quadratura numerica calcolo di aree e volumi

Transcript

1
QUADRATURA NUMERICA
=
CALCOLO DI AREE E VOLUMI
A. Murli - LA QUADRATURA
2
C
A
D
B
E
AREA = A + B + C + D + E
l'area di A = Prodotto dei lati
PROBLEMA:
Calcolare le aree di B, C, D, E
3
Il calcolo delle aree di B, C, D, E
e ricondotto al calcolo dell'area di una gura sottesa
ad una curva:
f(b)
f(a)
R
a
b
>
Se y = f (x) e la funzione che rappresenta la curva, a
tale gura si da' il nome di
RETTANGOLOIDE
4
f(b)
f(a)
R
a
b
>
AREA (R) = area del rettangoloide R
def
=
integrale denito di f (x) sull'intervallo a b]
Zb
AREA(R) I f ] = a f (x)dx
5
L'approccio piu naturale per il calcolo di
un integrale e quello di approssimare
Zb
I f ] = a f (x)dx
CON AREE DI POLIGONI REGOLARI
6
ESEMPI
f(a)
U
a
b
>
I f ] ' f (a)(b ; a)
FORMULA RETTANGOLARE
f(m)
V
a
m
b
I f ] ' f (m) (b ; a)
>
FORMULA DEL PUNTO MEDIO
7
f(b)
f(a)
T
a
b
>
(b ; a)
I f ] ' (f (a) + f (b)) 2
FORMULA TRAPEZOIDALE
f(b)
f(m)
f(a)
a
m
b
>
I f ] ' (b ;6 a) (f (a) + 4f (m) + f (b))
FORMULA DI SIMPSON
8
ESEMPIO
Calcolo dell'area del cerchio C
di raggio 1 in un sistema
oating point con = 10 e t = 5
(AREA(C) = r2 = 3.141592 . . . )
P
Q
R
S
p
R Q = 2 =) AREA(B) = 2
9
AREA DELLA CALOTTA CIRCOLARE
^
>
P
M
W
Per simmetria e suciente calcolare:
I f ] =
Zp
0
2=2
p
1 ; x2 ;
p
2
;2
dx
=
2
8
Applichiamo la Formula Trapezoidale
Q
10
^
P
>
_
Q=\/2/2
0
p
2
2 666
4
0
BB
B@
p
13
2 CCC777
A5
I f ] ' 4 f (0) + f 2
' 0:10355 100
1
;
2
ERRORE =
;
0:10355 100CA ' 0:3914910;1
8
0
B@
@
@
@
@
@
;
@;
;
;
;
;
0
10 = 0:28284
AREA(C) = 2 + 8 0:10355 101
ERRORE(C) = j ; 2:8284j ' 0:31315 100
11
OSSERVAZIONE
Tutte le formule sono una combinazione lineare di
valori della funzione f (x)
@
@
@
;
@;
;
;
DEFINIZIONE: Fissati:
una funzione f (x) integrabile nel senso di Riemann
un intero n
n punti xi 2 a b] detti nodi
n valori Ai detti pesi
la combinazione lineare
Q
f ] = A1f (x1) + Anf (xn)
e detta formula di quadratura
12
Una formula di quadratura rappresenta una
approssimazione dell'integrale. Cioe:
Zb
Q
f ] = A1f (x1) + Anf (xn) ' a f (x) dx
@
@
@
@
DEFINIZIONE:
;
;
;
;
@
;
@;
La dierenza:
Zb
n
X
E f ] = a f (x) dx ; Aif (xi)
i=1
e detta Errore di discretizzazione
della formula di quadratura Q
f ]
E[f]
>
<
a
Q[f]
b
>
13
>
E[f]
<
Q[f]
a
b
>
in generale
GRANDE INTERVALLO
@
@
@
@
@
;
@;
;
;
;
;
GRANDE ERRORE
14
Un modo per ridurre l'errore di discretizzazione di una
formula di quadratura e quello di ridurre l'ampiezza
degli intervalli
ESEMPIO
f(b)
f(a)
T
a
b
>
formula trapezoidale su un sottointervallo
T
>
a
(a+b)/2
b
formula trapezoidale su due sottointervalli
15
Relativamente all'esempio
dell'area del cerchio si ha:
^
P
_
\/2/4
0
Applicando la Formula Trapezoidale
nei due sottointervalli
2
66
640
p
3
2 777
5
2
66
64
p p
3
2 777
5
2
4 e 4 2
si ha:
_
\/2/2
>
2
66
64
p
0
2 BBB
@
16
0
BB
B@
p
11
2 CCCCCC
AA +
p
0
2 BBB
@
0
BB
B@
p
1
2 CCC
A+
I f ] ' 8 f (0) + f 4
f
8
4
' 0:13250 100
0
BB
B@
p
113
2 CCCCCC777
AA5
f 2
1
;
2
ERRORE =
;
0:13250 100CA ' 0:1019910;1
8
0
B@
PICCOLO!
4 VOLTE PIU
17
Dimezzando ancora gli intervalli
^
P
0
2
6
I f ] = 4
p2 0
16
0
B@f (0) + f B@
p2 11
8
CACA + : : : +
_
\/2/8
_
\/2/4
p2 0
p2 1
16
0
B@f B@ 3
8
_
3\/2/8
0
CA + f B@
p2 113
2
C
ACA75
' 0:14014 100
;
2
;
0:14014 100 ' 0:2559110;2
ERRORE =
8
4 volte piu piccolo!
_
\/2/2
18
DEFINIZIONE
Suddiviso l'intervallo a b] in m sottointervalli tj ;1 tj ]
j = 1 ::: m di uguale ampiezza h = (b ; a)=m
mediante gli m + 1 punti
a = t0 < t1 < : : : < tm = b
si denisce Formula Trapezoidale Composita
Tm
f ] l'espressione
Tm
f ] = h2 (f (t0) + f (t1))+ + h2 (f (tm;1) + f (tm)) =
0
1
m
;
1
f (t )
f (t )
= h BB 0 + X f (t ) + 0 CC
@
2
j =1
j
2
A
>
a=t
0
t
1
t
2
t
3
b=t
4
19
L'esempio precedente ha messo in luce come
raddoppiando il numero di sottointervalli l'errore della
formula Tm
f ] si riduce di 4 volte
@
@
;
;
@
;
@;
TEOREMA
IPOTESI
f (x) funzione integrabile
!
f
(
t
f
(
t
)
m
0
Tm f ] = h 2 ) + f (t1) + ::: + 2
formula trapezoidale composita su a,b]
Em
f ] = I f ] ; Tm
f ] errore di discretizzazione di
Tm
f ]
TESI
la famiglia fTm f ]gm=01::: e convergente, cioe
mlim
!1 Em
f ] = 0
20
Dimostrazione
Si applichi la formula T f ] nell'intervallo tj ;1 tj ]:
Z tj
(b ; a)
tj ;1 f (x)dx ' 2m (f (tj ;1) + f (tj ))
@
;
@
;
@;
(b ; a)
Tm
f ] = j=1 2m (f (tj;1) + f (tj )) =
2
3
77
m (b ; a)
1 666 Xm (b ; a)
X
f
(tj ;1) +
f
(tj )775
64
2 j| =1 m {z
} |j =1 m{z
}
Somma di
Somma di
Riemann
Riemann
m
X
@
;
@
;
@;
m
X
mlim
!1 j =1
(b ; a)
m
X
(b ; a)
!1 j =1 m f (tj ) =
m f (tj;1) = mlim
Zb
a f (x)dx
da cui la tesi
21
Problema
Stimare l'errore che si commette approssimando I f ]
con la Formula Trapezoidale Composita Tm
f ]
ESEMPIO
Siano
Tm
f ] Formula Composita su m intervalli
T2m
f ] Formula Composita su 2m intervalli
Si ha
I f ] = Tm
f ] + Em
f ]
I f ] = T2m
f ] + E2m
f ]
Inoltre si e visto che
E
m
f ]
E2m
f ] ' 4
22
Sottraendo membro a membro si ha:
jTm
f ] ; T2m
f ]j = jEm
f ] ; E2m
f ]j '
j4E2m
f ] ; E2m
f ]j
@
@
@
@
@
;
@;
;
;
;
;
jTM f ] ; T2M f ]j ' 3 jE2M f ]j
@
@
@
@
;
;
;
;
@
;
@;
jE2M f ]j ' jTM f ] ; T2M f ]j =3
STIMA CALCOLABILE DELL'ERRORE
23
OSSERVAZIONE
Se gia si e calcolata Tm
f ] la scelta di utilizzare T2m
f ]
permette:
un miglioramento dell'accuratezza dovuto
all'aumento del numero di nodi
di valutare la funzione integranda solo nei punti
medi degli m sottointervalli di Tm
f ]
DEFINIZIONE
La coppia di formule Tm
f ] e T2m
f ], in cui l'insieme
di nodi della prima formula e contenuto nell'insieme di
nodi della seconda formula e detta:
coppia di formule innestate
24
Siamo ora in grado di progettare un algoritmo per il
calcolo di
Zb
I f ] = a f (x)dx
a meno di una tolleranza TOL con la formula trapezoidale composita
SOLUZIONE
Si dimezzano progressivamente gli intervalli nche la
stima dell'errore e minore di TOL o si e raggiunto un
numero massimo di valutazioni per la funzione integranda MAXVAL (in questo caso si avvisa l'utente
con un messaggio di errore IFLAG)
25
DEFINIZIONE
Un integratore automatico e una routine che:
richiede in input:
gli estremi dell'intervallo a b]
una funzione f (x)
una tolleranza TOL
un massimo numero MAXVAL di valutazioni
per la f (x)
INPUT
a b f (x) TOL
A
A
AU
?
?
integratore
automatico
MAXVAL
26
e fornisce in output:
una stima dell'integrale I f ]
una stima dell'errore E f ]
un messaggio, IFLAG, per informare l'utente se e
stata raggiunta la tolleranza TOL
integratore
automatico
I f ]
A
?
E f ]
OUTPUT
A
U
A
IFLAG
Trapez1(input: a, b, Tol, f, Maxval output: Int, Err, Iag)
/* SCOPO: calcolo di un integrale denito con la formula
trapezoidale composita a meno di una tolleranza assegnata
procedure
/* SPECIFICHE:
var a,b,Tol,Int,Err,h,x,oldint,sum real
var Maxval,Iag,m,fval integer
external function f real
/* ESECUZIONE:
m:=2
h:=(b-a)/m
x:=(a+b)/m
oldint:=h*(f(a)+f(b))
Int:=oldint/2+h*f(x)
fval=3
Err:=jInt-oldintj/3
f ciclo di iterazione principale con test sull'erroreg
while (Err>Tol and fval <Maxval) do
m:=2*m
h:=h/2
sum:=0
f calcolo della formula trapezoidale composita
su m punti medig
for k=1,m,2
x:=a+k*h
sum:=sum+f(x)
fval:=fval+1
endfor
oldint:=Int
Int:=oldint/2+h*sum
f stima dell'errore g
Err:=jInt-oldintj/3
endwhile
f denizione della variabile Iflagg
if (fval <Maxval) then
else
end
Iag=0
Iag=1
endif
return Int,Err,Iag
Trapez1
27
28
Si e costruita una routine basata sulla formula Trapezoidale Composita per il calcolo di I f ] con un'accuratezza
TOL
a b f (x) TOL
A
A
AU
?
NMAX
?
integratore
automatico
A
I f ]
?
E f ]
A
U
A
IFAIL
29
ESEMPIO
Si calcoli
I f ] =
Z5
;5
2
;
x
3e + 1 dx
mediante la formula trapezoidale composita con 5 e 10
intervalli
30
5
4
3
2
1
0
−1
−6
−4
−2
0
2
4
6
Approssimazione di I f ] mediante 5 sottointervalli
5
4
3
2
1
0
−1
−6
−4
−2
0
2
4
6
Approssimazione di I f ] mediante 10 sottointervalli
31
Partizionamento uniforme
dell'intervallo di integrazione
@
@
@
@
@
;
@;
;
;
;
;
Intervalli troppo larghi nella parte
sinistra dell'intervallo
intervalli inutilmente stretti nella
parte destra dell'intervallo
ALGORITMI NON ADATTATIVI
32
OBIETTIVO
Progettare un algoritmo che calcoli I f ] con la precisione voluta ed un ridotto numero di valutazioni della funzione integranda
@
@
@
@
;
;
;
;
@
;
@;
L'algoritmo deve essere capace di restringere gli in-
tervalli SOLO dove e necessario
@
@
@
@
@
;
@;
;
;
;
;
Partizionamento non uniforme dell'intervallo di
integrazione
ALGORITMI ADATTATIVI
33
ESEMPIO 1
^
a = x0
x2
b = x1
>
errore maggiore = intervallo da suddividere
^
a = x0
x3
x2
b = x1
>
34
ESEMPIO 1 (cont.)
^
a = x0
x3
x2
x4
b = x1
>
^
a = x0
x5
x3
x2
x4
b = x1
>
35
ESEMPIO 2
^
PROSSIMO INTERVALLO
DA ESAMINARE
a = x0
x2
b = x1
>
tolleranza non soddisfatta
^
PROSSIMO INTERVALLO
DA ESAMINARE
a = x0
x3
x2
b = x1
>
36
ESEMPIO 2(cont.)
^
PROSSIMO INTERVALLO
DA ESAMINARE
a = x0
x4
x3
x2
b = x1
>
tolleranza soddisfatta
^
PROSSIMO INTERVALLO
DA ESAMINARE
a = x0
x4
x3
x2
b = x1
>
37
DUE POSSIBILI STRATEGIE
ADATTATIVA GLOBALE (Esempio 1)
(si suddivide l'intervallo dove e massima la stima
dell'errore)
ADATTATIVA LOCALE (Esempio 2)
(si continua a suddividere l'intervallo piu a sinistra
dove ancora non e stata raggiunta l'accuratezza voluta)
38
STRATEGIA ADATTATIVA GLOBALE
Si suddivide l'intervallo relativo all'errore maggiore
@
@
@
@
@
;
@;
;
;
;
;
c'e una riduzione uniforme dell'errore su tutto l'intervallo
a b]
ad ogni passo e necessario \gestire" tutti i sottointervalli
39
STRATEGIA ADATTATIVA GLOBALE
Al primo passo
si calcola Qab] e Eab]
se Eab] < TOL
l'algoritmo termina e Qab] e la stima voluta
di I f ]
altrimenti
si divide a b] in due sottointervalli a m] e
m b]
si calcola
Qam]
Qmb]
Eam]
Emb]
Al secondo passo
se Eam] + Emb] < TOL
l'algoritmo termina e Qam] + Qmb] e la
stima voluta di If
altrimenti
si divide l'intervallo dove l'errore e massimo
nei due nuovi sottointervalli ottenuti si
calcolano le stime dell'errore e dell'integrale
40
41
Al generico passo
l'intervallo a b] si trova suddiviso in una partizione
di sottointervalli ci di]
se Pi Ecidi] < TOL
l'algoritmo termina e Pi Qcidi] e la stima
voluta per I f ]
altrimenti
si divide l'intervallo ci di] tale che
Ecidi] = max
Ecidi]
i
nei due nuovi sottointervalli ottenuti si
calcolano le stime dell'errore e dell'integrale
42
L'algoritmo termina quando
Pi Ecidi] < TOL
oppure
si raggiunge NMAX.
In tal caso l'algoritmo avvisa l'utente di questa circostanza
In entrambi i casi l'algoritmo fornisce l'ultima approssimazione di I f ] data da
I f ] ' Xi Qcidi]
43
STRATEGIA ADATTATIVA LOCALE
Si suddivide l'intervallo piu a sinistra
@
@
@
@
;
;
;
;
@
;
@;
procedendo verso destra si \scartano" i sottointer-
valli in cui e stata raggiunta la tolleranza (locale)
non e fornita un'approssimazione di I f ] su tutto
a b] in caso di arresto dell'algoritmo
44
STRATEGIA ADATTATIVA LOCALE
Al primo passo
si QE calcola Qab] e Eab]
se Eab] < TOL
l'algoritmo termina e Qab] e la stima voluta
di I f ]
altrimenti
si divide a b] nei due sottointervalli a m]
e m b]
si calcola
Qam]
Qmb]
Eam]
Emb]
45
Al secondo passo
se Eam] < TOL
(m ;{za)=(b ; a)}
|
tolleranza locale relativa
all'intervallo a m]
si aggiunge Qam] al valore della variabile INTEG
si aggiunge Eam] al valore della variabile ERROR
si esamina l'intervallo m b]
altrimenti
si divide a m] in due sottointervalli
in tali nuovi sottointervalli la procedura
calcola le stime dell'errore e dell'integrale
INTEG alla ne dell'algoritmo conterra la stima
dell'integrale
46
Al generico passo
si esamina l'intervallo piu a sinistra disponibile c d]
se Ecd] < TOL(d ; c)=(b ; a)
si somma Qcd] ad INTEG
si esamina l'intervallo successivo
altrimenti
si divide c d] in due nuovi sottointervalli
dove si calcolano le stime dell'errore e
dell'integrale
47
L'algoritmo termina quando
la stima dell'errore nell'intervallo piu a destra e minore della tolleranza locale
oppure
si e raggiunto NMAX.
In tal caso l'algoritmo avvisa l'utente di questa circostanza
La stima di I f ] e data da INTEG
48
STRATEGIA GLOBALE
Le informazioni degli intervalli da esaminare sono conservate in una lista ordinata secondo le stime decrescenti
degli errori E ci di]
@
@
@
;
;
;
@
;
@;
Il prossimo intervallo da suddividere e nella testa della
lista
49
STRATEGIA GLOBALE
j
a
j j j
x1 x2 x3
j
x4
j
b
-
ERRORE MAGGIORE
x3 x4] prossimo intervallo da esaminare
TESTA DELLA
LISTA
a x1]
-
50
-
x3 x4]
-
x1 x2]
-
x2 x3]
-
x4 b]
6
INTERVALLO DA
ESAMINARE
link da eliminare
TESTA DELLA
LISTA
a x1]
i
i
nuovi link
-
x3 x4]
x1 x2]
-
i x4 b]
x2 x3]
51
STRATEGIA LOCALE
Si possono mettere le informazioni relative agli intervalli
in una pila, con l'elemento piu a sinistra nel top
@
@
@
@
@
;
@;
;
;
;
;
Il prossimo intervallo da suddividere e nel top della pila
@
@
@
@
;
;
;
;
@
;
@;
L'algoritmo si arresta quando la pila e vuota
52
STRATEGIA LOCALE
j
a
j j j
x1 x2 x3
ERRORE
ACCETTABILE
j
x4
j
b
-
INTERVALLI
SOSPESI
x1 x2] prossimo intervallo da esaminare
(x1 x2)
(x2 x3)
(x3 x4)
(x4 b)
-
L'intervallo
si elimina
dalla pila
53
Entrambe le strategie hanno bisogno di un modulo
QE
che calcoli le stime di I f ] e E f ] in un intervallo
c d] a b] mediante due formule di quadratura
innestate
a
c
d
c d]
A
b
f
A
U
A
QE
Qcd]
f ]
A
A
U
A
Ecd]
f ]
54
ESEMPIO
Si e visto che con la Formula
posita si ha
Trapezoidale com-
T1
f ] = h2 f (c) + f (d)]
2
0
1
3
h
c
+
d
CA + f (d)75
T f ] = 64f (c) + 2f B@
2
4
1
E2
f ] ' 3 jT1
f ] ; T2
f ]j
2
h=d;c
Analogamente , con la formula di Cavalieri-Simpson
composita si ha
2
0
1
3
c
+
d
h
CA + f (d)75
C f ] = 64f (c) + 4f B@
1
3
21
0
C2
f ] = h6 f (c) + 4f B@c + h2 CA + 2f (c + h)+
0
1
3
3
h
+ 4f B@c + CA + f (d)75
2
E2
f ] ' 151 jC1
f ] ; C2
f ]j h = d ;2 c
2
64
55
ESEMPIO DI PROCEDURA QE CON LA
FORMULA DI CAVALIERI-SIMPSON
procedura QE(c, d, f, Q, E)
h:=(d-c)/2
fc:=f(c)
fm:=f((c+d)/2)
fd:=f(d)
c1:=h*(fc+4*fm+fd)/3
c2:=h*(fc+2*fm+fd+4*f(c+h/2)+4*f(c+3*h/2))/6
E:=jc1-c2j/15
Q:=c2
return Q, E
Un algoritmo ADATTATIVO LOCALE
begin ADAPT
read A,B,TOL,NMAX
IFAIL:=0 INTEG:=0 ERROR:=0
QE(A,B,f,Q,E)
NVAL:=5
A,B,Q,E ! pila
N:=1
while (N 6= 0 AND NVAL < NMAX) do
C,D,Q,E pila
N:=N-1
if (E < TOL*(D-C)/(B-A)) then
INTEG:=INTEG+Q ERROR:=ERROR+E
else
M=(C+D)/2
QE(C,M,f,QS,ES)
NVAL:=NVAL+5
QE(M,D,f,QD,ED)
NVAL:=NVAL+5
M,D,QD,ED ! pila
N:=N+1
C,M,QS,ES ! pila
N:=N+1
endif
endwhile
56
if (NVAL NMAX) then
IFAIL:=1
endif
print INTEG,ERROR,IFAIL
end ADAPT
57
58
Matlab rende disponibile la funzione QUAD per il
calcolo di integrali deniti. QUAD e basata su una
paricolare formula di Simpson composita
QUAD ( 'fun', a, b, tol, graf)
'fun'
funzione integranda. Deve essere presente
in un le di nome fun.m
a, b
estremi di integrazione
tol
tolleranza (opzionale. Se
non specicata tol = 10;3)
graf
intero. Se graf = 1 viene
mostrato il graco della
funzione con i nodi utilizzati
59
ESEMPIO
I f ] =
Z 2
0
jsin(x)j dx = 4
Creazione del le fun.m contenente la funzione integranda
function y = fun (x)
y = abs ( sin (x))
return
end
quindi
a = 0.
b = 2 * 3.1415926
res = quad ('fun',a,b)
res =
4.00000207024612
60
I comandi
a = 0.
b = 5
tol = 10;4
graf = 1
producono il risultato
res =
3.28366224139591
ed il graco
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
61
Il TEOREMA FONDAMENTALE
DEL CALCOLO INTEGRALE
rappresenta uno strumento per il calcolo degli integrali
deniti
Zb
a
f (x)dx = F (b) ; F (a)
F (x) primitiva di f (x)
(F 0(x) = f (x))
62
ESEMPIO
La determinazione della primitiva richiede regole che
dipendono dalla funzione integranda
Z
Z
logx = 1 logx dx = xlogx ; x
integrazione per parti
Z dx
Z dx
1
x2 ; 3x + 2 dx = x ; 2 ; x ; 1 =
= logjx ; 2j ; logjx ; 1j
integrazione mediante scomposizione in fratti semplici
Z
@
@
@
@
@
;
@;
;
;
;
;
DIFFICOLTA AD OTTENERE UN ALGORITMO
GENERALE
63
ESEMPIO
dx
I f ] = 2 x = log 3 ; log 2
Z3
approssimazione del logaritmo
@
@
@
@
;
;
;
;
@
;
@;
APPROSSIMAZIONE DEL RISULTATO
I f ] ' 0:405465
64
ESEMPIO
I f ] =
Zb
a
=
2n
Zb X
1
x
2
;
x
n
(;1)
e dx =
n!
a n=0
2
X
66 1
4
n=0
(;1)n
x2n+1
=
3b
77
5
n!(2n + 1) a
L'espressione ottenuta non puo essere valutata esattamente con una procedura di calcolo nita
@
@
@
@
;
;
;
;
@
;
@;
APPROSSIMAZIONE DEL RISULTATO
I f ] '
2
X
66 M
4
(;1)n
n=0
x2n+1
3b
77
5
n!(2n + 1) a
Rb
a
applicazione del
Teorema Fondamentale
(metodo analitico)
f (x)dx
Z
Z
Z
65
-
F (b) ; F (a)
Z
Z
Z
Z
Z
approssimazione ZZ
Z
del risultato
Z
Z
Z
(metodo numerico)
Z
approssimazione
del risultato
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
ZZ
~
?
RISULTATO
@
@
@
@
@
;
@;
;
;
;
;
DIVERSO APPROCCIO AL
CALCOLO DEGLI INTEGRALI
OBIETTIVO
Determinare METODI NUMERICI che
forniscano, con un RAGIONEVOLE COSTO
COMPUTAZIONALE, una
VALUTAZIONE ACCURATA di un
integrale denito ed una STIMA
DELL'ERRORE COMMESSO
66
67
Si e visto che un integrale denito:
Zb
I f ] = a f (x)dx
si approssima con una combinazione lineare del tipo:
n
X
Q
f ] = i=1 Aif (xi)
FORMULA DI QUADRATURA
Ai PESI della formula di quadratura
xi NODI della formula di quadratura
@
@
@
@
@
;
@;
;
;
;
;
I f ] = Q
f ] + E f ]
E f ] = ERRORE DELLA FORMULA DI
QUADRATURA
68
COSTRUZIONE DELLE FORMULE DI
QUADRATURA
In una formula
n
X
Q
f ] = i=1 Aif (xi)
occorre determinare
N NODI xi i = 1 : : : n
N PESI Ai i = 1 : : : n
in modo che Q
f ] sia \in qualche senso"
la piu accurata possibile
@
@
@
;
@;
;
;
rendere nullo l'errore in uno spazio di funzioni F a
dimensione nita
E f ] = I f ] ; Q
f ] = 0 8f 2 F
FORMULE ESATTE
69
ESEMPIO
Si calcoli una formula di quadratura nell'intervallo ;1 1]
tale che
E p] = 0 8p 2 "2
@
@
@
;
@;
;
;
p(x) = ax2 + bx + c
@
@
@
;
@;
;
;
2] +b E x] +c E 1] = 0
E p] = 0 () a E
x
| {z }
| {z }
| {z }
0
CIOE
0
0
per la linearita del funzionale E f ]
8
>
>
>
<
>
>
>
:
E 1] = 0
E x] = 0
E x2] = 0
70
da cui si ha
8
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:
A1 + A2 + : : : + An
= R;1 1 1dx
A1x1 + A2x2 + : : : + Anxn =
R1
;1 xdx
A1x21 + A2x22 + : : : + Anx2n =
R1
;1 x
2dx
Se si ssano i nodi xi (i = 1 : : : n) distinti , si ha
un sistema di 3 equazioni nelle n incognite Ai
@
@
@
;
@;
;
;
un'unica soluzione se e solo se n = 3
71
IN PARTICOLARE
scegliendo 3 nodi equispaziati
x1 = ;1 x2 = 0 x3 = 1
si ha:
8
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:
A1 +A2 +A3 = 2
;A1
+A3 = 0
A1
+A3 = 23
72
Tale sistema ha come soluzione
1
A1 = A3 = 3
@
@
@
;
@;
4
A2 = 3
;
;
1
Q
f ] = 3 (f (;1) + 4f (0) + f (1))
Formula di Simpson
Nel generico intervallo a b] si ha:
0
0
1
1
b
;
a
a
+
b
B@f (a) + 4f B@
CA + f (2)CA
Q
f ] =
6
2
73
In generale F "q
(Formule esatte per polinomi di grado q)
In tal caso una base e
f1 x : : : xqg
@
@
8
>
>
>
1+
>
>
>
>
>
<
1 1+
>
>
>
..
>
>
>
>
q
>
: 1 1+
A
;
;
@
;
@;
: : : + An
= Rab dx
Ax
: : : + Anxn = Rab xdx
Ax
: : : + Anxqn = Rab xq dx
METODO DEI COEFFICIENTI INDETERMINATI
74
La matrice del sistema e:
0
BB 1
BB
BB 1
BB .
BB .
@ q
1
CC
C
n CCC
.. CCC
CA
1 ::: 1
x x2 : : : x
x1 xq2 : : : xqn
per ogni scelta di nodi x1 : : : xn ha
un'unica soluzione se e solo se
xi 6= xj
q =n;1
i 6= j
75
SE
F "q
Si misura la capacita di Q
f ] di calcolare esattamente
gli integrali di polinomi
@
@
;
;
@
;
@;
DEFINIZIONE
Q
f ] ha grado di precisione algebrico q se e
esatta per tutti i polinomi p 2 "q , cioe
Zb
a
n
X
p(x)dx = i=1 Aip(xi)
SE
76
F fpolinomi trigonometrici di grado qg
cioe del tipo:
q
X
Sm(x) = a0 + k=1(ak cos kx + bk sin kx)
Si misura la capacita di Q
f ] di calcolare esattamente
gli integrali di polinomi trigonometrici
@
@
;
;
@
;
@;
DEFINIZIONE
Q
f ] ha grado di precisione trigonometrico q se
e esatta per tutti i polinomi trigonometrici di grado q
Zb
n
X
a Sq (x)dx = i=1 AiSq (xi)
77
OSSERVAZIONE
La metrice del sistema dei coecienti indeterminati e
di tipo Vandermonde.
@
@
@
@
@
;
@;
;
;
;
;
Il sistema e malcondizionato
@
@
@
@
@
;
@;
;
;
;
;
e possibile calcolare i pesi solo per n 6
78
FORMULE DI NEWTON-COTES
Storicamente sono le prime e piu semplici formule di
quadratura
I nodi si ssano equispaziati
a = x1 < x2 < : : : < xn = b
h = xi+1 ; xi = nb ;; a1 n > 1
ESEMPIO
79
n=2
b
;
a
h
Q
f ] =
f (x ) + f (x )] = f (x ) + f (x )]
2
1
2
1
2
2
f(b)
f(a)
T
a
b
FORMULA TRAPEZOIDALE
ESATTA PER POLINOMI DI GRADO 1
>
ESEMPIO
80
n=3
b
;
a
Q
f ] =
f (x ) + 4f (x ) + f (x )]
1
6
2
3
h
b
;
a
Q
f ] = 3 f (x0) + 4f (x1) + f (x2)] h = 2
f(b)
f(m)
f(a)
a
m
b
FORMULA DI SIMPSON
ESATTA PER POLINOMI DI GRADO 2
>
81
In generale le formule di Newton-Cotes si possono
esprimere:
n
X
Q
f ] = h i=1 Bif (xi)
h = nb;;a1
con i pesi Bi indipendenti dall'intervallo a b] e dalla
funzione integranda.
Inoltre il sistema dei coecienti indeterminati e malcondizionato
@
;
@
;
@;
i pesi sono pretabulati
B1 B2 B3 B4 1
2
1
2
n=3
1
3
4
3
1
3
n=4
..
3
8
9
8
9
8
n=2
3
8
82
FORMULE DI GAUSS
Una formula di quadratura
n
X
Q
f ] = i=1 Aif (xi)
ha 2n parametri (pesi e nodi)
E POSSIBILE COSTRUIRE UNA FORMULA DI QUADRATUR
DI GRADO DI PRECISIONE ALGEBRICO 2n ; 1?
83
PROBLEMA
Costruire una formula di quadratura con grado di
precisione 3 utilizzando 2 nodi nell'intervallo ;1 1].
SOLUZIONE
Siano
Q
f ] = A1f (x1) + A2f (x2)
e
una base di "3
B = f1 x x2 x3g
Si osservi che
se e solo se
84
Q
f ] = 0
8f 2 "3
Q
f ] = 0
8f 2 B
Si ottiene quindi il sistema
8
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:
A1
A1x1
A1x21
A1x31
+
+
+
+
A2
A2x2
A2x22
A2x32
=2
=0
= 32
=0
85
Poiche l'intervallo ;1 1] e simmetrico rispetto all'origine
si deve avere:
@
;
@
;
@;
x2 = ;x1 e A1 = A2
@
;
@
;
@;
A1 = A2 = 1
dalla prima equazione, e
;1 x = p1
x21 = 31 () x1 = p
2
3
3
dalla terza equazione
@
;
@
;
@;
1
0
1
;
1
1
Q
f ] = f p3 CA + f B@ p3 CA
Formula di Gauss con 2 nodi
0
B@
86
IN GENERALE
Cerchiamo le condizioni sui nodi per cui
Posto
E p] = 0 8p(x) 2 "2n;1
!(x) = (x ; x1)(x ; x2) (x ; xn) 2 "n
dividendo p(x) per !(x) si ha
p(x) = !(x)q(x) + r(x)
q(x) r(x) 2 "n;1
@
@
Zb
Zb
;
;
@
;
@;
n
E p] = a p(x)dx ; iX=1 Aip(xi) =
Zb
n
X
= a !(x)q(x)dx+ a r(x)dx; !(xi)q(xi) ;
i|=1
{z
=0
}
n
X
A
ir(xi)
i=0
87
da cui
E p] = 0
se e solo se
1.
Zb
!(x)q(x)dx = 0 8q(x) 2 "n;1
cioe se !(x) e ortogonale a q(x).
a
I nodi sono quindi gli zeri del polinomio
ortogonale di grado n nell'intervallo a b]
2.
Zb
a
n
X
r(x)dx = i=1 Air(xi) 8r(x) 2 "n;1
cioe se Q
f ] ha grado di precisione n ; 1.
I pesi quindi soddisfano il sistema dei
coeecienti indeterminati
88
Abbiamo dimostrato il TEOREMA
IPOTESI
n
X
Q
f ] = i=1 Aif (xi)
!(x) = (x ; x1)(x ; x2) (x ; xn)
TESI
Q
f ] ha grado di precisione algebrico 2n ; 1
se e solo se
1)
Zb
2)
Zb
a
a
!(x)q(x)dx = 0 8q(x) 2 "n;1
n
X
r(x)dx = i=1 Air(xi) 8r(x) 2 "n;1
89
Osservazione
Sia Q
f ] una formula di quadratura costruita su n nodi
xi
Posto
f (x) = (x ; x1)2(x ; x2)2 : : : (x ; xn)2 2 "2n
si ha
n
X
i=1
Ai f| ({zxi)} = 0
0
@
@
@
;
@;
Zb
a
f (x)dx > 0
;
;
Esiste un polinomio di grado 2n
per cui nessuna Q
f ] e esatta
Il massimo grado di precisione algebrico e
2n ; 1
90
Le formule costruite in base al teorema precedente
sono dette
Formule di Gauss
Una formula di Gauss ha grado di precisione massimo
2n ; 1
91
Il precedente teorema vale anche nel caso
Zb
I f ] = a (x)f (x)dx
con (x) funzione peso tale che
(x) non e identicamente nulla
(x)f (x) integrabile
(x) 0 e
R
b
a
k
(x)x dx < +1
8k
In tal caso i nodi xi saranno gli zeri del polinomio
ortogonale rispetto alla funzione (x) nell'intervallo
a b]
92
A secondo della funzione peso (x) e dell'intervallo
a b] si hanno diverse famiglie di formule
Formule di Gauss-Legendre
a b] ;1 1] (x) = 1
Formule di Gauss-Jacobi
a b] ;1 1] (x) = (1;x)(1+x) > ;1
Formule di Gauss-Laguerre
a b] 0 +1
(x) = e;x
Formule di Gauss-Hermite
2
a b] ] ; 1 +1
(x) = e;x =2
Formule di Gauss-Tschebysche (I)
a b] ;1 1] (x) = (1 ; x2);1=2
Formule di Gauss-Tschebysche (II)
a b] ;1 1] (x) = (1 ; x2)1=2
93
Alcune caratteristiche delle formule di Gauss
i nodi sono numeri irrazionali (vengono calcolati una
volta per tutte e sono disponibili in tabelle)
sono formule \aperte" (gli estremi dell'intervallo a b]
non appartengono all'insieme dei nodi)
i nodi si inttiscono agli estremi (non sono
equispaziati)
Es. Gauss-Legendre n = 5
-1
u
u
u
0
u
u
1
94
ESEMPIO
Nodi e pesi per le formule di Gauss-Legendre, con 8 cifre
signicative, nell'intervallo ;1 1]
n NODI
2 :57735027
3 :77459667
0:0
4 :86113631
:33998104
5 :90617984
:53846931
0:0
6 :93246951
:66120939
:23861919
7 :96028985
:74153118
:40584515
0:0
PESI
1:0
:55555556
:88888889
:34785485
:65214515
:23692689
:47862867
:56888889
:17132449
:36076157
:46791393
:10122853
:27970539
:38183005
:41795918
95
ESEMPIO
Calcolare
Z2
I f ] = 1 f (t)dt
con la formula di Gauss-Legendre con 3 nodi
I nodi della precedente tabella appartengono all'intervallo
;1 1]
@
@
@
;
@;
;
;
necessita di trasformare l'intervallo ;1 1] nell'intervallo
1 2]
96
SOLUZIONE
t = x +2 3
@
@
x 2 ;1 1]
;
;
@
;
@;
Si ha quindi che
0
1
1 Z 1 0B@ x + 3 1CA
1 X3
x
+
3
I f ] = 2 ;1 f 2 dx ' 2 i=1 Aif B@ i 2 CA
xi presi dalla tabella precedente
97
In genere i nodi delle formule di Gauss vengono calcolati all'interno dell'intervallo ;1 1]
Vengono poi trasferiti in un generico intervallo a b] mediante la trasformazione
2
66 (
4
3
77
5
t = b ; a)x2 + a + b x 2 ;1 1]
@
@
Zb
@
;
@;
0
BB (
@
1
CC
A
b ; a)x + a + b dx
f
;1
2
1Z1
I f ] = a f (t)dt = 2
;
;
'
0
1
1 Xn
BB (b ; a)xi + a + b CC
A
A
if @
i
=1
2
2

quadratura numerica calcolo di aree e volumi

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