e delle accelerazioni. Allora risulta che,
allontanandosi da parete, si ha uno smorzamento delle velocità e delle accelerazioni cui
sono soggette le particelle di fluido.
Nelle figure adimensionalizzate con lo scarto quadratico mediol’ordine dei picchi si
inverte poiché lo scarto cresce molto di più dell’ampiezza del picco.
Nelle figure 8.8-8.10 è rappresentata la media condizionata eseguita allineando i singoli rilevamenti in corrispondenza del punto di massimo gradiente di velocità. Nel caso di
segnale adimensionalizzato con la u? si nota lo stesso ordinamento già visto per il grafico
8.7, mentre nel grafico adimensionalizzato in funzione di σu non si riconosce alcun ordinamento tra i segnali. Questo indica che per il confronto dei segnali di una stessa prova,
al variare di y + , è più significativa l’adimensionalizzazione in funzione di u? .
Nelle figure 8.10 si vede chiaramente che il punto di massimo gradiente (positivo) di
velocità è posizionato dopo il punto di minima velocità ed inoltre, la maggior pendenza
delle curve nel punto di allineamento testimonia che esso cresce con l’altezza.
Per T + poco superiore a zero il segnale assume un andamento piuttosto scorrelato,
ma questo è normale perché il criterio (??) non si riferisce ad alcun punto fisicamente
caratterizzante il passaggio delle strutture coerenti.
221
0
-0.2
-0.4
u/σu
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-1.6
-1.8
-500
Re = 10000
Re = 20000
Re = 30000
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
+
T
Figura 8.11: Ciclo medio di bursting ottenuto mediante il campionamento condizionato
del segnale u, con la tecnica MULEVEL, al variare del numero di Reynolds. La media
di insieme è calcolata su intervalli di ampiezza variabile, con le rilevazioni allineate in
corrispondenza del punto di velocità minima. A sinistra il segnale è adimensionalizzato
in funzione dello scarto quadratico medio σu , a destra in funzione di u? .
Nel paragrafo 8.1.3 si parlerà dei tempi medi di bursting i quali verranno direttamente
confrontati con quelli rilevati mediante il metodo VITA.
8.1.1.5
Influenza dei numeri di Reynolds e Froude
Nelle figure 8.11-8.22 sono riportati i risultati del campionamento condizionato eseguito
con la tecnica MULEVEL. I grafici sono ordinati secondo righe e colonne, a sinistra vi
sono le medie d’insieme adimensionalizzate con la σu del segnale, mentre nella colonna di
destra si è usata la u? . Nella prima riga sono riportate per intero le medie condizionate,
nella seconda si sono tagliate le code e nella terza vi è un ingrandimento del punto di
allineamento, che si ricorda essere posizionato in T + = 0.
Si inizia con l’esaminare i risultati provenienti dall’allineamento dei singoli rilevamenti
in corrispondenza del punto di minima velocità.
È evidente dall’esame delle figure 8.11 che la coda di sinistra risulta essere più lunga
222
0
-0.2
-0.4
u/σu
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-1.6
-1.8
-150
Re = 10000
Re = 20000
Re = 30000
-100
-50
0
50
100
150
+
T
Figura 8.12: Come sopra, ma con una finestra temporale più stretta per togliere le code
0
-0.2
-0.4
u/σu
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-1.6
-1.8
-40
Re = 10000
Re = 20000
Re = 30000
-30
-20
-10
0
10
20
30
+
T
Figura 8.13: Ingrandimento del punto di allineamento.
223
40
0
-0.2
u/σu
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-500
Re = 10000
Re = 20000
Re = 30000
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
+
T
Figura 8.14: Ciclo medio di bursting ottenuto mediante il campionamento condizionato
del segnale u, con la tecnica MULEVEL, al variare del numero di Reynolds. La media
di insieme è calcolata su intervalli di ampiezza variabile, con le rilevazioni allineate in
corrispondenza del punto di massimo gradiente di velocità. A sinistra il segnale è adimensionalizzato in funzione dello scarto quadratico medio σu , a destra in funzione di
u? .
0
-0.2
u/σu
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-150
Re = 10000
Re = 20000
Re = 30000
-100
-50
0
50
100
150
+
T
Figura 8.15: Come sopra, ma con una finestra temporale più stretta per togliere le code
224
0
-0.2
u/σu
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-40
Re = 10000
Re = 20000
Re = 30000
-30
-20
-10
0
10
20
30
+
T
Figura 8.16: Ingrandimento del punto di allineamento.
40
0
-0.2
-0.4
u/σu
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-1.6
F r = 0,40
F r = 0,30
F r = 0,22
-1.8
-300 -250 -200 -150 -100 -50 0
50 100 150 200 250
+
T
Figura 8.17: Ciclo medio di bursting ottenuto mediante il campionamento condizionato
del segnale u, con la tecnica MULEVEL, al variare del numero di Froude. La media
di insieme è calcolata su intervalli di ampiezza variabile, con le rilevazioni allineate in
corrispondenza del punto di velocità minima. A sinistra il segnale è adimensionalizzato
in funzione dello scarto quadratico medio σu , a destra in funzione di u? .
225
0
-0.2
-0.4
u/σu
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-1.6
F r = 0,40
F r = 0,30
F r = 0,22
-1.8
-150
-100
-50
0
50
100
150
+
T
Figura 8.18: Come sopra, ma con una finestra temporale più stretta per togliere le code
dell’altra, perché il metodo MULEVEL è sensibile all’inizio della fase di ejection che si
trova ben prima del punto di allineamento, il quale è fisicamente rappresentativo del passaggio delle strutture coerenti. Osservando poi la figura 8.19 si vede che il valore massimo
del picco negativo di velocità cresce col numero di Reynolds e che questo andamento è
0
-0.2
-0.4
u/σu
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
F r = 0,40
F r = 0,30
F r = 0,22
-1.6
-1.8
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
+
T
Figura 8.19: Ingrandimento del punto di allineamento.
226
40
0
-0.2
u/σu
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-400
F r = 0,40
F r = 0,30
F r = 0,22
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
+
T
Figura 8.20: Ciclo medio di bursting ottenuto mediante il campionamento condizionato del
segnale u, con la tecnica MULEVEL, al variare del numero di Froude. La media di insieme
è calcolata su intervalli di ampiezza variabile, con le rilevazioni allineate in corrispondenza
del punto di massimo gradiente di velocità. A sinistra il segnale è adimensionalizzato in
funzione dello scarto quadratico medio σu , a destra in funzione di u? .
0
-0.2
u/σu
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
F r = 0,40
F r = 0,30
F r = 0,22
-1.4
-150
-100
-50
0
50
100
150
+
T
Figura 8.21: Come sopra, ma con una finestra temporale più stretta per togliere le code
227
0
-0.2
u/σu
-0.4
-0.6
-0.8
-1
F r = 0,40
F r = 0,30
F r = 0,22
-1.2
-1.4
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
+
T
Figura 8.22: Ingrandimento del punto di allineamento.
40
visibile con entrambe le adimensionalizzazioni. Questa figura evidenzia bene come il picco sia ben raccordato e non a spigolo vivo come si poteva pensare vedendo solo la figura
8.11. La grande variazione di velocità che si realizza in un intervallo temporale piuttosto
piccolo fa pensare che le particelle di fluido siano sottoposte ad una forte accelerazione,
che cresce con il numero di Reynolds.
Bisogna precisare che nessuna delle due adimensionalizzazioni permette di fare un
confronto immediato tra le pendenze (e dunque tra le accelerazioni) in quanto entrambi i
parametri σu e u? dipendono dalla prova. In particolare la crescita della u? può compensare
un aumento della derivata, come risulta evidente dalla seguente relazione:
∂
∂t
u(t)
u?
=
u0 (t)
u? .
Sul grafico 8.19 si vede un aumento delle pendenze dei segnali con il crescere del
numero di Reynolds; poiché anche la u? ha la stessa tendenza, si può essere sicuri che le
accelerazioni crescono molto con il numero di Reynolds.
Osservando ora la figura 8.16 con i risultati dell’allineamento dei singoli rilevamenti
228
rispetto al punto di massimo gradiente di velocità, si vede che la situazione è sostanzialmente la stessa. Il picco di velocità cresce con il numero di Reynolds e la maggior
pendenza delle curve testimonia che con esso cresce anche il gradiente di velocità. Nel
tratto successivo al punto di allineamento per T + > 0 si ha un andamento che sembra
scorrelato, ma questo è normale perché il criterio di detection dell’MULEVEL è sensibile
solamente all’inizio della ejection e la sua conclusione è determinata con la condizione
(??) che non è fisicamente congruente con una caratteristica particolare delle strutture
coerenti.
Si passa ora allo studio dell’influenza del numero di Froude sulle medie condizionate,
mediante le figure 8.17-8.22, che sono organizzate in modo del tutto simile alle precedenti.
Dall’esame della 8.22 si potrebbe pensare che il picco di velocità negativa cresca non il
numero di Froude, ma osservando i grafici di destra si vede che essi combaciano in modo
quasi perfetto. Il confronto non è quindi molto significativo; bisognerebbe esplorare un
campo di variazione del numero di Froude più ampio. Per quanto riguarda le accelerazioni,
si rileva che al crescere di Froude le pendenze sul grafico 8.22 si riducono, come anche
si riduce la u? . Essendo la u? a denominatore via via più piccola, essa tenderebbe a far
crescere la pendenza sul grafico adimensionalizzato, ma il fatto che essa sia comunque
nettamente più piccola indica uno smorzamento delle accelerazioni.
I grafici 8.20-8.22, con i rilevamenti allineati in corrispondenza del massimo gradiente
di velocità, confermano le riflessioni appena esposte e l’ordine relativo tra i segnali.
Si rimanda al paragrafo 8.1.3 la discussione dei tempi medi di bursting.
8.1.2
Applicazione della tecnica VITA
Il problema che si deve affrontare in questo paragrafo, è quello di determinare i valori della
soglia k e del tempo di integrazione T + tali da far tornare il numero di rilevazioni del
metodo VITA il più possibile simile a quello dell’MULEVEL. Nel lavoro di Johansson ed
229
Alfredsson (1982) si evidenzia come il numero di rilevazioni del metodo VITA sia sempre
variabile in funzione dei parametri scelti, pertanto, è necessario eseguire un’ottimizzazione
dei parametri di cui si parla nel paragrafo 8.1.2.2. Si premettono però alcune difficoltà
riscontrate nell’applicazione di questo metodo.
8.1.2.1
Problemi di calcolo della media di insieme
Innanzitutto occorre studiare l’influenza del metodo di calcolo della derivata del segnale
∂u/∂t sul numero di rilevamenti determinati dal metodo. Si è applicato VITA al segnale
Sm 2B, con y + = 15, usando i valori di soglia k = 0,6 e T + = 10 e si è rilevato il numero di eventi riconosciuti al variare della formula per il calcolo della derivata temporale.
L’accelerazione è stata stimata come semplice pendenza tra i primi due punti all’inizio
del rilevamento, oppure tra i punti iniziale e finale, senza riscontrare alcuna differenza.
Chiarito questo aspetto si esamina ora l’effetto del metodo di allineamento dei singoli
intervalli di detection, di ampiezza variabile. In questo caso il risultato dell’allineamento
dei dati al valore minimo di velocità non porta a buoni risultati, perché praticamente tutte
le detection iniziano in prossimità di un gradiente positivo, con u < 0 e quindi compare
solamente la fase di accelerazione del burst, alla quale il metodo VITA è particolarmente
sensibile; di conseguenza non si riesce a descrivere nulla di ciò che succede prima. Tuttavia,
i risultati presenti in letteratura evidenziano come dal metodo VITA si possa ottenere un
ciclo di bursting completo, ma questo si è ottenuto con due sostanziali differenze rispetto
a quello che si sta facendo qui; in alcuni casi si allarga a monte l’intervallo di rilevazione,
oppure si eseguono le medie di insieme su intervalli di ampiezza fissa e molto spesso si
utilizza come punto di riferimento la metà dell’intervallo di detection, per eseguire la
media di insieme.
Qui si è cercato di risolvere il problema ampliando a monte l’intervallo di rilevamento
di una frazione della finestra temporale rilevata da VITA. Sia T0 la lunghezza della finestra
230
0.8
0.6
0.4
u/σu
0.2
e=1
e=3
e=5
e=7
e=9
e=∞
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
+
T
Figura 8.23: Allineamento dei rilevamenti VITA in corrispondenza della velocità minima.
di detection, si espande tale intervallo a monte della quantità T0 /e se il tempo iniziale di
questo rilevamento non è inferiore al tempo finale del rilevamento precedente, se cosı̀ non
fosse si incrementa automaticamente e, per valori discreti, fin quando non viene soddisfatta
la condizione precedente. Ad e si assegna un valore di primo tentativo, lasciando al
calcolatore la ricerca di valori più alti tali da consentire l’ampiamento senza ricoprimento.
Purtroppo anche questa soluzione non ha portato a buoni risultati come si può vedere
nella figura 8.23, dove compare una discontinuità angolare in corrispondenza del punto
ove si esegue l’allineamento. In tale figura la linea corrispondente ad e = ∞ corrisponde
alla media di insieme eseguita sugli intervalli non ampliati, cosı̀ come sono riconosciuti
da VITA. Questo problema è certamente causato dal fatto che, nonostante l’ampliamento
degli intervalli di detection la grande maggioranza dei rilevamenti continua ad iniziare con
gradiente positivo,come si può vedere nella figura 8.24.
Anche eseguendo la media su intervalli di ampiezza fissa non si sono ottenuti risultati
migliori, allineandoli in corrispondenza del punto di velocità minima.
231
0.15
u [m/s]
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
0
5
10
15
20
25
t [ms]
30
35
40
45
Figura 8.24: Alcuni rilevamenti del metodo VITA.
Per il metodo VITA si può applicare efficacemente solo l’allineamento in corrispondenza del gradiente di velocità massimo, il quale porta a buoni risultati come evidenziato nella
figura 8.25. Esaminandola, sembra opportuno scegliere e = 5 in quanto con tale valore si
realizza un picco di ampiezza maggiore, segno che i rilevamenti sono meglio correlati.
8.1.2.2
Scelta delle soglie
È ora necessario determinare per tentativi i valori di T + e di k che rendono il numero
di rilevamenti del metodo VITA simile a quello del metodo MULEVEL. Per definire un
termine di paragone si definiscono i seguenti coefficienti di corrispondenza:
NV M
,
NV,tot
NM V
,
=
NM,tot
CV M =
(8.2)
CM V
(8.3)
(8.4)
dove si indica con:
232
1
0.8
0.6
u/σu
0.4
e=1
e=3
e=5
e=7
e=9
e=∞
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
+
T
Figura 8.25: Allineamento dei rilevamenti VITA in corrispondenza del massimo gradiente
di velocità.
• NV M il numero di eventi rilevati da VITA che trovano corrispondenza con quelli di
MULEVEL;
• NM V il numero di eventi rilevati dall’MULEVEL che trovano corrispondenza con
quelli di VITA;
• NV,tot il numero complessivo di eventi VITA;
• NM,tot il numero complessivo di eventi MULEVEL.
Si precisa che nella ricerca degli intervalli coincidenti, è sufficiente rilevare una sovrapposizione anche piccola al fine di considerare corrispondenti le due rilevazioni che si stanno
confrontando; questo è naturale in quanto le rilevazioni di VITA sono solitamente sfasate
in ritardo rispetto a quelle di MULEVEL cosı̀ che esse si sovrappongono minimamente
solo nel tratto finale.
La calibrazione delle soglie del metodo VITA è stata fatta una volta per tutte sul
segnale Sm 2B, con y + = 15, per poter confrontare tra loro le medie condizionate di tutte
233
Tabella 8.1: Numero di rilevazioni del metodo VITA e coefficienti di corrispondenza col
metodo MULEVEL. Quest’ultimo ha rilevato 1446 eventi.
k
0,4
0,5
0,6
10
527
65,6
24,0
300
71,3
14,9
176
76,1
9,4
15
1263
55,7
48,7
871
61,8
37,3
611
64,8
27,5
T+
20
1563
55,0
59,5
1173
59,5
48,3
893
63,2
39,2
25
1590
56,6
62,3
1266
59,7
52,4
969
63,4
42,7
30
1614
57,6
64,9
1280
61,1
54,3
995
64,1
44,3
N
CV M
CM V
N
CV M
CM V
N
CV M
CM V
le altre prove ed i risultati sono riportati nella tabella 8.1. Si precisa che per tale prova
MULEVEL ha determinato 1446 eventi.
Osservando quei valori si nota come il numero di eventi rilevati cresca col T + a parità
di k, oppure si riduca al crescere di k con T + costante. Il coefficiente CV M cresce con la
soglia k, segno che il metodo si fa sempre più selettivo, ma il precipitare di C M V indica
che si perdono molti degli eventi più deboli. Il coefficiente CV M sembra avere un valore
minimo per T + = 10 − 15 mentre CM V cresce monotonicamente con l’unità di tempo
viscosa.
Dal confronto delle figure 8.26-8.28, ove sono riportate le medie di insieme eseguite
sul segnale indicato prima in funzione di T + e k, bisogna decidere quale combinazione dei
p
parametri è meglio adottare. In tali figure l’ordinata u è stata divisa per kσu2 , come
indicato da Blackwelder & Kaplan (1976) e Johansson & Alfredsson (1982), in quanto è
lecito aspettarsi che al crescere del livello di soglia vengano rilevati i picchi di velocità più
marcati.
Johansson & Alfredsson (1982) nel loro lavoro trovano una buona corrispondenza tra
le medie di insieme dei rilevamenti, anche a una certa distanza dal punto di riferimento sul
234
0.8
0.6
k = 0,4
k = 0,5
k = 0,6
0.2
u/
p
kσu2
0.4
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
+
T
Figura 8.26: Effetto dell’intervallo di integrazione e della soglia sulla media condizionata.
A sinistra T + = 10, a destra T + = 15.
quale si esegue l’allineamento, mentre i dati di Blackwelder & Kaplan (1976) presentano
una dispersione del 40% in corrispondenza dei punti stazionari a monte e a valle del punto
di riferimento.
Nel caso presente per T + = 10 e T + = 15 si ha un’ottima corrispondenza intorno
al punto di riferimento e una dispersione inferiore al 40% in corrispondenza dei punti
stazionari; tuttavia aumentando T + si vede che la curva diventa irregolare molto vicino
al punto di riferimento, dove presenta delle discontinuità angolari. Questo è dovuto a un
T + troppo alto e tale da causare una serie di rilevamenti multipli, tutti molto corti, che
nella media di insieme pesano tanto da far comparire quelle discontinuità.
Osservando le figure 8.26-8.28 pare sensato scegliere i valori T + = 15 e k = 0,5. Essi
portano ad ottimi risultati quando applicati ad altri segnali.
235
kσu2
k = 0,4
k = 0,5
k = 0,6
u/
p
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-20
2
1.5
-15
-10
-5
0
T+
5
10
15
20
k = 0,4
k = 0,5
k = 0,6
0.5
u/
p
kσu2
1
0
-0.5
-1
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
+
T
Figura 8.27: Effetto dell’intervallo di integrazione e della soglia sulla media condizionata.
A sinistra T + = 20, a destra T + = 25.
8.1.2.3
Risultati del campionamento condizionato
8.1.2.4
Influenza dell’altezza y +
A riguardo del metodo VITA si presentano solamente le medie condizionate allineate in
corrispondenza del massimo gradiente di velocità, per il miglior grado di correlazione che
si è determinato nel paragrafo 8.1.2.1, quindi si confronteranno solamente i due grafici
236
2
1.5
k = 0,4
k = 0,5
k = 0,6
0.5
u/
p
kσu2
1
0
-0.5
-1
-20
-15
-10
-5
0
T+
5
10
15
20
Figura 8.28: Effetto dell’intervallo di integrazione e della soglia sulla media condizionata.
T + = 30.
di figura 8.29. L’adimensionalizzazione è stata fatta in funzione di σu e non di
p
kσu2 ,
per poter confrontare questi risultati con quelli dell’MULEVEL; i grafici sono tra loro
confrontabili perché per tutti si è usato lo stesso valore di soglia k.
Nella figura si vede che la media d’insieme del punto y + = 15 si discosta molto da
tutte le altre e questo fa pensare che vi sia qualche vizio in quel segnale. Tutti gli
altri andamenti adimensionalizzati con u? risultano ordinati in funzione dell’altezza ed
0.6
0.4
0.2
u/σu
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-30
+
y+
y+
y+
y
y+
-20
= 15
= 30
= 93
= 152
= 250
-10
0
10
20
30
+
T
Figura 8.29: Media di insieme delle rilevazioni del metodo VITA al variare di y + . A
sinistra i grafici sono adimensionalizzati in funzione di σu mentre a destra in funzione di
u? .
237
Tabella 8.2: Valori dello scarto quadratico medio, dello skewness e del kurtosis dei punti
di misura usati nel campionamento condizionato al variare di y + .
y+
σu /u?
Sk
Ku
15
2,802
0,047
2,531
30
2,5560
-0,350
2,773
93
1,708
-0,270
2,939
152
1,508
-0,254
2,836
252
1,274
-0,338
3,006
in particolare l’ampiezza del picco di velocità negativa, prima del punto di allineamento,
risulta di ampiezza maggiore avvicinandosi al fondo, segno della prevalenza, o di una
maggior forza o di tutte e due, degli eventi di ejection.
Nella tabella 8.2 sono riportati i valori dello skewness e del kurtosis dei punti qui
utilizzati per il campionamento condizionato, i quali sono utili per un’ulteriore interessante
osservazione. Nella figura 8.29 i segnali presentano una marcata asimmetria che è funzione
dello skewness, in particolare per y + = 15 il segnale è praticamente simmetrico intorno
allo zero, per y + = 30 si ha il massimo valore negativo dello skewness al quale corrisponde
il più grande picco negativo della velocità, poi al crescere di y + lo skewness si riduce in
modulo e conseguentemente si vede che l’asimmetria diminuisce. Nel contempo il kurtosis
per y + = 15 è molto distante dal valore tre di riferimento della gaussiana ed infatti la
media condizionata corrispondente è quella che più si distanzia dal valore medio (nullo
perché è una componente turbolenta). Al crescere di y + il kurtosis si avvicina sempre più
al valore tre e si vedono i segnali maggiormente raccolti intorno al valore medio.
Per finire, il valore massimo del picco di velocità positivo, localizzato dopo il punto di
allineamento, per T + > 0, ha l’ampiezza che diminuisce al crescere dell’altezza e questo
può indicare una minore intensità dei fenomeni di sweep.
8.1.2.5
Influenza dei numeri di Reynolds e di Froude
Nell’eseguire il campionamento condizionato con il metodo VITA si è visto che la soglia
k = 0,5 risulta troppo alta poiché il numero di eventi rilevati risulta spesso meno della
238
Tabella 8.3: Valori dello scarto quadratico medio, skewness e kurtosis dei punti di misura
usati nel campionamento condizionato. A sinistra i valori dei momenti statistici al variare
del numero di Reynolds, a destra quelli in funzione del numero di Froude.
Re
σu /u?
Sk
Ku
10000
2,696
0,093
2,378
20000
2,802
0,047
2,531
30000
2,849
0,075
2,255
Fr
σu /u?
Sk
Ku
0,40
2,802
0,047
2,531
0,30
2,768
0,010
2,272
0,22
2,781
0,048
2,294
metà di quello ottenuto con MULEVEL. Data la necessità di effettuare nuovamente la
calibrazione del metodo, si è scelto come nuova soglia k = 0,4 e si è mantenuto invariato
T + = 15. Il punto 13 della prova Sm 2B è stato ricampionato con questo nuovo valore di
soglia per poterlo confrontare con gli altri.
Nella tabella 8.3 sono riportati i momenti statistici relativi ai segnali utilizzati per il
campionamento condizionato, mentre nelle figure 8.30 e 8.31 vi sono i risultati.
In questo caso è ben evidente che la coda di destra è più lunga di quella sinistra come
è lecito aspettarsi dal fatto che il metodo VITA segue prevalentemente la fase di sweep.
Al crescere del numero di Reynolds (figura 8.30), si osserva che cresce l’ampiezza del
picco di velocità positivo, a testimoniare che le sweep diventano sempre più violente e si
rileva una diminuzione dell’ampiezza del picco di velocità negativo. Andamenti analoghi
si ritrovano nel lavoro di Johansson & Alfredsson, ma essi giustificano lo spostamento
verso valori positivi delle curve con l’aumento dello skewness che qui non è rilevante.
L’asimmetria delle curve non può essere messa in relazione con lo skewness in quanto il
valore è molto prossimo allo zero per tutte le prove ed anche per il kurtosis non si trovano
legami evidenti. In queste figure è presente un picco di velocità positiva localizzato tra
−50 < T + < 0 il quale non ha senso fisico e la cui presenza non deve preoccupare in
quanto le rilevazioni di VITA sono affidabili solo dopo il punto di allineamento.
Per quanto riguarda l’influenza del numero di Froude dalle figure 8.31 non si riesce a
concludere nulla; occorre studiare un campo di variazione maggiore.
239
1
0.8
0.6
u/σu
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-100
Re = 10000
Re = 20000
Re = 30000
-50
0
50
100
150
+
T
Figura 8.30: Media di insieme delle rilevazioni del metodo VITA al variare del numero di
Reynolds. A sinistra i grafici sono adimensionalizzati in funzione di σu mentre a destra
in funzione di u? .
0.8
0.6
u/σu
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-100
F r = 0,40
F r = 0,30
F r = 0,22
-50
0
50
+
100
150
T
Figura 8.31: Media di insieme delle rilevazioni del metodo VITA al variare del numero di
Froude. A sinistra i grafici sono adimensionalizzati in funzione di σu mentre a destra in
funzione di u? .
240
+
Tabella 8.4: Valori del T B riportati in letteratura.
Ricercatore
Kline et al.
Johansson & Alfredsson
Luchik & Tiederman
Bogard & Tiederman
Antonia
Lu & Smith
Tubergen & Tiederman
8.1.3
+
(1967)
(1984)
(1986)
(1986)
(1988)
(1991)
(1993)
TB
90
88
90
168
100
80
225
Commenti finali sul campionamento classico
In questo paragrafo si parlerà dei tempi medi di bursting rilevati nel corso del campionamento condizionato con i due metodi MULEVEL e VITA; il tempo medio di bursting è il
valor medio dei tempi tra due rilevamenti successivi, calcolato rispetto al punto centrale
+
dell’intervallo di detection e nel seguito verrà indicato con T B . Non è da confondere con
il tempo tra ejection TE il quale è calcolato tra gli istanti iniziali dei rilevamenti, fatti con
il metodo del secondo quadrante. I valori ottenuti possono essere confrontati con quelli
presenti in letteratura e riportati, per comodità nella tabella 8.4.
Poi si faranno alcune brevi riflessioni sui coefficienti di corrispondenza e sulla frazione
di tempo di attività, calcolata come
%att =
Ttot
· 100,
900
(8.5)
dove con Ttot si intende la sommatoria dei tempi di detection e con 900 s la durata della
prova; per finire si presenteranno i cicli di bursting completi, costruiti unendo le medie di
insieme dei metodi VITA e MULEVEL.
8.1.3.1
Tempi medi di bursting al variare dell’altezza y +
Nella tabella 8.5 sono riportati i dati rilevati dal campionamento condizionato. Il numero
di rilevamenti prima cresce e poi decresce con l’altezza per entrambi i metodi; il metodo
241
Tabella 8.5: Tempi medi di bursting ed altri parametri dedotti dal campionamento condizionato al variare di y + . Nr numero di rilevamenti, T B tempo medio tra i burst, Ttot
tempo totale di rilevamento, %att frazione di attività.
MULEVEL
P.to
mis.
13
18
27
29
33
y
+
15
30
93
152
252
Nr
1451
1662
1818
1743
1634
TB
[ms]
621
541
495
516
550
+
TB
189
165
151
157
168
Ttot
[s]
250
255
266
279
258
VITA
%att
Nr
28
28
30
31
29
871
1290
1639
1391
1217
TB
[ms]
1033
657
548
645
739
+
TB
315
212
167
196
225
Ttot
[s]
22
34
46
38
32
%att
CV M
CM V
2
4
5
4
4
62
72
65
66
69
37
55
59
53
52
VITA rileva il 20% in meno di eventi rispetto al metodo MULEVEL, tranne per il primo
+
punto nel quale si ha un 40% in meno di punti. Osservando i valori di T B si osserva che
+
+
esso è compreso tra 150 < T B < 190, per il metodo MULEVEL e tra 170 < T B < 225
per VITA con l’esclusione del primo punto. Tali valori sono riscontrati comunemente in
letteratura come testimonia la tabella 8.4. Per i primi y + vicini a parete si nota una
+
chiara riduzione del T B al crescere dell’altezza.
Nella tabella 8.5 è riportato anche il valore della frazione di tempo attivo nel quale si
esegue il rilevamento di fenomeni di ejection da parte dei due metodi di campionamento
condizionato. Si vede che la frazione di attività per il metodo MULEVEL è prossima al
30%, mentre quella di VITA oscilla tra 2-4%. Si vede chiaramente come il secondo metodo
sia molto più selettivo del primo nel determinare il passaggio delle strutture coerenti.
I coefficienti di corrispondenza CV M tra VITA e MULEVEL sono tutti abbastanza
alti, superano infatti il 60%, mentre quelli di corrispondenza tra MULEVEL e VITA
sono un poco più bassi, dell’ordine del 50%, perché il metodo MULEVEL è più soggetto
a false rilevazioni. Inoltre data la piccolissima estensione temporale degli intervalli di
rilevamento VITA rispetto a quelli di MULEVEL potrebbe succedere che lo stesso evento
venga rilevato dai due in intervalli di tempo diversi, che non si sovrappongono tra loro.
242
8.1.3.2
Tempi medi di bursting al variare dei numeri di Reynolds e Froude
Nella tabella 8.6 sono riportati i dati rilevati dal campionamento condizionato. Il metodo
VITA rileva in alcuni caso il 20% in meno di eventi rispetto al metodo MULEVEL, tranne
per la misura Sm 1B per la quale si ha un 40% in meno di punti e per la Sm 2B per la
quale i rilevamenti VITA sono dello stesso ordine di grandezza di quelli di MULEVEL.
+
+
Osservando i valori di T B si osserva che esso è compreso tra circa 170 < T B < 200, per il
+
metodo MULEVEL e tra 180 < T B < 210 per VITA, con l’esclusione della misura Sm 2B.
Tali valori sono riscontrati comunemente in letteratura come testimonia la tabella 8.4. In
seguito alla crescita del numero di Reynolds si riscontra una lieve riduzione di T B+ , come
se la cinematica delle strutture diventasse più rapida, mentre al crescere del numero di
Froude si rileva un aumento del periodo medio tra i burst.
Nella tabella 8.6 è riportato anche il valore della frazione di tempo attivo nel quale si
esegue il rilevamento di fenomeni di ejection da parte dei due metodi di campionamento
condizionato. Si vede che la frazione di attività per il metodo MULEVEL è prossima al
30%, mentre quella di VITA oscilla tra 2-5%. Si vede chiaramente come il secondo metodo
sia molto più selettivo del primo nel determinare il passaggio delle strutture coerenti.
I coefficienti di corrispondenza CV M tra VITA e MULEVEL sono compresi trai il 55
e il 63%, mentre quelli di corrispondenza tra MULEVEL e VITA sono un poco più bassi,
dell’ordine del 40-50%, perché il metodo MULEVEL è più soggetto a false rilevazioni.
Inoltre data la piccolissima estensione temporale degli intervalli di rilevamento VITA
rispetto a quelli di MULEVEL potrebbe succedere che lo stesso evento venga rilevato dai
due in intervalli di tempo diversi, che non si sovrappongono tra loro.
8.1.3.3
Ciclo di bursting completo e commenti
Facendo riferimento alla descrizione fatta nel paragrafo ?? e ?? ed ai lavori menzionati, con particolare riguardo a quello di Yuan & Dehghan (1994), la corrispondenza tra
243
Tabella 8.6: Tempi medi di bursting ed altri parametri dedotti dal campionamento condizionato al variare dei numeri di Reynolds e Froude. Nr numero di rilevamenti, T B tempo
medio tra i burst, Ttot tempo totale di rilevamento, %att frazione di attività.
MULEVEL
Prova
mis.
Sm 1B
Sm 2B
Sm 3B
Fr
Nr
469
1451
2702
TB
[ms]
1910
621
333
0,21
0,40
0,54
Sm 2B
Sm 2M
Sm 2A
0,40
0,30
0,22
1451
1110
768
621
810
1171
+
TB
VITA
%att
Nr
195
189
175
Ttot
[s]
283
250
265
300
1459
2626
TB
[ms]
2977
617
342
31
28
29
189
168
168
250
249
243
28
28
27
1459
908
633
617
991
1419
+
TB
%att
CV M
CM V
305
188
180
Ttot
[s]
25
22
41
3
2
5
63
61
55
41
62
54
188
206
203
22
38
39
2
4
4
61
58
56
62
48
47
l’andamento complessivo e quelli riportati nelle figure del paragrafo 8.1.3.3 può essere
suddivisa in due fasi fondamentali:
1. caratterizzata dalla formazione e dal lento sollevamento dalla parete delle striscie
di bassa velocità, le quali interagendo con i filetti di fluido sovrastanti, più veloci,
raggiungono gradualmente uno stadio di instabilità, che ne provoca il brusco distaccamento e le porta ad interessarre il volume di misura, determinando nel segnale
di velocità un rallentamento ed il conseguente picco negativo. A questa prima fase
del ciclo di bursting è particolarmente sensibile il metodo MULEVEL. Il tratto iniziale del successivo gradiente positivo corrisponde alla parte finale dell’influenza
dell’“eiezione” nel punto di misura; in questa fase si ha il brusco passaggio della
massa coerente a bassa velocità al fluido circostante più rapido. Quest’ultima fase
è quella che, solitamente, attiva la rilevazione del metodo VITA.
2. caratterizzata dal forte aumento di velocità della “spazzata”, è immediatamente
collegata a quella precedente e riguarda il sopraggiungere in prossimità della parete delle masse fluide provenienti dalle zone più esterne, con cui essa si conclude.
L’arrivo di queste masse fluide viene rilevato nel volume di misura e risulta individuabile nel tratto terminale del gradiente positivo e nel successivo picco di velocità.
244
u/u?
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
+
y+
y+
y+
y
y+
= 15
= 30
= 93
= 152
= 252
-60 -40 -20
0
20
40
+
T
Figura 8.32: Ciclo di bursting completo al variare dell’altezza y + .
8.1.3.4
-140 -120 -100
-80
Ciclo di bursting al variare di y +
L’intensità del bursting va diminuendo man mano che ci si sposta dalla parete. Il fluido
in moto riceve una forte decelerazione a causa degli eventi di ejection, che si traducono
in alti valori negativi della componente longitudinale di velocità, cui segue una brusca
accelerazione legata alle sweep. Vicino a parete queste variazioni di velocità sono più
accentuate, come ci si aspetta essendo l’intensità turbolenta massima per y + ∼
= 15. Si nota
come l’intensità delle ejection sia notevolmente superiore a quella degli eventi di spazzata e
che il rapporto tra il valore massimo negativo e quello positivo vada aumentando al crescere
di y + , segno che allontanandosi dalla superficie l’intensità delle sweep diminuisce di più
rispetto a quello delle ejection, come già si era dedotto facendo l’analisi dei quadranti.
Il tempo tra i due picchi dello stesso burst va diminuendo distanziandosi dalla parete,
ossia man mano che si sale le accelerazioni del fluido aumentano.
245
3
2
u/u?
1
0
-1
-2
-3
-4
-150
Re = 10000
Re = 20000
Re = 30000
-50
0
50
+
T
Figura 8.33: Ciclo di bursting completo al variare del numero di Reynolds.
8.1.3.5
-100
Variazione del ciclo di bursting in funzione dei numeri di Reynolds e
Froude
L’intensità del bursting va aumentando al crescere del numero di Reynolds, mentre il
rapporto tra il valor massimo negativo e quello positivo non sembra subire grandi variazioni. Si nota la decisa predominanza delle ejection sulle sweep. Ad eccezione della prova
con Re = 10000, al crescere del numero di Reynolds aumentano le accelerazioni, come
testimonia il fatto che il tempo che intercorre tra il valor minimo e quello massimo va
diminuendo.
Meno influente è il numero di Froude, la cui variazione sembra non avere conseguenze.
246
u/u?
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
-150
F r = 0,40
F r = 0,30
F r = 0,22
-100
-50
0
50
T+
Figura 8.34: Ciclo di bursting completo al variare del numero di Froude.
247
248
GRANDI E PICCOLE SCALE NELLA TURBOLENZA DI PARETE
Capitolo 9
Analisi delle piccole scale
Come giá accennato negli ultimi decenni l’argomento della turbolenza di parete ha registrato notevoli risultati speculativi concentrati, peró nella dinamica delle strutture coerenti
(Robinson, 1991; Zhou et al., 1999; Adrian et al., 2000). Solo negli ultimi anni la natura
dell’intermittenza (Toschi et al., 1999), il ruolo dell’anisotropia (Antonia et al., 1998) ed
i legami fra grandi e piccole scale (Onorato et al., 2000) sono stati oggetti di nascente
interesse. Nonostanteció sono cominciati ad emergere alcuni risultati importanti i cui
principali sono i seguenti. Nel caso di parete scabra, i moti di grande scala sembrano
possedere una minore anisotropia rispetto al caso di parete liscia, inoltre essi risultano
maggiormente inclinati e pi estesi nel senso longitudinale (Krogstad et al., 1992; Krogstad e Antonia, 1994, 1999). Anche la struttura di piccola scala parrebbe risentire allo
stesso modo della geometria della parete, anche in questo caso registrandosi una minore
anisotropia ed intermittenza (Onorato et al., 2000). Tale accordo fra il comportamento
delle diverse scale turbolente potrebbe spiegarsi attraverso il blocking nella cascata di
energia (Jimenez, 2000), indotto dal passaggio delle strutture coerenti. Tale fenomeno
agirebbe quindi da ponte fra piccole e grandi scale, facendo si che gli effetti della scabrezza su quest’ultime si risenta anche a scala minore. Infine, viene suggerita (Jimenez, 1999)
l’interpretazione della scabrezza come una sorta di forzante esterna dell’energia turbolenta
che, scompaginando l’organizzazione del campo di moto nei pressi della parete, comporterebbe un minore grado di anisotropia e intermittenza; fatto che si risente anche al di
fuori della zona di parete (Antonia e Krogstad, 1994, 2001). Il presente capitolo rientra
in questo quadro di studi e riporta alcuni risultati di un’indagine sperimentale volta ad
investigare come anisotropia ed intermittenza dipendano dalla geometria della parete e
dalla distanza da essa.
9.1
Analisi spettrale
Il primo strumento utilizzato per indagare l’anisotropia indotta dalla parete sono stati gli
spettri di energia, Fu (k) e Fv (k), delle due componenti di velocitá, dove k indica il numero
d’onda. La conversione da frequenza a numero d’onda é avvenuta ricorrendo all’ipotesi di
Taylor, resa plausibile dai coefficienti di variazione dei segnali sempre inferiori a 0.15−0.25
(Ruiz-Chavarria et al., 2000; Shafi e Antonia, 1997).
Le figure riportano, sia nel caso di parete liscia sia in quello di parete scabra, alcuni
esempi di spettri relativi a punti via via pi prossimi alla parete, dapprima raggruppati insieme quindi diagrammati separatamente gli uni dagli altri. Si nota come le visioni
d’insieme possano essere fuorvianti; infatti in esse sembrerebbero potersi ritrovare i classici
esponenti: -5/3 nel range inerziale e -1 nella cosiddetta zona di sovrapposizione II (Perry
et al., 1986), ovvero gli stessi esponenti che troveremmo lontano dalla parete. Viceversa
quando gli stessi spettri sono osservati separatamente emergono diversi aspetti importanti. Nel caso di parete liscia si nota che (i) l’esponente della zona inerziale descresce
avvicinandosi alla parete (si veda anche Ruiz-Chavarria et al., (2000)), (ii) la zona di
scaling si muove verso numeri d’onda minori e (iii) la presenza di una zona con esponente
-1 pare scomparire. Tutto ció é una prova di come avvicinandosi alla parete le condizioni
di isotropia locale vengono sempre pi violate e la produzione di energia turbolenta non
sia pi in equilibrio con la dissipazione locale. Nel caso della parete scabra accade che la
249
stessa esistenza di una zona di scaling pare dubbia. Ció sembrerebbe potersi mettere in
relazione con l’energia turbolenta direttamente immessa nel flusso da parte degli elementi della scabrezza. La figura 2, che confronta i due spettri in y + = 23 nei due casi di
geometria di parete, parrebbe confermarlo; la scala tipica della scabrezza kr+ cade proprio laddove maggiore é lo scostamento fra i due spettri, con un incremento dell’energia
turbolenta nel caso scabro. Allo scopo di evidenziare il livello di anisotropia presente nei
due flussi, riferimento puo’ essere fatto alla forma dello spettro ottenibile teoricamente a
partire da Φu(k) sotto l’ipotesi di perfetta isotropia (Monin e Yaglom, 1991)
Le figure 3a-b evidenziano come la scabrezza induca una ben maggiore isotropia rispetto al caso di parete liscia, dove solo allontanandosi dalla parete (figure 3c-d) si ritrova
l’isotropia delle piccole scale.
9.2
Funzioni di struttura
Le funzioni di struttura sono un eccellente mezzo di indagine delle piccole scale della
turbolenza. Esse sono definite come
Su,n (r) = h[ δu(r)]n i,
(9.1)
dove δu(r) = u(x+r)−u(x). In particolare, nel range inerziale e nel caso di turbolenza
isotropa ed omogenea, tali funzioni dipendono solo dalla distanza r secondo una legge di
potenza Su,n (r) ∝ rζ(n) con n esponente di scaling, che é pari ad uno nel caso della
funzione del terz’ordine. Lo studio di questi esponenti é molto importante; infatti il loro
allontanarsi dall’andamento lineare ζ(n) = n/3 previsto dalla teoria di Kolmogorov é
un indice del livello di intermittenza del campo di moto (Frisch, 1995). Le figure 4a-b
mostrano, per le due correnti, l’andamento della funzione di struttura del terzo ordine al
variare di r. Nel caso di parete liscia, si osserva la presenza di un plateau anche molto
vicino alla parete, ma il valore dell’esponente si allontana sempre pi da ζ = 1 al diminuire
250
di y + a conferma del sempre maggior effetto di anisotropia imposto dalla parete (Benzi et
al., 1999; Toschi et al., 2000). Come avveniva giá per gli spettri, nel caso di parete scabra
la zona di plateau tende a scomparire nei pressi della parete e, come si rileva dalla figura
5, il comportamento anomalo é evidente soprattutto alle scale tipiche della scabrezza.
Nonostante l’assenza di un chiaro plateau nelle funzioni di struttura, una particolare
tecnica di estensione dell’autosimilitudine (ESS) proposta negli ultimi anni permette di
calcolare, assumendo ζ(3) = 1, gli eponenti di scaling ζ(n). L’analisi di tali esponenti, eseguita per fondo liscio e scabro, permette di studiare l’anisotropia ed il grado di
intermittenza del campo di moto al variare della distanza dalla parete.
Gli esponenti di scaling fino al nono ordine sono mostrati per diverse altezze. L’andamento
lineare predetto dalla K41 e quello valutato attraverso il modello lognormale
ζ(n) =
1 1
1
+ µ n − µn2 ,
3 6
18
(9.2)
dove il parametro di intermittenza é µ = 0.2. Nel caso di parete liscia l’aumento della
deviazione dall’andamento lineare aumenta all’aumentare della vicinanza della parete.
Tale andamento, giá riscontrato in precedenza in letteratura, é un chiaro sintomo dell’alto
livello presente nella regione vicino alla parete. Nel caso di parete scabra un minor livello
di anisotropia é riscontrabile.
La netta influenza della geometria della parete emerge anche se si analizzano le funzioni
di struttura di ordine pi elevato, come testimoniato dalle figure 6a-b. Esse riportano il
confronto, fra parete liscia e scabra, il comportamento delle funzioni di struttura del quarto
e sesto ordine in funzione della distanza dalla parete. Si rileva come la scabrezza induca
una riduzione della intermittenza anche distante dalla parete e un decremento pi lento
di ζ(n) con la distanza dalla regione centrale della corrente. Questo comportamento é
probabilmente connesso con la parziale distruzione dell’organizzazione del campo di moto
vicino alla parete causata dalla scabrezza, col risultato che la vorticitá iniettata nel flusso
251
direttamente dagli elementi scabri, essendo meno organizzata, dá un contributo minore
all’intermittenza.
Infine, riferendosi alla seguente espressione della funzione del second’ordine nel caso
di turbolenza omogenea ed isotropa,
i
Sv,2
(r)
i
Suv,2
(r)
2
= h[ δv(r)] i =
r d
1+
2 dr
1
= hδu(r)[ δv(r)] i =
6
2
h[ δu(r)]2 i,
d
1+r
dr
h[ δu(r)]3 i.
(9.3)
(9.4)
é possibile nuovamente analizzare il livello di anisotropia. Le figure 7a-d confrontano
le funzioni di struttura misurate con quelle calcolate. Per entrambe le correnti si osserva
che, mentre vicino alla parete la funzione di struttura é fortemente anisotropa, lontano
da essa l’isotropia delle piccole scale é restaurata. Tuttavia nel caso di parete scabra il
livello di anisotropia é decisamente inferiore, coerentemente a quanto gli spettri avevano
giá evidenziato.
9.3
Ruolo dello Shear
Negli ultimi anni un filone di ricerca ha evidenziato come sia possibile ”correggere” l’effetto
dell’anisotropia sull’intermittenza attraverso l’introduzione dello shear nella classica funzione di struttura. Tali studi hanno evidenziato che i valori degli esponenti della funzione
di struttura cosı́ modificata, chiamata funzione di struttura integrale ISF , confermano
quelli riscontrabili in caso di turbolenza isotropa ed omogenea. É da evidenziare che questo effetto non contraddice la teoria per la quale le strutture coerenti di parete siano la
causa dell’aumentato livello di intermittenza. Infatti lo shear e le strutture coerenti sono
strettamente collegate. La correzione delle funzioni di struttura attraverso lo shear dá
252
una visione cinematica del problema, senza scendere nei particolari delle basi dinamiche
del problema.
I dati presentati sono un ottimo test delle ISF. In particolare le ISF sono un ottimo
strumento per verificare se il differente shear che fondo liscio e scabro mostrano sia sufficiente per spiegare il diverso grado di intermittenza. In Figura ???? le ISF ottenute per il
fondo liscio e per il fondo scabro sono mostrate per differenti distanze dalla parete per le
prove ottenute con Re = 66.000. Nel caso di fondo liscio le ISF confermano il fondamentale ruolo dello shear e la validitá della teoria proposta. Infatti i valori dell’esponente di
scaling risultano simili a quelli della turbolenza isotropa ed omogenea. Nel caso di parete
scabra le funzioni di struttura modificate correggono egregiamente la deviazione dai valori
degli esponenti solo quando il valore di r é molto maggior della dimensione caratteristica
della scabrezza (regione I). Diversamente nella regione kr < r < η, regione III, un plateau
avente valore dei coefficienti di scaling differenti da quelli isotropi ed omogenei é riscontrato. Nella regione II sia lo shear sia la scala caratteristica della scabrezza contribuiscono
al valore dell’esponente di scaling.
Questi risultati suggeriscono che la turbolenza vicino alla parete é estremamente organizzata ma una nuova lunghezza caratteristica, quella della scabrezza, giuoca un ruolo
fondamentale. Tale effetto si attenua all’allontanarsi dalla zona di parete.
253
254
GRANDI E PICCOLE SCALE NELLA TURBOLENZA DI PARETE
Capitolo 10
Conclusioni
Nella presente tesi di dottorato si ef́ocalizzata l’attenzione sullo studio, attraverso l’analisi
sperimentale, della turbolenza di parete. Lo studio sperimentale, condotto mediante un
anemometro laser Doppler in un canale di laboratorio aperto, ha permesso di campionare
le componenti verticali ed orizzontali in condizioni di superficie liscia e scabra e per diversi numeri di Reynolds. L’analisi dei risultati ha cercato di evidenziare le caratteristiche
delle componenti di grande e piccola scale della turbolenza di parete. A tal fine si sono
analizzati sia metodi classici dello studio della turbolenza di parete, come il campionamento condizionato e l’analisi dei quadranti, che metodi non canonici, sebbene ampiamente
utilizzati nella turbolenza isotropa, come le funzioni di struttura. Per ci che riguarda
le grandi scale, identificabili principalmente nelle strutture coerenti di parete, il lavoro
eśtato articolato nel seguente modo. Il primo passo ha riguardato l’analisi dei principali
metodi di campionamento condizionato quali VITA, MULEVEL ed il metodo dei Quadranti. Mediante tali metodi, cos come evidenziato in letteratura, non quasi mai possibile
risalire ad una chiara ed obbiettiva analisi delle strutture coerenti, principalmente a causa
dell’impossibilit nella scelta di una soglia precisa di condizionamento. Il secondo passo
eśtato quello di sviluppare un’analisi del segnale nello spazio delle fasi u0 v 0 − du0 v 0 /dt. La
rappresentazione degli eventi nello spazio delle fasi permette di comprendere in maniera
pi rigorosa il comportamento fisico degli eventi di detection. Tale rappresentazione ha
infatti reso possibile riconoscere le cause cinematiche della presenza dei picchi secondari
di velocit, riconducendosi alle strutture vorticose ottenute con le simulazioni numeriche
condotte in altri studi (Zhoan et. Al(1999)). La suddivisione in classi ha inoltre contribuito a delineare la diversit e la complessit delle strutture vorticose. I presupposti teorici
della rappresentazione nello spazio delle fasi ha permesso una ben pi rigorosa valutazione
dei parametri fondamentali della tecnica di campionamento, quali il tempo di raggruppamento e la soglia di campionamento. Si sono superati in questo modo gli ostacoli maggiori
del metodo dei quadranti. Sebbene tale tecnica deficiti tuttora di un buon algoritmo di
calcolo, la stessa ci ha permesso di comprendere pi a fondo l’importanza dei punti di
allineamento delle medie di insieme nel condizionamento classico e ne ha giustificato le
modalit di utilizzo adottate per il metodo dei quadranti. L’analisi delle piccole scale
stata basata sull’utilizzo principale delle funzioni di struttura. Sebbene tale tecnica di
analisi del segnale sia utilizzata con ottimi risultati nello studio della turbolenza isotropa
difficilmente si riscontrano studi di turbolenza di parete dove la stessa venga adottata.
L’utilizzo fattone nella presente tesi ha permesso di studiare a fondo il grado di intermittenza e l’anisotropia della turbolenza di parete. In particolare eśtato possibile il grado di
eı́ntermittenza, che nella turbolenza isotropa eq́uasi certamente connesso con il passaggio
di strutture coerenti, con la distanza dalla parete. Tale analisi sembra evidenziare che
anche nel caso della turbolenza di parete le strutture coerenti siano il principale fenomeno
su cui l’intermittenza fondata. In particolare, nel caso di parete liscia le tipiche zone
di scaling continuano ad esistere anche avvicinandosi molto alla parete, che pur induce
una forte anisotropia ed intermittenza testimonianza dell’alto grado di organizzazione del
campo di moto. La scabrezza interagisce fortemente con tali strutture organizzate presenti nella zona di parete col risultato di rendere meno evidenti le zone di scaling e ridurre
sia l’anisotropia sia l’intermittenza. Inoltre tale effetto della scabrezza seppure molto pi
forte nei pressi della parete. Infine, sia gli spettri che le funzioni di struttura appaiono
255
suffragare l’interpretazione dell’azione della scabrezza come forzante esterna che inietta
nel campo di moto energia turbolenta alle proprie scale tipiche.
Concludendo si ritiene che lo studio della turbolenza di parete non puoéssere condotto
senza che le piccole scale e le grandi scale vengano considerate. Infatti mentre alle grandi scale ed́a attribuire il maggior contributo agli sforzi di Reynolds ed alla produzione
turbolenta, le piccole scale, che costituiscono il campo medio per la maggior parte del
tempo, sono di fondamentale importanza per lo studio delle caratteristiche medie della
turbolenza di parete.
256
257
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