Il gruppo di Mumford-Tate degli 1

Il gruppo di Mumford-Tate degli 1-motivi
Bertolin Cristiana
Un 1-motivo su C consiste nei dati seguenti
(1) un Z -modulo libero finitamente generato X,
(2) una varietá semi-abeliana G, definita su C,
(3) un omomorfismo u : X −→ G(C).
Gli 1-motivi su C sono stati introdotti da Pierre Deligne in ([5]): sono
l’interpretazione geometrica delle Q -strutture di Hodge miste di tipo (0,0)
(-1,0), (0,-1) et (-1,-1) e possono essere considerati come una generalizzazione
delle varietà abeliane. Costituiscono l’esempio più semplice di motivi misti.
Gli 1-motivi sono muniti di una filtrazione crescente W• che differenzia i
motivi misti da quelli puri. Come tutti i motivi, essi possiedono diverse
realizzazioni: la realizzazione di Hodge, di De Rham, `-adica, p-adica ....
Per il momento poche matematici si sono interessati agli 1-motivi: in
[4] Jean-Luc Brylinski ha dimostrato che per gli 1-motivi, i cicli di Hodge
assoluti coincidono con i cicli di Hodge. Successivamente, Yves André, Daniel
Bertrand e Kenneth Ribet si sono interssati al gruppo di Mumford-Tate degli
1-motivi ([1],[3],[6]). Il mio scopo è stato quello di generalizzare i loro lavori.
La realizzazione di Hodge MH di un 1-motivo M è una Q -struttura
di Hodge mista di tipo (0,0) (-1,0), (0,-1) e (-1,-1), che genera una sottocategoria tannakiana hMH i⊗ della categoria tannakiana delle strutture di
Hodge miste. Il teorema principale delle categorie tannakiane afferma che
esiste un Q -gruppo algebrico, la cui categoria delle rappresentazioni è equivalente alla categoria hMH i⊗ . Questo Q -gruppo algebrico è il gruppo di
Mumford-Tate dell’1-motivo M . Lo noteremo M T (M ). Esso agisce sulla
realizzazione di Hodge di M e fissa i cicli di Hodge di M . Anche M T (M ) è
munito di una filtrazione crescente W• .
Ho dimostarto che il radicale unipotente di M T (M ) è un gruppo di
Heisenberg generalizzato ([2]). Come corollario è possibile esplicitare la legge
di gruppo di M T (M ) e anche calcolare la sua dimensione su Q.
Le degenerescenze del gruppo di Mumford-Tate sono quei fenomeni geometrici che provocano la diminuzione della dimensione di M T (M ), rispetto
alla sua dimensione massimale. Ho classificato queste degenerescenze nel
modo seguente: M è detto deficiente se W−2 (M T (M )) = 0, M è quasideficiente se W−1 (M T (M )) è abeliano, ed M è detto depressivo se la dimensione di W−2 (M T (M )) non è massimale. La legge di gruppo del radicale
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unipotente di M T (M ) ci fornisce l’interpretazione geometrica, cioè la causa
geometrica, di queste degenerescenze.
Bibliografia
[1] André Y., Mumford-Tate groups of mixed Hodge structures and the theorem of the fixed part, Compos. Math., 82, (1992).
[2] Bertolin C., The Mumford-Tate group of 1-motives, apparirà in Ann. de
l’Inst. Fourier (2002).
[3] Bertrand D., Relative splitting of one-motives, Number Theory (Tiruchirapalli, 1996), Contemp. Math., 210, Amer. Math. Soc., Providence, RI
(1998).
[4] Brylinski J.-L., 1-motifs et formes automorphes (théorie arithmétique des
domaines de Siegel), Publ. Math. Univ. Paris VII, 15, (1983).
[5] Deligne P., Théorie de Hodge III, Pub. Math. de l’I.H.E.S., 44, (1975).
[6] Ribet K., Cohomological realization of a family of 1-motifs, J. Number
Th., 25, (1987).
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