Note sulle funzioni convesse - Dipartimento di Matematica

Convessità e continuità
Lemma 0.1. Ogni funzione convessa definita in un aperto di RN è localmente
limitata superiormente.
Proof. La dizione localmente limitata superiormente vuol dire che possiamo determinare un intorno di ogni punto contenuto nell’aperto ambiente in cui la funzione
risulti limitata superiormente.
Siano A, f l’aperto e la funzione convessa in oggetto, rispettivamente. Consideriamo x0 ∈ A e fissiamo r per cui l’ipercubo aperto C := x0 + (−r, r)N sia
contenuto in A. Mostreremo che f è limitata superiormente in C.
Il punto chiave è che tutti i punti di C sono combinazione convessa dei vertici
dell’ipercubo. I vertici sono i punti
x0 + v con v di componenti con modulo δ
e sono chiaramente in numero finito. Siano
x0 + v 1 , · · · x0 + v k
per un certo k
dato che tali vertici sono finiti, esiste M tale che
M ≥ f (x0 + v i )
per i = 1, · · · , k,
(1)
mostreremo che M maggiora la f calcolata in ogni punto di C. Sia infatti x un
generico punto di C, allora
x=
k
X
λi (x0 + v i )
per certi coefficienti λi con λi ≥ 0,
i
Di conseguenza per definizione di funzione convessa
!
k
k
X
X
f (x) = f
λi (x0 + v i ) ≤
λi f (x0 + v i )
i
i
e per (1)
f (x) ≤
k
X
λi M = M.
i
Questo conclude la dimostrazione.
1
P
λi = 1.
Remark 0.2. Si noti che l’ipercubo C della dimostrazione pecedente è la palla,
centrata in x0 e di raggio r, corrispondente alla norma
|x|∞ := max |xi |
i
in formule
C = {x | |x − x0 |∞ < r}
La norma Euclidea, denotata con | · |, e quella infinita, definita sopra, sono equivalenti nel senso che esistono due costanti positive a < b tali che
a |x| < |x|∞ < b |x|.
Questa relazione è chiaramente simmetrica. In generale si prova che tutte le
norme in RN sono equivalenti tra di loro.
Theorem 0.3. Ogni funzione convessa definita in un aperto convesso di RN è
ivi continua.
Proof. Denotiamo con A, f l’aperto convesso e la questione convessa in questione.
Fissiamo x0 ∈ A e consideriamo r tale che l’ipercubo C := x0 + (−r, r)N sia
contenuto in A, per il lemma precedente f risulta limitata superiormente in C da
una costante che denotiamo con M . Possiamo determinare un δ > 0 piccolo per
cui la palla B(x0 , δ) ⊂ C e ci sia una costante positiva a tale che
|x − y| ≥ a
per ogni x ∈ B(x0 , δ), y ∈ ∂C.
(2)
Sia x il generico punto di B(x0 , δ), consideriamo il segmento che unisce x0 a x e
prolunghiamolo nei due versi in modo da raggiungere il bordo di C. Siano z e y
i suoi punti d’intersezione con ∂C. Precisiamo che x è intermedio tra x0 e y e x0
tra x e z, in formule
x = (1 − t) x0 + t y
x0 = (1 − s) x + s z
(3)
(4)
per opportuni t, s compresi tra 0 e 1. Un calcolo diretto e la stima (2) mostrano
che
|x − x0 |
δ
|x − x0 |
≤
≤
|x0 − y|
a
a
|x − x0 |
|x − x0 |
δ
s =
≤
≤
|x − z|
a
a
t =
(5)
(6)
Osserviamo per uso futuro che (6) implica
1
a
≤
1−s
a−δ
2
(7)
Utilizzando la convessità di f e (3), (4) si ha
f (x) ≤ (1 − t) f (x0 ) + t f (y)
f (x0 ) ≤ (1 − s) f (x) + s f (z)
(8)
(9)
Da (9), ricordando che M maggiora f in C, ricaviamo
f (x0 ) ≤ (1 − s) f (x) + s M
e quindi, utilizzando (7) e tenendo conto che f (x0 ) − |M | ≤ 0 poichè M maggiora
f in C, si ha
f (x0 ) − s |M |
a
f (x) ≥
≥ (f (x0 ) − |M |)
.
1−s
a−δ
Questa stima ci dice che f è limitata inferiormente in B(x0 , δ) e questo, unito
all’informazione di limitatezza superiore che già abbiamo, ci consente di affermare
che f è limitata in B(x0 , δ). Poniamo
!
M0 = max
sup |f |, M
.
B(x0 ,δ)
Da (8), (9) ricaviamo
f (x) − f (x0 ) ≤ t (f (y) − f (x0 ))
f (x0 ) − f (x) ≤ s (f (z) − f (x))
e deduciamo, incorporando le stime di t, s in (5), (6) e usando M0
|x − x0 |
2 M0
a
|x − x0 |
f (x0 ) − f (x) ≤
2 M0
a
f (x) − f (x0 ) ≤
o equivalentemente
M0
|x − x0 |.
a
Se ora x → x0 , il membro destro della precedente uguaglianza va a 0 e conseguentemente |f (x) − f (x0 )| → 0. Questo prova che f è continua in x0 e, per la
genericità di tale punto in A, conclude la dimostrazione.
|f (x) − f (x0 )| ≤ 2
Un enunciato equivalente per il risultato precedente è:
Theorem 0.4. Una funzione convessa è continua in ogni punto interno al suo
insieme di definizione.
3
Remark 0.5. L’argomento del teorema precedente prova, con qualche piccolo aggiustamento, una proprietà più forte di quella dichiarata. Una funzione convessa
f definita in un aperto A è in effetti non solo continua ma localmente Lipschitziana. Questo vuol dire che ogni punto di A possiede un intorno U contenuto
in A per cui si può determinare una costante positiva L con
|f (x) − f (y)| < L |x − y|
per ogni x, y in U .
Remark 0.6. La condizione che l’insieme di definizione della funzione convessa
sia aperto per avere continuità non può essere eliminata, come mostra il seguente
semplice esempio. Definiamo f : [0, +∞) → R tramite
x per x > 0
f (x) =
1 per x = 0
La funzione non è continua, il suo epigrafico è dato dal triangolo infinito, più
propriamente dal cono, compreso tra la bisettrice e la parte positiva dell’ asse
delle ordinate, col bordo compreso eccetto il segmento che collega l’ origine a
(0, 1). L’epigrafico è quindi convesso e la funzione f è di conseguenza convessa.
Qulasiasi tentativo di estendere la funzione a sinistra di 0 fa perdere la convessità, consistentemente a quanto asserito dal teorema.
Antonio Siconolfi, Dipartimento di Matematica, Università di Roma “La Sapienza”.
[email protected]
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