Esercizio 12 - Corsi a Distanza

Politecnico di Torino
CeTeM
Dispositivi e sistemi meccanici
12
Esercizi
Esercizio 12
Il viscosimetro di figura è costituito da un
cilindro pieno A immerso in un bagno d’olio
entro un cilindro cavo B sostenuto da un
tirante di acciaio C, di rigidezza torsionale k1
saldato in E ed F. L’olio bagna la superficie
esterna del cilindro A solo per un’altezza H.
Supposto che il cilindro esterno B ruoti con
velocità angolare n costante, determinare, in
condizioni di regime, la viscosità dell’olio,
sapendo che il cilindro A è ruotato dell’angolo
ϑ.
La differenza Ra-Rb tra i raggi dei due cilindri è
abbastanza piccola rispetto ai raggi stessi, per
cui si possono applicare le formule della
lubrificazione valide nel caso di coppia
prismatica.
Ra = 9,8 cm
Rb = 10 cm
H = 8 cm
Z = 0,2 cm
ϑ = 80°
n = 1 giro/s
kt = 70 Nmm/rad
Soluzione
A regime, il diagramma di corpo libero del cilindro A permette di evidenziare l’equilibrio fra
la coppia dovuta alla torsione del cavo CT = kT ⋅ ϑ, nota, e la coppia dovuta all’azione
tangenziale sulle pareti del cilindro esercitata dall’olio lubrificante Co. quest’ultima è
composta da due contributi, il primo, C1, dovuto all’azione dell’olio sulla parete laterale
immersa, il secondo,C2, dovuto all’azione dell’olio sulla superficie di fondo del cilindro
immerso.
CT
Co
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Data ultima revisione 01/06/04
CT - Co = 0
(1)
Co = C1 + C2
(2)
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Autore: Daniela Maffiodo
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L’intercapedine tra cilindro immerso e contenitore rotante è molto ridotta: (Rb-Ra)/H<<1.
Dunque è permesso utilizzare l’ipotesi che il gradiente di velocità nel meato sia costante e,
dunque, la velocità abbia distribuzione lineare.
Si determinano le espressioni relative ai termini C1 e C2:
Determinazione di C1: coppia sulla superficie laterale del cilindro immerso:
δ
B
ω
vA =0
A
vA =ω RB
o
δ = RB - RA
y
vB
Lo sforzo tangenziale τ = µ
v − vA
ωR B
dv
=µ B
=µ
è costante sulla parete laterale.
dy
δ
δ
C1
A
o
C1 =
∫ τ dA R
A
= τ RA
Parete
τ dA
τ dA
∫ dA
= τ R A 2πR A H
Parete
H
2
C1 = 2πµωR A RB
δ
C2 coppia sulla superficie di fondo
A
•
Al generico raggio R la
velocità dell’olio a contatto
con il fondo vale ω R
•
Per qualsiasi raggio R≤RA
la velocità dell’olio a
contatto con il fondo di A è
nulla
•
Nel meato la velocità ha
distribuzione lineare
x
z
R
R
R
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B
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ωR
dv
=µ
ed è una funzione della posozione
dy R
z
radiale R, quindi non è costante sul fondo del cilindro A:
Lo sforzo tangenziale vale τ = τ ( R ) = µ
A
τ
C2 =
R
dR
dA = 2πRdR
RA
RA
 ωR

τ dA ⋅ R = ∫  µ
2πRdR ⋅ R  =
∫
z

0
Fondo
R
=µ
A
ωR
ωR
R
2π ∫ R 3dR =µ
2π A
z
z
4
0
4
C0 = C1 + C 2
La coppia totale dovuta al lubrificante vale :
2
H RA 
2

+
C0 = C1 + C 2 = 2πµωR A  RB
δ
4 z 

Sostituendo nella (1) si può ricavare il valore della viscosità µ:
H
2
2 1 
kTϑ = 2πµωR A  RB
+ RA

δ
4z 

kTϑ
Ns
g
µ=
= 4,97 ⋅ 10 −8 2 = 4,97 ⋅ 10 −2
= 0,497 Pa
H
m
cm ⋅ s
2
2 1 
2πωR A  RB
+ RA

δ
4z 

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Autore: Daniela Maffiodo
(2' )