V Esercitazione di Matematica Finanziaria

V Esercitazione di Matematica Finanziaria
25 Novembre 2010
Esercizio 1. Date due operazioni finanziarie (con scadenzari in anni)
x1 = {−140, 7.8, 7.8, 7.8, 7.8, 7.8, 147.8}/t1 = {0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3};
x2 = {−140, 40, 140}/t2 = {0, 1, 2},
determinare:
1. il tasso interno di rendimento i1 dell’operazione finanziaria x1 /t1 ;
2. il valore residuo dell’operazione finanziaria alla data t = 1.25 anni in
base al tasso di interesse i1 ;
3. il tasso interno di rendimento i2 dell’operazione finanziaria x2 /t2 ;
4. quale importo bisogna sostituire a 140 al tempo s = 2 anni nell’operazione finanziaria x2 /t2 in modo che abbia i1 come tasso interno di
rendimento.
Soluzione. Il titolo x1 è un titolo a cedola fissa quotato alla pari, dunque
il suo tasso interno di rendimento è legato al tasso cedolare
ic =
7.8
I
=
= 0.0557
C
140
che però è un tasso semestrale, dunque il tasso interno di rendimento è il
tasso equivalente su base annua
i1 = (1 + 0.0557)2 − 1 = 0.1145 = 11.45%
Il valore residuo in t = 1.25 anni del titolo x1 è
V (1.25) = 7.8(1.1145)−0.25 + 7.8(1.1145)−0.75 + 7.8(1.1145)−1.25 + 147.8(1.1145)−1.75
= 143.85
1
Il tasso interno di rendimento del titolo x2 si ottiene risolvendo l’equazione
−140 + 40(1 + i)−1 + 140(1 + i)−2 = 0
che, tramite la sostituzione di variabile (1 + i)−1 = v, diventa
140v 2 + 40 − 140 = 0
L’unica soluzione accettabile è quella positiva, cioè
v = 0.867295
pertanto il tasso interno di rendimento del titolo è
i2 =
1
− 1 = 0.153 = 15.30%
0.867295
La quota in t = 2 anni che il titolo x2 deve avere affinché il suo tasso interno
di rendimento sia uguale a quello del titolo x1 è dato da
−140(1 + 0.1145)2 + 40(1 + 0.1145) + P = 0
cioè
P = 129.32
Esercizio 2. Dati due Bullet Bond il cui acquisto sia rappresentabile
attraverso le seguenti operazioni finanziarie (con scadenzari in anni)
x1 = {−100, 1.25, 1.25, 1.25, 1.25, 1.25, 101.25}/t1 = {0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3};
x2 = {−P2 , 5.5, 105.5}/t2 = {1, 2, 3},
determinare:
1. il tasso interno di rendimento (su base annua) i1 dell’operazione finanziaria x1 /t1 ;
2. il tasso interno di rendimento i2 dell’operazione finanziaria x2 /t2 se il
prezzo fosse P2 = 102.5;
3. il valore di P2 che rende il tasso interno di rendimento annuo della
seconda operazione pari al TIR annuo della prima operazione.
Soluzione. Il tasso interno di rendimento del Bullet Bond quotato alla pari
è il tasso equivalente su base annua al tasso cedolare, cioè
2
1.25
i1 = 1 +
− 1 = 0.02516 = 2.516%
100
2
Il tasso interno di rendimento del secondo titolo, quando il prezzo è P =
102.5, si ottiene risolvendo l’equazione
−102.5 + 5.5v + 105.5v 2 = 0
la cui unica soluzioni ammissibile è quella positiva uguale a
v = 0.959953
dunque
1
− 1 = 0.0417 = 4.17%
0.959953
Il titolo x2 , per avere lo stesso tasso interno di rendimento del primo titolo,
dovrebbe ammettere prezzo P2 tale che
i2 =
−P2 + 5.5(1.02516)−1 + 105.5(1.02516)−2 = 0
e dunque
P2 = 105.75
Esercizio 3. Un’operazione finanziaria paga x1 = 780 euro in t1 = 4 anni,
x2 = 1.100 euro in t2 = 8 anni e ha prezzo oggi uguale a P = 1.040 euro.
Determinare il tasso interno di rendimento (su base annua) dell’operazione
in esame.
Calcolare, inoltre, la quota da sommare a x2 affinché il tasso interno di rendimento risulti pari a i = 7.1% su base annua.
Soluzione. Per calcolare il tasso interno dell’operazione costruiamo l’equazione corrispondente
−1.040 + 780(1 + i)−4 + 1.100(1 + i)−8 = 0;
sappiamo che v = (1 + i)−1 e facciamo la sostituzione di variabile t = v 4 per
ottenere l’equazione di secondo grado
1.100t2 + 780t − 1.040 = 0
L’unica soluzione ammissibile è quella positiva, cioè t = 0.680422, quindi il
tasso interno di rendimento è
1/4
1
∗
− 1 = 0.1010 = 10.1%
i =
0.680422
Se il tasso interno di rendimento fosse uguale a i = 0.071, la cifra da
aggiungere alla quota in t = 8 anni si ottiene risolvendo l’equazione
−1.040(1.071)8 + 780(1.071)4 + 1.100 + ∆x = 0
3
da cui si ottiene
∆x = −325.93
Esercizio 4. Assegnata l’operazione finanziaria
x = {−300, 100, 100, 200} su {0, 0.5, 1.5, 3.5} anni,
stimare, tramite il metodo di Newton (o delle tangenti) il tasso interno di
rendimento (su base annua) dell’operazione.
Soluzione. Scriviamo la funzione
f (v) = −300 + 100v 0.5 + 100v 1.5 + 200v 3.5
e la sua derivata
f 0 (v) = 50v −0.5 + 150v 0.5 + 700v 2.5
A questo punto siamo in grado di applicare il metodo di Newton e scegliamo
a = 0.9 come punto iniziale; si ottiene
v0 = 0.9 −
f (0.9)
= 0.8746656;
f 0 (0.9)
il punto successivo si ottiene utilizzando v0 come
v1 = v0 −
f (v0 )
f (0.8746656)
= 0.8746656 − 0
= 0.873962
0
f (v0 )
f (0.8746656)
Iterativamente
v2 = v1 −
f (v1 )
= 0.873961;
f 0 (v1 )
notiamo che la distanza tra gli ultimi due punti è sufficientemente piccola
per poter arrestare il nostro procedimento iterativo, dunque il tasso interno
di rendimento stimato con tale metodo è
i=
1
1
−1=
− 1 = 0.1442 = 14.42%
v2
0.873961
Esercizio 5. Assegnata l’operazione finanziaria
x = {100, 100, −209.83} su {1, 2, 2.5} anni,
stimare, tramite il metodo di Newton (o delle tangenti) il tasso interno di
rendimento (su base annua) dell’operazione.
Soluzione. Scriviamo la funzione
f (v) = 100 + 100v − 209.83v 1.5
4
e la sua derivata
f 0 (v) = 100 − 314.745v 0.5
Procediamo come fatto precedentemente considerando il punto iniziale a =
0.9; allora si ha
f (0.9)
v0 = 0.9 − 0
= 0.954604;
f (0.9)
i punti successivi sono dati da
v1 = 0.954604 −
f (0.954604)
= 0.95342415
f 0 (0.954604)
v2 = 0.95342415 −
f (0.95342415)
= 0.95342361
f 0 (0.95342415)
v3 = 0.95342361 −
f (0.95342361)
= 0.95342360
f 0 (0.95342361)
Possiamo allora arrestare l’iterazione, cosı̀ il tasso interno di rendimento
stimato con il metodo di Newton è
i=
1
1
−1=
− 1 = 0.048852 = 4.8852%
v3
0.95342360
5