Analisi Funzionale Lingua insegnamento: Italiano

Titolo insegnamento: Analisi Funzionale
Lingua insegnamento: Italiano
- Contenuti: Spazi metrici. Spazi di Banach. Spazi di Hilbert.
- Testi di riferimento:
• H. Brezis: Analisi Funzionale, Liguori Editore, 1986.
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E. Giusti: Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri, 1983.
B.V. Limaye: Functional analysis. New Age international, 1996.
R. E. Megginson: An introduction to Banach space theory, Springer, 1998.
H. L. Royden: Real Analysis, Collier Macmillan,1988.
- Obiettivi formativi:
L'obiettivo del corso è introdurre la conoscenza degli strumenti dell'Analisi Funzionale. Il
corso si propone, infatti, di fornire gli elementi fondamentali degli spazi di Banach e di
Hilbert. Lo studente dovrà acquisire solide competenze teoriche, saper svolgere esercizi e
problemi dell'Analisi Funzionale.
- Prerequisiti:
Nozioni di base sugli spazi vettoriali; nozioni di base di teoria della misura e
dell'integrazione secondo Lebesgue. E' utile una buona conoscenza di base della topologia
negli spazi reali.
- Metodi didattici: lezioni in aula.
- Eventuali ulteriori informazioni
- Modalità di verifica dell'apprendimento: esame orale.
- Programma esteso:
Spazi metrici. Disuguaglianza di Hölder e disuguaglianza di Minkowski per somme finite.
Gli spazi l^p e l^∞. Metrica lagrangiana. Metriche equivalenti. Separabilit à, completezza,
compattezza. Insiemi equicontinui di funzioni: definizione ed esempi. Equicontinuit à e
uniforme convergenza; Teorema tipo Ascoli-Arzel à e sue conseguenze. Insiemi di prima e
di seconda categoria; il teorema di Baire. Principio di uniforme limitatezza per gli spazi
metrici.
Spazi Vettoriali:
Il Teorema di Hahn-Banach per gli spazi vettoriali reali e complessi. Insiemi convessi.
Funzionali (positivamente) omogenei, sub-additivi, convessi e relazioni tra essi. Il
funzionale di Minkowski. Separazione di insiemi convessi.
Teorema di Hahn-Banach: prima e seconda formulazione geometrica.
Spazi di Banach:
Spazi normati: definizione ed esempi. Metriche che inducono una norma. Spazi di Banach.
Teorema di caratterizzazione degli spazi di Banach. Spazi quoziente di uno spazio normato
(cenni). Operatori lineari tra spazi normati: legame tra limitatezza e continuit à. La norma
di un operatore lineare; lo spazio B(X,Y). Il Teorema di Hahn-Banach per gli spazi normati
e sue conseguenze.
L'operatore aggiunto. Teorema relativo allo studio dell'equazione funzionale
Tx = b. Operatori a codominio chiuso. Teorema di Banach-Steinhaus. Il teorema
dell'applicazione aperta e sue conseguenze. Operatori lineari chiusi. Relazione tra gli
operatori chiusi e il proprio grafico. Il teorema del grafico chiuso. Spazi L^p(X,µ ).
Funzioni essenzialmente limitate.
Spazio L^∞(X,µ). Lo spazio duale di uno spazio normato. Il teorema di rappresentazione di
Riesz in L^p. Spazi riflessivi: definizione ed esempi. Operatori invertibili in B(X). Spettro
di un operatore in B(X). Condizione sufficiente per l'invertibilit a di un operatore in B(X).
Serie di Neumann. Compattezza dello spettro.
Spazi di Hilbert:
Spazi con prodotto scalare. Identit à di polarizzazione. Disuguaglianza di CauchySchwartz. Norma indotta dal prodotto scalare. Identit à del parallelogrammo. Teorema di
Jordan e Neumann. Spazi di Hilbert: definizione ed esempi. Insiemi ortogonali. Insiemi
ortonormali. Generalizzazione del Teorema di Pitagora. Il Teorema di ortonormalizzazione
di Gram-Schimdt.
Disuguaglianza di Bessel. Il teorema di Riesz-Fisher. Basi ortonormali. Serie di Fourier
negli spazi di Hilbert. Uguaglianza di Parseval. Teorema di caratterizzazione degli spazi di
Hilbert. Il Sistema trigonometrico. Proiezioni.
Il teorema di proiezione. Funzionali lineari e continui su uno spazio con prodotto scalare. Il
Teorema di rappresentazione di Riesz-Frechet e sue conseguenze. Il teorema di HahnBanach per gli spazi di Hilbert. Convergenza debole. Insiemi debolmente limitati.