Questa

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Teoria dei Numeri
1. Siano a, b numeri interi maggiori di 1 e tali che a6 = b4 . Qual è il minimo
valore di a + b?
2. Quali cifre devono essere messe al posto di x e y nel numero 30x0y03 per
renderlo multiplo di 13?
3. Siano a, b interi tali che a+4b sia divisibile per 13: è vero che anche 10a+b
è divisibile per 13? Dedurne un criterio di divisibilità per 13.
4. Trovare tutti gli interi non negativi per cui
(x + y)2 − (xy)2 = 1
5. La decima edizione delle Olimpiadi della Matematica venezuelane si è
svolta nel 2008: sapendo che l’intenzione è di organizzarle ogni anno (e
che finora sono state organizzate regolarmente), quante volte il numero
dell’edizione dividerà l’anno?
7
6. Qual è la cifra delle unità di 77 ? E qual è il suo resto nella divisione per
11?
7. Definiamo i numeri di Fibonacci tramite la relazione per ricorrenza: F0 =
0, F1 = 1 e
Fn+2 = Fn+1 + Fn .
Dimostrate che per ogni n ≥ 2 si ha F1 + F2 + · · · + Fn = Fn+2 − 1.
8. Dimostrare che la frazione
21n + 4
14n + 3
è irriducibile per ogni intero n.
9. Dimostrare che per ogni intero n il numero
n(n2 − 1)(5n + 2)
è divisibile per 24.
10. 6|a + b + c ⇔ 6|a3 + b3 + c3 .
11. Dimostrate che per ogni n ≥ 1 si ha Fn−1 Fn+1 = Fn2 + (−1)n , dove Fn
rappresenta l’n-esimo numero di Fibonacci.
n(n + 1)
2
per qualche intero positivo n. Quante sono le coppie (a, b) di numeri
triangolari tali che b − a = 2007?
12. Un intero positivo si dice triangolare se si può scrivere nella forma
13. Con quanti zeri termina lo sviluppo in base 10 di 2008! ? Ed in base 12?
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14. Trovare tutte le soluzioni intere dell’equazione p2001 = y p , dove p è un
numero primo.
15. Trovare tutti gli n interi tali che
n−1
401 − n
sia un quadrato perfetto.
16. Dimostrate che ogni intero positivo si scrive in modo unico come somma
di numeri di Fibonacci non consecutivi.
17. Sia A la somma delle cifre di 20092009 e B la somma delle cifre di A.
Quanto vale la somma delle cifre di B?
18. Dimostrare che ogni intero si può scrivere nella forma a2 + b2 − c2 per
opportune scelte di a, b, c interi.
19. Trovare tutti gli interi x, y tali che 3x2 − 2y 2 = 1998.
20. Esistono interi m, n tali che m3 + 7004 = n3 ?
21. Un numero si dice equilibrato se ha tante cifre quanti divisori primi distinti.
Dimostrare che esiste solo una quantità finita di numeri equilibrati.
22. Un numero si dice speciale se è somma dei quadrati di tre dispari consecutivi: ad esempio, 35 è speciale (perchè 35 = 12 + 32 + 52 ), ma 12 non
lo è. Esistono numeri speciali di quattro cifre che si scrivono in base 10
utilizzando una sola cifra? Ne esistono di 2000 cifre?
23. Dimostrare che il prodotto di due somme di due quadrati è anch’esso
somma di due quadrati.
24. Trovare tutte le soluzioni intere dell’equazione 2m − n2 = 1
25. Trovare tutte le soluzioni intere dell’equazione n2 − 2m = 1
26. Trovare tutti i naturali n di tre cifre uguali alle ultime tre cifre di n2 .
27. Siano a, n interi, n > 1. Dimostrare che se an − 1 è primo, allora a = 2 ed
n è primo, ma che non tutti i numeri della forma 2p − 1 sono primi.
28. Dimostrare che per ogni n intero 169 non divide n2 + 5n + 16.
29. Trovare tutti i numeri primi p tali che 5p + 49 sia un quadrato perfetto.
30. Trovare tutte le soluzioni intere dell’equazione x2001 = y x
Suggerimento: provare a considerare il più piccolo primo che divide x.
Questa è una tecnica che viene comoda più volte!
31. Chiamiamo B l’insieme degli interi che non si scrivono con una solo cifra
decimale; per ogni n ∈ N, chiamiamo An l’insieme dei numeri che si ottengono permutando le cifre di n, ed infine dn il massimo comun divisore
di tutti gli elementi di An . Quant’è il massimo dei dn , al variare di n ∈ B?
2
32. Sia A = 5n + 3n + 1. E’ vero che se A è primo allora n è divisibile per 12?
33. Per quali a, b, c razionali si ha a3 + 2b3 + 4c3 = 8abc?
34. 2004 può essere somma di due quadrati?
35. Dimostrare il Teorema di Wilson: per ogni primo p, (p−1)! ≡ −1 (mod p).
36. Dimostrare che 41 non è differenza di una potenza di 2 e di una potenza
di 3, cioè che le due equazioni 2m − 3n = 41 e 3n − 2m = 41 non hanno
soluzioni intere in (m, n).
37.
• Per quali n ∈ N, n4 + 4 è primo?
• Per quali n ∈ N, n4 + 4n è primo?
38. Trovare tutte le soluzioni intere dell’equazione 3k − 1 = x3
39. È vero che per ogni primo p 6= 2, 5 esiste un numero n divisibile per p che
in base dieci si scrive usando solo la cifra 1 (1, 11, 111, 1111, ...)?
40. Esistono 2008 interi consecutivi, ciascuno dei quali divisibile per un cubo
perfetto (maggiore di 1)?
41. Dimostrare che per ogni base b esiste un numero di Fibonacci la cui
scrittura in base b termina con due cifre 0.
42. Trovare tutti gli interi n tali che 4n + 9 e 9n + 1 siano entrambi quadrati
perfetti.
43. Trovare tutte le coppie di interi n, k tali che 1 + 2k · 5 = n2 .
44. Dimostrare che per n > 3 l’equazione 3k − 1 = xn non ha soluzioni intere.
3
2
Hint e soluzioni
1. a6 = b4 è una potenza dodicesima.
2. Congruenze mod 13.
3. Congruenze mod 13.
4. Fattorizzare la differenza di quadrati.
5. La domanda equivale a: quand’è che 1 +
1998
è intero? Basta contare
y − 1998
i divisori positivi di 1998.
6. Piccolo teorema di Fermat.
7. Induzione.
8. mcd(a, b) = mcd(a − b, b)
9. Congruenze modulo 3 ed 8, può semplificare i conti il piccolo teorema di
Fermat.
10. Piccolo teorema di Fermat.
11. Induzione.
12. n(n + 1) − m(m + 1) = 2007 · 2 ⇒ (n − m)(m + n + 1) = 2 · 2007.
∞
X
n
.
13. La massima potenza di p che divide n! è vp (n!) =
i
p
i=1
14. p|2001.
15. Porre la frazione uguale a k 2 ed esplicitare n in funzione di k.
16. Induzione.
17. Stimando il numero di cifre si trova che la risposta al problema è minore
di 12. Inoltre, ogni numero è congruo modulo 9 alla somma delle sue cifre.
18. Scegliere b = c + 1, a ∈ {0, 1}.
19. Dopo opportune sostituzioni si arriva a a2 + 1 ≡ 0 (mod 3), assurdo.
20. Modulo 7.
21. Esiste solo un numero finito di primi minori di 100.
22. Scrivendo il numero speciale come (2n − 1)2 + (2n + 1)2 + (2n + 3)2 =
12n2 + 12n + 11 = k(11...11) e considerando l’uguaglianza modulo 3 e 4 si
trova un’unica possibilità per k.
23. (x2 + y 2 )(z 2 + w2 ) = (xz + yw)2 + (xw − yz)2
24. Modulo 8.
25. Fattorizzare n2 − 1 = 2m ; n + 1 ed n − 1 sono entrambe potenze di 2.
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26. n2 ≡ n (mod 1000)
27. a − 1|an − 1, e se n = bc, ab − 1|abc − 1.
28. Congruenze modulo 13; notare che n2 + 5n + 16 ≡ (n − 4)2 (mod 13)
29. 5p = (m − 7)(m + 7) ⇒ m − 7 ∈ {1, 5, p, 5p}
30. Sia pn ||x, pm ||y, x = pn · a. Allora 2001n = mapn . Se p 6 |2001, allora
pn |n ⇒ n = 0. Perciò p|2001, ma si ha anche pn−1 |n, da cui n = 1, perciò
x|2001.
31. Scambiando le ultime due cifre di n si dimostra che dn ≤ 81. Poi basta
trovare un esempio per cui dn = 81.
32. Congruenze modulo 3, 5, 7.
33. Posso intanto supporli interi, e poi discesa infinita.
34. Se 3|x2 + y 2 , allora 3|x e 3|y, da cui se 2004 fosse somma di due quadrati
si avrebbe 9|2004.
35. Accoppiare tra loro gli inversi modulo p.
36.
• 2m − 3n = 41 è assurdo modulo 8.
• 3n − 2m = 41: considerando modulo 8 si trova che n è pari. Considerando modulo 3 si trova che anche m è pari. Allora 41 = (3b −
2a )(3b + 2a ), che è assurdo (dato che 41 è primo i due fattori sono
necessariamente 1 e 41).
37.
• Identità di Sophie-Germain (a4 + 4b4 = (a2 + 2b2 )2 − (2ab)2 )
• Congruenza modulo 5.
38. (x + 1) e x2 − x + 1 sono entrambe potenze di 3. Ma il secondo termine è
congruo a 3 modulo 9.
39. Pigeonhole sui numeri che si scrivono con sole cifre 1, e 10 non è divisibile
per p per ogni p 6= 2, 5
40. TCR
41. Considerare Fn modulo b2 . Prima o poi la successione deve avere un ciclo,
ma se Fn ≡ Fm , allora si ha anche Fn−1 ≡ Fm−1 , per cui c’è un certo
Fa ≡ F0 ≡ 0 (mod b2 ).
42. Allora (4n + 9)(9n + 1) è un quadrato perfetto, ma (6n + 3 + 5)2 > (4n +
9)(9n + 1) > (6n + 3)2
43. 2k · 5 = (n + 1)(n − 1). n = 2a ± 1, da cui 2k · 5 = 2a+1 2a−1 ± 1 e
5 = 2a−1 ± 1, da cui si conclude rapidamente.
44. 3k − 1 = xn . Distinguere i casi n pari e dispari. Dimostrare che k è
pari (mod 4). Per n pari, fattorizzare 3k − xn = 1 e trovare un assurdo.
Per n dispari, scrivere 3k = xn + 1 e fattorizzare il membro destro come
(x + 1)(xn−1 − ... + 1). Il secondo fattore è congruo a 3 modulo 9.
5
3
Algebra
1. Data una funzione tale che f (x + 1) =
quanto vale f (1)?
2. Dire quante soluzioni ha l’equazione 2x
2
2f (x) + 1
e tale che f (2) = 2,
2
√
−3x+ 5
= 1.
3. Siano a, b, c numeri non nulli e si consideri l’equazione di secondo grado
ax2 +bx+c = 0. Quanto vale (in termini di a, b e c) la somma dei reciproci
delle radici di tale equazione ?
4. Dimostrare per induzione che 1 + 2 + · · · + n =
n(n + 1)
2
5. Dimostrare per induzione che 1 + q + · · · + q n−1 =
1 − qn
per ogni q 6= 1
1−q
6. Dimostrare che tra i rettangoli di perimetro assegnato, il quadrato ha area
massima.
7. Dimostrate che
n
X
k · k! = (n + 1)! − 1
k=1
8. Se x +
1
1
= 3, quanto vale x2 + 2 ?
x
x
9. Dimostrare che 13 + 23 + 33 + . . . + n3 = (1 + 2 + 3 + . . . + n)2 .
10. Nel piano cartesiano, dire quanti sono i punti P = (x, y) a coordinate
intere che soddisfano l’equazione x2 + y 2 − 4x + 2y + 4 = 0
11. Fattorizzare
1 + x + x2 + ... + x1023
12. Per quali valori di a il polinomio (x − 1)(x2 − a2 )(x2 − a − 1) è divisibile
per x2 + x − 2?
13. Per quanti valori del parametro reale a il sistema
(
x2 − y 2 = 0
(x − a)(y + a) = 0
ammette una ed una sola soluzione?
14. Dimostrare che se a, b, c > 0 allora
a b
c
+ + ≥3
b
c a
15. Ad una riunione familiare, la somma delle etá di tutti i nipoti risulta
uguale a 22.
Quanto puó valere, al massimo, il prodotto delle etá di tutti i nipoti?
6
16. Qual è la somma algebrica dei coefficienti del polinomio
(x21 + 4x2 − 3)2001 − (x21 + 4x2 + 3)667 + x21 + 4x2 ?
17. Qual è il minimo valore dell’espressione x2 −8xy −6y +14+19y 2 al variare
di x, y tra i numeri reali?
18. Sia p(x) un polinomio a coefficienti interi con tre radici tutte intere e
distinte fra loro. Sia n un intero tale che p(n) 6= 0. Quanto vale al minimo
|p(n)|?
19. Dati X = a + 7b, Y = 2a + 5b, Z = 4a + 2b, dove a, b sono reali positivi,
cosa possiamo dire sull’ordine di X, Y, Z? (Ad esempio, è vero che Y <
X < Z?)
20. Se x + y = 30 e x3 + y 3 = 8100, quanto vale x2 + y 2 ?
√
21. Sapendo che la disequazione x ≤ a x − 1 nella variabile x ha una sola
soluzione, si trovi il valore del parametro a.
22. Sia {a1 , a2 , · · · , an } una progressione aritmetica crescente di n termini
(cioè la differenza tra due termini consecutivi è una costante positiva). Si
domanda per quali valori di n possiamo trovare 3 termini della progressione la cui media aritmetica sia uguale alla media aritmetica dell’intera
progressione.
23. Sia α una radice reale del polinomio x3 −x+1. Quanto vale α9 +3α6 +2α3 ?
24. Trovare una funzione non costante tale che f (2x + 1) = 2[f (x)]2 .
25. Dimostrare che se a, b, c sono numeri reali positivi, allora vale la disuguaglianza (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc.
26. L’equazione
x4 − 16x3 + 94x2 + px + q = 0
ha due soluzioni con molteplicità due. Trovare il valore di p + q.
27. Siano α, β, γ le radici del polinomio x3 +ax2 +bx+c. Trovare un polinomio
le cui radici sono αβ, αγ, βγ.
28. Quante sono le coppie di interi positivi (x, y) che soddisfano x2 + y 2 −
2004x + 2xy − 2004y − 2005 = 0?
Nota Bene: se x 6= y le coppie (x, y) e (y, x) sono da considerarsi diverse.
29. Provare che se P (x) è un polinomio a coefficienti interi tale che P (0) e
P (1) sono interi dispari, allora P (x) non può avere radici intere.
30. Sia P il prodotto delle soluzioni reali dell’equazione
√
399xlog3997 x = x7 .
Trovare le ultime 4 cifre della parte intera di P.
7
31. Sia f (n) una funzione tale che f (1) = 1 e, per tutti i numeri naturali n,
f (2n) = 2f (n) + 1. Quanto vale f (1024)?
32. Sia an una successione tale che a1 = 1 e
an+1 = 7an + 1.
Qual é stato il primo n tale che an sia divisibile per 30?
33. Per laurearsi in matematica con voto finale 66, uno studente ha svolto,
in ogni anno della sua carriera universitaria, soltanto 51 esercizi. Un
suo amico, che ha avuto voto finale 67, ha svolto ogni anno gli esercizi
precedenti, piú altri 53. Un terzo studente, che ha avuto voto finale 68,
ha svolto, oltre a quelli necessari per il 67, altri 55 esercizi all’anno. Da
questa verifica empirica, pare assodato che il numero di esercizi annui in
piú, necessari per guadagnare un punto alla laurea, cresca di due in due,
man mano che cresce il punteggio a cui si aspira.
Determinare, secondo questa regola, quanti esercizi dovrá fare ogni anno
chi punta al 110.
34. Trovare il coefficiente di x2006 del polinomio
(1+x)2 (1+x2 )(1+x4 )(1+x8 )3 (1+x16 )(1+x32 )4 (1+x64 )(1+x128 )(1+x256 )
(1 + x512 )(1 + x1024 )
35. Sia P (x) = x3 + ax2 + bx + c un polinomio con tre radici intere distinte.
Dimostrare che non esistono m e n interi distinti tali che P (n) = P (m) =
3.
36. Sia p(x) un polinomio a coefficienti interi tale che p(a) = p(b) = p(c) =
p(d) = 2, con a, b, c, d interi distinti. Dimostrare allora che non esiste
alcun intero n tale che p(n) = 15.
37. Siano a, b, c tre numeri reali. Si dimostri che il minimo tra (a − b)2 , (b −
c)2 , (c − a)2 è minore o uguale a
a2 + b2 + c2
2
38. (USAMO 1984) Il prodotto di due delle radici di
x4 − 18x3 + kx2 + 200x − 1984 = 0
è −32. Trovare k.
39. Sia f una funzione reale di variabile reale tale che f (10 + x) = f (10 − x)
e f (20 + x) = −f (20 − x) per ogni x reale. Si dimostri che f è periodica
e dispari
(Una funzione si dice periodica se esiste T > 0 tale che f (x + T ) = f (x)
per ogni x; si dice dispari se, per ogni x, vale f (x) = −f (−x))
8
40. Si dimostri che per ogni coppia di reali positivi x, y tali che x + y = 1 si
ha
x+
1
x
2
2
1
25
+ y+
≥
y
2
41. Qual é il massimo intero che si puó superare continuando a sommare gli
n/2n -esimi di 2002 (ovvero i numeri nella forma 2002 · 211 , 2002 · 222 , 2002 ·
n
3
23 , . . . , 2002 · 2n , . . .)?
42. Sia p(x) un polinomio a coefficienti interi tale che p(0) = 0, 0 ≤ p(1) ≤ 107
ed esistono due interi positivi a e b tali che p(a) = 1999 e p(b) = 2001.
Quali sono i possibili valori di p(1)?
Si ricorda che 1999 è primo e che 2001 = 3 · 23 · 29.
43. Si dimostri la disuguaglianza
(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8(x + y − z)(y + z − x)(z + x − y)
per ogni terna di reali positivi x, y, z.
44. ? Si definiscano i numeri a1 , ..., an come segue:
a1 = 1
an+1 = 2an +
p
3a2n + 1
Dimostrare che an è intero per ogni n.
45. ? Trovare tutti i polinomi f con coefficienti reali tali che, se a, b, c sono
reali per cui ab + bc + ca = 1, allora
f (a − b) + f (b − c) + f (c − a) = 2f (a + b + c)
46. ? Trovare tutte le funzioni strettamente crescenti o strettamente decrescenti f : R → R che verificano la relazione
f (x + f (y)) = f (x) + y
per tutti gli x, y in R.
Dimostrare poi che per ogni intero n > 1 non esistono funzioni reali di
variabile reale tali che
f (x + f (y)) = f (x) + y n
per tutti gli x, y in R.
47. ? Siano a1 , ..., an interi distinti. Dimostrare che
P (x) = (x − a1 )(x − a2 ) · · · (x − an ) − 1
è irriducibile, ovvero non è il prodotto di due polinomi a coefficienti interi
di grado minore.
9
4
Hint e soluzioni
1. Sostituire x = 1.
2. E’ equivalente a x2 − 3x +
√
5 = 0.
3. Per la formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado conosciamo
le radici;
2a
4ab
2a
b
√
√
+
=−
=−
2
2
4ac
c
−b + b − 4ac −b − b − 4ac
6. AM-GM.
7. Induzione.
8.
1
x + 2 =
x
2
2
1
x+
−2
x
9. Induzione.
10. x2 + y 2 − 4x + 2y + 4 = (x − 2)2 + (y + 1)2 − 1.
11. Somma delle progressioni geometriche;
n+1
x2
n
n
− 1 = x2 + 1 · x2 − 1 = ...
12. x2 + x − 2 = (x − 1)(x + 2); x + 2|q(x) ⇐⇒ q(−2) = 0.
13. (a, a) e (a, −a) sono sempre soluzioni.
14. AM-GM.
15. Il meglio che si può fare è prendere come addendi solo 2 e 3.
16. La somma dei coefficienti di p(x) è p(1).
17. x2 − 8xy − 6y + 14 + 19y 2 = (x − 4y)2 + 3y 2 − 6y + 14 = (x − 4y)2 + 3(y −
1)2 + 11 ≥ 11.
18. p(n) è il prodotto di (almeno) tre interi (relativi!) distinti, quindi |p(n)| è
il prodotto di almeno due interi positivi distinti.
2
19. Può essere utile notare Z = (−8X + 13Y ), e che quindi se Z ≥ X allora
9
si ha anche Z ≥ Y .
20. Identità: x2 +y 2 = (x+y)2 −2xy; x2 −xy +y 2 = (x+y)2 −3xy =
x3 + y 3
.
x+y
21. Posso elevare al quadrato; deve avere ∆ = 0 (perchè?)
22. Scrivere ai = a1 + (i − 1)r per un opportuno intero r (la ragione della
progressione) e calcolare esplicitamente le medie richieste.
23. α3 = α − 1. Sviluppare esplicitamente le potenze.
10
24. Ad esempio f (x) = 2x .
25. AM-GM
26. Sfruttare le relazione radici-coefficienti.
27. Sfruttare le relazione radici-coefficienti.
28. Fattorizzare. (x + y)(x + y − 2004) = 2005.
29. Considerare p(n) modulo 2.
30. Porre y = log3997 x. L’equazione allora diventa, posto a = log3997
√
399,
y 2 − 7y + a = 0.
31. Posto g(n) = f (n) + 1, allora
g(2n) = 2g(n)
32. Posto
bn = an +
g(1) = 2.
1
6
si ha bn+1 = 7bn .
33.
f (66) = 51
f (n + 66) = f (n + 65) + 51 + 2n
per ogni n ≥ 0.
f (n+66) = f (n+65)+51+2n = . . . = f (66)+51·n+[n+(n−1)+. . .+2+1] =
= 51 · (n + 1) + n · (n + 1) = (n + 51)(n + 1).
34. Consideriamo
10
Y
n
(1 + x2 ).
n=0
Dato che la rappresentazione di un numero in base 2 é unica, questo
polinomio è
p(x) = 1 + x + x2 + . . . + x2047 .
35. Senza perdere in generalità, a > b > c e P (n) = k(n − a)(n − b)(n − c).
P (n) = 3 ⇒ k, n − a, n − b, n − c ∈ {±1, ±3}. In particolare, dovrà essere
n − a = −3 (perchè?)
36. q(x) = p(x) − 2 = k(x − a)(x − b)(x − c)(x − d)r(x). Se fosse p(n) = 15
sarebbe q(n) = 13, impossibile (perchè?).
37. Senza perdita di generalità a < b < c. Scrivendo b = a + d, c = a + d + e
in cui d, e sono positivi si vede che si può assumere a = 0, ed a quel punto
la disuguaglianza è ovvia.
11
−1984
= −62. Perciò il polinomio
32
2
2
del testo si scriverà (x + hx + 32)(x + mx − 62), e sviluppando i conti si
trovano equazioni sufficienti per m, h e quindi per k.
38. Il prodotto delle altre due radici è allora
39. Sfruttando le condizioni del testo si trova
−f (x) = −f (10 − (10 − x)) = −f (10 + (10 − x)) = −f (20 − x) =
= f (20 + x) = f (10 + (10 + x)) = f (10 − (10 + x)) = f (−x)
Da questo discende immediatamente che f è dispari; sfruttando questo
fatto e f (10 + (10 + x)) = −f (10 + (10 − x)) segue anche che è periodica.
40. Due strade: esprimere tutto in funzione di s = x + y, p = xy e fattorizzare
il polinomio in p che si trova, oppure sfruttare le disuguaglianze tra medie
(QM-AM e AM-HM).
41.
∞
X
1 1 1
1
1 1
1
1 1
i
1
= (1 + + + + . . .) + (1 + + + . . .) + (1 + + + . . .) =
i
2
2
2 4 8
4
2 4
8
2 4
i=1
1
1
1
S + S + S + . . . = S(S − 1) = 2.
2
4
8
42. (a−b)| (p(a) − p(b)). Nel nostro problema, a|p(a) e b|p(b), ed inoltre b−a|2.
Questo forza a = p(a), b = p(b) (perchè?), e quindi q(x) = p(x) − x =
x(x − a)(x − b)r(x), da cui, infine, p(1) = 1(1 − a)(1 − b)r(1) + 1 in cui
r(1) è intero.
43. O almeno uno (e quindi esattamente uno) dei termini nel lato destro della
disuguaglianza è negativo, e la tesi è banale, oppure x, y, z possono essere
lati di un triangolo (ognuno è minore della somma degli altri due). Posto
x = a + b, y = b + c, z = c + a, s = a + b + c la disuguaglianza diventa
(s + a)(s + b)(s + c) ≥ 64abc, che è vera per AM-GM.
44. an+2 = 4an+1 − an
45. Il lato sinistro dell’uguaglianza non ha termini divisibili per abc. Questo
forza deg f ≤ 2 (perchè?). A questo punto è sufficiente provare i polinomi
della forma f (x) = ax2 + bx + c.
46. Prima parte: notiamo intanto che f è iniettiva. Posto x = y = 0 si trova
f (0) = 0; posto x = 0 si trova f (f (y)) = y.
Posto infine y = f (z) si trova f (x + z) = f (x) + f (z), da cui si può
concludere (perchè?) che f (x) = λx. Ora è sufficiente verificare per quali
λ effettivamente f rispetti l’equazione.
Seconda parte: f (f (x + f (y))) = f (y n + f (x)) = f (y n ) + x (cioè in
particolare f è surgettiva). Da questo e y = 0 segue f (f (z)) = z. Se ora
12
nel testo sostituiamo y = f (z), x = 0 troviamo f (z) = f (0) + f (z)n , cioè
f (z) dovrebbe assumere come valori solo soluzioni di questa equazione (che
sono in numero finito perchè n > 1), mentre sappiamo che è surgettiva,
assurdo.
47. Supponiamo sia riducibile: p(x) = q(x)r(x) con tutti i polinomi coinvolti
a coefficienti interi e di grado positivo.
Troviamo q(x) = −r(x) = ±1 per x = a1 , ..., an , cioè abbiamo due polinomi di grado < n che coincidono in n punti, da cui q(x) = −r(x) e
p(x) = −q(x)2 , che però è assurdo perchè −q(x)2 ≤ 0∀x, mentre p(x)
assume anche valori positivi.
13
5
Combinatoria
1. Dimostrate che comunque si scelgano cinque punti in un triangolo equilatero di lato 1 ve ne sono sempre 2 a distanza minore o uguale a 12 .
2. Dimostrate che, comunque si scelgano 51 punti in un quadrato di lato 1,
se ne possono trovarne 3 all’interno di un quadrato di lato 15 ; è sempre
possibile trovarne 3 all’interno di un cerchio di raggio 17 ?
3. Dimostrate che in ogni insieme di n + 1 interi ne esistono sempre due la
cui differenza sia divisibile per n.
4. Dimostrate che comunque si scelgano 53 interi distinti compresi tra 1 e
100, ne esistono sempre due la cui differenza sia 10. La tesi rimane vera
se chiediamo che la differenza sia 11? E 12?
5. Dimostrare che comunque vengano scelti 55 interi dall’insieme {1, 2, ..., 100}
ne esistono 2 la cui differenza è 9. Vale lo stesso se la differenza è 11 o 13?
6. Per quali n si può decomporre un quadrato come unione di n quadrati?
7. Quanti sono i sottoinsiemi di {1, . . . , n} che non contengono numeri consecutivi?
8. Dimostrate che non si possono disporre i 7 pezzi del tetris
in modo da formare un rettangolo 7 × 4.
9. Dimostrare che in un gruppo di 5 persone almeno 2 di loro hanno lo stesso
numero di conoscenti.
10. Dimostrare la seguente identità di Newton:
n
i
n n−j
=
,
i
j
j
i−j
con j, i, n interi tali che 0 ≤ j ≤ i ≤ n.
11. In un torneo di tennis 8 persone decidono di giocare gli incontri di doppio (due contro due) in tutti i modi possibili. Quanti incontri ci sono
nell’intero torneo?
12. Quanti sono i percorsi diversi, che connettono due vertici opposti A, B di
un parallelepipedo, formati da spigoli dello stesso e che passano una e una
sola volta per tutti i vertici?
14
13. Coloriamo ogni punto del piano o di rosso o di blu. Dimostrare che esiste
un triangolo equilatero con i vertici dello stesso colore.
14. Coloriamo ogni punto del piano di rosso, di verde o di blu. Fissata una
distanza d, dimostrare che esiste (almeno) una coppia di punti dello stesso
colore a distanza d.
15. Quanti sono i numeri di 10 cifre in cui la cifra 1 compare esattamente una
volta, la cifra 2 esattamente due volte, la cifra 3 esattamente tre volte e
la cifra 4 esattamente quattro volte?
16. Prendiamo un cubo, coloriamo i vertici di 8 colori distinti e poniamolo su
un tavolo. Una manipolazione del cubo consiste nel prendere il cubo e
riappoggiarlo sul tavolo con una faccia rivolta verso di noi; consideriamo
uguali due manipolazioni se dopo di esse il cubo si trova esattamente nella
stessa posizione, ovvero se vertici dello stesso colore occupano la stessa
posizione. Quante manipolazioni distinte del cubo esistono?
Ripetere quanto sopra per gli altri 4 solidi regolari.
17. (AMC12 2001) Un ragno ha un calzino ed una scarpa per ognuna delle sue
otto zampe. In quanti modi diversi il ragno può infilarsi calzini e scarpe,
sapendo che, per ogni zampa, il calzino deve essere indossato prima della
scarpa?
18. Abbiamo 5 scatole, etichettate da 1 a 5 e quattro palline indistinguibili
l’una dall’altra. In quanti modi diversi possiamo mettere le palline nelle
scatole?
E se invece abbiamo 5 scatole indistinguibili e 4 palline colorate con 4
colori, in quanti modi diversi possiamo mettere le palline nelle scatole?
19. Quanti sono gli interi n, con 1 ≤ n ≤ 600, che non sono divisibili né per
3, né per 5, né per 7?
20. Dimostrate che comunque si scelgano n + 1 interi distinti compresi tra 1
e 2n, ne esistono sempre due primi tra loro e due che sono uno multiplo
dell’altro.
15
6
Hint e Soluzioni
1. Hint: Dividere il triangolo in 4 triangoli equilateri di lato 1/2.
Soluzione: Almeno due punti cadono nella stesso triangolo. E’ facile
mostrare che questi punti non distano più di 1/2.
2. Hint: Dividere il quadrato in 25 quadrati di lato 1/5 (ognuno è contenuto
in un cerchio di raggio 1/7).
3. Hint: Considerare i resti dei numeri nella divisione per n.
4. Hint: Considerare le classi di congruenza modulo 10.
Soluzione: Ci sono almeno 6 numeri con la stessa classe di congruenza,
cioè nella forma 10k + r, con r fissato tra 1 e 10 e i k tutti distinti e
compresi tra 0 e 9. E’ facile dimostrare che presi 6 interi distinti tra 0 e 9
ce ne sono due consecutivi.
Il risultato non vale per 11: infatti nei numeri tra 1 e 100 ci sono 10
elementi nella classe di congruenza di 1, 9 in tutte le altre. Quindi affinchè
non si abbiano due elementi della stessa classe che distano esattamente di
11 se ne devono avere al più 5 in ogni classe, per un totale di 5 · 11 = 55.
Dai ragionamenti fatti è anche facile costruire un controesempio: basta
prendere per ogni classe il più piccolo rappresentante r e tutti i numeri
della forma 22k + r, con k = 0, 1, 2, 3, 4, per un totale di 55 interi.
Da un ragionamento analogo si vede invece che il risultato vale per 12: in
caso contrario si avrebbero al più 52 elementi.
5. Hint: vedi esercizio 4.
Soluzione: Come nell’esercizio 4, in caso contrario si avrebbero al più
5 · 8 + 6 = 48 elementi. Per 11 e 13 si avrebbero al massimo 50 e 52
elementi rispettivamente, per cui il risultato continua a valere.
6. Soluzione: è facile vedere che gli n pari maggiori o uguali a 4 vanno bene
(un quadrato grande bordato in basso e a destra da quadrati più piccoli).
Per gli n dispari maggiori o uguali a 9 basta dividere ulteriormente il
quadrato più grosso in quadrati più piccoli. Restano i numeri 2, 3, 5, 7,
che si escludono notando che per ogni vertice V del quadrato deve esserci
un quadratino che ha un vertice in V (da cui almeno 4 quadratini) e con
considerazioni geometriche.
7. Soluzione: l’(n + 2)-esimo numero di Fibonacci. Infatti per n = 1 i sottoinsiemi sono ∅, {1}. La ricorsione si costruisce distinguendo in due casi:
n ∈ A oppure n ∈
/ A.
8. Hint: Colorazione a scacchiera.
9. Soluzione: Supponiamo per assurdo che ognuno abbia un numero di conoscenti diverso. Allora questi numeri sono 0, 1, 2, 3, 4. Ma allora una
persona conosce tutti e un’altra non conosce nessuno, da cui l’assurdo.
10. Hint: Scrivere per esteso i binomiali con l’uso dei fattoriali.
11. Soluzione: modi di scegliere 4 persone su 8: 84 . Modi di dividerli in due
squadre: 3. Totale: 3 · 84 .
16
12. Risposta: 6.
13. Hint: Costruire un esagono regolare ABCDEF di centro O. Soluzione:
Per assurdo. Si può supporre O rosso, A blu, B rosso. Quindi C blu, E
rosso, D ed F blu. Sia ora G il simmetrico di O rispetto a CD. L’assurdo
è immediato.
√
14. Hint: Costruire due punti di colore diverso a distanza 3d.
Soluzione: Se due tali punti esistono, basta considerare il rombo di lato d con vertici i due punti (e con l’altra diagonale di lunghezza d).
Per
che esistono, considerare un qualunque triangolo di lati
√
√ dimostrare
d, 3d, 3d.
15. Risposta:
10
10!
=
.
1; 2; 3; 4
1!2!3!4!
16. Soluzione: Colleghiamo ogni vertice con quello opposto. In questo modo
otteniamo 4 segmenti che vengono permutati dalle manipolazioni. In particolare ogni manipolazione è identificata in modo univoco dalla sua azione
sui segmenti, e inoltre ci sono tutte le trasposizioni di due segmenti. Per
cui le manipolazioni sono in corrisponedenza biunivoca con S4 , e dunque
sono 4! = 24. L’ottaedro dà lo stesso risultato per dualità.
Per il tetraedro basta notare che una manipolazione è determinata univocamente dal colore dato a due vertici qualunque, per un totale di 12
possibilità.
Per icosaedro (e dodecaedro, dato che sono uno duale dell’altro) si deve
invece fissare il colore di un vertice e poi quello di uno adiacente, per un
totale di 12 · 5 possibilità.
17. Hint: Basta contare gli anagrammi di 1122334455667788.
18. Risposta:
5+4−1
4
5
19. Hint: Usare il principio di inclusione-esclusione.
Soluzione: Tra 1 e 105 sono
105 − (
105
105
105
105 105 105
+
+
−
−
−
+ 1) = 82,
3
5
7
3·5 3·7 5·7
quindi tra 1 e 525 sono 5 · 82 = 410. Tra 526 e 600 sono tanti quanti tra
1 e 75 (per congruenze). I multipli di 3 o 5 sono 5 · (3 + 5 − 1) = 35, i
multipli di 7 che non siano già multipli di 3 o 5 sono 8, quindi bisogna
aggiungere 75 − 35 − 8 = 32, per un totale di 410 + 32 = 442.
20. Hint: Induzione su n, oppure principio dei cassetti.
Soluzione: Lavoriamo per induzione. Se tra gli n+1 numeri mancano o 2n
o 2n − 1 si conclude immediatamente per ipotesi induttiva. Supponiamo
allora che ci siano sia 2n che 2n − 1 (per cui la parte dei coprimi è fatta).
Se ci fosse n avremmo la coppia (n, 2n) che soddisfa la seconda parte.
Supponiamo allora che non ci sia nemmeno n. Supponiamo anche che non
17
ci siano due numeri tra 1 e 2n − 2 che siano uno multiplo dell’altro. Se
agli n − 1 numeri tra 1 e 2n − 2 uniamo n, per ipotesi induttiva ce ne sono
due che sono uno multiplo dell’altro, e uno di essi dovrà essere n. Esiste
cioè a tale che a|n|2n, da cui la tesi.
Altra soluzione: consideriamo i cassetti {1, 2}, {3, 4}, ..., {2n − 1, 2n}.
Essi sono n, e noi abbiamo scelto n + 1 numeri, quindi 2 cadranno nello
stesso cassetto. Ma numeri consecutivi non hanno divisori in comune.
Siano poi a1 , ..., an+1 gli n + 1 numeri scelti; per ognuno di essi scriviamo
ai = 2bi di , dove d è dispari. Vogliamo ora utilizzare il principio dei cassetti:
mettiamo in un primo cassetto tutti quegli ai per cui di = 1, in un secondo
cassetto tutti quelli per cui di = 3, ..., in un n-esimo cassetto quelli per
cui di = 2n − 1.
Dato che abbiamo scelto n + 1 numeri, due cadono nello stesso cassetto.
Ma allora essi sono d · 2m , d · 2n per un certo d e per certi m, n, e quindi
il più piccolo dei due divide l’altro.
18
7
Geometria
1. Sia ABC un triangolo e siano A1 e B1 due punti sui lati AC e BC rispettivamente; sapendo che AA1 = 51 AC, che BB1 = 15 BC e che l’area del
quadrilatero ABB1 A1 é 45 cm2 , trovare l’area del triangolo ABC.
2. Sia ABCD un quadrato di lato l e siano M ed N i punti medi di BC e
CD; sia H l’intersezione tra AM e BN . Si determini l’area di M BH.
3. Sia C1 una circonferenza di centro O1 e sia V un punto esterno ad essa; si
traccino le tangenti t1 , t2 da V a C1 . Sia C2 una circonferenza di centro
O2 tangente a C1 , a t1 e a t2 con raggio minore di quello di C1 . Sapendo
che V O1 = 3 e che il raggio di C1 é 1, calcolare il raggio di C2 .
4. Sia ABCD un quadrilatero e siano E, F, G, H i punti medi dei lati AB, BC,
CD, DA. Dimostrare che EG e F H si incontrano lungo il segmento che
congiunge i punti medi di AC e BD.
5. Sia AB un segmento e sia C un punto su di esso; si costruiscano i semicerchi di diametro AB, AC, BC tutti dalla stessa parte di AB. Sia H
sulla semicirconferenza
√ più grande tale che CH sia perpendicolare ad AB;
sapendo che CH = 3, si calcoli la differenza tra l’area del semicerchio
più grande e la somma delle aree dei due semicerchi minori.
6. Sia C1 una circonferenza di raggio 1 e centro O; siano C2 , C3 due circonferenze dello stesso raggio tangenti tra loro in O e tangenti a C1 in punti
diametralmente opposti. Si tracci una quarta circonferenza C4 , più piccola delle precedenti, tangente internamente a C1 e esternamente a C2 e C3 .
Calcolare il raggio di C4 .
7. Quali sono i triangoli rettangoli che hanno le lunghezze dei lati in progressione aritmetica?
8. Si consideri una generica stella a 5 punte. Quanto vale la somma degli
angoli nelle punte?
9. In un quadrilatero convesso ABCD i lati AB, BC, CD sono uguali.
Inoltre AC = BD = DA. Quanto misura l’angolo in D?
10. In un pentagono regolare ABDF E sia C tale che ABC è equilatero;
quanto vale l’angolo convesso ∠ECD?
11. ABCD è un quadrato e E è un punto interno tale che BCE sia equilatero.
Qual è l’ampiezza in gradi di ∠AED?
12. Sia ABC un triangolo isoscele su base AB e si scelga D su AB. Sia E il
punto di AC tale che CE = CD. Se ∠BCD = 25◦ , si determini l’ampiezza
di ∠ADE.
13. Siano AC e BC due corde di una circonferenza aventi un estremo in comune, M1 sia il punto dell’arco AC (non contenente B) equidistante da
A e da C e M2 sia il punto dell’arco BC(non contenente A) equidistante
da B e da C. Se H, K sono le intersezioni del segmento M1 M2 con le due
corde, si dimostri che il triangolo CHK è isoscele.
19
14. Dato il triangolo ABC si considerino il punto P di intersezione della bisettrice dell’angolo in B con il lato AC e il punto Q di intersezione della
bisettrice dell’angolo in A con il lato BC. Supponendo che la circonferenza per P, Q, C passi anche per l’incentro R di ABC, e posto P Q = l,
determinare la lunghezza degli altri lati del triangolo P QR.
15. Tre circonferenze di raggio 1 cm passano ognuna per i centri delle altre
due. Qual è l’area dell’intersezione?
16. Dentro una circonferenza di raggio 1 vengono disegnate 4 circonferenze
uguali in modo che ognuna ne tanga altre due e quella più grande. Le
quattro circonferenze delimitano, ognuna con un quarto di circonferenza,
una zona di piano. Calcolarne l’area.
17. Sia ABC un triangolo e siano H, K i piedi delle altezze da A su BC e da
B su CA rispettivamente. Sia P il punto di incontro tra l’asse di HK e
AB. Determinare quanto vale AP/P B.
18. Sia T un punto e sia A su una circonferenza data in modo che T A sia
tangente. Si tiri da T una secante che incontra la circonferenza in B e C.
Siano X e Y i punti di incontro tra la bisettrice di ∠AT B e AC e AB.
Allora AX = AY .
19. Dimostrare che un pentagono inscritto in una circonferenza e tale che ogni
sua diagonale sia parallela ad un lato è necessariamente equilatero.
20. Su una circonferenza consideriamo cinque punti che chiamiamo, nell’ordine, A, M, B, C, D, e sia M equidistante da A e da B. Siano inoltre E,
F le intersezioni di M D con AC e di M C con BD. Si dimostri che il
quadrilatero CDEF è inscrivibile in una circonferenza.
21. Tra i quattro punti notevoli ortocentro, incentro, baricentro, circocentro,
quali sono sempre interni al triangolo?
22. Sia ABC un triangolo con AB = 1, ∠ACB = 120◦ . Sul lato AB si costruisce ABD equilatero con D dalla parte opposta della retta AB rispetto
a C. Detto G il baricentro di ABD, quanto è lungo CG?
23. Dimostrare che il simmetrico dell’ortocentro rispetto ad un lato giace sulla
circonferenza circoscritta.
24. Una statua di bronzo piena, alta 60, viene fusa e dal metallo ottenuto si
ricavano delle sue copie in scala, ognuna alta 10. Quante copie ottengo?
25. Siano B, C, D tre vertici di un cubo appartenenti alla stessa faccia con
BC e CD due spigoli del cubo; sia A il vertice tale che lo spigolo BA non
sta nella faccia di B, C, D. Togliamo al cubo il tetraedro di vertici ABCD.
Quanti spigoli ha il solido cosı̀ ottenuto?
26. Sia ABC un triangolo e sia P un punto al suo interno. Tracciamo per
P una retta parallela a BC che incontra AB in D e AC in E, una retta
parallela a AC che incontra AB in F e BC in G e una retta parallela a
AB che incontra AC in H e BC in I. Sappiamo che P HE ha area 4,
P F D ha area 9 e P GI ha area 49; calcolare l’area di ABC.
20
27. Sia ABC un triangolo e sia P un punto al suo interno. Tracciamo per
P una retta parallela a BC che incontra AB in D e AC in E, una retta
parallela a AC che incontra AB in F e BC in G e una retta parallela a
AB che incontra AC in H e BC in I. Sappiamo che DE = F G = HI = d
e che i lati di ABC misurano 425, 450, 510 cm. Calcolare d.
28. ABC è un triangolo rettangolo in B non isoscele e D è l’ulteriore intersezione del cerchio di diametro BC con l’ipotenusa; DF è la tangente al
cerchio in D e F si trova su AB. Dimostrare o negare i seguenti fatti:
• ∠BF D = 2 · ∠BAC
• DF = F A
• DF biseca l’angolo ∠BDA
• DF biseca il segmento BA
• FD = FB
29. Siano BD e CE perpendicolari che si incontrano in O e sia A su OE in
modo OA = 1, OB = 2, AB è perpendicolare a BC e BC è perpendicolare
a CD, CD è perpendicolare a DE. Quanto vale AE?
30. Sia ABC un triangolo rettangolo e siano A0 B 0 C 0 i punti simmetrici dei
vertici A, B, C rispetto ai lati opposti del triangolo. Sapendo che il triangolo ha area S è possibile determinare l’area di A0 B 0 C 0 ? Se sı̀, quanto
vale?
31. Sia ABCD un quadrato di lato 1 e siano A0 , B 0 , C 0 , D0 su AB, BC, CD, DA
rispettivamente, tali che AA0 = BB 0 = CC 0 = DD0 = 1/n; la striscia delimitata da AC 0 e A0 C e la striscia delimitata da BD0 e B 0 D si intersecano
in un quadrato di area 1/1985. Calcolare n.
32. Dato il triangolo ABC con ∠CAB −∠ABC = 90◦ , detti M il punto medio
di AB e H il piede dell’altezza relativa ad AB, dimostrare che il raggio
della circonferenza circoscritta ad ABC è uguale a HM .
33. Sia ABC un triangolo inscritto in una circonferenza data. Se A e B sono
fissati, qual è il luogo descritto dall’incentro I di ABC al variare di C sulla
circonferenza?
34. Se P è un punto interno ad ABC triangolo acutangolo tale che i triangoli
AP B, AP C, BP C hanno la stessa area, allora P è uno dei quattro punti
notevoli? Quale?
35. Si consideri una piramide retta con base un esagono regolare di lato 1 e si
conduca un piano passante per il centro della base e parallelo a una faccia
laterale. Tale piano interseca la piramide lungo un quadrilatero. Calcolare
il rapporto tra l’area del quadrilatero e quella di una delle facce laterali.
36. Siano ABCD punti allineati in quest’ordine e tali che BC = 2 · AB e
CD = AC. Dimostrare che:
• la corda comune alle circonferenze che hanno per diametri AC e BD
biseca AC
21
• la corda comune a due qualsiasi circonferenze l’una passante per A e
C e l’altra passante per per B e D biseca AC.
37. Dato il triangolo ABC si considerino il punto P di intersezione della bisettrice dell’angolo in B con il lato AC e il punto Q di intersezione della
bisettrice dell’angolo in A con il lato BC. Supponendo che la circonferenza per P, Q, C passi anche per l’incentro R di ABC, e posto P Q = l,
determinare la lunghezza degli altri lati del triangolo P QR.
38. Sia ABC un triangolo e sia γ la sua circonferenza inscritta; γ tange AB
in T. Sia D il punto diametralmente opposto a T e sia S il punto di
intersezione tra la retta CD e il lato AB. Dimostrare che AT = SB.
39. Sia ABC un triangolo equilatero e sia P un punto del cerchio circoscritto
appartenente all’arco AB che non contiene C. Sia Q l’intersezione di P C
con AB. Si dimostri che
• AP + BP = CP
•
1
AP
+
1
BP
=
1
PQ.
40. Sia ABC un triangolo e siano A0 B 0 C 0 su AB, BC, CA rispettivamente tali
che AA0 /AB = BB 0 /BC = CC 0 /CA = 1/n dove n è un intero positivo.
Si determini il rapporto tra l’area di ABC e l’area di A0 B 0 C 0 . Si dimostri
inoltre che questi due triangoli hanno lo stesso baricentro.
41. Dato un triangolo ABC equilatero di lato 1 e P interno ad esso, si dimostri
che esiste un triangolo con lati di lunghezza P A, P B, P C e che l’area di
tale triangolo è funzione solamente di d = P G, dove G è il baricentro di
ABC.
42. Si consideri un punto P nel piano equidistante da due rette parallele a, b
assegnate. Si tracci una retta r per P che interseca a, b in A, B. Si descriva,
al variare di r, il luogo geometrico dei punti C per i quali ABC è equilatero.
43. Sia ABC un triangolo e siano ACP Q e BARS quadrati. Dimostrare che,
se B, C rimangono fissi e A varia in uno dei semipiani individuati dalla
retta BC, i segmenti P S cosı̀ prodotti passano tutti per un punto fisso.
44. Siano X, Y, Z i centri di tre quadrati posti esternamente sui lati di ABC;
dimostrare che AX è congruente e perpendicolare a Y Z.
45. Data una circonferenza Γ e un punto A esterno ad essa, per ogni punto P
sulla circonferenza si costruisca il quadrato AP QR in senso antiorario. Si
determini il luogo geometrico descritto dai punti Q al variare di P su Γ.
46. Dimostrare che il baricentro, il circocentro e l’ortocentro sono allineati e
che OG = 2GH.
22
8
Soluzioni
1. Hint: similitudine.
Risultato: SAA1 B1 B = (1 −
16
25 )SABC
2. Hint: similitudine.
Risultato:SBM H = ( √15 )2 SABM =
3. Hint: similitudine.
Risultato:3 = 02rV =
da cui S = 125.
l2
20 .
2−r
r .
4. Hint: vettori.
5. Hint: secondo teorema di Euclide.
Risultato: 3π/4.
6. Hint: Pitagora sui segmenti che congiungono i centri.
Risultato: 1/3.
7. Risultato: Dal teorema di Pitagora, chiamato a il cateto minore e h la
ragione, si ricava a/h = 3, per cui i lati sono proporzionali a 3, 4, 5.
8. Risultato: π, con angle chasing.
9. Risultato: 2π/5, con angle chasing.
10. Risultato: 84◦ .
11. Risultato: 150◦ .
12. Risultato: 12, 5◦ .
13. Hint: Tracciare i segmenti OM1 e OM2 , e considerare il triangolo formato
dalle rette AC, M1 M2 e OM1 .
14. Soluzione: Si dimostra che Ĉ = π/3, da cui P R = QR =
15. Soluzione:
16. Soluzione:
√l
3
.
√
π− 3
2 .
√
2 − 1.
17. Hint: AKHB è ciclico.
18. Hint: Angoli.
19. Hint: Angoli.
20. Soluzione: E ĈF = AĈM = B D̂M = F D̂E.
21. Soluzione: Incentro (è centro della circonferenza inscritta), baricentro (sta
ai 2/3 di ciascuna mediana).
22. Hint: ACBD è ciclico.
23. Hint: Trovare AĤB.
24. Soluzione: 63 = 216.
23
25. Hint: Usare la relazione di Eulero: V + F = S + 2.
Soluzione:14.
26. Hint: similitudine, spostare segmenti congruenti.
Risultato: F P : P G : HE = 3 : 7 : 2 e AH = F P , EC = P G. Quindi
AC : HE = 12 : 2, SABC : SHEP = 144 : 4.
27. Hint: similitudine.
Risultato: Siano a, b, c tali che HE : GP : F P : AC = a : b : b : c : 1.
Allora 450(a + b) = d, e analogamente con le altre coppie. Sommando
1
1
1
+ 510
+ 425
) = 2(a + b + c) = 2.
d( 450
28. Hint: BD⊥AC e ∠F DB = ∠BCA.
Risultato: Tutte vere tranne la terza.
29. Hint: Similitudine.
Risultato: 15.
30. Hint: se ABC è rettangolo in C, guardare l’altezza realtiva ad A0 B 0 :
C 0H 0.
Soluzione: Se H è il piede dell’altezza relativa ad AB, C 0 H 0 passa per C
e H ed è C 0 H 0 = 3CH. Quindi S 0 = 3S.
0
0
0
0
31. Hint: Sia H su DB 0 tale che
q D H⊥DB . Allora DHD ∼ C DA.
2
(n+1)
Soluzione: D0 H : n1 = 1 : 1 + n2 , da cui n = 32.
32. Hint: Trigonometria.
b
Soluzione: La tesi è HM = c/2 + b sin β = R = 2 sin
β , cioè, sostituendo
2
c sin β = b sin γ = b cos(2β), b(cos(2β) + sin β) = b, che è un’identità.
ˆ
33. Hint: Calcolare AIB.
ˆ è
Soluzione: se C varia all’interno di ciascuno dei due archi AB, AIB
fissato. Quindi il luogo sono i due archi di circonferenza per A e B tali
che l’angolo che sottende AB è fissato.
34. Hint: Dimostrazione simile a Ceva.
Soluzione: Sia H = CP ∩ AB. Allora
AH : BH = S(AP H) : S(BP H) = S(CAH) : S(CBH) = S(CP A) : S(CP B) = 1,
quindi CH è la mediana di AB e, con dimostrazioni analoghe, P è il
baricentro.
35. Hint: La superficie di intersezione è un trapezio isoscele ABCD di base
AB = 2. Notare che CD = 1/2.
Soluzione: Sia V il vertice della piramide, K il piede dell’altezza. Guardiamo l’angolo θ che una superficie laterale forma con il piano, ovvero
l’angolo tra l’apotema di una superficie laterale e l’apotema dell’esagono.
Esso, per ipotesi, è uguale all’angolo che il piano per il contro forma col
piano orizzontale. Se EF V è la faccia opposta a quella parallela al piano
e H è il piede dell’altezza relativa a EF , chiamiamo G l’intersezione tra
V H e CD. Allora il triangolo HKV è rettangolo in K e G è un punto su
HV tale che GK̂H = V ĤK, quindi G è punto medio di V H, quindi C e
24
D sono punti medi di EV e F V .
Ora, se poniamo α = V ÊF , si calcolano facilmente base maggiore, base
minore e lati obliqui, e quindi anche altezza. Alla fine si ottiene S = 58 Slat .
36. Hint: Asse radicale.
Risultato: il punto medio di AC sta sull’asse radicale delle due circonferenze: infetti per entrambe la potenza del punto è 9 · AB 2 /4.
37. Hint: M H = BM .
Soluzione: Il quadrilatero BHLC è ciclico con centro M ⇒ C L̂B = π/2
⇒ AB = AC ⇒ BL è l’altezza relativa a CA ⇒ HL = AL ⇒ CLM è
equilatero ⇒ Ĉ = π/2.
38. Hint: Si tracci la parallela ad AB passante per D, che incontra AC in A0
e BC in B 0 .
Soluzione: se h è l’omotetia di centro C che manda A0 B 0 C in ABC,
h(D) = S è il punto di tangenza di h(γ), cioè la circonferenza ex-inscritta.
.
Quindi AT = SB = b+c−a
2
39. Hint: Trigonometria brutale per il primo punto, similitudini per il secondo.
Soluzione: Ponendo 2α = AÔP si calcolano facilmente i tre segmenti AP ,
BP , CP . Per il punto due si dimostra che QP A⊥BP C, da cui
CP
1
1
1
=
=
+
PQ
AP · BP
AP
BP
.
40. Hint: Geometria coi complessi.
41. Hint: Usare i vettori.
Soluzione: Dati i vettori posizione A, B, C, si ricava
A0 =
1
[B + (n − 1)A]
n
e analogamente per B 0 e C 0 (da cui è facile dimostrare che i baricentri
coincidono). L’area del triangolo che ha per lati i vettori L1 e L2 è |L1 ×
L2 |/2. Quindi
S 0 = |(B 0 − A0 ) × (C 0 − A0 )|/2 = |A0 × B 0 + B 0 × C 0 + A0 × C 0 |/2 =
n2 − 3n + 3
n2 − 3n + 3
|A × B + B × C + C × A| =
S.
2
2n
n2
42. Soluzione, accenno: Siano A0 , B 0 , C 0 i simmetrici di P rispetto ai lati.
Allora A0 B 0 = 2CP sin 60◦ , e analogamente gli altri. Quindi il triangolo
A0 B 0 C 0 ha i lati proporzionali a P A, P B, P C, da cui la prima parte della
tesi.
Notiamo anche che il triangolo pedale di P è simile ad A0 B 0 C 0 , per cui la
seconda parte della tesi è equivalente al fatto che l’area del triangolo pedale
è funzione della sola d. Questo può essere fatto abbastanza agevolmente
passando alle coordinate polari: si pone il centro in G, e si misura θ a
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partire da un asse parallelo al lato AB. Ponendo AB = 1, le proiezioni di
P sui lati sono
√
3
P A1 =
+ r sin θ
6
√
3
2π
P B1 =
+ r sin(θ +
)
6
3
√
3
4π
P A1 =
+ r sin(θ +
).
6
3
La superficie del triangolo pedale è
2π
1
sin( )(P A1 · P B1 + P B1 · P C1 + P C1 · P A1 ),
2
3
e sostituendo, con un po’ di pazienza, si verifica che tale espressione
dipende da r e non da θ.
43. Hint: Proiettare C sulla retta parallela ad a passante per P .
Soluzione: Chaiamando C 0 la proiezione,
si ricava facilmente da un conto
√
trigonometrico che P C 0 = d(P, a) 3, quindi il luogo cercato è l’unione di
due rette perpendicolari ad a.
44. Hint: Trasformazioni del piano con i complessi.
Soluzione: S = i(A − B) + B, T = i(A − C) + C. Il segmento SP è
SP = {tS + (1 − t)P |t ∈ [0, 1]} .
Per t = 12 si ottiene il punto (B + C) 1−i
2 , che, non dipendendo da A,
appartiene a SP per ogni A.
45. Hint: Complessi. Soluzione: q = (p √
− a)(1 + i) + a = p(1 + i) − ai, cioè
circonferenza di centro −ai e raggio 2r.
46. Hint: Omotetie; il problema è comunque noto (Retta di Eulero).
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