legge di poiseuille

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legge di poiseuille
Viscosità
I fluidi, per come sono definiti, non dovrebbero presentare resistenza al
moto di scorrimento; invece nei fluidi reali tale resistenza è osservata.
Questa resistenza è dovuta ad una forma d’attrito interno, detta viscosità,
fra strati adiacenti di fluido, che si oppone allo scorrimento dell’uno
sull’altro.
Un fluido reale è pertanto caratterizzato da un coefficiente di viscosità (η)
definito operativamente come segue.
Consideriamo due lastre di vetro, una fissa e l’altra in moto con velocità
costante v, al cui interno si trova un fluido reale.
y
l
F
v
A = area
di contatto
Si osserva una
distribuzione di velocità
(gradiente di velocità)
Per v = costante, bisogna applicare F= costante e risulta F ∝
proporzionalità η che dipende al fluido interposto.
η=
Fl
ovvero
Av
FV = η
Av
o più in generale
l
vA
con una
l
FV = ηA
dv
dy
dove si assume che η sia indipendente da v.
Unita di misura:
N ⋅m
N ⋅s
Kg
=
=
Pa
⋅
s
=
nel sistema MKS.
m2 ⋅ m / s
m⋅s
m2
(è anche usato il Poise P = 10-1 Kg/ms)
Il coefficiente di viscosità (η) dipende fortemente dalla temperatura
Ecco alcuni valori tipici:
Fluido
Acqua
Acqua
Acqua
Glicerina
Olio motore
Alcool
η ( Kg/ms)
1.8 ⋅ 10 –3
1.0 ⋅ 10 –3
0.3 ⋅ 10 –3
830 ⋅ 10 –3
250 ⋅ 10 –3
1.2 ⋅ 10 –3
T (° C)
0
20
100
20
30
20
La viscosità introduce importanti differenze nel moto di un fluido reale
rispetto a quello di un fluido ideale.
Condiderato un tubo orizzontale a sezione A costante, si ha per:
un fluido ideale
pA
un fluido reale
pB
pA
v costante nella sezione A
pA= pB costante
pB
v variabile nella sezione A
pA > pB
La portata per un fluido reale non può essere più calcolata come Av;
Q≠ Av
Moto laminare,
stazionario se la
distribuzione di velocità
non cambia nel tempo
Calcolo della portata
per un fluido reale in un tubo cilindrico
Consideriamo un cilindro di raggio R lungo L, in cui scorre un
fluido in moto laminare e stazionario. La velocità in esso ha una
distribuzione con v(R)=0, v(0)= Vmax.
rR
Stazionario ⇒ v(r) = cost ⇒ Fest = 0
Per una porzione di fluido in un cilindro di raggio r < R abbiamo
rR
r
r
r
Fest = FA + FB + FV = 0 ; essendo tutte le forze parallele
(all’asse), diviene: FA − FB − FV = 0
v(R)=0
v(r)
r
FA
fv
v(0)=Vmax
R
fv
FA = p A ⋅ πr 2
FB
FB = p B ⋅ πr 2
l
FV = ηA
dv
con A = 2πr ⋅ l
dr
poichè v diminuisce mentre r aumenta
dv
ed FV sono implicitamente negative
dr
(
)
dv
πr 2 p − p + η2πr ⋅ l = 0
A
B
dr
dv
r ( p A − pB )
( p − pB )
=−
⇒ dv = − A
⋅ rdr
dr
2ηl
2ηl
pertanto scriviamo :
questa espressione ci da la variazione di velocità dv quando il
raggio aumenta di dr, il segno meno mette in evidenza che la
velocità diminuisce mentre il raggio aumenta. Integrando fra r ed
R troviamo la corrispondente differenza di velocità. (ricordiamo
che v(R)=0)
∫
v( R)
v(r )
( p A − pB ) R
( p A − pB ) R 2 − r 2
dv = −
rdr ⇒ v( R ) − v(r ) = −
r
2ηl
2ηl
2
∫
( p A − pB )  2
2
R − r 
4ηl 

v(r) ha un’andamento parabolico con r, con massimo in r = R2.
In una corona circolare con raggio r ed r+dr, di area dA=2πr⋅dr,
la velocità risulta costante. Possiamo calcolare pertanto la relativa
portata come velocità per area ⇒ dQ = v(r)⋅dA
⇒ v(r ) =
La portata totale si ottiene
sommando tutti i contributi dQ
al variare di r da 0 ad R⇒
R
r+dr
r
Q=
Q=
∫
R
0
R
∑ dQ =∫ dQ
0
π ( p A − pB )
( p A − pB ) 2
2
( R − r ) ⋅ 2πr ⋅ dr =
4ηl
2ηl
calcolando
∫
R
0
( R − r ) rdr =
2
2
∫
R
0
R rdr −
2
∫
R
0
∫
R
0
( R 2 − r 2 ) rdr
R4 R4 R4
−
=
r dr =
2
4
4
3
πR 4 ( p A − pB )
Infine Q =
LEGGE DI POISEUILLE
8ηl
Da notare la dipendenza dalla quarta potenza del raggio