Dinamica dei Sistemi 1

Dinamica dei Sistemi
•
•
La realtà è vista come un sistema, cioè come un insieme di
elementi/parti fra di loro interconnesse.
I sistemi che consideremo sono caratterizzati dal fatto che
evolvono nel tempo, come effetto di stimoli esterni e della
interdipendenza delle loro parti: sono sistemi dinamici.
• Nella Dinamica dei Sistemi i modelli non sono
intesi usualmente come modelli predittivi, o
almeno non è questo il loro principale scopo.
Non hanno come obiettivo la previsione
accurata di ciò che avverrà nel futuro in un
dato sistema, come accade ad esempio per i
modelli per le previsioni atmosferiche.
• Si propongono invece di essere di aiuto nel
prendere decisioni, cioè sono strumenti che
servono per individuare linee di azione per
risolvere problemi.
Il sistema e i suoi confini
Confini del Sistema
Sistema
Realtà esterna
Andamenti
14
Crescita
12
10
8
6
4
2
0
0
10
20
30
40
50
60
1
0.9
Decrescita
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
10
20
30
40
50
60
140
120
Oscillazioni
100
80
60
40
20
0
1
5
9
13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57
Passi della modellazione
•
•
•
•
Individuazione delle variabili chiave ed analisi del loro
andamento (si tratta delle variabili, spesso una sola, da cui è
partita la presa di coscienza dell’esistenza di un problema)
Individuazione degli elementi più rilevanti del sistema in
esame e delle variabili che li rappresentano, o comunque ad
essi associate.
Individuazione delle relazioni fra le diverse variabili, con
particolare riferimento a relazioni causali.
Individuazione delle principali catene, o anelli, causali.
Dinamica dei Sistemi
• Livelli o variabili di stato
• Flussi
• Variabili ausiliarie
Un semplice esempio:
la dinamica di una popolazione
•
•
•
livello: popolazione (numerosità)
flussi: numero di nascite e di morti nell’unità di tempo (ad
esempio all’anno)
variabili ausiliarie: (tasso di nascita e tasso di mortalità)
Livelli e Flussi
Livello(t + ∆t) = Livello(t)+
(F lussoInput(t) − F lussoOutput(t))∆t
Livelli e flussi
Nascite
Popolazione
Morti
Popolazione:
Natalità:
Mortalità:
Nascite:
Morti:
P(t)
N
M
NxP(t)
MxP(t)
dP (t)
= N × P (t) − M × P (t) = (N − M ) × P (t)
dt
dP (t)
− (N − M ) × P (t) = 0
dt
−(N −M )t
e
dP (t)
×
− (N − M ) × e−(N −M )t × P (t) = 0
dt
d
(P (t) × e−(N −M )t ) = 0
dt
!
o
t
d
(P (s) × e−(N −M )s )ds = 0
ds
!
t
o
d
(P (s) × e−(N −M )s )ds = 0
ds
P (t) × e−(N −M )t − P (0) = 0
P (t) = P (0) × e(N −M )t
14
N >M
1
N <M
12
10
0.9
0.8
0.7
0.6
8
0.5
6
0.4
0.3
4
0.2
2
0.1
0
0
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
Crescita esponenziale
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Crescita lineare
Crescita esponenziale
(+.02)
tasso del 0.02
1.0000
1.0000
1.0200
1.0200
1.0400
1.0404
1.0600
1.0612
1.0800
1.0824
1.1000
1.1041
1.1200
1.1262
1.1400
1.1487
1.1600
1.1717
1.1800
1.1951
1.2000
1.2190
Crescita esponenziale
Crescita esponenziale
Crescita lineare
• Con un tasso di crescita del 2% annuo, si ha un raddoppio
ogni 35 anni
Discretizzazione:
dP (t)
− (N − M ) × P (t) = 0
dt
P (t + ∆t) − P (t)
= (N − M )P (t)
∆t
P (t + ∆t) = P (t) + P (t)(N − M )∆t
Crescita della popolazione
=B4+B4*($C$4-$D$4)/1000
5,000
4,500
4,000
3,500
3,000
2,500
2,000
1,500
1,000
500
0
0
20
40
60
80
100
120
P (t + 1) = P (t) + P (t)(N − M ) = P (t)(1 + N − M )
(∆t = 1)
P (t + 0.5) = P (t) + P (t)(N − M )0.5 = P (t)(1 + 0.5(N − M ))
P (t + 1) = P (t + 0.5)(1 + 0.5(N − M )) = P (t)(1 + 0.5(N − M )) 2
P (t + 1)
P (t + 1)
P (t + 0.5)
P (t)
0
0.5
1
∆t = 1
∆t = 0.5
Crescita limitata
Consideriamo la crescita di una popolazione, assumendo che ci siano limiti
alle risorse utilizzabili.
Dinamiche di crescita (1)
x0
popolazione al tempo 0
λ0
massimo tasso di crescita (nel caso di risorse illimitate)
λ(x) tasso di crescita in funzione della popolazione
m
massima popolazione sostenibile, date le risorse
Dinamiche di crescita (2)
m−x
λ(x) = λ0
m
λ(x)
λ0
m
x
Dinamiche di crescita (3)
dx
m−x
= xλ(x) = xλ0
dt
m
x0 eλ0 t
x(t) =
1 + xm0 (eλ0 t − 1)
Logistica
Dinamiche di crescita (4)
x(t + ∆t) = x(t) + [λ(t)x(t) − µx(t)] ∆t
Tasso di mortalità
Popolazione
Crescita
Decrescita
Lambda0
Tasso di mortalità
Lambda
Disponibilità Risorse
Risorse totali
Dinamiche di crescita (5)
+
+
+
+
Popolazione
Crescita
Crescita
+
+
-
Popolazione
+
-
+
Lambda
Lambda
+
<Decrescita>
<Decrescita>
Disponibilità Risorse
+
-
Disponibilità Risorse
<Lambda0>
<Lambda0>
<Risorse totali>
<Risorse totali>
Dinamiche di crescita (6)
Condizioni di equilibrio
x(t + ∆t) = x(t) + [λ(t)x(t) − µx(t)] ∆t
m−x
λ0
=µ
m
λ0 m − λ0 x = µm
x
λ0
= λ0 − µ
m
x∗ = m
λ0 − µ
λ0
Valore di equilibrio della
popolazione
Dinamiche di crescita (7)
x(t + ∆t) = x(t) + [λ(t)x(t) − µx(t)] ∆t
µ = 0.2
0.5 − 0.2
x = 1000
= 600
0.5
∗
λ0 = 0.5
Crescita popolazioni
1,500
1,200
900
600
300
0
0
5
Lambda0 = 0.5
10
15
20
25
30
Time (Month)
35
40
45
50
popolazione
Dinamiche di crescita (8)
x(t + ∆t) = x(t) + [λ(t)x(t) − µx(t)] ∆t
µ = 0.2
x∗ = 1000
λ0 = 1
1 − 0.2
= 800
1
Crescita popolazioni
1,500
1,200
900
600
300
0
0
5
Lambda0 = 1
10
15
20
25
30
Time (Month)
35
40
45
50
popolazione
Dinamiche di crescita (9)
x(t + ∆t) = x(t) + [λ(t)x(t) − µx(t)] ∆t
µ = 0.2
x∗ = 1000
λ0 = 2
Crescita popolazioni
1,500
1,200
900
600
300
0
0
5
Lambda0 = 2
10
15
20
25
30
Time (Month)
35
40
45
50
popolazione
2 − 0.2
= 900
2
Dinamiche di crescita (10)
x(t + ∆t) = x(t) + [λ(t)x(t) − µx(t)] ∆t
µ = 0.2
3 − 0.2
x = 1000
= 933.33
3
∗
λ0 = 3
Crescita popolazioni
1,500
1,200
900
600
300
0
0
5
Lambda0 = 3
10
15
20
25
30
Time (Month)
35
40
45
50
popolazione
Dinamiche di crescita (11)
x(t + ∆t) = x(t) + [λ(t)x(t) − µx(t)] ∆t
Crescita popolazioni
1,500
1,125
750
375
0
0
5
Lambda0 = 0.5
Lambda0 = 1
Lambda0 = 2
Lambda0 = 3
10
15
20
25
30
Time (Month)
35
40
45
50
popolazione
popolazione
popolazione
popolazione
Dinamiche di crescita (12)
Per i valori 2 e 3, abbiamo usato un valore di ∆t pari a 0.25. Se
avessimo usato il valore 1 avremmo avuto andamenti caotici
del tipo di quello riportato sotto:
Crescita popolazioni
µ = 0.2
λ0 = 3
∆t = 1
1,500
1,200
900
600
300
0
0
5
Lambda0 = 3
10
15
20
25
30
Time (Month)
35
40
45
50
popolazione
Diffusione di tecnologie
•
•
•
Consideriamo il processo attraverso cui una nuova
tecnologia si diffonde.
Abbiamo una popolazione di partenza, potenzialmente
disponibile ad adottare la tecnologia, ed alcuni individui (gli
innovatori) che la hanno già adottata.
Possiamo assumere che l’adozione avvenga con un processo
di ‘contagio’. Quando un adottatore potenziale incontra un
individuo che ha già adottato, allora viene a conoscenza
della tecnologia e dei suoi vantaggi, e con una certa
probabilità decide anche lui di adottarla.
Il modello
Potenziali
adottanti
Adottanti
Nuovi
adottanti
+
+
+
Tasso Incontri c
Populazione
totale N
-
+
Probabilità
di adozione
i
Numero
iniziale di
adottanti
Andamento delle adozioni della nuova
tecnologia
1,000
750
500
250
0
0
12
24
Adottanti : Current
36
48
60
72
Time (Day)
84
96
108
120
People
Un’altro modello di crescita di una popolazione
Popolazione totale
Tasso di
invecchiamento
Tasso di crescita
Giovani
Nascite
Fertilità
Adulti
Crescita
Vecchi
Invecchiamento
Donne adulte
Morti
Mortalità
Frazione Femmine
Ipotesi
•
•
•
•
•
Giovani: da 0 a 16 anni
Adulti: da 17 a 42
Vecchi: da 42 in poi, con una età media della popolazione di
72 anni
Le morti avvengono solo fra la popolazione vecchia
Il numero di nati è determinato dal numero di donne adulte e
dal tasso di fertilità
Il numero di giovani che ogni anno diventano adulti è pari ad 1/16
dei giovani presenti.
Si tratta di una semplificazione accettabile se la popolazione non
varia velocemente.
Crescita(t) = Giovani(t) x Tasso_di_crescita
Tasso_di_crescita = 1/16
Invecchiamento(t) = Adulti(t) x Tasso_di_invecchiamento
Tasso_di_invecchiamento = 1/25
Morti(t) = Vecchi(t) x Mortalità
Mortalità = 1/30
2 figli per donna adulta
200
170
140
110
80
0
Giovani
Adulti
Vecchi
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
Time (Month)
60
65
70
75
80
85
90
95
100
3 figli per donna adulta
600
450
300
150
0
0
Giovani
Adulti
Vecchi
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
Time (Month)
60
65
70
75
80
85
90
95
100
4 Figli per donna adulta
2,000
1,500
1,000
500
0
0
Giovani
Adulti
Vecchi
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
Time (Month)
60
65
70
75
80
85
90
95
100
5 Figli per donna adulta
4,000
3,000
2,000
1,000
0
0
Giovani
Adulti
Vecchi
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
Time (Month)
60
65
70
75
80
85
90
95
100
Ciclo positivo
Ciclo negativo
Tasso di crescita
Crescita
+
+
+
Giovani
Vecchi
Adulti
+
-
Morti
Invecchiamento
Mortalità
Tasso di
invecchiamento
+
Nascite
+
Donne adulte
Fertilità
Frazione Femmine
Nel modello abbiamo assunto che le morti avvengano
solamente fra la popolazione vecchia.
Si tratta di una ipotesi semplificativa. In realtà c’è un tasso di
mortalità non nullo anche tra i giovani e gli adulti.
Si modifichi il modello inserendo un tasso di mortalità di
valore 0.02 per i giovani e di valore 0.03 per gli adulti. Si
ripetano poi gli esperimenti in questa nuova situazione.
Il modello Preda-Predatore
Il modello Preda-Predatore è stato sviluppato dal
matematico italiano Vito Volterra (1860-1940) per
studiare un fenomeno che era stato evidenziato dallo
zoologo Umberto D'Ancona.
Analizzando le statistiche relative alla pesca nel nord
dell'Adriatico, D’Ancona aveva osservato che durante
gli ultimi anni della prima guerra mondiale e negli anni
immediatamente seguenti si era verificato un sostanziale
aumento della percentuale dei predatori (Selaci) pescati.
L’unica circostanza che appariva collegabile a questo
incremento era la diminuzione dell'attività di pesca
causata dalle attività belliche.
Le variabili di livello
P rede(t + ∆t) = P rede(t) + (N ascite P rede(t) − M orti P rede(t))∆t
P redatori(t + ∆t) = P redatori(t)+
(N ascite P redatori(t) − M orti P redatori(t))∆t
Prede
Morti Prede
Nascite Prede
Predatori
Nascite Predatori
Morti Predatori
Le variabili di flusso
N ascite P rede(t) = A · P rede(t)
M orti P rede(t) = P rede Catturate(t) + P rede P escate(t)
M orti P redatori(t) = C · P redatori(t) + P redatori P escati(t)
N ascite P redatori(t) = D · Incontri P rede P redatori(t)
Le variabili ausiliarie
P rede Catturate(t) = B · Incontri P rede P redatori(t)
Incontri P rede P redatori(t) = P rede(t) · P redatori(t)
P rede P escate(t) = ε · P rede(t)
P redatori P escati(t) = ε · P redatori(t)
Il modello completo
A
Prede
Morti Prede
Nascite Prede
Prede Catturate
B
Incontri Prede Predatori
Prede Pescate
epsilon
D
Predatori Pescati
Predatori
Nascite Predatori
Morti Predatori
C
Andamento delle popolazioni
400,000
600
300,000
450
200,000
300
100,000
150
0
0
0
100
Prede : Predatori1RK
Predatori : Predatori1RK
200
300
400
500
600
Time (Week)
700
800
900
1000