Trovare il valore dei seguenti logaritmi: 1) x = log216 log216 = x

Trovare il valore dei seguenti logaritmi:
1) x = log216
log216 = x
significa
2x = 16
cioe' devo trovare quel numero che messo come esponente al 2 mi da' 16
Se non riesco a trovarlo mentalmente scompongo il numero 16
16 = 24
l'esponente vale 4 quindi
log216 = 4
2) x = log101000
log101000 = x
significa
10x = 1000
cioe' devo trovare quel numero che messo come esponente al 10 mi da' 1000
Se non riesco a trovarlo mentalmente scompongo il numero 1000
1000 = 23·53 = 103
l'esponente vale 3 quindi
log101000 = 3
3) x = log381
log381 = x
significa
3x = 81
cioe' devo trovare quel numero che messo come esponente al 3 mi da' 81
Se non riesco a trovarlo mentalmente scompongo il numero 81
81 = 34
l'esponente vale 4 quindi
log381 = 4
4) x = log5125
log5125 = x
significa
5x = 125
cioe' devo trovare quel numero che messo come esponente al 5 mi da' 125
Se non riesco a trovarlo mentalmente scompongo il numero 125
125 = 53
l'esponente vale 3 quindi
log5125 = 3
5)
x = log4
1
---64
1
log4 ---64
significa
=x
1
4 = ----64
cioe' devo trovare quel numero che messo come esponente al 4 mi da' 1/64 cioe' un esponente
negativo
Se non riesco a trovarlo mentalmente scompongo il numero 64 e lo metto in forma di potenza di 4
64 = 26 = 43
l'esponente vale 3 ma siccome il numero e' sotto il segno di frazione l'esponente e' negativo e quindi
vale -3
1
log4 ---- = -3
64
x
6) x = loga1
loga1 = x
significa
ax = 1
cioe' devo trovare quel numero che messo come esponente ad a mi da' come risultato 1
So che un numero elevato a potenza zero mi da' sempre 1 ripassa la dimostrazione
quindi
loga1 = 0
Il logaritmo in qualunque base di 1 vale sempre zero
Ricorda pero' che la base deve sempre essere maggiore di zero e diversa da 1
6) x = loga0
loga0 = x
significa
ax = 0
cioe' devo trovare quel numero che messo come esponente ad a mi da' come risultato 0
Nessun numero elevato a potenza mi puo' dare come risultato zero, quindi
loga0 = x non ha significato
Il logaritmo in qualunque base di 0 non si puo' fare
Se il numero e'positivo anche se e' molto vicino a zero il logaritmo e' sempre possibile
Esercizi sulle equazioni logaritmiche
con log x intendiamo il logaritmo in base e e con Log x il logaritmo in base 10
Esercizio 1
log(x-2) - log(x-3) = log 4
Esercizio 2
log(x+1) + log(x-1) = 0
Esercizio 3
log2(x+1) = log4(2x+5)
Esercizio 4
log3 x4 + log3 x3 + log3 x2 + log3x = 10
Esercizio 5
log2
(4x2 - 3x + 4) - log2
(x2 + x + 1) = 1
Esercizio 6
(Log x2)2 - 2 Log x3 + 2 = 0
SOLUZIONI
Risolvere la seguente equazione logaritmica
log(x-2) - log(x-3) = log 4
Siccome il logaritmo e' definito solamente se l'argomento e' maggiore di zero dovremo risolvere
l'equazione sotto le condizioni:
x-2>0
x-3>0
risolvo
x>2
x>3
Essendo un sistema devo prendere l'intervallo dove sono valide contemporaneamente le
disequazioni cioe'
x>3
Adesso passo a risolvere l'equazione
log(x-2) - log(x-3) = log 4
Per la regola del logaritmo di un quoziente posso scrivere
x-2
log -------- = log 4
x-3
cioe', uguagliando gli argomenti
x-2
-------- = 4
x-3
Supponendo x diverso da 3 (sovrabbondante perche' x = 3 era gia' escluso dalle condizioni iniziali)
faccio il m.c.m.
x-2
4(x - 3)
-------- = ---------------x-3
x-3
tolgo i denominatori
x - 2 = 4(x - 3)
calcolo
x - 2 = 4x - 12
x - 4x = 2 - 12
-3x = -10
x = 10/3
Ora devo controllare che la soluzione cada nell'intervallo di definizione: 10/3 e' maggiore di 3
quindi la soluzione
10
x = ---3
e' accettabile
In qualche scuola ho visto anche risolverlo con un sistema in questo modo:
x-2>0
x-3>0
log(x-2) - log(x-3) = log 4
Formalmente e' piu' giusto ma come svolgimento e' la stessa cosa
Risolvere la seguente equazione logaritmica
log(x-2) - log(x-3) = log 4
Per la regola del logaritmo di un quoziente posso scrivere
x-2
log -------- = log 4
x-3
cioe', uguagliando gli argomenti
x-2
-------- = 4
x-3
Supponendo x diverso da 3 (sovrabbondante perche' x = 3 era gia' escluso dalle condizioni iniziali)
faccio il m.c.m.
x-2
4(x - 3)
-------- = ---------------x-3
x-3
tolgo i denominatori
x - 2 = 4(x - 3)
calcolo
x - 2 = 4x - 12
x - 4x = 2 - 12
-3x = -10
x = 10/3
Ora devo controllare se la soluzione e' accettabile, per farlo sotituisco il valore 10/3 alla x nei
logaritmi dell'equazione di partenza e controllo che gli argomenti siano positivi
Sostituisco in log(x-2)
log ( 10/3 - 2) = log 4/3 l'argomento e' maggiore di zero
Sostituisco in log(x-3)
log ( 10/3 - 3) = log 1/3 l'argomento e' maggiore di zero
Quindi
10
x = ---3
e' accettabile
Risolvere la seguente equazione logaritmica
log(x+1) + log(x-1) = 0
Siccome il logaritmo e' definito solamente se l'argomento e' maggiore di zero dovremo risolvere
l'equazione sotto le condizioni:
x+1>0
x-1>0
risolvo
x > -1
x>1
Essendo un sistema devo prendere l'intervallo dove sono valide contemporaneamente le
disequazioni cioe'
x>1
Adesso passo a risolvere l'equazione
log(x+1) + log(x-1) = 0
Per la regola del logaritmo di un prodotto posso scrivere
log (x-1)(x+1) = 0
calcolo prima dell'uguale e, ricordando che zero e' il logaritmo di 1
log (x2-1) = log 1
cioe', uguagliando gli argomenti
x2-1 = 1
x2 = 2
x=
2
Ora devo controllare se le soluzioni cadono nell'intervallo di definizione:
•
la soluzione x = non e' accettabile
2 e' esterna all'intervallo di definizione perche' e' minore di 1 e quindi
•
la soluzione x = + 2 e' interna all'intervallo di definizione perche' e' maggiore di 1 e
quindi e' accettabile
cioe' x = +
2 e' accettabile
Risolvere la seguente equazione logaritmica
log(x+1) + log(x-1) = 0
Per la regola del logaritmo di un prodotto posso scrivere
log (x-1)(x+1) = 0
calcolo prima dell'uguale e, ricordando che zero e' il logaritmo di 1
log (x2-1) = log 1
cioe', uguagliando gli argomenti
x2-1 = 1
x2 = 2
x=
2
Ora devo controllare se le soluzioni sono accettabili o meno sotituendole alle x nei logaritmi
dell'equazione di partenza e controllando se cadono nell'intervallo di definizione:
•
Sostituisco x = -
2
log(x+1) = log (- 2 + 1)
essendo l'argomento minore di zero la soluzione non e' accettabile
(non serve provare l'altro logaritmo perche' basta che uno solo non sia valido e non e' valida
tutta l'equazione)
•
Sostituisco x =
2
log(x+1) = log (
2 + 1) argomento maggiore di zero
log(x-1) = log ( 2 - 1) argomento maggiore di zero
essendo l'argomento maggiore di zero la soluzione e' accettabile
cioe' x = +
2 e' accettabile
Risolvere la seguente equazione logaritmica
log2(x+1) = log4(2x+5)
Siccome il logaritmo e' definito solamente se l'argomento e' maggiore di zero dovremo risolvere
l'equazione sotto le condizioni:
x+1>0
2x + 5 > 0
risolvo
x > -1
x > -5/2
Essendo un sistema devo prendere l'intervallo dove sono valide contemporaneamente le
disequazioni cioe'
x > -1
Adesso passo a risolvere l'equazione
log2(x+1) = log4(2x+5)
Siccome i logaritmi hanno base diversa dovro' applicare la regola del cambiamento di base.
Conviene trasformare il secondo logaritmo da base 4 in base 2
Applico la regola
log2(2x+5)
log2(2x+5)
log4(2x+5) = ---------------- = ---------------log24
2
quindi posso scrivere
log2(x+1) = 1/2log2(2x+5)
e ricordando la regola del logaritmo di un radicale
log2(x+1) = log2 (2x+5)
cioe', uguagliando gli argomenti
(x+1) =
(2x+5)
E' un'equazione irrazionale: elevo al quadrato da entrambe le parti
(x+1)2 = 2x+5
sviluppo il quadrato
x2 + 2x + 1 = 2x+5
x2 + 2x + 1 - 2x - 5 = 0
x2 - 4 = 0
x2 = 4
x=
4
ottengo le soluzioni
x=2
x = -2
Per l'equazione irrazionale dovrei vedere se le soluzioni sono accettabili, pero' ho visto sempre che
corrisponde all'accettabilita' della soluzione dell'equazione logaritmica
Per l'equazione logaritmica controllo che le soluzioni siano conprese nell'intervallo di definizione x
>-1
La soluzione x = 2 e' accettabile perche' maggiore di -1
La soluzione x = -2 non e' accettabile perche' minore di -1
Risolvere la seguente equazione logaritmica
log2(x+1) = log4(2x+5)
Siccome i logaritmi hanno base diversa dovro' applicare la regola del cambiamento di base.
Conviene trasformare il secondo logaritmo da base 4 in base 2
Applico la regola
log2(2x+5)
log2(2x+5)
log4(2x+5) = ---------------- = ---------------log24
2
quindi posso scrivere
log2(x+1) = 1/2log2(2x+5)
e ricordando la regola del logaritmo di un radicale
log2(x+1) = log2 (2x+5)
cioe', uguagliando gli argomenti
(2x+5)
(x+1) =
E' un'equazione irrazionale: elevo al quadrato da entrambe le parti
(x+1)2 = 2x+5
sviluppo il quadrato
x2 + 2x + 1 = 2x+5
x2 + 2x + 1 - 2x - 5 = 0
x2 - 4 = 0
x2 = 4
x=
4
ottengo le soluzioni
x=2
x = -2
Per l'equazione irrazionale dovrei vedere se le soluzioni sono accettabili, pero' ho visto che
corrisponde all'accettabilita' della soluzione dell'equazione logaritmica
Ora devo controllare se le soluzioni sono accettabili, per farlo sotituisco i valori alla x nei logaritmi
dell'equazione di partenza e controllo che gli argomenti siano positivi
•
•
soluzione x = -2
log2(x+1) = log(-2+1) = log(-1)
Essendo l'argomento negativo la soluzione x=-2 non e' accettabile
(non serve provare l'altro logaritmo perche' basta che uno solo non sia valido e non e' valida
tutta l'equazione)
soluzione x = 2
log2(x+1) = log2(2+1) = log23
log4(2x+5) = log4[2(2)+5] = log49
Essendo gli argomenti positivi la soluzione x = 2 e' accettabile
Risolvere la seguente equazione logaritmica
log3 x4 + log3 x3 + log3 x2 + log3x = 10
Siccome il logaritmo e' definito solamente se l'argomento e' maggiore di zero dovremo risolvere
l'equazione sotto la condizione:
se vuoi vedere i calcoli
x>0
Adesso passo a risolvere l'equazione
Per la regola del logaritmo di una potenza posso scrivere
4log3 x + 3log3 x + 2log3 x + log3x = 10
cioe', sommando
10log3x = 10
semplifico per 10
log3x = 1
so che 1=log33, perche' 3 elevato ad 1 da' 3, quindi
log3x = log33
Eguaglio gli argomenti
x=3
essendo 3 maggiore di zero la soluzione e' accettabile
Risolvere la seguente equazione logaritmica
log3 x4 + log3 x3 + log3 x2 + log3x = 10
Per la regola del logaritmo di una potenza posso scrivere
4log3 x + 3log3 x + 2log3 x + log3x = 10
cioe', sommando
10log3x = 10
semplifico per 10
log3x = 1
so che 1=log33, perche' 3 elevato ad 1 da' 3, quindi
log3x = log33
Eguaglio gli argomenti
x=3
Ora vado a sostituire 3 alla x e controllo che gli argomenti dei vari logaritmi siano maggiori di zero.
•
•
•
•
log3 x4 = log3 34 = log3 81
log3 x3 = log3 33 = log3 27
log3 x2 = log3 32 = log3 9
log3 x = log3 3
la soluzione x = 3 e' accettabile
81 >0
27 >0
9 >0
3 >0