dispensa di scienza delle costruzioni
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DISPENSA DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI (Andrea Albero) Teorema di Cauchy: {๐ก๐ก๐๐ } = ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐ก๐ก๐๐๐๐ ๐ก๐ก ๐ก๐ก ๏ฟฝ ๐๐๐๐ ๏ฟฝ = ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ ๐ก๐ก๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ ๐ก๐ก๐๐๐๐ [ ๐๐ ] ๐ก๐ก๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐ก๐ก๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ ๐ก๐ก๐ง๐ง๐ง๐ง ๐ก๐ก๐ง๐ง๐ง๐ง ๏ฟฝ ๐๐๐ง๐ง {๐๐} ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๏ฟฝ ๐ฆ๐ฆ ๏ฟฝ ๐๐๐ง๐ง ------------------------------------------------------------------ Direzioni principali della tensione e invarianti: โUna direzione è definita principale se lungo tale direzione gli sforzi tangenziali sono nulli: questo accade quando una terna di versori locali ha un asse // allo sforzo totale e gli altri due sono ortogonali ad esso.โ [ฯn] = tensore idrostatico [ฯ]-[ฯn] = tensore deviatorico [ฯ] = tensore degli sforzi generico {n} = vettore dei coseni direttori di un versore {๐ก๐ก๐๐ } = [๐๐] {๐๐} โ {๐๐}๐๐ {๐ก๐ก๐๐ } = {๐๐}๐๐ [๐๐] {๐๐} = [๐๐๐๐ ] โ {๐ก๐ก๐๐ } = [๐๐๐๐ ] {๐๐} Dal teorema di Cauchy, sostituendo il primo membro con un prodotto matriciale del tipo {tn} = [ฯn] {n} (intendendo [ฯn] come tensore idrostatico, cioè con le componenti della sua traccia tutte uguali in valore a ฯn e tutte le componenti tangenziali tab = 0) sottraendolo ad ambo i membri, ed imponendo la condizione aggiuntiva di normalità dei coseni direttori dei versori {n} (cioè quindi nel complesso si fa il lagrangiano del teorema di Cauchy) si ottiene un sistema di secondo grado, nella cui soluzione si definiscono: โข โข โข Le direzioni principali, date da {n} Le tensioni principali, date da {ฯn} Gli invarianti scalari della tensione J1, J2 e J3 ๏ฟฝ ๏ฟฝ[๐๐] โ [๐๐๐๐ ]๏ฟฝ โ {๐๐} = 0 ๐๐๐ฅ๐ฅ2 + ๐๐๐ฆ๐ฆ2 + ๐๐๐ง๐ง2 = 1 È possibile definire un sotto-sistema lineare omogeneo, in virtù del fatto che {n} non può essere uguale a 0: [๐๐] โ [๐๐๐๐ ] = 0 Equazione risolutiva del sistema lineare omogeneo: โข โข โข ๐๐๐๐3 โ ๐ฝ๐ฝ1 ๐๐๐๐2 โ ๐ฝ๐ฝ2 ๐๐๐๐ โ ๐ฝ๐ฝ3 = 0 J1 = ฯx + ฯy + ฯz J2 = - ฯx ฯy - ฯy ฯz โ ฯx ฯz + txy2 + txz2 + tzy 2 J3 = ฯx (ฯy ฯz - tzy 2) + ฯy (ฯx ฯz - txz2) + ฯz (ฯx ฯy - txy2) (traccia di [ฯ]) (-1 moltipl. i det. dei minori di [ฯ]) (det. di [ฯ]) I 3 valori di ฯn sono autovalori del sistema di secondo grado, nonché le tensioni principali lungo le varie direzioni, e perciò sostituendo tali autovalori nel sistema di secondo grado, si ottengono di volta in volta i coseni direttori di ogni direzione principale. Da ogni autovalore si ottiene quindi un vettore {n}, composto da nx. ny, e nz, ed in totale si ottengono 3 vettori {n} che mi definiscono le direzioni principali del solido: lungo tali direzioni, le tensioni sono pari a ฯn1, ฯn2 e ฯn3. [๐๐๐๐ ] = {๐๐}๐๐ {๐ก๐ก๐๐ } = {๐๐}๐๐ [๐๐] {๐๐} Se: โข โข โข 3 autovalori diversi ๏ 1 sola terna di direzioni principali (stato tensionale triassiale) 2 autovalori uguali ๏ 1 direzione principale e 1 giacitura principale (stato tensionale cilindrico) 3 autovalori uguali ๏ tutte le direzioni sono principali (stato tensionale sferico) ------------------------------------------------------------------ Teorema della Divergenza: ๏ฟฝ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ({๐๐}) ๐ ๐ ๐ ๐ = ๏ฟฝ {๐๐} × {๐๐} ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ฝ๐ฝ ------------------------------------------------------------------ ๐จ๐จ Sistema staticamente ammissibile: ๏ฟฝ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ = โ ๏ฟฝ ๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น ๐๐๐๐ ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ = ๏ฟฝ ๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น ๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐น๐น๐ฅ๐ฅ ๐น๐น ๏ฟฝ ๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น ๐๐๐๐ ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ = ๏ฟฝ {๐น๐น} ๐๐๐๐ = ๏ฟฝ ๐ฆ๐ฆ ๏ฟฝ ๐๐ ๐น๐น๐ง๐ง ๏ฟฝ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ = ๏ฟฝ [๐ก๐ก๐๐ ] ๐๐๐๐ = ๏ฟฝ [๐๐] × {๐๐} ๐๐๐๐ = ๏ฟฝ ๐๐๐๐๐๐ ([๐๐]) ๐๐๐๐ = ๐ก๐ก๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐ก๐ก๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐ก๐ก = ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐ก๐ก๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ ๐ด๐ด ๐ก๐ก๐ง๐ง๐ง๐ง ๐ก๐ก๐ง๐ง๐ง๐ง ๏ฟฝ ๐๐๐ง๐ง ๐ด๐ด ๐๐ ๐๐ โก ๏ฟฝ๐๐๐๐ โค โข๐๐ โฅ โข ๏ฟฝ๐๐๐๐โฅ ๐๐๐๐ = ๏ฟฝ [๐๐] × {๐๐} ๐๐๐๐ ๐๐ โข ๐๐ โฅ ๏ฟฝ โฃ ๐๐๐๐ โฆ ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๏ฟฝ ๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น ๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ = ๏ฟฝ {๐๐} ๐๐๐๐ = ๏ฟฝ ๐ฆ๐ฆ ๏ฟฝ ๐ด๐ด ๐๐๐ง๐ง ๏ฟฝ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ = [๐ก๐ก๐๐ ] = [๐๐] × {๐๐} Un sistema viene quindi definito staticamente ammissibile quando: ๏ฟฝ [๐๐] × {๐๐} = โ {๐น๐น} [๐๐] × {๐๐} = {๐๐} Sistema cinematicamente ammissibile: Un sistema composto da una deformazione [ฮต] e uno spostamento [ฮท] si dice cinematicamente ammissibile quando: ๐๐ โก ๏ฟฝ๐๐๐๐ โค 1 โโข๐๐ โฅ [๐ข๐ข ๏ฟฝ × 2 โโข ๐๐๐๐โฅ โข ๐๐ โฅ ๏ฟฝ โโฃ ๐๐๐๐ โฆ ๐ฃ๐ฃ Quindi scrivibile come Con ๐ข๐ข ๐ค๐ค] + ๏ฟฝ ๐ฃ๐ฃ ๏ฟฝ × ๏ฟฝ๐๐๏ฟฝ๐๐๐๐ ๐ค๐ค ๐๐๏ฟฝ ๐๐๐๐ ๐๐๏ฟฝ ๏ฟฝโ = [๐๐] ๐๐๐๐ โ โ 1 ({๐๐} โ {๐๐}๐๐ + {๐๐}{๐๐}๐๐ ) = [๐๐] 2 1 ๐๐๐ฅ๐ฅ [๐๐] = ๏ฟฝ2 ๐พ๐พ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ 1 ๐พ๐พ 2 ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ 1 ๐พ๐พ 2 ๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ฆ๐ฆ 1 ๐พ๐พ 2 ๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ 1 ๐พ๐พ 2 ๐ง๐ง๐ง๐ง 1 ๐พ๐พ 2 ๐ง๐ง๐ง๐ง ๐๐๐ง๐ง ๏ฟฝ ๐๐ ๐ข๐ข {๐๐} = ๏ฟฝ ๐ฃ๐ฃ ๏ฟฝ ๐ค๐ค Notare che affinché un sistema sia cinematicamente ammissibile non sono posti vincoli traslazionali o rotazionali, in quanto sono contributi di moto rigido e pertanto limitati esclusivamente dai vincoli esterni. Nella definizione della matrice deformativa [ฮต], si può notare che la traccia costituisce le dilatazioni lineari del solido lungo le tre direzioni, mentre gli altri termini sono gli scorrimenti angolari nei vari piani che il corpo subisce. ------------------------------------------------------------------ Principio dei Lavori Virtuali (PLV) per corpi deformabili: Definendo ๐๐๐ฅ๐ฅ โก ๐๐๐ฆ๐ฆ โค โข ๐๐ โฅ ๐ง๐ง {๐๐} = โข๐พ๐พ โฅ โข ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ โฅ โข ๐พ๐พ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ โฅ โฃ๐พ๐พ๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ โฆ ๐๐ ๐๐๐ฅ๐ฅ โก ๐๐๐ฆ๐ฆ โค โข ๐๐ โฅ ๐ง๐ง {๐๐} = โข๐๐ โฅ โข ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ โฅ โข ๐๐๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ โฅ โฃ๐๐๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ โฆ E si abbia un sistema di forze esterne staticamente ammissibile {Fa} , {pa} con tensioni {ฯa}, ed un sistema di spostamenti e deformazioni {ฮตb} , {ฮทb} cinematicamente ammissibile, allora il principio dei valori virtuali, che esprime lโuguaglianza del lavoro delle forze interne con quello delle forze esterne, si può scrivere ๏ฟฝ {๐๐๐๐ }๐๐ × {๐๐๐๐ } ๐๐๐๐ = ๏ฟฝ {๐น๐น๐๐ }๐๐ × {๐๐๐๐ } ๐๐๐๐ + ๏ฟฝ {๐๐๐๐ }๐๐ × {๐๐๐๐ } ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ด๐ด Sancendo di fatto la possibilità di scrivere il lavoro interno di deformazione come prodotto scalare tra vettore tensione e vettore deformazione. Per ottenere il caso di corpo rigido, basta porre uguale a 0 il primo termine (deformazioni nulle). ------------------------------------------------------------------ Teorema di Kirchhoff o di Unicità della Soluzione: โUn sistema di sollecitazioni {F} , {p} , {ฮท0} può generare una sola risposta deformativa/tensionale {ฮทa} , {ฮตa} , {ฯa}.โ ------------------------------------------------------------------ Teorema di Clapeyron: โPer un corpo elastico lineare, il lavoro di deformazione compiuto da un sistema di forze {F} , {p} che genera un campo di spostamento staticamente e cinematicamente ammissibile senza effetti dinamici è: 1 1 ๏ฟฝ {๐น๐น}๐๐ {๐๐} ๐๐๐๐ + ๏ฟฝ {๐๐}๐๐ {๐๐} ๐๐๐๐ 2 ๐ด๐ด 2 ๐๐ Con le rispettive condizioni di calcolo, può essere applicato ad ogni caso: ad esempio, se si sta trattando la deformazione di una trave, non si hanno forze {p} di superficie e il primo integrale di volume diventa un integrale di linea. ------------------------------------------------------------------ Teorema di Betti: โIl lavoro di deformazione compiuto da due sistemi di forze ({F} , {p}) chiamati A e B, applicati in successione A๏ B è: Mentre in successione B๏ A è: ๐ฟ๐ฟ๐๐+๐๐ = ๐ฟ๐ฟ๐๐ + ๐ฟ๐ฟ๐๐ + ๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐ ๐ฟ๐ฟ๐๐+๐๐ = ๐ฟ๐ฟ๐๐ + ๐ฟ๐ฟ๐๐ + ๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐ Questi due lavori sono uguali solo quando lโultimo termine (cioè il lavoro mutuo) è identico: questo accade solo se i due sistemi di forza A e B sono energeticamente ortogonali, cosa che avviene quando i sistemi di forze presentano una simmetria interna. Se questo non avviene, allora non si può ritenere valido il principio di sovrapposizione degli effetti per quanto concerne il lavoro di deformazione. Rimane invece sempre applicabile (in caso di materiale elastico lineare) per gli spostamenti, per le deformazioni e per le tensioni.โ ------------------------------------------------------------------ Legame costitutivo elastico: Cioè in forma compatta ๐๐ ๐ธ๐ธ 1 ๐ธ๐ธ ๐๐ โ ๐ธ๐ธ 1 โก โข ๐ธ๐ธ ๐๐ โขโ ๐๐๐ฅ๐ฅ โข ๐ธ๐ธ โก ๐๐๐ฆ๐ฆ โค โข ๐๐ โข ๐๐ โฅ โขโ ๐ง๐ง โข โฅ = โข ๐ธ๐ธ โข๐พ๐พ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ โฅ โข 0 โข ๐พ๐พ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ โฅ โข โฃ๐พ๐พ๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ โฆ โข 0 โข โข โฃ 0 ๐๐ ๐ธ๐ธ ๐๐ โ ๐ธ๐ธ 1 ๐ธ๐ธ โ โ 0 0 0 0 0 0 0 1 ๐บ๐บ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ๐บ๐บ 0 0โค โฅ 0โฅ โฅ โฅ 0โฅ โฅ 0โฅ โฅ 0โฅ โฅ 1โฅ ๐บ๐บ โฆ ๐๐๐ฅ๐ฅ โก ๐๐๐ฆ๐ฆ โค โข ๐๐ โฅ โข ๐ง๐ง โฅ โข๐๐๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ โฅ โข ๐๐๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ โฅ โฃ๐๐๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ โฆ {๐๐} = [๐ป๐ป]โ1 {๐๐} La relazione inversa è scrivibile invece come: 1 โ ๐๐ โก 1 โข โ 2๐๐ โข ๐๐ ๐๐๐ฅ๐ฅ โข1 โ 2๐๐ โก ๐๐๐ฆ๐ฆ โค โข ๐๐ 1 โข ๐๐๐ง๐ง โฅ โข โข โฅ = โข1 โ 2๐๐ ๐๐ 2๐บ๐บ โข ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ โฅ โข 0 โข ๐๐๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ โฅ โข ๐๐ โฃ ๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ โฆ โข 0 โข โข โฃ 0 ๐๐ 1 โ 2๐๐ 1 โ ๐๐ 1 โ 2๐๐ ๐๐ 1 โ 2๐๐ ๐๐ 1 โ 2๐๐ ๐๐ 1 โ 2๐๐ 1 โ ๐๐ 1 โ 2๐๐ 0 0 0 0 ๐บ๐บ = 0 ๐๐๐ฅ๐ฅ โก ๐๐๐ฆ๐ฆ โค โข ๐๐ โฅ โข ๐ง๐ง โฅ โข๐พ๐พ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ โฅ โข ๐พ๐พ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ โฅ โฃ๐พ๐พ๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ โฆ ๐ธ๐ธ 2 ( 1 + ๐๐ ) ๐ธ๐ธ > 0 ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐: ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐: ------------------------------------------------------------------ 0 0 0โค โฅ 0 0 0โฅ โฅ โฅ 0 0 0โฅ โฅ 1 0 0โฅ 2 โฅ 1 0 0โฅ 2 โฅ 1โฅ 0 0 2โฆ 0 โ 1 < ๐๐ < 0 < ๐๐ < 1 2 1 2 Equazioni Cardinali della Statica: ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก: ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐: ๏ฟฝ{๐ญ๐ญ} = ๐๐ ๏ฟฝ{๐๐} โ {๐ญ๐ญ} = ๐๐ โ โ {๐น๐น} = ๐๐ {๐ด๐ด} = ๐๐ ------------------------------------------------------------------ Solido & Ipotesi di De Saint-Venant: Solido: โUn solido di Saint-Venant è una volume cilindrico, con un asse rettilineo Z, i cui punti costituiscono ciascuno il baricentro di una sezione ortogonale a tale asse. La sua sezione è costante ed è costituito da un materiale elastico, lineare, isotropo ed omogeneo.โ Ipotesi: โA sufficiente distanza da ciascuna base del solido di Saint-Venant, lo stato deformativo e tensionale dipende soltanto dalla risultante {R} delle forze agenti sulla base medesima e dal momento risultante {M} delle forze rispetto al baricentro di tale base.โ Applicabilità: affinché la teoria di De Saint-Venant sia valida, il solido deve possedere una snellezza sufficiente a far valere tale trattazione. In genere, si ritiene soddisfatta quando la dimensione Z è almeno nellโordine di 5 volte superiore alle altre dimensioni. ------------------------------------------------------------------ Problema di De Saint-Venant: Il problema di Saint-Venant è un caso particolare del problema elastico: le equazioni necessarie a risolverlo sono le: โข โข โข โข Equazioni Statiche Equazioni Cinematiche Equazioni Costitutive [๐๐] × {๐๐} = โ {๐น๐น} 1 ({๐๐} โ {๐๐}๐๐ + {๐๐}{๐๐}๐๐ ) = [๐๐] 2 {๐๐} = [๐ป๐ป]โ1 {๐๐} Ipotesi semplificative e Condizioni al Contorno: Il solido è sollecitato solo sulle basi esclusivamente da forze di superficie. Le condizioni al contorno sono quindi: ๐ต๐ต๐ต๐ต๐ต๐ต๐ต๐ต ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐: ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ฅ๐ฅ ๏ฟฝ๐๐๐ฆ๐ฆ ๏ฟฝ = ๏ฟฝ๐ก๐ก๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ง๐ง ๐ก๐ก๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ: ๐๐๐ฅ๐ฅ 0 ๏ฟฝ0๏ฟฝ = ๏ฟฝ๐ก๐ก๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ ๐ก๐ก๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ 0 ๐๐๐ฅ๐ฅ = ๐๐๐ฆ๐ฆ = 0, ๐ก๐ก๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐ก๐ก๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ ๐ก๐ก๐ง๐ง๐ง๐ง 0 ๐ก๐ก๐ง๐ง๐ง๐ง ๏ฟฝ ๏ฟฝ0๏ฟฝ ๐๐๐ง๐ง 1 ๐๐๐ง๐ง = 0, ๐ก๐ก๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐ก๐ก๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ง๐ง = 1 ๐๐๐ฅ๐ฅ = ๐๐๐ฆ๐ฆ = 1 ๐ก๐ก๐ง๐ง๐ง๐ง 1 ๐ก๐ก๐ง๐ง๐ง๐ง ๏ฟฝ ๏ฟฝ1๏ฟฝ ๐๐๐ง๐ง 0 ------------------------------------------------------------------ Legame fra Spostamenti e Tensioni, Curvatura e Rotazioni Il legame costitutivo elastico, applicato ad un sistema cinematicamente ammissibile, dà luogo ad una correlazione diretta fra spostamenti e tensioni applicate: per rendere più facilmente enunciabile tale relazione, si scriverà in termini di vettori spostamento e vettori tensione (anche se in realtà sono tensori): ๐๐ โก ๐๐๐๐ โข โข0 โข โข โข0 โข ๐๐ โข๐๐๐๐ โข ๐๐ โข โข ๐๐๐๐ โข0 โฃ 0 ๐๐ ๐๐๐๐ 0 ๐๐ ๐๐๐๐ 0 ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ธ๐ธ 1 ๐ธ๐ธ ๐๐ โ ๐ธ๐ธ 1 0โค โก โฅ โข ๐ธ๐ธ ๐๐ 0โฅ โขโ โฅ โข ๐ธ๐ธ ๐๐ โฅ โข ๐๐ ๐ข๐ข โฅ โขโ ๐ธ๐ธ ๐๐๐๐ ๐ฃ๐ฃ ๏ฟฝ ๏ฟฝ = โข โฅ 0 โฅ ๐ค๐ค โข 0 โข โฅ ๐๐ โข 0 โฅ โข ๐๐๐๐ โฅ โข ๐๐ โฅ โฃ 0 ๐๐๐๐โฆ โ 0 ๐๐ ๐ธ๐ธ ๐๐ โ ๐ธ๐ธ 1 ๐ธ๐ธ โ 0 0 ------------------------------------------------------------------ 0 0 0 0 0 0 1 ๐บ๐บ 0 0 0 0 0 0 1 ๐บ๐บ 0 0โค โฅ 0โฅ โฅ โฅ 0โฅ โฅ 0โฅ โฅ 0โฅ โฅ 1โฅ ๐บ๐บ โฆ ๐๐๐ฅ๐ฅ โก ๐๐๐ฆ๐ฆ โค โข ๐๐ โฅ โข ๐ง๐ง โฅ โข๐๐๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ โฅ โข ๐๐๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ โฅ โฃ๐๐๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ โฆ Sforzo Normale centrato, eccentrico, Flessione Retta, Deviata, Presso-Tenso-Flessione Centro di sollecitazione โCโ: punto in cui se applico uno sforzo normale N ottengo ad uno stato di sollecitazione composto da N, Mx e My. È anche possibile data una terna sollecitante trovare il centro di sollecitazione. La sua distanza dal baricentro G è espressa da ex ed ey: Sforzo Normale Centrato: ๐๐๐ฅ๐ฅ = ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐๐๐ฆ๐ฆ = โ ๐๐๐ฅ๐ฅ = ๐๐๐ฆ๐ฆ = 0 ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐ Flessione Retta (solo Mx , ma potrebbe essere anche solo My con gli opportuni cambi di variabile e indice): ๐๐ = ๏ฟฝ ๐๐๐ง๐ง ๐๐๐๐ = 0 ๐ด๐ด ๐๐๐ฅ๐ฅ = ๏ฟฝ ๐๐๐ง๐ง ๐ฆ๐ฆ ๐๐๐๐ โ 0 ๐ด๐ด Flessione Deviata (cioè somma di due flessioni rette): ๐๐ = ๏ฟฝ ๐๐๐ง๐ง ๐๐๐๐ = 0 ๐ด๐ด ๐๐๐ฅ๐ฅ = ๏ฟฝ ๐๐๐ง๐ง ๐ฆ๐ฆ ๐๐๐๐ โ 0 ๐ด๐ด ๐๐๐ฆ๐ฆ = ๏ฟฝ ๐๐๐ง๐ง ๐ฅ๐ฅ ๐๐๐๐ โ 0 ๐ด๐ด Presso-Tenso-Flessione Deviata (somma di flessione deviata e uno sforzo normale centrato: il tutto corrisponde complessivamente ad uno sforzo normale eccentrico): ๐๐ = ๏ฟฝ ๐๐๐ง๐ง ๐๐๐๐ โ 0 ๐ด๐ด ๐๐๐ฅ๐ฅ = ๏ฟฝ ๐๐๐ง๐ง ๐ฆ๐ฆ ๐๐๐๐ โ 0 ๐ด๐ด Equazione di Navier: ๐๐๐ฆ๐ฆ = ๏ฟฝ ๐๐๐ง๐ง ๐ฅ๐ฅ ๐๐๐๐ โ 0 ๐ด๐ด ๐๐ = ๐๐ ๐๐๐ฅ๐ฅ โ ๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ฆ๐ฆ โ ๐ฅ๐ฅ + + ๐ฝ๐ฝ๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ ๐ฝ๐ฝ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ ๐ด๐ด Per piccoli spostamenti di un solido di Saint-Venant (condizione che si considera soddisfatta quando il solido di De Saint-Venant è sufficientemente snello) e sotto lโipotesi di conservazione delle sezioni piane, si ha: Dove: โข โข ๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ = ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐๐๐ = ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐๐๐ ๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐ฅ๐ฅ ๐๐๐๐๐ฆ๐ฆ = ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐๐ = ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐๐ ๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ฅ๐ฅ = ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ฅ๐ฅ = ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ฅ๐ฅ è lโangolo di rotazione del punto dovuto ad un momento ๐๐๐ฅ๐ฅ (e viceversa per la rotaz. Y) ๐๐๐ฅ๐ฅ è la curvatura prodotta dalla flessione ๐๐๐ฅ๐ฅ (e viceversa per la rotaz. Y) Si può facilmente applicare anche a un ๐๐๐ฆ๐ฆ quanto detto sopra. Momento limite di una sezione: è unโapplicazione dellโequazione di Navier, ed è definito come il prodotto di una tensione limite moltiplicato il modulo di resistenza della sezione stessa: questo permette di capire direttamente dal momento sollecitante (se vale il principio di sovrapposizione degli effetti) il comportamento della sezione sotto quella sollecitazione: Momento elastico limite: Momento ultimo limite: ๐๐๐๐๐๐,๐ฆ๐ฆ = ๐๐๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ โ ๐๐๐๐๐๐,๐ฆ๐ฆ ๐๐๐๐๐๐,๐ฆ๐ฆ = ๐๐๐ข๐ข,๐ฆ๐ฆ = ๐๐๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ โ ๐๐๐๐๐๐,๐ฆ๐ฆ Il modulo di resistenza elastico è definito come quanto scritto prima, cioè è il rapporto fra il momento dโinerzia rispetto ad un asse e la massima distanza di un punto della sezione da tale asse, mentre il modulo di resistenza plastico è definito come la somma dei momenti statici rispetto allโasse interessato. ------------------------------------------------------------------ Torsione La torsione è una sollecitazione che tende a far ruotare una sezione attorno al proprio asse: è causata da unโeccentricità del taglio rispetto al centro di torsione. È possibile, dato che è energeticamente ortogonale al taglio, trattare le due sollecitazioni separatamente e sommarne gli effetti. Si definisce: โข โข ฯ = funzione di ingobbamento (è una costante nel caso di torsione primaria, come quella che viene trattata di seguito, mentre è variabile nel caso di torsione secondaria o di Vlasov-Timoshenko; è una funzione armonica, cioè ha il laplaciano nullo) (xc, yc) = coordinate del centro di taglio In particolare si ha (C = contorno della sezione): ๐ฅ๐ฅ๐๐ = โ ๐ฆ๐ฆ๐๐ = โ 1 ๏ฟฝ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐ด๐ด ๐ถ๐ถ 1 ๏ฟฝ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐ด๐ด ๐ถ๐ถ Si definisce inoltre lโangolo unitario di torsione, cioè lโangolo di le sezioni terminali della trave (solido snello) ruotano relativamente: ๐๐ = ๐๐๐ง๐ง ๐บ๐บ ๐ผ๐ผ๐ก๐ก Dove It è il fattore di rigidezza torsionale, al più uguale al momento dโinerzia polare della sezione (caso di sezione circolare): La tensione agente sulla sezione è: ๐ผ๐ผ๐ก๐ก = ๏ฟฝ (๐ฅ๐ฅ 2 + ๐ฆ๐ฆ 2 + ๐ฅ๐ฅ ๐ด๐ด ๐๐๐ง๐ง๐ง๐ง = ๐๐๐ง๐ง๐ง๐ง = ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ โ ๐ฆ๐ฆ ) ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐ง๐ง ๐๐๐๐ โ (๐ฆ๐ฆ โ ๐ฆ๐ฆ๐๐ )๏ฟฝ ๏ฟฝ ๐ผ๐ผ๐ก๐ก ๐๐๐๐ ๐๐๐ง๐ง ๐๐๐๐ + (๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ๐๐ )๏ฟฝ ๏ฟฝ ๐ผ๐ผ๐ก๐ก ๐๐๐๐ La trattazione generale però risulta complessa da applicare, e la torsione risulta un parametro particolarmente importante nelle sezioni sottili, pertanto si fa riferimento a due tipologie di casi per la torsione: le sezioni aperte e le sezioni sottili chiuse. ------------------------------------------------------------------ Torsione nelle sezioni aperte โข Circolare: ๐๐ = ๐๐๐ง๐ง ๐บ๐บ ๐ผ๐ผ๐ก๐ก ๐ผ๐ผ๐ก๐ก = ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐๐ โข ๐๐ = Rettangolare (A= ab): ๐๐๐ง๐ง ๐๐ ๐ผ๐ผ๐ก๐ก ๐๐ = ๐ ๐ 4 2 ๐๐๐ง๐ง ๐บ๐บ ๐ผ๐ผ๐ก๐ก ๐ผ๐ผ๐ก๐ก = ๐ฝ๐ฝ ๐๐ ๐๐ 3 ๐๐๐ง๐ง๐ง๐ง = a/b ฮฒ 1 0.141 ๐๐๐ง๐ง๐ง๐ง = 1.5 0.196 ๐๐๐ง๐ง ๐ฆ๐ฆ ๐ผ๐ผ๐ก๐ก ๐๐๐ง๐ง ๐ฅ๐ฅ ๐ผ๐ผ๐ก๐ก 2 0.229 3 0.263 10 0.312 โ 1/3 Sezione composta da più rettangoli: Si un nuovo coefficiente di rigidezza torsionale complessivo e un coefficiente di ripartizione torsionale: ๐ผ๐ผ๐ก๐ก ๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก = ๏ฟฝ ๐ผ๐ผ๐ก๐ก ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐. ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ = ๐ผ๐ผ๐ก๐กโฒ = Ogni rettangolo incassa una quota di Mz pari a ๐ผ๐ผ๐ก๐ก ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ผ๐ผ๐ก๐ก ๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก ๐๐๐ง๐งโฒ = ๐๐๐ง๐ง ๐ผ๐ผ๐ก๐กโฒ Dopodiché, si tratta ogni rettangolo singolarmente, sicuri che la rotazione ฮธ di tutta la sezione è uguale per ogni rettangolo. ------------------------------------------------------------------ Torsione nelle sezioni sottili chiuse: La trattazione della torsione nelle sezioni sottili chiuse si basa sullโanalogia idrodinamica, e cioè che le tensioni torsionali sono come un flusso la cui portata è costante in ogni tratto della sezione: ne consegue, che a spessori maggiori corrisponderanno tensioni torsionali minori e viceversa: ๐๐๐ง๐ง๐ง๐ง (๐ ๐ ) โ ๐๐(๐ ๐ ) = ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ In particolare, è valida la formula di Bredt: ๐๐๐ง๐ง๐ง๐ง = ๐๐๐ง๐ง 2 โ ฮฉ โ ๐๐(๐ ๐ ) Dove ฮฉ è lโarea della linea media del profilo sottile. La formula ๐๐ = ๐๐๐ง๐ง ๐บ๐บ ๐ผ๐ผ๐ก๐ก È ancora valida, ma IT ha una formulazione generale indipendente dalla funzione di ingobbamento: ๐ผ๐ผ๐ก๐ก = 4 ฮฉ2 1 โฎฮฉ ๐๐(๐ ๐ ) ๐๐๐๐ Dove il denominatore del secondo termine è il perimetro della linea media pesata sullo spessore: pertanto, se lo spessore varia, lโintegrale di linea sarà la somma delle varie lunghezze divise ciascuna per il rispettivo spessore. Si ha infatti che se lo spessore è costante ๐ผ๐ผ๐ก๐ก = ------------------------------------------------------------------ 4 ฮฉ2 ๐๐ ๐ ๐ Torsione nelle sezioni sottili chiuse con parti aperte: La trattazione è analoga a quelle già viste: โข โข Si scompone il momento torcente totale Mz in due parti, Mz1 in Mz2 in: la parte 1 verrà assorbita dalla parte scatolare mentre la parte 2 dalle parti aperte. Si impone la congruenza angolare ๐๐๐ง๐ง1 ๐๐๐ง๐ง2 ๐๐ = ๐๐1 = ๐๐2 = = ๏ฟฝ ๐บ๐บ ๐ผ๐ผ๐ก๐ก1 ๐บ๐บ ๐ผ๐ผ๐ก๐ก2 ๐๐๐ง๐ง1 + ๐๐๐ง๐ง2 = ๐๐๐ง๐ง Dopodiché si risolve ciascuna parte (1 e 2) separatamente, ottenendo risultati congruenti. ------------------------------------------------------------------ Torsione nelle sezioni sottili chiuse pluriconnesse: In sostanza, non cambia nulla da una sezione sottile chiusa normale, se nonché bisogna identificare il verso di rotazione della sezione ed imporre โlโuguaglianza delle portateโ (intese come tensioni torsionali lungo la linea ortogonale alla linea media) in analogia con lโidrodinamica: cioè, il fluire delle portate attraverso tutte le parti della sezione deve essere in equilibrio. Queste equazioni aggiuntive consentono di calcolare la torsione in ogni parte della sezione. Bisogna fare però particolare attenzione: infatti, una volta definito il verso delle tensioni, in ogni parte singolarmente connessa bisogna far sì che le tensioni fluiscano in maniera coerente, e se il flusso delle tensioni in una zona è contrario rispetto a quello definito, allora anche le tensioni saranno di verso opposto in quel punto. ------------------------------------------------------------------ Taglio Retto e Deviato Il taglio si compone di: sforzo di taglio T, tensione di taglio ฯ e scorrimenti ฮณ. ๐๐๐ฅ๐ฅ = ๐๐๐ฆ๐ฆ = ๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐๐ La tensione di taglio in genere varia specialmente nella direzione del taglio, ma anche ortogonalmente ad esso: questโultima variazione però spesso viene trascurata se non si hanno solidi compatti, e viene trascurata, approssimando il valore sulla corda della sezione ortogonale alla direzione del taglio al valore medio lungo tale corda, considerandolo di fatto costante. Questo è ciò che approssima la formula di Jourawski: ๐๐๐ง๐ง๐ง๐ง = ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ฅ๐ฅ๐ด๐ดโฒ ๐ผ๐ผ๐ฅ๐ฅ ๐๐ Dove Sxaโ è il momento statico di una parte della sezione tagliata dalla corda, mentre b è la lunghezza della corda e Ix è il momento dโinerzia rispetto ad un asse baricentrico parallelo alla corda. In genere tale formula è valida solo per sezioni sottili: negli altri casi infatti si sottostima troppo la tensione di taglio massima e si ricorre ad altri modelli semplificati, come il traliccio di Ritter-Mörsch per il cls. Gli scorrimenti invece valgono: ๐พ๐พ๐ฅ๐ฅ = Dove tx è il fattore di taglio retto. ๐ก๐ก๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐บ๐บ ๐ด๐ด Taglio Deviato Se si ha taglio deviato (cioè composizione di sollecitazioni taglianti Tx e Ty) bisogna considerare sia nella formula di Jourawski che negli scorrimenti angolari: ๐๐๐ง๐ง๐ง๐ง = ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ฅ๐ฅ๐ด๐ดโฒ ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ฆ๐ฆ๐ด๐ดโฒ + ๐ผ๐ผ๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐ผ๐ผ๐ฆ๐ฆ ๐๐ ๐พ๐พ๐ฆ๐ฆ = ๐ก๐ก๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐ก๐ก๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ฆ๐ฆ + ๐บ๐บ ๐ด๐ด ๐บ๐บ ๐ด๐ด ๐พ๐พ๐ฅ๐ฅ = ๐ก๐ก๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐ก๐ก๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ฅ๐ฅ + ๐บ๐บ ๐ด๐ด ๐บ๐บ ๐ด๐ด Dove in più alla trattazione retta txy è il fattore mutuo, che viene dal teorema di Betti. Per le sezioni più comuni, il fattore mutuo di taglio è uguale a 0: infatti, se la sezione presenta almeno un asse di simmetria, esso si annulla. I fattori di taglio retto invece non si annullano mai, e dipendono unicamente dalla geometria della sezione: Tipo di sezione Rettangolare Fattore di taglio retto 6 5 10 9 Circolare Circolare cava sottile Doppio T oppure Scatolare โ 2 ๐ด๐ด ๐ด๐ด๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ Espressioni complete (โต = ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ) ๐๐๐ฆ๐ฆ2 ๐ด๐ด ๐๐๐๐ ๐ก๐ก๐ฅ๐ฅ = 2 ๏ฟฝ ๐ผ๐ผ๐ฆ๐ฆ โต ๐๐ ๐ก๐ก๐ฆ๐ฆ = ๐ก๐ก๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ = ----------------------------------------------------------------- ๐ด๐ด ๐๐๐ฅ๐ฅ2 ๏ฟฝ ๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ๐ฅ๐ฅ2 โต ๐๐ ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐ด๐ด ๏ฟฝ ๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ๐ฆ๐ฆ ๐ผ๐ผ๐ฅ๐ฅ โต ๐๐ Problema della trave (asse rettilineo z) alla De Saint-Venant tridimensionale โ Equazioni matriciali finali: q= carichi distribuiti ortogonali alla trave p= carichi distribuiti assiali alla trave m= momenti distribuiti (flettenti (x,y) e torcenti(z)) sulla trave ๐๐ โก โข๐๐๐๐ โข0 โข โข โข0 โข โข0 โข โข1 โข โข โฃ0 ๐๐ โก โข๐๐๐๐ โข0 ๐พ๐พ๐ฅ๐ฅ โข โก ๐พ๐พ๐ฆ๐ฆ โค โข โข ๐๐ โฅ โข 0 โข ๐ง๐ง โฅ = โข โข๐๐๐ฅ๐ฅ โฅ โข๐๐๐ฆ๐ฆ โฅ โข 0 โฃ ๐๐ โฆ โข โข0 โข โข โฃ0 0 ๐๐ ๐๐๐๐ 0 0 โ1 0 ๐๐ ๐๐๐๐ 0 0 0 0 ๐๐ ๐๐๐๐ 0 0 0 0 ๐๐ ๐๐๐๐ 0 0 0 0 0 ๐๐ ๐๐๐๐ 0 0 0 0 0 0 0 ๐ก๐ก๐ฅ๐ฅ ๐ก๐ก๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ โก ๐ด๐ด ๐บ๐บ ๐ด๐ด โข๐บ๐บ ๐ก๐ก๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ ๐ก๐ก๐ฆ๐ฆ โข ๐พ๐พ๐ฅ๐ฅ โข๐บ๐บ ๐ด๐ด ๐บ๐บ ๐ด๐ด โก ๐พ๐พ๐ฆ๐ฆ โค โข 0 โข ๐๐ โฅ โข 0 ๐ง๐ง โข โฅ=โข โข๐๐๐ฅ๐ฅ โฅ 0 0 โข๐๐๐ฆ๐ฆ โฅ โข โฃ ๐๐ โฆ โข 0 โข 0 โข โข 0 0 โฃ 1 0 0 0 0 0 0 ๐๐ ๐๐๐๐ โ1 0 0 ๐๐ ๐๐๐๐ 0 0 0 1 ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ 0 0 ๐๐ ๐๐๐๐ 0 ๐ข๐ข โก ๐ฃ๐ฃ โค โข ๐ค๐ค โฅ โข โฅ โข๐๐๐ฅ๐ฅ โฅ โข๐๐๐ฆ๐ฆ โฅ โฃ ๐๐๐ง๐ง โฆ 0โค โฅ 0 โฅ ๐๐ ๐๐๐ฅ๐ฅ โฅ โก ๐ฅ๐ฅ โค โก ๐๐๐ฆ๐ฆ โค โฅ โข ๐๐๐ฆ๐ฆ โฅ 0 โฅ ๐๐ โข ๐๐ โฅ โข โฅ + โข โฅ= โฅ ๐๐๐ฅ๐ฅ โข๐๐๐ฅ๐ฅ โฅ 0 โฅ โข๐๐ โฅ โข๐๐๐ฆ๐ฆ โฅ ๐ฆ๐ฆ โฅโข โฅ โฃ ๐๐๐ง๐ง โฆ โฃ ๐๐๐ง๐ง โฆ 0โฅ โฅ ๐๐ โฅ ๐๐๐๐โฆ 0 0 0 0 0 1 ๐ธ๐ธ๐ผ๐ผ๐ฆ๐ฆ 0 0 1 ๐ธ๐ธ๐ผ๐ผ๐ฅ๐ฅ 0 0 0 0 0โค โฅ 0โฅ โฅ โฅ 0โฅ โฅ 0โฅ โฅ 0โฅ โฅ ๐๐ โฅ ๐๐๐๐โฆ 0 0 0 0 โก0โค โข โฅ โข0โฅ โข0โฅ โข0โฅ โฃ0โฆ 0 โค โฅ 0 โฅ โฅ ๐๐๐ฅ๐ฅ โก โค 0 โฅ โข ๐๐๐ฆ๐ฆ โฅ โฅ ๐๐ โข โฅ โฅ 0 โข๐๐๐ฅ๐ฅ โฅ โฅ โข๐๐๐ฆ๐ฆ โฅ โฅ 0 โฅ โฃ ๐๐๐ง๐ง โฆ โฅ 1 โฅ ๐บ๐บ๐ผ๐ผ๐ก๐ก โฆ Energia di deformazione (se presente asse di simmetria -> fattore mutuo = 0 -> valido Princ. Sovrapp. Eff.) ๐๐ ๐ก๐ก๐ฅ๐ฅ ๐ก๐ก๐ฅ๐ฅ 2 ๐ก๐ก๐ฅ๐ฅ 1 2 1 1 1 ๐ ๐ ๐ ๐ = ๏ฟฝ ๐๐๐ฅ๐ฅ 2 + ๐๐๐ฅ๐ฅ 2 + ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ฆ๐ฆ + ๐๐ + ๐๐๐ฅ๐ฅ 2 + ๐๐๐ฆ๐ฆ 2 + ๐๐ 2 ๏ฟฝ ๐บ๐บ ๐ด๐ด ๐บ๐บ ๐ด๐ด ๐๐ ๐บ๐บ ๐ด๐ด ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ ๐ธ๐ธ๐ผ๐ผ๐ฅ๐ฅ ๐ธ๐ธ๐ผ๐ผ๐ฆ๐ฆ ๐บ๐บ๐ผ๐ผ๐ก๐ก ๐ง๐ง ๐ ๐ ๐ ๐ ----------------------------------------------------------------- Problema della trave (asse rettilineo z) alla De Saint-Venant โ Equazioni matriciali finali: q= carichi distribuiti ortogonali alla trave p= carichi distribuiti assiali alla trave m= momento distribuito flettente sulla trave ๐๐ โก ๐พ๐พ๐ฆ๐ฆ โข๐๐๐๐ ๏ฟฝ ๐๐๐ง๐ง ๏ฟฝ = โข 0 โข ๐๐๐ฅ๐ฅ โข โฃ0 ๐๐ โก 0 โข ๐๐๐๐ ๐๐ โข0 ๐๐๐๐ โข โข โฃโ1 0 0 ๐๐ ๐๐๐๐ 0 1โค โฅ ๐ฃ๐ฃ 0 โฅ ๏ฟฝ ๐ค๐ค ๏ฟฝ โฅ ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐ โฅ ๐๐๐๐โฆ 0โค โฅ ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐ โฅ ๐๐ ๏ฟฝ = + ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๏ฟฝ ๐๐ 0 โฅ ๐๐ ๐๐ ๐ฅ๐ฅ ๐๐ โฅ ๐๐๐๐โฆ ๐ก๐ก๐ฆ๐ฆ 0 โก ๐พ๐พ๐ฆ๐ฆ โข๐บ๐บ ๐ด๐ด 1 ๏ฟฝ ๐๐๐ง๐ง ๏ฟฝ = โข 0 ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ โข ๐๐๐ฅ๐ฅ โข 0 0 โฃ ----------------------------------------------------------------- 0 ๏ฟฝ0๏ฟฝ 0 0 โค โฅ ๐๐๐ฆ๐ฆ 0 โฅ ๏ฟฝ ๐๐ ๏ฟฝ โฅ 1 โฅ ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐ธ๐ธ๐ผ๐ผ๐ฅ๐ฅ โฆ Problema della trave (asse curvilineo z) alla De Saint-Venant โ Equazioni matriciali finali: q= carichi distribuiti ortogonali alla trave p= carichi distribuiti assiali alla trave m= momento distribuito flettente sulla trave ๐๐ โก ๐พ๐พ๐ฆ๐ฆ โข๐๐๐๐ 1 ๏ฟฝ ๐๐๐ง๐ง ๏ฟฝ = โข โข ๐๐ ๐๐๐ฅ๐ฅ โข โฃ0 ๐๐ 1 โก โข ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ โข1 โข ๐๐ ๐๐๐๐ โข โฃโ1 0 1 ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ โ 0 1โค โฅ ๐ฃ๐ฃ 0 โฅ ๏ฟฝ ๐ค๐ค ๏ฟฝ โฅ ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐ โฅ ๐๐๐๐โฆ 0โค โฅ ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐ 0 โฅ 0 ๏ฟฝ ๐๐ ๏ฟฝ + ๏ฟฝ ๐๐ ๏ฟฝ = ๏ฟฝ0๏ฟฝ โฅ ๐๐ ๐๐ 0 ๐ฅ๐ฅ ๐๐ โฅ ๐๐๐๐โฆ ๐ก๐ก๐ฆ๐ฆ 0 โก ๐บ๐บ ๐ด๐ด ๐พ๐พ๐ฆ๐ฆ โข 1 ๏ฟฝ ๐๐๐ง๐ง ๏ฟฝ = โข 0 ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ โข ๐๐๐ฅ๐ฅ โข 0 0 โฃ ----------------------------------------------------------------- 0 โค โฅ ๐๐๐ฆ๐ฆ 0 โฅ ๏ฟฝ ๐๐ ๏ฟฝ โฅ 1 โฅ ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐ธ๐ธ๐ผ๐ผ๐ฅ๐ฅ โฆ Equazione Differenziale della Linea Elastica (travi ad asse rettilineo): Lโequazione della linea elastica si può ritenere valida quando si tratta una trave ad asse rettilineo. v= freccia verticale, cioè abbassamento verticale di un punto A rigore, si ha una freccia dovuta sia alle sollecitazioni taglianti e una freccia dovuta alle sollecitazioni flettenti: tuttavia, le prime sono proporzionali alla lunghezza della trave, mentre le seconde sono proporzionali alla terza o quarta potenza della lunghezza; pertanto, la freccia totale può essere approssimata a quella dovuta ai momenti flettenti (ipotesi semplificativa di Eulero). Freccia (reale) ๐ฃ๐ฃ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ = ๐ฃ๐ฃ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ + ๐ฃ๐ฃ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ Taglio (che verrà trascurato, perché utilizziamo la trattazione di Eulero-Bernoulli, nella trave di Timoshenko non viene trascurato): ๐๐๐ฃ๐ฃ ๐๐ = ๐พ๐พ๐ฆ๐ฆ ๐๐๐๐ Equazione approssimata (no taglio) Momento Flettente: ๐๐๐ฃ๐ฃ ๐๐ = โ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐๐๐ โ ๐๐ 2 ๐ฃ๐ฃ ๐๐ ๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐2 ๐ฃ๐ฃ = โ = โ๐๐ = โ โ ๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ง๐ง 2 ๐๐๐๐ ๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ง๐ง 2 Cioè lโequazione che regge il legame costitutivo e la congruenza, trascurando lโapporto del taglio. Scrivendo lโequazione di equilibrio alla traslazione e rotazione di un concio elementare di una trave semplicemente appoggiata e caricata con un carico distribuito q=costante (almeno su dz) e un carico assiale p si ha: โง๏ฟฝ ๐น๐น๐ฅ๐ฅ โ ๐๐ โ ๐๐ = 0 โช โช๏ฟฝ ๐น๐น๐ฆ๐ฆ โ ๐๐(๐ง๐ง) โ ๐๐ ๐๐๐๐ โ ๐๐(๐ง๐ง) โ ๐๐๐๐(๐ง๐ง) = 0 ๐๐๐ง๐ง 2 โจ๏ฟฝ ๐๐๐๐ โ โ๐๐(๐ง๐ง) โ ๐๐(๐ง๐ง)๐๐๐๐ โ ๐๐ ๐๐๐๐ + ๐๐ + ๐๐(๐ง๐ง) + ๐๐๐๐(๐ง๐ง) = 0 2 โช ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐2 ๐ฃ๐ฃ โช โ โ โฉ ๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ง๐ง 2 Risolvendo il sistema (si trascurano gli infinitesimi di grado superiore al primo), si ottiene lโequazione di Eulero: ๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐ฅ๐ฅ โ ๐๐4 ๐ฃ๐ฃ ๐๐2 ๐ฃ๐ฃ + ๐๐ โ โ ๐๐(๐ง๐ง) = 0 ๐๐๐ง๐ง 4 ๐๐๐ง๐ง 2 Si è ottenuta lโequazione della linea elastica con effetti del secondโordine. Si hanno quindi più tipologie di equazioni della linea elastica: ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ โฒ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐: ๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐ฅ๐ฅ โ ๐๐4 ๐ฃ๐ฃ ๐๐2 ๐ฃ๐ฃ + ๐๐ โ โ ๐๐(๐ง๐ง) = 0 ๐๐๐ง๐ง 4 ๐๐๐ง๐ง 2 ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ โฒ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐: ๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐ฅ๐ฅ โ ๐๐4 ๐ฃ๐ฃ โ ๐๐(๐ง๐ง) = 0 ๐๐๐ง๐ง 4 ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐: ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐2 ๐ฃ๐ฃ =โ 2 ๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ง๐ง Per ottenere la freccia totale di un sistema statico, è sufficiente integrare una delle equazioni sopra scritte: in base al problema che si ha in oggetto, si usa la prima (che è sempre corretta) o la seconda (solo se non si hanno carichi assiali rilevanti). In ogni caso, conviene sempre riferirsi ad un equazione differenziale di secondo grado: quindi si tende a sostituire la derivata quarta con la derivata seconda del momento, e sostituire il termine N/(E Iz) con ฮฑ se si considerano gli effetti del secondo ordine, oppure utilizzare il legame costitutivo-congruenza se non si considerano gli effetti del secondโordine: ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ โฒ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐: ๐๐2 ๐ฃ๐ฃ ๐๐(๐ง๐ง) ๐๐2 ๐๐๐ฅ๐ฅ + ๐ผ๐ผ โ =0 ๐๐๐ง๐ง 2 ๐๐๐ง๐ง 2 ๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐ฅ๐ฅ La soluzione di questโequazione ha una forma del tipo: ๐ฃ๐ฃ(๐ง๐ง) = ๐ด๐ด cos(๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ) + ๐ต๐ต sin(๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ) + ๐ฅ๐ฅ๐๐ Dove xp è una soluzione particolare. In genere ha una forma del tipo ๐ฅ๐ฅ๐๐ = ๐ถ๐ถ๐ถ๐ถ + ๐ท๐ท + ๐ธ๐ธ โ ๐๐(๐ง๐ง) Se q=costante, la freccia assume la forma ๐๐๐ง๐ง 2 ๐ฃ๐ฃ(๐ง๐ง) = ๐ด๐ด cos(๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ) + ๐ต๐ต sin(๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ) + ๐ถ๐ถ๐ถ๐ถ + ๐ท๐ท + 2๐๐ Il valore delle costanti è determinato dalle condizioni al contorno. È necessario arrivare fino alla derivata quarta per determinare tutte le costanti A, B, C, D, E. Nei casi notevoli, la freccia è definita come Forza / Rigidezza: una volta calcolata la freccia infatti, si ottiene una funzione freccia che dipende solo dalla forza applicata. Gli abbassamenti del caso quindi dipendono unicamente da questa, essendo la rigidezza definita dalle caratteristiche geometriche della trave e dalle condizioni al contorno. Risoluzione di un equazione differenziale di 2° grado omogenea: โข โข โข ๐๐ ๐๐2 ๐ฃ๐ฃ(๐ง๐ง) ๐๐๐๐(๐ง๐ง) + ๐๐ + ๐๐ ๐ฃ๐ฃ(๐ง๐ง) = 0 2 ๐๐๐๐ ๐๐๐ง๐ง Scrivo il polinomio caratteristico (cioè sostituisco i differenziali con una variabile dello stesso ordine) ๐๐๐๐2 + ๐๐ ๐๐ + ๐๐ = 0 Trovo le radici del polinomio caratteristico In base a quante radici reali ha ho delle soluzioni standard dellโequazione differenziale di secondo grado: RADICI REALI 2 distinte 2 coincidenti nessuna DELTA RADICI SOLUZIONE DELLโEQUAZ. DIFF. >0 =0 ฮป 1 โ ฮป2 ฮป 1 = ฮป2 <0 ฮป 1,2 = ฮฑ ± iฮฒ ๐ฃ๐ฃ(๐ง๐ง) = ๐ถ๐ถ1 ๐๐ ๐๐1 + ๐ถ๐ถ2 ๐๐ ๐๐2 ๐ฃ๐ฃ(๐ง๐ง) = (๐ถ๐ถ1 + ๐ถ๐ถ2 )๐๐ ๐๐ ๐ฃ๐ฃ(๐ง๐ง) = ๐๐ ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ (๐ถ๐ถ1 cos(๐ฝ๐ฝ๐ฝ๐ฝ) + ๐ถ๐ถ2 sin(๐ฝ๐ฝ๐ฝ๐ฝ)) Per trovare la freccia in un punto, quindi, basta risolvere lโomogenea associata alla rispettiva equazione della linea elastica e, aggiungere la curvatura alla soluzione omogenea. Questo corrisponde ad una traslazione della soluzione dellโequazione differenziale. Risoluzione di un equazione differenziale di 1° grado omogenea: โข ๐๐๐๐(๐ง๐ง) + ๐๐(๐ง๐ง) โ ๐ฃ๐ฃ(๐ง๐ง) = ๐๐(๐ง๐ง) ๐๐๐๐ Moltiplico ambo i membri per una funzione ๐๐ โ๐ด๐ด(๐ง๐ง) Dove A(z) è una primitiva di a(z) โข โข Raggruppo tutto nella forma Integro e scrivo la costante C ๏ฟฝ๐๐ โ๐ด๐ด(๐ง๐ง) โ ๐ฃ๐ฃ(๐ง๐ง)๏ฟฝ = ๐๐ โ๐ด๐ด(๐ง๐ง) ๐๐(๐ง๐ง) ๐๐๐๐ ----------------------------------------------------------------- Criterio di resistenza di Von Mises (materiali duttili): La tensione ideale massima di Von Mises deve essere inferiore a quella ammissibile: 2 + 3๐๐ 2 + 3๐๐ 2 โค ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = ๏ฟฝ๐๐๐ฅ๐ฅ2 + ๐๐๐ฆ๐ฆ2 + ๐๐๐ง๐ง2 โ ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ง๐ง โ ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ฅ๐ฅ โ ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ง๐ง + 3๐๐๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ ๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ ๐๐๐๐๐๐ In genere, è utilizzato soprattutto per lโacciaio, e si pone ๐๐๐ง๐ง = 0, pertanto il criterio diventa 2 โค ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = ๏ฟฝ๐๐๐ฅ๐ฅ2 + ๐๐๐ฆ๐ฆ2 โ ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ฅ๐ฅ + 3๐๐๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ ๐๐๐๐๐๐ ----------------------------------------------------------------- Criterio di resistenza di Mohr-Coulomb (materiali fragili): I cerchi di Mohr che caratterizzano la sollecitazione del solido devono essere al più tangenti alla retta: |๐๐๐๐๐๐๐๐ | = ๐๐ โ ๐๐ tan(๐๐) Dove ๐๐ è lโangolo di attrito interno, c è la coesione e ฯ è la tensione normale sul piano. In realtà è possibile anche sostituire la retta con una funzione più complicata ed attendibile (criterio di Coulomb). ----------------------------------------------------------------- Teorema Statico dellโanalisi limite: La struttura non perviene al collasso sotto un sistema di carichi in corrispondenza del quale esista un insieme di azioni interne in equilibrio con i carichi ed allโinterno del dominio di ammissibilità. ----------------------------------------------------------------- Teorema Cinematico dellโanalisi limite: La struttura certamente collassa sotto un sistema di carichi a cui è associata una potenza esterna più grande della potenza dissipata in corrispondenza ad un potenziale meccanismo di collasso. Riassunto formule generali: ๐๐ = ๏ฟฝ ๐๐๐ง๐ง ๐๐๐๐ โ 0 ๐ด๐ด ๐๐๐ฅ๐ฅ = ๏ฟฝ ๐๐๐ง๐ง ๐ฆ๐ฆ ๐๐๐๐ โ 0 ๐ด๐ด Jourawski: ๐๐๐ฅ๐ฅ = ๐๐๐ฆ๐ฆ = ๏ฟฝ ๐๐๐ง๐ง ๐ฅ๐ฅ ๐๐๐๐ โ 0 ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐๐๐ง๐ง๐ง๐ง = ๐พ๐พ๐ฅ๐ฅ = ๐ด๐ด ๐๐๐ฆ๐ฆ = โ ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ฅ๐ฅ๐ด๐ดโฒ ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ฆ๐ฆ๐ด๐ดโฒ + ๐ผ๐ผ๐ฅ๐ฅ ๐๐ ๐ผ๐ผ๐ฆ๐ฆ ๐๐ ๐ก๐ก๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐ก๐ก๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ฅ๐ฅ + ๐บ๐บ ๐ด๐ด ๐บ๐บ ๐ด๐ด ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐ ๐พ๐พ๐ฆ๐ฆ = Torsione Sez. Rettangolare: ๐ก๐ก๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐ก๐ก๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ฆ๐ฆ + ๐บ๐บ ๐ด๐ด ๐บ๐บ ๐ด๐ด ๐๐ = ๐๐๐ง๐ง ๐บ๐บ ๐ผ๐ผ๐ก๐ก ๐ผ๐ผ๐ก๐ก = ๐ฝ๐ฝ ๐๐ ๐๐ 3 ๐๐๐ง๐ง๐ง๐ง = a/b ฮฒ 1 0.141 1.5 0.196 ๐๐๐ง๐ง๐ง๐ง = ๐๐๐ง๐ง ๐ฆ๐ฆ ๐ผ๐ผ๐ก๐ก ๐๐๐ง๐ง ๐ฅ๐ฅ ๐ผ๐ผ๐ก๐ก 2 0.229 3 0.263 10 0.312 โ 1/3 ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ (๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ) โ ๐๐2 ๐ฃ๐ฃ ๐๐๐ฅ๐ฅ โ ๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ง๐ง 2 ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ โฒ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ (๐๐๐๐๐๐è ๐ผ๐ผ โ 0): ๐๐2 ๐ฃ๐ฃ ๐๐(๐ง๐ง) ๐๐2 ๐๐๐ฅ๐ฅ + ๐ผ๐ผ โ =0 ๐๐๐ง๐ง 2 ๐๐๐ง๐ง 2 ๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐ฅ๐ฅ ๐ผ๐ผ = Se q=costante ๐๐ ๐ธ๐ธ ๐ผ๐ผ๐ฅ๐ฅ ๐ฃ๐ฃ(๐ง๐ง) = ๐ด๐ด cos(๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ) + ๐ต๐ต sin(๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ) + ๐ถ๐ถ๐ถ๐ถ + ๐ท๐ท + Momento elastico limite: Momento ultimo limite: ๐๐๐๐๐๐,๐ฆ๐ฆ = ๐๐๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ โ ๐๐๐๐๐๐,๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ง๐ง 2 2๐๐ ๐๐๐๐๐๐,๐ฆ๐ฆ = ๐๐๐ข๐ข,๐ฆ๐ฆ = ๐๐๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ โ ๐๐๐๐๐๐,๐ฆ๐ฆ Il modulo di resistenza elastico è definito come quanto scritto prima, cioè è il rapporto fra il momento dโinerzia rispetto ad un asse e la massima distanza di un punto della sezione da tale asse, mentre il modulo di resistenza plastico è definito come la somma dei momenti statici rispetto allโasse interessato. Criterio di Von Mises 2 + 3๐๐ 2 + 3๐๐ 2 โค ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = ๏ฟฝ๐๐๐ฅ๐ฅ2 + ๐๐๐ฆ๐ฆ2 + ๐๐๐ง๐ง2 โ ๐๐๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ง๐ง โ ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ฅ๐ฅ โ ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ง๐ง + 3๐๐๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ ๐ฆ๐ฆ๐ฆ๐ฆ ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ ๐๐๐๐๐๐ Criterio di Mohr-Coulomb |๐๐๐๐๐๐๐๐ | = ๐๐ โ ๐๐ tan(๐๐)