20090416_Esercizi_Pa..

Matematica Finanziaria A - corso part time
esercizi - 16 Aprile 2009
1. Un tizio che possiede 700 euro sta considerando quale, tra i due investimenti A e B, è migliore
per lui in termini di VAN
progetto A
progetto B
scadenze (in anni)
700
700
0
400
450
1
400
348
2
(a) Supponendo che il costo opportunità del capitale del tizio (ovvero il tasso di interesse
annuo a cui il tizio può investire il denaro da lui posseduto in alternativa agli investimenti
proposti) è i = 0:05, determinare quale investimento è da preferire.
(b) Supponendo che il costo opportunità non sia noto, determinare quale tasso x rende i due
progetti indi¤erenti, in termini di VAN.
(c) determinare il tasso interno di rendimento dei due investimenti e stabilire quale investimento è migliore secondo il criterio del TIR.
2. Un tizio vuole comperarsi un pc nuovo che costa 800 euro. Ha due alternative: ricorrere allo
scoperto sul suo conto corrente o chiedere un …nanziamento al venditore. Nel primo caso la
banca imputa al tizio interessi passivi annui pari a 0:08. Nel secondo i ‡ussi che caratterizzano
il …nanziamento sono
…nanziamento
scadenze (in anni)
800
0
200
1/12
200
2/12
200
3/12
300
4/12
(a) Usando il criterio del VAN, determinare quale forma di …nanziamento è da preferire.
(b) Subito dopo aver pagato la prima rata il tizio vede un pc più bello del suo e decide di
vendere quello che ha per comperare l’altro. Il …nanziatore accetta di chiudere in anticipo il
…nanziamento a patto che il tizio paghi le rate ancora da corripondere in un’unica soluzione
al tempo 1/12. L’importo da rimborsare equivale al valore attuale delle rate ancora da
pagare attualizzate al tasso annuo pari al 0:05. Determinare i ‡ussi che caratterizzano il
…nanziamento così modi…cato ed il relativo tasso interno di costo.
3. Una società sta considerando un investimento che prevede un ‡usso iniziale (t = 0) in uscita di
2 500 euro. I manager prevedono che i ‡ussi in entrata ottenuti dall’investimento saranno pari
a 400 euro all’anno in perpetuo.
(a) Ipotizzando per comodità che i ‡ussi in entrata futuri avvengano alle scadenze t = 1;
2; 3; ::: stabilire, in base al criterio del Valore Attuale Netto, se il lancio del prodotto è
pro…ttevole. Il costo opportunità del capitale per la società è i = 0:05.
(b) Determinare in quanto tempo il progetto raggiunge il punto di pareggio, ovvero determinare la scadenza s tale per cui detto
Gs (i) =
a0 +
s
X
k=1
ak
(1 + i)k
il valore attuale netto dell’operazione considerando i ‡ussi …no alla scadenza s si ha che
Gs (i) < 0 e Gs+1 (i) > 0.
1
(c) Determinare il tasso interno di rendimento dell’investimento.
(d) Rappresentare gra…camente il VAN dell’investimento in funzione del costo opportunità del
capitale.
4. Un tizio ha a disposizione 500 dollari che tiene investiti in un conto corrente remunerato ad un
tasso annuo pari a 0:01. Un promotore …nanziario propone al tizio il seguente investimento:
‡usso
scadenza (in anni)
500
0
100
1
200
2
100
3
100
4
300
5
(a) Secondo il criterio del VAN l’investimento è conveniente per il tizio?
(b) Un secondo promotore …nanziario propone al tizio un investimento alternativo:
‡usso
scadenza (in anni)
500
0
1
300
2
3
a4
4
Quanto deve valere il ‡usso a4 di quest’ultimo investimento a¢ nché, in termini di VAN,
questo e l’investimento precedente siano indi¤erenti per il tizio?
(c) Il secondo promotore …nanziario propone ad una zia, molto ricca, del tizio lo stesso investimento dove il ‡usso a4 è quello determinato al punto precedente. Sapendo che questa zia ha
denaro su¢ ciente per intraprendere l’investimento e sapendo che il suo costo opportunità
di capitale è 0:16, determinare se l’investimento è pro…ttevole per la cara zietta.
5. Un investimento ha come ‡ussi
‡usso
scadenza (in anni)
500
0
200
1
250
2
a3
3
Quanto deve valere a3 a¢ nchè il tasso interno di rendimento dell’operazione sia pari a 0:06?
2
Matematica Finanziaria A - corso part time
soluzioni - 16 Aprile 2009
1. I due VAN sono
GA (0:05) =
700 +
400
400
= 43:76
+
1:05 1:052
GB (0:05) =
700 +
450
348
= 44:22
+
1:05 1:052
Dato che GB (0:05) > GA (0:05) e che GB (0:05) > 0;l’investimento da preferire è B.
Se il tasso non è noto, i due VAN diventano
GA (x) =
700 +
400
400
+
1 + x (1 + x)2
GB (x) =
700 +
450
348
+
1 + x (1 + x)2
Ponendo GA (x) = GB (x) si ha l’equazione
700 +
400
400
=
+
1 + x (1 + x)2
700 +
450
348
+
1 + x (1 + x)2
ovvero, sempli…cando,
50
52
+
= 0:
1 + x (1 + x)2
1
25
Ponendo adesso y = 1+x
, l’equazione diventa 50y + 52y 2 = 0 e le sue radici sono y1 = 26
e
1
25
y2 = 0. Sostituendo la prima radice per ricavare il tasso x si ha l’equazione 1+x = 26 da cui
1
= 0:04. Usando la seconda radice, invece, si ha l’equazione, senza soluzione,
si ricava x = 25
1
=
0.
1+x
I tassi interni dei due investimenti si ricavano risolvendo le equazioni
700 +
400
400
+
=0
1 + xA (1 + xA )2
700 +
450
348
+
=0
1 + xB
(1 + xB )2
1
1
2 + 400y
ponendo yA = 1+x
700 = 0 e
e yB = 1+x
, le equazioni diventano 400yA
A
A
B
2
348yB + 450yB 700 = 0. La prima ha radici 0:91421, 1:9142, la seconda 0:91214, 2:2052.
1
Sostituendo per ricavare xA e xB si ottiene che da 0:91421 = 1+x
si ricava xA = 0:09384 e
A
1
da 0:91214 = 1+xB si ottiene, invece, xB = 0:096323: L’operazione B è da preferire alla A in
quanto ha un tasso interno di rendimento maggiore.
2. Il VAN del …nanziamento, usando come costo opportunità del capitale il tasso di indebitamento,
è
200
200
200
300
G (0:08) = 800
84:76
1
2
3
4 =
1:08 12
1:08 12
1:08 12
1:08 12
Dato che il VAN risulta negativo al tizio conviene usare lo scoperto di conto corrente.
Il valore attuale in 1=12 delle rate ancora da corrispondere è
200
1:05
1
12
+
200
1:05
2
12
+
300
3
= 693:93
1:05 12
e quindi i ‡ussi del …nanziamento estinto in anticipo sono
…nanziamento
scadenze (in anni)
800
0
200 693:93
1/12
Il tasso interno di costo del …nanziamento si ricava risolvendo l’equazione 800
vale x = 2:7893:
3
893:93
1
(1+x) 12
=0e
3. Il VAN dell’investimento è
G (0:05) =
2 500 +
+1
X
400
=
1:05k
k=1
=
2 500 +
L’investimento è quindi pro…ttevole.
Dalla successione
G1 (0:05) =
G2 (0:05) =
2 500 + 400 a1j0:05 =
400
= 5 500 > 0
0:05
2 500 +
400
=
1:05
2 119:05,
400
400
+
= 2 500 + 400 a2j0:05 =
1:05 1:052
G3 (0:05) = 2 500 + 400 a3j0:05 = 1 410:70,
2 500 +
1 756:24,
si ricava che G7 (0:05) = 185:45 e G8 (0:05) = 85:28. Di conseguenza il punto di pareggio si
colloca tra l’anno 7 e l’anno 8.
Tenendo presente quanto ricavato sopra, l’equazione per determinare il tasso interno di rendimento è
400
2 500 +
= 0.
x
Risolvendola si ricava x = 0:16:
Dato che G (i) = 2 500 + 400
i , il gra…co è
G(i)
5000
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
i
4. Il VAN per il tizio è
100
200
100
100
300
+
+
+
+
= 273:67
1:01 1:012 1:013 1:014 1:015
ed essendo positivo suggerisce ad tizio di accettare l’investimento.
Il valore di a4 che rende i due VAN indi¤erenti è 499.05 e s’ottiene risolvendo l’equazione
a4
300
500 +
+
= 273:67
2
1:01
1:014
Il VAN dell’operazione per la zia ricca è
499:05
300
+
= 1:43
GM B (0:16) = 500 +
2
1:16
1:164
essendo il VAN negativo, l’operazione non risulta, per quest’ultima, pro…ttevole.
G (0:01) =
500 +
5. Il criterio del tasso interno dice che va determinato quel tasso x tale per cui il VAN della
operazione sia nullo:
200
250
a3
500 +
+
+
= 0.
2
1 + x (1 + x)
(1 + x)3
In questo caso il TIR è noto e quindi, sostituendo, si resta l’equazione
200
250
a3
500 +
+
+
=0
1:06 1:062 1:063
che ha soluzione a3 = 105:788.
4