Stabilit`a

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Stabilit`a

SysDin
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-169
Capitolo 4
Stabilità
4.1
Introduzione
Una delle proprietà qualitative più importanti nello studio dei sistemi dinamici è quella di stabilità, che
corrisponde alla discussione della seguente domanda: come reagisce un sistema dinamico che, trovandosi in uno
stato di quiete (stato di equilibrio), viene sottoposto ad una perturbazione che lo sposta da tale stato?
Lo studio della stabilità ha le sue origine nei lavori pionieristici, ed indipendenti, di A.M. Lyapunov1 e di
J.H. Poincaré2, agli inizi del secolo scorso.
L’idea principale dei due ricercatori è quella di studiare le proprietà qualitative di un insieme di soluzioni di
un’equazione differenziale, senza procedere all’effettivo calcolo delle soluzioni stesse, sia in forma chiusa sia in
forma numerica.
4.2
Definizione di stabilità
Lo studio della stabilità è centrato intorno al concetto di punto di equilibrio. Un punto xe dello spazio di
stato di un sistema dinamico è punto di equilibrio o stato di equilibrio se il sistema rimane in quiete nel punto
indefinitamente, eventualmente sotto l’effetto di un segnale di ingresso costante.
Si consideri il sistema dinamico non lineare:
ẋ = f (x, u),
x ∈ Rn ,
(4.1)
e sia x(t) = x(t, t0 , x0 , u(·)) lo stato del sistema (cioè, la soluzione dell’equazione differenziale) all’istante t, a
partire dallo stato x0 all’istante iniziale t0 , sotto l’effetto del segnale di ingresso u(·). Un punto xe è punto di
equilibrio per il sistema dinamico (4.1), sotto l’effetto del segnale di ingresso costante u(t) = ue , ∀t ≥ t0 , se e
solo se:
xe = x(t, t0 , xe , ue ), ∀t ≥ t0 .
(4.2)
Se xe è punto di equilibrio, la condizione (4.2) implica, per un sistema dinamico a tempo continuo, ẋe = 0,
e quindi i punti di equilibrio del sistema (4.1), per ingresso costante ue , sono tutte, e sole, le soluzione reali
dell’equazione algebrica:
f (xe , ue ) = 0.
(4.3)
Commento 4.1 Si noti che il caso di un sistema dinamico caratterizzato da un punto di equilibrio xe distinto
dall’origine e relativo ad un segnale di ingresso costante non nullo ue , può sempre essere ricondotto al caso di
un sistema dinamico autonomo (cioè, senza forzamento) con equilibrio nell’origine. Infatti, sia xe 6= 0 punto di
equilibrio per il sistema (4.1) per ingresso ue 6= 0. Si consideri come nuovo vettore di stato z := x − xe e come
nuovo ingresso il segnale v := u − ue . Il sistema dinamico
ż = f¯(z, v),
f¯(z, v) := f (z + xe , v + ue )
(4.4)
ha quindi un punto di equilibrio nell’origine relativo ad ingresso nullo, poiché f¯(0, 0) = f (xe , ue ) = 0. Non è
insomma restrittivo limitare l’analisi al caso di un sistema autonomo con equilibrio nell’origine. La precedente
affermazione diviene particolarmente importante nei sistemi lineari, come si vedrà più avanti.
1 Aleksandr
2 Jules
Michajlovič Ljapunov (Jaroslavl, 1857 - Odessa, 1918)
Henry Poincaré, Nancy, 1854 - Parigi, 1912)
Capitolo 4: Stabilità
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Analogamente a quanto visto nella condizione (4.3), i punti di equilibrio di un sistema dinamico a tempo
discreto descritto dall’equazione alle differenze finite:
x(t + 1) = f (x(t), u(t)),
x ∈ Rn ,
t ∈ Z,
(4.5)
per i quali vale ancora la condizione di equilibrio (4.2), possono essere determinati sulla base delle soluzioni reali
dell’equazione algebrica:
xe = f (xe , ue ).
(4.6)
Anche in questo caso, l’analisi può essere limitata al caso di un equilibrio nell’origine per un sistema autonomo.
Nel seguito, per semplicità di notazione, il generico sistema dinamico di interesse, sia a tempo continuo sia
a tempo discreto, verrà indicato con la notazione unificata:
∆x(t) = f (x, u),
x ∈ Rn , t ∈ T .
(4.7)
Nel caso di un sistema a tempo continuo l’operatore ∆ indica la derivata prima rispetto al tempo e T = R, nel
caso di un sistema a tempo discreto l’operatore ∆ indica un anticipo temporale di un passo e T = Z. Con abuso
di notazione, si scriverà anche f (xe , ue ) = ∆xe per indicare una condizione di equilibrio sia a tempo continuo
sia a tempo discreto. La coppia di valori (xe , ue ) verrà indicata anche con il termine punto di lavoro del sistema.
L’evoluzione del sistema (4.7) a partire da una generica condizione iniziale x0 6= xe , interpretata come una
perturbazione rispetto all’equilibrio, sotto l’effetto del segnale di ingresso costante ue tale che f (xe , ue ) = ∆xe ,
e descritta dalla relazione generale x(t) = x(t, t0 , x0 , ue ), verrà chiamata evoluzione perturbata o traiettoria
perturbata ed indicata brevemente come xp (t), xp (t) := x(t, t0 , x0 , ue ).
La stabilità di un punto di equilibrio di un sistema dinamico concerne il comportamento del sistema stesso
se perturbato rispetto al suo stato di equilibrio. La domanda principale cui fornisce risposta la teoria della
stabilità è: cosa accade al moto di un sistema dinamico, in quiete in un punto di equilibrio, se il sistema, per
effetto di una piccola perturbazione, viene spostato dallo stato dall’equilibrio?
Un esempio classico è quello di una massa puntiforme posta su di una superficie con minimi e massimi
locali, come indicato in figura 4.1. Nel caso di una massa in quiete in corrispondenza di un minimo, una piccola
perturbazione dello stato del sistema, ad esempio una lieve variazione della posizione o della velocità, porta
ad un moto che non si allontanerà molto dalla posizione di equilibrio, e tale moto sarà tanto più prossimo
all’equilibrio quanto minore sarà la perturbazione iniziale. Un comportamento di questo tipo corrisponde ad
un equilibrio stabile. Se inoltre il moto del punto materiale tende a tornare, asintoticamente, sul punto di
equilibrio, ad esempio perchè il sistema è caratterizzato anche da forze dissipative, come l’attrito, si parla di
punto di equilibrio asintoticamente stabile.
Figura 4.1: Punti di equilibrio
Viceversa, una perturbazione, comunque piccola, allo stato di una massa puntiforme in equilibrio in corrispondenza di un massimo produrrà un moto che si allontanerà in modo definito dall’equilibrio stesso, senza
alcuna possibilità di rimanere confinato in un intorno del punto di equilibrio. Un comportamento di questo tipo
corrisponde ad un equilibrio non stabile, o instabile. Si noti che, nell’esempio citato, l’evoluzione perturbata
relativa ad un equilibrio instabile potrebbe finire in prossimità di un equilibrio stabile: l’instabilità insomma
non implica necessariamente comportamenti che tendono ad infinito.
Le precedenti definizione informali di punti di equilibrio stabili, asintoticamente stabili ed instabili possono
essere poste in termini formali, nel contesto della stabilità á la Lyapunov.
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Le definizioni che seguono in questa sezione sono applicabili sia al caso dei sistemi a tempo continuo che a
quello dei sistemi a tempo discreto. La norma utilizzata nel seguito si può assumere essere la consueta norma
L2 (Euclidea), sebbene tutte le norme siano equivalenti (in spazi finito dimensionali).
Definizione 4.1 (Equilibrio stabile) Un punto di equilibrio xe di un sistema ∆x = f (x, u) è detto punto di
equilibrio stabile se, per ogni ǫ > 0, esiste un δ > 0 tale che, per ogni condizione iniziale x0 : kx0 − xe k < δ,
ne segue che kxp (t) − xe k < ǫ, ∀t > t0 , xp (t) := x(t, t0 , x0 , ue ).
x(t)
ǫ
x0
xe δ
Figura 4.2: Punto di equilibrio stabile
Un secondo concetto importante è quello di convergenza.
Definizione 4.2 (Equilibrio convergente) Un punto di equilibrio xe di un sistema ∆x = f (x, u) è detto
punto di equilibrio convergente se esiste un δ > 0, tale che, per ogni condizione iniziale x0 : kx0 − xe k < δ,
ne segue che limt→∞ kxp (t) − xe k = 0, xp (t) := x(t, t0 , x0 , ue ).
x(t)
δ
x0
xe
Figura 4.3: Punto di equilibrio convergente
La proprietà di convergenza descrive un comportamento asintotico, senza fornire indicazioni sul comportamento transitorio: un punto convergente non è necessariamente stabile.
Definizione 4.3 (Equilibrio asintoticamente stabile) Un punto di equilibrio xe di un sistema ∆x = f (x, u)
è detto punto di equilibrio asintoticamente stabile se è sia stabile sia convergente.
Definizione 4.4 (Equilibrio non stabile) Un punto di equilibrio xe di un sistema ∆x = f (x, u) è detto
punto di equilibrio non stabile (o instabile) se non è stabile.
Concetti di stabilità analoghi a quelli visti per punti di equilibrio possono essere introdotti anche per moti
e traiettorie. In queste note ci si limita allo studio di punti, rimandando ad altri testi per tali estensioni.
Sulla base delle definizioni di stabilità date, possono essere introdotti criteri di stabilità di diversa natura.
Nel seguito verranno presentati criteri validi per sistemi dinamici lineari, e poi si passerà allo studio di sistemi
non lineari.
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x(t)
ǫ
x0
xe δ
Figura 4.4: Punto di equilibrio asintoticamente stabile
4.3
Stabilità di sistemi lineari
Si consideri un sistema lineare a tempo continuo, stazionario:
ẋ = Ax + Bu,
x ∈ Rn , u ∈ Rm .
(4.8)
I punti di equilibrio di tale sistema sono dati dalla soluzione del sistema omogeneo algebrico:
Axe + Bue = 0.
(4.9)
Nel caso particolare di un sistema omogeneo, e quindi descritto da
ẋ = Ax,
x ∈ Rn ,
(4.10)
la totalità dei punti di equilibrio è data dalle soluzioni del sistema omogeneo:
Axe = 0,
(4.11)
tra le quali è sempre presente la soluzione nulla, e quindi l’origine è sempre punto di equilibrio di un sistema
lineare, a tempo continuo, omogeneo. L’esistenza di ulteriori punti di equilibrio è legata alla dimensione del
nucleo della matrice A: se tale sottospazio ha dimensione non nulla, il sistema ha infiniti punti di equilibrio. Si
noti che tale sottospazio coincide con l’autospazio associato all’autovalore nullo.
Si può enunciare il seguente lemma:
Lemma 4.1
In un sistema lineare, a tempo continuo, stazionario ed omogeneo, l’origine è sempre punto di equilibrio, ed
è unico se il sistema non ha autovalori nulli. Se il sistema ha uno o più autovalori nell’origine, esso ammette
infiniti punti di equilibrio, dati dall’intero autospazio associato all’autovalore nullo.
Nel caso dei sistemi a tempo discreto si ha una situazione simile. Dato un sistema LSTD:
x(t + 1) = Ax + Bu,
x ∈ Rn , u ∈ Rm , t ∈ Z,
(4.12)
i sui punti di equilibrio sono dati dalla soluzione del sistema omogeneo algebrico:
Axe + Bue = xe .
(4.13)
Nel caso particolare di un sistema omogeneo, e quindi descritto da
x(t + 1) = Ax,
x ∈ Rn , t ∈ Z,
(4.14)
la totalità dei punti di equilibrio è data dalle soluzioni del sistema omogeneo:
Axe = xe ⇔ (I − A)xe = 0,
(4.15)
tra le quali è sempre presente la soluzione nulla, e quindi l’origine è sempre punto di equilibrio di un sistema
lineare, a tempo discreto, omogeneo. L’esistenza di ulteriori punti di equilibrio è legata alla dimensione del nucleo
della matrice (I − A): se tale sottospazio ha dimensione non nulla, il sistema ha infiniti punti di equilibrio. Si
noti che tale sottospazio coincide con l’autospazio associato all’autovalore pari ad uno.
Si può enunciare il seguente lemma:
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Lemma 4.2 In un sistema lineare, a tempo discreto, stazionario ed omogeneo, l’origine è sempre punto di
equilibrio, ed è unico se il sistema non ha autovalori unitari. Se il sistema ha uno o più autovalori unitari
(λ = 1), esso ammette infiniti punti di equilibrio, dati dall’intero autospazio associato all’autovalore pari ad
uno.
Nel caso dei sistemi lineari, la forma della soluzione dell’equazione differenziale può essere determinata nel
caso generale, ed è data dalla ben nota funzione esponenziale matriciale:
x(t) = e At x0 ,
t ∈ R,
(4.16)
nel caso a tempo continuo e dalla forma “esponenziale” corrispondente:
x(t) = At x0 ,
t ∈ Z,
(4.17)
nel caso dei sistemi a tempo discreto. In entrambi i casi, l’esponenziale di matrice contiene tutti i modi naturali
del sistema. Il comportamento transitorio ed asintotico della soluzione dipende quindi, come già ben noto, dalle
caratteristiche di convergenza dei modi naturali. Si ricordi che la condizione iniziale x0 , che descrive l’effetto
della perturbazione iniziale, appare come termine moltiplicativo della risposta libera nello stato.
La definizione (4.1) di stabilità di un punto di equilibrio, specializzata al caso dell’origine, diviene:
Definizione 4.5 (Stabilità dell’origine per un sistema lineare omogeneo) L’origine xe = 0 è punto
di equilibrio stabile per un sistema lineare omogeneo ∆x = Ax se per ogni ǫ > 0 esiste un δ > 0 tale che,
per ogni condizione iniziale kx0 k < δ, si abbia kxp (t)k < ǫ, ∀t ≥ t0 .
La traiettoria perturbata in questo caso corrisponde ad una risposta libera nello stato. Intuitivamente, si
avrà il comportamento descritto nella definizione se, e solo se, tutti i modi naturali del sistema sono limitati o
convergenti.
Più precisamente, indicata con kM k la norma indotta3 sulla matrice M dalla norma vettoriale in uso, e
ricordando che kM vk ≤ kM k · kvk, si può scrivere:
kxp (t)k
kxp (t)k
= k expAt x0 k ≤ k expAt kkx0 k, ∀t ≥ t0 , t ∈ R,
= kAt x0 k ≤ kAt kkx0 k, ∀t ≥ t0 , t ∈ Z.
(4.18)
(4.19)
Sia nel caso dei sistemi a tempo continuo, sia nel caso dei sistemi a tempo discreto, ne segue che l’origine
è un punto di equilibrio stabile se la norma dell’esponenziale di matrice è limitata per tutti i valori del tempo.
Poichè tale matrice contiene tutti i modi naturali del sistema, la presenza anche di un solo modo divergente
rende non limitata la norma, e quindi non stabile l’origine. Ne segue il seguente criterio:
Lemma 4.3 (Criterio di stabilità dell’origine per un sistema lineare omogeneo)
L’origine dello spazio di stato è punto di equilibrio stabile per un sistema lineare omogeneo ∆x = Ax se e
solo se tutti i modi naturali del sistema sono limitati o convergenti.
Il criterio può essere specializzato al caso dei sistemi a tempo continuo e di quelli a tempo discreto per il
tramite delle seguenti formulazioni specifiche. Si ricorda che lo spettro di una matrice A, indicato con sp(A),
costitutisce l’insieme di tutti i suoi autovalori, che la molteplicità algebrica di un autovalore è indicata con µ e
la molteplicità geometrica con ν.
Teorema 4.1 (Criterio di stabilità dell’origine per sistemi lineari omogenei a tempo continuo)
L’origine dello spazio di stato è punto di equilibrio stabile per un sistema lineare omogeneo a tempo continuo
ẋ = Ax se e solo se tutti i modi naturali del sistema sono limitati o convergenti, e cioè se e solo se valgono
entrambe le condizioni:
Re(λ) ≤ 0, ∀λ ∈ sp(A),
(4.20a)
∀λ ∈ sp(A) : Re(λ) = 0, ⇒ µ = ν.
3 Assunta
una norma kvk per i vettori di uno spazio
kAvk
maxv
= maxkvk=1 kAvk
kvk
Rn ,
si dice norma indotta di una matrice M ∈
(4.20b)
Rn×n
la quantità:
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Infatti, ad autovalori con parte reale negativa corrispondono modi naturali convergenti, per la presenza di
un termine esponenziale reale con parametro pari proprio alla parte reale dell’autovalore, e ad autovalori con
parte reale nulla e molteplicità algebrica e geometrica uguali corrispondono modi naturali limitati (funzioni a
gradino o funzioni co/sinusoidali).
In modo analogo, per i sistemi a tempo discreto.
Teorema 4.2 (Criterio di stabilità dell’origine per sistemi lineari omogenei a tempo discreto)
L’origine dello spazio di stato è punto di equilibrio stabile per un sistema lineare omogeneo a tempo discreto
x(t+ 1) = Ax se e solo se tutti i modi naturali del sistema sono limitati o convergenti, e cioè se e solo se valgono
entrambe le condizioni:
|λ| ≤ 1, ∀λ ∈ sp(A),
∀λ ∈ sp(A) : |λ| = 1, ⇒ µ = ν.
(4.21a)
(4.21b)
Infatti, ad autovalori con modulo minore di uno corrispondono modi naturali convergenti, per la presenza di un termine “esponenziale a tempo discreto” reale, del tipo σ t , con parametro pari proprio al modulo
dell’autovalore, e ad autovalori con modulo unitario e molteplicità algebrica e geometrica uguali corrispondono
modi naturali limitati (funzioni a gradino o funzioni periodiche).
Si consideri ora la definizione di punto di equilibrio convergente, adattandola allo studio dell’origine di un
sistema lineare.
Definizione 4.6 (Convergenza dell’origine per un sistema lineare omogeneo)
L’origine xe = 0 è punto di equilibrio convergente per un sistema lineare omogeneo ∆x = Ax se esiste un
δ > 0 tale che, per ogni condizione iniziale kx0 k < δ, ne segue che limt→∞ kxp (t)k = 0.
Intuitivamente, si avrà il comportamento descritto nella definizione se, e solo se, tutti i modi naturali del
sistema sono convergenti.
Ricordando le relazioni (4.18) e (4.19), si trova che, sia nel caso dei sistemi a tempo continuo, sia nel caso dei
sistemi a tempo discreto, l’origine è un punto di equilibrio convergente se la norma dell’esponenziale di matrice
è convergente a zero asintoticamente. Poichè tale matrice contiene tutti i modi naturali del sistema, la presenza
anche di un solo modo divergente o limitato rende non convergente la norma, e quindi non convergente l’origine.
Ne segue il seguente criterio:
Lemma 4.4 (Criterio di convergenza dell’origine per un sistema lineare omogeneo)
L’origine dello spazio di stato è punto di equilibrio convergente per un sistema lineare omogeneo ∆x = Ax
se e solo se tutti i modi naturali del sistema sono convergenti.
Si noti che la classe di sistemi per i quali l’origine è convergente è strettamente contenuta nella classe dei
sistemi per i quali l’origine è punto di equilibrio stabile. Ne consegue che, limitatamente ai sistemi lineari, la
convergenza implica la stabilità, e quindi la stabilità asintotica. Ciò è sintetizzato dal seguente risultato.
Lemma 4.5 (Criterio di stabilità asintotica dell’origine per un sistema lineare omogeneo)
L’origine dello spazio di stato è punto di equilibrio asintoticamente stabile per un sistema lineare omogeneo
∆x = Ax se e solo se tutti i modi naturali del sistema sono convergenti.
Il criterio precedente può essere specializzato al caso dei sistemi stazionari a tempo continuo (TC) e di quelli
a tempo discreto (TD) per il tramite delle seguenti formulazioni specifiche.
Teorema 4.3 (Criterio di stabilità asintotica dell’origine per sistemi omogenei LSTC)
L’origine dello spazio di stato è punto di equilibrio asintoticamente stabile per un sistema lineare stazionario
omogeneo a tempo continuo ẋ = Ax se e solo se tutti i modi naturali del sistema sono convergenti, e cioè se e
solo se vale la condizione:
Re(λ) < 0, ∀λ ∈ sp(A).
(4.22)
In modo analogo, per i sistemi a tempo discreto.
Teorema 4.4 (Criterio di stabilità asintotica dell’origine per sistemi omogenei LSTD)
L’origine dello spazio di stato è punto di equilibrio asintoticamente stabile per un sistema lineare stazionario
omogeneo a tempo discreto x(t + 1) = Ax se e solo se tutti i modi naturali del sistema sono convergenti, e cioè
se e solo se vale la condizione:
|λ| < 1, ∀λ ∈ sp(A).
(4.23)
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Commento 4.2
Si noti come, nel caso dei sistemi lineari, le proprietà di stabilità siano globali, e in particolare la perturbazione
impressa allo stato iniziale, caratterizzata dal reale δ nelle definizioni, possa essere arbitrariamente grande.
Nel caso dei sistemi lineari, specializzando il contenuto del commento 4.1, è facile vedere che se un sistema,
anche non omogeneo, ammette molti (e quindi infiniti) punti di equilibrio, questi hanno tutti le stesse proprietà
di stabilità dell’origine del sistema omogeneo associato. Ne segue che, limitatamente al caso lineare, le proprietà
di stabilità dell’origine vengono attribuite anche all’intero sistema, e si parla quindi di sistemi stabili, sistemi
asintoticamente stabili e sistemi instabili, in funzione della collocazione degli autovalori nel piano complesso
definita nei criteri di stablità dell’origine riportati in precedenza.
4.3.1
L’equazione di Lyapunov
Per lo studio della stabilità di sistemi lineari à disponibile anche un risultato che si rivela interessante in sede di
progetto di controllori stabilizzanti, sia per sistemi lineari sia per sistemi non lineari: l’equazione di Lyapunov.
Si ricorda la seguente definizione.
Definizione 4.7 (Matrice definita positiva) Una matrice quadrata, reale e simmetrica M , di dimensioni
n × n, è detta definita positiva se la forma quadratica xT M x, x ∈ Rn , è definita positiva.
Si consideri il sistema LSTC omogeneo in (4.10). Si ha il seguente teorema.
Teorema 4.5 (Equazione di Lyapunov per sistemi LSTC omogenei)
Il sistema lineare, stazionario, a tempo continuo, omogeneo
ẋ = Ax,
x ∈ Rn ,
(4.24)
è asintoticamente stabile se e solo se, per ogni matrice Q simmetrica e definita positiva, l’equazione matriciale
lineare:
AT P + P A = −Q
(4.25)
nella matrice incognita P , quadrata, reale, simmetrica e definita positiva, ammette una soluzione simmetrica e
definita positiva.
L’equazione (4.25) è detta appunto equazione di Lyapunov a tempo continuo.
Per i sistemi a tempo discreto vale un risultato analogo. La corrispondente equazione è detta equazione di
Lyapunov a tempo discreto.
Teorema 4.6 (Equazione di Lyapunov per sistemi LSTD omogenei)
Il sistema lineare, stazionario, a tempo discreto, omogeneo
x(k + 1) = Ax,
x ∈ Rn ,
(4.26)
è asintoticamente stabile se e solo se, per ogni matrice Q simmetrica e definita positiva, l’equazione matriciale
lineare:
AT P A − P = −Q
(4.27)
nella matrice incognita P , quadrata, reale, simmetrica e definita positiva, ammette una soluzione simmetrica e
definita positiva.
4.4
Il criterio ridotto di Lyapunov per sistemi non lineari
Lo studio della stabilità di punti di equilibrio per sistemi non lineari può essere condotta, in prima approssimazione, studiando il comportamento, intorno al punto stesso, di una versione approssimata del sistema
dinamico.
Si consideri un sistema non lineare
∆x = f (x, u),
x ∈ Rn , u ∈ Rm ,
(4.28)
e sia xe un punto di equilibrio per tale sistema, cioè, tale che ∆xe = f (xe , ue ). Il punto di equilibrio xe può essere
preso come punto iniziale per un’espansione in serie di Taylor della funzione f (x, u). Indicati con δx := x − xe
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e δu = u − ue gli scostamenti rispetto all’equilibrio dello stato interno del sistema e del segnale di ingresso, lo
sviluppo in serie di Taylor della funzione vettoriale f (x, u) è dato da:
∂f (x, u) ∂f (x, u) δx +
δu + r(δx, δu, xe , ue )
(4.29)
f (x, u) = f (xe , ue ) +
∂x x=xe
∂u x=xe
u=ue
u=ue
dove r(δx, δu, xe , ue ) indica il resto dello sviluppo in serie. Poiché esso contiene solo termini di ordine superiore
al primo in δx e δu, costituisce un infinitesimo di ordine superiore rispetto ai due incrementi, e cioè:
lim
δx→0
kr(δx, δu, xe , ue )k
= 0,
kδxk
lim
δu→0
kr(δx, δu, xe , ue )k
= 0.
kδuk
(4.30)
∂f (x, u)
, di dimensioni n×n, è detta matrice jacobiana della funzione vettoriale (più precisamente,
∂x
∂f (x, u)
, di dimensioni n×m, è detta matrice jacobiana
del campo vettoriale) f (x, u) rispetto ad x, ed il termine
∂u
della funzione vettoriale f (x, u) rispetto ad u. Valutando le due matrici jacobiane in corrispondenza del punto
di lavoro (xe , ue ) si ottengono due matrici ad elementi reali, indicate con A e B per analogia con il caso lineare:
∂f (x, u) ∂f (x, u) ,
B
:=
.
(4.31)
A :=
∂x x=xe
∂u x=xe
Il termine
u=ue
u=ue
Il campo vettoriale f (x, u), in un intorno del punto di lavoro, può quindi essere approssimato come:
f (x, u) ≃ f (xe , ue ) + Aδx + Bδu.
(4.32)
Ne consegue che il sistema non lineare (4.28), in un intorno del punto di lavoro (xe , ue ), è descritto dal
modello lineare approssimato:
∆δx = Aδx + Bδu,
(4.33)
ed i particolare
˙ = Aδx + Bδu,
δx
(4.34)
δx(t + 1) = Aδx + Bδu,
(4.35)
per un sistema a tempo continuo e
per un sistema a tempo discreto.
Commento 4.3 Si precisa che i modelli lineari (4.34) e (4.35) descrivono l’evoluzione approssimata dello scostamento δx tra l’andamento effettivo dello stato x(t) del sistema nonlineare ed il corrispondente punto di equilibrio.
Di per sé, quindi, l’utilizzo dello stesso simbolo δx nelle (4.34) e (4.35) e nella definizione δx := x − xe non è
completamento corretto. Si procede nel modo proposto per semplicità di notazione.
Le proprietà di stabilità dell’approssimazione lineare (più formalmente, della sua origine), possono essere
utilizzate per caratterizzare, per piccole perturbazioni, le proprietà di stabilità del punto di equilibrio del sistema
non lineare originale. L’idea alla base di tale risultato deriva dal fatto che, in un intorno sufficientemente piccolo
dell’origine, un termine lineare non identicamente nullo cresce più velocemente di qualsiasi termine polinomiale
di ordine superiore al primo. Purtroppo, se tale termine lineare è nullo (cioè, con coefficiente angolare nullo),
la crescita è imposta dai termini di ordine superiore.
Tali idee qualitative possono essere raccolte nel seguente teorema, detto criterio ridotto di Lyapunov, formulabile come segue per un generico sistema, e specializzato nel seguito tenendo conto della natura del tempo.
Teorema 4.7 (Criterio ridotto di Lyapunov) Sia (xe , ue ) un punto di lavoro per un sistema non lineare
∆x = f (x, u), e sia ∆δx = Aδx l’approssimazione lineare di tale sistema intorno al punto di lavoro, calcolata
secondo le relazioni (4.31). Allora, il punto xe è punto di equilibrio:
1. asintoticamente stabile, se tutti i modi naturali dell’approssimazione lineare sono convergenti (cioè, se
l’approssimazione lineare è asintoticamente stabile);
2. instabile, se l’approssimazione lineare ha almeno un modo naturale divergente (cioè, se l’approssimazione
lineare è instabile);
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3. critico (caso critico) se l’approssimazione lineare ha uno o più modi naturali limitati e gli altri convergenti
(cioè, se l’approssimazione lineare è semplicemente stabile).
Si precisa che la dizione caso critico indica che il criterio ridotto non è in grado di fornire risposte significative,
poiché il comportamento del sistema in un intorno del punto di lavoro è caratterizzato dai termini di ordine
superiore al primo, che sono stati trascurati nella costruzione della approssimazione lineare. Si vedano, in
proposito, i successivi esempi 4.1 ed 4.2.
Il criterio ridotto può essere formulato in modo più specifico in funzione della natura dei sistemi. Per la
classe dei sistemi non lineari a tempo continuo si ha il seguente teorema.
Teorema 4.8 (Criterio ridotto di Lyapunov per sistema a tempo continuo)
˙ = Aδx l’approssimazione
Sia (xe , ue ) un punto di lavoro per un sistema non lineare ẋ = f (x, u), e sia δx
lineare di tale sistema intorno al punto di lavoro, calcolata secondo le relazioni (4.31). Allora, il punto xe è
punto di equilibrio:
1. asintoticamente stabile, se tutti gli autovalori dell’approssimazione lineare hanno parte reale negativa
(cioè, se l’approssimazione lineare è asintoticamente stabile);
2. instabile, se almeno un autovalore dell’approssimazione lineare ha parte reale positiva (cioè, se l’approssimazione
lineare è instabile);
3. critico (caso critico) se l’approssimazione lineare ha uno o più autovalori con parte reale nulla e tutti gli
altri con parte reale negativa (cioè, se l’approssimazione lineare è semplicemente stabile).
Nel caso dei sistemi non lineari a tempo discreto si ha invece il seguente teorema.
Teorema 4.9 (Criterio ridotto di Lyapunov per sistema a tempo discreto)
Sia (xe , ue ) un punto di lavoro per un sistema non lineare x(t + 1) = f (x, u), e sia δx(t + 1) = Aδx
l’approssimazione lineare di tale sistema intorno al punto di lavoro, calcolata secondo le relazioni (4.31). Allora,
il punto xe è punto di equilibrio:
1. asintoticamente stabile, se tutti gli autovalori dell’approssimazione lineare hanno modulo minore di uno
(cioè, se l’approssimazione lineare è asintoticamente stabile);
2. instabile, se almeno un autovalore dell’approssimazione lineare ha modulo maggiore di uno (cioè, se
l’approssimazione lineare è instabile);
3. critico (caso critico) se l’approssimazione lineare ha uno o più autovalori con modulo unitario e tutti gli
altri con modulo minore di uno (cioè, se l’approssimazione lineare è semplicemente stabile).
4.5
Il metodo diretto di Lyapunov per sistemi non lineari
Lo studio delle proprietà di stabilità di punti di equilibrio può essere condotto anche utilizzando il metodo
diretto di Lyapunov, o secondo metodo di Lyapunov, cosı̀ chiamato perché basato direttamente sulla equazione
differenziale che regola il moto, e non sulla sua soluzione.
L’idea del metodo deriva (probabilmente, [9]) da un risultato di Lagrange, intorno al 1800: se in una certa
posizione di riposo un sistema meccanico conservativo ha un minimo di energia potenziale, allora l’equilibrio è
stabile; se la posizione di equilibrio non corrisponde ad un minimo dell’energia potenziale, allora l’equilibrio è
instabile (si veda la citata figura 4.1).
Il criterio diretto di Lyapunov estende le considerazioni qualitative sulla energia potenziale di un sistema,
introducendo una sorta di generalizzazione della funzione energia, detta funzione candidata di Lyapunov.
Nel seguito, senza perdere di generalità in base a quanto già detto nel commento 4.1, si tratterà solo il caso
di equilibrio nell’origine per sistemi non lineari omogenei.
I teoremi di stabilità di Lyapunov sono basati su particolari classi di funzioni, ben definite in segno. Nel
seguito, W indicherà un intorno dell’origine dello spazio vettoriale Rn . Di norma i risultati saranno locali,
appunto validi solo in un intorno dell’origine. In alcuni casi, può accadere che l’intorno possa essere esteso
all’intero spazio di stato: in tal caso i risultati sono detti globali.
Definizione 4.8 (Funzione definita positiva) Una funzione continua V (x) : W → R è detta definita positiva (d.p.) nell’insieme W contenente l’origine, se:
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-178
1. V (0) = 0,
2. V (x) > 0, per tutti i punti x 6= 0, x ∈ W.
Definizione 4.9 (Funzione semidefinita positiva) Una funzione continua V (x) : W → R è detta semidefinita positiva (s.d.p.) nell’insieme W contenente l’origine, se:
1. V (0) = 0,
2. V (x) ≥ 0, per tutti i punti x 6= 0, x ∈ W.
Definizione 4.10 (Funzione definita negativa) Una funzione continua V (x) : W → R è detta definita
negativa (d.n.) nell’insieme W contenente l’origine, se la funzione −V (x) è definita positiva, e quindi se:
1. V (0) = 0,
2. V (x) < 0, per tutti i punti x 6= 0, x ∈ W.
Definizione 4.11 (Funzione semidefinita negativa) Una funzione continua V (x) : W → R è detta semidefinita negativa (s.d.n.) nell’insieme W contenente l’origine, se la funzione −V (x) è semidefinita positiva.
Le considerazioni qualitative sulla variazione dell’energia generalizzata, a fronte di una perturbazione, implicano lo studio della variazione di tale funzione. Tale studio viene condotto utilizzando la conoscenza della
derivata temporale, nel caso dei sistemi a tempo continuo, il calcolo diretto della variazione nei sistemi a tempo
discreto.
L’idea, nel caso dei sistemi a tempo continuo, viene concretizzata utilizzando lo strumento della derivata di
una funzione scalare lungo una funzione vettoriale.
Si consideri un sistema dinamico autonomo
ẋ = f (x),
x ∈ Rn .
(4.36)
Si consideri inoltre una funzione scalare V (x) : W → R, V (x) ∈ C 1 , cioè con derivate prime continue.
Definizione 4.12 (Derivata rispetto ad un campo vettoriale) La derivata V̇ di una funzione V (x) : W →
R rispetto al campo vettoriale f (x) è definita dal prodotto scalare:
V̇ :=< grad V (x), f (x) >=
∂V (x)
∂V (x)
f1 (x) + · · · +
fn (x).
∂x1
∂xn
(4.37)
Si noti che V̇ si calcola direttamente dalla conoscenza di V (x) e del campo vettoriale f (x), senza necessità di
risolvere l’equazione differenziale relativa, cioè l’equazione ẋ = f (x). Come già accennato in precedenza, questo
è uno dei principali punti di forza del metodo diretto.
La notazione V̇ indica una derivata temporale. Infatti la derivata di V lungo f descrive la variazione
temporale della funzione V (x) quando calcolata lungo una soluzione x(t) dell’equazione differenziale. Utilizzando
la regola di derivazione di funzioni composte, se la funzione V (x) viene valutata lungo la traiettoria x(t) =
x(t, t0 , x0 , u(·)), si trova:
V̇ =
∂V (x)
∂V (x)
∂V (x)
∂V (x)
ẋ1 + · · · +
ẋn =
f1 (x) + · · · +
fn (x).
∂x1
∂xn
∂x1
∂xn
(4.38)
E’ ora possibile enunciare i principali teoremi di stabilità (ed instabilità) di Lyapunov per l’origine di sistemi
non lineari, a tempo continuo, omogenei.
Teorema 4.10 (Teorema di stabilità di Lyapunov) Sia l’origine, xe = 0, punto di equilibrio del sistema
non lineare ẋ = f (x). Se esiste una funzione scalare definita positiva (d.p.) V (x) : W → R, V (x) ∈ C 1 , con W
intorno dell’origine, tale che V̇ sia semidefinita negativa (s.d.n.) in W per il sistema ẋ = f (x), allora l’origine
è punto di equilibrio stabile di tale sistema.
Teorema 4.11 (Teorema di stabilità asintotica di Lyapunov) Sia l’origine, xe = 0, punto di equilibrio
del sistema non lineare ẋ = f (x). Se esiste una funzione scalare definita positiva (d.p.) V (x) : W → R,
V (x) ∈ C 1 , con W intorno dell’origine, tale che V̇ sia definita negativa (d.n.) in W per il sistema ẋ = f (x),
allora l’origine è punto di equilibrio asintoticamente stabile di tale sistema.
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-179
Vi è anche un teorema di instabilità.
Teorema 4.12 (Teorema di instabilità di Lyapunov) Sia l’origine, xe = 0, punto di equilibrio del sistema
non lineare ẋ = f (x). Se esiste una funzione scalare definita positiva V (x) : W → R, V (x) ∈ C 1 , con W intorno
dell’origine, tale che V̇ sia definita positiva in W, allora l’origine dello spazio di stato è punto di equilibrio
instabile di tale sistema.
Una funzione scalare V (x) : W → R, che sia definitiva positiva ed abbia derivate prime continue, è detta
funzione candidata di Lyapunov. Una funzione candidata di Lyapunov che soddisfi ad uno dei due teoremi 4.10
o 4.11 è detta funzione di Lyapunov per il sistema corrispondente.
Lo studio della stabilità dell’origine per sistemi non lineari a tempo discreto può essere condotta in modo
analogo, salvo utilizzare la variazione finita della funzione candidata di Lyapunov in luogo della sua derivata
temporale.
Sia quindi
x(t + 1) = f (x), x ∈ Rn
(4.39)
un sistema non lineare a tempo discreto, omogeneo, con l’origine punto di equilibrio del sistema (xe = 0), e
cioè f (0) = 04 . Sia V (x) : W → R una funzione definita positiva in un opportuno intorno W dell’origine. La
variazione δV := V (x(t+ 1))− V (x(t)) di tale funzione lungo le traiettorie del sistema si può calcolare facilmente
come:
δV = V (x(t + 1)) − V (x(t)) = V (f (x) − V (x))
(4.40)
Sulla base di tale variazione della funzione candidata, possono essere formulati tre teoremi, del tutto analoghi
ai corrispondenti a tempo continuo.
Teorema 4.13 (Teorema di stabilità di Lyapunov a tempo discreto) Sia l’origine, xe = 0, punto di
equilibrio del sistema non lineare x(t + 1) = f (x). Se esiste una funzione scalare definita positiva (d.p.)
V (x) : W → R, con W intorno dell’origine, tale che la sua variazione δV sia semidefinita negativa (s.d.n.) in
W per il sistema x(t + 1) = f (x), allora l’origine è punto di equilibrio stabile di tale sistema.
Teorema 4.14 (Teorema di stabilità asintotica di Lyapunov a tempo discreto) Sia l’origine, xe = 0,
punto di equilibrio del sistema non lineare a tempo discreto x(t + 1) = f (x). Se esiste una funzione scalare
definita positiva (d.p.) V (x) : W → R, con W intorno dell’origine, tale che la sua variazione δV sia definita
negativa (d.n.) in W per il sistema x(t + 1) = f (x), allora l’origine è punto di equilibrio asintoticamente stabile
di tale sistema.
Vi è anche un teorema di instabilità.
Teorema 4.15 (Teorema di instabilità di Lyapunov a tempo discreto) Sia xe = 0 punto di equilibrio
del sistema non lineare a tempo discreto x(t + 1) = f (x). Se esiste una funzione scalare definita positiva
V (x) : W → R, con W intorno dell’origine, tale che la sua variazione δV sia definita positiva in W, allora
l’origine dello spazio di stato xe = 0è punto di equilibrio instabile di tale sistema.
Alcuni commenti.
Commento 4.4 Si noti che i teoremi non forniscono alcuna informazione circa la costruzione della funzione
candidata di Lyapunov. Ciò costituisce la principale difficoltà nell’applicazione del criterio.
Commento 4.5 I teoremi forniscono condizioni sufficienti di stabilità. Tali condizioni non sono necessarie.
Esistono tuttavia dei teoremi inversi (converse Lyapunov theorems), che affermano l’esistenza di una funzione
di Lyapunov per un punto di equilibrio (asintoticamente) stabile di un sistema non lineare.
Commento 4.6 Le condizioni di stabilità sono locali. In alcuni casi, l’intorno dell’origine considerato potrebbe
essere anche molto piccolo. In particolare nel teorema 4.11 l’intorno W, che descrive perturbazioni iniziali che
danno luogo a moti convergenti, potrebbe essere anche molto piccolo.
La seguente definizione è importante in molte applicazioni della teoria della stabilità á la Lyapunov alla
teoria del controllo.
4 In
questo caso, e solo in questo caso, le condizioni di equilibrio per sistemi a tempo continuo e a tempo discreto coincidono.
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-180
Definizione 4.13 (Regione di convergenza (o Bacino di attrazione)) Sia xe un punto di equilibrio asintoticamente stabile per un sistema dinamico ∆x = f (x, u). La regione dello spazio di stato Bxe tale che:
∀x0 ∈ Bxe ,
lim x(t, t0 , x0 , ue ) = xe ,
t→∞
(4.41)
è detta Regione di Convergenza o Bacino di Attrazione per il punto di equilibrio xe .
Per completezza, si riporta il criterio di Lyapunov nella formulazione globale.
Teorema 4.16 (Teorema di Lyapunov di stabilità globale asintotica) Sia xe = 0 punto di equilibrio del
sistema non lineare ẋ = f (x). Se esiste una funzione scalare definita positiva (d.p.) V (x) : Rn → R, V (x) ∈ C 1 ,
tale che V̇ sia definita negativa (d.n.) in Rn per il sistema ẋ = f (x), allora l’origine è punto di equilibrio
globalmente asintoticamente stabile di tale sistema.
4.6
Esempi
Esempio 4.1 Si consideri il sistema dinamico:
ẋ = −x3 ,
x ∈ R.
(4.42)
Il sistema ammette come unico punto di equilibrio l’origine. Applicando il criterio ridotto di Lyapunov per
studiare la stabilità si trova:
d 3
A=
x |x=0 = (−3x2 )|x=0 = 0,
(4.43)
dx
e quindi si ha un caso critico.
1
Si consideri la funzione candidata di Lyapunov V (x) = x2 . Si trova:
2
V̇ = xẋ = −x4 ,
d.n.
(4.44)
che è definita negativa, e quindi l’origine è punto di equilibrio asintoticamente stabile.
▽
Esempio 4.2 Si consideri il sistema dinamico:
ẋ = +x3 ,
x ∈ R.
(4.45)
Il sistema ammette come unico punto di equilibrio l’origine. Applicando il criterio ridotto di Lyapunov per
studiare la stabilità si trova:
d 3
A=
x |x=0 = (3x2 )|x=0 = 0,
(4.46)
dx
e quindi si ha un caso critico.
1
Si consideri la funzione candidata di Lyapunov V (x) = x2 . Si trova:
2
V̇ = xẋ = +x4 ,
d.p.
(4.47)
che è definita positiva, e quindi l’origine è punto di equilibrio instabile.
▽
Esempio 4.3 Si consideri il modello dinamico di un pendolo, ricavato nella sezione 1.6 e sotto riportato nel
caso particolare di parametri tutti unitari, salvo il coefficiente di attrito viscoso, indicato qui con α, α ≥ 0, in
luogo di kv .
θ
x2
ẋ = f (x, u), x =
,
(4.48)
, f (x, u) =
− sin(x1 ) − αx2 + u
ω
dove x1 = θ indica la posizione angolare del pendolo, x2 = ω la corrispondente velocità angolare ed u il segnale
esterno, cioè, la coppia motrice esercitata sul pendolo da un azionamento opportuno.
Il sistema omogeneo, intuitivamente, ha molti punti di equilibrio, corrispondenti alla posizione con massa
verso il basso, caratterizzata da x1,e = k2π, con k intero, ed alla posizione con massa verso l’alto, caratterizzata
da x1,e = k3/2π, con k intero.
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-181
Sempre da un punto di vista intuitivo, le posizioni con massa verso il basso sono punti di equilibrio stabili
(ed asintoticamente stabili se α > 0), le posizioni con massa verso l’alto sono punti di equilibrio instabili.
Si proceda con il calcolo dei punti di equilibrio. Dalla relazione f (xe , ue ) = 0, considerando il sistema
omogeneo, si ha:
kπ
x2,e
= 0 ⇒ xe =
, ∀k ∈ Z,
(4.49)
f (xe , 0) =
0
− sin(x1,e ) − αx2,e
come atteso dalla valutazione qualitativa.
Per una analisi formale della stabilità, si consideri il criterio ridotto di Lyapunov. Si trova (per il sistema
omogeneo):
∂f (x)
0
1
=
(4.50)
− cos(x1 ) −α
∂x
e quindi, nel punto di equilibrio xe = 0, rappresentativo di tutti i punti di equilibrio “pendolo in basso”, si trova
la matrice dell’approssimazione lineare:
∂f (x) 0
1
0
1
A0 =
=
=
,
(4.51)
− cos(x1 ) −α x =0
−1 −α
∂x xe =0
e
√
2
il cui polinomio caratteristico vale: det(λI − A0 ) = λ2 + αλ + 1, le cui radici valgono λ1,2 = − α2 ± α2 −4 , e
sono a parte reale positiva per tutti i valori strettamente positivi del parametro α. Se il sistema quindi dissipa
energia, l’origine è punto di equilibrio asintoticamente stabile.
Se invece il sistema non dissipa energia, e quindi α = 0, l’approssimazione lineare ha un polinomio caratteristico pari a λ2 + 1, e quindi ha due autovalori con parte reale nulla: si è nella situazione di caso critico, ed il
criterio ridotto non è in grado di fornire indicazioni.
Nel caso del punto di equilibrio xe = (π, 0)T , posizione in alto, si trova:
∂f (x) 0
1
0
1
=
=
Aπ =
,
(4.52)
− cos(x1 ) −α x =(π,0)T
+1 −α
∂x xe =(π,0)T
e
il cui polinomio caratteristico vale: det(λI − A0 ) = λ2 + αλ − 1, le cui radici valgono λ1,2 = − α2 ±
sono di segno discorde. Il punto di equilibrio quindi è punto di equilibrio non stabile, o instabile.
√
α2 +4
,
2
e
▽
Esempio 4.4 Si consideri ancora il modello dinamico di un pendolo:
θ
x2
ẋ = f (x, u), x =
, f (x, u) =
,
ω
− sin(x1 ) − αx2 + u
(4.53)
Si consideri la funzione:
1
V (x) = (1 − cos(x1 )) + x22 .
(4.54)
2
La funzione ha derivate prime continue, è definita positiva nell’intorno dell’origine W = {(x1 , x2 ) : −π < x1 < π}
e quindi è utilizzabile come funzione candidata di Lyapunov. Si noti come, in questo caso, l’intorno W determini
una validità locale, ma in “grande”: il risultato cioè non vale solo per perturbazioni molto piccole, infinitesime,
ma anche per perturbazioni finite.
Applicando il teorema di stabilità di Lyapunov all’origine si trova, per il sistema omogeneo:
V̇ (x) = x˙1 sin(x1 ) + x˙2 x2 = sin(x1 )x2 − (sin(x1 ) + αx2 )x2 = −αx22
(4.55)
che è semi-definita negativa per ogni valore non negativo del parametro α (e quindi per ogni valore fisicamente
possibile). Ne consegue che l’origine è punto di equilibrio (semplicemente) stabile per il sistema in esame.
Si noti come il risultato appena derivato sia in apparente contraddizione con il precedente esempio 4.3, dal
quale si ricava stabilità asintotica per valori strettamente positivi del parametro α.
La inconsistenza in effetti non esiste, poiché, come detto nel commento 4.5, il metodo diretto di Lyapunov
fornisce condizioni sufficienti: se una specifica funzione candidata fornisce un risultato di stabilità, si è certi del
fatto che il punto di equilibrio non è instabile, ma rimane la possibilità che sia asintoticamente stabile. Una
diversa funzione candidata potrebbe consentire di mostrare questa seconda proprietà, più forte.
▽
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-182
Esempio 4.5 Si consideri ancora il modello dinamico di un pendolo, con valore unitario del parametro α:
θ
x2
ẋ = f (x, u), x =
, f (x, u) =
,
(4.56)
ω
− sin(x1 ) − x2 + u
e si consideri la funzione:
1
1
(4.57)
V (x) = 2(1 − cos(x1 )) + x22 + (x1 + x2 )2 .
2
2
Analogamente al caso del precedente esempio, la funzione ha derivate prime continue, è definita positiva
nell’intorno dell’origine W = {(x1 , x2 ) : −π < x1 < π} e quindi è utilizzabile come funzione candidata di
Lyapunov.
Applicando il teorema di stabilità di Lyapunov all’origine del sistema omogeneo, e quindi con u = 0, si trova:
V̇ (x)
= 2x˙1 sin(x1 ) + x˙2 x2 + (x˙1 + x˙2 )(x1 + x2 )
(4.58a)
= 2 sin(x1 )x2 − (sin(x1 ) + x2 )x2 + (x2 − sin(x1 ) − x2 )(x1 + x2 ) == −x1 sin(x1 ) −
x22
(4.58b)
che è definita negativa, poiché per valori piccoli di x1 , si ha che sin(x1 ) ≃ x1 .
Ne consegue che l’origine è punto di equilibrio asintoticamente stabile per il sistema in esame.
Questo risultato illustra ulteriormente il commento alla fine del precedente esempio.
▽
Esempio 4.6 Si consideri il modello dinamico non lineare a tempo discreto:
x(t + 1) = x(t) − x(t)2 + α,
α ∈ R+ .
(4.59)
Il calcolo dei punti di equilibrio mostra che:
xe = xe − x2e + α
√
⇒ xe = ± α
(4.60)
e quindi il sistema ha due punti di equilibrio, pari alle due √
radici quadrate del parametro reale positivo α.
Le proprietà di stabilità, ad esempio del punto xe = + α, posso essere studiate tramite il criterio ridotto
di Lyapunov per sistemi a tempo discreto. Per il gradiente del campo si trova:
f (x) = x(t) − x(t)2 + α,
⇒
∂f (x)
= 1 − 2x,
∂x
e quindi l’approssimazione lineare intorno al punto di equilibrio vale
√
δx(t + 1) = aδx, a = 1 − 2 α.
(4.61)
(4.62)
Il parametro a (e cioè l’autovalore) ha modulo minore di uno √
per tutti i valori di α minori di uno e positivi.
Per tali valori del parametro quindi, il punto di equilibrio xe = α del sistema (4.59) è asintoticamente stabile.
Tale sistema è quindi un possibile algoritmo per il calcolo della radice quadrata.
▽
Esempio 4.7 Si consideri il modello dinamico non lineare a tempo discreto:
x(t + 1) = x(t) −
x(t)2 − α
,
2x(t)
α ∈ R+ .
(4.63)
Il calcolo dei punti di equilibrio mostra che:
xe = xe −
x2e − α
xe
√
⇒ xe = ± α
(4.64)
e quindi il sistema ha due punti di equilibrio, pari alle due radici quadrate del parametro reale positivo α,
analogamente al sistema nel precedente esempio.
√
Le proprietà di stabilità, ad esempio del punto xe = + α, posso essere studiate tramite il criterio ridotto
di Lyapunov per sistemi a tempo discreto. Per il gradiente del campo si trova:
f (x) = x(t) −
x(t)2 − α
,
2x(t)
⇒
x2 − α
∂f (x)
2x x2 − α
=
,
=1−
+
2
∂x
2x
x
x2
(4.65)
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-183
e quindi l’approssimazione lineare intorno al punto di equilibrio vale
δx(t + 1) = aδx,
a = 0.
(4.66)
√
L’approssimazione lineare ha autovalore nullo, e quindi il punto di equilibrio xe = α del sistema (4.63) è
asintoticamente stabile per tutti i valori del parametro, cioè del numero del quale si vuole calcolare la radice
quadrata: anche il sistema (4.63) è un possibile algoritmo per il calcolo della radice quadrata.
▽
4.7
Stabilità esterna
Il tema della stabilità esterna è solo accennato. Per una trattazione completa si rimanda ad altri testi e alle
lezioni in aula.
Definizione 4.14 (Stabilità esterna) Un sistema dinamico LTCS o LTDS del tipo:
∆x
=
Ax + bu,
y
=
Cx
x ∈ Rn ,
(4.67a)
(4.67b)
è detto esternamente stabile o anche stabile in senso BIBO (BIBO: Bounded Input Bounded Output) se e solo
se ad ogni segnale limitato applicato in ingresso corrisponde una rispota forzata limitata.
La proprietà può essere verificata per mezzo di uno dei due criteri seguenti, in funzione del tipo di sistema
in esame.
Teorema 4.17 Un sistema dinamico stazionario a tempo continuo, è stabile esternamente, o in senso BIBO,
se e solo se tutti i poli della funzione di trasferimento hanno parte reale negativa.
Teorema 4.18 Un sistema dinamico stazionario a tempo discreto, è stabile esternamente, o in senso BIBO,
se e solo se tutti i poli della funzione di trasferimento hanno modulo strettamente minore di uno.
4.8
Retroazione
La sezione sulla retroazione non è ancora stata scritta. Si rimanda ad altri testi che verranno citati a lezione.
4.9
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-184
Analisi di circuiti con OpAmp
Lo scopo di queste note è lo studio delle caratteristiche dinamiche di un amplificatore operazionale nelle
tipiche configurazioni non invertente ed invertente.
Ancor più precisamente, lo scopo è quello di esemplificare, per il tramite degli amplificatori operazionali,
il comportamento di sistemi dinamici e gli effetti della retroazione su tali sistemi. I risultati che emergeranno
dalle considerazioni seguenti possono infatti essere astratti ed applicati a qualsiasi sistema dinamico.
Lo studio verrà condotto solo dal punto di vista del legame ingresso-uscita e delle corrispondenti caratteristiche dinamiche, senza alcun cenno né alla struttura interna di un OpAmp né alla maggior parte delle sue
caratteristiche di non idealità. Per questi aspetti si rimanda agli specifici corsi di area elettronica.
4.9.1
Modelli ideali per un OpAmp
I circuiti (i sistemi dinamici) basati su amplificatori operazionali vengono abitualmente analizzati facendo
ricorso a modelli ideali, di accuratezza via via crescente. Il sistema illustrato in figura 4.5 è detto anche sistema
in catena aperta.
i+
vD
i−
+
−
vOUT
Figura 4.5: Amplificatore operazionale: componente base
Il modello più semplice per un amplificatore operazione è quello qui chiamato modello ideale:
Modello Ideale
Il guadagno ingresso-uscita dell’OpAmp è infinito, quindi, per tensioni di uscita finite, la tensione differenziale
vD ai capi dei morsetti di ingresso è nulla.
La corrente che scorre nella porta di ingresso è nulla, la corrispondente impedenza di ingresso è infinita.
Poiché l’interesse di queste note è relativo agli effetti della retroazione, e quindi è relativo allo studio di
particolari forme del segnale di ingresso, in luogo del precedente modello, estremamente ideale, verrà considerato
il modello a guadagno costante: la tensione vOUT in uscita al componente è proporzionale alla tensione in ingresso
vD tramite una costante di guadagno g molto grande (figura 4.5).
Modello a Guadagno Costante
La relazione ingresso-uscita dell’OpAmp è data da:
vOUT = gvD .
(4.68)
Valori tipici per g sono nell’ordine di 105 ÷ 106 .
La relazione (4.68) descrive bene il guadagno in continua (e alla “basse” frequenze), ma non descrive bene
il comportamento per frequenze (sufficientemente) alte: come tutti i sistemi reali, anche un OpAmp ha un
guadagno variabile con la frequenza.
Si consideri quindi, in luogo del modello a guadagno costante (4.68), un modello a polo dominante, caratterizzato da una funzione di trasferimento del primo ordine:
Modello a Polo Dominante
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-185
La relazione ingresso-uscita dell’OpAmp è dato da:
W (s) =
b
,
s+a
(4.69)
o dal corrispondente modello nello spazio di stato:
ẋ
y
= −ax + bvD ,
= x, vOUT = y
x∈R
(4.70a)
(4.70b)
In merito al modello precedente, si noti che il guadagno in continua vale W (0) = b/a, e quindi il legame
tra i due modelli con guadagno finito è dato da: g = b/a. Valori tipici per il parametro b del modello sono
nell’intervallo 106 ÷ 107 s−1 e per a dell’ordine di 10 ÷ 20 Hz. Un tipico diagramma di Bode per un OpAmp a
ciclo aperto (in altre discipline si usa la locuzione a “catena aperta”) è riportato nella figura seguente:
OpAmp: diagramma di Bode dei moduli
95
90
Magnitude (dB)
85
80
75
70
65
60
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
Figura 4.6: Diagramma di Bode dei moduli per un OpAmp a ciclo aperto
.
Sulla base dei due modelli con guadagno finito illustrati, è possibile analizzare semplici circuiti basati su
amplificatori operazionali.
4.9.2
OpAmp in configurazione non invertente
Il circuito riportato nella figura 4.7 è la ben nota configurazione non invertente per un amplificatore operazionale.
Il partitore costituito dalle due resistenze R1 ed R2 costituisce la rete di retroazione, che fissa il guadagno in
continua dell’intero circuito.
Sulla base delle ipotesi di idealità che caratterizzano il modello a guadagno costante, per la maglia di ingresso
del sistema in configurazione non invertente in fig. 4.7 si trova:
vIN = vD + vR1 ,
(4.71)
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-186
+
−
vD
vIN
vOUT
R2
R1
Figura 4.7: Amplificatore operazionale in configurazione non invertente
mentre per la maglia di uscita si trova:
vOUT = vR1 + vR2 .
(4.72)
Tenendo conto dell’ipotesi di idealità che implica corrente nulla nella porta di ingresso e della (4.72), la corrente
iR che scorre nei due resistori R1 ed R2 risulta pari a:
vOUT
,
(4.73)
iR =
R1 + R2
da cui, insieme alla (4.71), per la tensione differenziale vD in ingresso all’amplificatore operazionale si trova:
vD = vIN −
R1
vOUT .
R1 + R2
(4.74)
L’equazione (4.74) mostra chiaramente come il partitore resistivo R1 , R2 induca una retroazione: la tensione differenziale vD applicata in ingresso all’OpAmp dipende anche dal segnale di uscita vOUT allo stesso
componente. Tenendo conto del modello in catena aperta a guadagno costante dato dalla (4.68), per il legame
ingresso-uscita dell’intera rete si trova:
1
R1
vIN =
+
vOUT .
(4.75)
g R1 + R2
Poiché il guadagno in catena aperta g è molto grande, nell’equazione precedente il termine 1/g può essere
1
, ottenendo il legame ingresso uscita:
trascurato rispetto al termine R1R+R
2
R2
vOUT = 1 +
vIN .
(4.76)
R1
La precedente equazione è il più semplice modello di OpAmp in configurazione non invertente. Descrive
bene il guadagno in continua (e alla “basse” frequenze), ma non descrive bene il comportamento per frequenze
(sufficientemente) alte: come tutti i sistemi reali, anche un OpAmp ha un guadagno variabile in frequenza.
Utilizzando il più accurato modello a polo dominante nella forma di spazio di stato (4.70), applicando il
segnale di ingresso (4.74) calcolato sopra, e tenendo conto del fatto che il segnale di uscita vOUT coincide con
il segnale y e quindi con lo stato interno x del modello in uso, si trova il sistema dinamico a ciclo chiuso:
R1
R1
x + bvIN ,
(4.77)
x + bvIN = − a + b
ẋ = −ax − b
R1 + R2
R1 + R2
y = x.
(4.78)
Poiché, come già notato in precedenza, il parametro a è molto piccolo, in particolare rispetto al parametro
b, e supponendo che R1 e R2 non differiscano di molti ordini di grandezza, il modello precedente può essere
approssimato come:
ẋ
= −b
y
= x,
R1
x + bvIN ,
R1 + R2
(4.79)
(4.80)
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-187
cui corrisponde il legame ingresso-uscita descritto dalla funzione di trasferimento Wni (s):
Wni (s) =
b
R1
s+b
R1 + R2
.
(4.81)
La conclusione più importante rispetto allo scopo di queste note consiste nel fatto che la retroazione applicata
all’OpAmp e descritta dal segnale di ingresso (4.74) modifica le proprietà dinamiche del sistema, ed in particolare
R1
modifica l’autovalore del sistema: a ciclo aperto l’autovalore vale a mentre a ciclo chiuso vale b
. Si noti,
R1 + R2
in aggiunta, come il valore dell’autovalore a ciclo chiuso possa essere scelto arbitrariamente fissando in modo
opportuni i parametri di progetto R1 ed R2 .
La modifica dell’autovalore implica, ovviamente, la modifica del polo della funzione di trasferimento e quindi
R1
della banda passante: la banda passante diviene molto maggiore, passando da a al nuovo valore pari a b
.
R1 + R2
La retroazione modifica anche il guadagno in continua: il sistema retroazionato ha un guadagno in continua
R2
pari a 1 +
, molto più piccolo del corrispondente valore a ciclo aperto, pari a b/a.
R2
La figura 4.8 riporta il diagramma di Bode dei moduli per un OpAmp in configurazione non invertente
(curva continua). Per confronto, la curva tratteggiata rappresenta il diagramma a ciclo aperto.
Infine, si noti come il prodotto guadagno/banda-passante rimanga invariato e pari a b: si tratta di un
parametro caratteristico del componente. Ne segue che ad un aumento del guadagno in continua a ciclo chiuso
corrisponde una diminuzione della banda passante, ed analogamente se viene aumentata la banda passante si
riduce il guadagno.
OpAmp: diagramma di Bode dei moduli (continuo: ciclo chiuso, tratto: ciclo aperto)
100
80
Magnitude (dB)
60
40
20
0
−20
0
10
2
10
4
10
Frequency (rad/sec)
6
10
Figura 4.8: Diagramma di Bode dei moduli per un OpAmp a ciclo aperto (linea tratteggiata) e ciclo chiuso
(linea continua).
4.9.3
OpAmp in configurazione invertente
Il circuito riportato nella figura 4.9 rappresenta la configurazione invertente per un amplificatore operazionale.
Il partitore costituito dalle due resistenze R1 ed R2 costituisce la rete di retroazione.
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-188
R2
vIN
vD
R1
−
+
vOUT
Figura 4.9: Amplificatore operazionale in configurazione invertente
Il calcolo della relazione ingresso-uscita per la configurazione invertente può essere condotto in modo analogo
a quanto fatto nel caso della configurazione non invertente. Utilizzando il modello a guadagno costante, ed in
particolare la relazione (4.68), per le connessioni di uscita si trova:
vD + vR2 + vOUT = 0,
da cui, utilizzando il modello a guadagno costante dell’OpAmp, vOUT = gvD , si trova:
1
vOUT 1 +
= −vR2 ,
g
(4.82)
(4.83)
da cui, trascurando il termine 1/g, si ottiene la corrente iR2 che scorre nel resistore R2 :
i R2 = −
VOUT
.
R2
(4.84)
Per la porta di ingresso si trova invece:
vIN − VR1 + vD
= 0,
(4.85)
da cui, risolvendo rispetto alla tensione differenziale di ingresso all’OpAmp vD (utilizzando la (4.84) e l’ipotesi
ideale che la corrente in ingresso al componente sia nulla), si trova:
vD = −
R1
vOUT − vIN .
R2
(4.86)
L’equazione precedente, analogamente a quanto visto per la (4.74) nel caso della configurazione non invertente, mostra come il partitore resistivo R1 , R2 induca una retroazione sul componente: il segnale differenziale
di ingresso dipende dall’uscita dello stesso componente.
Per determinare la relazione tra le tensioni di ingresso ed uscita all’intero circuito, cioè per determinare il
legame ingresso-uscita, dalla relazione precedente, utilizzando il modello vOUT = gvD , si trova:
R1
1
vOUT = −vIN ,
(4.87)
+
R2
g
e quindi, trascurando il termine 1/g, molto piccolo, se R1 e R2 non differiscono di molti ordini di grandezza, si
ha:
R2
vOUT = − vIN ,
(4.88)
R1
che costituisce il modello ideale dell’amplificatore operazionale in configurazione invertente.
Un modello più accurato può essere ottenuto tenendo conto del comportamento in frequenza del componente OpAmp. Utilizzando ancora il modello del primo ordine, a polo dominante, descritto dalla funzione di
trasferimento in (4.69) e dal corrispondente modello nello spazio di stato, applicando il segnale di retroazione
(4.86) si trova:
R1
R1
x − bvIN ,
(4.89)
ẋ = −ax − b x − bvIN = − a + b
R2
R2
y = x.
(4.90)
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-189
Poiché, come già notato in precedenza, il parametro a è molto piccolo rispetto a b, e supponendo che R1 e R2
non differiscano di molti ordini di grandezza, il modello precedente può essere approssimato come:
ẋ
= −b
y
= x,
R1
x − bvIN ,
R2
(4.91)
(4.92)
cui corrisponde il legame ingresso-uscita a ciclo chiuso descritto dalla funzione di trasferimento WIn (s):
WIn (s) = −
b
s+b
R1
R2
.
(4.93)
Anche in questo caso, l’effetto della retroazione è quello di modificare la banda passante del sistema, che
R1
passa dal valore a, molto piccolo, al valore b , molto grande, e ridurre il guadagno in continua dal valore
R2
R2
b/a, molto grande, al valore − , che può essere determinato dal progettista scegliendo opportunamente i due
R1
resistori.
4.9.4
Interconnesione di più OpAmp
L’approccio utilizzato nelle sezioni precedenti può essere esteso anche allo studio di circuiti con più OpAmp. A
titolo di esempio si consideri il sistema riportato nella seguente figura 4.10.
R3
R3
vD,1
vIN
+
−
R2
vD,2
OA1
−
+
OA2
vOUT
vOUT,1 vIN,2
R1
Figura 4.10: Interconnessione di due amplificatori operazionali
Il circuito può essere analizzato, in prima approssimazione, utilizzando il modello a guadagno costante per
i componenti OpAmp. Il secondo OpAmp, OA2 , è in configurazione invertente, il cui guadagno quindi vale
R3
= −1. Detta vOUT la tensione in uscita all’intero circuito, e quindi ad OA2 , e vIN,2 la corrispondente
−R
3
tensione in ingresso (si veda la figura 4.10), si ha quindi: vOUT = −vIN,2 , e quindi vOUT = −vOUT,1 .
Il primo OpAmp invece, OA1 , ha la struttura in una configurazione non invertente, salvo il fatto che la
retroazione è applicata dall’uscita del secondo operazionale e non del primo. Poiché il secondo OpAmp ha
guadagno pari a −1 ed inoltre vOUT,1 = −vOUT , si può scrivere, ricordando la (4.74):
vD,1 = vIN −
R1
vOUT
R1 + R2
(4.94)
e quindi, trascurando il termine vD,1 = g1 vOUT,1 = − g1 vOUT , si trova:
vOUT
R2
= 1+
vIN
R1
(4.95)
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-190
R2
, cioè un guadagno della stessa
e quindi l’intero circuito ha un guadagno ingresso-uscita pari a 1 +
R1
ampiezza della configurazione non invertente.
Commento 4.7 Si sottolinea con decisione che la affermazione vOUT,1 = vIN,2 implica, di fatto, che il comportamento dei due circuiti analizzati in forma isolata, come nelle due sezioni 4.9.2 e 4.9.3, ed in forma
interconnessa, come in questa sezione, rimanga invariato. Ciò è vero con sufficiente grado di accuratezza solo
se le impedenze di ingresso ed uscita dei due blocchi sono ben dimensionate. Si rimanda ad altri testi e ad altri
corsi per un doveroso approfondimento su questo argomento.
Per condurre una analisi più accurata, che tenga conto anche degli aspetti dinamici, si consideri il modello
a polo dominante per il primo OpAmp ed il modello a guadagno costante per il secondo operazionale. Per OA2
valgono le considerazioni svolte sopra, e quindi:
vOUT = −
R3
vIN,2 = −vIN,2 ,
R3
(4.96)
e quindi anche per la tensione in ingresso al primo operazionale si trova la stessa relazione (4.94) vista sopra:
vD,1 = vIN +
R1
vOUT,1 .
R1 + R2
(4.97)
Utilizzando, per OA1 , il sistema nello spazio di stato associato al modello a polo dominante:
ẋ1
=
y1
=
−a1 x1 + b1 vD,1 ,
(4.98)
x1 , vOUT,1 = y1
(4.99)
ed applicando il segnale in retroazione (4.97) si trova:
ẋ1
= −a1 x1 + b1
y1
= x1 ,
R1
x1 + b1 vIN ,
R1 + R2
(4.101)
che può essere approssimata, trascurando il termine −a1 x1 rispetto a b1
ẋ1
y1
(4.100)
R1
x1 + b1 vIN ,
R1 + R2
= x1 ,
= b1
R1
x1 , con:
R1 + R2
(4.102)
(4.103)
cui corrisponde la funzione di trasferimento WOA1 (s) seguente:
b1
WOA1 (s) =
s − b1
R1
R1 + R2
.
(4.104)
Si noti che, in virtù della (4.96), la funzione di trasferimento Win,out tra il segnale vIN in ingresso all’intero
circuito ed il segnale vOUT in uscita dallo stesso circuito vale:
Win,out (s) = −WOA1 (s) = −
b1
.
(4.105)
R1
R1 + R2
R2
, e quindi identico (ovviamente) a
Il sistema complessivo ha quindi un guadagno in continua pari a 1 +
R1
quanto trovato utilizzando il modello a guadagno costante.
Si noti però che il sistema ha un autovalore, e quindi un polo, a parte reale positiva. Il corrispondente modo
naturale è quindi divergente: ciò implica che il sistema non è stabile esternamente, o in senso BIBO, e che il
sistema non ammette risposta permanente, né in uscita né nello stato. Ciò implica che il guadagno in continua
non è definibile, ed inoltre il fattore costante W (0) non descrive, per segnali di ingresso a gradino o sinusoidali
a bassa frequenza, l’ampiezza del segnale in uscita.
Le considerazioni svolte in questa sezione vengono riprese ed approfondite in alcuni esercizi proposti alla fine
del capitolo. Lo studente è invitato a lavorare in particolare sugli esercizi 4.2, 4.3 e 4.4.
s − b1
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-191
Ra
Rb
vD
−
+
vIN
vOUT
Figura 4.11: Convertitore tensione-corrente
4.9.5
Convertitore tensione-corrente
Poiché l’ingresso differenziale, in condizioni ideali, è un corto circuito, si ha:
vI = vRa = Ra iR ,
e quindi
iR =
(4.106)
vI
Ra
(4.107)
e quindi, poiché la corrente nei due resistori è uguale, per l’ipotesi di corrente di ingresso nulla per l’OpAmp,
la corrente in Rb è fissata ed indipendente dal valore di Rb stesso.
Utilizzando il modello a polo dominante per l’OpAmp, si trova:
= −av + bvD ,
v̇
vO
(4.108a)
= v
w(s)
=
(4.108b)
b
,
s+a
(4.108c)
ricordando che il guadagno in continua g dell’OpAmp e la corrispondente banda passante B sono legati dalla
relazione:
g
=
w(0) =
b
,
a
B = a.
(4.109)
Un modello alternativo, ma ovviamente equivalente, è dato da:
ż
vO
= −az + gavD ,
= z
(4.110a)
(4.110b)
con funzione di trasferimento:
w(s)
=
ga
g
=
.
s+a
s/a + 1
(4.111a)
L’uso delle KVL consente di affermare:
vI − vRa − vRb − vO
vI − vRa + vD
vD + vRb + vO
dove solo due delle tre relazioni sono tra loro indipendenti.
Dalla (4.112a) si ricava:
vI − vO = vRa vRb
=
=
0
0
(4.112a)
(4.112b)
=
0
(4.112c)
(4.113)
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-192
e quindi
iR = σ(vI − vO ),
σ :=
1
.
Ra + Rb
(4.114)
Utilizzando la relazione (4.112b) per la tensione differenziale in ingresso all’OpAmp si trova:
vD = vRa − vI = Ra iR − vI = ρa (vI − vO ) − vI ,
ρa :=
Ra
,
Ra + Rb
(4.115)
da cui, in modo immediato:
vD = −ρa vO − ρb vI ,
ρa :=
Rb
Ra
, ρb :=
.
Ra + Rb
Ra + Rb
(4.116)
Il sistema retroazionato quindi diviene:
v̇
vO
= −av + bvD ,
(4.117a)
= v,
(4.117b)
= −ρa vO − ρb vI ,
(4.117c)
= −av − bρa v − bρb vI ,
= v,
(4.118a)
(4.118b)
= σ(vI − vO ).
(4.118c)
vD
e quindi:
v̇
vO
iR
Si noti come assumere vO come segnale di uscita corrisponde a studiare l’OpAmp in configurazione invertente,
mentre assumere come segnale di uscita la corrente iR corrisponde a studiare il convertitore tensione-corrente.
Il sistema è asintoticamente stabile, poiché, dopo la retroazione, l’autovalore vale −(a + bρa ), che è sempre
negativo e può essere fissato scegliendo opportunamente il rapporto ρa .
La funzione di trasferimento tra il segnale di ingresso vI ed il segnale di uscita vO , cioè per l’OpAmp in
configurazione invertente, vale:
−bρb
,
(4.119)
WvO (s) =
s + a + bρa
cui corrisponde un guadagno in continua:
BvO = WvO (0) =
−bρb
Rb
=−
a + bρa
Ra
(4.120)
(assumendo a << bρa ) che è quanto atteso per la configurazione invertente.
La funzione di trasferimento tra il segnale di ingresso vI ed il segnale di uscita iR , cioè per l’OpAmp in
configurazione convertitore tensione-corrente, vale (notando che ρa + ρb = 1)):
WiR (s) =
σbρb
σs + σ(a + b)
+σ =
,
s + a + bρa
s + a + bρa
(4.121)
cui corrisponde un guadagno in continua:
BiR = WiR (0) =
σ(a + b)
1
=
a + bρa
Ra
(4.122)
(assumendo sia a << b sia a << bρa ) che è quanto atteso per la configurazione convertitore tensione-corrente.
Ovviamente, nulla cambia utilizzando la (4.112c) per calcolare il segnale in retroazione.
4.10
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-193
Criterio di Nyquist
Lo scopo di questea sezione è lo studio della stabilità di sistemi lineari a tempo continuo retroazionati, utilizzando
modelli di comportamento ingresso-uscita basati sulle funzioni di trasferimento.
4.10.1
Diagramma di Nyquist
La rappresentazione del comportamento ingresso-uscita di un sistema dinamico, ed in particolare di una funzione
di trasferimento, può essere data, oltre che in termini polari, come i diagrammi di Bode, anche sul piano di
Gauss. Tale rappresentazione consente interessanti valutazioni sulla posizione dei poli e degli zeri della funzione
di trasferimento stessa.
Per analizzare questa possibilità, si consideri una funzione razionale F (s). Il Principio dell’argomento, basato
sul teorema dei residui, afferma che:
I
F ′ (s)
ds = 2π(Z − P ),
(4.123)
γ F (s)
dove F ′ (s) indica la derivata di F (s), γ è una curva chiusa, senza mutue intersezioni, che non passa per poli e
zeri della F (s), ed assunta percorsa in senso orario, ed i numeri interi Z e P indicano il numero di zeri e poli,
rispettivamente, della funzione F (s) contenuti nell’area delimitata dalla curva γ, contati con la loro molteplicità.
Una possibile interpretazione della relazione precedente (che deriva dal calcolo effettivo dell’integrale in 4.123)
è che la curva descritta nel piano di Gauss dalla funzione F (s) quando la variabile indipendente s percorre la
curva chiusa γ, compie un numero N di giri intorno all’origine pari a Z − P , contando come positivi i giri in
senso orario (il verso di percorrenza della curva γ) e come negativi quelli in senso antiorario:
N = Z − P.
(4.124)
Si noti che se la curva γ viene percorsa in senso antiorario, la relazione precedente rimane valida, a patto
di considerare come positivi i giri intorno all’origine del vettore rappresentativo di F (s) compiuti in senso
antiorario. Se invece il verso di percorrenza della curva γ ed il senso positivo lungo la corrispondente curva
rappresentativa di F (s) sono discordi, la relazione (4.124) diviene:
N =P −Z
(4.125)
che sarà utile nel successivo criterio di Nyquist. Nel resto del capitolo, la curva chiusa descritta dalla variabile
indipendente s, qui chiamata curva γ, verrà assunta percorsa in senso orario.
Si consideri, come esempio, la funzione razionale:
F (s) =
s+1
.
(s − 1)(s + 2)
(4.126)
Scegliendo una curva γ1 pari ad un cerchio di raggio 1.5 centrato nel punto 1 + 0 del piano di Gauss5 , che
quindi circonda solo il polo positivo p1 = 1, si trova, per la curva F (s), il diagramma nella seguente figura 4.12:
che, come atteso, compie un giro antiorario intorno all’origine, e quindi N = 1, ed infatti in questo caso Z = 0
e P = 1. In questa figura e nelle successive, la freccia lungo la curva γ indica il punto iniziale della curva stessa
ed il verso di percorrenza, la freccia nella curva descrittiva di F (s) indica il corrispondente punto di partenza
ed il verso di percorrenza.6
Scegliendo una curva γ2 della stessa forma, ma con raggio maggiore, e tale da circondare anche lo zero
negativo z1 = −1, si ottiene il diagramma riportato in figura 4.13 che, come atteso, non compie alcun un giro
intorno all’origine, infatti in questo caso Z = 1, P = 1 e quindi Z − P = 0.
Scegliendo una curva γ3 della stessa forma, ma con raggio maggiore, e tale da circondare entrambi i poli
e lo zero, si ottiene il diagramma riportato in figura 4.14, che compie un solo giro intorno all’origine, in senso
antiorario, ed infatti Z = 1, P = 2 e quindi Z − P = −1.
Se si considera una curva γ4 tale da circondare solo lo zero, si ottiene il diagramma riportato in figura 4.15,
che, come atteso, compie un solo un giro, questa volta in senso orario, intorno all’origine, infatti in questo caso
Z = 1, P = 0 e quindi Z − P = 1.
Infine il caso di una curva γ5 che non circondi alcuno zero o polo è illustrata nella figura 4.16: come atteso,
non compie alcun giro intorno all’origine, infatti Z = 0 e P = 0.
5 Si considera una circonferenza per semplicità di tracciamento, qualsiasi altra curva chiusa porta allo stesso risultato. Si vedano
le figure 4.13 e 4.17.
6 Inoltre, nei diagrammi relativi alle curve chiuse, il simbolo “*” (asterisco) indica uno zero, il simbolo “⋄” (diamante) indica un
polo, i simboli in colore rosso punti esterni alla curva, quelli in colore verde punti circondati dalla curva.
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-194
Curva chiusa γ
Curva F(s) lungo γ
1
1
0.5
1
Parte immaginaria ω
1.5
0.5
0
−0.5
0
−1
−1.5
−2
0
2
Parte reale σ
4
−0.5
−0.5
0
0.5
Parte reale σ
Figura 4.12: Curva γ1 (a sinistra) e corrispondente curva F (s) =
Curva chiusa γ
s+1
(s−1)(s+2) .
Curva F(s) lungo γ
2
2
3
0.4
2
1
1
0
−1
0.2
0
−0.2
−2
−3
−2
0
2
Parte reale σ
−0.4
−0.2
4
0
0.2
0.4
Parte reale σ
Curva chiusa γ
3
0.4
s+1
(s−1)(s+2) .
Curva F(s) lungo γ
3
4
2
0
−2
−4
−5
0.6
0
Parte reale σ
5
0.2
0
−0.2
−0.4
−1
−0.5
0
Parte reale σ
0.5
s+1
(s−1)(s+2) .
La figura 4.17 illustra il caso di una curva chiusa, la curva γ6 , di forma diversa rispetto alla curva γ2 in
figura 4.13, ma con analogo risultato in termini di giri intorno all’origine per il diagramma di F (s): nessun giro
intorno all’origine, Z = 0, P = 0.
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-195
Curva chiusa γ4
Curva F(s) lungo γ4
0.5
0.3
0.2
0
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.5
−2
−1
0
Parte reale σ
−0.4
−0.4
1
−0.2
0
0.2
Parte reale σ
Curva chiusa γ
1
0.4
5
0.6
0.5
0
−0.5
−1
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
0
2
4
Parte reale σ
−0.8
6
0
0.5
1
Parte reale σ
1.5
Curva chiusa γ
s+1
(s−1)(s+2) .
Curva F(s) lungo γ
6
6
3
1
2
s+1
(s−1)(s+2) .
Curva F(s) lungo γ
5
1.5
−1.5
−2
0.4
1
0
−1
0.5
0
−0.5
−2
−3
−2
0
2
Parte reale σ
4
−1
−0.2
0
0.2
0.4
Parte reale σ
0.6
Figura 4.17: Curva γ6 (a sinistra) e corrispondente curva della funzione F (s) =
s+1
(s−1)(s+2) .
Per comprendere meglio il risultato descritto in precedenza, si consideri la figura 4.18. I tre vettori rappresentati descrivono altrettanti termini del tipo s − a, con a parametro caratterizzante uno zero o un polo
s−1.5
. L’estremo libero (cioè sulla curva γ) di un vettore
della funzione razionale F (s) = (s+0.1)(s−1+0.5)(s−1−0.5)
con origine all’interno della curva compie un giro completo, in senso orario, quando la variabile indipendente s
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-196
percorre la curva γ nello stesso verso, mentre l’estremo libero di un vettore con origine fuori dalla curva non
compie un giro completo, ma solo un moto vario.
Curva chiusa γ
Curva F(s)
1
1
1.5
0.5
0
−0.5
−1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−0.5
0
0.5
1
1.5
Parte reale σ
Figura 4.18: Curva chiusa γ e vettori per F (s) =
(destra).
2
−2
−1
0
Parte reale σ
s−1.5
(s+0.1)(s−1+0.5)(s−1−0.5)
1
(sinistra) e relativa curva F (s)
Si considerino i vettori con origine all’interno della curva. Nel caso di uno zero in posizione z, si ha s − z =
mz (s)e ϕz (s) , e la fase ha una variazione di −2π, e quindi si ha un contributo alla funzione complessiva di un
1
giro in senso orario. Nel caso di un polo in posizione p, si ha s−p
= mp (s)e −ϕp (s) , la fase complessiva ha una
variazione di +2π lungo γ, e quindi si ha un contributo al diagramma dell’intera funzione F (s) di un giro in
senso antiorario (cioè “meno” un giro in senso orario). Analogamente, la variazione complessiva di fase per i
vettori con origine al di fuori della curva γ vale zero, e quindi non vi sono contributi al numero di giri intorno
all’origine.
Sulla base di queste considerazione, la funzione dell’esempio descrive un percorso chiuso (diagramma a destra
in figura 4.18) che compie un solo giro intorno all’origine, in senso antiorario, quando la variabile s percorre la
curva chiusa γ in figura 4.18.
Il Principio dell’argomento può essere utilizzato per contare il numero di poli e zeri contenuti in una assegnata
regione di piano senza risolvere i rispettivi polinomi: se si ha a disposizione uno strumento per la costruzione del
diagramma di una funzione F (s) al variare di s, scegliendo opportunamente la curva γ si riesce a determinare
il numero di poli e zeri (in effetti, la differenza nel loro numero) all’interno della regione delimitata dalla curva.
Percorso di Nyquist
Diagramma di Nyquist
100
0.2
50
0.15
R=∞
0
−50
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.15
−0.2
−100
−50
0
50
Parte reale σ
100
−0.25
−0.1
0
0.1
0.2
Parte reale σ
Figura 4.19: Diagramma di Nyquist della funzione F (s) =
0.3
0.4
s+2
.
(s + 1)(s + 3)
Il Diagramma di Nyquist di una funzione di trasferimento rappresenta il comportamento di tale funzione
al variare della variabile indipendente s lungo un percorso (si veda il diagramma a sinistra in figura 4.19) che
racchiude tutto il semipiano destro: la semiretta immaginaria da ω = 0+ ad ω = +∞, poi un cerchio di raggio
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-197
infinito fino ad ω = −∞, e poi lungo il semiasse immaginario ω = −∞ fino ad ω = 0−7 . Tale percorso è
detto percorso di Nyquist o cammino di Nyquist (diagramma a sinistra nella figura 4.19) e viene utilizzato come
specifica curva γ.
Si noti come il diagramma della funzione razionale consista, di fatto, solo delle parti relative ai due segmenti
lungo l’asse immaginario, poiché la porzione di curva γ data dal semicerchio di raggio infinito (in colore rosso
nella figura 4.19, a sinistra) si mappa nel punto origine (punto rosso nella figura 4.19, a destra). Per completezza,
è bene precisare che se la funzione razionale è propria, ma non strettamente (e cioè, se il grado relativo è nullo),
allora la il semicherchio di raggio infinito diviene un punto dell’asse reale diverso dall’origine.
Si noti anche come la parte di diagramma relativa al semiasse negativo sia speculare (di fatto, complessa
coniugata) rispetto alla porzione relativa al semiasse positivo. Volendo disegnare l’intero diagramma, è quindi
sufficiente disegnare la parte relativa al semiasse positivo e poi ribaltarla rispetto all’asse reale per ottenere la
figura completa.
Infine, si noti come il percorrere il semiasse immaginario positivo corrisponda a percorre l’intero asse delle ascisse in un diagramma di Bode. Se quindi si dispone già del diagramma di Bode di una funzione di trasferimento
F (s), ed in generale di una funzione razionale, il corrispondente diagramma di Nyquist può essere costruito a
partire dal diagramma di Bode. Il verso di percorrenza da considerare è quello associato al diagramma di Bode:
dal punto relativo ad ω = 0 fino al punto relativo ad ω = +∞, proseguendo poi in modo speculare lungo la
porzione speculare della curva.
A titolo di esempio, nelle seguenti figure 4.20 e 4.21 si riportano, rispettivamente, i diagrammi della funzione
6
6
e della funzione F2 (s) =
.
F1 (s) =
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
(s − 1)(s + 3)
Diagramma di Bode di F1(s)
Diagramma di Nyquist di F1(s)
1
0
0
Fase (gradi)
Modulo dB
−20
−40
−60
−80
−100
−200
−100
−2
10
0
2
10
10
Pulsazione (rad/sec)
−300
−2
10
0
0.5
0
−0.5
−1
−1
2
10
10
Diagramma di Bode di F2(s)
0
Parte reale σ
1
6
.
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
Diagramma di Nyquist di F2(s)
−140
Fase (gradi)
Modulo dB
0
−20
−40
−150
−160
−170
−60
−2
10
0
2
10
10
−180
−2
10
0
0.5
0
−0.5
2
10
10
−2
−1
0
Parte reale σ
6
.
(s − 1)(s + 3)
7 In modo equivalente, si può pensare di percorrere tutto il semiasse immaginario, dal punto 0 − ∞ fino all’estremo opposto
0 + ∞ e poi il cerchio di raggio infinito da 0 + ∞ fino al punto di partenza 0 − ∞
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-198
Il caso di cui la funzione di trasferimento abbia poli o zeri nell’origine, e più in generale sull’asse immaginario,
merita una specifica attenzione. In tal caso infatti il cammino di Nyquist passerebbe sopra uno o più tra i poli
e gli zeri, e quindi il Principio dell’argomento perderebbe validità.
In questo caso si ovvia al problema scegliendo un cammino caratterizzato da piccoli scostamenti dall’asse
immaginario in corrispondenza degli elementi a parte reale nulla. In particolare, si considera un cammino di
Nyquist che in corrispondenza di un polo lungo l’asse si muove lungo una semicirconferenza di raggio ǫ molto
piccolo, centrata nel polo stesso e contenuta nel semipiano destro, come illustrato in figura 4.22 per il caso di
un polo nell’origine e di una coppia complessa coniugata in ±2.
Percorso di Nyquist
10
8
6
4
R=ε
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
−2
0
2
4
Parte reale σ
6
8
10
Figura 4.22: Cammino di Nyquist per poli sull’asse immaginario.
Poiché la presenza di poli lungo l’asse immaginario determina dei diagrammi di Bode dei moduli tendenti
ad infinito, per ω = 0 nel caso di poli nulli, per ω = ±p nel caso di coppie immaginarie, si ha che il corrispondente diagramma di Nyquist tende anch’esso ad infinito. Per chiudere all’infinito il diagramma (con tratti di
circonferenza di raggio infinito), si tenga presente la regola generale secondo la quale percorrendo il cammino
di Nyquist lasciando i poli sull’asse alla propria sinistra (percorso del cammino di Nyquist in senso orario), si
lascia alla propria sinistra il corrispondente punto immagine (cioè il punto improprio a +∞).
Praticamente, si può utilizzare la seguente regola di chiusura all’infinito:
1. si determinano sul diagramma di Nyquist i punti all’infinito associati all’immagine di 0+ e di 0− ;
2. si unisce l’immagine del punto 0− a quella del punto 0+ con tanti mezzi giri, di raggio infinito, quanti
sono i poli nell’origine, lasciando il punto improprio alla sinistra (ruotando in senso orario).
0
10
0
−10
−20
−1
10
Diagramma di Nyquist di F(s)=1/s
−20
10
Fase (gradi)
Modulo dB
Diagramma di Bode di F(s)=1/s
20
−40
−60
−80
0
1
10
10
−100
−1
10
0
1
10
10
5
R=∞
0
−5
−10
0
5
Parte reale σ
1
.
s
10
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-199
1
A titolo di esempio, le figure 4.23 e 4.24 illustrano i diagrammi di Bode e di Nyquist delle funzioni F3 (s) =
s
1
e F4 (s) = 2 , rispettivamente.
s
2
0
20
−50
Fase (gradi)
Modulo dB
Diagramma di Bode di F(s)=1/s
40
0
−20
−100
−150
−40
−1
10
0
10
−200
−1
10
1
10
2
20
2
F(s)=1/s (dettaglio)
3
R=∞
0
−10
−20
−30
1
0
−1
−2
−20
0
Parte reale σ
−3
−3
20
−2
−1
0
Parte reale σ
La figura 4.25 riporta il caso della funzione di trasferimento F (s) =
4.10.2
1
10
2
Diagramma di Nyquist di F(s)=1/s
30
10
0
10
1
1
.
s2
1
s2 (s+1) .
Criterio di Nyquist
L’idea alla base del criterio di Nyquist è quella di legare il numero di poli e zeri appartenenti al semipiano
destro, e cioè a parte reale positiva, di una assegnata funzione razionale con la forma del grafico della stessa
funzione, e più precisamente con il numero di giri che la stessa funzione compie intorno al punto (−1, 0) del
piano complesso.
Il diagramma di Nyquist viene utilizzato per studiare la stabilità di un sistema retroazionato, con retroazione
unitaria dall’uscita, del tipo in figura 4.26.
La funzione di trasferimento W (s) del sistema a ciclo chiuso (si veda la figura 4.26), cioè tra il segnale di
riferimento r(t) ed il segnale di uscita y(t), è legata alla funzione di trasferimento del sistema in catena aperta
A(s), cioè del sistema tra il segnale di ingresso u(t) ed il segnale di uscita y(t), dalla relazione:
W (s) =
A(s)
,
1 + A(s)
(4.127)
e quindi, esplicitando il numeratore ed il denominatore di W (s) e A(s), si ha:
W (s) =
A(s)
nA (s)/dA (s)
nA (s)
=
=
,
1 + A(s)
1 + nA (s)/dA (s)
nA (s) + dA (s)
(4.128)
e quindi dA (s) descrive i poli del sistema a ciclo aperto, mentre il polinomio nA (s) + dA (s) descrive i poli del
sistema a ciclo chiuso. In questo caso particolare, la funzione di trasferimento A(s) coincide con la funzione di
trasferimento di anello. Nel seguito si assume che la funzione di trasferimento di anello A(s) non abbia parti in
comune tra numeratore e denominatore, non sia cioè caratterizzata da cancellazioni tra poli e zeri. La presenza
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-200
Diagramma di Bode di F(s)=1/s2(s+1)
100
−180
−200
Fase (gradi)
Modulo dB
50
0
−50
−100
−150
−2
10
−220
−240
−260
0
10
2
10
−280
−2
10
20
R=∞
10
0
−10
2
10
F(s)=1/s2(s+1) (dettaglio)
2
Diagramma di Nyquist di F(s)=1/s2(s+1)
30
0
10
1
0
−1
−20
−30
−40
−20
0
20
Parte reale σ
40
−2
−2
−1.5
−1 −0.5
Parte reale σ
r(t)
u(t)
0
0.5
1
.
s2 (s + 1)
y(t)
A(s)
W (s)
Figura 4.26: Sistema a retroazione unitaria dall’uscita.
di tali cancellazioni, come si vedrà nel seguito, equivale alla presenza di porzioni di sistema non raggiungibile
e/o non osservabile, la cui presenza richiede specifiche attenzioni dal punto di vista della stabilità.
La funzione razionale C(s) = 1 + A(s) è espressa da:
C(s) = 1 + A(s) =
nA (s) + dA (s)
,
dA (s)
(4.129)
e quindi gli zeri della funzione C(s) coincidono con i poli del sistema a ciclo chiuso, mentre i poli della funzione
C(s) coincidono con i poli del sistema a ciclo aperto. Tale funzione caratterizza quindi sia la stabilità del sistema
a ciclo aperto, sia la stabilità del sistema a ciclo chiuso.
Il diagramma di Nyquist di tale funzione, cioè il diagramma di C(s) lungo il percorso di Nyquist (che
circonda tutto il semipiano destro), consente quindi di valutare la differenza tra il numero di poli del sistema a
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-201
ciclo chiuso con parte reale positiva (gli zeri di C(s)) ed il numero di poli a ciclo aperto con parte reale positiva
(i poli di C(s)).
Poiché l’interesse è per lo studio della stabilità del sistema a ciclo chiuso, è evidente che si devono cercare
condizioni sotto le quali la funzione di trasferimento C(s) non abbia zeri a parte reale positiva, cioè contenuti
all’interno del cammino di Nyquist.
Infine, si noti come il diagramma della funzione C(s) ed il diagramma della funzione di trasferimento di
anello A(s) siano uguali, a meno di una traslazione nel piano di Gauss. Ne segue che i giri intorno all’origine
della funzione C(s) coincidono con i giri di A(s) intorno al punto (−1, 0), detto punto critico. Si indichino con
N il numero di giri intorno al punto (−1, 0), contati come positivi se in senso antiorario e negativi se in senso
orario (e quindi, sostanzialmente, si utilizzi la relazione (4.125).
Infine, il diagramma della funzione di trasferimento di anello è detto ben definito se non passa per il punto
(−1, 0), cosı̀ che il numero di giri intorno a (−1, 0) di A(s), e quindi intorno all’origine per C(s), siano ben
definiti. In tal caso, anche il numero N è detto ben definito.
Sulla base di tutti questi elementi è possibile formulare il Criterio di Nyquist.
Teorema 4.19 (Criterio di Nyquist) Il sistema con retroazione unitaria dall’uscita
W (s) =
A(s)
,
1 + A(s)
(4.130)
rappresentato dallo schema in figura 4.26, è asintoticamente stabile se e solo se valgono entrambe le due condizioni seguenti:
• il numero N di giri in senso antiorario della funzione di trasferimento di anello A(s) intorno al punto
(−1, 0) è ben definito;
• tale numero N ed il numero P di poli a parte reale positiva del sistema a ciclo aperto A(s) sono nella
relazione:
N = P.
(4.131)
Dimostrazione
La dimostazione del teorema, di fatto, è data dai commenti che precedono e dalle considerazioni in merito al
diagramma di Nyquist. Vengono richiamati gli elementi principali.
• In base al principio dell’argomento, il numero di giri intorno all’origine, positivi se in senso antiorario, di
una funzione razionale F (s) quando la variabile s percorre, in senso orario, una curva chiusa γ è pari alla
differenza P − Z tra il numero Z di zeri ed il numero P di poli della funzione F (s) interni alla curva stessa
(equazione (4.125)).
• Il diagramma di Nyquist di una funzione di trasferimento è il diagramma della stessa nel piano di Gauss
quando la variabile s percorre il cammino di Nyquist, corretto nel caso di poli sull’asse immaginario della
stessa funzione di trasferimento.
• In considerazione della forma del cammino di Nyquist, il numero di giri intorno all’origine, in senso
antiorario, del diagramma di Nyquist di una funzione di trasferimento F (s) conta la differenza tra il
numero P di poli a parte reale positiva ed il numero Z di zeri a parte reale positiva della funzione F (s).
• Dato un sistema di controllo del tipo in figura 4.26, in retroazione unitaria dall’uscita, i poli del sistema
a ciclo aperto coincidono con i poli della funzione di trasferimento C(s) = 1 + A(s), i poli del sistema a
ciclo chiuso con gli zeri della funzione di trasferimento C(s) = 1 + A(s).
• Il diagramma di Nyquist della funzione C(s) coincide con quello della funzione di trasferimento di anello
A(s), a meno di una traslazione lungo la retta reale. Ciò implica che il numero N di giri del diagramma di
Nyquist intorno all’origine di C(s) coincide con il numero N di giri intorno al punto (−1, 0) della funzione
A(s).
• Il sistema a ciclo chiuso è asintoticamente stabile se non ha poli a parte reale positiva (cioè interni al
cammino di Nyquist) o a parte reale nulla (cioè, tali da rendere N non ben definito).
• Ne seguono le due condizioni del teorema.
Commento 4.8 Dal Teorema di Nyquist discende che, nel caso in cui N sia diverso da P , la differenza N − P
indica il numero di poli a parte reale positiva del sistema retroazionato.
4.10.3
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-202
Stabilità e robustezza
Il Criterio di Nyquist è interessante anche perchè consente di valutare alcuni elementi di robustezza della stabilità
a ciclo chiuso.
Il Criterio di Nyquist appena presentato consente di studiare la stabilità a ciclo chiuso se il modello del
sistema, la sua funzione di trasferimento, è nota in modo completo. Molto spesso, anzi, nella maggior parte
dei casi di interesse reale, la conoscenza del modello è approssimata. Ad esempio, molti dei parametri che
caratterizzano un modello di norma possono essere determinati solo con un certo grado di approssimazione. Ed
inoltre, quasi sempre il modello trascura componenti ad alta frequenza, cioè poli lontani (e cioè, autovalori con
parte reale grande).
D’altro canto, la stabilità è una proprietà fondamentale, dalla quale non è possibile prescindere. Si pone
quindi il problema di caratterizzare in che misura la stabilità venga preservata anche a fronte di incertezze nel
modello nominale utilizzato per la verifica di stabilità, e che lo differenziano da quello reale. Si tratta insomma
di studiare in che misura si abbia una stabilità robusta a fronte di incertezze nei parametri che caratterizzano il
modello.
Il criterio di Nyquist consente di determinare in modo immediato la variazione complessiva (l’incertezza
complessiva) di guadagno tollerabile nella funzione di trasferimento di anello senza perdere stabilità a ciclo
chiuso, e la variazione complessiva di fase.
Margine di guadagno
Il primo criterio di robustezza è chiamato margine di gudagno, ed indica di quanto possa essere aumentato il
guadagno della funzione di anello senza perdere stabilità a ciclo chiuso.
Si consideri la funzione di trasferimento di anello:
A(s) =
g
,
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
(4.132)
in cui g indica un fattore di guadagno incerto, il cui valore nominale si assume essere g = 6. La figura 4.27
riporta i diagrammi di Bode di tale funzione e la figura 4.28 il corrispondente diagramma di Nyquist. Il sistema
a ciclo aperto non ha poli a parte reale positiva, e quindi P = 0. Il diagramma di Nyquist non circonda il punto
critico, né lo tocca, e quindi N è ben definito e vale zero. Ne segue che il sistema a ciclo chiuso è asintoticamente
stabile.
Diagramma di Bode di F (s)
1
0
|mg|dB
Modulo dB
−20
−40
−60
−80
−100
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
0
Fase (gradi)
−50
−100
−150
−200
−250
−2
10
−1
10
0
10
1
10
Figura 4.27: Margine di guadagno: diagramma di Bode di F (s) =
2
10
g
, g = 6.
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-203
Modulo di guadagno
Modulo di guadagno (dettaglio)
4
1
2
3
1
0
−1
−2
0.5
1/mg
0
A
−0.5
−3
−4
0
2
Parte reale σ
4
−1
−1.5
−1
−0.5
Parte reale σ
Figura 4.28: Margine di guadagno: diagramma di Nyquist di F (s) =
0
0.5
g
, g = 6.
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
L’analisi del diagramma di Nyquist mostra che, se il guadagno aumenta di un fattore sufficiente a portare
il punto A, che rappresenta l’intersezione tra il diagramma stesso e l’asse reale negativo, in corrispondenza del
punto critico, si perde la stabilità a ciclo chiuso. Infatti, in tal caso il parametro N non sarebbe ben definito.
Un ulteriore aumento, anche piccolissimo, del guadagno di anello porterebbe il diagramma a compiere due giri
intorno al punto critico, e quindi porterebbe alla instabilità del sistema a ciclo chiuso.
Il valore massimo di cui può essere aumentato il guadagno è quindi il reciproco della lunghezza di tale
intervallo (dall’origine al punto A), lunghezza indicata con 1/mg nella figura 4.28. Esaminando il corrispondente
diagramma di Bode, si vede che il margine di guadagno corrisponde, a parte il segno e la conversione in decibel,
al valore del modulo in corrispondenza della pulsazione alla quale la fase vale −180◦. Infatti, l’intersezione con
l’asse reale negativo corrisponde esattamente ad una fase di −180◦.
Nel caso dell’esempio, il margine di guadagno (il segmento in rosso nella figura 4.27) vale 20dB, che in valori
assoluti corrisponde ad un incremento possibile del guadagno (come fattore moltiplicativo) di 10.
Una delle conseguenze del concetto stesso di margine di guadagno è che, in generale, al crescere del guadagno
di anello, un sistema retroazionato tende alla instabilità.
Commento 4.9 Dalla definizione di margine di guadagno ne consegue che, se un sistema ha un ritardo di fase
(un diagramma di Bode delle fasi) sempre maggiore (in segno) di −180◦ , allora il suo margine di guadagno è
infinito, cioè il sistema a ciclo chiuso è asintoticamente stabile per ogni guadagno di anello.
Domanda 4.1 Il lettore/studente è invitato a valutare il commento precedente, sul margine di guadagno infinito, insieme alla affermazione che spesso, nella derivazione di modelli, vengono trascurati poli ad alta frequenza, perchè si lavora con approssimazioni ai poli dominanti.
Margine di fase
Considerazioni analoghe a quelle condotte per il modulo possono essere fatte per la fase. Si consideri la funzione
di trasferimento di anello:
g
,
(4.133)
A(s) =
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
in cui g indica un fattore di guadagno incerto, il cui valore nominale si assume essere g = 30. La figura 4.29
riporta i diagrammi di Bode di tale funzione e la figura 4.30 il corrispondente diagramma di Nyquist.
In questo caso, si vede facilmente dal diagramma a destra in figura 4.30 che la fase, in corrispondenza della
pulsazione con la quale si ha intersezione con il cerchio unitario (in nero nella figura) possa essere modificata
fino a raggiungere il valore di −180◦. Oltre tale valore, il diagramma passa per il punto critico, o lo supera,
e quindi non si ha più stabilità a ciclo chiuso. Il valore del quale può essere incrementato il ritardo di fase
(algebricamente, del quale può essere diminuita la fase) è pari all’angolo tra il punto in esame e l’asse reale
negativo: l’angolo indicato con mφ in figura.
Osservando i diagrammi di Bode del sistema, ed interpretando il diagramma di Nyquist, si vede in modo
immediato che il margine di fase corrisponde alla distanza dal valore −180◦ del diagramma delle fasi, in corrispondenza della pulsazione alla quale il modulo vale 0 dB (e cioè, alla quale il diagramma interseca il cerchio
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-204
Diagramma di Bode
20
Modulo dB
0
−20
−40
−60
−80
−100
−2
−1
10
0
10
1
10
2
10
10
0
mφ
Fase (gradi)
−50
−100
−150
−200
−250
−2
−1
10
0
10
1
10
Figura 4.29: Margine di fase: diagramma di Bode di F (s) =
Modulo di fase
2
10
10
g
, g = 30.
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
Modulo di fase (dettaglio)
4
1.5
1
2
3
1
0
−1
−2
0
m
φ
−0.5
−1
−3
−4
0.5
−1.5
0
2
Parte reale σ
4
−1
0
Parte reale σ
Figura 4.30: Margine di fase: diagramma di Nyquist di F (s) =
1
g
, g = 30.
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
unitario). Il margine di fase per l’esempio considerato, pari al segmento in rosso tratto continuo in figura 4.29,
vale 25◦ .
Commento 4.10 I concetti di margine di guadagno e margine di fase enunciati sopra sono ben definiti solo
per i sistemi a stabilità regolare, cioè per i sistemi caratterizzati dal fatto che il diagramma di Bode dei moduli
assume per una sola pulsazione il valore di 0dB, ed il diagramma delle fasi assume per una sola pulsazione il
valore di −180◦ .
Commento 4.11 Per completezza, si cita il caso dei sistemi a stabilità condizionata, in cui la stabilità a ciclo
chiuso si ha solo per intervalli ben definiti del guadagno di anello, a motivo della forma assai intrecciata del
diagramma di Nyquist intorno al semiasse reale negativo.
4.11
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-205
Esercizi proposti
Esercizio 4.1 L’utilizzo di qualsiasi algoritmo di approssimazione numerica, ed in particolare quindi dell’algoritmo (4.63), richiede la definizione di un criterio di terminazione, per valutare il numero di iterazioni richieste.
Il lettore/studente formuli un criterio di terminazione per tale algoritmo, ed implementi, in un linguaggio di
programmazione qualsiasi, sia l’algoritmo sia il criterio di terminazione, valutando i risultati ottenuti.
Esercizio 4.2 L’analisi degli amplificatori operazionali in sezione 4.9.4 è stata condotta assumendo un modello
a guadagno costante per OA2 . Ciò, sebbene non dichiarato esplicitamente, implica una importante ipotesi sulla
banda passante del sottosistema relativo ad OA2 . Quale è questa ipotesi?
Esercizio 4.3 Con riferimento alla sezione 4.9.4 , il lettore/studente è invitato a condurre l’analisi del circuito
in figura 4.10 utilizzando un modello a polo dominante anche per OA2 .
Esercizio 4.4 . Con riferimento alla sezione 4.9.4 , il lettore/studente è invitato a condurre l’analisi del circuito
in figura 4.10 utilizzando come modelli le due funzioni di trasferimento a ciclo aperto per OA1 ed OA2 , in luogo
del modello nello spazio di stato suggerito nella precedente domanda e nella trattazione riportata sopra.
Esercizio 4.5 Calcolare il guadagno ingresso-uscita del circuito riportato nella seguente figura 4.5, sia con
riferimento ad un modello a guadagno costante per l’amplificatore operazionale, sia con riferimento ad un
modello a polo dominante, e confrontare i due risultati.
vD
−
+
vIN
vOUT
R2
R1
Esercizio 4.6 Calcolare i punti di equilibrio e valutare le loro proprietà di stabilità, per il seguente sistema
dinamico a tempo discreto:
x1 (t + 1) = x1 + x1 (x21 − 1)(1 + x22 )
x2 (t + 1) = x21 .
Esercizio 4.7 Dato il seguente sistema dinamico, valutare le proprietà di stabilità interna ed esterna al variare
del parametro α nell’insieme dei reali:




0 1
0
0
1  x +  0  u,
ẋ =  0 0
0 α 1−α
1
1 −1 0 x,
y =
Esercizio 4.8 Studiare la stabilità dell’origine per il seguente sistema a tempo continuo:
ẋ1
=
−αx31 − 2x32
ẋ2
=
x1 − x2 ,
al variare del parametro α nell’insieme dei reali positivi (α ∈ R, α > 0).
[Ed. 2014, V 4.1 - PV - UniPG] - 4-206
Esercizio 4.9 Studiare la stabilità dell’origine per il seguente sistema a tempo discreto, per β ∈ R:
x1 (k + 1) = (β − 1)x1 (k)
x2 (k + 1) = βx1 (k) − (β + 1)x2 (k).
Esercizio 4.10 Studiare le proprietà di stabilità dell’origine per il seguente sistema dinamico a tempo continuo:
ẋ1
=
ẋ2
=
x21 + 2x1 x2 − x32
x22 + x21 ex2 + x32
Capitolo 5: Raggiungibilità
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 5-207
Capitolo 5
Proprietà strutturali: raggiungibilità
5.1
Introduzione
Lo studio della proprietà strutturali del sistemi dinamici (nel nostro caso, limitatamente ai sistemi lineari) ha
lo scopo di analizzare le implicazioni della struttura interna del sistema rispetto alla interazione con l’ambiente
esterno. La prima proprietà, detta raggiungibilità, si preoccupa di caratterizzare il grado di influenza del segnale
di ingresso rispetto allo stato interno. In altre parole, fino a che punto è possibile influenzare e governare lo
stato interno agendo su segnale di ingresso.
5.2
Definizioni
Si ricorda che, nel caso di un sistema lineare e stazionario a tempo discreto, la forma esplicita è data da:
k
x(k, x0 , u(·)) = A x0 +
k−1
X
Ak−i−1 Gu(i),
i=0
mentre nel caso di un sistema a tempo continuo tale forma è data da:
Z t
x(t, x0 , u(·)) = e At x0 +
e A(t−τ ) Gu(τ )dτ,
0
k ∈ Z,
t ∈ R.
(5.1)
(5.2)
Inoltre, un sistema dinamico, a tempo continuo o discreto, descritto da matrici A, B ed C, verrà sinteticamente indicato con Σ(A, B, C), o Σ(A, B) se la matrice di uscita C non è rilevante.
Le proprietà strutturali di raggiungibilità e controllabilità descrivono la capacità del vettore dei segnali
di ingresso di influenzare il comportamento del sistema dinamico. Nel seguito, per semplicità, la variabile
indipendente tempo, sia per sistemi a tempo continuo che per sistemi a tempo discreto, verrà indicata con la
lettera t.
Definizione 5.1 (Stato raggiungibile) Uno stato x del sistema Σ = (A, B, C), a tempo continuo o a tempo
discreto, si dice raggiungibile se esiste un istante finito di tempo t > 0 ed una funzione di ingresso u(·) tale che
risulti:
x(t, 0, u(·)) = x.
(5.3)
In altre parole, un punto x dello spazio di stato è raggiungibile se esiste un segnale di ingresso ed un istante di
tempo t tale da portare lo stato del sistema in tale punto all’istante t, a partire da condizioni iniziali nulle.
Definizione 5.2 (Sistema raggiungibile) Un sistema Σ = (A, B, C), a tempo continuo o a tempo discreto,
si dice raggiungibile se tutti i punti del suo spazio di stato X sono raggiungibili.
Una proprietà, in qualche modo complementare, rispetto alla raggiungibilità è quella della controllabilità.
Definizione 5.3 (Stato controllabile) Uno stato x del sistema Σ = (A, B, C), a tempo continuo o a tempo
discreto, si dice controllabile se esiste un istante finito di tempo t > 0 ed una funzione di ingresso u(·) tale che
risulti:
x(t, x, u(·)) = 0.
(5.4)
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 5-208
In altre parole, un punto x dello spazio di stato è controllabile se esiste un segnale di ingresso ed un istante di
tempo t tale da portare lo stato del sistema nell’origine dello spazio di stato all’istante t, a partire dallo stato
iniziale x.
Definizione 5.4 (Sistema controllabile) Un sistema Σ = (A, B, C), a tempo continuo o a tempo discreto,
si dice controllabile se tutti i punti del suo spazio di stato X sono controllabili.
È facile dimostrare che l’insieme dei punti raggiungibili e quello dei punti controllabili formano un sottospazio
dello spazio di stato.
Lemma 5.1 ([8]) L’insieme X R degli stati raggiungibili è un sottospazio lineare dello spazio di stato X .
Lemma 5.2 ([8]) L’insieme X C degli stati controllabili è un sottospazio lineare dello spazio di stato X .
5.3
Raggiungibilità per sistemi LSTD
Lo studio della proprietà di raggiungibilità per un sistema lineare, a tempo discreto, stazionario può essere
condotto a partire dalla rappresentazione esplicita 5.1, o, equivalentemente, a partire dalla rappresentazione
implicita.
Si analizzi in dettaglio la soluzione del sistema al crescere del tempo. Utilizzando una delle due rappresentazioni, e ricordando che la proprietà viene studiata assumendo condizione iniziale nulla, al primo passo si
ha:
x(1) = Bu(0).
(5.5)
Introdotta la matrice R1 := [B], detta matrice di raggiungibilità ad un passo, è immediato vedere che l’insieme
X1R degli stati raggiungibili in un passo è dato da
X1R := Im [R1 ] = Im [B].
(5.6)
Similmente, analizzando la risposta forzata al passo k = 2, si trova:
x(2) =
=
Ax(1) + Bu(1)
(5.7)
ABu(0) + Bu(1) = [ B
AB ]
u(1)
u(0)
.
(5.8)
e quindi, con ovvio significato dei simboli:
X2R := Im [R2 ] = Im [ B
AB ].
(5.9)
Iterando il ragionamento, al passo k si ottiene:
x(k) = Bu(k − 1) + ABu(k − 2) + · · · + Ak−1 Bu(0) =
B
AB
···
Ak−1 B





u(k − 1)
u(k − 2)
..
.
u(0)



.

La matrice Rk := B AB · · · Ak−1 B è detta matrice di raggiungibilità in k passi, mentre l’insieme XkR ,
sottospazio degli stati raggiungibili in k passi, è dato dall’immagine di tale matrice:
XkR := Im [Rk ] = Im B AB · · · Ak−1 B .
(5.10)
E` facile vedere che i sottospazi di raggiungibilità sono ordinati secondo la seguente catena di inclusioni,
poiché sono costruiti aggiungendo in successione nuove colonne alla matrice relativa al passo precedente:
R
X1R ⊆ X2R ⊆ · · · ⊆ XkR ⊆ XnR = Xn+1
.
(5.11)
Si noti che l’inclusione diviene sicuramente un’uguaglianza al passo n, in virtù del teorema di Cayley-Hamilton.
Ovviamente l’inclusione può divenire un’uguaglianza anche prima del passo n.
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 5-209
Il sottospazio X R , detto sottospazio degli stati raggiungibili, cioè il sottospazio che raccoglie la totalità degli
stati raggiungibili, si ottiene quindi, al più, al passo n: X R := XnR ed è generato dalla matrice di raggiungibilità
R:
R := B AB · · · An−1 B .
(5.12)
Poichè X R contiene tutti i punti raggiungibili, un sistema dinamico Σ(A, B) è raggiungibile se e solo se tale
spazio coincide con l’intero spazio di stato:
XR ≡ X,
(5.13)
e quindi se e solo se la matrice di raggiungibilità ha rango pieno. Vale quindi il criterio di raggiungibilità
enunciato nel seguente teorema di raggiungibilità:
Teorema 5.1 (Criterio di raggiungibilità) Un sistema dinamico a tempo discreto Σ(A, B) è raggiungibile
se e solo se
rango B AB · · · An−1 B = n.
(5.14)
Si noti come la matrice di raggiungibilità sia una matrice con n righe e n × m colonne.
Il più piccolo intero r per cui la matrice
B AB · · · Ar−1 B
(5.15)
ha rango n è detto indice di raggiungibilità del sistema.
Il calcolo dell’ingresso u(·) che consente di raggiungere lo stato assegnato, cosı̀ come precisato nella definizione
5.1, è possibile a partire dalla matrice di raggiungibilità del sistema, od anche dalla matrice di raggiungibilità
in un numero fissato di passi. In particolare, la possibilità di raggiungere uno stato assegnato xf in k passi, con
k ≥ 1, è legata alla possibilità di risolvere il seguente sistema algebrico:


u(k − 1)


 u(k − 2) 
xf = B AB · · · Ak−1 B 
.
..


.
u(0)
L’esistenza di una soluzione per tale sistema indica la raggiungibilità del punto in k passi, ed una sua soluzione
(“la” soluzione, se unica), rispetto alle incognite u(k − 1), · · · , u(0), rappresenta una possibile sequenza (“la”
sequenza, se unica) che consente di raggiungere tale punto dall’origine in k passi.
Per quanto concerne l’esistenza della soluzione, è ben noto che cioè si verifica se, e solo se:
rango B AB · · · Ak−1 B = rango xf | B AB · · · Ak−1 B
(5.16)
5.4
Raggiungibilità per sistemi LSTC
Lo studio del sottospazio degli stati raggiungibili per sistemi lineari a tempo continuo è basato sul concetto di
gramiano di raggiungibiltà [8, 10]. L’introduzione di tale concetto esula dagli scopi di queste note. L’analisi
porta a concludere, anche nel caso dei sistemi a tempo continuo, che il sottospazio degli stati raggiungibili è
dato dall’immagine della matrice di raggiungibilità:
X R = Im [R] = Im B AB · · · An−1 B .
(5.17)
Ne segue quindi un criterio di raggiungibilità a tempo continuo, raccolto nel seguente teorema, che è del tutto
identico all’analogo teorema per i sistemi a tempo discreto:
Teorema 5.2 (Criterio di raggiungibilità) Un sistema dinamico a tempo continuo Σ(A, B) è raggiungibile
se e solo se
rango B AB · · · An−1 B = n.
(5.18)
Il calcolo del segnale di ingresso che consente di raggiungere, se possibile, un assegnato punto dello spazio di
stato richiede il calcolo del gramiano di raggiungibilità (si veda [8, 10]).
5.5
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 5-210
Risultati notevoli
Poiché la matrice di raggiungibilità, il sottospazio degli stati raggiungibili ed il criterio di raggiungibilità possono
essere formulati in modo identico per sistemi a tempo continuo e per sistemi a tempo discreto, tutte le proprietà
che ne derivano valgono in modo del tutto identico/analogo per entrambe le classi di sistemi.
Nei lemmi che seguono vengono riportate alcune proprietà, particolarmente rilevanti ai fini del corso.
Lemma 5.3 Il sottospazio X R degli stati raggiungibili è invariante rispetto a trasformazioni di similarità.
Si ricordi che un sottospazio vettoriale V è detto invariante rispetto ad un operatore A, e cioè V è A −
invariante, se vale la relazione:
AV ⊆ V ⇔ ∀v ∈ V, Av ∈ V.
(5.19)
Vale quindi il seguente lemma:
Lemma 5.4 Il sottospazio X R degli stati raggiungibili è un sottospazio A-invariante.
Se un sistema Σ(A, B), indifferentemente a tempo continuo o a tempo discreto, non è raggiungibile, è
possibile analizzare in dettaglio la sua struttura interna, ed evidenziare la parte eventualmente raggiungibile,
utilizzando la forma standard di raggiungibilità, o decomposizione di Kalman rispetto alla raggiungibilità. Tale
decomposizione è descritta dal seguente teorema:
Teorema 5.3 (Decomposizione di Kalman rispetto alla raggiungibilità) Se il sistema Σ = (A, B, C)
non è raggiungibile, esiste una trasformazione di coordinate nello spazio di stato x̄ = T −1 x, tale che il sistema,
nelle nuove coordinate, è descritto dalle matrici:
B̄1
Ā1,1 Ā1,2
−1
−1
(5.20)
, C̄ = CT = C̄1 C̄2 ,
, B̄ = T B =
Ā = T AT =
0
0
Ā2,2
in cui i blocchi Ā1,1 e Ā2,2 sono matrici quadrate, di dimensione ρ × ρ e (n − ρ) × (n − ρ), rispettivamente, con ρ
pari al rango della matrice di raggiungibilità, ed i blocchi Ā1,2 , B̄1 , C̄1 e C̄2 sono di dimensioni corrispondenti.
Inoltre, il sottosistema Σ̄1,1 = (Ā1,1 , B̄1 , C̄1 ) è completamente raggiungibile.
Il calcolo della matrice di trasformazione T −1 , o meglio la determinazione della nuova base T , è basato sulla
determinazione di un numero opportuno di colonne indipendenti della matrice di raggiungibilità. Sia ρ < n il
rango della matrice di raggiungibilità. La matrice di trasformazione può essere costruita selezionando ρ colonne
indipendenti di R, ed utilizzando ulteriori n − ρ vettori indipendenti per completare la base. Si consideri il caso
particolare di un sistema con un solo ingresso, per il quale quindi la matrice B è costituita da una sola colonna.
In tal caso, se la matrice di raggiungibilità ha rango ρ, una possibile scelta di altrettante colonne indipendenti
è data dalla prime ρ colonne. La matrice di trasformazione è allora:
T = b Ab · · · Aρ−1 b w1 · · · wn−ρ .
(5.21)
con w1 , · · · , wn−ρ vettori tali da generare una nuova base (e quindi, tali da generare una matrice T non
singolare).
La forma standard di raggiungibilità è di estremo interesse, perché consente di evidenziare il sottosistema
completamente raggiungibile e quello non raggiungibile. Una proprietà fondamentale del sottosistema raggiungibile è quella di essere il solo a caratterizzare la matrice di trasferimento dell’intero sistema, come affermato
nel seguente teorema.
Teorema 5.4 Sia Σ = (A, B, C) un sistema non completamente raggiungibile, e sia Σ̄1 = (Ā1,1 , B̄1 , C̄1 ) il
sottosistema raggiungibile ottenuto dalla decomposizione canonica di Kalman rispetto alla raggiungibilità. Allora,
i due sistemi Σ e Σ̄1 hanno la stessa matrice di trasferimento:
C(ηI − A)−1 B = C̄1 (ηI − Ā1,1 )−1 B̄1
(5.22)
▽
Il teorema precedente implica che gli autovalori della matrice Ā2,2 del sottosistema non raggiungibile non
compaiono come poli della matrice di trasferimento del sistema Σ. Nella relazione (5.22), la variabile complessa
η rappresenta la variabile s di Laplace nel caso dei sistemi LSTC e la variabile z nel caso dei sistemi LSTD.
Infine, si riporta un ulteriore corollario, legato alla raggiungibilità (si veda [10][§5.7, corollario 2]):
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 5-211
Corollario 5.1 Sia Σ = (A, B, C) un sistema non completamente raggiungibile. Gli autovalori della matrice
Ā2,2 , che descrive il sottosistema non raggiungibile, sono tutti e soli i valori di λ in corrispondenza dei quali la
matrice
[A − λI|B]
(5.23)
non ha rango pieno.
5.6
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 5-212
Esercizi risolti
Esercizio 5.1 Dato il sistema dinamico a tempo discreto




−2 −1 −5
3
x(k + 1) =  0
1
0  x(k) +  1  u(k),
2
2
5
−2
a) studiare la raggiungibilità;
b) determinare la decomposizione rispetto alla raggiungibilità.
Soluzione esercizio 5.1.




−5
3
0  x(k) +  1  u(k),
5
−2
−2 −1
1
x(k + 1) =  0
2
2
Raggiungibilità.
La matrice di raggiungibilità di questo sistema è data da:


3
3
3
R= 1
1
1 ,
−2 −2 −2
e quindi il sistema non è raggiungibile. Il suo indice di raggiungibilià è r = 1.
Decomposizione rispetto alla raggiungibilità.
Per calcolare la decomposizione, si sceglie un insieme di r = 1 colonne indipendenti della matrice R, ad
esempio e1 = b, e si completa tale insieme con 2 colonne linearmente indipendenti; ad esempio, si può scegliere:


 
1
0
e2 =  0  , e3 =  0  .
0
1
Ogni altra scelta di due colonne linearmente indipendenti rispetto alla matrice b è possibile.
La base per la decomposizione rispetto alla raggiungibilità è quindi:


3 1 0
T =  1 0 0 ,
−2 0 1
con inversa:
T −1

0
= 1
0

1 0
−3 0  .
2 1
Nelle nuove coordinate x̄ = T −1 x il sistema è descritto dalle matrici:




1 0
0
1
Ā =  0 −2 −5  , b̄ =  0  ;
0 2
5
0
con la notazione abitualmente utilizzata si ha:
Ā11 =
1
Esercizio 5.2 Dato il sistema dinamico a tempo

1

−5
x(k + 1) =
2
0 0
y(k) =
,
Ā22 =
−2 −5
2
5
.
discreto
0
−3
1
1



1
1
−5  x(k) +  −1  u(k),
2
0
x(k),
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 5-213
1. valutare la raggiungibilità;
2. determinare, se possible, una sequenza di controllo per raggiungere lo stato x1 = (2 − 3 1)T ;
3. determinare una decomposizione rispetto alla raggiungibilità.
Soluzione esercizio 5.2.
Sistema dinamico a tempo discreto




1
0
1
1
x(k + 1) =  −5 −3 −5  x(k) +  −1  u(k),
2
1
2
0
0 0 1 x(k),
y(k) =
Valutare la raggiungibilità.
Per valutare la raggiungibilità del sistema in esame, si deve valutare il rango della matrice di raggiungibilità:


1
1
2
R = b Ab A2 b =  −1 −2 −4 
0
1
2
il cui rango è due, e quindi il sistema non è raggiungibile. Infatti, la seconda e terza colonna della matrice di
raggiungibilità sono linearmente dipendenti.
Determinare, se possible, una sequenza di controllo per raggiungere lo stato x1 = (2 − 3 1)T .
Lo stato x̄ è raggiungibile se appartiene all’immagine della matrice di raggiungibilità. In particolare, il punto
di interesse è pari alla somma della prime due colonne di R. Procedendo in modo analitico, si deve verificare il
rango della matrice:


1
1
2
b Ab x̄ =  −1 −2 −3 
0
1
1
che risulta essere pari a due, per cui il punto è raggiungibile in due passi. La sequenza di controllo che consente
di raggiungere il punto x̄ in due passi si può ottenere dalla soluzione del sistema:




2
1
1
u(1)
 −1 −2 
=  −3 
u(0)
1
0
1
che, per ispezione, è data da:
u(0) = 1,
u(1) = 1.
Determinare una decomposizione rispetto alla raggiungibilità.
Poiché il sistema non è raggiungibile, ha senso determinare la decomposizione rispetto alla raggiungibilità.
Le prime due colonne della matrice di raggiungibilità sono linearmente indipendenti, ed un possibile vettore per
completare la base è dato, ad esempio, dalla prima colonna della matrice identita, per cui la matrice di cambio
di base e la sua inversa sono date da:




0 −1 −2
1
1 1
1 .
T =  −1 −2 0  , T −1 =  0 0
1 1
1
0
1 0
La decomposizione rispetta alla raggiungibilità è quindi descritta dalle matrici:




0 0 1
1
Ā = T −1 AT =  1 2 2  , b̄ = T −1 b =  0  , Ā = T −1 AT = 0 1
0 0 −2
0
0
.
5.7
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 5-214
Esercizi proposti

x(k + 1) = Ax(k) + B1 u(k),
a) studiare la raggiungibilità ;

−1 1 0
2 0 ,
A= 2
2 −1 1


−1
B1 =  −2  ,
0
0 1 ]T e x̄2 = [ 2 1
b) verificare la raggiungibilità e degli stati x̄1 = [ 1
0 ]T ;
c) se gli stati x̄1 e x̄2 sono raggiungibili, determinare due segnali di controllo per raggiungerli in un numero
minimo di passi;
d) determinare almeno due distinti segnali di controllo che consentano di raggiungere lo stato x̄1 in 11 passi.
x(k + 1) = Ax(k) + B1 u(k),
b) verificare la raggiungibilità dello stato x̄1 = [ 1

−1 1
A= 1 1
1 0

0
0 ,
1


1
B1 =  0  ,
0
2 1 ]T ;
c) se lo stato x̄1 non è raggiungibile, determinare lo stato xo ∈ X R che rende minima la funzione kx̄1 − xk2 al
variare di x nel sottospazio di raggiungibilità;
d) determinare un segnale di controllo per raggiungere lo stato x̄1 o lo stato xo nel numero minimo di passi.
x(k + 1) = Ax(k) + B1 u(k),
b)verificare la raggiungibilità dello stato x̄ = [ 3

−1 1
A= 1 2
1 0

0
0 ,
1


1
B1 =  0  ,
0
1 2 ]T ;
c) se lo stato x̄ è raggiungibile, determinare un segnale di controllo u(·) per raggiungerlo nel numero minore
di passi.

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k),
a) studiarne la raggiungibilità;
−1 1
A= 1 2
1 0
b) verificare la raggiungibilità dello stato x̄ = [ 3 1

0
0 ,
1

1
B= 0
0

0
0 ,
1
2 ]T ;
c) se lo stato x̄ è raggiungibile, determinare un segnale di controllo u(·) per raggiungerlo nel numero minore
di passi; utilizzando un solo segnale di controllo (si confronti questo esercizio con 5.5), ed utilizzando un
segnale avente norma minima.
d) confrontare i tre diversi segnali ottenuti al punti precedente.
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 5-215
Esercizio 5.7 Dato il sistema dinamico a tempo continuo

1 1
ẋ(t) = Ax(t) + gu(t),
A= 0 1
0 0
b)verificare la raggiungibilità dello stato x̄ = [ 0

0
0 ,
1


0
B =  1 ,
1
1 0 ]T ;
c) qualora x̄ non sia raggiungibile, determinare lo stato xo ∈ X R che rende minima la funzione kx̄ − xk2 al
variare di x nel sottospazio di raggiungibilità;
d) determinare la decomposizione rispetto alla raggiungibilità;
e) determinare il complemento all’intero spazio di stato del sottospazio di raggiungibilità, cioè il sottospazio
X 1 tale che X =XR ⊕ X 1 ;
f) determinare i modi non modificabili dall’ingresso (cioè associati ad autovalori invarianti);
g) dato un generico stato x0 = [ x10 x20 x30 ]T , e un valore finito t̄, assegnato, verificare se lo stato
xf = e At̄ x0 è raggiungibile a partire dallo stato iniziale x0 e, in caso affermativo, determinare un instante
di tempo t al quale tale stato finale può essere raggiunto ed il corrispondente segnale di controllo u(·);
h) calcolare il segnale di ingresso u(·) che consente di raggiungere lo stato x̄, o lo stato xo , definiti al punto c).

1
x(k + 1) =  0
0
discreto



1 0
0
1 0  x(k) +  1  u(k),
0 1
1
b)verificare se lo stato x̄ = [ 0 −2 0 ]T è raggiungibile;
c) qualora x̄ non sia raggiungibile, determinare lo stato xo ∈ X R che rende minima la funzione kx̄ − xk2
al variare di x nel sottospazio di raggiungibilità, e determinare la sequenza di ingressi che consente di
raggiungere tale stato xo ;
d) determinare la decomposizione rispetto alla raggiungibilità;
e) determinare il complemento all’intero spazio di stato del sottospazio di raggiungibilità;
f) determinare i modi non modificabili dall’ingresso (cioè invarianti);
g)verificare se lo stato xf = [ 4 3 5 ]T è raggiungibile a partire dallo stato iniziale x0 = [ 1 1 0 ]T ,
calcolare il numero minimo di passi richiesti ed il segnale di controllo che consente di raggiungerlo.
Esercizio 5.9 Dato il circuito elettrico in figura 5.1 (si veda il paragrafo 2.3), e determinato il suo modello
dinamico
b) determinare la decomposizione rispetto alla raggiungibilità.
c) calcolare l’autovettore relativo al’autovalore non raggiungibile.
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 5-216
R1
L1
R3
R2
C2
Vin
C1
Figura 5.1: Circuito elettrico relativo all’esercizio 5.9
R4
Capitolo 6: Allocazione scalare
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 6-217
Capitolo 6
Allocazione degli autovalori per sistemi
scalari
6.1
Introduzione
Lo studio delle proprietà di stabilità dei sistemi lineari ha messo in chiara evidenza il ruolo fondamentale
degli autovalori nella caratterizzaione di tale proprietà.
In molte situazioni di interesse, ad esempio in tutti i casi in cui si ha un sistema instabile, oppure si ha
un sistema i cui modi naturali, pur essendo convergenti, sono troppo “lenti”, sarebbe utile poter intervenire
sul sistema e modificare i suoi autovalori. La modalità tipica di intervento è quella di applicare un opportuno
segnale di ingresso, che sia calcolato sulla base di misure del comportamento attuale del sistema, cioè, un segnale
in retroazione.
Più in generale, l’utilizzo di un segnale di controllo in retroazione consente di risolvere problemi di regolazione.
Nel seguito verrà presentata una possibile soluzione al problema della regolazione dello stato di un sistema
dinamico intorno ad un punto di equilibrio.
6.2
Regolazione e dinamica d’errore
Il problema della regolazione di un sistema dinamico intorno ad un punto di lavoro (punto di equilibrio) è
un problema di estrema importanza applicativa.
Si consideri un sistema dinamico a tempo continuo (il caso dei sistemi a tempo discreto è del tutto analogo),
con un solo ingresso ed una sola uscita, descritto dalle equazioni:
ẋ
y
= Ax + bu
= cx,
e sia xr un punto dello spazio di stato che si desidera rendere punto di lavoro per il sistema. Si desidera cioè agire
in modo tale che il sistema si trovi, di norma, in tale punto dello spazio di stato, e che eventuali scostamenti da
tale punto, a causa di disturbi e perturbazioni agenti dall’esterno, vengano recuperati con velocità assegnata.
Tale problema va sotto il nome di problema di regolazione.
Alla luce della teoria della stabilità il problema posto può essere risolto rendendo xr punto di equilibrio
asintoticamente stabile per il sistema di interesse.
Ciò può essere ottenuto suddividendo il problema di regolazione in due sottoproblemi: 1) rendere xr punto
di equilibrio; 2) rendere tale punto, e quindi il sistema, asintoticamente stabile.
Il primo sottoproblema è risolto facilmente determinando, se esiste, una soluzione al seguente sistema algebrico:
Axr + bur = 0.
(6.1)
Se tale sistema ammette soluzione nell’incognita scalare ur , allora il segnale di ingresso ur (t) = ur δ−1 (t) rende
il punto di interesse punto di equilibrio.
Per valutare le proprietà di stabilità di tale punto, e per progettare possibili azioni di intervento sul sistema,
è conveniente introdurre un sistema di errore, che descriva l’evoluzione temporale dello scostamento tra il
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 6-218
comportamento desiderato per il sistema ed il comportamento effettivo. Si introduca quindi un vettore x̃ : x−xr ,
che descrive lo scostamento tra il valore desiderato per lo stato ed il valore effettivo. Tale segnale è detto errore
di regolazione nello stato. Si supponga inoltre che il segnale di ingresso u(·) applicato al sistema sia dato dalla
somma del segnale costante utile a rendere xr punto di equilibrio e di un segnale aggiuntivo ũ, il cui scopo sarà
chiaro nel seguito.
La dinamica dell’errore di regolazione nello stato può essere determinata facilmente a partire dalla dinamica
del sistema e dalla condizione di equilibrio. Si trova:
x̃˙ =
=
=
ẋ − x˙r = ẋ = Ax + bu = A(x̃ + xr ) + b(ũ + ur )
Ax̃ + bũ + Axr + bur
Ax̃ + bũ.
La dinamica di errore è quindi governata da un sistema descritto dalle stesse matrici A e b che descrivono il
sistema da controllare (in virtù della linearità di quest’ultimo). Ne segue che il problema di regolazione sarà
ben risolto se la matrice A ha tutti gli autovalori con parte reale negativa, per garantire stabilità asintotica, e
con parte reale sufficientemente grande (in modulo), per garantire idonea velocità di convergenza.
Se tale matrice non ha le proprietà richieste, si potrebbe cercare di utilizzare il segnale ũ per modificare il
comportamento della dinamica di errore, e risolvere quindi in modo soddisfacente il problema di regolazione.
Come già notato, la dinamica d’errore ed il sistema da controllare (il processo) sono descritti dalle stesse
matrici. Ciò implica che regolare il sistema intorno ad un punto di equilibrio non nullo xr è del tutto equivalente
a regolarlo intorno all’origine. Nel seguito quindi ci si limiterà a studiare e risolvere il problema della regolazione
a zero di un sistema dinamico.
Tale problema può essere risolto, ad esempio, utilizzando un segnale in retroazione che consenta, se possibile,
di allocare in modo arbitrario tutti gli autovalori del sistema.
6.3
Allocazione degli autovalori: formulazione del problema
Problema 6.1 (Allocazione degli autovalori tramite retroazione statica dallo stato) Dato il sistema
dinamico Σ = (A, b, c) ed un insieme di n numeri complessi D = {λ1 , λ2 , . . . , λn }, con D arbitrario ma chiuso
rispetto all’operazione di coniugazione complessa, trovare, se esiste, una legge in retroazione statica dallo stato
u = kx + v,
k ∈ R1×n , v ∈ R,
(6.2)
tale che gli elementi dell’insieme D siano gli autovalori del sistema a ciclo chiuso ΣK = (A + bk, b, c).
Teorema 6.1 Il problema della allocazione degli autovalori tramite retroazione statica dallo stato per un sistema
dinamico Σ = (A, b, c) ammette soluzione se e solo se il sistema è raggiungibile, cioè se e solo se sono soddisfatte
le due condizioni equivalenti:
i) rango [b Ab . . . An−1 b] = n;
ii) rango [A − λI|b] = n,
6.4
∀λ ∈ sp {A}.
Allocazione degli autovalori: soluzione
Dimostrazione del teorema.
Sufficienza La sufficienza verrà mostrata dando una procedura per costruire una matrice k (k ∈ R1×n ) che
risolve il problema, e poi mostrando che, sotto l’ipotesi di raggiungibilità, la procedura può effettivamente
essere completata ed ottiene il risultato desiderato.
La procedura consiste nel determinare un nuovo sistema di coordinate, nel quale sia poi immediato calcolare
la matrice di retroazione cercata.
Procedura 6.1 (Allocazione degli autovalori tramite retroazione statica, singolo ingresso.)
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 6-219
Passo 1. Determinare un vettore riga h ad n componenti ( hT ∈ Rn ), tale da soddisfare il seguente sistema
algebrico:
hb
=
0
hAb =
..
.
hAn−2 b =
0
0
hAn−1 b
1.
(6.3)
=
Passo 2. Determinare le nuove coordinate xc secondo la trasformazione:
xc = T −1 x,
con
T −1

T −1 ∈ Rn×n ,
h
hA
..
.



:= 

 hAn−2
hAn−1
(6.4)




.


(6.5)
Con queste nuove coordinate, che nel seguito verranno indicate come le coordinate di controllore, il sistema
originale risulta descritto dalla forma canonica di controllore ad un ingresso:
x˙c = Ac xc + bc u,
ove




Ac = T −1 AT = 


0
0
..
.
1
0
..
.
0
1
..
.
···
···
..
.
0
0
..
.
0
−a0
0
−a1
0
−a2
···
···
1
−an−1
(6.6)




,



0
0
..
.



bc = T −1 b = 

 0
1




.


(6.7)
Passo 3. Dato l’insieme di autovalori desiderati D = {λ1 , λ2 , . . . , λn }, chiuso rispetto all’operazione di coniugazione complessa, determinare il polinomio caratteristico desiderato:
p(λ) :=
n
Y
i=1
(λ − λi ) = λn + pn−1 λn−1 + · · · + p1 λ + p0 .
Passo 4. Calcolare la matrice di retroazione dallo stato in coordinate di controllore kc , kc ∈ R1×n :
kc = (a0 − p0 ) (a1 − p1 ) · · · (an−1 − pn−1 ) ;
(6.8)
(6.9)
e calcolare la matrice di retroazione nelle coordinate originali, data da:
k = kc T −1 .
(6.10)
♦
Si tratta ora di mostrare che la procedura può essere completata e la sua efficacia.
Per mostrare che la procedura può essere completata è sufficiente far vedere che è possibile calcolare la
matrice T −1 e che tale matrice è effettivamente non singolare.
La raggiungibilità del sistema Σ garantisce l’esistenza di un vettore riga h soluzione
del sistema algebrico
(6.3). Infatti, la raggiungibilità implica che la matrice R = b Ab · · · An−1 b è non singolare, e quindi
esiste la sua inversa R−1 .
Ora, il sistema di equazioni (6.3) può essere riscritto nella forma:
hR = 0 0 · · · 1 ,
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 6-220
la cui soluzione, in virtù dell’esistenza della matrice R−1, esiste ed è data da:
h = 0 0 · · · 1 R−1 ,
e quindi h è ottenibile come ultima riga dell’inversa della matrice di raggiungibilità (per semplice ispezione
visiva del prodotto righe-colonne).
La possibilità di calcolare la matrice T −1 a partire dal vettore riga h non comporta problemi, deve invece
essere mostrato che tale matrice è non singolare. Questo può essere fatto mostrando che le righe di T −1 sono
tutte linearmente indipendenti. Per assurdo, si assuma che non lo siano; allora esiste una sequenza di n costanti
η0 , η1 , . . . , ηn−1 , non tutte nulle, tali che la combinazione tramite tali coefficienti delle righe di T −1 è pari ad un
vettore riga nullo:
n−1
X
ηi hAi = 0.
(6.11)
i=0
Moltiplicando a destra entrambi i membri dell’equazione per il vettore b e ricordando le condizioni imposte
dal sistema (6.3), si trova che deve essere:
ηn−1 h An−1 b = 0,
(6.12)
da cui, per l’ultima delle (6.3), segue ηn−1 = 0. Moltiplicando poi a destra entrambi i membri dell’equazione
(6.11) per il vettore Ab e ricordando le condizioni imposte dal sistema (6.3), si trova che deve essere:
ηn−2 h An−2 Ab = 0,
(6.13)
da cui, per l’ultima delle (6.3), segue ηn−2 = 0. Procedendo in modo simile, si arriva a mostrare che tutti i
coefficienti η che consentono di ottenere una combinazione nulla devono essere necessariamente nulli, e quindi
l’indipendenza delle righe e la non singolarità della matrice T −1 . Questo completa la dimostrazione che la
procedura può essere completata.
Per quanto riguarda la sua efficacia, il primo passo è quello di provare che, nelle coordinate xc = T −1 x, con
−1
T
data dalle (6.5), il sistema assume effettivamente la forma (6.6), (6.7), cioè mostrare che le coordinate xc
sono effettivamente quelle che portano il sistema nella forma canonica di controllore ad un solo ingresso. Ciò
può essere fatto facilmente per ispezione, a partire dalle relazioni:
Ac T −1 = T −1 A,
bc = T −1 b,
(6.14)
tenendo conto della trasformazione (6.5) e del teorema di Cayley-Hamilton. Infatti, la prima della riga del
prodotto T −1 A, per la forma della T −1 , è pari alla seconda riga della T −1 stessa, da cui segue che la prima riga
della matrice Ac deve avere un uno in seconda posizione, e tutti gli altri elementi nulli. Analogamente per tutte
le altre righe della matrice Ac , salvo l’ultima che discende dall’applicazione di Cayley-Hamilton.
In modo simile si può mostrare che il vettore bc assume la forma indicata nella (6.7), in virtù del sistema
(6.3) e della trasformazione (6.5). Come secondo passo per mostrare l’efficacia, è immediato constatare che il
polinomio caratteristico del sistema retro-azionato nelle coordinate di controllore xc (cioè del sistema Σc = (Ac +
bc kc , bc , Cc )), coincide con il polinomio desiderato (6.8). Per le proprietà delle trasformazioni algebricamente
equivalenti, del tipo della T −1 , il sistema retro-azionato nelle coordinate originali ha esattamente lo stesso
polinomio caratteristico p(λ), e quindi il problema di assegnazione degli autovalori è risolto dalla matrice k =
kc T −1 .
⊓
⊔
6.4.1
Le funzioni di trasferimento a ciclo aperto e a ciclo chiuso
Il calcolo della funzione di trasferimento per un sistema in forma canonica di controllore è immediato. Con la
notazione (6.7), ed indicando la matrice di uscita nella forma di controllore con la notazione:
(6.15)
cc = c0 c1 · · · cn−1 ,
si trova facilmente (assumendo assenza di legame diretto ingresso-uscita) la funzione di trasferimento Wca (s)
del sistema a ciclo aperto:
Wca (s) = cc (sI − Ac )−1 bc =
sn
cn−1 sn−1 + · · · c1 s + c0
.
+ an−1 sn−1 + · · · a1 a + a0
(6.16)
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 6-221
Poiché (sempre nel caso di legame ingresso-uscita nullo), la retroazione non modifica l’equazione di uscita,
ma modifica il polinomio caratteristico, è immediato verificare che la funzione di trasferimento a ciclo chiuso,
Wcc (s), risulta pari a:
Wcc (s) = cc (sI − Ac )−1 bc =
cn−1 sn−1 + · · · c1 s + c0
.
sn + pn−1 sn−1 + · · · p1 a + p0
(6.17)
Poiché la funzione di trasferimento è invariante rispetto a trasformazioni di similarità algebrica, le due
funzioni di trasferimento Wca (s) e Wcc (s) descrivono i sistemi in catena aperta e in catena chiusa anche nelle
coordinate orginali.
6.5
Il caso dei sistemi non completamente raggiungibili
Il problema della allocazione degli autovalori può essere risolto, nella versione completa, solo se il sistema in
esame è raggiungibile.
Tuttavia, se il sistema non è raggiungibile, si può comunque valutare la possibilità di stabilizzarlo. Ciò è
possibile se tutti gli autovalori della parte non raggiungibile sono già asintoticamente stabili, e cioè, se tutti gli
autovalori della parte non raggiungibile sono a parte reale negativa, in caso di sistema a tempo continuo, oppure
sono con modulo minore di uno, per sistemi a tempo discreto.
In questo caso, la sintesi di un controllore in reazione statica dallo stato che modifichi gli autovalori della
parte raggiungibile può essere progettato seguendo il diagramma commutativo riportato in figura 6.1. Cioè,
si costruisce la forma standard di raggiungibilità Σ̄, con una prima trasformazione di coordinate descritta dai
nuovi vettori di base T̄ , poi si estrae il sottosistema raggiungibile Σ̄11 riducendo il sistema di partenza. Su
tale sistema si opera poi in modo classico, trasformando nelle coordinate di controllore con la matrice Tc ed
operando poi la retroazione (su un sistema di dimensione minore) Kc .
K
Σ
Σ
k
_
T
_
T
-1
_
_
Σ
Σ
k
Espansione
Riduzione
_
_
Σ11
k
Σ11
-1
T
c
_
Σ11,c
T
c
K
c
_
k
Σ11,c
Figura 6.1: Stabilizzazione di sistemi non raggiungibili
Dopo aver risolto il problema nelle coordinate di controllore per il sottosistema raggiungibile, si deve ricostruire la soluzione nelle coordinate originali, diverse per dimensione e vettori di base. Si tratti quindi di percorre
i tre passi seguenti: a) tornare alle coordinate della decomposizione di Kalman per mezzo della trasformazione
inversa Tc−1 , b) aumentare le dimensioni della matrice di retroazione, ad esempio aggiungendo un numero idoneo
di elementi nulli, ed infine c), tornare alle coordinate originali tramite la trasformazione inversa T̄ −1 .
6.6
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 6-222
Esercizi risolti




−2 1 −4
0
ẋ =  1 0 2  x +  1  u,
1 0 2
0
0 0 1 x,
y =
1. valutare la raggiungibilità e la controllabilità;
2. calcolare, se esiste, una legge di controllo in retroazione statica dallo stato che renda il sistema a ciclo
chiuso asintoticamente stabile;
3. determinare i poli della funzione di trasferimento del sistema a ciclo aperto e del sistema ottenuto al punto
precedente.
Soluzione.
Sistema dinamico a tempo continuo
ẋ =
y
=

−2 1
 1 0
1 0
0 0 1
1. valutare la raggiungibilità e la controllabilità.



−4
0
2  x +  1  u,
2
0
x,
Per valutare la raggiungibilità del sistema in esame, si deve valutare il rango della matrice di raggiungibilità:


0 1 −2
R = b Ab A2 g =  1 0 1 
0 0 1
il cui rango è tre, e quindi il sistema è raggiungibile. Il sistema è a tempo continuo, e quindi la raggiungibilità implica la controllabilità.
2. calcolare, se esiste, una legge di controllo in retroazione statica dallo stato che garantisca stabilità asintotica
per il sistema a ciclo chiuso.
L’esistenza di una legge legge di controllo in retroazione dallo stato, cioè del tipo:
u = Kx + v,
che garantisca stabilità asintotica del sistema a ciclo chiuso è garantita dalla raggiungibilità.
Per determinare la legge di controllo, si deve portare il sistema nella forma canonica di controllo ad un
ingresso. Si deve quindi trovare un vettore riga h, con tre componenti, soluzione del sistema di equazioni:

 

hb
0
 h Ab  =  0 
h A2 b
1
ed ottenibile, ad esempio, scegliendo h pari all’ultima

0
R−1 =  1
0
da cui si ricava:
h=
riga dell’inversa della matrice di raggiungibilità:

1 −1
0 2 ,
0 1
0 0
1
,
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 6-223
e quindi, per la matrice che caratterizza le nuove coordinate, si ottiene:




h
0 0 1
−2 1
T −1 =  hA   1 0 2  , T =  0 0
hA2
0 1 0
1 0
In queste nuove coordinate il sistema è descritto dalle matrici:




0 1 0
0
Ac = T −1 AT =  0 0 1  , gc = T −1 b =  0  ,
0 1 0
1

0
1 .
0
hc = hT =
1
0 0
.
A partire dalla forma canonica di controllore è immediato trovare la matrice di retroazione che consente di
allocare tutti gli autovalori in modo che il sistema a ciclo chiuso sia asintoticamente stabile. Ad esempio,
polinomio caratteristico desiderato può essere scelto pari a p(λ) = (λ + 1)3 = λ3 + 3λ2 + 3λ + 1. La matrice
di retroazione, nelle coordinate di controllore, deve essere scelta pari a:
kc = (0 − 1) (−1 − 3) (0 − 3) = −1 −4 −3 ,
cui corrisponde, nelle coordinate originali, la matrice:
k = kc T −1 = −4
−3 −9
.
La matrice che descrive la dinamica del sistema a ciclo chiuso è quindi (sebbene non richiesta):


−2 1 −4
A + bkf =  −3 −3 −7 
1
0
2
i cui autovalori sono tutti in −1, come desiderato.
3. determinare la funzione di trasferimento del sistema a ciclo aperto e del sistema a ciclo chiuso.
Le due funzioni di trasferimento possono essere determinate in modo immediato, ricordando che sistemi
algebricamente equivalenti hanno la stessa funzione di trasferimento. Dalla forma canonica di controllore
segue quindi, per il sistema a ciclo aperto:
w(s) =
1
,
s3 − s
(6.18)
mentre per il sistema a ciclo chiuso si trova:
w(s) =
s3
+
1
.
+ 3s + 1
3s2
(6.19)
Esercizio 6.2 Dato il seguente sistema dinamico a tempo continuo:
ẋ1
= x2
ẋ2
= x3
ẋ3
= x1 + x2 − x3 + u
y
= αx1 + x2 ,
1. valutare la stabilità interna ed esterna, al variare del parametro reale α;
2. fissato α = 1, determinare, se possibile, un segnale di controllo in retroazione statica dallo stato tale che,
per il sistema a ciclo chiuso, la risposta permanente in uscita per il segnale v(t) = δ−1 (t) + sin(20t) sia
caratterizzata da una attenuazione del termine sinusoidale pari almeno ad un fattore 100.
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 6-224
Traccia della soluzione.
Stabilità
- la stabilità interna si valuta con il segno degli autovalori. Poiché il sistema ha un autovalore con parte
reale positiva, è internamente instabile. - la stabilità esterna si valuta con il segno dei poli. Per α = −1 si ha
cancellazione dell’autovalore a parte reale positiva, e quindi il sistema è esternamente stabile, per tutti gli altri
valori di α si ha un polo pari a p = +1, e quindi il sistema non è stabile esternamente (non è stabile in senso
BIBO).
Sintesi
Una attenuazione di almeno 100 volte corrisponde, nel diagramma di Bode, ad una attenuazione di almeno
40dB. Si può ottenere il comportamento desiderato (attenuazione di almeno 40dB) ponendo due poli coincidenti
in p = −1. In tal modo il diagramma in corrispondenza di ω = 10 rad/sec è attenuato di 40dB, ed in
corrispondenza di ω = 20rad/sec (come richiesto) è attenuato di una quantità maggiore. Per ottenere due poli
in p = −1, dobbiamo allocare tre autovalori in λ = −1, per via dell’equazione di uscita, che introduce uno zero
nella stessa posizione.
Scelto il polinomio desiderato, la matrice K può essere progettata tramite la formula K = [a0 − p0 , a1 −
p1 , a2 − p2 ].
6.7
Esercizi proposti

ẋ
y

−1 1 0
A =  1 2 0 ,
1 0 1
a) determinare la forma canonica di controllore;
= Ax + bu
= cx,


1
b =  0 ,
0
c=
1 0
1
,
b) calcolare una retroazione dallo stato che assegni come nuovi autovalori i numeri {−1, −2, −3};
c) calcolare gli zeri della funzione di trasferimento.
Esercizio 6.4 Dato il sistema a tempo continuo




−1 5
27
−2
ẋ =  −1 −5 −16  x +  1  u,
1
2
3
0
(6.20)
a) studiare la raggiungibilità e la controllabilità;
b) determinare, se esiste, un controllore in retroazione dallo stato tale da allocare gli autovalori del sistema a
ciclo chiuso in {−2, −2, −2}.




−1 5
9
−4
ẋ =  −1 −3 −4  x +  2  u,
1
2
1
0
(6.21)




2
13
26
−2
ẋ =  −1 −7 −14  x +  1  u,
0
1
3
0
(6.22)
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 6-225




4
6
4
−1
ẋ =  −4 −7 −4  x +  1  u,
0
1
1
0
(6.23)
Esercizio 6.8 Dato il sistema a tempo discreto




8
23
21
−1
x(k + 1) =  −4 −12 −11  x(k) +  1  u(k),
−2
1
0
0
(6.24)
ciclo chiuso in {1/2, 1/2, 1/2}.

−3 −2
x(k + 1) =  3
3
−1 −1



−2
3
4  x(k) +  −3  u(k),
−1
1
(6.25)
ciclo chiuso in {1/3, 1/3, 1/3}.




9
28
67
3
ẋ =  −9 −27 −65  x +  −3  u,
3
9
22
1
(6.26)




4
11
5
2
ẋ =  −2 −5 −2  x +  −1  u,
2
5
3
1
(6.27)




8
21
8
4
ẋ =  −4 −10 −3  x +  −2  u,
2
5
2
1
(6.28)
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 6-226




2 −1 2
1
ẋ =  1 −2 −2  x +  0  u,
0 1
2
0
(6.29)
b) determinare, se esiste, un controllore in retroazione dallo stato tale rendere il polinomio caratteristico del
sistema a ciclo chiuso uguale a p(λ) = 2λ3 + 8λ2 + 10λ + 4.
Stabilizzazione e tempo di risposta finito.

−2 −2
1
ẋ =  0
0
1



−8
0
3  x +  1  u,
2
0
(6.30)
b) determinare, se esiste, un controllore in retroazione dallo stato tale da stabilizzare il sistema a ciclo chiuso.

0 −1
x(k + 1) =  0 −2
0 1



−3
0
−4  x(k) +  1  u(k),
3
0
(6.31)
b) studiare la controllabilità con due diversi criteri;
c) determinare, se esiste, un controllore a tempo di risposta finito.




0 1 −1
0
x(k + 1) =  0 4 −2  x(k) +  1  u(k),
0 1 −1
0
(6.32)




6 −11 8
2
x(k + 1) =  3 −6 3  x(k) +  1  u(k),
0
0
0
0
(6.33)
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 6-227




3 −1 1
1
ẋ =  3 −2 0  x +  1  u,
0 0 −2
0
(6.34)

1 1
x(k + 1) =  1 0
0 0



−1/2
1
0  x(k) +  1  u(k),
−1/2
0
(6.35)

−1/2 −3
x(k + 1) =  1/4 −1
3/4
3



−9/2
−1
−3/4  x(k) +  0  u(k),
19/4
1
(6.36)




1 −6 −12
−3
ẋ =  0 −4 −9  x +  −2  u,
0 2
5
1
(6.37)




−1 6 −21
−3
ẋ =  0 −4 11  x +  2  u,
0 −2
6
1
(6.38)




−5 −14 −52
−5
x(k + 1) =  −3 −9 −33  x(k) +  −3  u(k),
1
3
11
1
(6.39)
Capitolo 7: Osservabilità
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 7-228
Capitolo 7
Proprietà strutturali: Osservabilità
7.1
Introduzione
Il problema affrontato in questo capitolo è relativo alla determinazione dello stato interno di un sistema
dinamico a partire dalla conoscenza dei segnali di ingresso ed uscita su un dato intervallo finito di tempo.
Il problema riveste notevole importanza applicativa in tutte le situazioni in cui vi sia interesse a conoscere
l’andamento di grandezze non accessibili per la misura, per ragioni fisiche, oggettive, o per scelte progettuali.
La soluzione di tale problema richiede, preliminarmente, lo studio delle proprietà strutturali di osservabilità
e ricostruibilità, che risultano essere duali rispetto alle proprietà di raggiungibilità e controllabilità, già viste in
precedenza. Il problema di osservabilità può essere posto, formalmente, nel seguente modo.
Problema 7.1 (Osservabilità) Dato un sistema dinamico Σ(A, B, C), a tempo continuo o a tempo discreto, e
dato un istante di tempo T , determinare condizioni sotto le quali sia possibile calcolare lo stato iniziale del sistema
x(0) sulla base della conoscenza del segnale di ingresso u(t), t ∈ [0, T ] e del segnale di uscita y(t), t ∈ [0, T ]
sull’intervallo finito di tempo [0, T ].
Il concetto di ricostruibilità è relativo alla possibilità di determinare lo stato finale di un sistema, note le
funzioni di ingresso ed uscita su un intervallo finito di tempo.
Problema 7.2 (Ricostruibilità) Dato un sistema dinamico Σ(A, B, C), a tempo continuo o a tempo discreto,
e dato un istante di tempo T , determinare condizioni sotto le quali sia possibile calcolare lo stato finale del sistema
x(T ) sulla base della conoscenza del segnale di ingresso u(t), t ∈ [0, T ] e del segnale di uscita y(t), t ∈ [0, T ]
sull’intervallo finito di tempo [0, T ].
7.2
Osservabilità
Lo studio della proprietà di osservabilità si basa sul concetto di indistinguibilità tra due stati. Sia η(t, x0 , u(·))
la risposta completa in uscita di un sistema dinamico Σ(A, B, C), a tempo continuo o a tempo discreto. La
nozione di indistinguibilità è relativa alla possibilità di discriminare tra due stati distinti sulla base della risposta
completa in uscita, per uno stesso segnale di ingresso (si veda, tra l’altro, [33, 34, 35]).
Definizione 7.1 Due stati xa ed xb di un sistema dinamico Σ(A, B, C) (a tempo continuo o a tempo discreto),
si dicono indistinguibili nell’intervallo [0, T ] se, per ogni funzione di ingresso u(·), le risposte complete in
uscita coincidono:
y(t, xa , u(·)) = y(t, xb , u(·)), ∀t ∈ [0, T ].
(7.1)
Per estensione, due stati di dicono indistinguibili (senza riferimento specifico ad un intervallo temporale), se
sono indistinguibili in qualsiasi intervallo di durata non nulla. Per quanto concerne l’intero sistema, si parla di
sistema osservabile se, per tale sistema, non esistono coppie di stati indistinguibili.
Definizione 7.2 (Sistema osservabile) Un sistema dinamico Σ(A, B, C), a tempo continuo o a tempo discreto, si dice osservabile se non esistono coppie di stati tra loro indistinguibili.
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 7-229
Intuitivamente, se due stati non sono indistinguibili, dall’analisi della coppia di funzioni ingresso ed uscita
potrebbe essere possibile calcolare lo stato iniziale, cioè, osservare lo stato iniziale.
Si consideri ora il caso di un sistema a tempo continuo. La risposta completa in uscita è data da:
Z t
y(t, x0 , u(·)) = Ce At x0 + C
e A(t−τ ) Bu(τ )d τ,
(7.2)
0
e quindi la condizione di indistinguibilità tra due punti xa ed xb diviene:
Z t
Z t
At
A(t−τ )
At
Ce xa + C
e
Bu(τ )d τ = Ce xb + C
e A(t−τ ) Bu(τ )d τ, ∀t ∈ [0, T ].
0
(7.3)
0
In virtù della linearità del sistema, i due termini che descrivono le risposte forzate in uscita coincidono.
Inoltre, nei sistemi a tempo continuo (per l’analiticità delle funzioni coinvolte), se una uguaglianza del tipo
precedente vale su un’intervallo finito di tempo [0, T ], allora vale per ogni valore non nullo di T . La condizione
di indistinguibilità diviene quindi:
Ce At xa = Ce At xb , ∀t ≥ 0,
(7.4)
e quindi:
Ce At (xa − xb ) = 0,
∀t ≥ 0.
(7.5)
Una coppia di stati xa ed xb sono quindi stati indistinguibili per un sistema a tempo continuo se la loro differenza
appartiene al kernel della matrice Ce At , matrice della risposta libera in uscita, per tutti i tempi.
Si consideri ora il caso in cui uno dei punti, ad esempio xb , sia l’origine. In tal caso, il concetto di indistinguibilità dall’origine viene sinteticamente indicato con non osservabilità: uno stato xa è non osservabile se è
indistinguibile dall’origine. In base alla relazione precedente lo stato xa è non osservabile se appartiene al kernel
della matrice della risposta libera in uscita:
Ce At xa = 0,
∀t ≥ 0.
(7.6)
Utilizzando la definizione di esponenziale di matrice, la condizione precedente diviene:
C
∞
X
Ai ti
i=0
i!
xa = 0, ∀t ≥ 0,
(7.7)
che corrisponde ad un polinomio di grado infinito nella variabile t, identicamente nullo:
Cxa + CAxa t + CA2 xa
tk
t2
+ · · · + CAk xa + · · · = 0,
2
k!
∀t ≥ 0.
(7.8)
Per il principio di identità dei polinomi (e cioè, per il concetto di indipendenza lineare in spazi vettoriali), tale
polinomio può essere identicamente nullo se, e solo se, tutti i suoi coefficienti sono nulli:
Cxa
= 0
CAxa
CA2 xa
..
.
= 0
= 0
CAk xa
..
.
= 0
In virtù del teorema di Cayley-Hamilton, la nullità dei primi n coefficienti implica la nullità di tutti gli altri.
La condizione di non osservabilità del punto xa diviene quindi, in forma matriciale:


C
 CA 


(7.9)
 xa = 0.

..


.
CAn−1
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 7-230
La matrice che compare nella relazione precedente è detta matrice di osservabilità, e sarà indicata con il simbolo
O:


C
 CA 


O=
(7.10)
.
..


.
CAn−1
Dato un sistema dinamico a tempo continuo Σ(A, B, C), il nucleo della matrice di osservabilità descrive il
sottospazio degli stati non osservabili, X N O , cioè, il sottospazio di tutti gli stati che danno luogo ad una risposta
libera in uscita identicamente nulla, e quindi indistinguibile da quella relativa alla condizione iniziale nulla:
X N O = ker(O).
(7.11)
Si noti bene come ciò implichi il fatto importante che, se un sistema ammette un sottospazio di stati non
osservabili non vuoto, non sarà mai possibile osservare lo stato iniziale, poiché esistono infiniti punti che danno
luogo alla stessa risposta libera. In altri termini, per ogni stato iniziale, ne esistono infiniti altri, tutti quelli in
X N O , che danno luogo alla stessa risposta libera. Di conseguenza, fissato un qualsiasi punto x̄ dello spazio di
stato, tutti i punti del tipo x̄ + xno , xno ∈ X N O , sono indistinguibili da x̄.
Da tali considerazioni emerge che un sistema dinamico è osservabile se e solo se il sottospazio degli stati
non osservabili è vuoto. Ciò accade se la nullità della matrice di osservabilità è zero, e quindi se il suo rango è
massimo, come sintetizzato nel criterio presentato nel seguente teorema:
Teorema 7.1 (Criterio di osservabilità) Un sistema dinamico (lineare e stazionario) a tempo continuo
Σ(A, B, C) è osservabile se e solo se


C
 CA 


rango 
(7.12)
 = n.
..


.
CAn−1
Lo studio della proprietà di osservabilità e dell’associato concetto di indistinguibilità può essere condotto
in modo del tutto analogo, e formalmente più agevole, per i sistemi a tempo discreto, giungendo al seguente
criterio di osservabilità, identico a quello relativo ai sistemi a tempo continuo:
Teorema 7.2 (Criterio di osservabilità) Un sistema dinamico (lineare e stazionario) a tempo discreto Σ(A, B, C)
è osservabile se e solo se


C
 CA 


rango 
(7.13)
 = n.
..


.
CAn−1
7.3
Dualità
La proprietà strutturali relative al legame stato-uscita sono in relazione di dualità con le proprietà strutturali relative al legame ingresso-stato. In particolare, la proprietà di osservabilità è duale della proprietà di
raggiungiblità.
Si consideri un sistema dinamico Σ(A, B, C), a tempo continuo o a tempo discreto, e si definisca sistema
duale il sistema dinamico ΣD (AD , B D , C D ) descritto dalle matrici:
AD := AT ,
B D := C T ,
C D := B T ,
(7.14)
ottenuto insomma “trasponendo” il sistema originale (“primale”). Si consideri ora la matrice di osservabilità
del sistema primale e la matrice di raggiungibilità del sistema duale:


C
 CA 


O=
 , RD = B D AD B D · · · (AD )n−1 B D = C T AT C T · · · (AT )n−1 C T
..


.
CAn−1
(7.15)
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 7-231
È immediato vedere come la matrice di osservabilità del primale coincida con la trasposta della matrice di
raggiungibilità del duale. Ne segue che il sistema primale è osservabile se e solo se il sistema duale è raggiungibile.
In modo del tutto analogo si può affermare che il sistema primale è raggiungibile se e solo se il sistema duale è
osservabile.
La nozione di dualità consente di estendere il modo immediato risultati e tecniche utilizzate per lo studio
della raggiungibilità allo studio dell’osservabilità. Un esempio è dato dalla forma standard di osservabilità, o
decomposizione di Kalman rispetto alla osservabilità.
Si consideri un sistema dinamico Σ(A, B, C), a tempo continuo o a tempo discreto, non osservabile. Per
il sistema duale, non raggiungibile, può essere costruita la forma standard di raggiungibilità, che può essere
utilizzata, per “trasposizione”, per determinare la forma standard di osservabilità del sistema primale. Indicato
con ρ il rango della matrice di osservabilità, tale forma è descritta nel seguente teorema
Teorema 7.3 (Decomposizione di Kalman rispetto alla osservabilità) Se il sistema Σ = (A, B, C) non
è osservabile, esiste una trasformazione di coordinate nello spazio di stato x̄ = T −1 x, tale che il sistema, nelle
nuove coordinate, è descritto dalle matrici:
B̄1
Ā1,1
0
−1
−1
, C̄ = CT = C̄1 0 ,
(7.16)
, B̄ = T B =
Ā = T AT =
B̄2
Ā2,1 Ā2,2
in cui i blocchi Ā1,1 e Ā2,2 sono matrici quadrate, di dimensione ρ × ρ e (n − ρ) × (n − ρ), rispettivamente, con ρ
pari al rango della matrice di raggiungibilità, ed i blocchi Ā2,1 , B̄1 , B̄2 e C̄1 sono di dimensioni corrispondenti.
Inoltre, il sottosistema Σ̄1 = (Ā1,1 , B̄1 , C̄1 ) è osservabile.
Il calcolo della matrice di trasformazione T −1 può essere condotto costruendo la decomposizione rispetto
alla raggiungibilità del sistema duale.
Una proprietà fondamentale del sottosistema osservabile è quella di essere il solo a caratterizzare la matrice
di trasferimento dell’intero sistema, come affermato nel seguente teorema.
Teorema 7.4 Sia Σ = (A, B, C) un sistema non osservabile, e sia Σ̄1 = (Ā1,1 , B̄1 , C̄1 ) il sottosistema osservabile ottenuto dalla decomposizione canonica di Kalman rispetto alla osservabilità. Allora, i due sistemi Σ e Σ̄1
hanno la stessa matrice di trasferimento:
C(sI − A)−1 B = C̄1 (sI − Ā1,1 )−1 B̄1
(7.17)
▽
Il teorema precedente implica che gli autovalori della matrice Ā2,2 non compaiono come poli della matrice
di trasferimento del sistema Σ.
Si noti come, nel caso generale, possa essere condotta una decomposizione rispetto ad entrambe le proprietà
strutturali di raggiungibilità ed osservabilità; tale decomposizione è detta decomposizione di Kalman. Nel caso
generale, quindi, il teorema precedente si estende, affermando che la matrice di trasferimento di un assegnato
sistema dinamico dipende solo dal sottosistema raggiungibile ed osservabile. Tale sottosistema può essere
ottenuto, ad esempio, costruendo in sequenza la forma di raggiungibilità e poi quella di osservabilità. Il seguente
teorema sintetizza il risultato.
Teorema 7.5 (Decomposizione di Kalman) Sia dato il sistema Σ = (A, B, C), non raggiungibile e non
osservabile. Allora, esiste una trasformazione di coordinate nello spazio di stato x̄ = T −1 x, tale che il sistema,
nelle nuove coordinate, risulta descritto dalle matrici:




Ā1,3
0
B̄1
Ā1,1
0


 Ā2,1 Ā2,2 Ā2,3 Ā2,4 
 , B̄ = T −1 B =  B̄2  , C̄ = CT = C̄1 0 C̄3 0 ,
Ā = T −1 AT = 
 0 
 0
Ā3,3
0 
0
0
0
Ā4,3
0
0
(7.18)
in cui i blocchi diagonali Āi,i sono matrici quadrate di dimensione opportune e gli altri blocchi non nulli Āi,j ,
i 6= j sono di dimensioni corrispondenti.
Inoltre, il sottosistema Σ̄1 = (Ā1,1 , B̄1 , C̄1 ) è il sottosistema sia raggiungibile sia osservabile.
▽
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 7-232
Analogamente ai casi particolari visti sopra, vale il seguente teorema sulla matrice di trasferimento.
Teorema 7.6 Sia Σ = (A, B, C) un sistema non raggiungibile e non osservabile, e sia Σ̄1 = (Ā1,1 , B̄1 , C̄1 ) il
sottosistema raggiungibile e osservabile ottenuto dalla decomposizione canonica di Kalman. Allora, i due sistemi
Σ e Σ̄1 hanno la stessa matrice di trasferimento:
C(sI − A)−1 B = C̄1 (sI − Ā1,1 )−1 B̄1
(7.19)
▽
7.4
7.4.1
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 7-233
Esercizi
Sistemi a singola uscita, tempo discreto

−1
x(k + 1) =  −1
1
0 1
y(k) =
a) valutare l’osservabilità e la ricostruibilità;
discreto



5
27
−2
−5 −16  x(k) +  1  u(k)
2
3
0
5 ,
b) data la sequenza di uscita y(0) = 7, y(1) = 13, y(2) = 1 ed assumendo ingresso identicamente nullo,
osservare lo stato iniziale e ricostruire lo stato al passo k = 2, se possibile;
c) date la sequenza di ingresso u(0) = 1, u(1) = 2 e quella di uscita y(0) = 7, y(1) = 14, y(2) = 0, osservare lo
stato iniziale e ricostruire lo stato al passo k = 2, se possibile.

−1
x(k + 1) =  −1
1
1 2
y(k) =
discreto



5
27
−1
−5 −16  x(k) +  1  u(k)
2
3
0
4 ,
b) data la sequenza di uscita y(0) = 9, y(1) = 14, y(2) = 11 ed assumendo ingresso identicamente nullo,
c) date la sequenza di ingresso u(0) = 1, u(1) = 2 e quella di uscita y(0) = 4, y(1) = 6, y(2) = 14, osservare lo
stato iniziale e ricostruire lo stato al passo k = 2, se possibile;
d) verificare se la sequenza di uscita y(0) = −1, y(1) = 1, y(2) = −1, y(3) = 1, y(4) = −1 è ottenibile in
evoluzione libera, ed in caso affermativo osservare lo stato iniziale che la produce.




−5 −3 4
−1
x(k + 1) =  2
1 −2  x(k) +  1  u(k)
1
2
1
0
1 2 1 ,
y(k) =
b) data la sequenza di uscita y(0) = 1, y(1) = −1, y(2) = 4 ed assumendo ingresso identicamente nullo,
c) date la sequenza di ingresso u(0) = 1, u(1) = −1 e quella di uscita y(0) = 1, y(1) = 2, y(2) = 0, osservare
lo stato iniziale e ricostruire lo stato al passo k = 2, se possibile.




−2 1 −5
−2
x(k + 1) =  4 −3 10  x(k) +  2  u(k)
1
0
2
1
0 0 −1 ,
y(k) =
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 7-234
b) data la sequenza di uscita y(0) = 1, y(1) = 1, y(2) = −2 ed assumendo ingresso identicamente nullo,
c) date la sequenza di ingresso u(0) = 1, u(1) = −1 e quella di uscita y(0) = 1, y(1) = 2, y(2) = −1, osservare




−2 0 −4
1
x(k + 1) =  −2 0 −6  x(k) +  1  u(k)
1 0 3
0
0 0 1 ,
y(k) =
b) determinare la decomposizione rispetto alla osservabilità, e valutare gli autovalori del sottosistema non
osservabile;
c) data la sequenza di uscita y(0) = −1, y(1) = −2, y(2) = −4 ed assumendo ingresso identicamente nullo,
d) date la sequenza di ingresso u(0) = 1, u(1) = −1 e quella di uscita y(0) = −1, y(1) = −4, y(2) = −5,
osservare lo stato iniziale e ricostruire lo stato al passo k = 2, se possibile.




0 0 −1
1
x(k + 1) =  0 −2 −5  x(k) +  −2  u(k)
0 1
3
1
0 1 3 ,
y(k) =
osservabile;




3
6
6
−1
x(k + 1) =  −1 −2 −2  x(k) +  1  u(k)
1
2
1
0
1 2 2 ,
y(k) =
osservabile;
c) data la sequenza di uscita y(0) = 1, y(1) = 5, y(2) = 1 ed assumendo ingresso identicamente nullo, osservare
lo stato iniziale e ricostruire lo stato al passo k = 2, se possibile;
d) date la sequenza di ingresso u(0) = 1, u(1) = −1 e quella di uscita y(0) = −1, y(1) = 0, y(2) = −1, osservare
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 7-235
x(k + 1) =
y(k)
=
001 − 11 − 11 − 11
0
0 1
,


1
x(k) +  1  u(k)
0
osservabile;
c) data la sequenza di uscita y(0) = −1, y(1) = 0, y(2) = −1 ed assumendo ingresso identicamente nullo,




5
5
6
0
x(k + 1) =  −5 −5 −5  x(k) +  1  u(k)
3
3
3
0
1 1 2 ,
y(k) =
osservabile;
d) date la sequenza di ingresso u(0) = 1, u(1) = 0 e quella di uscita y(0) = −3, y(1) = −12, y(2) = −42,
7.4.2
Sistemi a due uscite, tempo discreto




0
0
1
1
x(k + 1) =  −1 1 −1  x(k) +  1  u(k)
1 −1 1
0
0 0 1
y(k) =
,
1 0 3
b) data la sequenza di uscita y(0) = [−1 − 2]T , y(1) = [−1 − 4]T , y(2) = [−3 − 10]T ed assumendo ingresso
identicamente nullo, osservare lo stato iniziale e ricostruire lo stato al passo k = 2, se possibile;
c) date la sequenza di ingresso u(0) = 1, u(1) = −1 e quella di uscita y(0) = [−1 − 4]T , y(1) = [−3 − 9]T ,
y(2) = [−7 − 25]T , osservare lo stato iniziale e ricostruire lo stato al passo k = 2, se possibile.




1 0 3
−1
x(k + 1) =  0 1 1  x(k) +  0  u(k)
1 −1 1
1
1 −1 2
y(k) =
,
1 0 2
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 7-236
b) data la sequenza di uscita y(0) = [0 1]T , y(1) = [0 1]T , y(2) = [0 1]T ed assumendo ingresso identicamente
nullo, osservare lo stato iniziale e ricostruire lo stato al passo k = 2, se possibile;
c) date la sequenza di ingresso u(0) = 1, u(1) = 0 e quella di uscita y(0) = [−3 − 3]T , y(1) = [−6 − 7]T ,

1
x(k + 1) =  0
1
1
y(k) =
0
discreto



1 4
1
1 1  x(k) +  1  u(k)
−1 1
0
−1 2
,
1 1




1
3 −4
−2
x(k + 1) =  −1 −3 3  x(k) +  1  u(k)
0 −1 2
1
1 0 2
y(k) =
,
0 0 1
b) data la sequenza di uscita y(0) = [1 0]T , y(1) = [2 − 1]T , y(2) = [0 2]T ed assumendo ingresso identicamente
c) date la sequenza di ingresso u(0) = 1, u(1) = 2 e quella di uscita y(0) = [−1 − 1]T , y(1) = [1 − 1]T ,
y(2) = [0 3]T , osservare lo stato iniziale e ricostruire lo stato al passo k = 2, se possibile.




2
5
0
1
x(k + 1) =  −1 −1 −2  x(k) +  0  u(k)
0 −3 3
0
0 −1 2
y(k) =
,
1 1 2
b) data la sequenza di uscita y(0) = [−3 − 1]T , y(1) = [−13 − 6]T , y(2) = [−48 − 21]T ed assumendo ingresso
identicamente nullo, osservare lo stato iniziale e ricostruire lo stato al passo k = 2, se possibile;




0
3 0
0
3 0  x(k) +  0  u(k)
x(k + 1) =  1
−1 −6 0
1
1 1 0
y(k) =
,
1 0 0
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 7-237
c) date la sequenza di ingresso u(0) = 1, u(1) = 0 e quella di uscita y(0) = [0 − 1]T , y(1) = [5 3]T ,
y(2) = [15 6]T , osservare lo stato iniziale e ricostruire lo stato al passo k = 2, se possibile.




−3 −11 2
−3
x(k + 1) =  2
6
0  x(k) +  1  u(k)
1
4
−1
1
1 3 0
y(k) =
,
0 1 −1
c) date la sequenza di ingresso u(0) = 1, u(1) = 0 e quella di uscita y(0) = [2 2]T , y(1) = [2 0]T , y(2) = [6 2]T ,
7.4.3
Sistemi a singola uscita, tempo continuo




7
11
2
−3
ẋ =  −2 −3 0  x +  1  u
−3 −5 −1
1
1 1 2 ,
y =
b) determinare la decomposizione rispetto alla osservabilità;
c) valutare la funzione di trasferimento del sistema complessivo, quella del sottosistema osservabile, verificare
i poli del sistema ed i suoi autovalori, confrontare poli, zeri ed autovalori.
Capitolo 8: Osservatori e regolatori
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 8-238
Capitolo 8
Osservatori asintotici dello stato e
regolatori in retroazione dall’uscita per
sistemi scalari
8.1
Introduzione
In questo capitolo viene trattato il tema del progetto di osservatori asintotici dello stato ed il loro uso per il
progetto di regolatori in retroazione dall’uscita. Il tema viene affrontato solo per sistemi scalari (cioè sistemi
con un solo ingresso ed una sola uscita), indifferentemente a tempo continuo o a tempo discreto.
Il capitolo si conclude con un esercizio di riepilogo, con la discussione di alcuni problemi di controllo ed
infine con esercizi proposti.
8.2
Osservatori asintotici dello stato
In molte applicazioni di interesse ingegneristico è importante poter stimare il comportamento di grandezze
fisiche non direttamente accessibili, a partire da altre grandezze, misurabili e funzionalmente correlate con quelle
di interesse. Nel caso in cui il legame tra le grandezze misurabili e quelle di interesse possa essere descritto
tramite un sistema dinamico, a tempo continuo o a tempo discreto, si può tentare di risolvere il problema della
stima utilizzando un osservatore asintotico dello stato.
Si consideri il seguente sistema dinamico:
∆x
y
=
=
Ax + bu,
cx
(8.1a)
(8.1b)
dx
nel caso di sistemi a tempo continuo, ed
dt
indica invece l’operatore di anticipo temporale, cioè ∆x := x(t + 1) nel caso di sistemi a tempo discreto.
Un osservatore asintotico dello stato è un dispositivo in grado di generale una stima x̂ dello stato del sistema,
che converga asintoticamente allo stato stesso, sull base della conoscenza dell’ingresso u(·) e dell’uscita y(·) del
sistema stesso, e delle matrici che lo descrivono. Formalmente, il problema può essere posto nel modo seguente:
in cui l’operatore ∆ indica la derivata temporale, cioè ∆x :=
Problema 8.1 (Osservatore asintotico) Dato un sistema dinamico Σ(A, b, c), progettare un dispositivo che,
sulla base della conoscenza delle matrici del sistema e dei segnali u(·) ed y(·), generi una stima x̂ dello stato
asintoticamente convergente allo stato stesso, cioè:
lim kx̂(t) − x(t)k = 0.
t→∞
(8.2)
L’idea alla base del progetto di un osservatore è quella di costruire, utilizzando la conoscenza delle matrici
che descrivono il sistema, una replica del sistema di interesse, forzato dallo stesso segnale di ingresso u(·) che
forza il sistema stesso; lo stato interno di tale replica costituisce la stima cercata dello stato. Un osservatore
per il sistema (8.1) potrebbe essere quindi il sistema dinamico seguente:
∆x̂ = Ax̂ + bu.
(8.3)
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 8-239
Per valutare il comportamento dello stimatore, si può studiare l’evoluzione dell’errore di stima x̃, definito
come differenza tra il valore reale dello stato e la sua stima:
x̃(t) := x̂(t) − x(t).
(8.4)
La dinamica dell’errore di stima, cioè le equazioni che governano il comportamento dell’errore, sono date da:
∆x̃ = ∆x̂ − ∆x = Ax̂ + bu − Ax − bu = Ax̃.
(8.5)
La dinamica di errore è quindi descritta da un sistema in evoluzione libera, con matrice dinamica data dalla
stessa matrice dinamica A del sistema. Se il sistema è asintoticamente stabile, la dinamica d’errore sarà anch’essa
asintoticamente stabile, e quindi (8.3) produce, asintoticamente, una stima corretta dello stato, altrimenti la
stima non sarà corretta.
Per ovviare a tale potenziale problema di stabilità, e per consentire di variare la velocità di convergenza
dell’errore di stima, si ricorrere ad una versione estesa dello schema (8.3). In particolare, l’estensione principale
consiste nell’utilizzare anche la misura dell’uscita, per correggere la stima dello stato sulla base dell’errore
rilevabile in uscita. Lo schema precedente viene quindi integrato nella seguente forma:
∆x̂ = Ax̂ + bu + L(cx̂ − y),
(8.6)
in cui il termine aggiuntivo L(cx − y) prende il nome di iniezione dell’uscita. Lo schema (8.6) prende il nome
di osservatore asintotico dello stato.
Introdotto anche in questo caso l’errore di stima x̃ = x̂ − x, la sua dinamica è data da:
∆x̃ = ∆x̂ − ∆x = Ax̂ + bu + L(cx̂ − y) − Ax − bu = (A + Lc)x̃.
(8.7)
Si vede quindi come la convergenza dell’errore di stima dipenda ora dagli autovalori della matrice (A + Lc),
in cui la matrice L è un parametro di progetto. Se tale matrice può essere scelta in modo da assegnare
arbitrariamente gli autovalori di (A + Lc), si può imporre una dinamica arbitraria all’errore di stima.
È facile vedere come la matrice (A + Lc) abbia, come duale, la matrice (AT + cT LT ) = (AD + bD k D ), che
è del tutto analoga alla matrice di un sistema Σ(AD , bD ) retroazionato staticamente dallo stato con matrice
di retroazione k D = LT : progettare un osservatore asintotico dello stato per un sistema equivale ad allocare
gli autovalori per il sistema duale. Ciò implica che la matrice L può essere calcolata seguendo la procedura di
allocazione degli autovalori, applicata al sistema duale.
Il problema del progetto di un osservatore è quindi risolto dal seguente teorema.
Teorema 8.1 (Osservatore asintotico) Dato un sistema dinamico Σ(A, b, c), esiste un osservatore asintotico
dello stato con dinamica di errore arbitrariamente veloce se e solo se tale sistema è osservabile. L’osservatore
asintotico è descritto dalle equazioni:
∆x̂ = Ax̂ + bu + L(cx̂ − y),
(8.8)
con L progettata opportunamente.
Commento 8.1 Si noti che il teorema 8.1 richiede la proprietà di osservabilità per poter costruire un osservatore
con dinamica d’errore arbitrariamente veloce. Viceversa, se si cerca una dinamica d’errore asintoticamente
stabile, senza interesse per la velocità di convergenza, la proprietà di osservabilità non è necessaria. In tale caso
è sufficiente che si possano rendere asintoticamente stabile gli autovalori non già tali. Tale proprietà è detta
“ricostruibilità”. In particolare, si noti che un osservatore asintotico senza specifiche sulla velocità di convergenza
(salvo, ovviamente, la convergenza stessa) per un sistema già asintoticamente stabile è semplicemente dato da
un osservatore in catena aperta, cioè un osservatore con matrice di iniezione nulla.
8.3
Regolatori dinamici
Una delle applicazioni rilevanti dell’osservatore asintotico è quella del progetto di regolatori in retroazione
dinamica dall’uscita. L’idea base presentata in queste note per tali regolatori è quella di utilizzare, in luogo
di una retroazione statica del tipo u = kx + v, una retroazione basata sulla stima x̂ dello stato fornito da un
osservatore, e cioè u = kx̂ + v. Per quanto concerne il progetto della matrice k e dell’osservatore, si procede
con gli algoritmi già visti. In particolare, la matrice k viene progettata come se fosse possibile utilizzare,
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 8-240
per la retroazione, l’intero vettore di stato. La retroazione viene invece applicata sulla base della stima dello
stato fornita dall’osservatore. L’osservatore invece viene progettato sulla base dell’idea delineata nel precedente
teorema 8.1, senza considerare il fatto che tale stima viene poi utilizzata per controllare il sistema.
È possibile mostrare che il regolatore che ne risulta, purchè il sistema sia raggiungibile (per poter progettare
la matrice k), ed osservabile (per poter progettare l’osservatore), risolve il problema. Vale infatti il seguente
teorema di separazione.
Teorema 8.2 (Teorema di separazione) Dato un sistema dinamico Σ(A, b, c), esiste un regolatore in retroazione
dinamica dall’uscita
∆x̂ =
u =
Ax̂ + bu + L(cx̂ − y),
kx̂ + v
(8.9a)
(8.9b)
che consenta di allocare arbitrariamente tutti gli autovalori del sistema a ciclo chiuso se e solo se il sistema
Σ(A, b, c) è raggiungibile e osservabile. Se tale regolatore esiste, il sistema a ciclo chiuso ha come autovalori
quelli della matrice
A + bk
0
.
(8.10)
0
A + Lc
Dimostrazione
Il sistema a ciclo chiuso è descritto dalle seguenti equazioni:
∆x =
Ax + bu,
(8.11)
y =
∆x̂ =
cx,
Ax̂ + bu + L(cx̂ − y),
(8.12)
(8.13)
u =
kx̂ + v.
(8.14)
Applicando il segnale di ingresso al sistema ed i segnali in ingresso al regolatore si ottiene:
∆x
= Ax + bkx̂ + bv,
(8.15)
∆x̂
y
= Ax̂ + bkx̂ + bv + L(cx̂ − cx),
= cx,
(8.16)
(8.17)
che può essere espresso in forma matriciale come:
∆x
A
bk
x
x
b
=
+
+ be v,
v = Ae
∆x̂
−Lc A + bk + Lc
x̂
x̂
b
x
c 0
.
y =
x̂
(8.18)
(8.19)
Poiché non appaiono in modo immediato gli autovalori della matrice dinamica del sistema a ciclo chiuso,
si provi ad operare una trasformazione di coordinate. Si consideri come nuovo vettore di coordinate quello
costituito dallo stato x del processo da controllare e dall’errore di stima x̃. Tale trasformazione può essere
espressa in forma matriciale come:
x
I 0
x
x
x
=
,
.
(8.20)
= T −1
x̃
I −I
x̂
x̂
x̃
Il sistema algebricamente equivalente risulta descritto dalle matrici:
A + bk
bk
b
−1
−1
Āe = T Ae T =
, b̄e = T be =
.
0
A + Lc
0
(8.21)
Come asserito, gli autovalori del sistema a ciclo chiuso sono quelli della matrice (A + bk), uniti a quelli della
matrice (A + Lc).
⊓
⊔
La dimostrazione del teorema di separazione consente di derivare il modo immediato il seguente corollario.
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 8-241
Corollario 8.1 In un sistema controllato tramite un regolatore in retroazione dinamica dall’uscita del tipo
descritto dall’equazione (8.9), basato su osservatore, la dinamica d’errore è non raggiungibile, e la funzione di
trasferimento del sistema a ciclo chiuso è data da:
w(η) = c(ηI − (A + bk))−1 b
(8.22)
(ove η = s per sistemi a tempo continuo, ed η = z per sistemi a tempo discreto).
8.4
Un esempio: regolazione di un motore a corrente continua
In questa sezione il problema del progetto di regolatori viene applicato al caso di un motore in corrente
continua, analizzando le proprietà strutturali del sistema e trattando alcuni casi rilevanti. Viene inoltre descritta una modalità per la determinazione del modello a segnali campionati. Viene trattato anche il problema
dell’inseguimento di traiettoria e della stima di un eventuale disturbo di coppia.
Il modello dinamico di un motore in corrente continua, controllato tramite la tensione di armatura e con
eccitazione costante, è stato derivato nel primo capitolo, sezione1.5, a cui si rimanda. In questa sezione ci si
occupa dell’analisi delle sue proprietà strutturali e del progetto di regolatori in reazione dinamica dall’uscita,
per la soluzione di semplici problemi di regolazione ed inseguimento.
Il modello dinamico del motore considerato è descritto dalle equazioni:
ẋ1
= x2
ẋ2
ẋ3
= −a22 x2 + a23 x3
= −a32 x2 − a33 x3 + b3 u
y
= x1
ed in termini matriciali:
ẋ
y
con:

0
A= 0
0
1
−a22
−a32
= Ax + bu
= cx

0
a23  ,
−a33


0
b =  0 ,
b3
c=
1
0 0
.
(8.25)
Volendo progettare un controllore per rendere asintoticamente stabile l’origine dello spazio di stato, basandosi
solo sulla misura di posizione, si può ricorrere ad un osservatore asintotico dello stato, tramite il quale stimare
le altre variabili di stato, e cioè velocità del rotore e corrente di armatura, e poter quindi realizzare un controllo
in retroazione volto ad assegnare gli autovalori del sistema a ciclo chiuso.
8.4.1
Le proprietà strutturali
Per poter progettare la legge di controllo in retroazione e l’osservatore asintotico dello stato si deve prima
verificare la sussistenza delle proprietà di raggiungibilità e di osservabilità.
Per quanto riguarda la raggiungibilità si ha:


0
0
b3 a23
b3 a23 b3 a23 (a22 + a33 )  ,
R = b Ab A2 b =  0
(8.26)
b3 −b3 a23 b3 (a23 a32 + a233 )
da cui si vede che il modello del motore è raggiungibile se il parametro b3 della matrice di ingresso ed il parametro
a23 della matrice dinamica sono entrambi non nulli.
Per quanto riguarda l’osservabilità si ha invece:

 

1
0
0
c
1
0 ,
(8.27)
O =  cA  =  0
0 −a22 a23
cA2
da cui si vede che il modello del motore è osservabile, purché il parametro a23 sia non nullo.
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 8-242
Il parametro b3 è sempre non nullo, il parametro a23 è non nullo per ogni caso di interesse reale, perché
altrimenti il motore non sarebbe in grado di produrra alcuna coppia (infatti, a23 è nullo solo se Km è nullo). Se
infatti Km fosse nullo, il sottosistema meccanico sarebbe in evoluzione libera, e quindi non sarebbe influenzabile
dall’ingresso. Inoltre, il sottosistema meccanico non sarebbe influenzabile neanche dalla corrente d’armatura,
cioè dalla terza componente dello stato, e quindi tale variabile non sarebbe osservabile dal segnale di uscita
disponibile, la posizione del rotore, che corrisponde ad una variabile del sottosistema meccanico.
Le proprietà strutturali di interesse sussistono quindi indipendentemente dal valore numerico dei parametri.
8.4.2
Progetto del controllore in retroazione dinamica dall’uscita
Si assumano per i parametri elettrici e meccanici i seguenti valori: a22 = 3, a23 = 1, a32 = 1, a33 = 1, b3 = 1.
I valori scelti non sono del tutto realistici, ma sono più agevoli rispetto alla finalità dell’esercizio ed inoltre, in
virtù di quanto notato sopra, l’esatto valore dei parametri non modifica le proprietà strutturali di interesse.
Un insieme più realistico di parametri è dato, ad esempio, da: Ra = 1Ω, La = 10−2 H, Ke = 0.5volts/rps,
Km = 0.7N − m/A, J = 2 × 10−3 Kg − m3 , F = 2 × 10−5 N − m/rps.
Con il valore proposto dei parametri le matrici che descrivono il motore a corrente continua sono date da:




0 1
0
0
A =  0 −3 1  , b =  0  , c = 1 0 0 .
(8.28)
0 −1 −1
1
Per progettare il regolatore si può iniziare dalla determinazione di una matrice di retroazione k che consenta
di allocare gli autovalori di A + bk in posizioni desiderate del semipiano sinistro. Per fare questo, si deve prima
determinare la forma canonica di controllore ad un ingresso. Avendo già verificato la raggiungibilità, si tratta
di determinare un vettore riga h soluzione del sistema:

 

hb
0
 h Ab  =  0 
(8.29)
h A2 b
1
ed ottenibile, ad esempio, scegliendo h pari all’ultima riga dell’inversa



0 0
1
4
R =  0 1 −4  , R−1 =  4
1 −1 0
1
da cui si ricava:
h=
1
0 0
della matrice di raggiungibilità:

1 1
1 0 ,
0 0
,
e quindi, per la matrice che caratterizza le nuove coordinate, si ottiene:




h
1 0 0
1 0
T −1 =  hA   0 1 0  , T =  0 1
hA2
0 −3 1
0 3
Le nuove coordinate sono quindi date da:
xc = T −1 x,
(8.30)
(8.31)

0
0 .
1
(8.32)
(8.33)
e cioè, ricordando l’equazione (1.33a) ed l’ipotesi di coppia di disturbo nulla:
xc,1
xc,2
= x1 = θ
= x2 = ω
(8.34a)
(8.34b)
xc,3
= −3x2 + x3 = ω̇.
(8.34c)
Come previsto, le tre nuove coordinate sono ciascuna la derivata della precedente; si noti che l’unica coordinata
veramente nuova è data da ω̇, cioè dall’accelerazione angolare del rotore.
In queste nuove coordinate il modello dinamico del motore è descritto da:
ẋc,1
=
xc,2
ẋc,2
=
xc,3
ẋc,3
y
=
=
−4xc,2 − 4xc,3 + u
xc,1 ,
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 8-243
e quindi le matrici Ac , bc ed cc sono date da:


0 1
0
Ac = T −1 AT =  0 0
1 ,
0 −4 −4


0
bc = T −1 b =  0  ,
1
cc = cT =
1 0
0
.
(8.35)
In particolare, la forma canonica di controllore evidenzia il fatto che il sistema ha un autovalore nell’origine,
e cioè un polo nell’origine(infatti, a0 = 0)). Questo deriva direttamente dalla equazione differenziale della parte
meccanica θ̇ = ω.
Con il sistema in forma canonica di controllore ad un ingresso è immediato calcolare la matrice di retroazione
che consente di allocare il nuovo polinomio caratteristico. Se, non volendo alterare troppo la “velocità” del sistema controllato rispetto a quello reale, si desidera sistemare i nuovi autovalori in {−2, −2, −2}, cui corrisponde
il polinomio p(λ) = λ3 + 6λ2 + 12λ + 8, la matrice di retroazione, nelle coordinate di controllore, deve essere
scelta pari a:
kc = (0 − 8) (4 − 12) (4 − 6) = −8 −8 −2 ,
(8.36)
k = kc T −1 = −8 −2 −2 .
(8.37)
Come anticipato, nel caso in esame è disponibile solo la misura della posizione del rotore del motore, e
quindi, per poter effettivamente realizzare un’azione di controllo, si deve far uso di un osservatore asintotico che
consenta di ricostruire le altre due variabili di stato, e cioè la velocità del rotore e la corrente di armatura. Si
noti come la conoscenza del modello e la sua osservabilità, consentono di determinare, a partire da sole misure
di posizione (e cioè relative al sottosistema meccanico), anche lo stato del sottosistema elettrico.
L’osservatore asintotico dello stato è descritto dall’equazione matriciale:
x̂˙ = Ax̂ + L(cx̂ − y) + bu,
(8.38)
in cui la matrice L deve essere determinata in modo da assegnare il polinomio caratteristico della matrice A+Lc.
Infatti, introdotto l’errore di stima x̃ := x − x̂ e considerando la dinamica del sistema e la dinamica (8.38)
dell’osservatore, si trova:
x̃˙ = (A + Lc)x̃.
(8.39)
La sintesi della matrice L può essere condotta utilizzando il sistema duale. Sia Σ∗ = (Ā, b̄, c̄) il sistema
duale, con Ā = AT , m̄b = mcT , c̄ = bT . La matrice che descrive la dinamica dell’errore di stima, riscritta per il
sistema duale, diviene:
(A + Lc)T = AT + cT LT = Ā + b̄k̄,
(8.40)
e quindi, per assegnare gli autovalori che governano l’evoluzione della dinamica di errore, si può procedere
assegnando gli autovalori della matrice Ā + b̄k̄ per mezzo della matrice di guadagno k̄.
Procedendo in modo consueto, si tratta di determinare un vettore riga h̄ soluzione del sistema:

 

h̄b̄
0
 h̄ Āb̄  =  0 
(8.41)
h̄ Ā2 b̄
1
ed ottenibile, ad esempio, scegliendo h̄ pari all’ultima riga dell’inversa della matrice di raggiungibilità del sistema
duale:




1 0 0
1 0 0
R̄ =  0 1 −3  , R̄−1 =  0 1 3  ,
(8.42)
0 0 1
0 0 1
da cui si ricava:
h̄ =
0
0 1
,
e quindi, per la matrice che caratterizza le nuove coordinate:



0 0
1
4 4
T̄ −1 =  0 1 −1  , T̄ =  1 1
1 −4 0
1 0
(8.43)

1
0 .
0
(8.44)
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 8-244
Sulla base della matrice di trasformazione si può determinare la forma canonica di controllo ad un ingresso per
il sistema duale, dalla quale si determina in modo immediato la matrice k̄ cercata. In queste nuove coordinate
il sistema duale è descritto da:


 
0 1
0
0
1  , b̄c =  0  ;
Āc =  0 0
(8.45)
0 −4 −4
1
in effetti, tale forma per la matrice Āc era prevedibile, perché questa matrice ha lo stesso polinomio caratteristico della matrice Ac in (8.35) e del sistema originale. In particolare quindi, non è indispensabile calcolare
la matrice T̄ .
Si assuma inoltre di voler assegnare, come autovalori della dinamica di errore, i valori {−3, −3, −3}, in
modo da avere convergenza dell’errore di stima un poco più veloce della convergenza a zero dello stato. A tale
scelta degli autovalori corrisponde il polinomio caratteristico po (λ) = λ3 + 9λ2 + 27λ + 27.
La matrice k̄c che consente di ottenere questo polinomio per il sistema duale è quindi:
k̄c = (0 − 27) (4 − 27) (4 − 9) = −27 −23 −5 ,
(8.46)
cui corrisponde, nelle coordinate duali originali, la matrice:
k̄ = k̄c T̄ −1 = −5 −3 −4 .
(8.47)
Per determinare la matrice L di guadagno dell’osservatore, si noti che, per il sistema duale, si ha:
Ā + b̄k̄ = AT + cT k̄,
(8.48)
e quindi la dinamica dell’errore di stima è descritta dalla matrice:
(AT + cT k̄)T = A + k̄ T c,
(8.49)
e quindi la matrice L cercata è data da:


−5
L = k̄ T =  −3  .
−4
La dinamica di errore è quindi governata dalla matrice:


−5 1
0
A + Lc =  −3 −3 1  ,
−4 1 −1
(8.50)
(8.51)
con autovalori pari a {−3, −3, −3}, come progettato.
Riepilogando, un regolatore (o, più precisamente, una legge di controllo o un controllore) in retroazione
dinamica dall’uscita per stabilizzare asintoticamente un motore in corrente continua è dato da:
x̂˙ =
u =
Ax̂ + L(cx̂ − y) + bu
kx̂ + v,
(8.52a)
(8.52b)
con le matrici A, b ed c date dal modello dinamico del motore e le matrici di guadagno k e L (dette anche
matrice di retroazione e matrice di iniezione, rispettivamente) date da:


−5
k = −8 −2 −2 , L =  −3  .
(8.53)
−4
8.5
Ulteriori problemi di controllo
Un tipico problema di controllo in realà difficilmente richiede di portare un sistema nell’origine dello spazio di
stato, ma consiste piuttosto nel voler regolare la posizione del rotore ad un punto prefissato o nel voler inseguire
una predefinita traiettoria nello spazio di stato. Tuttavia, gli strumenti di stabilizzazione in retroazione, opportunamente utilizzati, consentono di risolvere anche questi problemi, ed in generale costituiscono un mattone
fondamentale ed imprenscindibile nella costruzione di sistemi di controllo complessi.
8.5.1
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 8-245
Un problema di regolazione
Sotto l’ipotesi fatta in precedenza che la coppia di disturbo sia nulla (in mancanza della quale, oltre a quanto
visto sopra si deve ricorrere anche ad ulteriori strumenti),
se si desidera rendere asintoticamente stabile il
punto (in coordinare originali): xd = θd 0 0 , e cioè si vuole posizionare il rotore con angolo pari a θd
(ovviamente con velocità nulla), si può utilizzare la legge di controllo:
x̂˙ =
u =
Ax̂ + L(cx̂ − y) + bu
k(x̂ − xd ) + v,
(8.54a)
(8.54b)
con le matrici k ed L progettate in precedenza (equazione (8.53)), la quale rende asintoticamente stabile il punto
desiderato xd .
8.5.2
Inseguimento di traiettoria
Nel caso in cui si voglia invece considerare un problema di inseguimento di traiettoria, descritta per mezzo
di un vettore xd (t) che descrive il comportamento desiderato per lo stato, si tratta di determinare una legge di
controllo in modo che l’errore di inseguimento e(t) := x(t) − xd (t) converga a zero asintoticamente, cioè:
lim e(t) = 0.
t→∞
(8.55)
Si consideri per semplicità il caso in cui sia accessibile per la misura l’intero vettore di stato. Lo scopo di
queste brevi note è solo quello di sottolineare come la soluzione del problema dell’assegnazione degli autovalori
sia un elemento base per la soluzione di problemi più complessi.
Si consideri quindi il caso in cui si debba inseguire una predeterminare traiettoria nello spazio di stato, ad
esempio una traiettoria che specifica la posizione desiderata per il rotore nei vari istanti di tempo. Si assuma
che la traiettoria desiderata, indicata con θd (t), sia nota in termini analitici e sia derivabile almeno tre volte.
d
Allora, il comportamento desiderato per la velocità del rotore sarà necessariamente dato da ωd (t) = dθ
dt , ed
dωd
il comportamento desiderato per l’accelerazione angolare del rotore sarà dato da ad (t) = dt . Ricordando poi
il significato delle variabili (8.34) si ha il seguente legame le variabili meccaniche velocità ω ed accelerazione a
e la corrente di rotore ia = x3:
x3 = a + 3ω,
(8.56)
e quindi si può porre, come traiettoria desiderata completa nello spazio di stato (cioè per tutte le variabili) la
funzione vettoriale:
xd,1 (t)
xd,2 (t)
=
=
θd (t)
ωd (t)
(8.57a)
(8.57b)
xd,3 (t)
=
ad (t) + 3ωd (t).
(8.57c)
Per ottenere che la posizione del rotore insegua asintoticamente
la traiettoria data da θd (t), nel senso di
ottenere il risultato indicato dalla (8.55), indicato con xd = xd,1 xd,2 xd,3 il vettore delle traiettorie
desiderate date dalle (8.57), si può utilizzare la legge di controllo in retroazione statica dallo stato:
u = k(x − xd ) + η,
(8.58)
η := xd,2 + xd,3 + ẋd,3 ,
(8.59)
con
e con la matrice k definita dalla (8.36).
Infatti, dalle equazioni (8.57) e (8.59) e ricordando che ẋd,2 (t) = ad , la traiettoria desiderata soddisfa
l’equazione differenziale: il sistema dinamico:
ẋd,1 (t) =
xd,2 (t)
(8.60a)
ẋd,2 (t) =
ẋd,3 (t) =
−3xd,2 (t) + xd,3 (t)
xd,2 (t) + xd,3 (t) + η(t),
(8.60b)
(8.60c)
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 8-246
che, in forma matriciale, può essere riscritta come:
ẋd (t) = Axd (t) + bη(t).
(8.61)
La dinamica dell’errore di inseguimento e(t) = x(t) − xd (t), dopo aver applicato la legge in retroazione dallo
stato definita dalla (8.58), è governata quindi dalla equazione differenziale
ẋ − ẋd
ė =
Ax + bk(x − xd ) + bη − Axd − bη
A(x − xd ) + bk(x − xd )
=
=
=
(A + bk)e
e quindi, tenendo conto della scelta fatta per la matrice k, la dinamica dell’errore di inseguimento è asintoticamente stabile, e quindi l’errore converge asintoticamente a zero. Il segnale η(t) utilizzato nella legge di
controllo (8.58) è un termine di controllo in avanti (feed-forward).
8.5.3
Sistemi a segnali campionati
Per realizzare effettivamente una delle tre leggi di controllo presentate in precedenza, vi sono due classi di
soluzioni.
Una prima soluzione, utilizzata solo in casi particolari, è quella di realizzare un dispositivo analogico che
implementa la legge stessa, ad esempio, nel caso delle leggi basate sull’osservatore, si tratta di utilizzare un
gruppo di amplificatori operazionali opportunamente collegati.
Una soluzione alternativa, assai più frequente, è quella di implementare l’algoritmo di controllo in modo
digitale, e quindi tramite un elaboratore generico o un DSP. In questo secondo caso vi sono due approcci
possibili: si può sintetizzare la legge di controllo partendo dal modello a tempo continuo del motore (ed in
generale dell’impianto) e poi discretizzare il controllore (se vi è della dinamica), oppure si può discretizzare il
modello e poi sintetizzare un controllore a tempo discreto.
Indipendentemente dalla strada seguita per arrivare ad un controllore discreto, l’uso di un sistema digitale
di controllo, oltre alla flessibilità legata al’uso di uno strumento facilmente programmabile invece che alla
realizzazione di un circuito, ha un vantaggio anche in termini di prestazioni del sistema controllato: è possibile
ottenere un controllore a tempo di risposta finita, anche se il processo controllato è in realtà un sistema a tempo
continuo.
Per determinare un modello a tempo discreto di un processo continuo o di un controllore dinamico, genericamente indicato con l’equazione:
ẋ =
Ax + Bu
y
Cx
=
si può partire dalla soluzione nelle variabili di stato ad un generico istante t + δt , noto il valore dello stato
all’instante t, ed assumendo che il segnale di ingresso sia costante in tale intervallo (come accade, se il sistema
è controllato in modo digitale e δt è il passo di campionamento):
!
Z
t+δt
= e Aδt x(t) +
x(t + δt )
e A(t+δt −τ ) Bdτ
u(t),
t
y(t)
= Cx(t)
Allora, definite le matrici:
AD := e
Aδt
,
BD :=
Z
δt
e A(δt −τ ) Bdτ,
CD := C,
(8.62)
0
posto t + δt = (k + 1)δt , t = kδt , introducendo le variabili xD (k) = x(kδt ), la soluzione precedente può essere
riscritta come:
xD (k + 1) = AD xD (k) + BD u(k),
y(k) = CD xD (k)
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 8-247
e quindi ci si è ricondotti ad un sistema a tempo discreto, il cui stato è dato dalle variabili xD . Si noti che,
negli istanti di campionamento, cioè negli istanti del tipo t = kδt , lo stato del sistema a tempo continuo e quello
del suo modello a tempo discreto sono esattamente identici. Cioè, l’approccio proposto non introduce alcuna
approssimazione negli istanti di campionamento.
Nel caso del motore, con i valori dei parametri considerati, la matrice esponenziale e Aδt è data da:


1 0.25(1 − e −2δt + δt e −2δt ) 0.25(1 − e −2δt − δt e −2δt )
.
e −2δt − δt e −2δt
δt e −2δt
e Aδt =  0
(8.63)
−2δt
−2δt
+ δt e −2δt
e
0
−δt e
8.5.4
Stima dei disturbi
Nel trattare il problema del controllo del motore in corrente continua si è fatta l’ipotesi che la coppia di
carico, indicata con TL nel capitolo 1, sia nulla. In effetti, tale segnale di disturbo, in generale non noto e
non misurabile, non è nullo, anzi rappresenta proprio il lavoro che deve essere svolto dal motore. La soluzione
del problema di regolazione o inseguimento nel caso in cui tale segnale sia presente è ottenibile facilmente con
strumenti che saranno ampiamente discussi nel corso di Controlli Automatici.
Nel seguito si indica, in modo sintetico, uno strumento alternativo per la stima di take segnale di disturbo. La
stima cosı̀ottenuta può essere poi utilizzata all’interno di uno schema di controllo, più complesso di quelli visti in
precedenza in questa sezione, per ottenere anche reiezione del disturbo, oltre alla regolazione e/o inseguimento.
L’idea di base, descritta nel seguito solo per il caso di disturbi costanti (o comunque costanti a tratti), è
quella di estendere la dinamica del sistema considerando il disturbo come un’ulteriore variabile di stato, con
derivata nulla.
Il modello del motore in corrente continua, con indicazione esplicata della coppia di carico, è dato da:
ẋ1
= x2
(8.64)
ẋ2
ẋ3
= −a22 x2 + a23 x3 + TL
= −a32 x2 − a33 x3 + b3 u
(8.65)
(8.66)
y
= x1
(8.67)
e quindi, assumendo il disturbo costante, e ponendo x4 = TL , il modello dinamico esteso del motore in corrente
continua diviene:
ẋ1
ẋ2
ẋ3
ẋ4
y
= x2
= −a22 x2 + a23 x3 + x4
(8.68)
(8.69)
= −a32 x2 − a33 x3 + b3 u
= 0
(8.70)
(8.71)
= x1 ,
(8.72)
che, in forma matriciale, può essere scritto come:
ẋe
=
Ae xe + be u
(8.73a)
y
=
ce xe
(8.73b)
con il vettore di stato esteso xe dato da: xe := [x1 x2 x3 x4 ]T , e le matrici che descrivono il sistema caratterizzate
da:




0
0
1
0
0
 0 
 0 −f22 f23 1 



(8.74)
Ae = 
 0 −f32 −f33 0  , be =  b3  , ce = 1 0 0 0 .
0
0
0
0
0
Ora, una possibile soluzione per stimare il segnale di disturbo x4 = TL è quella di verificare l’osservabilità del
sistema esteso (8.73), e poi, in caso positivo, costruire un osservatore asintotico dello stato. Poichè l’osservabilità
implica la possibilità di ricostruire asintoticamente lo stato, la ricostruzione xˆ4 della nuova variabile di stato
corrisponde alla stima asintotica del disturbo.
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 8-248
Per verificare l’osservabilità, e quindi la possibilità di stimare il disturbo, si deve studiare il rango della
matrice:


ce
 ce Ae 

Θe := 
(8.75)
 ce A2e  ,
3
ce Ae
cioè della matrice:

1
 0
Θe := 
 0
0
0
1
−a22
a222 + a23 a32

0
0
0
0 
,
−a23
1 
a23 (a22 + a33 ) −a22
il cui rango è massimo, e quindi il sistema esteso è osservabile, se la matrice
−a23
1
M=
a23 (a22 + a33 ) −a22
(8.76)
(8.77)
ha determinante non nullo. Il determinante vale
det(M ) = −a23 a33 ,
(8.78)
e quindi il sistema esteso è osservabile se il motore è in grado di produrre coppia (cioè, il parametro a23 è
non nullo), e la sua resistenza di armatura è non nulla (cioè, il parametro a33 non è nullo). Ciò si verifica per
qualsiasi motore reale, e quindi il sistema esteso è osservabile, cioè, la misura di posizione, opportunamente
utilizzata, consente di stimare anche la coppia di disturbo.
Uno schema di osservatore asintotico che consente di raggiungere questo risultato è dato da:
xê = Ae xê + Le (ce xê − y) + be u
(8.79)
con la matrice Le da scegliere, con tecniche oramai ben note, in modo da rendere asintoticamente stabile la
dinamica dell’errore di stima:
x˜e = (Ae − Le ce )x˜e .
(8.80)
La stima cosı̀ ottenuta della coppia di disturbo può essere poi usata per compensare gli effetti del disturbo
reale sul sistema.
8.6
8.6.1
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 8-249
Esercizi
Osservatori asintotici e regolatori per sistemi a singolo ingresso e singola
uscita




−1 5
27
−2
ẋ =  −1 −5 −16  x +  1  u,
1
2
3
0
1 2 2 x,
y =
a) studiare l’osservabilità;
b) determinare, se esiste, un osservatore asintotico dello stato di ordine pieno;
c) determinare, se esiste, un regolatore in retroazione dall’uscita che renda il sistema a ciclo chiuso asintoticamente stabile (si veda l’esercizio 6.4).

−1
ẋ =  −1
1
0 0
y =



5
9
−4
−3 −4  x +  2  u,
2
1
0
1 x,




2
13
26
−2
ẋ =  −1 −7 −14  x +  1  u,
0
1
3
0
1 3 4 x,
y =
c) determinare, se esiste, un regolatore in retroazione dall’uscita che renda il sistema a ciclo chiuso asintoticamente stabile, e con tutti gli autovalori con parte reale minore di -1 (si veda l’esercizio 6.6).

4

−4
ẋ =
0
1 2
y =



6
4
−1
−7 −4  x +  1  u,
1
1
0
1 x,
c) determinare, se esiste, un regolatore in retroazione dall’uscita che renda il sistema a ciclo chiuso asintoticamente stabile, e con tutti gli autovalori con parte reale minore di -1 (si veda l’esercizio 6.7).
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 8-250




8
23
21
−1
x(k + 1) =  −4 −12 −11  x(k) +  1  u(k),
−2
1
0
0
1 3 3 x,
y =
c) determinare, se esiste, un regolatore in retroazione dall’uscita che renda il sistema a ciclo chiuso asintoticamente stabile, e con tutti gli autovalori con modulo minore di 1 (si veda l’esercizio 6.8).




−3 −2 −2
3
3
4  x(k) +  −3  u(k),
x(k + 1) =  3
−1 −1 −1
1
0 1 2 x,
y =
a) studiare l’osservabilità e la rilevabilità;
c) determinare, se esiste, un regolatore in retroazione dall’uscita che renda il sistema a ciclo chiuso a tempo di
risposta finito (si veda l’esercizio 6.9).




9
28
67
3
ẋ =  −9 −27 −65  x +  −3  u,
3
9
22
1
1 3 2 x,
y =

4
ẋ =  −2
2
1
2
y =



11
5
2
−5 −2  x +  −1  u,
5
3
1
−2 x,




8
21
8
4
ẋ =  −4 −10 −3  x +  −2  u,
2
5
2
1
−1 −1 1 x,
y =
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 8-251
c) determinare, se esiste, un regolatore in retroazione dall’uscita che renda il sistema a ciclo chiuso asintoticamente stabile.




2 −1 2
1
ẋ =  1 −2 −2  x +  0  u,
0 1
2
0
1 −1 1 x,
y =
c) determinare, se esiste, un regolatore in retroazione dall’uscita che renda il sistema a ciclo chiuso asintoticamente stabile, e con tutti gli autovalori con parte reale minore di -1.
Capitolo 9: Esercizi riepilogo
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 9-252
Capitolo 9
Esercizi di riepilogo risolti
In questo capitolo vengono presentati alcuni esercizio di riepilogo. Si precisa che molti dei quesiti proposti sono
relativi al programma del corso Vecchio Ordinamento (corso quinquennale) o comunque di anni accademici
passati.
9.1
Esercizi di riepilogo




1
2
1
0
0
0  x(k) +  0  u(k),
x(k + 1) =  1
−5 −1 −2
1
1 3 1 x(k),
y(k) =
a) studiare la raggiungibilità e l’osservabilità;
b) determinare, se esiste, una legge di controllo in retroazione dallo stato che garantisca tempo di risposta
finito per il sistema a ciclo chiuso;
c) determinare, se esiste, una legge di controllo in retroazione dallo stato che garantisca stabilità asintotica del
punto x = 0 per il sistema a ciclo chiuso;
d) determinare, se esiste, un osservatore asintotico dello stato di ordine intero con dinamica d’errore convergente
a zero in tempo finito;
e) determinare, se esiste, un osservatore asintotico dello stato di ordine intero con dinamica d’errore asintoticamente stabile;
f) determinare, se esiste, un regolatore in retroazione dall’uscita che garantisca tempo di risposta finito per il
sistema a ciclo chiuso e calcolare le matrici a ciclo chiuso ed i loro autovalori;
g) determinare, se esiste, un regolatore in retroazione dall’uscita che renda il sistema a ciclo chiuso asintoticamente stabile e calcolare le matrici a ciclo chiuso ed i loro autovalori;
h) calcolare, per i sistemi a ciclo chiuso determinati ai punti (b), (c) ed (f), la risposta forzata per segnale di
ingresso a gradino unitario.
x(k + 1) =
y1 (k)
=
y2 (k)
F x(k) + g1
h1
x(k),
h2
g2
u1 (k)
u2 (k)
,
con


1 1 1
F =  1 0 0 ,
−4 1 −2
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 9-253
g1
g2

0
= 0
1

0
1 ,
0
h1
h2
=
1 2 1
1 −1 0
,
(9.1)
a) studiare la raggiungibilità a partire dal solo ingresso u1 , e cioè usando la sola matrice di ingresso g1 , a
partire dal solo ingresso u2 , e cioè usando la sola matrice di ingresso g2 , e per mezzo di entrambi i segnali
di controllo;
T
b) raggiungere, se possibile, lo stato x̄ = 1 2 1
utilizzando solo il primo ingresso, solo il secondo
ingresso, ed infine, con numero minimo di passi, utilizzando entrambi gli ingressi;
T
T
c) se possibile, raggiungere in tre passi lo stato xf = 2 1 1
a partire dallo stato x0 = 0 0 1
(e
cioè, ottenere x(3) = xf a partire da x(0) = x0 );
d) valutare l’osservabilità sulla base dell’uscita y1 , e cioè usando la sola matrice di uscita h1 , sulla base
dell’uscita y2 , e cioè usando la sola matrice di uscita h2 , e per mezzo di entrambe le uscite;
e) data la sequenza di uscita y(0) = [4 0]T , y(1) = [0 2]T , y(2) = [4 − 4]T , ottenuta in evoluzione libera,
osservare, se possibile, lo stato iniziale sulla base della prima uscita, sulla base della seconda uscita e sulla
base di entrambe le uscite;
e) data la sequenza di uscita del punto precedente, ottenuta in evoluzione libera, ricostruire, se possibile, lo
stato al passo k = 3 sulla base della prima uscita, sulla base della seconda uscita e sulla base di entrambe
le uscite;
f) determinare la decomposizione rispetto alla osservabilità, considerando solo la prima uscita e considerando
solo la seconda uscita;
g) progettare una legge di controllo in retroazione dallo stato per assegnare tutti gli autovalori in zero, utilizzando entrambi gli ingressi ed imponendo un solo miniblocco di Jordan per la matrice retroazionata;
h) progettare una legge di controllo in retroazione dallo stato per assegnare tutti gli autovalori in zero, utilizzando entrambi gli ingressi ed imponendo due miniblocchi di Jordan per la matrice retroazionata;
i) progettare un osservatore con dinamica d’errore convergente a zero in tempo finito, utilizzando entrambe le
uscite ed imponendo un solo miniblocco di Jordan per la matrice della dinamica d’errore.
Esercizio 9.3 Dato un processo descritto dalla matrice di trasferimento:
z+1
z
,
W (z) =
z 2 + 3z + 2 z 2 + 4z + 4
(9.2)
a) determinare una realizzazione minima Σ(F, G, h);
b) determinare, se esiste, una legge di controllo in retroazione statica dallo stato u = Kx + v per il sistema Σ,
che consenta di ottenere un sistema a ciclo chiuso con tempo di risposta finito;
c) valutare il numero di miniblocchi nella forma di Jordan della matrice F + GK, ove K è la matrice calcolata
al passo precedente;
d) progettare, se esiste, un osservatore asintotico dello stato con dinamica dell’errore di stima asintoticamente
stabile;
e) progettare, se esiste, un regolatore in reazione dinamica dall’uscita che renda il sistema a ciclo chiuso
asintoticamente stabile;
f) calcolare la risposta al gradino unitario per il sistema a ciclo aperto, assumendo un gradino unitario sul primo
ingresso e secondo ingresso nullo, assumendo un gradino unitario sul secondo ingresso e primo ingresso
nullo, ed infine assumendo un gradino unitario su entrambi gli ingressi [esame];
g) dire se la risposta completa al gradino per il sistema a ciclo chiuso ottenuto al punto e) è limitata, e dire se
tale funzione ammette limite, per t tendente ad infinito.
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 9-254

1 2
F = 0 0
0 −2
x(t + 1) = F x(t) + gu(t),
(9.3)
y(t) = Hx(t)



1
1
0  , g =  −1  ,
0
0
(9.4)
H=
1
0
0 1
−1 1
.
(9.5)
1. valutare la sua osservabilità e ricostruibilità, sulla base della sola prima uscita, della sola seconda uscita,
o di entrambe le uscite;
2. se l’uscita in evoluzione libera, nei primi tre passi, è pari a y(0) = (2 0)T , y(1) = (2 − 2)T , y(2) = (2 0)T ,
osservare lo stato iniziale e ricostruire lo stato ai passi t = 1 e t = 2, se possibile, utilizzando solo la prima
uscita, solo la seconda uscita ed entrambe le uscite;
3. progettare, se esiste, un osservatore asintotico dello stato con dinamica dell’errore di stima asintoticamente
stabile;
4. progettare, se esiste, una legge di controllo in retroazione statica dallo stato che renda il sistema a ciclo
chiuso asintoticamente stabile;
5. progettare, se esiste, una legge di controllo in retroazione dinamica dall’uscita che renda il sistema a ciclo
chiuso asintoticamente stabile.
9.2
9.2.1
Soluzioni
Soluzione esercizio 9.1
Raggiungibilità ed osservabilità.
Per valutare la raggiungibilità e l’osservabilità del sistema, si può procedere calcolando le matrici di raggiungibiltà e di osservabilità. Per la raggiungibilità si ha:


0 1 −1
R = g F g F 2g =  0 0
1 ,
1 −2 −1
il cui determinante vale 1, e quindi il sistema è raggiungibile.
Per l’osservabilità si ha:

 

h
1
3
1
O =  hF  =  −1 1 −1  ,
hF 2
5 −1 1
il cui determinante vale −16, e quindi il sistema è osservabile.
Determinare, se esiste, una legge di controllo in retroazione dallo stato che garantisca tempo di risposta finito
per il sistema a ciclo chiuso.
Poiché il sistema è raggiungibile, è possibile allocare in modo arbitrario tutti gli autovalori. Inoltre, poiché
è a tempo discreto, se gli autovalori vengono allocati tutti in zero, si ha convergenza a zero in un numero finito
di passi.
Per determinare una legge di controllo in retroazione dallo stato, cioè del tipo:
u = Kx + v,
che allochi tutti gli autovalori in posizioni arbitrarie, si procede calcolando la forma canonica di controllore a
singolo ingresso. Si deve quindi trovare un vettore riga c, con tre componenti, soluzione del sistema di equazioni:

 

cg
0
 cFg  =  0 
c F 2g
1
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 9-255
ed ottenibile, ad esempio, scegliendo c pari all’ultima riga dell’inversa



0 1 −1
2
1  , R−1 =  1
R= 0 0
1 −2 −1
0
da cui si ricava:
c=
e quindi, per la matrice che caratterizza le nuove


c
0
−1



cF
1
T =
cF 2
1
0
1 0
della matrice di raggiungibilità:

3 1
1 0 ,
1 0
,
(9.6)
(9.7)
coordinate, si ottiene:



1 0
0
1 0
0 0 , T =  1
0 0 .
2 1
−2 −1 1
In queste nuove coordinate il sistema è descritto dalle matrici:




0 1
0
0
1  , gc = T −1 g =  0  ,
Fc = T −1 F T =  0 0
3 −1 −1
1
hc = hT =
(9.8)
1
0 1
.
(9.9)
A partire dalla forma canonica di controllore è immediato trovare la matrice di retroazione che consente di
allocare tutti gli autovalori nell’origine, e quindi ottenere un sistema a tempo di risposta finito. Il polinomio
caratteristico desiderato in questo caso è dato da p(λ) = λ3 . La matrice di retroazione, nelle coordinate di
controllore, deve essere scelta pari a:
kc,f = (−3 − 0) (1 − 0) (1 − 0) = −3 1 1 ,
(9.10)
kf = kc,f T −1 =
2 −1 1
La matrice che descrive la dinamica del sistema a ciclo

1
F + gkf =  1
−3
i cui autovalori sono tutti nulli, come desiderato!
.
(9.11)
chiuso è quindi (sebbene non richiesta):

2
1
0
0 
−2 −1
Determinare, se esiste, una legge di controllo in retroazione dallo stato che garantisca stabilità asintotica del
punto x = 0 per il sistema a ciclo chiuso.
Nel caso dei sistemi lineari autonomi, l’origine è sempre punto di equilibrio, e le sue proprietà di stabilità sono
caratterizzate dagli autovalori del sistema, e cioè dagli autovalori della matrice F (con la descrizione abituale). Si
tratta quindi di costruire una matrice di retroazione dallo stato tale da rendere tutti gli autovalori del sistema a
ciclo chiuso asintoticamente stabili. Ovviamente, la matrice kf determinata al punto precedente è una possibile
soluzione. Una soluzione diversa si può ottenere, ad esempio, cercando di assegnare come nuovo polinomio
caratteristico il polinomio p(λ) = (λ + 1/2)3 = λ3 + 3/2λ2 + 3/4λ + 1/8, o un qualunque altro polinomio con zeri
minori di 1, in modulo. Per ottenere questo risultato, a partire dalla forma canonica di controllore già calcolata
in (9.9), si può porre:
kc,a = (−3 − 1/8) (1 − 3/4) (1 − 3/2) = −25/8 1/4 −1/2 ,
(9.12)
kf = kc,f T −1 = −1/4 −33/8 −1/2 .
La matrice che descrive la dinamica del sistema a ciclo chiuso è quindi (sebbene non richiesta):


1
2
1
1
0
0 
F + gkf = 
−21/4 −41/8 −5/2
(9.13)
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 9-256
i cui autovalori sono tutti {−1/2, −1/2, −1/2}, come desiderato!
Determinare, se esiste, un osservatore asintotico dello stato di ordine intero con dinamica d’errore convergente
a zero in tempo finito.
L’esistenza di un osservatore dello stato con dinamica d’errore assegnabile in modo arbitrario, e quindi, in
particolare, con dinamica convergente a zero in tempo finito, è garantita dalla proprietà di osservabilità del
sistema, già verificata in precedenza.
L’osservatore asintotico dello stato è descritto dall’equazione matriciale:
x̂(k + 1) = F x̂(k) + L(hx̂(k) − y(k)) + gu(k),
(9.14)
in cui la matrice L deve essere determinata in modo da assegnare il polinomio caratteristico della matrice F +Lh.
Infatti, introdotto l’errore di stima x̃ := x − x̂ e considerando la dinamica del sistema e la dinamica (9.14)
dell’osservatore, si trova:
x̃(k + 1) = (F + Lh)x̃(k).
(9.15)
La sintesi della matrice L può essere condotta utilizzando il sistema duale. Sia Σ∗ = (F̄ , ḡ, h̄) il sistema
duale, con F̄ = F T , ḡ = hT , h̄ = g T . La matrice che descrive la dinamica dell’errore di stima, riscritta per il
sistema duale, diviene:
(F + Lh)T = F T + hT LT = F̄ + ḡ k̄,
(9.16)
e quindi, per assegnare gli autovalori che governano l’evoluzione della dinamica di errore, si può procedere
assegnando gli autovalori della matrice F̄ + ḡk̄ per mezzo della matrice di guadagno k̄.
Procedendo in modo consueto, si tratta di determinare un vettore riga c̄ soluzione del sistema:

 

c̄ḡ
0
 c̄ F̄ ḡ  =  0 
(9.17)
c̄ F̄ 2 ḡ
1
ed ottenibile, ad esempio, scegliendo c̄ pari all’ultima riga dell’inversa della matrice di raggiungibilità del sistema
duale:




1 −1 5
0 1/4 1/4
−1
R̄ =  3 1 −1  , R̄ =  1/4 1/4 −1  ,
(9.18)
1 −1 1
1/4 0 −1/4
da cui si ricava:
c̄ =
1/4 0
−1/4
e quindi, per la matrice che caratterizza le nuove coordinate:


1/4
0 −1/4
1/4 −3/4  ,
T̄ −1 =  0
−1/4 0
5/4
,
(9.19)

5
T̄ =  3
1

0 1
4 3 .
0 1
(9.20)
Sulla base della matrice di trasformazione si può determinare la forma canonica di controllo ad un ingresso per
il sistema duale, dalla quale si determina in modo immediato la matrice k̄ cercata. In queste nuove coordinate
il sistema duale è descritto da:




0 1
0
0
F̄c =  0 0
1  , ḡc =  0  ;
(9.21)
3 −1 −1
1
in effetti, tale forma per la matrice F̄c era prevedibile, perché questa matrice ha lo stesso polinomio caratteristico
della matrice Fc in (9.9) e del sistema originale. In particolare quindi, non è indispensabile calcolare la matrice
T̄ .
Volendo ottenere un osservatore asintotico dello stato con errore convergente a zero in un numero finito di
passi, si devono allocare tutti gli autovalori della matrice che governa l’evoluzione dell’errore in zero, e quindi,
per il sistema duale, si devono allocare in zero tutti gli autovalori della matrice F̄ + ḡ k̄f . La matrice k̄c,f che
consente di allocare in zero tutti gli autovalori del sistema duale è data da:
k̄c,f = (−3 − 0) (1 − 0) (1 − 0) = −3 1 1 ,
(9.22)
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 9-257
k̄f = k̄c,f T̄ −1 = −1 1/4 5/4 .
(9.23)
Per determinare la matrice Lf di guadagno dell’osservatore, si noti che, per il sistema duale, si ha:
F̄ + ḡ k̄f = F T + hT k̄f ,
(9.24)
e quindi la dinamica dell’errore di stima è descritta dalla matrice:
(F T + hT k̄f )T = F + k̄fT h,
(9.25)
e quindi la matrice Lf cercata è data da:


−1
Lf = k̄fT =  1/4  .
5/4


0
−1
0
3/4
1/4  ,
F + Lf h =  5/4
−15/4 11/4 −3/4
(9.26)
(9.27)
con autovalori tutti nulli, come desiderato.
Determinare, se esiste, un osservatore asintotico dello stato di ordine intero con dinamica d’errore asintoticamente stabile.
La sintesi di un osservatore di ordine pieno con dinamica d’errore asintoticamente stabile si ottiene, tenendo
conto di quanto già fatto al punto precedente, calcolando una matrice k̄c,a tale da rendere tutti gli autovalori della
matrice F̄c + ḡc k̄c,a minori di 1, in modulo e, ad esempio, uguali a {1/3, 1/3, 1/3}. Il polinomio corrispondente
è quindi (λ − 1/3)3 = λ3 − λ2 + 1/3λ − 1/27. Ovviamente, ogni altra scelta di autovalori con modulo minore di
uno sarebbe stata soddisfacente.
La matrice k̄c,a che consente di ottenere ciò è data da:
k̄c,a = (−3 + 1/27) (1 − 1/3) (1 + 1) = −80/27 2/3 2 ,
(9.28)
k̄ = k̄c T̄ −1 = −67/54 1/6 74/27 ,
ed infine, per la matrice La di guadagno dell’osservatore, si trova:


−67/54
L = k̄aT =  1/6  .
74/27


−13/54 −93/54 −13/54
1/2
1/6  ,
F + La h =  63/54
−122/54
65/9
20/27
(9.29)
(9.30)
(9.31)
con autovalori pari a {1/3, 1/3, 1/3}, come desiderato.
Determinare, se esiste, un regolatore in retroazione dall’uscita che garantisca tempo di risposta finito per il
sistema a ciclo chiuso e calcolare le matrici a ciclo chiuso ed i loro autovalori.
Il regolatore cercato si ottiene combinando in modo opportuno la matrice di retroazione progettata al punto
(b) e l’osservatore progettato al punto (d). Infatti in questo modo si ottiene un sistema dinamico di ordine 6
(pari cioè alla dimensione dello spazio di stato del sistema originale, 3 più quella dell’osservatore, ancora uguale
a 3), con tutti gli autovalori nulli, il cui stato, in evoluzione libera, converge a zero in un numero finito di passi.
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 9-258
In particolare, il regolatore (dinamico, per la presenza dell’osservatore) è descritto dalle equazioni:
x̂(k + 1) =
u(k) =
F x̂(k) + Lf (hx̂(k) − y(k)) + gu(k)
kf x̂(k) + v(k),
con le matrici F , g ed h del sistema e le matrici di guadagno kf e Lf date da:


−1
kf = 2 −1 1 , Lf =  1/4  .
5/4
(9.32a)
(9.32b)
(9.33)
Determinare, se esiste, un regolatore in retroazione dall’uscita che renda il sistema a ciclo chiuso asintoticamente
stabile e calcolare le matrici a ciclo chiuso ed i loro autovalori.
Il regolatore cercato si ottiene combinando in modo opportuno la matrice di retroazione progettata al punto
(c) e l’osservatore progettato al punto (e). In particolare, il regolatore (dinamico, per la presenza dell’osservatore)
è descritto dalle equazioni:
x̂(k + 1) =
u(k) =
F x̂(k) + La (hx̂(k) − y(k)) + gu(k)
ka x̂(k) + v(k),
con le matrici F , g ed h del sistema e le matrici di guadagno ka e La date da:


−67/54
kf = −1/4 −33/8 −1/2 , La =  1/6  .
74/27
(9.34a)
(9.34b)
(9.35)
Determinare la risposta forzata per ingresso a gradino unitario.
L’esercizio si risolve calcolando la funzione di trasferimento, di immediata determinazione a partire dalla
forma canonica di controllore, e poi espandendo in frazioni parziali la risposta nel dominio di Zeta ed antitrasformando.
Infine, si noti che le funzioni di trasferimento dei sistemi a ciclo chiuso determinati ai punti (c) ed (f)
coincidono, poichè la dinamica dell’errore di stima non è raggiungibile, e quindi non influenza la funzione di
trasferimento.
9.2.2
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 9-259
Soluzione esercizio 9.2
Raggiungibilità per singoli ingressi e per entrambi gli ingressi.
Per valutare la raggiungibilità a partire dal primo ingresso si deve valutare il rango della matrice:
R1 = g1 F g1 F 2 g1
ottenendo:

0
R1 =  1
0

1 2
0 1 
1 −6
il cui rango è tre, e quindi il sistema è raggiungibile. Analogamente, la raggiungibilità a partire dal secondo
ingresso è valutabile dalla matrice:
R2 = g2 F g2 F 2 g2
ottenendo:

0 1
R2 =  0 0
1 −2

−1
1 
0
il cui rango è tre, e quindi il sistema è raggiungibile anche a partire dal solo secondo ingresso.
Per quanto riguarda infine la raggiungibilità da entrambi gli ingressi, questa è ovviamente implicata dalla
raggiungibilità da ciascun singolo ingresso.
T
Raggiungere, se possibile, lo stato x̄ = 1 2 1
utilizzando solo u1 , solo u2 , ed infine, con numero minimo
di passi, utilizzando entrambi gli ingressi.
Poiché il sistema è raggiungibile anche da ciascun singolo ingresso, è possibile determinare le sequenze
cercate.
La sequenza di valori del primo ingresso che consente di raggiungere il punto dato è soluzione del sistema
algebrico:


u1 (2)
x̄ = R1  u1 (1) 
(9.36)
u1 (0)
e cioè:
la cui soluzione è data da:

 
1
0
 2 = 1
1
0
u1 (0) = 0,


1 2
u1 (2)
0 1   u1 (1) 
1 −6
u1 (0)
u1 (1) = 1,
(9.37)
u1 (2) = 2,
e quindi il segnale di ingresso complessivo è dato da:
u(0) = (0, 0)T ,
u(1) = (1, 0)T ,
u(2) = (2, 0)T .
Per raggiungere lo stato desiderato solo tramite il secondo ingresso si deve invece considerare il sistema:


u2 (2)
x̄ = R2  u2 (1) 
(9.38)
u2 (0)
e cioè:

 
1
0
 2 = 0
1
1
u2 (0) = 2,


1 −1
u2 (2)
0
1   u2 (1) 
−2 0
u2 (0)
u2 (1) = 3,
u2 (2) = 7,
u(0) = (0, 2)T ,
u(1) = (0, 3)T ,
u(2) = (0, 7)T .
(9.39)
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 9-260
Infine, per raggiungere il punto desiderato nel minor numero possibile di passi si devono considerare le prime
colonne linearmente indipendenti della matrice di raggiungibilià. Nel caso in esame la matrice di raggiungibilità
è data da:


0 0 1 1
2 −1
1
1 
R= 1 0 0 0
0 1 1 −2 −6 0
dalla cui analisi se vede facilmente che le prime due colonne, e cioè la matrice di ingresso G, non sono sufficienti
a generare uno spazio che contenga il punto desiderato, mentre le prime tre colonne generano uno spazio
sufficientemente ampio (anzi, generano l’intero spazio di stato). Il punto di interesse può quindi essere raggiunto
in due passi, e la sequenza di controllo che ottenere ciò è soluzione del sistema algebrico ottenuto combinando
le prime tre colonne della matrice di raggiungibilità:

 


1
0 0 1
u1 (1)
 2  =  1 0 0   u2 (1) 
(9.40)
1
0 1 1
u1 (0)
u1 (0) = 1,
u2 (1) = 0,
u1 (1) = 2,
u(0) = (1, 0)T ,
u(1) = (2, 0)T .
T
T
Se possibile, raggiungere in tre passi lo stato xf = 2 1 1
a partire dallo stato x0 = 0 0 1
.
Per la linearità del sistema, il problema può essere risolto se esiste una sequenza di ingresso che consente
di raggiungere in tre passi il punto xf − F 3 x0 . Il problema ha sicuramente soluzione, poichè il sistema è
raggiungibile, e quindi un qualunque punto dello spazio di stato può essere raggiunto, anche il punto


2
xf − F 3 x0 =  2  .
−4
Per raggiungere tale punto in tre passi è possibile agire in diversi modi, corrispondenti a diverse scelte delle
colonne indipendenti della matrice di raggiungibilità. Una possibilità è quella di usare un solo ingresso, ad
esempio il primo. Il sistema di equazioni di interesse, tenendo conto della forma della matrice di raggiungibilità
da un solo ingresso R1 , è quindi:

 


2
0 1 2
u1 (2)
 2  =  1 0 1   u1 (1) 
(9.41)
−4
0 1 −6
u1 (0)
u1 (0) = 3/4,
u1 (1) = 1/2,
u1 (2) = 5/4,
u(0) = (3/4, 0)T ,
u(1) = (1/2, 0)T ,
u(2) = (5/4, 0)T .
Scegliendo invece di usare solo il secondo ingresso si sarebbe trovato il segnale:
u(0) = (0, 2)T ,
u(1) = (0, 4)T ,
u(2) = (0, 4)T .
Infine, scegliendo entrambi gli ingressi, e considerando, ad esempio, le prime tre colonne della matrice di raggiungibilità, si avrebbe la sequenza:
u(0) = (0, 0)T ,
u(1) = (2, 0)T ,
u(2) = (2, −6)T .
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 9-261
Valutare l’osservabilità sulla base dell’uscita y1 , sulla base dell’uscita y2 , e per mezzo di entrambe le uscite.
Per quanto riguarda l’osservabilità per mezzo della sola prima uscita si deve valutare il rango della matrice


h1
O1 =  h1 F 
h1 F 2
ottenendo:

1
O1 =  −1
5

2
1
2 −1 
−2 1
il cui rango è tre, e quindi il sistema è osservabile. Analogamente, l’osservabilità per mezzo della seconda uscita
è valutabile dalla matrice:

 

h2
1 −1 0
1
1 
O2 =  h2 F  =  0
h2 F 2
−3 1 −2
il cui rango è due, e quindi il sistema, disponendo solo della seconda uscita, non è osservabile.
Ovviamente, poiché il sistema è osservabile dalla prima uscita, lo è anche da entrambe.
Data la sequenza di uscita y(0) = [4 0]T , y(1) = [0 2]T , y(2) = [4 − 4]T , ottenuta in evoluzione libera, osservare,
se possibile, lo stato iniziale sulla base della prima uscita, sulla base della seconda uscita e sulla base di entrambe
le uscite.
Per quanto riguarda la possibilità di osservare lo stato iniziale, ciò è possibile solo dalla prima uscita o da
entrambe, mentre non è possibile dalla sola seconda uscita.
Ciò significa che è del tutto inutile determinare lo stato iniziale, anche nella forma in cui compaiono una
o più indeterminate. Infatti, se un sistema non è osservabile, non è mai possibile “osservare” lo stato iniziale,
cioè, calcolarlo a partire da misure dell’uscita e dell’ingresso.
Per quanto riguarda la determinazione dello stato iniziale a partire dalla sequenza di uscita data, considerando la sola prima componente si ha il sistema:


y1 (0)
 y1 (1)  = O1 x(0)
(9.42)
y1 (2)
e cioè:

 


4
1
2
1
x1 (0)
 0  =  −1 2 −1   x2 (0)  ,
4
5 −2 1
x3 (0)

 
1
x1 (0)
 x2 (0)  =  1  .
1
x3 (0)
(9.43)

Volendo determinare lo stato iniziale sulla base di entrambe le uscite, si può procedere con la pseudoinversa
sinistra, e cioè, dato il sistema di equazioni algebriche:


y1 (0)
 y2 (0) 


 y1 (1) 

ȳ = 
(9.44)
 y2 (1)  = Θx(0),


 y1 (2) 
y2 (2)
la condizione iniziale è data da:
x(0) = (ΘT Θ)−1 ΘY ȳ,
ottenendo x(0) = [1 1 1]T , come in (9.2.2) (ovviamente!).
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 9-262
In alternativa, si può procedere selezionando tre righe indipendenti della matrice Θ e le rispettive uscite. nel
caso in esame, si potrebbe considerare il sistema:

 

y1 (0)
h1
 y2 (0)  =  h2  x(0),
(9.45)
y1 (1)
h1 F
e cioeè

 


4
1
2
1
x1 (0)
 0  =  1 −1 0   x2 (0)  ,
0
−1 2 −1
x3 (0)
(9.46)
la cui soluzione, ovviamente, è ancora x(0) = [1 1 1]T .
Determinare la decomposizione rispetto alla osservabilità, considerando solo la prima uscita e considerando solo
la seconda uscita.
Per ricostruire lo stato sulla base della prima uscita o di entrambe le uscite, si può partire dalla soluzione
del punto precedente. Poiché lo stato iniziale è x(0) = [1 1 1]T , e tenendo conto del fatto che le uscite misurate
rappresentano l’evoluzione libera nell’uscita, lo stato al passo k = 3 è semplicemente:


1
x(3) = F 3 x(0) =  −1  .
(9.47)
9
Nel caso in cui sia disponibile solo la misura della seconda uscita, si determinare l’insieme degli stati iniziali
soluzione dell’equazione:


y2 (0)
 y2 (1)  = Θ2 x(0),
(9.48)
y2 (2)
e cioè:


x1 (0) − x2 (0)
x2 (0) + x3 (0)

−3x1 (0) + x2 (0) − 2x3 (0)


x1 (0)
x(0) =  x1 (0)  .
2 − x1 (0)
= 0
= 2
= −4
(9.49)
(9.50)
A partire da tale stato iniziale, non completamente determinato, l’evoluzione libera del sistema è pari a:






x1 (0) + 2
x1 (0) − 2
x1 (0)
x(1) = F x(0) =  x1 (0)  , x(2) = F 2 x(0) =  x1 (0) + 2  , x(3) = F 3 x(0) =  x1 (0) − 2  ,
x1 (0) − 4
−x1 (0)
−x1 (0) + 10
(9.51)
da cui emerge chiaramente la non ricostruibilità, perché permane l’indeterminazione associata allo stato iniziale.
Del resto, la matrice F non ha autovalori nulli, e quindi la non osservabilità implica la non ricostruibilità.
Progettare una legge di controllo in retroazione dallo stato per assegnare tutti gli autovalori in zero, utilizzando
entrambi gli ingressi ed imponendo un solo miniblocco di Jordan per la matrice retroazionata.
La decomposizione del sistema rispetto alla osservabilità, sulla base della sola prima uscita, non è rilevante,
perché il sistema è completamente osservabile. La decomposizione sarebbe quindi solo un cambio di coordinate.
Viceversa, nel caso in cui sia disponibile solo la seconda uscita, la decomposizione è significativa. Un primo
modo di procedere è basato sull’uso del sistema duale. Il sistema di interesse è Σ2 (F, G, h2 ), con G = [g1 g2 ], il
cui duale è dato da: Σ∗2 (F T , hT2 , GT ) =: Σ∗ (F ∗ , g2∗ , H ∗ ). La matrice di raggiungibilità del duale è pari a:


1 0 −3
∗
g2 F ∗ g2∗ (F ∗ )2 g2∗ =  −1 1 1  ,
(9.52)
0 1 −2
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 9-263
ed una base per il sottospazio degli stai (duali) raggiungibili è data da:




1
0
v1 =  −1  , v2 =  1  .
0
1
Una possibile scelta per la nuova base è quindi:


1 0 0
T ∗ =  −1 1 1  ,
0 1 0
(T ∗ )−1
(9.53)

0
1 .
−1

1 0
= 0 0
1 1
(9.54)
La decomposizione rispetto alla raggiungibilità del sistema duale è quindi data da:




0 −3 1
1
−1 1
∗ −1 ∗ ∗
∗ −1 ∗
∗ ∗
∗
∗
∗
¯
¯
¯




F = (T ) F T = 1 −2 0 , g2 = (T ) g2 = 0 , H = H T =
0 1
0 0 1
0
1
0
,
(9.55)
e quindi, tornando al sistema originale, al decomposizione rispetto all’osservabilità, qualora sia disponibile solo
la seconda uscita, data da:




0
1 0
−1 0
F̂ = (F¯∗ )T =  −3 −2 0  , Ĝ = (H¯∗ )T =  1 1  , hˆ2 = (g¯2∗ )T = 1 0 0 .
(9.56)
1
0 1
1 0
Il sottosistema osservabile è dato da:
0
1
ˆ
F11 =
,
−3 −2
Ĝ1 =
−1 0
1 1
mentre il sottosistema non osservabile è dato da:
Fˆ22 = 1 , Ĝ2 = 1 0 ,
,
hˆ2,1 =
hˆ2,2 =
0
1 0
,
(9.57)
.
(9.58)
Si noti, come già verificato al punto precedente, che il sottosistema non osservabile ha, come unico autovalore,
λ = 1, che è non nullo, e quindi il sistema, complessivamente, non è osservabile.
Un secondo modo di procedere è il seguente. A partire dalla matrice di osservabilità Θ, si determinano due
righe indipendenti, che costituiscono un sottoinsieme delle nuove coordinate, e si determina poi un terzo vettore
riga che completi il nuovo sistema di coordinate (cioè, che sia indipendente dalle due righe già scelte). Nel caso
in esame si ha:
r1 = 1 −1 0 , r2 = 0 1 1 ,
(9.59)
ed una possibile scelta per il terzo vettore è:
r3 =
cui corrisponde la matrice di trasformazione

1
T −1 =  0
0
Il sistema, nelle nuove coordinate, è

0
1
hatF = T −1 F T =  −3 −2
1
0
0
1 0
di coordinate:


−1 0
1
1 1 , T =  0
1 0
0
(9.60)

0 1
0 1 .
1 −1
quindi:



0
−1 0
0  , Ĝ = T −1 G =  1 1  ,
1
1 0
hˆ2 = h2 T =
(9.61)
1 0
0
,
(9.62)
che coincide con quanto trovato prima.
Progettare una legge di controllo in retroazione dallo stato per assegnare tutti gli autovalori in zero, utilizzando
entrambi gli ingressi ed imponendo due miniblocchi di Jordan per la matrice retroazionata.
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 9-264
La raggiungiblità del sistema verificata in precedenza garantisce l’esistenza di una legge di controllo in
reazione dallo stato che consente di allocare arbitrariamente tutti gli autovalori. Per determinare tale retroazione,
si procede in modo classico: forma canonica di controllore a due ingressi e retroazione basata su entrambi gli
ingressi. Il calcolo della matrice K corrispondente è lasciato per esercizio.
Progettare un osservatore con dinamica d’errore convergente a zero in tempo finito, utilizzando entrambe le
uscite ed imponendo un solo miniblocco di Jordan per la matrice della dinamica d’errore.
Si procede come al punto precedente, salvo lavorare sul sistema duale. La legge di retroazione duale, cioè
l’iniezione dall’uscita, esiste perchè il sistema è osservabile se si dispone di entrambe le uscite.
9.2.3
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 9-265
Esercizio 9.3: traccia della soluzione
a) Il minimo comune multiplo dei due denominatori è dato da: d(z) = (z + 1)(z + 2)2 = z 3 + 5z 2 + 8z + 4,
mentre la matrice polinomiale B(z) = d(z)W (z) è pari a:
B(z) = d(z)W (z) = z 2 + 2z z 2 + 2z + 1 = 1 1 z 2 + 2 2 z 0 1 .
(9.63)
Poiché il sistema ha una sola uscita, è conveniente utilizzare la estensione della forma canonica di osservatore, data da:




0 0 −4
0 1
Fo =  1 0 −8  , go =  2 2  , Ho = 1 0 0 .
(9.64)
0 1 −5
1 1
Si verifica facilmente che la matrice R = [go Fo go Fo2 go ] ha rango pieno, e quindi la realizzazione, che è
osservabile per costruzione, è anche raggiungibile e quindi minima.
b) Legge di controllo in retroazione statica dallo stato.
Una legge del tipo cercato esiste sicuramente, perché il sistema di interesse è una realizzazione minima, e
quindi è raggiungibile. La soluzione dell’esercizio è “classica”.
c) Valutare il numero di miniblocchi.
L’esercizio si risolve facilmente, ricordando che il numero di miniblocchi di una matrice F associati ad un
certo autovalore è pari alla nullità della matrice F − λI. In questa caso si tratta di studiare la nullità
della matrice F + GK − λI, per λ = 0, e quindi la nullità di F + GK. Lo specifico risultato ottenuto
dipende dal modo in cui è stata sintetizzata la matrice di retroazione K. Comunque, si avranno uno o
due miniblocchi, mentre non vi potranno mai essere tre miniblocchi.
d) Progettare un osservatore.
Un osservatore asintotico dello stato per la realizzazione minima determinata esiste sicuramente, perché
la realizzazione è osservabile (per costruzione). Il progetto dell’osservatore è “classico”.
e) Progettare un regolatore in reazione dinamica dall’uscita.
Un regolatore in reazione dinamica dall’uscita si ottiene semplicemente scegliendo come legge di retroazione
u = K x̂ + v, in cui K è, ad esempio, la matrice progettata al punto b) ed x̂ è lo stato dell’osservatore
progettato al punto d).
f) Calcolare la risposta al gradino unitario.
L’esercizio relativo ad un segnale a gradino unitario sul primo ingresso e nullo sul secondo si risolve
antitrasformando la funzione
z
z
;
(9.65)
w1 (z) = 2
z + 3z + 2 z − 1
il caso di gradino unitario sul secondo ingresso e primo ingresso nullo si risolve antitrasformando
w2 (z) =
z
z+1
,
z 2 + 4z + 4 z − 1
(9.66)
ed infine il caso di gradino unitario su entrambi gli ingressi si ottiene, tenendo conto del principio di
sovrapposizione degli effetti, sommando le due risposte forzate precedenti.
g) Risposta completa al gradino per il sistema a ciclo chiuso.
La risposta completa al gradino è limitata se il sistema è esternamente stabile. Poiché il sistema a ciclo è
internamente stabile, è anche esternamente stabile, e cioè stabile in senso BIBO. La risposta al gradino è
quindi limitata.
Inoltre, poiché il sistema a ciclo chiuso è asintoticamente stabile, nella risposta completa tutti i termini (cioè
tutti i modi) che dipendono dal sistema sono convergenti a zero, e quindi l’unico termine che contribuisce
la limite per t tendente ad infinito è quello legato all’ingresso, che è costante. Esiste quindi il limite in
oggetto, ed è pari alla risposta permanente del sistema a ciclo chiuso per ingresso a gradino unitario.
9.2.4
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 9-266
Esercizio 9.4: traccia della soluzione
1. Osservabilità e ricostruibilità.
Si trova facilmente che il sistema non è osservabile né dalla prima uscita da sola né dalla seconda, mentre
è osservabile utilizzando entrambe le uscite. Infatti:
 


h1
1 0 1
O1 =  h1 F  =  1 0 1  ,
rango [O1 ] = 1,
(9.67)
h1 F 2
1 0 1
 


h2
0 −1 1
O2 =  h2 F  =  0 −2 0  ,
rango [O2 ] = 2,
(9.68)
h2 F 2
0 0 0


H
O =  HF  ,
rango [O] = 3.
(9.69)
HF 2
La ricostruibilità si può verificare con un criterio diretto, oppure analizzando la controllabilità del duale.
Un primo criterio diretto di ricostruibilità è dato, nei tre casi rispettivamente, da:
XN O,1
XN O,2
XN O
⊆
⊆
⊆
Ker F 3 ,
Ker F 3 ,
(9.70)
(9.71)
Ker F 3 ,
(9.72)
in cui XN O,i indica il sottospazio degli stati non osservabili a partire dalla misura della i-esima uscita,
i = 1, 2, e XN O indica il sottospazio degli stati non osservabili a partire dalla misura dell’intera uscita.
Per i vari sottospazi si trova facilmente:



1 0 1
1
F 3 =  0 0 0  , Ker F 3 = span  0
0 0 0
−1



1 0 1
1
O1 =  1 0 1  , Ker O1 = span  0
1 0 1
−1



0 −1 1
1
O2 =  0 −2 0  ,
Ker O2 = span  0
0 0 0
0
 

0
 ;  1  ,
0
  
0
 ;  1  ,
0

 .
(9.73)
(9.74)
(9.75)
Da quanto sopra si vede facilmente che la condizione (9.70) è verificata, e quindi il sistema è ricostruibile a
partire dalla misura della prima uscita; infatti i vettori che descrivono una base di XN O,1 sono combinazione
lineare dei vettori che descrivono una base di Ker F 3 . Viceversa, poichè il vettore che descrive una base
di XN O,2 non è combinazione lineare della base di Ker F 3 , la condizione (9.71) non è verificata e quindi
il sistema non è ricostruibile a partire dalla misura della seconda uscita.
Infine, poichè il sistema, a partire da entrambe le uscite, è osservabile, è anche ricostruibile, e quindi la
condizione (9.72) vale sicuramente.
Un secondo metodo per la verifica della ricostruibilità è il criterio PBH. Nel caso del sistema in esame
gli autovalori della matrice F sono λ = 0, molteplcità algebrica pari a 2, e λ = 1, molteplcità algebrica
pari ad 1, cioè sp {F } = {0, 0, 1}. Per verificare la ricostruibilità si deve quindi studiare il solo caso
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 9-267
dell’autovalore non nullo, λ = 1. I test di interesse sono quindi:


0 2
1
 0 −1 0 
F −I

rango
= rango 
 0 −2 −1  = 3,
h1
1 0
1


0 2
1
 0 −1 0 
F −I

rango
= rango 
 0 −2 −1  = 2,
h2
0 −1 1
(9.76)
(9.77)
e quindi il sistema è ricostruibile a partire da misure della prima uscita e non lo è a partire da misure
della seconda uscita (la matrice di interesse ha infatti una colonna nulla).
Un ulteriore test di ricostruibilità può essere condotto studiando la controllabilità del sistema duale. Nel
caso in esame, indicato con Σ(F ∗ , G∗ , h∗ ) il sistema duale, le condizioni da verificare sono:
Im [(F ∗ )3 ] ⊆ Im [R∗1 ],
Im [(F ∗ )3 ] ⊆ Im [R∗2 ],
con:

1
(F ∗ )3 = (F 3 )T =  0
0

0 1
0 0 ,
0 0

1 1
R∗1 = O1T =  0 0
1 1
da cui si ricavano facilmente le condizioni:
rango [R∗1 ] = rango [R∗1 |(F ∗ )3 ],

1
0 ,
1

0
0
R∗2 = O2T =  −1 −2
1
0
rango [R∗2 ] 6= rango [R∗2 |(F ∗ )3 ],

0
0 ,
0
(9.78)
e quindi il sistema duale è controllabile tramite il primo ingresso e non lo è tramite il secondo. Ne segue,
come già noto, che il sistema di partenza è ricostruibile sulla base della misura delle prima uscita, ma non
lo è se si dispone solo della misura della seconda uscita.
2. Uscita in evoluzione libera pari a y(0) = (2 0)T , y(1) = (2 − 2)T , y(2) = (2 0)T .
Poiché il sistema non è osservabile da una singola uscita, non è possibile valutare lo stato iniziale a partire
dalla misura di una sola uscita. Infatti, cercando di risolvere il sistema:

 

y1 (0)
h1
 y1 (1)  =  h1 F  x(0)
y1 (2)
h1 F 2
che corrisponde al caso in cui si possa misurare solo
  
2
1
 2 = 1
2
1
la cui soluzione in x(0) è data da:
la prima uscita, si trova:


0 1
α
0 1  β 
0 1
γ


2−γ
x(0) =  β 
γ
che, come previsto, non corrisponde ad un singolo punto. Si ha anzi dipendenza da due parametri, in
accordo con il fatto che la corrispondente matrice di osservabilità O1 ha nullità pari a due. Volendo poi
valutare la possibilità di ricostruire lo stato ai passi t = 1 e t = 2, si possono calcolare x(1) ed x(2). Si
trova:


 

1 2 1
2−γ
2 + 2β
,
0
x(1) = F x(0) =  0 0 0   β  = 
0 −2 0
γ
2β
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 9-268


 

1 2 1
2 + 2β
2
 =  0 ,
0
x(2) = F x(1) =  0 0 0  
0 −2 0
2β
0
da cui si vede che, se sono disponibili le misure della sola prima uscita, lo stato non è ricostruibile al primo
passo (t = 1), è invece ricostruibile al passo t = 2 (e successivi!).
Per quanto riguarda la possibilità di osservare e ricostruire lo stato sulla base di misure della sola seconda
uscita, si deve considerare il sistema:

 

y2 (0)
h2
 y2 (1)  =  h2 F  x(0).
y2 (2)
h2 F 2
Si trova:

 


0
0 −1 1
α
 −2  =  0 −2 0   β 
0
0 0 0
γ
cui corrisponde una soluzione in x(0) data da:


α
x(0) =  1  .
1
Ovviamente, per una opportuna scelta dei parametri liberi, la condizione iniziale trovata in questo caso
e quella trovata nel caso di misure della prima uscita coincidono. In particolare, si può scegliere α = 1,
β = 1, γ = 1.
Volendo poi valutare la possibilità di ricostruire lo stato al passo t = 1 e t = 2, si possono calcolare x(1)
ed x(2). Si trova:


 

1 2 1
α
α+3
x(1) = F x(0) =  0 0 0   1  =  0  ,
0 −2 0
1
−2


 

1 2 1
α+3
α+1
x(2) = F x(1) =  0 0 0   0  =  0  .
0 −2 0
−2
0
Calcolando anche lo stato al passo t = 3:

1
x(3) = F x(2) =  0
0

 

2 1
α+1
α+1
0 0  0  =  0 .
−2 0
0
0
Il sistema infatti non è ricostruibile solo sulla base della misura della seconda uscita. Si noti che, per il
valore α = 1 per cui le due condizioni iniziali coincidono, anche lo stato al passo t = 2 appena calcolato
coincide con quello ricostruito nel caso di misura di y1 (ovviamente).
Infine, volendo osservare lo stato iniziale

2
 0

 2

 −2

 2
0
a partire da entrambe le uscite, si trova il sistema:
 

1 0 1
  0 −1 1  

 

α
  1 0 1 
=
 β .
  0 −2 0 
 

γ
  1 0 1 
0 0 0
(9.79)
Un possibile modo per risolvere questo sistema, che ammette sempre almeno una soluzione, e ne ammette
solo una se il sistema è osservabile, come in questo caso, è quello di scegliere un insieme di 3 righe
indipendenti; ad esempio la prima, la seconda e la quarta, ottenendo:

 


2
1 0 1
α
 0  =  0 −1 1   β  .
(9.80)
−2
0 −2 0
γ
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] - 9-269
La soluzione di tale sistema, e cioeè la condizione iniziale cercata, è:
 
1
x(0) =  1  .
1
(9.81)
Un altro metodo è basato sulla pseudo inversa sinistra:


1
x(0) = (OT O)−1 OT ȳ =  1  .
1
(9.82)
Ovviamente, la condizione iniziale appena trovata si ottiene da quelle determinate in precedenza scegliendo
opportunamente i parametri liberi. In particolare, nel primo caso β = 1, γ = 1, nel secondo caso α = 1.
3. Esistenza e sintesi dell’osservatore.
L’osservatore cercato esiste sicuramente se si dispone della misura di entrambe le uscite, perché in tal caso
il sistema è osservabile. L’osservatore con dinamica d’errore convergente in tempo finito esiste anche se si
dispone solo della misura della prima uscita, perché in questo caso il sistema è ricostruibile.
4. Esistenza e sintesi di un controllore in reazione statica dallo stato.
La matrice di raggiungibilità del sistema è data da:


1 −1 1
R =  −1 0 0 
0
2 0
(9.83)
il cui rango è pari a tre, e quindi il sistema è raggiungibile. È allora possibile calcolare una matrice di
retroazione dallo stato che renda il sistema a ciclo chiuso asintoticamente stabile. La procedura di sintesi
è “classica”.
5. Esistenza e calcolo di un controllore in reazione dinamica dall’uscita.
Per quanto visto in precedenza, un tale regolatore esiste, ed è ottenibile, ad esempio, tramite la legge di
controllo:
u = K x̂ + v,
(9.84)
in cui la matrice K è quella progettata al punto 4 e x̂ è la stima dello stato ottenuta tramite l’osservatore
asintotico:
x̂(k + 1) = F x̂(k) + gu(k) + L(H x̂(k) − y)
(9.85)
progettato al punto 3.
Appendice A
Strumenti geometrici per l’analisi di
sistemi dinamici lineari
A.1
Autovalori ed autovettori
Data una matrice A quadrata, ad elementi reali, di dimensione n × n (brevemente, A ∈ Rn×n ), dato uno scalare
λ ed un vettore v, si dice che λ è un autovalore di A associato all’autovettore v se vale la condizione:
Av = λv ⇔ (A − λI)v = 0.
(A.1)
Si noti che, pur essendo la matrice A ad elementi reali, i suoi autovalori ed autovettori possono essere complessi
coniugati.
Data una matrice A, la totalità dei suoi autovalori si determina risolvendo il suo polinomio caratteristico:
pA (λ) := det(λI − A),
(A.2)
le cui radici corrispondono ai valori di λ per i quali il nucleo della matrice (λI − A) è non banale. La molteplicità
di uno scalare λ come radice del polinomio caratteristico di una matrice è detta molteplicità algebrica di tale
autovalore.
Si noti che gli autovettori sono determinati a meno di una costante, e quindi: un autovettore individua
sempre un sottospazio vettoriale, i cui elementi sono tutti autovettori associati allo stesso autovalore. Tale
sottospazio V, detto anche autospazio, è quindi individuato da:
V = Im(v : (A − λI)v = 0),
(A.3)
V = ker(A − λI).
(A.4)
o, ancora più propriamente, da:
Si ricordi che una matrice quadrata, ad elementi reali, di dimensione n × n è interpretabile come rappresentazione di un operatore lineare, che quindi opera trasformazioni di roto-traslazione su vettori. Allora, un
autovettore individua una sorta di “direzione privilegiata” di tale operatore, lungo la quale non vi è rotazione,
ma solo variazione della lunghezza, e l’autovalore indica appunto l’entità di tale variazione di lunghezza e/o
verso.
Infine, si noti che, data una matrice A ed una autovalore λ, a tale autovalore possono essere associati
anche più autovettori indipendenti. In tal caso, l’autospazio relativo ha dimensione maggiore di uno, e pari
alla dimensione del nucleo della matrice (A − λI). Tale dimensione viene indicata con il termine molteplicità
geometrica dell’autovettore λ.
Dato un sistema dinamico a tempo continuo o a tempo discreto
∆x = Ax + Bu,
(A.5)
in cui l’operatore ∆ indica una derivata temporale (∆x(t) = ẋ(t)) nel caso di sistemi a tempo continuo o una
traslazione temporale (∆x(k) = x(k + 1)) nel caso di sistemi a tempo discreto, gli autovalori della matrice A
sono detti anche autovalori del sistema dinamico.
270
: Appendice: strumenti geometrici ed algebrici
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] -
A-271
Il polinomio caratteristico ha la importante proprietà di essere un polinomio annullatore della matrice stessa.
In altre parole, se si calcola una combinazione lineare delle potenze di una matrice con i coefficienti del suo
polinomio caratteristico, si ottiene una matrice nulla. Tale risultato, di uso molto frequente, va sotto il nome di
teorema di Cayley-Hamilton. Le potenze della matrice vanno intese nel senso dell’usuale prodotto righe-colonne.
Teorema A.1 (Cayley-Hamilton) Sia data una matrice A quadrata, ad elementi reali, di dimesione n × n,
e sia pA (λ) = λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 il suo polinomio caratteristico. Allora, il polinomio pA (λ) è
annullatore della matrice:
pA (A) = An + an−1 An−1 + · · · + a1 A + a0 I = 0,
(A.6)
e quindi:
An = −an−1 An−1 − · · · − a1 A − a0 I.
(A.7)
Il polinomio caratteristico non è l’unico polinomio annullatore. Data una matrice A quadrata, ad elementi
reali, di dimesione n × n, il polinomio di grado minore che annulla tale matrice è detto polinomio minimo della
stessa. Si noti che polinomio caratteristico e polinomio minimo hanno le stesse radici, e si differenziano solo per
la molteplicità delle stesse.
A.2
Trasformazioni di similarità algebrica
Nello studio dei sistemi dinamici, ed in generale nello studio di sistemi immersi in spazi vettoriali, è spesso utile,
per evidenziare proprietà di interesse o per rendere più agevole il calcolo di funzioni ed opearazioni specifiche,
cambiare il sistema di coordinate nelle quali si rappresentano lo spazio di stato e le matrici che descrivono un
assegnato sistema. Cambiare coordinate è del tutto equivalente a cambiare base nello spazio di stato sottostante
la specifica rappresentazione in uso per il sistema. Tale opearazione, nel contesto dei sistemi dinamici, viene detta
trasformazione di similarità od anche trasformazione di equivalenza algebrica, e due diverse rappresentazione
dello stesso sistema (o, in generale, due sistemi) legati da tali trasformazioni sono detti sistemi (algebricamente)
equivalenti od anche sistemi simili.
Si consideri quindi un sistema dinamico a tempo continuo o a tempo discreto, indifferentemente:
∆x =
y =
Ax + Bu,
Cx + Du.
(A.8)
(A.9)
Si consideri un nuovo sistema di coordinate:
z = T −1 x.
(A.10)
−1
dove T
indica una matrice quadrata, non singolare, di dimensione n. La relazione (A.10) definisce una
trasformazione di coordinate. Il vettore x indica le vecchie coordinate, il vettore z le nuove coordinate, la
matrice T −1 indica la trasformazione lineare tra i due sistemi di coordinate. Una trasformazione lineare di
coordinate è una buona trasformazione, o più rigorosamente, è una trasformazione ben definita, se e solo se la
matrice di trasformazione è non singolare, e quindi invertibile. In tal caso, è immediato tornare alle vecchie
coordinate:
x = T z.
(A.11)
La condizione di invertibilità della tasformazione, come è ben intuibile, è sempre richiesta. Si noti che la
trasformazione considerata è lineare. Benché il concetto di trasformazione di coordinate possa essere esteso
anche al caso dei sistemi nonlineari, in questa sede ci si limita al caso di trasformazioni lineari, dato il contesto.
Di norma, nel definire una trasformazione di coordinate si definisce direttamente la matrice T −1 nei casi in
cui siano note le nuove coordinate z, mentre si definisce la matrice di trasformazione T nel caso in cui sia noto
il nuovo insieme di vettori di base. Più precisamente,
per lo spazio vettoriale di interesse,
data una nuova base
descritta dagli n vettori linearmente indipendenti v1 v2 · · · vn , le matrice di trasformazione T e T −1
sono date da:
(A.12)
T = v1 v2 · · · vn , T −1 = Inv(T ).
Si consideri ora un sistema dinamico, a tempo continuo o a tempo discreto, indifferentemente:
∆x =
y =
Ax + Bu,
Cx + Du
(A.13)
(A.14)
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] -
A-272
ed un cambio di coordinate z = T −1 x. Quale è la rappresentazione di tale sistema nelle nuove coordinate? Per
determinare tale rappresentazione, si può procedere molto semplicemente applicando la trasformazione ai due
lati delle equazioni che definiscono il modello. Poiché la matrice di trasformazione non dipende dal tempo, è
ovvio che ∆z = T −1 ∆x, e quindi:
∆z
y
=
=
T −1 ∆x = T −1 Ax + T −1 Bu,
Cx + Du.
(A.15)
(A.16)
Utilizzando poi il legame inverso x = T z, si trova:
∆z
y
T −1 AT z + T −1 Bu,
CT z + Du.
=
=
(A.17)
(A.18)
Il sistema descritto dalle (A.17), (A.18) è ancora un sistema lineare, con diverse rappresentazioni delle matrici
caratteristiche. In particolare, poste le condizioni:
Ā =
B̄ =
T −1 AT
T −1 B
(A.19)
(A.20)
C̄
D̄
CT
D
(A.21)
(A.22)
=
=
(A.23)
si ricava:
∆z
=
Āz + B̄u,
(A.24)
y
=
C̄z + D̄u.
(A.25)
Si sottolinea ancora il fatto che le equazioni (A.17), (A.18) e le equazioni (A.24), (A.25) sono due rappresentazioni simili, o equivalenti, dello stesso sistema dinamico. Sono, con linguaggio informale, “due punti di vista
diversi sullo stesso sistema”. Tali rappresentazioni devono quindi avere le stesse proprietà fondamentali.
In particolare, dati due sistemi algebricamente equivalenti Σ(A, B, C, D) e Σ(Ā, B̄, C̄, D̄), si hanno le seguenti
due proprietà fondamentali:
Proprietà A.1 Gli autovalori di un sistema dinamico sono invarianti rispetto a trasformazioni di similarità
algebrica, cioè:
pA (λ) = pĀ (λ)
(A.26)
Proprietà A.2 La matrice di trasferimento di un sistema dinamico è invariante rispetto a trasformazioni di
similarità algebrica, cioè:
W (s) = C(sI − A)−1 B + D = C̄(sI − Ā)−1 B̄ + D̄ = W̄ (s).
(A.27)
Entrambe le proprietà si dimostrano facilmente. Si ricordi che, date due matrici quadrate M ed N , delle
stesse dimensioni, si ha: det(M · N ) = det(M ) · det(N ), ed inoltre det(M −1 ) = 1/det(M ) (assumendo M
invertibile!). Ed ancora, dato il prodotto M · N , si ha: (M · N )−1 = N −1 · M −1 .
Per la prima proprietà si ottiene quindi:
pĀ (λ)
=
=
det(sI − Ā) = det(sT −1 T − T −1 AT ) = det[T −1 (sI − A)T ]
det(T −1 ) · det(sI − A) det(T ) = det(sI − A) = pA (λ).
(A.28)
(A.29)
Similmente, per la seconda proprietà si ottiene:
W̄ (s)
= C̄(sI − Ā)−1 B̄ + D̄
= CT (sT −1 T − T −1 AT )−1 T −1 B + D
−1 −1
= CT T −1 (sI − A)T
T B+D
−1
−1
−1
= CT T (sI − A) T T B + D
= C(sI − A)−1 B + D = W (s)
(A.30)
(A.31)
(A.32)
(A.33)
(A.34)
A.3
A.3.1
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] -
A-273
Forme canoniche
Forma diagonale
Si consideri il caso di un sistema descritto da una matrice dinamica A non diagonale, ma diagonalizzabile.
Ciò implica l’esistenza di una matrice di trasformazione di coordinate T , non singolare, tale che, nelle nuove
coordinate, la matrice A diviene una matrice Λ con struttura diagonale:


λ1 0 · · · 0
 0 λ2 · · · 0 


Λ = T −1 AT,  .
(A.35)
..
..  ,
..
 ..
.
.
. 
0
0
···
λn
in cui gli elementi λi , i = 1, 2, . . . , n, sono gli autovalori della matrice A (si ricordi che gli autovalori sono
invarianti rispetto a trasformazioni di simularità algebrica).
In particolare, una matrice A, di dimensione n× n, è diagonalizzabile se ha n autovettori indipendenti. In tal
caso, la matrice di trasformazione T che consente la diagonalizzazione è la matrice costituita dagli n autovettori.
La matrice di cambio di coordinate che consente di diagonalizzare la matrice A è costituita dagli n autovettori
della matrice stessa (se tali autovettori non sono indipendenti, la matrice non è diagonalizzabile, come noto).
Cioè, detti vi , i = 1, 2, · · · , n, gli autovettori associati, rispettivamente, agli autovalori λi , i = 1, 2, · · · , n, la
matrice di trasformazione è data da:
(A.36)
T = v1 v2 · · · vn ,
come si deduce facilmente anche dalla relazione:



AT = T Λ = T 

A.3.2
λ1
0
..
.
0
λ2
..
.
···
···
..
.
0
0
..
.
0
0
···
λn



.

(A.37)
Forma canonica reale
La forma diagonale di una matrice con autovalori complessi non è idonea allo studio di sistemi dinamici, perchè
nel suo esponenziali compaiono funzioni complesse, che non sono ammissibili per rappresentare il comportamento
di sistemi reali. In tal caso si ricorre alla forma canonica reale, che consente di tenere conto in forma strutturale
di tale necessità. Data una matrice A di dimensione due, con autovalori complessi coniugati λ = σ + ω e
λ∗ = σ − ω, è facile vedere che gli autovettori relativi v = vR + vI e v ∗ = vR − vI sono anch’essi complessi
coniugati, ed inoltre il vettore parte reale vR ed il vettore parte immaginaria vI sono linearmente indipendenti.
Scelti come nuovi vettori di base vR e vI , la matrice A, nelle nuove coordinate, assume la forma seguente, detta
appunto forma canonica reale:
−1 σ ω
−1
A vR vI =
Ā := T AT = vR vI
.
(A.38)
−ω σ
Per dimostrare tale affermazione, si riscriva la relazione di similarità algebrica in termini della sola matrice T :
vR vI Ā = A vR vI .
(A.39)
Utilizzando la notazione [M ]i per indicare la colonna i-esima della matrice M , dalla relazione precedente segue:
vR vI Ā 1 = AvR
(A.40)
Per quanto riguarda il lato destro dell’uguaglianza precedente, tenendo conto della definizione di autovalore ed
autovettore, cioè Av = (σ + ω)v, si ha:
Real(Av) = AvR = Real(λv) = σvR − ωvI
(A.41)
mentre per il lato sinistro si ha:
vR
vI
Ā 1 = vR
vI
Ā 1 .
(A.42)
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] -
Dalle due eguaglianze precedenti segue immediatamente:
σ
.
Ā 1 =
−ω
A-274
(A.43)
In modo simile, analizzando la seconda colonna dei lati destro e sinistro si trova, rispettivamente:
vR vI Ā 2 = vR vI
vR vI Ā 2 = AvI ,
Ā 2 ,
(A.44)
da cui segue
Ā 2 =
La forma canonica reale è quindi pari a:
Ā =
A.3.3
σ
−ω
ω
σ
ω
σ
.
(A.45)
.
(A.46)
Forma di Jordan
Il calcolo della forma di Jordan di un operatore A che mappa lo spazio vettoriale (Cn , C) in se stesso (si considera
il caso in cui di tale operatore sia data una rappresentazione reale, cioè sotto forma di una matrice A quadrata
ad elementi reali), è basato sul concetto di autovettore generalizzato.
Autovettori generalizzati
Nel seguito si elencano alcune definizioni fondamentali e vengono presentati, senza prova, alcuni risultati preliminari alla costruzione della forma di Jordan.
Definizione A.1 (Autovettore generalizzato) Un vettore v ∈ Rn è detto autovettore generalizzato di ordine k della matrice A (dell’operatore A) associato all’autovalore λ se e solo se valgono le relazioni:
(A − λI)k v = 0,
(A − λI)k−1 v 6= 0.
(A.47)
(A.48)
Si noti che, per k = 1, si trova la classica definizione di autovettore. Si noti anche che un autovettore generalizzato
di ordine maggiore di uno non è un autovettore.
Dato un autovettore generalizzato v di ordine k, è naturale associare ad esso una catena di autovettori
generalizzati di lunghezza k , costruita nel modo seguente:
v (k)
(k−1)
v
v (k−2)
v
(1)
:=
:=
:=
..
.
:=
v,
(A.49a)
(k)
(A − λI)v ,
(A − λI)v (k−1) ,
(A.49b)
(A.49c)
(A.49d)
(A − λI)v
(2)
.
(A.49e)
È immediato vedere che il generico vettore v (i) , i = 2, . . . , k − 1, è un autovettore generalizzato di ordine i, ed
inoltre che il vettore v (1) è un autovettore.
I vettori di una catena di autovettori generalizzati sono tra loro linearmente indipendenti, come meglio
precisato nei seguenti risultati, fondamentali per la costruzione della forma di Jordan.
Teorema A.2 I vettori v (1) , v (2) , . . ., v (k−1) , v (k) , di una catena di autovettori generalizzati di lunghezza k
sono tra loro linearmente indipendenti.
(1)
(2)
(k−1)
(k)
(1)
(2)
(ℓ−1)
(ℓ)
, v2 }, di autovettori
, v1 } e {v2 , v2 , . . ., v2
Teorema A.3 Date due catene {v1 , v1 , . . ., v1
generalizzati di lunghezza k ed ℓ, rispettivamente, associate ad uno stesso autovalore, se i due autovettori v1 e
v2 sono tra loro linearmente indipendenti, allora ogni vettore delle due catene è linearmente indipendente da
tutti gli altri k + ℓ − 1 vettori.
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] -
A-275
Teorema A.4 Date due catene {v (1) , v (2) , . . ., v (k−1) , v (k) } e {u(1) , u(2) , . . ., u(ℓ−1) , u(ℓ) }, di autovettori
generalizzati di lunghezza k ed ℓ, rispettivamente, associate a due distinti autovalori, allora ogni vettore delle
due catene è linearmente indipendente da tutti gli altri.
I tre teoremi precedenti consentono di utilizzare i vettori di catene di autovettori generalizzati come nuovi
vettori di base. Per la costruzione della forma di Jordan, ed anche per la determinazione degli autospazi
generalizzati A-invarianti, è utile esprimere gli autovettori generalizzati nella seguente forma, dalla quale segue
in modo immediato sia la composizione dei sottospazi A-invarianti sia la forma dell’operatore A (di sue porzioni)
utilizzando catene di autovettori come nuova base. Dalle (A.49) si ha:
Av (1)
Av
Av
(2)
(k)
=
=
..
.
=
λv (1) ,
λv
(2)
λv
(k)
(A.50)
+v
(1)
+v
,
(A.51)
(k−1)
(A.52)
(A.53)
.
Nel calcolo e nello studio della forma di Jordan di un operatore (matrice) sono utili i due sottospazi seguenti,
detti, rispettivamente, autospazio associato all’autovalore λ ed autospazio generalizzato associato all’autovalore
λ):
Uλ := ker(A − λI),
Nλ := ker(A − λI)m ,
(A.54)
(A.55)
ove m indica il più piccolo intero per cui la seguente successione di sottospazi converge:
ker(A − λI) ⊂ ker (A − λI)2 ⊂ · · · ker (A − λI)m−1 ⊂ ker [(A − λI)m ] = ker (A − λI)m+1 .
(A.56)
Sulla base dei concetti e della notazione introdotta, si può ora dare una procedura per il calcolo della forma
di Jordan di un operatore A (ovvero, di una sua rappresentazione come matrice reale A).
Calcolo della forma di Jordan
Sulla base dei risultati della sezione precedente, si può ora descrivere una procedura per il calcolo della forma
di Jordan di una data matrice (od operatore).
Procedura A.1 (Calcolo della forma di Jordan.)
Passo 1. Calcolo del polinomio caratteristico della matrice A e dei suoi autovalori:
p(λ) = det(λI − A),
con
Pr
i=1
p(λ) =
r
Y
i=1
(λ − λi )ni ,
ni = n.
Passo 2. Se gli autovalori sono tutti distinti, allora la matrice è diagonalizzabile e si procede calcolando n
autovettori indipendenti v1 , v2 , . . ., vn e costruendo la matrice di trasformazione:
T = [ v1
v2
···
vn ]
in cui vi è l’autovettore (destro) di A associato all’autovalore λi . In tale caso, l’operatore, nelle nuove
coordinate, è rappresentato dalla matrice:


λ1 0 · · · 0
 0 λ2 · · · 0 


A = T −1 AT, A =  .
..  .
..
..
 ..
.
. 
.
0
0 · · · λn
Passo 3. Se gli autovalori non sono tutti distinti, si deve procedere al calcolo delle catene di autovettori
generalizzati.
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] -
A-276
Passo 3.1. Si consideri il generico autovalore λi . La dipendenza esplicita da λi e dall’indice i verrà
spesso omessa, nel seguito del passo 3, per semplicità di notazione.
Si determini il più piccolo indice m per il quale la successione di sottospazi seguenti diviene stazionaria
(si noti che m, anche se non esplicitamente indicato, dipende da λi ):
ker(A − λI) ⊂ ker (A − λi I)2 ⊂ · · · ker (A − λi I)m−1 ⊂ ker [(A − λi I)m ] = ker (A − λi I)m+1
Passo 3.2.
Si determini
il numero e la lunghezza delle varie catene. Sia dj la dimensione del sottospazio
ker (A − λi I)j , j = 1, 2, . . . , mi , e sia δj l’incremento nella dimensioni di tali sottospazi, cioè δ1 = d1 ,
δj = dj − dj−1 , j = 2, 3, . . . , m. Allora, il numero complessivo di catene è pari a d1 . Inoltre, vi sono
δm catene di lunghezza m, δm−1 -δm catene di lunghezza pari ad m − 1, e cosı̀ via fino ad avere δ1 -δ2
catene lunghe esattamente uno.
Si noti che, complessivamente, le catene sono: δm + (δm−1 − δm ) + (δm−2 − δm−1 ) + · · · + (δ1 − δ2 ) =
δ1 = d1 = dim [ker(A − λi I)].
Le dimensioni dei vari sottospazi e le lunghezze delle catene corrispondenti sono sinteticamente indicate nella seguente tabella A.1 .
Autospazio
generalizzato
ker [(A − λI)m ] ker (A − λI)m−1
Dimensione
autospazio
dm
dm−1
Variazione
dimensione
δm = dm − dm−1
δm−1 = dm−1 − dm−2
ker (A − λI)m−2
dm−2
δm−2 = dm−2 − dm−3
..
.
ker (A − λI)2
..
.
d2
..
.
δ2 = d2 − d1
ker(A − λI)
d1
δ1 = d1
Numero
catene
δm
δm
δm−1 − δm
δm
δm−1 − δm
δm−2 − δm−1
..
.
δm
δm−1 − δm
..
.
Lunghezza
catene
m
m
m−1
m
m−1
m−2
..
.
m
m−1
..
.
δ2 − δ3
δm
δm−1 − δm
..
.
2
m
m−1
..
.
δ2 − δ3
δ1 − δ2
2
1
Tabella A.1: Autospazi generalizzati e catene di autovettori generalizzati
(m)
(m)
(m)
Passo 3.3. Si calcolino δm autovettori generalizzati di ordine m, indicati con {v1 , v2 , . . . , vδm },
cioè δm vettori appartenenti
a ker [(A − λI)m ], ed indipendenti da tutti i vettori del sottospazio
m−1
ker (A − λI)
, già determinato. Tali vettori sono gli elementi di partenza per il calcolo di
altrettante catene di lunghezza m.
(m−1)
Passo 3.4. Si calcolino δm autovettori generalizzati di ordine m − 1, indicati con {v1
(m−1)
vδm }, come ulteriori elementi delle δm catene di lunghezza m:
(m−1)
vj
(m)
:= (A − λi I)vj
,
(m−1)
, v2
, . . .,
j = 1, 2, . . . , δm .
(m−1)
Si calcolino infine altri δm−1 − δm autovettori generalizzati di ordine m − 1, indicati con {vδm +1 ,
(m−1)
(m−1)
vδm +2 , . . ., vδm−1 }, che siano indipendenti dai δm autovettori generalizzati di ordine m − 1 già
trovati in questo passo. Tali vettori sono gli elementi di partenza per il calcolo di altrettante catene
di lunghezza esattamente pari a m − 1.
Passo 3.5. In modo analogo a quanto fatto al passo precedente, si prolunghino le catene già iniziate, e si
inizino nuove catene, se del caso (cioè, se la differenza tra due valori consecutivi dei parametri δ è non
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] -
A-277
nulla). Si prosegua fino ad arrivare alla costruzione di tutte le d1 catene di autovettori generalizzati
associate all’autovalore λi .
Passo 3.6. Si ripetano i passi da 3.1 a 3.5 per tutti gli autovalori della matrice.
Passo 3.7. Si raccolgano gli n vettori cosı̀ ottenuti (che risultano essere tutti tra loro linearmente
indipendenti) in una matrice T di cambiamento di base, ordinati per catene, ciascuna catena ordinata a partire dall’autovettore corrispondente fino all’autovettore generalizzato di ordine massimo.
(k)
Nell’equazione seguente, il vettore vλi ,j indica l’autovettore generalizzato di ordine k della j-esima
catena associata all’autovalore λi , e l’intero mi indica l’indice per il quale converge la sequenza
di autospazi generalizzati associati all’autovalore λi , e quindi anche la dimensione del più grande
miniblocco di Jordan associato a tale autovalore, nonché la lunghezza della catena più lunga. Infine,
ηi indica la lunghezza della catena più corta associata all’autovalore λi .
i
h
(η1 )
(ηr )
(2)
(2)
(2)
(m1 )
(1)
(1)
(A.57)
T = vλ(1)
·
·
·
v
·
·
·
v
v
v
v
·
·
·
v
·
·
·
v
·
·
·
v
λ1 ,d1
λr ,d1
λ1 ,d1
λr ,d1
λ1 ,1
λ1 ,1
λ1 ,d1
λr ,d1
1 ,1
Passo 3.8 La matrice T cosı̀ determinata costituisce il nuovo insieme di vettori di base, e la corrispondente
rappresentazione Ā dell’operatore A è la forma di Jordan cercata.
Tale forma si può ottenere per similarità algebrica:
Ā = T −1 AT
(A.58)
oppure la si può costruire direttamente, ricordando che ad una catena di autovettori generalizzati
di lunghezza k associata all’autovalore λ corrisponde un minibloccco di Jordan con autovalore λ, e
dimensione pari a k.
♦
Il legame tra le catene di autovettori generalizzati e gli autospazi del tipo ker[(A − λI)k ] è illustrato in modo
sintetico nella tabella seguente.
(1)
v1
ker[A − λI]
(2)
= (A − λI)v1
..
.
(1)
(2)
vδm = (A − λI)vδm
(1)
ker[(A − λI)2 ]
(3)
= (A − λI)v1
..
.
···
← ···
..
.
←
(3)
← ···
← vδm
←
(2)
v1
←
vδm = (A − λI)vδm
(2)
(2)
(2)
(3)
vδm +1 = (A − λI)vδm +1 ← vδm +1 = (A − λI)vδm +1 ← · · ·
..
..
..
.
.
.
(3)
(2)
(2)
(1)
vδm−1 = (A − λI)vδm−1 ← vδm−1 = (A − λI)vδm−1 ← · · ·
..
.
(1)
ker[(A − λI)m−1 ]
(m)
= (A − λI)v1
..
.
(m−1)
v1
(m−1)
←
←
(m−1)
= (A − λI)vδm
(m−1)
vδm +1
..
.
(m−1)
vδm−1
..
.
(2)
vδ3 +1 = (A − λI)vδ3 +1
..
.
(2)
(1)
vδ2 = (A − λI)vδ2
←
←
(2)
vδ3 +1
..
.
(2)
vδ2
(1)
vδ2 +1
..
.
(1)
vδ1
Tabella A.2: Determinazione delle catene di autovettori generalizzati
ker[(A − λI)m ]
(m)
←
v1
..
.
←
(m)
vδm
A.4
A.4.1
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] -
A-278
Esponenziale di matrice
Forma canonica reale
Il calcolo dell’esponenziale di matrice per la forma canonica reale può essere condotto facilmente per diagonalizzazione. Data una matrice A:
σ ω
A=
,
(A.59)
−ω σ
con autovalori dati dai numeri complessi coniugati σ + ω e σ − ω, è facile vedere che gli autovettori associati
v e v ∗ sono pari a:
1
1
v=
, v∗ =
.
(A.60)

−
Scelti come nuovi vettori di base tali autovettori, utilizzando la trasformazione di equivalenza algebrica :
1 1
T =
,
(A.61)
 −
si ottiene la attesa forma diagonale:
Ā = T
−1
AT =
σ + ω
0
0
σ − ω
cui corrisponde l’esponenziale matriciale:
(σ+ω)t
σt
e
0
e (cos(ωt) +  sin(ωt))
e Āt =
=
0
0
e (σ−ω)t
,
0
e σt (cos(ωt) −  sin(ωt))
(A.62)
(A.63)
L’esponenziale nelle coordinate originali è quindi dato da:
e At
=
=
T e Āt T −1
σt
−1
1 1
e (cos(ωt) +  sin(ωt))
0
1 1
,
 −
0
e σt (cos(ωt) −  sin(ωt))
 −
(A.64)
(A.65)
da cui, con semplice algebra, si trova:
e At = e σt
A.5
cos(ωt)
− sin(ωt)
sin(ωt)
cos(ωt)
.
(A.66)
Forma di Jordan di sistemi in forma canonica di controllore
Nello studio, ed in particolare nel controllo, di sistemi dinamici è molto importante una particolare forma
delle matrici che descrivono un sistema dinamico, detta forma canonica di controllore. Per semplicità si considera
ora solo il caso di sistemi ad un ingresso, introducendo la forma canonica di controllore ad un ingresso (o forma
canonica di controllo ad un ingresso).
Un sistema dinamico descritto dalla terna di matrici (Ac , bc , cc ) è detto in forma canonica di controllo ad un
ingresso se le sue matrici Ac e bc hanno la forma:




0
1
0
0
···
0
0
 0

 0 
0
1
0
···
0




 0

 0 
0
0
1
···
0




(A.67)
Ac =  .
 , bc =  0  ,
..
..
..
..
..

 ..


.
.
.
.
.


 .. 
 0

 . 
0
0
0
···
1
1
−a0 −a1 −a2 −a3 · · · −an−1
in cui gli elementi dell’ultima riga della matrice Ac sono i coefficienti del polinomio caratteristico cambiato di
segno. È facile vedere che, se la matrice cc (assumendo un sistema con una sola uscita) ha la forma:
(A.68)
cc = c0 c1 c2 c3 · · · cn−1
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] -
A-279
allora la funzione di trasferimento, nella generica variabile complessa λ, ha (a meno di semplificazioni numeratore/denominatore) la forma:
W (λ) = cc (λI − Ac )−1 bc =
cn−1 λn−1 + · · · + c3 λ3 + c2 λ2 + c1 λ + c0
,
λn + an−1 λn−1 + · · · + a3 λ3 + a2 λ2 + a1 λ + a0
(A.69)
e quindi si calcola in modo immediato a partire dalla conoscenza delle matrici Ac ed cc .
Dal punto di vista della forma di Jordan, un sistema in forma canonica di controllore ad un ingresso ha la
seguente proprietà:
Lemma A.1 (Forma di Jordan di una matrice in forma canonica di controllore ad un ingresso) Data
una matrice Ac , in forma canonica di controllore ad un ingresso, il polinomio caratteristico ed il polinomio minimo di Ac coincidono, e quindi la sua forma di Jordan ha un solo miniblocco per ogni autovalore di Ac .
Prova Il lemma si prova facilmente calcolando la dimensione del nucleo della matrice (Ac − λI), per un generico
T
, il nucleo di (Ac − λI) è determinabile
autovalore di Ac . Dato un generico vettore α = α1 α2 · · · αn
a partire dalle soluzioni non banali dell’equazione:



−λ
1
0
0
···
0
α1
 0
  α2 
−λ
1
0
···
0



 0
  α3 
0
−λ
1
···
0



(A.70)
(Ac − λI)α =  .
  α4  = 0,
..
..
..
..
..

 ..

.
.
.
.
.

  .. 
 0
 . 
0
0
0
···
1
−a0
−a1
−a2
−a3
···
−an−1 − λ
αn
che corrisponde al sistema algebrico:
−λα1 + α2 = 0
−λα2 + α3 = 0
−λα3 + α4 = 0
..
.
−λαn−1 + αn = 0
−a0 α1 − a1 α2 − · · · − (−an−1 − λ)αn = 0,
α2
α3
= λα1
= λ2 α1
(A.71a)
(A.71b)
α4
= λ3 α1
..
.
= λn−1 α1
(A.71c)
(A.71d)
= 0.
(A.71e)
αn
n
n−1
−α1 (λ + an−1 λ
2
+ · · · + a2 λ + a1 λ + a0 )
L’ultima equazione del sistema (A.71) mostra chiaramente che, se λ è autovalore del sistema, allora il
parametro α1 è libero (ricordando il significato dei parametri ai , i = 0, 1, . . . , n − 1), e quindi lo spazio in esame
ha dimensione pari ad uno, con autovettore, scegliendo α1 unitario, pari a:


1
 λ 


2


v= λ
(A.72)
,
 .. 
 . 
λn−1
mentre invece, se λ non è autovalore, deve essere α1 = 0, e quindi l’unica soluzione dell’equazione (A.70) è
quella banale.
Infine, poiché il sistema ha un solo autovettore, la sua forma di Jordan ha un solo miniblocco, e quindi il
suo polinomio caratteristico coincide con il polinomio minimo.
⊓
⊔
Appendice B
Riferimenti
B.1
Riferimenti bibliografici
[1] A.E. Fitzgerald, C. KingsleyJr, and S.D. Umans. Electric Machinery. Mc Graw-Hill, 1983.
[2] P.C. Krause. Analysis of Electric Machinery. Mc Graw-Hill, 1986.
[3] W. Leonhard. Control of Electrical Drives. Springer-Verlag, Berlin, 1985.
[4] J. Meisel. Principles of Electromechanical-Energy Conversion. Mc Graw-Hill, USA, 1966.
[5] L. Sciavicco and B. Siciliano, Robotica Industriale. McGraw-Hill Libri Italia, Milano, 1995.
[6] Fortunato Bianconi, Elisa Baldelli, Vienna Ludovini, Lucio Crin, Antonella Flacco, and Paolo Valigi.
Computational model of egfr and igf1r pathways in lung cancer: A systems biology approach for translational oncology. Biotechnology Advances, 30(1):142 – 153, 2012. ¡ce:title¿Systems Biology for Biomedical
Innovation¡/ce:title¿.
[7] Fortunato Bianconi. Dynamic modeling, parameter estimation and experiment design in Systems Biology
with applications to Oncology. PhD thesis, PhD Thesis, Perugia, 2010.
[8] Fred Brauer and John A Nohel. Proprietà strutturali dei Sistemi Lineari Stazionari. Pitagora Editrice,
Bologna, 1978.
[9] Fred Brauer and John A Nohel. The qualitative theory of ordinary differential equations: an introduction.
Dover Publications, 1989.
[10] E. Fornasini and G. Marchesini. Appunti di Teoria dei Sistemi. Edizioni Libreria Progetto, Padova, 1994.
[11] A. Isidori. Nonlinear Control Systems. Communications and Control Engineering Series. Springer Verlag,
Berlin, terza edizione, 1992.
[12] J.I. Neimark and N.A. Fufaev. Dynamics of Nonholonomic Systems. Translations of Mathematical Monographs. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1972.
[13] H. Goldstein. Classical Mechanics. Addison-Wesley, Reading, MA, 1980.
[14] C. Lanczos. The Variational Principles of Mechamics. U. of Toronto Press, Toronto, 1970.
[15] B.R. Barmish. New Tools for Robustness of Linear Systems. MacMillan Publishing Company, New York,
1990.
[16] S. Gabrieli. Identificazione delle caratteristiche di contrattilit di un ventricolo sinistro finalizzata al controllo di un dispositivo terapeutico di assistenza ventricolare. Tesi di Laurea, Facoltà di Ingegneria,
Università di Perugia , a.a. 1998/99.
[17] Yih-Choung Yu, J.R. Boston, M.A. Simaan, and J.F. Antaki. Estimation of systemic vascular bed parameters for artificial heart control. IEEE Trans. Automatic Control, AC-43(6):765–778, June 1998.
280
[Ed. 2014, V 4.0 - PV - UniPG] -
B-281
[18] Antonio Tornambè. Discrete Event System Theory. An Introduction. World Scientific, Singapore, 1995.
[19] C.G. Cassandras. Discrete Event Systems: Modeling and Performance Analysis. Irwin & Aksen, Boston,
MA, 1993.
[20] Donato Carlucci and Giuseppe Menga. Teoria dei Sistemi ad Eventi Discreti. Utet, Torino, 1998.
[21] E. Cinlar. Introduction to Stochastic Processes. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1975.
[22] S.M. Ross. Stochastic Processes. Wiley, New York, 1983.
[23] M. Zhou and F. DiCesare. Petri Net Synthesis for Discrete Event Control Of Manufacturing Systems.
Kluwer Academic Publishers, 1993.
[24] J.O. Moody and P.J. Antsaklis. Supervisory Control of Discrete Event Systems Using Petri Nets. Kluwer
Academic Publishers, 1998.
[25] Shankar Sastry. Nonlinear Systems: analysis, stability and control. Springer-Verlag, 1999.
[26] Introduction to distillation. http://lorien.ncl.ac.uk/ming/distil/distil0.htm.
[27] Davison, E.J., Edt. Benchmark problems for control system design. Report of the IFAC theory committe.
IFAC (International Federation of Automation Control). May 1990.
[28] Davison, E.J. Control of a distillation column with pressure variation. Trans. Institute of Chemical
Engineers, vol. 45, pp. 229–250, 1967.
[29] S. Skogestad and M. Morari, Understanding the dynamic behavior of distillation columns. Ind. Eng.
Chem. Res., vol. 27, no. 10, pp. 1848-1862, 1988.
[30] S. Skogestad, M. Morari, and J. C. Doyle, Robust control of ill-conditioned plants: High-purity distillation.
IEEE Trans. Automat. Contr., vol. 33, pp. 1092-1105, 1988.
[31] P. Lundström, and S. Skogestad, Two-Degree-of-Freedom Controller Design for an Ill-Conditioned Distillation Process Using µ-Synthesis. IEEE Trans. Control Systems Technology, vol. 7, no. 1, pp. 12-13,
1999.
[32] Morari M. and Zafiriou E. Robust process control. Englewood Cliffs : Prentice Hall, 1989.
[33] Osvaldo Maria Grasselli Proprietà strutturali dei Sistemi Lineari Stazionari. Pitagora Editrice, Bologna,
1978.
[34] E. Fornasini and G. Marchesini. Appunti di Teoria dei Sistemi. Edizioni Libreria Progetto, 1994.
[35] Eduardo D. Sontag. MAthematical Control Theory. Springer, New York, 1998.

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