Appunti: Introduzione all`analisi wavelet

Transcript

Seminario
Wavelet
Seminario Wavelet
martedì 16 marzo 2010
[/50]
Indice
 Fourier Transform
 Short-time Fourier Transform
 Continuous Wavelet Transform
 Discrete Wavelet Transform
 Applicazioni
 Fusione di immagini multirisoluzione
 Compressione
 Denoising
…
Seminario Wavelet
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Introduzione
 La Trasformata Wavelet è uno strumento matematico semplice
adatto all’analisi numerica di segnali (suoni ed immagini)
 La WT nacque nei primi anni ’80 ed inizialmente fu utilizzata per
la rappresentazione di segnali sismici
 La teoria matematica fu formulata rigorosamente a metà degli anni ’80
Seminario Wavelet
[/50]
Fourier Transform (FT)
La FT è applicata a segnali per ottenere ulteriori informazioni che
altrimenti non sarebbero individuabili nel dominio temporale (spaziale).
FT
Inverse FT
Il valore della FT in fo è uguale al prodotto tra il segnale x(t) e
l’esponenziale valutato in fo integrato su tutto l’asse temporale
Seminario Wavelet
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Il segnale viene rappresentato con un insieme di funzioni base
(esponenziali complessi) a differenti frequenze.
Funzioni base:
e1
…
x
eo
e2
Seminario Wavelet
[/50]
Funzioni base:
e1
…
x
eo
e2
Seminario Wavelet
Esempio: l’onda quadra può
essere espressa
come somma infinita
di coseni con
opportune ampiezze
e fasi
[/50]
Funzioni base:
e1
x
…
eo
e2
essere espressa
come somma infinita
di coseni con
opportune ampiezze
e fasi
f1
Seminario Wavelet
[/50]
Funzioni base:
e1
x
…
essere espressa
come somma infinita
di coseni con
opportune ampiezze
e fasi
eo
e2
f1
Seminario Wavelet
f1,f2
[/50]
Funzioni base:
e1
x
…
essere espressa
come somma infinita
di coseni con
opportune ampiezze
e fasi
eo
e2
f1
Seminario Wavelet
f1,f2
f1,f2,f3
[/50]
Funzioni base:
e1
x
…
essere espressa
come somma infinita
di coseni con
opportune ampiezze
e fasi
eo
e2
f1
f1,f2
f1,f2,f3 ,f4
f1,f2,f3
…
Seminario Wavelet
[/50]
 La FT è utilizzata con successo nell’elaborazione di segnali
FT
Segnale
Filtraggio
Filtro
Seminario Wavelet
Segnale filtrato
[/50]
 La FT è utilizzata con successo nell’elaborazione di segnali
FT
Segnale
Filtraggio
Filtro
Segnale filtrato
 La FT è utilizzata con successo nell’elaborazione di immagini
Filtraggio
Segnale
Seminario Wavelet
Segnale filtrato
[/50]
Problema:
Seminario Wavelet
[/50]
Problema:
Seminario Wavelet
[/50]
Problema:
FT
Seminario Wavelet
[/50]
Problema:
FT
Seminario Wavelet
[/50]
Problema:
FT
Seminario Wavelet
[/50]
Problema:
FT
Seminario Wavelet
[/50]
Problema:
FT
FT
Seminario Wavelet
[/50]
Problema:
FT
FT
Perché le rappresentazioni spettrali dei due segnali sono simili ?
Seminario Wavelet
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Nella FT si perde ogni indicazione temporale.
L’integrazione sull’asse temporale è da – infinito a + infinito e quindi viene
soltanto determinato se su una certa componente frequenziale è presente
oppure no, ma non dove essa è presente nel tempo.
In altre parole, se la frequenza fo appare soltanto all’istante t1, oppure soltanto
all’istante t2, non ci saranno differenze nel calcolo della FT.
La FT non è adatta a rappresentare segnali non stazionari, cioè segnali con
componenti frequenziali variabili nel tempo.
La FT ha senso soltanto se il segnale è
stazionario con componenti frequenziali
costanti nel tempo
L’informazione in frequenza non è
dipendente da dove le componenti
appaiono nel tempo
Seminario Wavelet
[/50]
Short-Time Fourier Transform (STFT)
Quale è il problema della FT?
Non funziona correttamente per segnali non stazionari.
Seminario Wavelet
[/50]
Short-Time Fourier Transform (STFT)
Quale è il problema della FT?
Non funziona correttamente per segnali non stazionari.
Supponiamo che il segnale non stazionario sia stazionario su
intervalli regolari. E’ possibile allora applicare la FT su tali
intervalli senza generare ambiguità.
Seminario Wavelet
[/50]
 La STFT fornisce una rappresentazione tempo-frequenza
 Si applica una finestra temporale sul segnale e si prende la FT
 La base adesso è data da funzioni complesse finestrate con
lunghezza finita (a supporto compatto)
Finestra
Seminario Wavelet
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Seminario Wavelet
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STFT
Seminario Wavelet
[/50]
STFT
Seminario Wavelet
[/50]
STFT
Seminario Wavelet
[/50]
STFT
Seminario Wavelet
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STFT
STFT
Seminario Wavelet
[/50]
STFT
STFT
Seminario Wavelet
[/50]
STFT
STFT
Seminario Wavelet
[/50]
STFT
STFT
Seminario Wavelet
[/50]
STFT
STFT
Seminario Wavelet
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Problema:
quanto deve essere ampia la finestra?
 Finestra stretta ⇒ buona risoluzione nel tempo, cattiva risoluzione in frequenza
 Finestra ampia ⇒ buona risoluzione in frequenza, cattiva risoluzione nel tempo
Nella FT(x(t)) risoluzione frequenziale infinita ma risoluzione temporale nulla.
Per x(t) risoluzione frequenziale nulla, ma risoluzione temporale infinita.
La perfetta risoluzione in frequenza di FT(x(t)) è dovuta alla finestra infinita
data dall’esponenziale complesso.
Nella STST la finestra è di durata finita e quindi è possibile avere una cattiva
localizzazione del segnale trasformato.
Seminario Wavelet
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Risoluzione in frequenza
Seminario Wavelet
Risoluzione nel tempo
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Cattiva localizzazione frequenziale
 Buona localizzazione temporale
 In grado di rilevare componenti ad
alta frequenza
Seminario Wavelet
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Cattiva localizzazione frequenziale
 Buona localizzazione temporale
Cattiva localizzazione temporale
 Buona localizzazione frequenziale
 In grado di rilevare componenti ad  In grado di rilevare componenti a
alta frequenza
Seminario Wavelet
bassa frequenza
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Seminario Wavelet
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Sinusoide a frequenza
Seminario Wavelet
f0
[/50]
Seminario Wavelet
[/50]
Seminario Wavelet
f1
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Seminario Wavelet
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Seminario Wavelet
f2
[/50]
Seminario Wavelet
[/50]
Seminario Wavelet
f3
[/50]
Seminario Wavelet
[/50]
f0> f1> f2> f3
Seminario Wavelet
[/50]
STFT
f0> f1> f2> f3
Seminario Wavelet
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STFT
f0> f1> f2> f3
L’ampiezza della finestra viene variata
dal parametro a ed è così calcolata la
STFT in quattro diverse situazioni
Seminario Wavelet
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Seminario Wavelet
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Seminario Wavelet
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Cattiva localizzazione in frequenza
Seminario Wavelet
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Buona localizzazione nel tempo
Seminario Wavelet
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Seminario Wavelet
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Migliore localizzazione in frequenza
Seminario Wavelet
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Peggiore localizzazione
nel tempo
Migliore localizzazione in frequenza
Seminario Wavelet
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Seminario Wavelet
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Seminario Wavelet
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Buona localizzazione in frequenza
Seminario Wavelet
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Seminario Wavelet
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Seminario Wavelet
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Pessima localizzazione temporale
Seminario Wavelet
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Tassellazione del piano frequenza-tempo
Al variare del tempo e della frequenza, le risoluzioni temporali e
le risoluzioni frequenziali rimangono costanti.
Seminario Wavelet
[/50]
Continuous Wavelet Transform (CWT)
Nella STFT, sono presenti dei limiti di rappresentazione dovuti alla
larghezza non variabile della finestra.
Seminario Wavelet
[/50]
Continuous Wavelet Transform (CWT)
Nella STFT, sono presenti dei limiti di rappresentazione dovuti alla
larghezza non variabile della finestra.
Analizziamo il segnale con una funzione modulante a
larghezza variabile.
con
Seminario Wavelet
la funzione wavelet
[/50]
 Correlazione tra x e ψ*
 Wavelet significa onda piccola
 ψ*(t) è la Wavelet madre (s=1)
 τ indica la traslazione sull’asse temporale della Wavelet
 s è il parametro di scala ed è concettualmente simile alla scala utilizzata
nelle mappe
Alte scale
visioni globali del segnale non dettagliate temporalmente
Basse scale
visioni dettagliate del segnale nel tempo
Seminario Wavelet
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Finestra di lunghezza finita
Funzione oscillante
nelle mappe
Alte scale
Basse scale
Seminario Wavelet
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Funzione oscillante
nelle mappe
Alte scale
Basse scale
Che cosa succede al variare del parametro di scala s ?
s aumenta
Espansione Wavelets
Seminario Wavelet
[/50]
Funzione oscillante
nelle mappe
Alte scale
Basse scale
s aumenta
Espansione Wavelets
Seminario Wavelet
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Funzione oscillante
nelle mappe
Alte scale
Basse scale
s aumenta
Espansione Wavelets
Seminario Wavelet
[/50]
Funzione oscillante
nelle mappe
Alte scale
Basse scale
s aumenta
Espansione Wavelets
Seminario Wavelet
s diminuisce
Compressione Wavelets
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Funzione oscillante
nelle mappe
Alte scale
Basse scale
s aumenta
Espansione Wavelets
Seminario Wavelet
s diminuisce
[/50]
Funzione oscillante
nelle mappe
Alte scale
Basse scale
s aumenta
Espansione Wavelets
Seminario Wavelet
s diminuisce
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Interpretazione della CWT
Fissato τ1 ed s1
Prodotto
Seminario Wavelet
[/50]
Fissato τ1 ed s1
Prodotto
Seminario Wavelet
[/50]
Fissato τ1 ed s1
Prodotto
Seminario Wavelet
[/50]
Fissato τ1 ed s1
Prodotto
Seminario Wavelet
[/50]
Fissato s1 ,τ varia da –infinito a +infinito
Seminario Wavelet
[/50]
Seminario Wavelet
[/50]
Seminario Wavelet
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Seminario Wavelet
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Fissato τ1 , s varia da –infinito a +infinito
Seminario Wavelet
[/50]
Seminario Wavelet
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Seminario Wavelet
[/50]
Seminario Wavelet
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 Il parametro di scala è inversamente proporzionale alla frequenza
 Per valori di s elevati, le Wavelets sono molto ampie, equivalente ad analizzare
il segnale ad bassa frequenza
 Per valori di s piccoli, le Wavelets sono molto strette, equivalente ad analizzare
il segnale ad alta frequenza
FT
Seminario Wavelet
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FT
Seminario Wavelet
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FT
Seminario Wavelet
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FT
Seminario Wavelet
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FT
Seminario Wavelet
[/50]
FT
Seminario Wavelet
[/50]
FT
Seminario Wavelet
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Seminario Wavelet
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CWT
Seminario Wavelet
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CWT
S=100
Seminario Wavelet
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CWT
S=100
Seminario Wavelet
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CWT
S=100
Seminario Wavelet
S=20
[/50]
CWT
S=100
Seminario Wavelet
S=20
[/50]
CWT
S=100
Seminario Wavelet
S=20
S=10
[/50]
CWT
S=100
Seminario Wavelet
S=20
S=10
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Seminario Wavelet
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Introduzione di uno “spike”
Seminario Wavelet
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CWT
Seminario Wavelet
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CWT
Viene individuata una componente in alta frequenza (bassa scala)
Seminario Wavelet
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CWT
Viene individuata una componente in alta frequenza (bassa scala)
 Per fattori di scala piccoli, otteniamo una buona risoluzione temporale ma
una cattiva risoluzione in frequenza
 Per fattori di scala elevati, otteniamo una cattiva risoluzione temporale ed
una buona risoluzione in frequenza
Seminario Wavelet
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Tassellazione del piano frequenza-tempo
 A basse frequenze, altezze dei rettangoli
piccole, ma basi ampie (alta risoluzione in
frequenza e bassa risoluzione nel tempo)
 Bassa risoluzione ad alta frequenza, ma
alta risoluzione temporale
 Le aree di ogni rettangolo sono sempre le stesse (uguali porzioni del piano
frequenza tempo, ma differenti proporzioni)
Valori delle aree limitati inferiormente da π/4
Seminario Wavelet
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CWT
Seminario Wavelet
Processo di analisi Wavelet
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CWT
Inverse CWT
Seminario Wavelet
Processo di sintesi Wavelet
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CWT
Inverse CWT
E’ possibile ricostruire x(t) purché siano verificate le condizioni di ammissibilità:


Seminario Wavelet
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CWT
Inverse CWT

Funzione oscillante
a media nulla

Seminario Wavelet
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CWT
Inverse CWT


Seminario Wavelet
[/50]
CWT
Inverse CWT
Filtro passa-banda


Seminario Wavelet
[/50]
Problema:
i PC sono utilizzati per la maggior parte dei calcoli.
La CWT può essere calcolata in pratica utilizzando
analiticamente equazioni, integrali, ecc…
Seminario Wavelet
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Problema:
i PC sono utilizzati per la maggior parte dei calcoli.
La CWT può essere calcolata in pratica utilizzando
analiticamente equazioni, integrali, ecc…
E’ perciò necessario discretizzare la CWT.
Come campionare il piano s-τ ?
Seminario Wavelet
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Discrete Wavelet Transform (DWT)
E’ possibile applicare un campionamento costante su τ ed s, ma non
è il migliore in quanto è ridondante.
Seminario Wavelet
[/50]
Utilizziamo un campionamento variabile
Seminario Wavelet
[/50]
Basse scale (alte frequenze), passo di
campionamento piccolo
Seminario Wavelet
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Seminario Wavelet
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Alte scale (basse frequenze), passo di
campionamento grande
Seminario Wavelet
[/50]
Seminario Wavelet
[/50]
Campionamento del logaritmo del
fattore di scala costante
Seminario Wavelet
[/50]
Seminario Wavelet
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Rappresentazione diadica
Seminario Wavelet
[/50]
 Da si ad si+1 il passo di

Seminario Wavelet
campionamento si raddoppia (il
numero di punti si dimezza)
Per ogni valore di scala fissato,
deve essere comunque rispettato
il criterio di Nyquist
[/50]
 Da si ad si+1 il passo di

campionamento si raddoppia (il
numero di punti si dimezza)
Per ogni valore di scala fissato,
deve essere comunque rispettato
il criterio di Nyquist
s
Seminario Wavelet
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

Seminario Wavelet
[/50]


DWT per segnali a tempo continuo
Seminario Wavelet
DWT per sequenze
[/50]


Seminario Wavelet
DWT per sequenze
[/50]


Seminario Wavelet
DWT per sequenze
[/50]


Seminario Wavelet
DWT per sequenze
[/50]


Seminario Wavelet
DWT per sequenze
[/50]
Analisi Multirisoluzione (MRA) per sequenze
 La DWT può essere rappresentata tramite l’implementazione iterativa di
due filtri passa-alto (g(n)) e passa-basso (h(n)) a mezza banda

H(z)
2
G(z)
2
Le caratteristiche di scalamento vengono applicate andando a
sottocampionare o sovracampionare i segnali filtrati
x(n)
N
y(n)
x(n)
N
y(n)
Tc di y(t) N volte più grande del Tc di x(t). Tc di y(t) N volte più piccolo del Tc di x(t).
Seminario Wavelet
[/50]

H(z)
2
G(z)
2
x(n)
N
y(n)
x(n)
N
y(n)
Seminario Wavelet
[/50]

H(z)
2
G(z)
2
x(n)
N
y(n)
x(n)
N
y(n)
Seminario Wavelet
[/50]

H(z)
2
G(z)
2
x(n)
N
y(n)
x(n)
N
y(n)
Seminario Wavelet
[/50]

H(z)
2
G(z)
2
x(n)
N
y(n)
x(n)
N
y(n)
Seminario Wavelet
[/50]
H(z)
2
G(z)
2
Seminario Wavelet
[/50]
H(z)
2
G(z)
2
Seminario Wavelet
[/50]
H(z)
2
G(z)
2
Seminario Wavelet
[/50]
H(z)
2
G(z)
2
Livello 1
Seminario Wavelet
[/50]
H(z)
2
G(z)
2
Seminario Wavelet
[/50]
H(z)
2
G(z)
2
Sequenza di approssimazione al livello 1
Seminario Wavelet
[/50]
H(z)
2
G(z)
2
Seminario Wavelet
[/50]
H(z)
2
G(z)
2
Sequenza di dettaglio al livello 1
Seminario Wavelet
[/50]
H(z)
2
G(z)
2
Seminario Wavelet
[/50]
H(z)
2
G(z)
2
Seminario Wavelet
[/50]
H(z)
2
G(z)
2
Seminario Wavelet
[/50]
H(z)
2
G(z)
2
Seminario Wavelet
H(z)
2
G(z)
2
…
[/50]
H(z)
2
G(z)
2
H(z)
2
G(z)
2
…
Livello 2
Seminario Wavelet
[/50]
H(z)
2
G(z)
2
Seminario Wavelet
H(z)
2
G(z)
2
…
[/50]
H(z)
2
G(z)
2
Seminario Wavelet
H(z)
2
G(z)
2
…
[/50]
H(z)
2
G(z)
2
Seminario Wavelet
H(z)
2
G(z)
2
…
[/50]
H(z)
2
G(z)
2
Seminario Wavelet
H(z)
2
G(z)
2
…
[/50]
H(z)
2
G(z)
2
Seminario Wavelet
H(z)
2
G(z)
2
…
[/50]
Rete di Routing
M
U
X
G(z)
H(z)
2
2
RAM


Il numero di punti delle sequenze di dettaglio e di approssimazione si riduce
di un fattore 2 ad ogni passo
Rispetto alla FT non viene persa la localizzazione temporale
Il numero di punti del segnale determina il numero massimo di livelli di
scomposizione
La risoluzione delle sequenze di dettaglio e di approssimazione dipende dal
livello di analisi
Seminario Wavelet
[/50]
MRA per le immagini
Colonne
Righe
H(z)
2
2
H(z)
2
G(z)
G(z)
2
H(z)
2
G(z)
2
Seminario Wavelet
…
[/50]
MRA per le immagini
Colonne
Righe
H(z)
2
2
H(z)
2
G(z)
G(z)
2
H(z)
2
G(z)
2
Seminario Wavelet
…
[/50]
MRA per le immagini
Colonne
Righe
H(z)
2
2
H(z)
2
G(z)
G(z)
2
H(z)
2
G(z)
2
Seminario Wavelet
…
[/50]
MRA per le immagini
Colonne
Righe
H(z)
2
2
H(z)
2
G(z)
G(z)
2
H(z)
2
G(z)
2
Seminario Wavelet
…
[/50]
MRA per le immagini
Colonne
Righe
H(z)
2
2
H(z)
2
G(z)
G(z)
2
H(z)
2
G(z)
2
…
Dett. orizzontale
Dett. verticale
Dett. diagonale
Seminario Wavelet
[/50]
MRA per le immagini
Colonne
Righe
H(z)
2
2
H(z)
2
G(z)
G(z)
2
H(z)
2
G(z)
2
Seminario Wavelet
…
[/50]
MRA per le immagini
Colonne
Righe
H(z)
2
2
H(z)
2
G(z)
G(z)
2
H(z)
2
G(z)
2
…
Immagine
Seminario Wavelet
[/50]
MRA per le immagini
Colonne
Righe
H(z)
2
2
H(z)
2
G(z)
G(z)
2
H(z)
2
G(z)
2
Immagine
Seminario Wavelet
…
Coefficienti 1° Livello
[/50]
MRA per le immagini
Colonne
Righe
H(z)
2
2
H(z)
2
G(z)
G(z)
2
H(z)
2
G(z)
2
Immagine
Seminario Wavelet
…
[/50]
MRA per le immagini
Colonne
Righe
H(z)
2
2
H(z)
2
G(z)
G(z)
2
H(z)
2
G(z)
2
Immagine
…
Ad ogni passo riduzione del numero dei punti di un fattore 4
Seminario Wavelet
[/50]
H(z)
2
G(z)
2
H(z)
2
G(z)
2
Seminario Wavelet
…
[/50]
H(z)
2
G(z)
2
H(z)
2
G(z)
2
Seminario Wavelet
…
H(z)
G(z)
H(z2)
4
G(z2)
4
…
2
[/50]
H(z)
2
G(z)
2
H(z)
2
G(z)
2
…
H(z)
G(z)
H(z2)
4
G(z2)
4
…
2
Verifica
Seminario Wavelet
[/50]
H(z)
2
G(z)
2
H(z)
2
G(z)
2
…
H(z)
G(z)
H(z2)
4
G(z2)
4
…
2
Verifica
…
Seminario Wavelet
[/50]
H(z)
2
G(z)
2
H(z)
2
G(z)
2
…
H(z)
G(z)
H(z2)
4
G(z2)
4
…
2
Verifica
…
Seminario Wavelet
[/50]
H(z)
H(z2)
4
G(z2)
4
G(z)
Seminario Wavelet
…
2
[/50]
H(z)
H(z2)
4
G(z2)
4
G(z)
Seminario Wavelet
2
…
è detta scaling function
[/50]
H(z)
H(z2)
4
G(z2)
4
G(z)
Seminario Wavelet
2
…
[/50]
H(z)
H(z2)
4
G(z2)
4
G(z)
…
2
Codifica in sottobande
Seminario Wavelet
[/50]
H(z)
H(z2)
4
G(z2)
4
G(z)
…
2
…
Seminario Wavelet
[/50]
H(z)
H(z2)
4
G(z2)
4
G(z)
…
2
…
Seminario Wavelet
[/50]
H(z)
H(z2)
4
G(z2)
4
G(z)
…
2
…
Ad ogni passo la banda si riduce di un fattore 2
Seminario Wavelet
[/50]
Processo di sintesi
x(n) può essere perfettamente ricostruito a partire dalle sequenze
di dettaglio e di approssimazione.
Seminario Wavelet
[/50]
Processo di sintesi
2
2
Seminario Wavelet
+
[/50]
Processo di sintesi
2
2
+
2
2
Seminario Wavelet
+
[/50]
Processo di sintesi
2
2
+
2
2
+
Ad ogni livello le sequenze sono
sovracampionate di un fattore 2
Seminario Wavelet
[/50]
Processo di sintesi
2
2
+
2
2
Ad ogni livello le sequenze sono
sovracampionate di un fattore 2
Seminario Wavelet
+
I filtri passa-basso e passa-alto
servono a garantire la ricostruzione
del segnale
[/50]
Alcune applicazioni
 Fusione di immagini multirisoluzione
 Compressione
 Denoising
Seminario Wavelet
[/50]
Fusione di immagini multirisoluzione
Immagine pancromatica (PAN)
ad alta risoluzione spaziale
Seminario Wavelet
Immagini multispettrali (MS)
a bassa risoluzione spaziale
[/50]
Si vuole ottenere una nuova immagine multispettrale le cui bande coincidono,
spettralmente, il più possibile con l’immagine MS ed avente, al tempo stesso, una
risoluzione spaziale confrontabile con quella dell’immagine pancromatica.
Ricostruire cioè un’immagine il più simile possibile a quella che il sensore MS
vedrebbe alla risoluzione dell’immagine PAN.
Seminario Wavelet
[/50]
Si vuole ottenere una nuova immagine multispettrale le cui bande coincidono,
spettralmente, il più possibile con l’immagine MS ed avente, al tempo stesso, una
risoluzione spaziale confrontabile con quella dell’immagine pancromatica.
Ricostruire cioè un’immagine il più simile possibile a quella che il sensore MS
vedrebbe alla risoluzione dell’immagine PAN.


DWT non decimata applicata alle immagine PAN e MS per decorrelare i
coefficienti a bassa ed alta frequenza
Iniezione di componenti a basse scale (alte frequenze) in versioni ricampionate
dell’immagine MS
Seminario Wavelet
[/50]
Seminario Wavelet
[/50]
Seminario Wavelet
[/50]
Seminario Wavelet
[/50]
Seminario Wavelet
[/50]
Seminario Wavelet
[/50]
Seminario Wavelet
[/50]
Seminario Wavelet
[/50]
Seminario Wavelet
[/50]
Seminario Wavelet
[/50]
Seminario Wavelet
[/50]
Compressione
La codifica di un’immagine può essere scomposta logicamente in una succesione
di trasformazioni applicate sequenzialmente
Immagine
originale
Trasformazione
Seminario Wavelet
Quantizzazione
Immagine
compressa
Codifica
[/50]
Compressione
Immagine
originale
Trasformazione
Quantizzazione
Immagine
compressa
Codifica
DCT utilizzata nel formato JPEG
DWT utilizzata nel formato JPEG 2000
DWT con QuadTree Segmentation per
la BANDELET Transform
Seminario Wavelet
[/50]
Compressione
Immagine
originale
Trasformazione
Quantizzazione
DCT utilizzata nel formato JPEG
DWT utilizzata nel formato JPEG 2000
DWT con QuadTree Segmentation per
la BANDELET Transform
Seminario Wavelet
Immagine
compressa
Codifica
La presenza o l’assenza del
quantizzatore determina una
compressione con o senza perdita
(lossy e lossless)
[/50]
JPEG 2000
Immagine
originale
Immagine
ricostruita
Seminario Wavelet
Codificatore
DWT
Q
Codifica
entropica
Decodificatore
IDWT
Q-1
Decodifica
entropica
Immagine
compressa
Immagine
compressa
[/50]
JPEG 2000
Immagine
originale
Immagine
ricostruita
Codificatore
DWT
Q
Codifica
entropica
Decodificatore
IDWT
Q-1
Decodifica
entropica
Immagine
compressa
Immagine
compressa
La DWT decorrela i coefficienti a bassa frequenza da quelli ad alta frequenza
Seminario Wavelet
[/50]
JPEG 2000
Immagine
originale
Immagine
ricostruita
Codificatore
DWT
Q
Codifica
entropica
Decodificatore
IDWT
Q-1
Decodifica
entropica
Immagine
compressa
Immagine
compressa
Alto contenuto informativo
Seminario Wavelet
[/50]
JPEG 2000
Immagine
originale
Immagine
ricostruita
Codificatore
DWT
Q
Codifica
entropica
Decodificatore
IDWT
Q-1
Decodifica
entropica
Immagine
compressa
Immagine
compressa
Alto contenuto informativo
Basso contenuto informativo
Seminario Wavelet
[/50]


L’immagine di approssimazione e le immagini di dettaglio a bassa frequenza
vengono quantizzate con un numero maggiore di bit (SNR più grande a parità
di segnale)
Fattore di compressione variabile in funzione del numero di bit associati al
processo di quantizzazione
Immagine
originale
Seminario Wavelet
Un alto fattore di compressione produce un’immagine
con dimensioni (in termini di byte) molto più ridotte
rispetto all’immagine originale, ma al tempo stesso
una peggiore qualità visiva
[/50]
Evoluzione verso tecniche avanzate di compressione come ad esempio la
Bandelet Transform. A parità di dimensione del file viene garantita
una migliore qualità visiva
JPEG
Seminario Wavelet
JPEG 2000
BT
[/50]
Denoising
Tecniche di denoising applicate ad immagini SAR, a segnali di campo di
potenziale, ecc…

Applicare filtri passa-basso, passa-alto, passa-banda consente
di effettuare metodi di denoising globale, ma nel caso di rumore
sovrapposto al segnale, i filtri possono modificare pesantemente
anche la forma del segnale
La DWT si adatta perfettamente come tecnica di denoising
a causa delle sue eccellenti proprietà di localizzazione
DWT
Seminario Wavelet
Thresholding
IDWT
[/50]
Denoising
Tecniche di denoising applicate ad immagini SAR, a segnali di campo di
potenziale, ecc…

Applicare filtri passa-basso, passa-alto, passa-banda consente
di effettuare metodi di denoising globale, ma nel caso di rumore
sovrapposto al segnale, i filtri possono modificare pesantemente
anche la forma del segnale
La DWT si adatta perfettamente come tecnica di denoising
a causa delle sue eccellenti proprietà di localizzazione
DWT
Thresholding
IDWT
Vengono messi a 0 quei valori del segnale che si trovano all’interno della
fascia (-T0,T0)
Seminario Wavelet
[/50]
Thresholding
Seminario Wavelet
Due possibili implementazioni:
[/50]
Thresholding
Hard thresholding
Seminario Wavelet
[/50]
Thresholding
Hard thresholding
Soft thresholding
Migliori prestazioni
Seminario Wavelet
[/50]
Thresholding
Hard thresholding
Soft thresholding
I valori del rumore, con densità
gaussiana, sono maggiormente
concentrati attorno allo zero e
quindi vengono soppressi
Seminario Wavelet
[/50]
Thresholding
Hard thresholding
Soft thresholding
Seminario Wavelet
[/50]
Thresholding
Hard thresholding
Soft thresholding
L’operazione di denoising data dalla DWT
associata al thresholding è, in presenza di
rumore AWGN, asindoticamente ottima,
cioè minimizza l’MSE
Seminario Wavelet
[/50]
Seminario Wavelet
[/50]
Seminario Wavelet
[/50]
Seminario Wavelet
[/50]
Seminario Wavelet
[/50]
Seminario Wavelet
[/50]
Diversa implementazione: Thresholding dipendente dal livello di analisi della DWT
Seminario Wavelet
[/50]
Diversa implementazione: Thresholding dipendente dal livello di analisi della DWT
Original image
Seminario Wavelet
Noisy image
Denoised image
[/50]
Immagine SAR simulata
Seminario Wavelet
Immagine SAR despeckle
[/50]

Appunti: Introduzione all`analisi wavelet

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