comportamento dell`impresa

ESERCIZI SVOLTI SU COMPORTAMENTO DELL’IMPRESA
di G.Garofalo
1. Nota la funzione di costo totale
C T = 122x 2 + 23x + 70
Determinare le funzioni di costo:
- fisso e medio fisso
- variabile e medio variabile
- medio complessivo (o unitario)
- marginale
Se ne calcoli il valore in corrispondenza di x = 5
Soluzione
C F = 70
C F (5) = 70
70
CMeF(5) = 14
x
CV = 122x 2 + 23x
CV (5) = 3165
CMeF =
CMeV = 122x + 23
CMe = 122x + 23 +
CMeV(5) = 633
70
x
CMa = 244x + 23
CMe(5) = 647
CMa (5) = 1243
2. Nota la funzione
C T = 25 + x 2
Determinare il livello produttivo che consente di rendere minimo il costo medio, nonché il suo
valore corrispondente.
Soluzione
25
CMe =
+x
x
CME ' ( x ) = 0 
→ −
25
+1 = 0 
→ 25 = x 2 
→ x = 25 = 5
2
x
In alternativa
CMa = 2 x
25
25
+ x = 2{
x
→ x =

→ x 2 = 25 
→ x = 25 = 5
x
x
123 CMa
CMe
Il valore minimo del costo medio, in corrispondenza di x = 5, è:
5{
+ 5 = 2{
⋅ 5 = 10
CMe
CMa
3. Nota la funzione
C T = 50 + 3x 3 − 2 x 2
Determinare il livello produttivo in corrispondenza del quale il costo medio variabile è minimo.
Soluzione
1
CMeV = 3x 2 − 2 x
CMeV ' ( x ) = 0 
→ 6 x − 2 = 0 
→ x = 0, 3
In alternativa
CMa = 9 x 2 − 4 x
− (−2) ± (−2) 2 − 4 ⋅ 6 ⋅ 0 2 ± 4 0
31
x42
−4
23x = 91
x2
−4
43
x
→ 6 x − 2 x = 0 
→ x =
=
=
4
2⋅6
12
CMeV
CMa
0, 3
2
2
2
4. La tabella riporta i costi totali di lungo periodo di tre imprese
x=1
x=2
x=3
x=4
x=5
x=6
x=7
Impr. A
60
70
80
90
100
110
Impr. B
11
24
39
56
75
96
Impr. C
21
34
49
66
85
106
Le imprese in questione godono di economie o diseconomie di scala?
120
119
129
Soluzione
Per rispondere è necessario calcolare l’andamento dei costi medi (come si dimostrerà, non è
sufficiente vedere l’andamento dei costi marginali).
Il valore dei costi medi è:
x=1
x=2
x=3
x=4
x=5
x=6
x=7
Impr. A
60
35
Impr. B
11
12
Impr. C
21
17
Il valore dei costi marginali è:
x=1
x=2
26,7
13
16,3
22,5
14
16,5
20
15
17
18,7
16
17,7
17,1
17
18,4
x=3
x=4
x=5
x=6
x=7
10
21
21
10
23
23
Impr. A
10
10
10
10
Impr. B
13
15
17
19
Impr. C
13
15
17
19
Sulla base dell’andamento dei costi medi concludiamo che:
Impr. A Economie di scala
Impr. B Diseconomie di scala
Impr. C Economie + Diseconomie di scala
5. Noti i seguenti dati
L
10
12
14,4
17,28
20,736
24,8832
K
50
60
72
86,4
103,68
124,416
x
300
390
507
608,4
669,24
736,164
chiarire come sono i rendimenti di scala.
Supponendo che w = 12 e v = 100, calcolare i costi totali ed i costi medi e chiarire se vi sono
economie o diseconomie di scala.
2
Soluzione
Sia il fattore lavoro sia il fattore capitale aumentano del 20% in modo costante. L’output:
- dapprima aumenta del 30% (da 300 a 390 e da 390 a 507) rendimenti di scala crescenti
- dopo aumenta del 20% (da 507 a 608.4) rendimenti di scala costanti
- dopo ancora aumenta del 10% (da 608,4 a 669,24 e da 669,24 a 736,164) rendimenti di scala
decrescenti
La tabella dei costi totali e medi è la seguente:
wL
vK
CT
x
CMe
120
5000
5120
300
17,067
144
6000
6144
390
15,754
172,8
7200
7372,8
507
14,542
207,36
8640
8847,36
608,4
14,542
248,832
10368
10616,832
669,24
15,864
298,5984
12441,6
12740,1984
736,164
17,306
Osservando l’ultima colonna, notiamo che i costi unitari sono dapprima decrescenti (economie di
scala, dovute a rendimenti di scala crescenti), poi costanti (né economie né diseconomie di scala, in
corrispondenza di rendimenti di scala costanti), infine crescenti (diseconomie di scala,
corrispondenti a rendimenti di scala decrescenti).
6. Date le seguenti funzioni
I. x = K 2 L
III. x = 2 K + 2 L
II. x = K −0,5 L−0,5
IV. x = ( LK ) 0,5 + L2
Determinare il tipo di rendimenti di scala.
Soluzione
2
3
2
Rendimenti di scala
Crescenti
3
I. ( sK ) ( sL) = s K L = s x
Decrescenti
II. ( sK ) −0,5 ( sL ) −0,5 = s −1 K −0,5 L−0,5 = s −1 x
III. s 2 K + s 2 L = s(2 K + 2L) = sx
IV. ( sLsK )
0,5
2
+ (sL ) = s ( LK )
0,5
2
2
[
+ s L = s ( LK )
0,5
2
]
+ sL f sx
Costanti
Crescenti
7. I costi totali di un’impresa sono
x
CT
0
50
1
100
2
170
3
250
4
370
5
500
Il prezzo del prodotto è di 120 euro. Quand’è che l’impresa massimizza i profitti?
Soluzione
I profitti sono massimi allorché RMa = CMa; nel caso specifico, operando l’impresa in un mercato
di concorrenza perfetta (vale la legge del prezzo unico), RMa=p=CMa.
Occorre, quindi, calcolare il costo marginale e vedere per quale livello produttivo esso è pari a 120.
x
CT
CMa
3
0
1
2
3
4
5
I profitti corrispondenti sono pari a:
50
100
50
170
70
250
80
370
120
500
130
4 ⋅ 120 − 370 = 110
8. Data la seguente frontiera delle possibilità produttive
Bene Y
80
F
50
H
700 900
G
1100
Bene X
Il punto F individua la seguente combinazione efficiente dei due beni: 700 unità del bene X e 50
unità del bene Y. Qual è il valore del Saggio marginale di trasformazione in corrispondenza di tale
punto?
Soluzione
Nel punto F è tracciata la tangente, che viene a formare il triangolo FGH. L’inclinazione della
tangente è data dal rapporto tra il cateto FH (che misura 50) ed il cateto orizzontale HG (che misura
1100-700=400). Il valore è pari a 50 : 400 = 0,125, il che vuol dire che si deve rinunciare a 1,25
unità del bene Y per avere 10 unità in più del bene X.
____________________
4
I vantaggi della divisione del lavoro e della specializzazione
Si considerino due imprese Alfa e Beta che producono due beni X e Y in base alla seguenti frontiere
lineari.
Y
60
Impr. Alfa
Impr. Beta
Y
40
30
20
60
120 X
10 20
X
Si nota come l’impresa Beta abbia un vantaggio assoluto nella produzione di entrambi i beni.
Verifichiamo come sono i vantaggi comparati nella produzione dei due beni.
L’impresa Alfa deve rinunciare a 60 : 120 = 0,5 unità del bene Y per produrre 1 unità in più del
bene X, mentre per l’impresa Beta la rinuncia è pari a 40 : 20 = 2. Concludiamo che per l’impresa
Alfa il costo opportunità della produzione del bene X è minore.
L’impresa Beta deve rinunciare a 20 : 40 = 0,5 unità del bene X per produrre 1 unità in più del bene
Y, mentre per l’impresa Beta la rinuncia è pari a 120 : 60 = 2. Concludiamo che per l’impresa Beta
il costo opportunità della produzione del bene Y è minore.
Sommando orizzontalmente le due frontiere possiamo determinare le possibilità di produzione per
l’intera economia (per ipotesi composta solo dalle nostre due imprese).
Y
100
50
40
Economia
A
B
70
120
140 X
Se tutte e due le imprese ripartiscono a metà le risorse produttive nella produzione dei due beni,
l’economia si collocherà in corrispondenza del punto A e produrrà: 70 unità del bene X (più in
particolare l’impresa Alfa ne produrrà 60 e l’impresa Beta 10) e 50 unità del bene Y (più in
particolare l’impresa Alfa ne produrrà 30 e l’impresa Beta 20).
Vi è, tuttavia, la possibilità che ciascuna delle due imprese si specializzi nella produzione del bene
nel quale ha un vantaggio comparato. Se ciò avvenisse, l’impresa Alfa produrrebbe 120 unità del
bene X e l’impresa Beta 40 unità del bene Y e l’economia si collocherebbe in corrispondenza del
punto B, al di sopra della frontiera.
Più correttamente si determinerebbe una modifica della frontiera dell’economia che formerebbe un
angolo in corrispondenza del punto B:
5
Y
100
40
Economia
B
120
140 X
Si noti come, pur essendo le tecnologie applicate dalle due imprese di tipo lineare, con la
specializzazione la frontiera assuma una forma concava.
Ricordiamo, altresì, che il ragionamento precedente può essere riproposto con riferimento alla
scatola di Edgeworth: le caratteristiche della frontiera sono le stesse che si riscontrano nella curva
dei contratti, disegnata unendo tutti i punti di tangenza tra le curve di isoquanto riferite alle due
imprese che producono i due beni X e Y con una dotazione di fattori produttivi che è data a livello
complessivo dell’economia. La concavità della frontiera generata a partire dalla curva dei contratti
trova spiegazione nel fatto che i rendimenti di scala sono decrescenti, il che comporta un costo
(opportunità) marginale della produzione del bene X che è via via maggiore muovendosi verso il
basso lungo la frontiera.
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