articolo

www.carlosantagata.it
Un metodo di calcolo per le strutture
monodimensionali piane
Abstract.
Si propone un metodo di calcolo per la determinazione della configurazione di equilibrio delle
strutture monodimensionali piane. Detto metodo consente la scrittura automatica del sistema
lineare connesso ad una qualsiasi struttura piana ed affina l’intuito fisico dell’ingegnere
strutturista. Lo stesso algoritmo sarà utile per l’applicazione di un Principio per la ricerca
dell’equilibrio di una qualsiasi struttura deformabile anche tridimensionale, Principio che sarà
oggetto di nota successiva.
ottobre 1982
www.carlosantagata.it
Riepilogo di risultati noti
Sia data un’asta confluente nei nodi A e B (Fig. 1). Ci chiediamo quale è l’azione che
occorre esercitare in A affinché la detta estremità, pur restando nel detto punto, ruoti soltanto
di un angolo Φ A . In effetti, com’è facile intuire, se applichiamo in A soltanto un momento
M A , la sezione della trave, oltre a ruotare dell’angolo desiderato, si sposta anche verso l’alto.
E’ allora chiaro che per provocare soltanto la rotazione desiderata occorre applicare al detto
estremo anche una forza TA , rivolta verso il basso, e tale da provocare una freccia di segno
opposto allo spostamento dell’estremo A che si avrebbe qualora ad esso fosse applicato
solo il momento M A .
Con facili calcoli si trova [1,2] che l’azione che occorre esplicare in detto estremo per ottenere
il risultato voluto è costituita
TA
MA
ΦA
A
B
Fig. 1
da una coppia
MA =
4 EI
ΦA
l
(1.1)
TA =
6 EI
ΦA
l2
(1.2)
e da una forza verticale pari a
dove E è il modulo di elasticità ed I il momento d'inerzia della trave.
Analogamente, affinché si generi una deformata rappresentata in Fig. 2
2
www.carlosantagata.it
TB
MA
A
MB
δ
TA
B
Fig. 2
l'azione che si deve esplicare sul nodo A sarà costituita da una coppia [1]
6 EI
δ
l2
(1.3)
12 EI
δ
l3
(1.4)
MA =
e da una forza
TA =
.
Ancora, se si genera una deformata del tipo (Fig. 3)
δ
N
A
A
A'
B
Fig. 3
l'azione che occorre esplicare sul nodo A è data dalla relazione [1]
N =
EA
δ.
l
3
(1.5)
www.carlosantagata.it
Se il nodo B , senza spostarsi, ruota di un angolo Φ B (fig. 4)
TA
ΦB
MA
A
B
Fig. 4
l'azione che occorre esplicare sempre sul nodo A è data dalla coppia [1]
2 EI
ΦB
l
(1.6)
6 EI
ΦB .
l2
(1.7)
MA =
e dalla forza verticale
TA =
4
www.carlosantagata.it
Generalizzazione
E' utile, per quanto segue, riferire le precedenti relazioni ad un generico sistema di
riferimento. Presupponendo note le coordinate dei nodi della struttura, dalla fig. 5 si ricavano
immediatamente
Y
B (xB;yB)
α
A (xA;yA)
X
Fig. 5
le seguenti relazioni
l=
( xB − x A )
2
+ ( yB − y A ) 2 ; sin α =
yB − y A
x − xA
; cos α = B
.
l
l
(1.8)
Si immagini adesso che il nodo A ruoti e trasli delle quantità Φ A ,U A e VA , senza alcun
movimento del nodo B , il tutto come si evince dalla Fig. 6.
Y
B
ΦA
VA
A
UA
X
Fig. 6
5
www.carlosantagata.it
Ci si chiede l'azione complessiva che occorre esplicare sul nodo A . Questa azione è
costituita da una coppia M A e da due forze X A e YA parallele agli assi di riferimento,
quantità che, per la tacita linearità delle deformazioni, possono determinarsi applicando le
precedenti relazioni ed il principio di sovrapposizione degli effetti.
Le azioni del nodo A sull'asta, relative alla sola rotazione Φ A , sono date (v. Fig. 7), per la
(1.1) e (1.2),
Y
B
ΦA
TA
TA
α
ΦA
α
(XA)Φ
(YA)Φ
A
α
A
A
MA
A
X
Fig. 7
4 EI
ΦA
l
(1.9)
( X A )Φ A =
6 EI
Φ A sin α
l2
(1.10)
(YA )Φ A = −
6 EI
Φ A cos α
l2
(1.11)
( M A )Φ
=
A
Nella stessa fig. 7 viene anche decomposta la forza TA secondo gli assi di riferimento.
Le azioni del nodo A sull'asta, relative alla sola traslazione U A (v. Fig. 8), sono date, per la
(1.3), (1.4) e (1.5),
6
www.carlosantagata.it
Y
(X'A )U
α
A
B
A
(Y'A )U
NA
A
TA
TA
α
MA
(XA)U
NA
(YA)U
α
A
α
A
A
A
UA
X
Fig. 8
( M A )U
=
A
6 EI
U A sin α
l2
(1.12)
⎛ 12 EI
⎞
⎛ EA
⎞
( X A )U A = ⎜ 3 U A sin α ⎟ sin α + ⎜
U A cos α ⎟ cos α
⎝ l
⎠
⎝ l
⎠
(1.13)
⎛ 12 EI
⎞
⎛ EA
⎞
(YA )U A = − ⎜ 3 U A sin α ⎟ cos α + ⎜
U A cos α ⎟ sin α
⎝ l
⎠
⎝ l
⎠
(1.14)
Analogamente, le azioni del nodo A sull'asta, relative alla sola traslazione VA (Fig. 9),
Y
(X'A )V
α
A
A
B
(Y'A )V
NA
A
TA
TA
VA
α
(XA)V
NA
MA
α
(YA)V
A
α
A
A
A
X
Fig. 9
7
www.carlosantagata.it
sono date
( M A )V
=−
A
6 EI
VA cos α
l2
(1.15)
⎛ 12 EI
⎞
⎛ EA
⎞
( X A )VA = − ⎜ 3 VA cos α ⎟ sin α + ⎜
VA sin α ⎟ cos α
⎝ l
⎠
⎝ l
⎠
(1.16)
⎛ 12 EI
⎞
⎛ EA
⎞
(YA )VA = ⎜ 3 VA cos α ⎟ cos α + ⎜
VA sin α ⎟ sin α .
⎝ l
⎠
⎝ l
⎠
(1.17)
Per la sola rotazione Φ B del nodo B (Fig. 10)
B
Y
α
ΦB
TA
ΦB
(YA)Φ
TA
B
α
MA
A
(XA)Φ
B
α
A
X
Fig. 10
si ottiene
2 EI
ΦB
l
(1.18)
( X A )Φ B =
6 EI
Φ B sin α
l2
(1.19)
(YA )Φ B = −
6 EI
Φ B cos α
l2
(1.20)
( M A )Φ
=
B
Per il solo spostamento U B del nodo B si ha (Fig. 11)
8
www.carlosantagata.it
Y
(X'A )U
A
α
α
B
B
(Y'A )U
B
NA
A
(YA)U
TA
B
α
NA
M A TA
(XA)U
α
A
B
UB
X
Fig. 11
( M A )U
=−
B
6 EI
U B sin α
l2
(1.21)
⎛ 12 EI
⎞
⎛ EA
⎞
( X A )U B = − ⎜ 3 U B sin α ⎟ sin α − ⎜
U B cos α ⎟ cos α
⎝ l
⎠
⎝ l
⎠
(1.22)
⎛ 12 EI
⎞
⎛ EA
⎞
(YA )U B = ⎜ 3 U B sin α ⎟ cos α − ⎜
U B cos α ⎟ sin α
l
l
⎝
⎠
⎝
⎠
(1.23)
Uno spostamento VB (Fig. 12)
9
www.carlosantagata.it
Y
VB
TA
(YA)V
α
α
(XA)V
B
B
α
A
B
TA
(X'A )V
MA
α
A
B
A
NA
(Y'A )V
B
NA
X
Fig. 12
da origine alle azioni
( M A )V
B
=
6 EI
VB cos α
l2
(1.24)
⎛ 12 EI
⎞
⎛ EA
⎞
( X A )VB = ⎜ 3 VB cos α ⎟ sin α − ⎜
VB sin α ⎟ cos α
⎝ l
⎠
⎝ l
⎠
(1.25)
⎛ 12 EI
⎞
⎛ EA
⎞
(YA )VB = − ⎜ 3 VB cos α ⎟ cos α − ⎜
VB sin α ⎟ sin α
⎝ l
⎠
⎝ l
⎠
(1.26)
10
www.carlosantagata.it
Azioni dovute ai carichi
Siano dati i carichi qv e q o per metro lineare di trave1, assunti positivi quelli in figura, agenti
sulla generica asta della struttura
qv
Y
B
qo
A
α
X
Fig. 13
L'azione del nodo A sull'asta, per reazione, è costituita da una coppia2 e dalle forze seguenti
( M A )v , o = −
1
(qv cos α + qo sin α ) l 2
12
(1.27)
qo l
2
(1.28)
( X A )o
=−
(YA )v
1
=
qv l
2
(1.29)
Moltiplicando qv e qo per la lunghezza effettiva della trave si ottengono rispettivamente le due forze verticali
ed orizzontali che agiscono su di essa.
2 La forza, per metro lineare, ortogonale all’asse della trave è pari rispettivamente
qv cos α
e qo sin α .
11
www.carlosantagata.it
Reazioni vincolari
Data una qualsiasi asta i cui nodi A e B si spostano delle quantità note Φ A ,U A ,VA,Φ B ,U B ,VB
attraverso le relazioni precedenti è possibile calcolare le azioni esplicate dai vincoli applicati
in A e B . Attraverso il principio di sovrapposizione degli effetti si ottengono le seguenti
relazioni:
M A = −M e −
1
⎛ 4 EI ⎞
(qv cos α + qo sin α )l 2 + ⎜
⎟ΦA +
12
⎝ l ⎠
⎛ 2 EI ⎞
⎛ 6 EI
⎞
⎛ 6 EI
⎞
⎜
⎟ Φ B + ⎜ 2 sin α ⎟U A − ⎜ 2 cos α ⎟VA −
⎝ l ⎠
⎝ l
⎠
⎝ l
⎠
⎛ 6 EI
⎞
⎛ 6 EI
⎞
⎜ 2 sin α ⎟U B + ⎜ 2 cos α ⎟VB
⎝ l
⎠
⎝ l
⎠
X A = − Fo −
(1.30)
qo l ⎛ 6 EI
⎞
⎛ 6 EI
⎞
+ ⎜ 2 sin α ⎟ Φ A + ⎜ 2 sin α ⎟ Φ B
2 ⎝ l
⎠
⎝ l
⎠
⎛ ⎛ EA 12 EI ⎞
⎞
EA
⎛ 12 EI
⎞
+ ⎜ 3 sin 2 α +
− 3 ⎟ sin α cos α ⎟ VA
cos 2 α ⎟ U A + ⎜ ⎜
l
l ⎠
⎝ l
⎠
⎝⎝ l
⎠
⎛ ⎛ 12 EI EA ⎞
⎞
EA
⎛ 12 EI
⎞
− ⎜ 3 sin 2 α +
cos 2 α ⎟ U B + ⎜ ⎜ 3 −
⎟ sin α cos α ⎟ VB
l
l ⎠
⎝ l
⎠
⎝⎝ l
⎠
qv l ⎛ 6 EI
⎞
⎛ 6 EI
⎞
− ⎜ 2 cos α ⎟ Φ A − ⎜ 2 cos α ⎟ Φ B
2 ⎝ l
l
⎠
⎝
⎠
EA 2 ⎞
⎛ ⎛ EA 12 EI ⎞
⎞
⎛ 12 EI
+⎜⎜
− 3 ⎟ sin α cos α ⎟ U A + ⎜ 3 cos 2 α +
sin α ⎟ VA
l
l ⎠
⎝ l
⎠
⎝⎝ l
⎠
(1.31)
YA = − Fv −
(1.32)
EA 2 ⎞
⎛ ⎛ 12 EI EA ⎞
⎞
⎛ 12 EI
2
sin α ⎟ VB
+⎜⎜ 3 −
⎟ sin α cos α ⎟ U B − ⎜ 3 cos α +
l ⎠
l
⎝ l
⎠
⎝⎝ l
⎠
Le forze esterne puntuali applicate direttamente al nodo M e , Fo e Fv sono assunte positive
quando sono conformi a quelle che si ricavano dalla seguente Fig. 14.
12
www.carlosantagata.it
Y
Fv
M
i
Fo
l
X
Fig. 14
13
www.carlosantagata.it
Strutture monodimensionali piane
Se nel generico nodo i della struttura piana concorrono l , m, n... aste ed il nodo i ruota e si
sposta delle quantità Φ i ,U i e Vi , mentre le altre estremità delle stesse aste ruotano e si
spostano di altre quantità Φ j ,U j e V j
Y
i
l
X
Fig. 15
l'azione esterna complessiva che occorre esplicare sul nodo i è evidentemente data dalla
coppia
M i = − M ie −
j =n ⎛
4E j I j
1 j =n
2
(
q
cos
q
sin
)
l
α
α
+
+
Φ
∑
vj
j
oj
j j
i ∑⎜
⎜ l
12 j =l
j =l ⎝
j
⎛ 2E j I j
⎜⎜
∑
lj
j =l ⎝
j =n
⎞
⎟⎟ +
⎠
j =n ⎛
j =n ⎛
⎞
⎞
⎞
6E j I j
6E j I j
⎟⎟ Φ j + U i ∑ ⎜⎜ 2 sin α j ⎟⎟ − Vi ∑ ⎜⎜ 2 cos α j ⎟⎟
lj
lj
j =l ⎝
j =l ⎝
⎠
⎠
⎠
j =n ⎛
j =n ⎛
⎞
⎞
6E I
6E I
−∑ ⎜ 2j j sin α j ⎟U j + ∑ ⎜ 2j j cos α j ⎟V j
⎜ l
⎟
⎜ l
⎟
j =l ⎝
j =l ⎝
j
j
⎠
⎠
e dalle forze
14
(1.33)
www.carlosantagata.it
j =n
X i = − Fio − ∑
qoj l j
j =l
2
+
j =n ⎛
⎞ j =n ⎛ 6 E j I j
⎞
6E j I j
Φ i ∑ ⎜ 2 sin α j ⎟ + ∑ ⎜ 2 sin α j ⎟ Φ j +
⎜ l
⎟ j =l ⎜ l
⎟
j =l ⎝
j
⎠
⎝ j
⎠
j = n ⎛ 12 E I
⎞
E j Aj
j j
Ui ∑ ⎜
sin 2 α j +
cos 2 α j ⎟ +
3
⎜ l
⎟
lj
j =l ⎝
j
⎠
⎛ ⎛ E j Aj 12 E j I j
−
Vi ∑ ⎜ ⎜
⎜⎜ lj
l 3j
j =l ⎝ ⎝
j =n
⎞
⎞
⎟⎟ sin α j cos α j ⎟ −
⎟
⎠
⎠
(1.34)
⎛ 12 E j I j
⎞
E j Aj
2
2
+
n
α
cos
α
si
⎜
j
j ⎟U j +
∑
⎜ l3
⎟
lj
j =l ⎝
j
⎠
j =n
j =n
⎛ ⎛ 12 E j I j
∑ ⎜⎜ ⎜⎜
j =1
l
⎝⎝
j =n
Yi = Fiv − ∑
j =l
3
j
qv j l j
2
−
⎞
E j Aj ⎞
⎟⎟ sin α j cos α j ⎟ V j
⎟
lj ⎠
⎠
−
j =n ⎛ 6 E I
⎞ j =n ⎛ 6 E j I j
⎞
j j
Φ i ∑ ⎜ 2 cos α j ⎟ − ∑ ⎜ 2 cos α j ⎟ Φ j +
⎜ l
⎟ j =l ⎜ l
⎟
j =l ⎝
j
⎠
⎝ j
⎠
j =n ⎛ ⎛ E A
12 E j I j
j j
+U i ∑ ⎜ ⎜
−
⎜⎜ lj
l 3j
j =l ⎝ ⎝
⎞
⎞
⎟⎟ sin α j cos α j ⎟ +
⎟
⎠
⎠
⎛ 12 E j I j
⎞
E j Aj
cos 2 α j +
sin 2 α j ⎟ +
Vi ∑ ⎜
3
⎜ lj
⎟
lj
j =l ⎝
⎠
j =n ⎛ ⎛
⎞
12 E j I j E j A j ⎞
+∑ ⎜ ⎜
−
sin
α
cos
α
⎟U j −
⎟
j
j
⎜ ⎜ l 3j
⎟
l j ⎟⎠
j =l ⎝ ⎝
⎠
j =n
j =n
⎛ 12 E j I j
∑ ⎜⎜
j =l
⎝
l
3
j
cos 2 α j +
E j Aj
lj
(1.35)
⎞
sin 2 α j ⎟ V j
⎟
⎠
Occorre esplicitamente osservare che le precedenti relazioni impongono automaticamente la
congruenza degli spostamenti delle aste che confluiscono nel generico nodo i . Come può, ad
esempio, evincersi dalla (1.33) tutte le aste che confluiscono nel generico nodo i hanno la
stessa rotazione Φ i , infatti detta grandezza è esterna al simbolo di ∑ , così come pure gli
spostamenti U i e Vi .
15
www.carlosantagata.it
L'equilibrio
Supponiamo che un determinato telaio piano, sotto l'azione di un sistema di forze, abbia
raggiunto la posizione di equilibrio. E' evidente che in tal caso, le azioni esterne che un
determinato operatore dovrebbe esplicare sui suoi nodi per tenerli fermi nelle raggiunte
posizioni di equilibrio debbono essere nulle3. Pertanto si hanno, per il generico nodo i , le tre
equazioni
j =n ⎛
4E I
Φi ∑ ⎜ j j
⎜ l
j =l ⎝
j
⎞ j =n ⎛ 2 E j I j ⎞
⎟⎟ + ∑ ⎜⎜
⎟⎟ Φ j +
l
j
=
l
j
⎠
⎝
⎠
⎛ 6E I
⎞
+U i ∑ ⎜ 2j j sin α j ⎟ −
⎜ l
⎟
j =l ⎝
j
⎠
j =n
j =n ⎛
⎞
6E I
+Vi ∑ ⎜ 2j j cos α j ⎟ +
⎜ lj
⎟
j =l ⎝
⎠
j =n ⎛
⎞
6E I
−∑ ⎜ 2j j sin α j ⎟U j +
⎜ l
⎟
j =l ⎝
j
⎠
(1.36)
j =n ⎛
⎞
6E I
+ ∑ ⎜ 2j j cos α j ⎟V j =
⎜ l
⎟
j =l ⎝
j
⎠
j =n
1
= M ie + ∑(qvj cos α j + qoj sin α j )l 2j
12 j =l
3
Come questo Principio di equilibrio possa essere generalizzato e possa costituire un importante algoritmo per
la determinazione dell’equilibrio di una qualsiasi struttura deformabile sarà oggetto di una successiva nota.
16
www.carlosantagata.it
j =n ⎛
⎞ j =n ⎛ 6 E j I j
⎞
6E j I j
Φ i ∑ ⎜ 2 sin α j ⎟ + ∑ ⎜ 2 sin α j ⎟ Φ j +
⎜ l
⎟ j =l ⎜ l
⎟
j =l ⎝
j
⎠
⎝ j
⎠
j =n ⎛
⎞
12 E j I j
E j Aj
2
2
sin
cos
α
α
+U i ∑ ⎜
+
⎟⎟ +
j
j
⎜ l3
lj
j =l ⎝
j
⎠
j =n ⎛ ⎛
E j Aj 12 E j I j
+Vi ∑ ⎜ ⎜
−
⎜⎜ lj
l 3j
j =l ⎝ ⎝
⎞
⎞
⎟⎟ sin α j cos α j ⎟ +
⎟
⎠
⎠
⎞
⎛ 12 E j I j
E j Aj
2
2
sin
cos
α
α
U +
−∑ ⎜
+
⎟
j
j
⎜ l3
⎟ j
lj
j =l ⎝
j
⎠
j =n ⎛ ⎛
⎞
12 E j I j E j A j ⎞
sin
cos
+∑ ⎜ ⎜
−
α
α
⎟
j
j ⎟V j
⎜ ⎜ l 3j
⎟
l j ⎟⎠
j =l ⎝ ⎝
⎠
j =n
qoj l
= Foi + ∑
j =1 2
(1.37)
j =n
j =n ⎛ 6 E I
⎞ j =n ⎛ 6E j I j
⎞
j j
Φ i ∑ ⎜ 2 cos α j ⎟ − ∑ ⎜ 2 cos α j ⎟ Φ j +
⎜ lj
⎟ j =1 ⎜ l j
⎟
j =1 ⎝
⎠
⎝
⎠
j =n ⎛ ⎛ E A
⎞
12 E j I j ⎞
j j
sin
cos
α
α
+U i ∑ ⎜ ⎜
−
⎟
j
j ⎟+
⎜⎜ lj
⎟
l 3j ⎟⎠
j =1 ⎝ ⎝
⎠
⎛ 12 E j I j
⎞
E j Aj
2
2
cos
sin
α
α
+Vi ∑ ⎜
+
⎟⎟ +
j
j
⎜ l3
lj
j =1 ⎝
j
⎠
j =n ⎛ ⎛
⎞
12 E j I j E j Aj ⎞
sin
c
α
os
α
+∑ ⎜ ⎜
−
⎟
j
j ⎟U j −
⎜ ⎜ l 3j
⎟
l j ⎟⎠
j =1 ⎝ ⎝
⎠
j =n ⎛
⎞
12 E j I j
E j Aj
2
2
cos
α
sin
α
+∑ ⎜
+
⎟⎟ V j
j
j
⎜ l3
lj
j =1 ⎝
j
⎠
j =n q l
v j
= − Fv + ∑ j
2
j =1
j =n
(1.38)
che vanno applicate ad ogni nodo della struttura per ottenere il sistema lineare che permette
di determinare l'insieme degli spostamenti nodali.
Risolto detto sistema le equazioni (1.33), (1.34) e (1.35) consentono di determinare le
sollecitazioni che nascono agli estremi di ogni trave.
17
www.carlosantagata.it
Un esempio di calcolo
Sia dato il telaio della figura che segue.
Nodo
1
2
3
4
5
6
x[cm]
0.00
450.00
1000.00
0.00
450.00
1000.00
y[cm]
400.00
400.00
400.00
0.00
0.00
0.00
Applichiamo le equazioni tre equazioni (1.36), (1.37) e (1.38) ai nodi della struttura. In tal
caso, assunto E = 250.000 Kg / cm 2 per tutte le aste, avremo quanto segue.
Le tabelle che seguono (1.39), (1.40) e (1.41), che per una questione tipografica sono
separate, vanno affiancate una di seguito all’altra. Con ciò si può notare che la matrice è
simmetrica rispetto alla diagonale principale.
18
www.carlosantagata.it
Tabella (1.39)
Φ1
U1
V1
1.981250 × 109
−2.929688 × 106
−4.000000 × 106
−2.929688 × 106
1.014648 × 106
0
−4.000000 × 106
6.000000 × 108
0
0
0
−1.000000 × 106
9.552778 × 105
−4.000000 × 106
0
4.000000 × 106
0
0
0
0
0
−1.777778 × 104
0
0
0
0
0
Φ2
6.000000 × 108
0
U2
0
−1.000000 × 106
V2
4.000000 × 106
0
−4.000000 × 106
0
−1.777778 × 104
2.963068 × 109
−2.929688 × 106
1.322314 × 106
−2.929688 × 106
1.832830 × 106
0
1.322314 × 106
4.909091 × 108
0
0
0
−8.181818 × 105
9.650148 × 105
−2.677686 × 106
0
2.677686 × 106
0
−9.737040 × 103
(1.39)
Tabella (1.40)
19
(1.40)
www.carlosantagata.it
Tabella (1.41)
Φ3
0
0
U3
0
0
V3
0
0
T .N .
−421875
0
0
4.90909 × 108
0
0
0
−8.181818 × 105
0
2.677686 × 106
0
5625
−334375
0
−2.677686 × 106
0
−9.737040 × 103
13875
1.763068 × 109
−2.929688 × 106
2.677686 × 106
756250
−2.929688 × 106
8.328303 × 105
0
0
2.677686 × 106
0
9.472370 × 105
8250
(1.41)
La soluzione del precedente sistema ha la seguente soluzione
Φ1
U1
rad +1.732656 × 10−4
cm. −1.078554 × 10−2
V1
Φ2
U2
cm. −4.812004 × 10−3
rad +1.588650 × 10−4
cm. −1.145114 × 10−2
V2
Φ3
U3
cm. −1.689318 × 10−2
rad −5.085067 × 10−4
cm. −1.303853 × 10−2
V3
cm.
(1.42)
−7.894813 × 10−3
Conosciuti gli spostamenti di ogni nodo, le formule (1.33), (1.34) e (1.35) permettono di
determinare le sollecitazioni alle estremità di ogni asta.
In tal caso si ha
20
www.carlosantagata.it
Nodo asta M [ Kgm] T [ Kg ]
N [ Kg ]
1
1
1
3
−1.670
+1.670
+4.511
−666
+666
+4.511
2
2
2
1
2
4
+6.681
−8.258
+1.577
−6.739
+666
+9.099 +1.299
−633 +15.837
3
3
2
5
+3.591
−3.591
−7.401
+1.299
4
5
6
3
4
5
+993
+956
−1.664
−666
+4.511
−633 +15.837
+1.299 +7.401
(1.43)
+1.299
+7.401
Riepilogando si può dire che le tre equazioni (1.36), (1.37) e (1.38), applicate ai nodi di una
qualsiasi struttura monodimensionale piana, consentono di scrivere il sistema avente per
incognite gli spostamenti dei nodi stessi. Da questi ultimi si risale alle sollecitazioni esistenti
agli estremi delle aste.
21
www.carlosantagata.it
Considerazioni
Le tre equazioni trovate in precedenza, che consentono di scrivere in modo automatico il
sistema lineare associato alla generica struttura sottoposta a studio, possono evidentemente
ottenersi anche sviluppando i prodotti matriciali degli elementi che compongono la detta
struttura [3].
Ma è evidente che le dette equazioni, che possono essere perfezionate ad esempio con
l’introduzione della trave su suolo elastico, consentono un notevole risparmio di memoria e di
tempi di esecuzione del calcolo di una struttura, ma non risolvono, al pari del cosiddetto
metodo delle matrici, la tematica connessa alle strutture di grandi dimensioni ed alla
problematica legata alla soluzione del relativo sistema di equazioni.
Nello nota che seguirà [4] si affronterà quest’ultima problematica.
E’ possibile scaricare il perfettibile file Tel5000 che gira sotto DOS (Gwbasic) e risolve le
strutture monodimensionali piane con l’uso della presente impostazione.
22
www.carlosantagata.it
Bibliografia
o
[1] Odone Belluzzi Scienza delle Costruzioni Zanichelli Editore Vol. I (1967)
o
[2] Vincenzo Franciosi Scienza delle Costruzioni Liguori Editore Vol. III tomo II (1970)
[3] Michele Capurso Introduzione al Calcolo Automatico delle Strutture A. Cremonese
Editore (1981)
[4] Carlo Santagata Sull’equilibrio di un qualsiasi sistema deformabile
www.carlosantagata.it (2005)
23