il regno di regiomonte - Dipartimento di Matematica "U.Dini"
Transcript
il regno di regiomonte - Dipartimento di Matematica "U.Dini"
IL GIARDINO DI ARCHIMEDE. UN MUSEO PER LA MATEMATICA IL REGNO DI REGIOMONTE Laboratori di introduzione alla topologia Percorsi, strategie e geometrie in gioco Nell’ambito dei Laboratori de Il Giardino di Archimede. Un Museo per la matematica Testo: Raffaella Petti. Disegni: Lorenzo Donati. aprile 2008 IL REGNO DI REGIOMONTE 1 2 3 4 Questo è il disegno della nostra storia, che inizia dal capitolo 1, dove incontriamo il Principe protagonista. Le storie, in realtà sono due, o forse tre. La prima, la più semplice e breve, ti farà conoscere il Regno di Regiomonte con i suoi quattro ponti. La puoi leggere seguendo il percorso verde: dal capitolo 1 al capitolo 2. Se ancora non sai leggere bene ed è un grande che ti narra questa storia, fermati qui. L’altra storia, più lunga e complessa, racconta dei sette ponti. Alla fine del primo capitolo, scegli tu la strada da seguire. Se sei grande e coraggioso ma ami affrontare i pericoli gradualmente, segui la traccia azzurra: prosegui per il capitolo 2 e poi, quando ti senti pronto, prosegui per il 3 e il 4. Se sei impaziente e ami lanciarti subito nelle imprese più difficili, segui la traccia rossa: dopo il primo capitolo puoi saltare il 2 e il 3 ed andare subito al 4: ti aspettano sette ponti e sette dragoni e ... tanto altro ancora. Capitolo 1: il Principe e Regiomonte C’era una volta un tempo in cui il Sole e le Tenebre si erano spartirti il mondo, e sulle loro terre ognuno regnava incontrastato. Un giorno, nel Regno del Sole, nacque un Principe bello, forte e coraggioso. Quando questo Principe, figlio del Sole, fu giunto alla maggiore età, il Sole intrecciò per lui una corona fatta di raggi dorati e lo portò in giro per il suo Regno, affinché scegliesse le terre su cui regnare. Girando in lungo e in largo, il Principe non trovò niente che lo soddisfacesse, finché, nell’ultimo e più lungo dei viaggi, 1 giunse al confine tra il Regno del Sole e il Regno delle Tenebre e degli Abissi. Qui sorgevano dalle più azzurre acque quattro isole bellissime. L’alternarsi della luce e del buio, del calore e del gelo, aveva reso queste isole spettacolarmente ricche e varie. L’isola più a sud aveva meravigliose spiagge calde e dorate e profumatissime pinete; dove il mare toccava l’isola più a nord vi erano ciottoli di ogni forma e colore che nell’interno lasciavano posto a distese di fiori di altrettante forme e colori; l’isola ad est era un dolce susseguirsi di colline dove crescevano i più dolci frutti della Terra; l’isola al centro, infine, era un’altissima montagna, con splendide foreste, verdi pascoli, e nevi di cristallo. Era il Regno di Regiomonte, ossia il Regno del Monte del Re. Ma, a dispetto del nome, nessun Re vi regnava. E da secoli nessuno vi aveva più messo piede. Il Principe, nel vedere quelle isole meravigliose, non ebbe dubbi: egli sarebbe divenuto Re di quelle isole. Il Sole però cercò di dissuaderlo. Quelle terre, oggetto di aspre contese tra il Sole e le Tenebre, erano circondate da acque che rimanevano sotto il dominio del Re delle Tenebre ed erano insidiate dai più temibili mostri marini. Ma il Principe fu irremovibile. Le quattro isole avevano conquistato il suo cuore. E cosı̀ iniziò a pensare alla costruzione del nuovo Regno. 2 Su ognuna delle quattro isole avrebbe fatto edificare una reggia, in cui dimorare tre mesi l’anno. Ogni Reggia avrebbe avuto una torre molto alta, da cui si potessero vedere le altre tre isole. Una col tetto rosso rubino, una col tetto giallo oro, una col tetto verde smeraldo e l’ultima col tetto blu cobalto. Sarebbero serviti poi dei ponti che collegassero le isole tra loro, passando sopra i pericolosissimi abissi marini. Mentre i maggiori esperti del Regno studiavano la realizzazione delle opere, il Sole, chiamando ad arbitro il Tempo, mandò i suoi ambasciatori a patteggiare con il Re delle Tenebre le condizioni alle quali il Principe si sarebbe potuto insediare in quelle terre. Dopo lunghe trattative gli accordi furono scritti. Il Tempo avrebbe scandito le giornate: per metà queste sarebbero state avvolte dalle Tenebre, per l’altra invece illuminate dal Sole. Quando il Tempo segnalava il giungere della sera, il Principe doveva deporre la sua corona di raggi luminosi. Solo quando il Tempo dava il segnale che era giunto il momento dell’alba, la corona poteva di nuovo essere sollevata: quello sarebbe stato il segnale che il Sole poteva tornare a illuminare e riscaldare le quattro isole. Il Re delle Tenebre acconsentı̀ dunque all’insediamento del nuovo Regno di Regiomonte ed anche alla costruzione di ponti che 3 passassero sopra le sue acque. Ma non fu per atto di generosità: egli sperava invece cosı̀ di aver procurato del buon cibo per i suoi mostri. Questi brutti mostri, infastiditi dalla luce, se ne stavano di giorno acquattati sotto i ponti, per catturare chi passasse di lı̀. Per fortuna erano goffi e lenti, e dal momento in cui si accorgevano che un passante si stava avventurando per il ponte a quello in cui tiravano fuori un enorme tentacolo, c’era abbastanza tempo per passare dall’altra parte, purché si procedesse di corsa e non si avesse l’idea, per nessun motivo, di tornare indietro a metà strada. Ben peggio stavano le cose nella notte. Nell’oscurità più completa i poteri del Re del Tenebre potevano dispiegarsi in tutta la loro potenza. All’arrivo del buio gli abitanti degli abissi si affacciavano in superficie e godevano dello spettacolo delle onde enormi sollevate dal Re delle Tenebre, onde cosı̀ possenti da trascinare via tutto ciò che si trovasse vicino al mare, compresi i ponti, che volteggiavano in alto per poi ricadere come il capriccio del Re delle Tenebre di volta in volta ordinava. Una danza infernale di piccoli mostri si scatenava allora su di essi, finché qualcosa di terribile li ricacciava lontano. Erano i feroci draghi marini, fidati compagni del Re delle Tenebre. Dal profondo delle acque facevano emergere 4 le loro enormi teste e le adagiavano su ciascuno dei ponti, protendendosi minacciosi fino alle isole. Un’unica cosa temevano: la luce e il calore. Giorno o notte, la vita nel Regno di Regiomonte non si prospettava dunque certo facile. Dovete però sapere che i poteri del Re delle Tenebre, pur essendo molto grandi, non erano illimitati. Egli poteva tendere agli umani ogni tipo di trappola o tranello, ma dovevano essere difficoltà che con l’accortezza, l’ingegno e il coraggio, ogni uomo avrebbe potuto superare. Cosı̀ per sfuggire di giorno agli agguati dei piccoli mostri che dimoravano sotto i ponti bastava ricordarsi di aspettare che nessun tentacolo affiorasse dalle acque, fare un bel respiro, e poi attraversare il ponte con passo svelto e sicuro senza mai voltarsi indietro. Per quanto riguardava la notte, il Principe pensò di procedere cosı̀: al calar della sera, avrebbe diviso la deposta corona in tanti pezzi, lasciandoli su ciascuno dei ponti prima dell’arrivo dei dragoni. Il bagliore e il tepore che da essi continuava a emanare avrebbe fatto assopire i terribili mostri. L’impresa più difficile sarebbe stato, all’alba del giorno dopo, recuperarli tutti dalle loro fauci per ricomporre la corona e permettere al Sole di tornare a visitare Regiomonte. Il piano era questo. Al calar della sera, i quattro più valorosi cavalieri del Regno si appostavano ciascuno in una delle quattro altissime torri delle quattro Regge. Da là era possibile osservare, anche al buio, tutti i ponti, e vedere le altre torri. Giunto il momento dell’alba, uno - soltanto uno - dei prodi cavalieri avrebbe potuto tentare l’impresa, compiendo il giro dei ponti in un’unica veloce cavalcata, senza mai fermarsi e tornare indietro. Ovviamente non poteva neppure passare due volte dallo stesso ponte, perché una volta recuperato il pezzo della corona il dragone di quel ponte si sarebbe svegliato. 5 Insomma, confidando nel valore dei suoi cavalieri, dopo aver ben pensato, al Principe parve che tutte le difficoltà sarebbero state superabili e dunque, senza lasciarsi scoraggiare, decise di non tirarsi indietro. Cosı̀ Principe, Sole, Tenebre e Tempo, firmarono gli accordi. Nella data fissata come inizio del nuovo Regno di Regiomonte, ci fu, come potete immaginare, una grande festa sulle Quattro Isole. Giunse poi la sera, e con essa il momento in cui gli abitanti di Regiomonte dovettero salutare il Sole, con la speranza di presto rivederlo all’indomani. Il Principe, secondo quanto stabilito, depose la corona. Poi la divise, e ne lasciò i pezzi sui ponti. Si fece notte. Subito un sordo rombare dal profondo del mare, annunciò l’inizio delle stregonerie del Re delle Tenebre, il ballo dei flutti, dei ponti e sui ponti, e infine l’arrivo dei terribili dragoni. Emersero dagli Abissi fiammeggiando e appoggiarono le loro orribili teste sui ponti. 6 Ma ecco che, come il Principe aveva immaginato, la pur flebile luce e il debole calore che i raggi della dispersa corona ancora emanavano, stordı̀ i dragoni che ricaddero assopiti con le mostruose teste appoggiate proprio al centro di ogni ponte. Dall’alto delle loro torri i cavalieri intanto si preparavano all’impresa, studiando il da farsi e ripassavano le indicazioni che il Principe aveva loro dato. Sarebbe stato necessario compiere il giro dei ponti in un colpo solo, passando al galoppo e sfilando il pezzo di corona da sotto il muso dei dragoni, senza tornare indietro e senza ripassare due volte per un ponte. I dragoni infatti, al loro passaggio, si sarebbero svegliati e avrebbero incenerito chi avesse tentato di passare una seconda volta per lo stesso ponte. Si trattava dunque di studiare bene il percorso. Chi per primo avesse trovato un buon percorso e lo avesse ben in mente l’avrebbe segnalato agli altri cavalieri accendendo una torcia, e al momento dell’alba sarebbe partito. Quella prima notte sembrò a tutti lunghissima, ma finalmente il suo tempo era trascorso, e giunse l’ora tanto attesa. Il Tempo diede il segnale. 7 Capitolo 2: i quattro ponti *Qui prosegue la storia più semplice e corta. I quattro ponti che il Re delle Tenebre aveva concesso, per quella notte erano disposti cosı̀: * Quale cavaliere faresti partire? E quale potrebbe essere il percorso compiuto (che attraversi tutti i ponti una sola volta)? Ed ecco. Fu il cavaliere della torre rossa a partire al galoppo. Velocissimo recuperò tutti i pezzi della corona. Appena messi insieme questi iniziarono a risplendere più nitidi che mai. La corona fu sollevata e il Sole accorse. E con grande soddisfazione e sollievo di tutti, iniziò il secondo felice giorno del Regno di Regiomonte. * Quale percorso per il cavaliere rosso? Trovane tu uno. In fondo al libro troverai quello compiuto dal cavaliere nella storia. Arrivò poi la seconda sera, con un rapidissimo tramonto. Il Principe depose i pezzi della corona sui ponti. Appena fattosi buio, il Re delle Tenebre, con un turbine di gigantesche onde, sollevò i ponti e li lasciò ricadere pesantemente, cosı̀: Subito, come la notte precedente, arrivarono i dragoni. E ognuno si assopı̀ sul proprio ponte, col muso sui pezzi di corona. 8 *Scegli quale cavaliere far partire e trova un percorso che attraversi tutti i ponti una sola volta. In fondo al libro troverai quello compiuto dal cavaliere nella storia. Quella notte fu il cavaliere della torre blu che si dichiarò pronto a partire. Arrivato il momento dell’alba si lanciò al galoppo. E ..., uno, due, tre, quattro! Il suo vittorioso giro riportò ancora la luce alle Quattro Isole. La terza notte, la storia si ripeté. Il principe depose la corona e ne disperse i raggi sui ponti. Dal profondo degli abissi il turbine di onde sollevò i ponti come fossero fuscelli. E li fece ricadere cosı̀: Il cavaliere della torre verde si preparò a partire. Ecco l’alba. E con un rapidissimo giro il terzo cavaliere conquistò la terza giornata di luce per il Regno. E certo anche voi, rapidissimamente, avrete trovato il vostro percorso. Passavano i giorni. Ogni sera il Principe deponeva la corona e ne disperdeva i raggi sui ponti. Di volta in volta le onde altissime scompaginavano i ponti, che si trovavano ora cosı̀ o cosı̀: 9 o cosı̀: *Scegli quale cavaliere far partire e trova un percorso che attraversi tutti i ponti una sola volta. Giunto il momento dell’alba sempre un cavaliere era pronto a partire, e mai falliva nell’impresa. Cosı̀ la minaccia di quelle notti buie finı̀ presto per diventare un’abitudine con cui convivere senza paura, mentre i giorni conquistati grazie all’accortezza, l’ingegno e il coraggio, si susseguivano lieti e tranquilli nel Regno di Regiomonte dove il Principe e i suoi sudditi vivevano sempre felici e contenti. *Qui finisce la storia più semplice e corta. Capitolo 3: il dono del Re delle Tenebre *Qui si spiega come da quattro ponti gli abitanti di Regiomonte ne ebbero sette. Un giorno il Re delle Tenebre mandò un’ambasciata al Principe: - In segno di amicizia, visto il valore dei Vostri cavalieri, il Re delle Tenebre vuol farvi un dono, anzi due. Durante l’estate vi 10 concederà tre ore di luce in più, ed anche la costruzione e l’uso di tre nuovi ponti. Il resto degli accordi rimarrà immutato. Accettate? Il Principe fu sorpreso ed incerto. Benissimo per le ore di luce in più. E i ponti? Faceva certo comodo avere altri collegamenti fra le isole. Tre ponti in più significavano però anche tre nuovi dragoni da scavalcare la notte. Ma per i suoi valentissimi cavalieri, che tanta abilità e coraggio avevano mostrato fino ad allora e che quasi quasi iniziavano a considerare l’impresa notturna un banale e noioso giochetto, non sarebbe stato certo un problema affrontare tre nuovi mostri. Infine dunque accettò. E presto giunse la prima notte dell’estate. Capitolo 4: i sette ponti *Qui inizia la storia più lunga e complessa. I sette ponti che il Re delle Tenebre aveva concesso, per quella notte prima notte erano disposti cosı̀: * Quale cavaliere faresti partire? E quale potrebbe essere il percorso compiuto (che attraversi tutti i ponti una sola volta)? Ed ecco. Fu il cavaliere della torre rossa a partire al galoppo. Velocissimo recuperò tutti i pezzi della corona che il Principe, secondo gli accordi, aveva disperso la sera prima sui sette ponti. Appena messi insieme questi iniziarono a risplendere più nitidi che mai. La corona fu sollevata e il Sole accorse. E con grande soddisfazione e sollievo di tutti, iniziò il secondo felice giorno della lunga estate del Regno di Regiomonte. 11 * Quale percorso per il cavaliere rosso? Trovane tu uno. In fondo al libro troverai quello compiuto nella storia. Arrivò poi la seconda sera, con un rapidissimo tramonto. Il Principe depose i pezzi della corona sui ponti. Appena fattosi buio, il Re delle Tenebre, con un turbine di gigantesche onde, sollevò i ponti e li lasciò ricadere pesantemente, cosı̀: Subito, come la notte precedente, arrivarono i dragoni. E ognuno si assopı̀ sul proprio ponte, col muso sui pezzi di corona. *Scegli quale cavaliere far partire e trova un percorso che attraversi tutti i ponti una sola volta. Quella notte fu il cavaliere della torre blu che si dichiarò pronto a partire. Arrivato il momento dell’alba si lanciò al galoppo. E ..., uno, due, tre, quattro, cinque, sei, sette! Il suo vittorioso giro riportò ancora la luce alle Quattro Isole. La terza notte, la storia si ripeté. Il principe depose la corona e ne disperse i raggi sui ponti. Dal profondo degli abissi il turbine di onde sollevò i ponti come fossero fuscelli. E li fece ricadere cosı̀: Il cavaliere della torre verde accese la fiaccola. Ecco l’alba. E con un rapidissimo giro il terzo cavaliere conquistò la terza giornata di luce per il Regno. *E certo anche voi, rapidissimamente, avrete trovato il vostro percorso. 12 Passavano i giorni. Ogni sera il principe deponeva la corona e ne disperdeva i raggi sui ponti. Di volta in volta le onde altissime scompaginavano i ponti, che si trovavano ora cosı̀ o cosı̀: o cosı̀: *Scegli quale cavaliere far partire e trova un percorso che attraversi tutti i ponti una sola volta. Giunto il momento dell’alba sempre un cavaliere era pronto a partire, e mai falliva nell’impresa. Finché un giorno, anzi una notte, le cose andarono diversamente. Quella notte i ponti si trovavano cosı̀: 13 *Scegli quale cavaliere far partire e cerca un percorso che attraversi tutti i ponti una sola volta. All’avvicinarsi dell’alba, nessuna delle quattro fiaccole si era ancora accesa. Eppure i cavalieri non dormivano. Quando il Tempo diede il segnale niente si mosse. Nessuno dei cavalieri era ancora riuscito a capire come fare il giro dei ponti. I minuti passavano. Passarono le ore. Poi i giorni. I mesi. Gli anni. Il buio regnava sulle Quattro Isole, senza che nessuno trovasse il percorso. Anno dopo anno si erano fatti secoli. Gli alberi, senza luce, erano imbianchiti. Anche il Principe aveva la barba lunga e bianca, ed era afflitto dal dolore di aver condannato per sempre al buio i suoi sudditi, per la troppa fiducia nell’ingegno umano. 14 Gli abitanti di Regiomonte restavano quasi sempre chiusi in casa, mentre i dragoni continuavano a presidiare i ponti. Solo pochi ardivano ogni tanto attraversare le strade, rischiando brutti incontri, per recarsi da qualche amico. Per combattere la noia avevano inventato un gioco: uno doveva proporre tre figure, mentre gli altri dovevano indovinare quale si tracciava senza staccare la matita dal foglio. *Conosci il gioco della casetta? La casetta va disegnata con un unico tratto, senza staccare la penna dal foglio e senza tracciare due volte una linea già percorsa. *Prova poi a trovare quale delle tre figure si può disegnare con un unico tratto, come la casetta. 15 In una di queste giornate, buie e nere, passò di là un viandante cieco. Il figlio del Sole lo accolse e gli raccontò le tristi vicende del suo Regno. Il viandante ascoltava silenzioso. Quando il Principe per caso si trovò a narrare come grandi e piccini si dilettassero nel gioco che era divenuto cosı̀ popolare che tutti lo chiamavano ormai “il gioco di Regiomonte”, lo straniero si mostrò molto incuriosito, e chiese di provare. Il Principe, con tutta la delicatezza possibile, cercò di fargli capire che per lui non sarebbe stato possibile giocare, non potendo vedere i tre disegni. Ma lo straniero insistette a tal punto che il Principe dovette cedere. E giocarono. Anche senza vedere la forma dei tre disegni che il Principe via via proponeva, facendo solo poche precise domande, lo straniero trovava sempre subito il disegno fatto senza stacca16 re la penna dal foglio. Giocarono a lungo, senza che lo straniero commettesse mai un errore, fino all’ultima sfida proposta dal Principe: A questo punto, lo straniero disse: - Abbiamo giocato a lungo. Ma ora forse è tempo di vedere l’alba. Il Principe lo guardò perplesso. Già aveva spiegato al viandante in quale difficoltà il suo Regno fosse imprigionato; forse, per la sua cecità, non aveva capito cosa significasse “buio”. Ma lo straniero, indicando il disegno centrale, aggiunse: - Questa è la soluzione: il cuore imprigionato. Il Principe esitò a contraddirlo: a quella figura, il cuore imprigionato, era molto affezionato, forse perché davvero cosı̀ sentiva il suo cuore, e la proponeva spesso. Ma per disegnarla tracciava il cuore e poi, staccando la penna, la croce. Non era dunque quella la risposta giusta. Lo straniero intanto, presa carta e penna, disegnò: Il Principe iniziò allora a capire che lo straniero vedeva in quei disegni qualcos’altro. Non si trattava più della soluzione del gioco, ma di una ben più importante soluzione: le eterne tenebre su Regiomonte. 17 E con tutta l’attenzione possibile, il Principe, seguendone il ritmo, si mise ad ascoltare ognuna delle parole che lo straniero aveva iniziato a scandire: - Il tuo cuore imprigionato nient’altro è che Regiomonte. Ogni linea qui è un ponte, dal dragone è presidiato. Se un’isola ha un ponte solo, là ... accortezza ti segnalo. Il cavaliere che qui vi entrerà mai uscirne più potrà... “Certo: passando da quel ponte, il cavaliere avrà svegliato il dragone e si troverà sull’isola dove non vi sono altri ponti da cui passare ...” pensò il Principe. - ... a meno che, come ultimo quel ponte percorrendo, della corona l’ultimo pezzo vada prendendo. “Certo: se quel ponte è il solo che manca, quando il cavaliere ci passa recupera il solo pezzo di corona che ancora mancava; giunto nell’isola può rimetterli tutti insieme e ... il gioco è fatto!” pensò il Principe. - Dunque là occorre finire o, al contrario semmai partire: da là iniziare per non più vi ritornare. ‘Certo: se il cavaliere parte proprio dall’isola con un ponte solo, lo attraversa subito, e non avrà poi bisogno di tornare su quell’isola, ...” pensò il Principe. - Se due isole un solo ponte hanno allora due dei cavalieri l’impresa tentar potranno. “Certo: potrà partire uno dei due cavalieri che stanno su una delle due isole con un solo ponte. Quello che parte passerà subito da uno dei due ponti soli, e terminerà il suo giro recuperando come ultimo il pezzo di corona sull’altro dei due ponti soli ...” - Se ancora un ponte solo su un’altra isola avrai, mai raggiungerlo potrai. Il Re delle Tenebre allora, condannato vi avrebbe ad eterna sventura. “Certo: posso avere al più due isole con un solo ponte; se ce ne fosse un’altra davvero non vi ci si potrebbe arrivare...”, pensò ancora il Principe, “ma questo non è il nostro caso ...” 18 - Nel giro poi i ponti a coppie consumar vedrai, poiché per uno entrar e per l’altro uscir dovrai. Il Principe ancora dentro di sé annuiva. - Le isole che imprigionano sono quelle dove si mette un ponte solamente, oppure anche tre, o cinque, o sette. “Certo: se in un’isola ho tre ponti, entrando e uscendo, ne rimarrà uno solo da cui poter passare; se ne ho cinque, entrando e uscendo, e poi ancora entrando e uscendo, ancora ne rimarrà uno solo. Dunque le isole con un numero dispari di ponti si comportano come isole con un ponte solo” pensò ancora il Principe. - Conta dunque or le isole con ponti spaiati, se più di due saranno voi siete condannati. Il Principe contò, sulla cartina del suo Regno, isola per isola i ponti come si trovavano da secoli. Cinque, tre, tre, tre: tutti numeri dispari. 3 5 3 3 Un momento di sconforto lo colse: il timore che quel buio durasse in eterno era divenuto certezza: nessuno al mondo avrebbe mai trovato il percorso. Ma un istante dopo, esclamò: - Per quel che tu hai provato, l’inganno è disvelato! Il ragionamento dello straniero era infatti la prova che i cavalieri non riuscivano a compiere la loro impresa non per mancanza di accortezza, ingegno o coraggio, ma perché l’impresa era impossibile. Ma questo significava che il Re delle Tenebre era andato al di là dei poteri che gli erano concessi. Il Principe chiese allo straniero di mettere per scritto quel ragionamento che non lasciava spazio a repliche, e con il quale l’inganno del Re delle Tenebre era stato scoperto e sconfitto. 19 Le carte dello straniero furono fatte recapitare al Tempo e al Re delle Tenebre.Ecco che dal profondo del mare si sentı̀ un urlo feroce. I dragoni sprofondarono negli abissi. I raggi della corona magicamente si intrecciarono nel cielo. E il Sole accorse. Da allora in poi il Principe regnò sereno, giorno e notte. Già, perché gli abitanti di Regiomonte non vollero rinunciare a quell’alternarsi di luce e di buio tanto feconda. E cosı̀ ogni sera il Tempo continuava a dare il segnale, il Sole si allontanava, e una dolce ombra abbracciava le quattro isole, per garantire a tutti, cavalieri compresi, sereni riposi fino all’alba del nuovo felicissimo e luminossisimo giorno. 20 Appendice 1 Quel viandante, era in realtà un Principe, un Principe dei Matematici. Si chiamava Leonhard Euler. Quello che aveva scritto sul foglio era la seguente affermazione: “Il giro dei ponti si può fare solo se le isole con un numero dispari di ponti sono al più due”. L’affermazione era seguita da una cosa che nel Regno dei Matematici si chiama “dimostrazione”. Fu davanti a questa che il Re delle Tenebre cacciò il suo terribile urlo di rabbia. Se una dimostrazione è ben scritta infatti non ci sono se o ma: tutti possono vedere che quello che vi è affermato è vero, basta seguirlo passo passo. Alla dimostrazione seguiva lo schizzo delle Quattro Isole con i ponti come da secoli rimanevano. Ciascuna delle quattro isole, come tutti potevano verificare, aveva un numero dispari di ponti. Conclusione: il percorso era impossibile. Il Re delle Tenebre si nascose per sempre nel profondo degli abissi. Se avesse avuto meno disprezzo per l’ingegno umano e avesse letto un articoletto latino che lo stesso viandante aveva scritto poco prima di passare per Regiomonte (Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, 1735), forse non avrebbe commesso quella ingenuità, e si divertirebbe ancora a insidiare i Regiomontani. Appendice 2 La scoperta dell’inganno del Re del Tenebre aveva riportato la felicità a Regiomonte, ma purtroppo aveva privato i regiomontani delle loro occupazioni principali e preferite. I cavalieri non avevano più occasione di mettere alla prova quotidianamente il loro ingegno, e, quel che è più grave, anche il passatempo preferito, il “gioco di Regiomonte” perse il suo interesse. Il gioco dei disegni e il problema del percorso dei cavalieri attraverso i ponti sono infatti in realtà la stessa cosa: ogni disegno 21 si può trasformare in isole con ponti (espandendo i punti in cui si incrociano le linee e ispessendo le linee fino a farle diventare ponti), e ogni regno fatto di isole e ponti si può trasformare in un disegno con linee che si incrociano. Il teorema di Euler, che svelava quando il percorso dei ponti era impossibile, rendeva anche il gioco banale: bastava guardare gli incroci e vedere se ve ne erano più di due con un numero di linee dispari. In questo caso il disegno era sicuramente fatto staccando la penna dal foglio. Appendice 3 Euler, prima di lasciare Regiomonte, suggerı̀ però un nuovo gioco, che potesse esercitare l’ingegno dei cavalieri e divertire tutti gli altri. Si trattava della “passeggiata del cavallo”. Il cavallo questa volta non era un fido destriero, ma il classico pezzo del gioco degli scacchi, e non doveva muoversi attraverso i ponti di Regiomonte, ma attraverso le sessantaquattro caselle della scacchiera. Partendo da una casella a scelta, si doveva compiere il giro di tutte la caselle, senza potersi fermare due volte sulla stessa. Ovviamente il cavallo doveva muoversi come ogni cavallo che si rispetti: due passi avanti e uno di lato. Questo gioco tenne impegnati gli abitanti di Regiomonte molto molto a lungo. Passarono i giorni, i mesi, gli anni. Qualche malizioso a un certo punto iniziò a insinuare che Euler si fosse preso gioco di loro, proponendo una nuova sfida impossibile. Che un simile dubbio non colga anche voi: la passeggiata del cavallo esiste, anzi ne esistono tante diverse. Euler, per mettere a tacere le malignità, ne inviò una al Principe, perché la custodisse a prova della sua onestà. Cosı̀ la sfida continuò. E voi? Avete trovato la vostra passeggiata? 22 I percorsi dei cavalieri sui quattro ponti Ecco i percorsi compiuti dai cavalieri nelle imprese del Capitolo 2. I percorsi dei cavalieri sui sette ponti Ecco i percorsi compiuti dai cavalieri nelle imprese del Capitolo 4. 23