diario delle lezioni. - Dipartimento di Matematica e Informatica

DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI
MATEMATICA II - INGEGNERIA ELETTRONICA.
ANNO ACCADEMICO 2015-2016
(PROF. D. PUGLISI)
12-10-2015 Successioni di Funzioni Successioni di funzioni. Convergenza puntuale.
Convergenza uniforme. Esempi. Criterio di Cauchy. Condizione necessaria
e sufficiente per la convergenza uniforme. Teorema di limitatezza per la
funzione limite. Teorema di continuità per la funzione limite. Esempio di
successione di funzione definita su un compatto, convergente puntualmente
ma non uniformemente ad una funzione continua. Teorema del Dini.
14-10-2015 Teorema del Dini. Esempi. Teorema di Riemann-integrabilità per la funzione limite e passaggio al limite sotto il segno di integrale. Condizione sufficiente per l’uniforme convergenza attraverso la succcessione delle
derivate.
15-10-2015 Allerta meteo.
19-10-2015 Teorema dello scambio dei limiti. Teorema di passaggio al limite sotto il
segno di integrale definito. Esempi. Teorema di passaggio al limite sotto il
segno di integrale improprio di prima specie (non dimostrato). Teorema di
passaggio al limite sotto il segno di integrale improprio di seconda specie
(non dimostrato). Teorema di Polya (non dimostrato).
Serie di Funzioni Definizione di serie di funzione. Convergenza puntuale. Convergenza uniforme. Convergenza totale. Confronto fra le varie
convergenze. Condizione caratteristica per la convergenza totale.
21-10-2015 Teorema di continuità per serie di funzioni. Teorema di integrazione per
serie. Teorema di derivazione per serie. Teorema del Dini per serie di funzioni. Criterio di Cauchy per convergenza uniforme di una serie di funzioni.
Esempio sul calcolo della funzione somma di una serie convergente. Esercizi
vari.
22-10-2015 Serie di potenze Definizione. Raggio di convergenza di una serie di potenze. Lemma sull’assoluta e totale convergenza di una serie di potenze.
Teorema descrittivo sulla convergenza assoluta e totale attraverso il raggio
di convergenza. Teoremi sul calcolo del raggio di convergenza attraverso il
corollario del criterio della radice n-esima e rapporto.
26-10-2015 Teorema di Abel (non dimostrato). Teorema di derivazione di una serie di
potenze. Esempi del calcolo della somma di una serie numerica convergente.
Serie di Taylor Definizione di serie di Taylor/McLaurin. Funzione analitica in un punto (o sviluppabilità in serie di Taylor). Condizioni sufficienti
affinchè una funzione di classe C ∞ sia analitica. Teorema di Berstein (non
dimostrato). Esercizi vari.
28-10-2015 Spazi metrici Definizione. Intorno di un punto. Insiemi aperti e chiusi
in uno spazio metrico. Punto di accumulazione e isolato. Chiusura di un
insieme. Insiemi compatti. Ogni insieme compatto è chiuso e limitato (non
.
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ANALISI II, CORSO (A-Z)
vale in generale il viceversa). Teorema di Heine-Borel su Rn (dimostrazione uguale a quella in R). Metriche equivalenti. Metriche classiche su
Rn . Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Disuguaglianza triangolare per
la metrica euclidea. Disuguaglianza di Holder-Riesz e di Minkowski (non
dimostrate). Esercizi vari.
Spazi normati Successioni convergenti in spazi metrici. Successioni di
Cauchy in spazi metrici. Spazi metrici completi. Esempio di spazio metrico non completo. Spazi normati. Spazi di Banach. Definizione di funzioni
convergenti (e divergenti) tra spazi normati. Limiti di funzione tra spazi
normati. Teorema ponte tra limiti di funzioni e limiti di successione. Teorema di composizione tra limiti di funzioni. Teorema sulle restrizioni di
limiti di funzioni. Esempi.
Allerta meteo.
Continuità Continuità di funzioni tra spazi metrici. Teorema di Weiestrass per esistenza di massimi e minimi assoluti. Funzioni uniformemente
continue. Funzioni lipschitziane. Confronto fra questi concetti. Teorema
di Heine-Cantor (dimostrazione identica a quella in R). Funzioni coercive.
Funzioni coercive e continue in un chiuso di Rn .
Derivate direzionali Definizione di derivata direzionale e derivate parziali
(rispetto a una variabile). Esempi. Esempio di funzione dotata di derivata
rispetto a una qualunque direzione in un punto ma non continua in quel
punto. Operatori lineari e continui tra spazi normati. Condizione di equivalenza affinchè un operatore lineare sia continuo. Definizione dello spazio
L(X, Y ) e norma associata.
Differenziabilità Definizione. Ogni funzione differenziabile in un punto è
continua in quel punto. Esercizi vari.
Ogni funzione differenziabile ammette derivate direzionali e formula del
differenziale. Gradiente, matrice Jacobiana e di una funzione e significato.
Teorema del differenziale totale. Esercizi su limiti di funzioni.
Estremi relativi Teorema sulla derivata direzionale e di differenziazione
di funzioni composte (non dimostrato). Derivate e differenziale di ordine
superiore. Funzione di classe C k . Massimi e minimi relativi per funzioni a
più variabili. Forme quadratiche su Rn . Forme quadratiche definite (risp.
semi-definite) positive e negative. Condizione caratteristica affinchè una
forma quadratica simmetrica sia definita positiva attraverso gli autovalori
e disuguaglianza caratteristica (non dimostrato). Forma quadratica hessiana. Teorema di Schwarz∗ . Formula di Taylor col resto di Peano (non
dimostrato). Esercizi vari.
Massimi e minimi relativi sulle restrizioni. Punti stazionari. Teorema di
Fermat. Due Teoremi per lo studio di massimi, minimi e punti di sella attraverso le forme quadratiche hessiane. Teorema per lo studio della positività
o meno di forme quadratiche simmetriche attraverso i determinanti delle
matrici principali (non dimostrato). Studio di massimi e minimi relativi
(schema generale). Esercizi. Definizione di funzione implicita.
Funzioni implicite Teorema del Dini sull’esistenza, continuità e unicità
della funzione implicita. Teorema del Dini sulla derivabilità della funzione
implicita.
Calcolo della retta tangente di una curva piana in un punto attraverso la
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funzione implicita. Teorema del Dini-esistenza, unicità e continuità (Caso
vettoriale) (non dimostrato). Teorema del Dini-derivabilità della funzione
implicita (Caso vettoriale) (non dimostrato). Teorema di invertibilità locale
(non dimostrato).
Estremi vincolati Definizione di massimo e minimo vincolato. Teorema sui moltiplicatori di Lagrange. Funzione Lagrangiana. Teorema per
determinare estremi vincolati attraverso la funzione lagrangiana.
Esercizi vari.
Esercizi su massimi e minimi vincolati.
Metodi risolutivi di alcuni tipi di equazioni differenziali Equazioni differenziali a variabili separate. Definizione di soluzione. Soluzioni di
primo, secondo e terzo tipo.
Equazioni differenziali lineare di primo ordine. Definizione di soluzione. Proprietà di soluzione in grande. Equazione omogenea associata.
Soluzione particolare attraverso il metodo delle variazioni delle costanti di
Lagrange. Metodo per determinare tutte le soluzioni.
(Recupero Lezione 8.00/10.00) Equazioni differenziali lineare di
ordine n a coefficienti costanti. Definizione di soluzione. Proprietà di
soluzione in grande. Equazione omogenea associata. Soluzioni dell’omogenea associata attraverso polinomio caratteristico. Soluzione particolare
attraverso il metodo delle variazioni delle costanti di Lagrange. Metodo per
determinare tutte le soluzioni. Esercizi.
Equazioni differenziali di Bernoulli e di tipo omogeneo (di Manfredi) di primo ordine. Equazioni differenziali di Bernoulli di primo
ordine. Definizione di soluzione. Proprietà di soluzione in piccolo. Metodo
risolutivo per determinare tutte le soluzioni. Equazioni differenziali di tipo
omogeneo (o di Manfredi) di primo ordine. Definizione di soluzione. Proprietà di soluzione in piccolo. Metodo risolutivo per determinare tutte le
soluzioni. Esercizi. Teorema di Banach-Caccioppoli.
Equazioni differenziali ordinarie di ordine n e sistemi di equazioni
differenziali Definizione di soluzione. Proprietà di soluzione in piccolo.
Problema di Cauchy. Equazione di Volterra. Teorema di esistenza e unicità
di soluzioni in piccolo.
Teorema di Peano (non dimostrato). Teorema di esistenza in grande (non
dimostrato). Teorema di unicità del problema di Cauchy lineare. Wronskiano. Lemma per le soluzioni all’equazione omogenea linearmente indipendenti. Teorema sulla dimensione dello spazio di soluzione dell’equazione
omogenea associata. Teorema sull’insieme di soluzioni di una equazione (o
sistema) lineare di qualunque ordine. Esercizi vari
Metodi risolutivi per sistemi di equazioni differenziali di primo ordine a
coefficienti costante. Matrice esponenziale. Teorema di Putzer (non dimostrato). Esercizi vari.
Teoria della misura di Lebesgue Rettangoloidi semiaperti in Rn . Definizione della misura di Lebesgue di un rettangolide. Plurirettangolo in
Rn . Definizione della misura di Lebesgue di un plurirettangolo. Definizione della misura di Lebesgue di un aperto non vuoto e limitato con l’ausilio
dei plurirettangoli. Definizione della misura di Lebesgue di un chiuso non
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ANALISI II, CORSO (A-Z)
vuoto e limitato. Definizione di insieme limitato di Rn misurabile secondo Lebesgue. Definizione di insieme generico di Rn misurabile secondo
Lebesgue.
Proprietà della misura di Lebesgue: (1) Finita additività. (2) Sottratività.
(3) Monotonia. (4) Modularità. (5) Finita sub-additività. (6) σ-addtività.
(7) σ-subaddtività. (8) Continuità verso il basso. (9) Continuità verso
l’alto. (10) Invarianza per traslazione. Esempio (Vitali): esempio di insieme
non misurabile secondo Lebesgue. Definizione di σ-algebra. Esercizi vari.
σ-algebra di Borel (o boreliani). Teorema di decomposizione di Borel degli
insiemi Lebesgue misurabili (non dimostrato).
Integrale di Lebesgue Funzioni misurabili. Prolungamento banale. Operazioni di funzioni misurabili (combinazione lineare, inf p fp e supp fp ). Convergenza quasi ovunque e quasi uniformemente. Ogni funzione limite-quasi
ovunque di una successione di funzioni misurabili è misurabile. Convergenza quasi uniforme implica convergenza quasi ovunque. Teorema di
Severini-Egoroff. Funzioni semplici. Ogni funzione misurabile può essere
approssimata (quasi ovunque) attraverso una successione non decrescente
di funzioni semplici (non dimostrato). Definizione di integrale di Lebesgue:
(i) per funzioni misurabili, limitate definite su insiemi di misura finita a
valori non-negative.
(ii) per funzioni misurabili, definite su insiemi di misura finita a valori
non-negative.
(iii) per funzioni misurabili a valori non-negative.
(iv) per funzioni misurabili a valori qualunque.
Confronto con l’integrale di Riemann: ogni funzione Riemann integrabile è
integrabile secondo Lebesgue. Non vale il viceversa (Esempio). Teorema di
Lebesgue-Vitali (non dimostrato). Esercizi.
Teorema della convergenza dominata di Lebesgue. Teorema di Beppo-Levi
(non dimostrato). Esercizi.
Calcolo dell’integrale di Lebesgue Teorema di Tonelli. Teorema di
Fubini (non dimostrato). Formula di integrazione per sezione. Formula di
integrazione per proiezione (non dimostrato). Definizione di diffeomorfismo.
Teorema di cambiamento di variabile (non dimostrato). Esercizi.
Spazi metrici connessi. Definizioni equivalenti di spazi metrici connessi.
Spazi metrici connessi per archi. Insiemi in spazi normati connessi per spezzate. Ogni conensso per segmenti è connesso per spezzate. Ogni connesso
per spezzate è connesso per archi. Ogni connesso per archi è connesso. Ogni
aperto in uno spazio normato è connesso se e solo se è connesso per spezzate. Teorema dell’esistenza degli zeri per funzioni a più variabili. Teorema
del gradiente nullo. Esercizi.
Curve in Rn Definizione di cammino o curva in Rn , curva semplice, punto
iniziale e finale di una curva, rappresentazione parametrica e relazione di
ammissibilità tra cammini, sostegno o traiettoria di un curva. Cammino
aperto e chiuso, cammino regolare e regolare a tratti. Se due curve (entrambe aperte o chiuse) hanno lo stesso sostegno allora sono uguali (non
dimostrato). Curve rettificabili e definizione di lunghezza di una curva
semplice. Curve regolari. Ogni curva regolare è rettificabile e formula della
lunghezza di una curva.
ANALISI II, CORSO (A-Z)
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21-12-2015 Integrali curvilinei e forme differenziali Formula per la lunghezza del
grafico di una funzione reale a variabile reale. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. Proprietà. Forme differenziali associati ad
un campo vettoriale. Interale curvilineo di una forma differenziale. Proprietà. Definiziane di forma differenziale esatta. Primitiva di una forma
differenziale. Integrale curvilineo di una forma differenziale esatta. Forma
differenziale chiusa. Ogni forma differenziale esatta è chiusa ma non vale il
viceversa. Insieme stellato. Ogni forma differenziale chiusa in un insieme
stellato e aperto è esatta (non dimostrato). Teorema caratteristico affinchè
una forma differenziale sia esatta attraverso integrali curvilinei (non dimostrato). Domini del piano. Primo teorema di Jordan per domini limitati
del piano (non dimostrato). Secondo teorema di Jordan (per l’esattezza di
una forma differenziale) (non dimostrato). Esercizi.
07-01-2016 Insiemi semplicemente connessi. Condizione necessaria e sufficiente affinchè
una forma differenziale sia esatta su insiemi semplicemente connessi (non
dimostrato). Teorema di Gauss-Green (no dimostrato). Formula per il
calcolo della misura di un dominio piano regolare. Esercizi.
11-01-2016 Esercizi.
13-01-2016 Esercizi.
14-01-2016 Simulazione.
18-01-2016 Correzione simulazione e esercizi vari.