Lezioni di Aerodinamica

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Università di Napoli Federico II
Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale
http://www.dias.unina.it
Lezioni di Aerodinamica
A.A. 2012-2013
Renato Tognaccini
Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale
Università di Napoli Federico II
Piazzale V. Tecchio 80, 80125 Napoli
email: [email protected]
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Introduzione
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• Aerodinamica: ramo della Meccanica dei fluidi (Fluidodinamica)
che si concentra sull’analisi dell’interazione tra una corrente fluida
ed un corpo immerso in essa.
• Fluido: materia senza una forma propria; caratterizzato da un
proprio volume (liquido), o senza volume proprio (gas), assume
cioè il volume del suo contenitore.
• Ipotesi del continuo: il fluido è un mezzo continuo, cioè si assume
che una qualsiasi parte di esso, comunque piccola, contenga un
numero molto grande di molecole.
• Particella di fluido: un elemento di volume infinitamente piccolo nella scala di lunghezze (macroscopica) di nostro interesse, ma
comunque grande nella scala di lunghezza delle molecole (microscopica).
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Le forze aerodinamiche
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Si sceglie un sistema di riferimento (inerziale) O(x, y, z) solidale con
l’aeromobile, che è quindi investito da una corrente uniforme di velocità
V∞, alla quota h, caratterizzata dalla pressione p∞ e densità ρ∞.
Equilibrio dell’aeromobile in volo
livellato uniforme:
L = W
T = D
(1)
(2)
F = [L, D]: forza aerodinamica
L: portanza (Lift) ⊥V∞
D: resistenza (Drag) V∞
W : peso (Weight)a
T : spinta (Thrust)
a
G è il baricentro
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I coefficienti delle forze aerodinamiche
Forza aerodinamica di riferimento:
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1
ρ V 2 S.
2 ∞ ∞
S: superficie di riferimento (in genere la superficie alare SW ).
Coefficiente di portanza
CL =
L
1
ρ V 2S
2 ∞ ∞
(3)
D
1
ρ V 2S
2 ∞ ∞
(4)
L
CL
=
D CD
(5)
Coefficiente di resistenza
CD =
Efficienza aerodinamica
E=
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ATR 42-500
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Alcune prestazioni dell’ATR 42-500
WT Omax = 18600 Kgp WOE max = 11250 Kgp Payload= 5450 Kgp
Vmax = 556 Km/h
TO-length= 1165 m
P = 2 × 1610 KW
Ceiling= 5485 m
Max Range= 2963 Km
SW = 54.50 m2
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Alcuni dati geometrici e aerodinamici
SW = 54.50 m2
b = 24.57 m
W/S = 341.3 Kgp/m2
AR = 11.1
CLmax = 1.75 (δf = 00) CLmax = 2.61 (δf = 150)
CLmax = 3.15 (δf = 270)
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Prob. n. 1: determinazione del CL di un aeromobile in
volo livellato
1 W
CL = 1
(6)
2 S
ρ
V
∞
∞
2
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Occorre:
quota, velocità di volo, peso e superficie di riferimento del velivolo.
Prob. n. 2: determinazione della velocità minima di
sostentamento (velocità di stallo)
s
Vs =
1
CLmax
s
W
S
s
2
ρ∞
(7)
Occorre:
quota, peso e superficie di riferimento del velivolo, coefficiente di
portanza massimo del velivolo (CLmax ).
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I parametri fondamentali della corrente
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Il numero di Mach
M=
V
,
a
(8)
V : velocità della particella;
a: velocità del suono locale.
• Un flusso a densità costante in tutto il campo si dice incomprimibile o incompressibile.
In un flusso incomprimibile:
M =0
(9)
in tutto il campo di moto.
• In certe condizioni anche i fluidi comprimibili (gas) si comportano
come incomprimibili (liquidi):
per M → 0 il flusso tende a diventare incomprimibile.
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La viscosità
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Un fluido si dice newtoniano quando la forza dF (di attrito) è data
da
∂V
dF = µ dA
(10)
∂z
µ: viscosità dinamica del fluido, si misura in Kg/(m s);
ν = µ/ρ: viscosità cinematica del fluido, si misura in m2/s.
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Il numero di Reynolds
ρ ∞ V∞ L
(11)
µ∞
L: lunghezza di riferimento caratteristica del problema in studio,
Re∞ =
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• Il numero di Reynolds misura l’importanza relativa delle forze di natura dinamica (convettive), associate alla quantità di
moto delle particelle, e le forze di natura viscosa.
• Un fluido o un flusso non dissipativo si dice ideale.
• Vedremo che un un fluido o un flusso caratterizzato da viscosità
nulla (Re∞ → ∞) è ideale.
• Nei flussi ideali la viscosità è trascurabile.
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Regimi di moto
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Classificazione in base al numero di Mach
M∞ = 0: flusso incomprimibile
M 1 ovunque: flusso iposonico
M < 1 ovunque: flusso subsonico
M < 1 e M > 1: flusso transonico
M > 1 ovunque: flusso supersonico
M∞ 1: flusso ipersonico
Classificazione in base al numero di Reynolds
Re → 0: flusso alla Stokes (creeping flow)
Re → ∞: flusso ideale
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0
• Numero di Mach critico inferiore (M∞,cr ): numero di Mach subsonico minimo della corrente asintotica per il quale esiste almeno
un punto nel campo di moto in cui M = 1 (limite del regime
subsonico).
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00
• Numero di Mach critico superiore (M∞,cr ): numero di Mach supersonico minimo della corrente asintotica per il quale tutti i punti
nel campo di moto sono supersonici (limite del regime transonico).
Per un dato fluido, le equazioni adimensionali della dinamica del
flusso dipendono solo da M∞ e Re∞.
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Prob. n. 3: determinazione di M∞
V∞
M∞ =
a∞
√
Per un gas perfetto a∞ = γRT∞.
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γ è il rapporto dei calori specifici a pressione e volume costanti (per
l’aria γ = 1.4).
R = 287 KgJ K è la costante del gas aria nel modello di gas perfetto.
T∞ è la temperatura assoluta della corrente asintotica (espressa in
gradi Kelvin) che dipende dalla quota.
Prob. n. 4: determinazione di Re∞
Re∞ =
ρ ∞ V∞ L
µ∞
Occorre:
La quota, la velocità di volo e la lunghezza caratteristica dell’aeromobile.
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Genesi di portanza e resistenza
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Teoria globale
Principio di azione e reazione: la forza aerodinamica agente sull’aeromobile è pari all’azione dell’aeromobile sulla portata d’aria ṁ interagente; in virtù della II legge della dinamica:
F = ṁ∆V
(12)
• ∆V: variazione media della quantità di moto;
• ṁ = eρ∞ V∞ πb2 /4 (b è l’apertura alare, e ≈ 1).
La portanza è data dalla componente perpendicolare a V∞ di ∆V:
L = ṁ∆Vv
(13)
Dalla definizione di CL:
∆Vv
2CL
=
V∞
πeAR
AR = b2 /S è l’allungamento alare.
(14)
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La resistenza indotta (dalla portanza)
L’energia cinetica della portata d’aria ṁ è aumentata dopo l’interazione con l’aeromobile:
1
1 ∆E = ṁ V∞2 + ∆Vv2 − V∞2 = ṁ∆Vv2 .
(15)
2
2
Per il principio di conservazione dell’energia deve esserci una forza che
compie un lavoro equivalente che non può che essere T = D:
∆E = DV∞ ,
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(16)
per cui, ricordando l’espressione del CD e di ∆Vv /V∞ si ottiene:
CL2
C Di =
,
(17)
πeAR
espressione del coefficiente di resistenza indotta.
e è il fattore di Oswald; in genere e < 1. e = 1 nel caso di ala con
distribuzione di carico ellittica.
• Un caso particolare di distribuzione di carico ellittica: distribuzione di
corde ellittica, svergolamento aerodinamico nullo, profilo alare costante.
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La resistenza totale di un aeromobile
D = Di + Dp + Dw
(18)
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• Di, resistenza indotta (dalla portanza);
• Dp, resistenza di profilo, associata all’azione diretta delle forze
viscose (attrito e forma);
• in regime transonico e supersonico si aggiunge anche Dw , la resistenza d’onda, legata alla probabile presenza di onde d’urto nel
campo di moto.
La polare di un aeromobile
Le curve CD = CD (CL) si chiamano curve polari.
Per ogni aeromobile esistono infinite polari, al variare di Re∞, M∞
e della configurazione del velivolo.
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Espressione approssimata della polare
CL2
C D = C D0 +
πARe
(19)
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CD0 : coefficiente di resistenza a portanza nulla.
L’espressione parabolica della polare costituisce una buona approssimazione della polare reale nell’intorno della crociera del velivolo.
Errori insiti in questa approssimazione:
• in generale il coefficiente di resistenza non è minimo per CL = 0;
• la resistenza di profilo varia al variare di CL;
• in condizioni di alta portanza la polare del velivolo si discosta molto
dall’andamento parabolico che addirittura non prevede lo stallo
dell’aeromobile.
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Prob. n. 5: determinazione del CDi di un aeromobile in
volo livellato
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Tra l’altro occorre conoscere il fattore di Oswald dell’aeromobile.
Prob. n. 6: confronto delle resistenze indotte di un
aeromobile in crociera ed in atterraggio
Attenzione resistenza non è equivalente a coefficiente di resistenza.
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Geometria dell’ala
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η=
y
,
b/2
λ = ct/cr ,
c = cr [1 − η(1 − λ)], S = 2
Corda media aerodinamica (m.a.c.): c̄ =
2
S
R b/2
0
R b/2
0
c2(y)dy
c(y)dy
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La curva CL = CL(α) (curva di portanza)
Definizione di angolo di attacco:
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Sezione dell’ala alla radice
Polare, curva di portanza e dei momenti per un ala di AR = 10
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Caratteristiche della curva di portanza
• È presente un tratto lineare nell’intorno delle basse incidenze:
CL ≈ CLα α ;
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(20)
• si evidenzia il fenomeno dello stallo;
• dipende da M∞ e Re∞.
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Il profilo alare
Sezione di un’ala parallela a V∞.
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c: corda; t: spessore; τ = t/c: spessore percentuale;
F : fuoco, posto ad 1/4 della corda.
• Nel caso di un’ala rettangolare dritta di allungamento infinito il
campo di moto risulta bidimensionale nel piano del profilo.
• AR → ∞ ⇒ CDi = 0, quindi D = Dp + Dw .
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Caratteristiche aerodinamiche di un profilo alare
Portanza:
l = Cl 12 ρ∞V∞2 c
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Resistenza:
d = Cd 12 ρ∞V∞2 c;
Momento di beccheggio rispetto al bordo di attacco:
mle = Cmle 12 ρ∞V∞2 c2.
Momento di beccheggio rispetto al fuoco:
m1/4 = Cm1/4 12 ρ∞V∞2 c2.
• I momenti sono positivi se cabranti.
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Profilo NACA 2412 (flusso iposonico)
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Portanza di un’ala finita e di un profilo
Per un profilo poco spesso e curvo a piccoli angoli di attacco:
Cl = Clα (α − αzl ) ,
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(21)
Clα ≈ 2π,
αzl : angolo di portanza nulla del profilo.
AR 1 :
CLα ≈
AR < 1 :
CLα
Clα
Clα
1 + πA
R
π
≈ AR
2
(22)
(23)
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Idrostatica
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Si assume che in tutto il campo fluido V = 0.
La pressione
∆S: superficie elementare di inclinazione generica nel fluido.
∆F : modulo della forza che agisce sulla superficie ∆S dovuta allo
scambio di quantità di moto a livello molecolare.
In un fluido in quiete ∆F è perpendicolare a ∆S (Principio di
Pascal).
∆F
∆S→0 ∆S
Su una superficie infinitesima dS di normale n agisce la forza
p = lim
dF = −pndS
p è detta pressione idrostatica.
(24)
(25)
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Legge di Stevino
Si consideri un volume infinitesimo dxdydz di un fluido in quiete. z
indica la quota (asse verticale e diretto verso l’alto).
Forza di pressione totale:
dp
dp
p dxdy − p + dz dxdy = − dxdydz
dz
dz
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(26)
Equilibrio tra forza di gravità e forza di pressione:
−
dp
dxdydz − ρgdxdydz = 0
dz
dp = −ρgdz
(27)
(28)
Integrando tra le quote z1 e z2 in un fluido a densità costante:
∆p = −ρg∆h
∆h = z2 − z1
∆p = p2 − p1
(29)
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Prob. n. 7: ricavare il Principio di Archimede
La forza di galleggiamento che agisce su un corpo immerso in un
fluido in quiete è pari al peso del fluido spostato dal corpo.
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Prob. n. 8: descrivere il funzionamento del barometro a
colonna di liquido
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Atmosfera standard (ISA)
Ipotesi
1. L’aria è secca e si comporta come un gas più che perfetto: p =
ρRT ;
2. l’aria è in quiete ed è valida la legge di Stevino: dp = −ρgdz.
In base alle ipotesi:
g
dp
=−
dz .
(30)
p
RT
Per deteminare p = p(z) occorre un modello per la distribuzione di
temperatura al variare della quota T = T (z).
0–11 Km: troposfera, la temperatura decresce linearmente di 6.5
gradi per chilometro;
11–20 Km: stratosfera, la temperatura rimane costante con la quota;
> 20 Km: esosfera, la temperatura aumenta con la quota.
• Questo modello descrive bene l’atmosfera nelle zone temperate.
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Troposfera
ρSL = 1.23 Kg/m3, TSL = 288 K, Tz = 6.50 · 10−3 K/m.
T = TSL − Tz z .
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(31)
Integrando la (30) si ottiene
p
=
pSL
T
TSL
RTg
z
,
ρ
=
ρSL
T
TSL
RTg
z
−1
.
(32)
Stratosfera
T = TST .
Integrando la (30) si ottiene
g
p
ρ
=
= e− RTz (z−zST ) ,
pST
ρST
(33)
(34)
dove zST = 11000 m, TST = T (zST ), pST = p(zST ) e ρST = ρ(zST ).
Prob. n. 9: diagrammare T , p e ρ al variare della quota
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Elementi di calcolo tensoriale
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Sia f una grandezza in generale funzione (in un determinato dominio) dello spazio e del tempo f = f (x, y, z, t).
• f è una grandezza scalare quando è completamente individuata
unicamente da un numero reale. Uno scalare viene anche denominato tensore di ordine 0.
• f è una grandezza vettoriale quando è completamente individuata
da un numero reale e da una direzione orientata. Un vettore viene anche denominato tensore di ordine 1 (lo indicheremo con il
simbolo f).
• f è un tensore di ordine 2 quando la sua individuazione richiede la
conoscenza di due direzioni orientate (lo indicheremo con il simbolo
f).
In questo corso con i termini scalare, vettore e tensore ci riferiremo
rispettivamente al tensore di ordine 0, 1 e 2.
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Algebra dei vettori
Sia O(x1, x2, x3) una terna di riferimento cartesiana levogira di versori
σ1, σ2 e σ3.
f = (f1, f2, f3) = σ ifi ,
dove fi sono le componenti di f e σ ifi =
dell’indice ripetuto di Einstein).
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(35)
P3
i=1
σ ifi (convenzione
Eguaglianza
a = b ⇔ ai = bi ∀i .
(36)
a = 0 ⇔ ai = 0 ∀i .
(37)
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(38)
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Vettore nullo
Prodotto scalare
a · b = a b cos θ = aibi ,
θ : angolo tra a e b.
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In particolare:
σ i · σ j = δij ,
(39)
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dove δij = 1 se i = j altrimenti δij = 0.
fi = σ i · f .
(40)
Intensità o modulo del vettore
a = |a| =
√
ai ai .
(41)
Versore v di V
v=
V
.
|V|
(42)
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Prodotto vettoriale
a×b=c ;
(43)
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il vettore c è dato da:
c = ab sin θ ,
(a, b, c) terna ortogonale levogira ;
(44)
c è quindi perpendicolare sia ad a che b. Si dimostra che
σ1 σ2 σ3 c = a1 a2 a3 ,
b1 b2 b3 (45)
dove il determinante simbolico è calcolato con la regola di Laplace per
la prima riga. Inoltre
c = σ ici = σ iεijk aj bk ,
(46)
dove εijk = 0 se i = j, oppure i = k, oppure j = k; εijk = ±1 se la
terna (i, j, k) costituisce una permutazione di classe pari (+) o dispari
(-) dei numeri 1, 2, 3.
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Si nota che
b × a = −a × b .
(47)
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Doppio prodotto vettoriale
c × (a × b) = a(b · c) − b(a · c) .
(48)
JJ
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Calcolo differenziale vettoriale
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Il vettore nabla
In un riferimento cartesiano:
∇ ≡ σi
∂
.
∂xi
(49)
In un riferimento cilindrico O(R, θ, z) di versori (a1, a2, a3):
∇ ≡ a1
∂
1 ∂
∂
+ a2
+ a3
.
∂R
R ∂θ
∂z
(50)
Gradiente di uno scalare
∇f = σ i
∂f
.
∂xi
(51)
JJ
II
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Proprietà del gradiente di uno scalare
∂f
1. n · ∇f =
; derivata direzionale di f nella direzione n, misura la
∂n
variazione (unitaria) di f nella direzione orientata n.
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2. |∇f |, modulo di ∇f , dà la variazione (unitaria) massima di f .
3. Il versore di ∇f dà la direzione in cui la variazione di f è massima.
4. Data la superficie f (r) = cost1, ∇f è perpendicolare ad essa ed è
orientato nel verso delle f crescenti.
Divergenza di un vettore
∇·V =
∂Vi
∂xi
(52)
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1
r = σ i xi è il vettore posizione.
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Rotore di un vettore
∇ × V = σ1 σ2
∂
∂
∂x1 ∂x2
V1 V2
σ 3 ∂Vk
∂ ε
.
=
σ
i ijk
∂xj
∂x3 V3 38/293
(53)
Un campo V con rotore identicamente nullo è detto irrotazionale.
Operatori differenziali di ordine superiore
Il rotore del gradiente di uno scalare è identicamente nullo:
∇ × (∇f ) = 0 .
(54)
La divergenza del rotore di un vettore è identicamente nulla:
∇ · (∇ × V) = 0 .
(55)
La divergenza del gradiente di uno scalare si chiama laplaciano:
∇2f = ∇ · ∇f .
(56)
JJ
II
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Le funzioni scalari con laplaciano identicamente nullo si dicono armoniche.
Vale infine la seguente identità:
∇ × (∇ × V) = ∇(∇ · V) − ∇2V .
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(57)
Campi potenziali
Un campo vettoriale V(r) si dice potenziale se esiste una funzione
scalare φ(r) tale che
V = ∇φ .
(58)
Se
un campo V(r) è potenziale allora un qualsiasi integrale di linea
R P2
P1 V · dl dipende solo dagli estremi di integrazione.
Condizione necessaria e sufficiente affinchè V sia a potenziale
in R3 è che V sia irrotazionale, cioè ∇ × V = 0.
Se V(r) è a potenziale allora
∇ · V = ∇2 φ .
(59)
JJ
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Campi solenoidali
Un campo vettoriale V(r) si dice solenoidale se esiste un altro campo
vettoriale A (potenziale vettore) tale che
V =∇×A .
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(60)
Condizione necessaria e sufficiente affinchè V sia solenoidale è
∇ · V = 0.
Il potenziale di un campo solenoidale ed a potenziale è armonico; in
questo caso il campo si dice laplaciano.
Il teorema fondamentale dell’analisi vettoriale
Sia V(r) un campo vettoriale continuo con divergenza e rotore continui,
tale che per r → ∞ V si comporta come 1/r1+ε mentre |∇ · V| e
|∇ × V| si comportano come 1/r2+ε dove ε > 0. Allora, a meno di
un vettore costante (c1), V può essere espresso come la somma di un
campo potenziale e di uno solenoidale, cioè:
V = ∇φ + ∇ × A + c1 .
(61)
JJ
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Calcolo tensoriale
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Introduzione (diadi)
Si chiama diade la coppia di vettori
ab.
(62)
• Una diade è associata a due direzioni orientate (ma non identificata
da esse).
• La diade a b costituisce il risultato dell’operazione prodotto tensoriale tra i vettori a e b.
• Il prodotto tensoriale non è commutativo: b a 6= a b.
• Rappresentazione cartesiana della diade: a b = σ iaibj σ j , la diade è
quindi rappresentata nel riferimento cartesiano dalle 9 componenti
scalari (ai bj ).
JJ
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Tensore (di ordine 2)
Il tensore A è definito in un riferimento cartesiano come
A = σ iAij σ j .
42/293
(63)
• A è stato individuato come la somma di 9 diadi coordinate.
• A differenza della diade, le due direzioni orientate associate al
tensore A non sono esplicite.
• Il tensore è rappresentato nel riferimento cartesiano dalle 9 componenti scalari Aij .
Un tensore è esprimibile con la matrice quadrata (3 × 3):


A11 A12 A13
A =  A21 A22 A23 
A31 A32 A33
(64)
Aii sono le componenti normali, Aij (j 6= i) sono le componenti
tangenziali.
JJ
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Tensore trasposto
(Ã)ij = Aji .
(65)
Ã = A ⇔ Aji = Aij .
(66)
43/293
Tensore simmetrico
Tensore antisimmetrico
Aji = −Aij .
(67)
Un tensore antisimmetrico ha necessariamente nulle le componenti
lungo la diagonale principale.
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Algebra dei tensori
Eguaglianza
44/293
A = B ⇔ Aij = Bij .
(68)
A = 0 ⇔ Aij = 0 .
(69)
Tensore nullo
Prodotto di uno scalare per un tensore
f A = σ if Aij σ j .
(70)
JJ
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Prodotto scalare di un vettore per un tensore a sinistra
V · A = ViAij σ j .
(71)
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Prodotto scalare di un vettore per un tensore a destra
A · V = σ iAij Vj .
(72)
Componente vettoriale sinistra o destra
σ i · A = Aij σ j = di ;
A · σ j = σ iAij = sj .
(73)
(74)
I 3 vettori di sono le componenti vettoriali destre di A nel riferimento O(x1, x2, x3), mentre i 3 vettori sj sono le componenti vettoriali
sinistre.
A = σ idi = siσ i .
(75)
JJ
II
J
I
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Prodotto scalare di due tensori
A · B = C = σ iAik Bkj σ j .
(76)
46/293
Il prodotto scalare di due tensori è equivalente al prodotto di due
matrici (3 × 3) e non commuta.
(A ˜· B) = B̃ · Ã .
(77)
Doppio prodotto scalare di due tensori
A : B = Aik Bki .
(78)
Prodotti vettoriali
V × A = σ iεilmVl Amj σ j ,
A × V = σ iεmlj AimVl σ j .
(79)
(80)
JJ
II
J
I
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Traccia di un tensore
Tr(A) = Aii .
(81)
47/293
La traccia del tensore è invariante (non dipende dal sistema di riferimento).
Tensore unitario


1 0 0
U=0 1 0
0 0 1
(82)
V·U=U·V =V .
(83)
Si nota che, ad esempio:
Tensore isotropo
Si dice isotropo un tensore del tipo f U con f ∈ R.
JJ
II
J
I
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Applicazione: il tensore degli sforzi in un fluido in quiete
tn = n · τ .
(84)
48/293
τ : tensore degli sforzi;
tn: sforzo (vettore forza per unità di superficie) agente su una superficie elementare di normale generica n, positivo se di trazione.
Nel caso di un fluido in quiete
τ = −pU ;
(85)
il tensore degli sforzi è isotropo. Infatti:
dF = n · (−pU)dS = −pndS ,
(86)
che è appunto la definizione di pressione idrostatica in un fluido in
quiete.
• Riformulazione del Principio di Pascal: il tensore degli sforzi in
un fluido in quiete è isotropo.
JJ
II
J
I
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Parte simmetrica, antisimmetrica e isotropa di un tensore
È sempre possibile decomporre un tensore in una parte simmetrica
ed una antisimmetrica A = A(s) + A(a):
A(s) =
1
Tr(A)U:
3
A + Ã
,
2
A(a) =
A − Ã
.
2
49/293
(87)
parte isotropa di A.
1
Tr(A)
3
è la media aritmetica delle 3 componenti normali del tensore
ed è invariante.
A = 31 Tr(A)U + A0, dove A0 è detto parte deviatorica di A (è a traccia
nulla).
• V · A = V · 13 Tr(A)U + V · A0 = 31 Tr(A)V + V · A0.
•A=
1
Tr(A)U
3
+
A(s)
0
+
A(a)
0
.
JJ
II
J
I
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Calcolo differenziale tensoriale
50/293
Gradiente di un vettore
∇ V = σi
∂Vj
σ .
∂xi j
(88)
∂V
.
∂xi
(89)
Derivata direzionale (in n) di V:
n · ∇ V = ni
Tr(∇ V) = ∇ · V .
2
V
(∇ V) · V = ∇
.
2
Un’identità particolarmente notevole:
V·∇ V =∇
(90)
(91)
2
V
2
+ (∇ × V) × V .
• Dividendo la (92) per V : v · ∇ V = ∇ (V ) + (∇ × V) × v .
(92)
JJ
II
J
I
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Divergenza di un tensore
∇·A=
∂Aij
σ .
∂xi j
∇ · (f A) = f ∇ · A + ∇f · A .
(93)
51/293
(94)
JJ
II
J
I
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Teoremi di Gauss
52/293
Sia V(r) un campo vettoriale continuo con le derivate delle sue componenti in V ∪ S, allora:
Z
∇ · VdV =
V
Z
∇ × VdV =
VZ
V
∇ VdV =
Z
ZS
n · VdS ,
(95)
n × VdS ,
(96)
n VdS .
(97)
ZS
S
JJ
II
J
I
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Sia f (r) una funzione scalare continua con le sue derivate in V ∪ S,
allora:
Z
V
∇f dV =
53/293
Z
n f dS .
(98)
S
Una definizione di ∇ indipendente dal riferimento
Z
1
n( )dS .
∇ = lim
V→0 V S
Z
1
∇f = lim
nf dS .
V→0 V S
Z
1
∇ · V = lim
n · VdS .
V→0 V S
(99)
(100)
(101)
JJ
II
J
I
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Teorema di Stokes
54/293
Data la superficie S delimitata dal circuito C e dato V(r), un campo
vettoriale continuo con le derivate delle sue componenti in S ∪C, allora
Z
S
n · ∇ × VdS =
I
V · dl .
dl: vettore spostamento elementare lungo il circuito C.
Γ=
H
C
(102)
C
V · dl: circolazione del vettore V lungo il circuito C.
• Il teorema di Stokes lega il rotore alla circolazione.
JJ
II
J
I
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Equazioni di bilancio
55/293
V: volume di controllo (per ora lo si suppone fisso rispetto al riferimento inerziale), è il volume che contiene il sistema che si intende
studiare;
S: superficie di controllo;
n: versore localmente normale alla superficie di controllo orientato
verso l’esterno del volume.
JJ
II
J
I
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Una grandezza G si dice estensiva quando è associata (proporzionale)
alla massa.
Una grandezza G si dice intensiva quando non è associata alla massa
ed è funzione solo del punto.
56/293
Massa, quantità di moto, energia, entropia sono esempi di grandezze
estensive.
Temperatura, pressione, viscosità sono esempi di grandezze intensive.
Per una grandezza estensiva è possibile formulare un’equazione di bilancio all’interno del volume di controllo:
Variazione di G
nell’unità
di tempo
= Scambio di G con +
l’esterno
Produzione di G
nel volume di
controllo
JJ
II
J
I
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M: massa all’interno di un volume V;
G
g = lim
: grandezza G specifica (per unità di massa);
V→0 M
G
g + = lim : grandezza G per unità di volume.
V→0 V
• La densità ρ è la massa per unità di volume.
GM
= ρg .
V→0 M V
Variazione nell’unità di tempo di G in V:
g + = lim
d
dt
Z
Z
ρgdV =
V
V
57/293
(103)
∂
(ρg)dV .
∂t
JJ
II
J
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Il flusso di una grandezza
Il flusso ϕG di una grandezza G dà, in intensità e direzione, la quantità
di G che attraversa una superficie elementare, per unità di tempo e di
superficie.
58/293
• ϕG è un vettore se G è uno scalare;
• ϕG è un tensore se G è un vettore.
[G] [L]
[G]
=
,
[L2][t] [L3] [t]
quindi è possibile esprimere il flusso come
[ϕG] =
ϕG = g +W = ρgW ,
(104)
(105)
con W un vettore velocità opportuno.
Nel caso della massa M:
ϕM ≡ ρV.
(106)
JJ
II
J
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Scambio di G con l’esterno:
Z
S
n · ϕGdS .
59/293
Produzione
ġ + =
ġ =
[G]
:
[L3 ][t]
[G]
:
[M ][t]
produzione di G nell’unità di volume e di tempo;
produzione specifica di G;
ġ + = ρġ.
Produzione di G nel volume di controllo:
Z
ρġdV .
V
JJ
II
J
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Equazione di bilancio integrale
Z
V
∂
(ρg)dV = −
∂t
Z
S
n · ϕGdS +
Z
ρġdV .
(107)
60/293
V
Equazione di bilancio differenziale
Applicando il teorema di Gauss all’integrale del flusso nella (107):
Z V
∂
(ρg) + ∇ · ϕG − ρġ dV = 0 .
∂t
(108)
Questo integrale è nullo qualunque sia la scelta di V se e soltanto se
l’integrando è nullo, da cui l’equazione di bilancio in forma differenziale:
∂
(ρg) + ∇ · ϕG = ρġ .
∂t
(109)
• La fisica del problema è racchiusa nella determinazione dell’espressione del flusso e della produzione.
JJ
II
J
I
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Equazione di bilancio della massa (continuità)
g = 1, g + = ρ;
61/293
ϕM = ρV;
ġ = 0: la massa si conserva.
Forma integrale dell’equazione di conservazione della massa:
Z
V
Forma differenziale:
∂ρ
dV +
∂t
Z
n · ρVdS = 0 .
(110)
S
∂ρ
+ ∇ · (ρV) = 0 .
∂t
(111)
JJ
II
J
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Rappresentazione euleriana e lagrangiana
Rappresentazione euleriana:
si assumono come variabili indipendenti le coordinate dello spazio ed
il tempo (x1, x2, x3, t) = (r, t); il problema fluidodinamico consiste
nell’individuazione della generica grandezza g(r, t) in ciascun punto
del campo al variare del tempo.
62/293
Rappresentazione lagrangiana:
Individuazione al variare tempo dell’evoluzione della generica grandezza di una data particella. Indicando con R = σ iXi la posizione che
la data particella assume al tempo iniziale t0, le variabili indipendenti
diventano (R, τ ) con τ = t.
Per passare da una rappresentazione all’altra occorre conoscere la
trasformazione
∀i = 1, 2, 3 xi = xi(X1, X2, X3, τ ), t = τ ;
(112)
in forma vettoriale:
r = r(R, t), t = τ .
(113)
JJ
II
J
I
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Si assume che:
1. nessuna regione di volume finito si trasforma nel tempo in una
regione di volume nullo o infinito;
63/293
2. nel tempo volumi si trasformano in volumi, superfici in superfici,
curve in curve, costituiti sempre dalle stesse particelle.
Nota l’evoluzione di una grandezza in una rappresentazione lagrangiana g(R, τ ), la rappresentazione euleriana si ottiene tramite le (112)
o (113):
g(r, t) = g[R(r, τ ), t] .
(114)
JJ
II
J
I
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Derivata sostanziale
Definizione di velocità di una particella:
V = V(R, τ ) =
∂r
(R, τ ) =
∂τ
∂r
∂τ
64/293
= σi
R=cost
Definizione di derivata sostanziale:
∂
D
.
=
Dt
∂τ R=cost
∂xi
∂τ
. (115)
R=cost
(116)
Tenendo conto della (113), della regola di derivazione delle funzioni
di funzioni:
Dg ∂g ∂t
∂g
∂xi
=
+
.
(117)
Dt
∂t ∂τ
∂xi t=cost ∂τ R=cost
Essendo ∂t/∂τ = 1, è possibile ottenere la seguente rappresentazione
euleriana della derivata sostanziale:
D
∂
=
+V·∇ .
(118)
Dt ∂t
JJ
II
J
I
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Flusso convettivo e diffusivo
ϕG ≡ ρgV + JG
(119)
65/293
1. ρgV: flusso convettivo, associato al trasporto della grandezza g
con la velocità di massa V.
2. JG: flusso diffusivo, associato al trasporto della grandezza con la
velocità molecolare relativa al moto del baricentro della particella.
È possibile definire il flusso diffusivo o con leggi fenomenologiche o
ricorrendo alla Teoria cinetica dei gas.
JJ
II
J
I
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Equazioni del bilancio in forma lagrangiana
66/293
d
dt
Z
Vm (t)
(ρg)dVm = −
Z
Sm (t)
n · JGdSm +
Z
ρġdVm .
Vm (t)
(120)
JJ
II
J
I
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Essendo (ρdVm = dM):
d
dt
d
(ρg)dVm =
dt
Vm (t)
Z
si ha che
Z
∂g(R, τ )
dM , (121)
∂τ
M
Z
g(R, τ )dM =
M
d
Dg
(ρg)dVm =
ρ dVm ,
dt Vm(t)
Vm (t) Dt
allora, sempre applicando il teorema d Gauss:
Z
Z
Vm (t)
67/293
Z
Dg
ρ
+ ∇ · JG − ρġ dVm = 0 ,
Dt
(122)
(123)
valida comunque si sceglie Vm(t), per cui:
Dg
+ ∇ · JG − ρġ = 0 ,
Dt
equazione di bilancio differenziale in forma lagrangiana.
ρ
(124)
• Nell’equazioni di bilancio in forma lagrangiana compare solo
il flusso diffusivo.
JJ
II
J
I
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Le equazioni della Fluidodinamica
68/293
Conservazione della massa (continuità)
Forma integrale dell’equazione di conservazione della massa:
Z
V
∂ρ
dV +
∂t
Z
n · ρVdS = 0 .
(125)
S
∂ρ
(126)
+ ∇ · (ρV) = 0 .
∂t
Svolgendo la divergenza nella (126) si ottiene (v = 1/ρ, volume
specifico):
1 Dv
∇·V =
;
(127)
v Dt
la divergenza della velocità misura la variazione percentuale nell’unità di tempo del volume di una particella.
JJ
II
J
I
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Se il flusso è incomprimibile:
∇·V =0 ;
(128)
69/293
la conservazione della massa assicura che un campo di moto incomprimibile è solenoidale.
Se il flusso è stazionario:
∇ · (ρV) = 0 ;
(129)
la conservazione della massa assicura che in un campo di moto
comprimibile e stazionario è solenoidale il vettore ρV.
Prob. n. 10: dimostrare che in flusso stazionario la
portata di un condotto è costante
Occorre scrivere l’equazione di conservazione della massa in forma
integrale per un condotto con pareti laterali impermeabili (n · V = 0).
JJ
II
J
I
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Bilancio della quantità di moto
g = V, g + = ρV;
70/293
flusso diffusivo JV = −τ ;
produzione per unità di volume f˙+ = ρg;
g = −∇Ψ, Ψ = gz energia potenziale del campo gravitazionale.
Forma integrale del bilancio di quantità di moto:
d
dt
Z
Z
ρVdV +
V
n · ρVV − τ dS =
Z
ρgdV .
(130)
V
S
∂ρV
+ ∇ · (ρVV − τ ) = ρg .
∂t
Forma integrale lagrangiana:
d
dt
Z
Z
ρVdVm =
Vm (t)
Sm (t)
n · τ dSm +
(131)
Z
ρgdVm .
Vm (t)
(132)
JJ
II
J
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Forma differenziale lagrangiana:
ρ
DV
− ∇ · τ = ρg .
Dt
(133)
71/293
• L’espressione di τ dipende dal tipo di fluido.
Modello di fluido newtoniano:
(s)
τ = −pU + µ2(∇ · V)U + 2µ(∇ V)0
(134)
µ2: secondo coefficiente di viscosità del fluido.
Per i fluidi di nostro interesse µ2/µ 1, per cui lo trascureremo:
τ = −pU + τ d ,
(s)
τ d = 2µ(∇ V)0 .
(135)
(136)
• Nel modello newtoniano, cosı̀ come nella maggior parte dei problemi di nostro interesse, il tensore degli sforzi è simmetrico.
JJ
II
J
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Prob. n. 11: determinare le 9 componenti del tensore
degli sforzi di un fluido newtoniano
72/293
Prob. n. 12: determinare l’espressione della forza (aerodinamica) che agisce su un corpo immerso in una corrente
fluida
(Non è altro che il flusso di quantità di moto attraverso il corpo).
JJ
II
J
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Conservazione dell’energia
Principio dell’equilibrio evolutivo: si assume che i tempi caratteristici del problema fluidodinamico siano molto maggiori del tempo
caratteristico con cui il sistema termodinamico particella raggiunge il proprio equilibrio per cui, istante per istante, la particella è in
equilibrio termodinamico.
73/293
g = e , g + = ρe;
e = u + V 2/2 + Ψ, u è l’energia interna specifica;
flusso diffusivo Je = Ju + Jc;
legge di Fourier: Ju = −λ∇T (flusso di energia nel modo calore);
λ: conducibilità termica, si misura in J/(m s K);
Jc = −τ · V (flusso di energia nel modo lavoro);
ė = 0, l’energia totale si conserva.
JJ
II
J
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Forma differenziale lagrangiana
D
V2
ρ
+ Ψ − ∇ · (λ∇T ) − ∇ · (τ · V) = 0 .
u+
Dt
2
(137)
74/293
Identità vettoriale:
∇ · (τ · V) = (∇ · τ ) · V + τ̃ : ∇ V .
(138)
Il flusso di energia nel modo lavoro consta di due contributi:
1. (∇ · τ ) · V: lavoro compiuto sulla particella per effetto dello spostamento V;
2. τ̃ : ∇ V: contributo dovuto alla deformazione della particella.
Bilancio dell’energia cinetica
ρ
2
D V
Dt 2
− ∇ · (τ · V) = ρε̇c .
(139)
JJ
II
J
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Questa equazione si può riottenere moltiplicando scalarmente per V
il bilancio di quantità di moto:
DV
· V − (∇ · τ ) · V = ρg · V .
ρ
Dt
75/293
(140)
In base alle identità vettoriali (138) e (91):
D V2
ρ
Dt 2
− ∇ · (τ · V) = ρg · V − τ̃ : ∇ V .
(141)
La produzione di energia cinetica è quindi:
ρε̇c = ρg · V − τ̃ : ∇ V .
(142)
• Il bilancio di energia cinetica non è un’equazione indipendente.
JJ
II
J
I
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Bilancio dell’energia potenziale
DΨ
= ρε̇p .
Dt
• Il flusso diffusivo di energia potenziale è nullo.
ρ
(143)
76/293
• Il potenziale (gravitazionale) dipende solo dallo spazio e non dal
tempo.
• ∇Ψ = −g.
DΨ
= V · ∇Ψ ,
Dt
(144)
DΨ
= −ρg · V
Dt
(145)
ρε̇p = −ρg · V ,
(146)
per cui
ρ
e
da confrontare con la produzione di energia cinetica.
• Il bilancio di energia potenziale non è un’equazione indipendente.
JJ
II
J
I
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Bilancio dell’energia interna
Si ottiene sottraendo i bilanci di energia cinetica e potenziale a quello
di energia totale:
Du
ρ
+ ∇ · Ju = τ̃ : ∇ V
(147)
Dt
e
ρε̇u = τ̃ : ∇ V ,
(148)
77/293
da confrontare con la produzione di energia cinetica.
• Nulla possiamo ancora dire sul segno della produzione di energia
interna.
JJ
II
J
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Bilancio dell’entropia
Ds
(149)
+ ∇ · Js = ρṡ .
Dt
Ds
Dv
Du
=T
−p
.
(150)
Dt
Dt
Dt
Il bilancio di entropia si ottiene combinando il bilancio di energia
interna e di volume specifico. Si ottiene:
ρ
ρ
Ds
p
1
1
= τ̃ : ∇ V − ∇ · Ju + ∇ · V .
Dt T
T
T
78/293
(151)
Confrontando con la (149):
T ρṡ − T ∇ · Js = +τ̃ : ∇ V − ∇ · Ju + p∇ · V ,
(152)
T ρṡ − ∇ · (T Js) = −Js · ∇T + τ̃ : ∇ V − ∇ · Ju + p∇ · V , (153)
da cui:
Js =
Ju
;
T
T ρṡ = −Js · ∇T + τ̃ : ∇ V + p∇ · V .
(154)
JJ
II
J
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Per un fluido newtoniano e fourieriano si ottiene2
τ̃ : ∇ V = −p(∇ · V) + Φ ,
(s)
(155)
(s)
Φ = 2µ(∇ V)0 : (∇ V)0 .
79/293
(156)
Φ: funzione di dissipazione.
T ρṡ =
λ
∇T · ∇T + Φ .
T
(157)
Affinchè sia soddisfatto il II principio della termodinamica (la produzione di entropia è positiva):
λ>0,
µ>0;
(158)
il flusso termico va da zone a temperatura maggiore a zone a temperatura minore e l’energia cinetica (parte) si “dissipa” in energia
interna, processi entrambi irreversibili.
2
Si sfruttano le seguenti identità: A0 : U = 0, A(s) : A(a) = 0.
JJ
II
J
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Le equazioni di Navier-Stokes
Caso di fluido newtoniano e foureriano.
Continuità:
∂ρ
+ ∇ · (ρV) = 0 ;
∂t
quantità di moto:
ρ
DV
(s)
+ ∇p = 2∇ · [µ(∇ V)0 ] + ρg ;
Dt
80/293
(159)
(160)
energia:
V2
D
(s)
ρ
u+
+ Ψ = ∇ · (λ∇T ) − ∇ · (pV) + 2∇ · [µ(∇ V)0 · V] .
Dt
2
(161)
La chiusura del sistema richiede la conoscenza delle relazioni di stato:
p = p(ρ, T ),
µ = µ(p, T ),
u = u(ρ, T ),
λ = λ(p, T ).
(162)
(163)
JJ
II
J
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Condizioni iniziali e al contorno
V(r, t0) = Vi(r), p(r, t0) = pi(r), ρ(r, t0) = ρi(r).
(164)
81/293
Parete impermeabile fissa: V = 0, p =?.
• Nel caso di proprietà costanti (ρ e µ), la temperatura non compare
nell’equazioni di continuità e quantità di moto.
Continuità e quantità di moto possono essere integrate indipendentemente dall’equazione dell’energia.
L’equazione dell’energia può essere risolta, se necessario, successivamente, con il campo di velocità già noto.
Prob. n. 13: scrivere le equazioni scalari di NavierStokes nel caso 2D a proprietà costanti (ρ, µ, λ)
JJ
II
J
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Alcune soluzioni esatte delle equazioni di Navier Stokes
Ipotesi:
82/293
• flusso incomprimibile,
• flusso stazionario,
• fluido Newtoniano con proprietà costanti.
∇·V =0 ,
(165)
ρV · ∇V + ∇p = µ∇2V .
(166)
JJ
II
J
I
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Flusso alla Couette
Flusso confinato fra due pareti di lunghezza infinita distanti 2h l’una
dall’altra, la parete superiore si muove con velocità U rispetto alla
parete inferiore.
83/293
• pareti di lunghezza infinita → u = u(y)
• pressione costante → ∇p = 0
Condizioni al contorno:
u(−h) = 0 , v(−h) = 0 ,
u(h) = U , v(h) = 0 .
(167)
JJ
II
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Dall’equazione di continuità e dalla condizione al contorno per v:
∂v
=0⇒v=0.
∂y
(168)
84/293
Dall’equazione della quantità di moto lungo y e dalle condizioni al
contorno per u:
U
d2 u
µ 2 =0⇒u=
dy
2
y
1+
h
ρU h
,
2
du µU
τ =µ =
,
dy
2h
τ
µ
1
Cf ≡ 1 2 =
=
.
ρU
h
ρU
h
Re
h
2
ṁ =
.
(169)
(170)
(171)
(172)
JJ
II
J
I
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Flusso in un condotto a sezione circolare (flusso alla HagenPoiseuille)
85/293
∂
∂θ
Si utilizza un sistema di riferimento cilindrico (per simmetria = 0).
Si assume che il flusso nel condotto sia completamente sviluppato:
u = u(r), v = v(r)
Condizioni al contorno sulla parete del condotto:
u(r0) = v(r0) = 0.
(173)
Dall’equazione di continuità si ottiene ancora che v = 0 per cui
dall’equazione di quantità di moto lungo z e quindi p = p(x).
Equazione di quantità di moto lungo r
dp
d2u(r) 1 du(r)
=µ
+
dx
dr2
r dr
∂p
∂r
=0
.
(174)
Essendo p = p(x) e u = u(y), affinchè l’equazione sia soddisfatta si
ricava che dp/dx deve essere una costante.
JJ
II
J
I
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L’equazione di quantità di moto è lineare e può essere risolta:
−dp/dx 2
u=
(175)
(r0 − r2)
4µ
86/293
risultati per il flusso alla Hagen-Poiseuille
Portata:
πr04
dp
ṁ =
−
.
8µ
dx
Velocità media e massima:
−dp/dx 2 1
−dp/dx 2
um =
r0 = umax ,
umax =
r0 .
8µ
2
4µ
Sforzo di attrito alla parete:
du
4µum
τw = µ −
.
=
dr w
r0
Coefficiente d’attrito “fattore d’attrito di Fanning”:
τw
8µ
Cf =
=
.
1/2ρu2m ρumr0
(176)
(177)
(178)
(179)
JJ
II
J
I
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Flusso alla Poiseuille piano
Si ricava in modo analogo:
87/293
2
y
dp h2
u=−
1− 2
dx 2µ
h
,
dp h2
,
umax = −
dx 2µ
4
ṁ = humax ,
3
Q
2
um =
= umax ,
2h 3
3µum
6µ
τw =
,
Cf =
.
h
ρumh
(180)
(181)
(182)
(183)
(184)
JJ
II
J
I
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Equazioni di bilancio adimensionali
88/293
Il problema consiste nella scelta di opportune grandezze di riferimento delle variabili indipendenti e dipendenti.
ḡ = g/gr ;
ḡ: grandezza adimensionale;
gr : grandezza di riferimento.
• La scelta di gr è appropriata quando ḡ ≈ O(1).
JJ
II
J
I
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Continuità
Si assuma il flusso isoentropico (ds = 0) per cui
Dρ
=
Dt
∂ρ
∂p
1 Dp
Dp
= 2
,
a Dt
s Dt
89/293
(185)
a: velocità del suono.
Scegliendo tr = Lr /Vr e pr = ρr Vr2 il bilancio di volume specifico
(127) diventa
Mr2 Dp̄ ¯
+ ∇ · V̄ = 0 .
(186)
ρ̄ā2 Dt̄
Mr2 = Vr2/a2r : numero di Mach di riferimento.
¯ · V̄ = 0 ⇒ flusso incomprimibile.
• Mr → 0 ⇒ ∇
JJ
II
J
I
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Quantità di moto
Lr ∂(ρ̄V̄) ¯
Lr gr
¯ = µr 2 ∇
¯ · [µ̄(∇
¯ V̄)(s)
ρ̄ḡ .
+ ∇ · (ρ̄V̄V̄) + ∇p̄
0 ]+
Vr tr ∂ t̄
ρ r V r Lr
Vr2
(187)
90/293
tr Vr
convezione di V
⇒
, numero di Strouhal.
Lr
instazionarieta‘
ρ r V r Lr
convezione di V
Rer =
⇒
, numero di Reynolds.
µr
ef f etti viscosi
Vr2
convezione di V
F rr =
⇒
, numero di Froude.
Lr gr
gravita‘
Str =
1
1 ∂(ρ̄V̄) ¯
¯ = 1 2∇
¯ · [µ̄(∇
¯ V̄)(s)
ρ̄ḡ . (188)
+ ∇ · (ρ̄V̄V̄) + ∇p̄
]
+
0
Str ∂ t̄
Rer
F rr
1 ¯
Scegliendo pr = ρr a2r il termine di pressione diventa 2 ∇p̄
che impliMr
ca un secondo significato a Mr :
JJ
II
J
I
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convezione di V
.
dif f usione reversibile di V
• Combinando questi numeri caratteristici si possono misurare le
importanze relative tra tutti i vari contributi.
Mr ⇒
91/293
JJ
II
J
I
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Energia
er = ur = a2r , Ψr = gr Lr :
ē = ū +
92/293
2
Mr2
+
Ψ̄ .
2
F rr
V̄
Mr2
(189)
• Ulteriore significato di Mr2 e F rr .
Tr = a2r /cpr , pr = ρr a2r :
2
1 ∂(ρ̄ē) ¯
1 ¯
M
r
¯ T̄ )−∇·(p̄
¯ V̄)+
¯
¯ V̄)(s)
+∇·(ρ̄ēV̄) =
∇·(λ̄∇
2∇·[µ̄(
∇
0 ·V̄] .
Str ∂ t̄
P er
Rer
(190)
µr cp r
f lusso lavoro viscoso
P rr =
⇒
, numero di Prandtl.
λr
f lusso termico
convezione di energia
P er = Rer P rr ⇒
, numero di Peclet.
f lusso termico
Mr2
f lusso lavoro viscoso
.
⇒
Rer
convezione di energia
JJ
II
J
I
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Aerodinamica dei flussi non dissipativi
(ideali)
93/293
Le equazioni di Eulero
Ipotesi: Rer → ∞, Prr ≈ O(1) (almeno), per cui anche P er → ∞.
1 ∂ ρ̄ ¯
+ ∇ · (ρ̄V̄) = 0 ;
(191)
Str ∂ t̄
1 ∂(ρ̄V̄) ¯ 1
+ ∇ · ρ̄V̄V̄ + p̄U =
ρ̄ḡ ;
(192)
Str ∂ t̄
F rr
1 ∂(ρ̄ē) ¯
p̄
(193)
V̄ = 0 .
+ ∇ · ρ̄ ē +
Str ∂ t̄
ρ̄
• Scompaiono dalle equazioni tutti i termini che portano a produzione di entropia: il fenomeno è non dissipativo; queste equazioni
governano la dinamica di un fluido (o di un flusso) ideale.
• Si abbassa l’ordine di derivazione (scompaiono tutte le derivate
seconde): attenzione alle condizioni al contorno.
JJ
II
J
I
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• In molte applicazioni aerospaziali F rr 1, per cui può essere
trascurato sia il temine di produzione nel bilancio di quantità di
moto (che pure diventa un’ equazione di conservazione) sia l’energia
potenziale gravitazionale nel bilancio dell’energia.
94/293
JJ
II
J
I
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Cinematica della particella
Traiettoria: luogo delle successive posizioni assunte da una particella
durante il suo moto, al variare del tempo.
95/293
Linea di corrente: curva inviluppo del vettore velocità nella rappresentazione euleriana.
Linea tracciante: luogo delle posizioni assunte, al variare del tempo,
dalle successive particelle che passano per uno stesso punto.
• In regime instazionario, in generale, traiettorie, linee di corrente
e linee traccianti sono diverse.
• In regime stazionario traiettorie, linee di corrente e linee traccianti coincidono.
JJ
II
J
I
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96/293
Visualizzazione delle linee di corrente intorno ad un profilo NACA
tramite bolle d’aria, M∞ ≈ 0, Re∞ ≈ 6000.
JJ
II
J
I
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97/293
Visualizzazione (con tracciante) della formazione del vortice di distacco
al bordo di uscita di un profilo alare, M∞ ≈ 0, ReS ≈ 1000.
JJ
II
J
I
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Deformazione lineare della particella
98/293
∂u
∆x ;
∂x
uP ∆t + ∆x0 = ∆x + uQ∆t ;
uQ = uP +
∆x0 − ∆x ∂u
dεx ∂u
εx =
=
∆t ,
=
.
∆x
∂x
dt
∂x
εx: deformazione lineare (percentuale) nella direzione x;
dεx
: velocità di deformazione.
dt
(194)
(195)
(196)
JJ
II
J
I
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Velocità angolare di rotazione della particella
99/293
α1 =
∂v
∆t ,
∂x
α2 = −
∂u
∆t ;
∂y
(197)
1 (α1 + α2) 1 ∂v ∂u
Ωz =
=
−
.
2 ∆t
2 ∂x ∂y
1
Ω = (∇ × V) , ∇ × V = ζ (vorticita‘) .
2
(198)
(199)
JJ
II
J
I
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Deformazione angolare della particella
100/293
1 α + β 1 ∂v ∂u
(s)
(200)
γxy =
=
+
= [(∇ V)0 ]xy
2 ∆t
2 ∂x ∂y
• Una particella trasla con velocità V, ruota con velocità angolare
(s)
1
∇ × V, si dilata secondo ∇ · V e si deforma secondo (∇ V)0 .
2
• E’ newtoniano un fluido in cui sforzi tangenziali e deformazioni
della particella da essi provocati sono proporzionali tra loro.
JJ
II
J
I
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Il teorema di Crocco
Accelerazione della particella:
101/293
DV ∂V
=
+V·∇ V ;
Dt
∂t
(201)
V2
+ (∇ × V) × V ;
(202)
V·∇ V =∇
2
relazione di Gibbs:
1
∇p = ∇h − T ∇s .
(203)
ρ
Sostituendo queste relazioni nel bilancio di quantità di moto e definendo l’entalpia totale come H = h + V 2/2 + Ψ si ottiene il teorema di
Crocco:
∂V
+ ∇H + (∇ × V) × V = T ∇s + f d .
(204)
∂t
f d è la forza dissipativa per unità di massa che agisce sulla particella.
JJ
II
J
I
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Bilancio dell’energia cinetica:
∂ V2
∂t 2
+ V · ∇H = T V · ∇s + V · f d .
(205)
102/293
Ipotesi:
1. flusso ideale (Re → ∞ e P e → ∞);
2. regime stazionario.
Il bilancio dell’entropia diventa:
Ds
= V · ∇s = 0 ,
(206)
Dt
in un flusso ideale e stazionario l’entropia è costante lungo una
linea di corrente (flusso isoentropico).
Il bilancio dell’energia cinetica diventa:
DH
= V · ∇H = 0 ,
(207)
Dt
in un flusso ideale e stazionario l’entalpia totale è costante lungo
una linea di corrente (flusso isoentalpico).
JJ
II
J
I
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Il teorema di Bernoulli (generalizzato)
Se l’entropia a monte è uniforme (s = s∞) allora s è costante in tutto
il campo (flusso omoentropico).
Se l’entalpia totale a monte è uniforme (H = H∞) allora H è
costante in tutto il campo (flusso omoentalpico).
Il risultato
V2
h+
+ Ψ = cost
(208)
2
è noto come teorema di Bernoulli (generalizzato).
Il teorema di Crocco per un flusso stazionario ed ideale:
∇H + (∇ × V) × V = T ∇s
103/293
(209)
mostra che se il flusso è anche omoentalpico ed omoentropico:
(∇ × V) × V = 0 .
Cioè è verificata una delle seguenti possibilità:
1. ∇ × V = 0, il campo è irrotazionale ⇒ ∃ φ | V = ∇φ;
2. ∇ × V V, campo alla Beltrami.
(210)
JJ
II
J
I
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Il teorema di Bernoulli (incomprimibile)
Sia M → 0 ⇒ ρ = cost.
In un fluido isoentropico, incomprimibile la relazione di Gibbs diventa dh = d(p/ρ), cioè dell’entalpia può variare solo la parte legata
alla pressione, mentre l’energia interna rimane costante:
in un flusso incomprimibile isoentropico la temperatura non varia.
Il teorema di Bernoulli generalizzato assume allora la forma
1
p + ρV 2 + ρΨ = cost .
2
104/293
(211)
JJ
II
J
I
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Flusso incomprimibile quasi-unidimensionale
Ipotesi:
105/293
1. regime stazionario;
2. condotto orizzontale (gravità trascurabile) con deboli variazioni
dell’area della sezione;
3. regime incomprimibile;
4. flusso ideale (isoentropico).
V1: velocità media alla sezione di area A1;
p1: pressione media alla sezione di area A1.
Conservazione della massa:
V1A1 = V2A2 .
(212)
1
1
p1 + ρV12 = p2 + ρV22 .
2
2
(213)
Teorema di Bernoulli:
JJ
II
J
I
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Prob. n. 14: determinazione della portata di un condotto
tramite il tubo Venturi
106/293
Occorre collegare le sezioni 1 e 2 con un manometro per misurare la
differenza di pressione ∆p = p1 − p2.
Prob. n. 15: determinazione della velocità di un aeromobile con il tubo di Pitot (facoltativo)
JJ
II
J
I
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Il teorema di Bernoulli instazionario (generalizzato)
Ipotesi:
107/293
1. regime ideale omoentropico;
2. campo di moto irrotazionale.
Dal teorema di Crocco si ricava:
∂ϕ
∇
+ ∇H = 0 ;
∂t
(214)
∂ϕ
V2
+h+
+ Ψ = f (t) .
∂t
2
(215)
integrando:
JJ
II
J
I
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Equazione di bilancio della vorticità ζ = ∇ × V
Si ottiene effettuando il rotore dell’equazione di bilancio della quantità
di moto:
∇ · τd
Dζ
1
= ζ · ∇ V − (∇ · V)ζ + 2 ∇ρ × ∇p + ∇ ×
Dt
ρ
ρ
108/293
(216)
Se ρ = ρ(p) il fluido si dice barotropico.
• Un flusso incomprimibile è barotropico: ρ = k.
• Un flusso omoentropico è barotropico: ρ = k/p1/γ .
Equazione di bilancio di vorticità per un flusso incomprimibile:
Dζ
= ζ · ∇ V − (∇ · V)ζ + ν∇2 ζ .
Dt
(217)
Equazione di bilancio di vorticità per un flusso omentropico (comprimibile):
Dζ
= ζ · ∇ V − (∇ · V)ζ .
Dt
• Non compare la pressione!
(218)
JJ
II
J
I
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Circuiti
Un circuito C di una regione V si dice riducibile se può essere trasformato con continuità in un punto senza abbandonare la regione,
altrimenti il circuito è detto irriducibile.
Una regione V si dice semplicemente connessa se contiene tutti circuiti riducibili, altrimenti la regione è detta molteplicemente
connessa.
Teorema di Stokes:
Z
S
n · ζ dS =
I
V · dl .
109/293
(219)
C
• La validità del teorema richiede che V sia regolare in S, cioè il
circuito C deve essere riducibile.
• Un importante corollario del teorema di Stokes è che se V è irrotazionale in una regione semplicemente connessa V allora le
circolazioni di V su qualsiasi circuito di V sono nulle.
JJ
II
J
I
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Con degli opportuni tagli una regione molteplicemente connessa può
sempre essere trasformata in una regione semplicemente connessa .
110/293
• In un dominio reso semplicemente connesso con dei tagli non è
richiesta la continuità di una grandezza attraverso il taglio.
Due circuiti sono riconducibili se è possibile trasformare con continuità
l’uno nell’altro senza abbandonare il dominio.
JJ
II
J
I
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I teoremi di Helmholtz
Linea vorticosa: una curva tangente in ogni punto a ζ = ∇ × V.
111/293
Superficie vorticosa: una superficie con il vettore ζ tangente in ogni
suo punto.
Tubo vorticoso: L’insieme delle linee vorticose passanti per una curva
chiusa che racchiude un’area finita.
Filetto vorticoso: L’insieme delle linee vorticose passanti per una
curva chiusa che racchiude un’area infinitesima.
Si definisce intensità di un tubo vorticoso il flusso di ζ attraverso
una sua sezione:
Z
(220)
Γ = n · ζdS .
S
I teorema di Helmholtz: l’intensità di un tubo vorticoso è la
stessa in tutte le sue sezioni trasversali.
JJ
II
J
I
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112/293
La dimostrazione del I teorema di Helmoltz è immediata applicando
il teorema di Gauss al vettore vorticità nel volume indicato in figura
e tenendo conto della solenoidalità di ζ e della definizione di tubo
vorticoso per cui il flusso di ζ sulla superficie laterale del cilindro è
nullo.
• Conseguenze del I teorema di Helmholtz: un tubo vorticoso o è chiuso o inizia e finisce su un confine del dominio.
Tubo vorticoso isolato: quando all’esterno del tubo il campo è irrotazionale.
JJ
II
J
I
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II teorema di Helmholtz: la circolazione presa nello stesso
senso intorno a due qualsiasi circuiti irriducibili e riconciliabili
che circondino un tubo vorticoso isolato una sola volta è la stessa
ed è uguale, in valore assoluto, all’intensità del tubo vorticoso.
113/293
Basta collegare i due circuiti con un taglio per ottenere un unico circuito riducibile in un campo irrotazionale che avrà quindi circolazione
totale nulla. Essendo il contributo del taglio alla circolazione nullo
(percorso 2 volte con verso contrario) ed essendo i due circuiti percorsi
in verso opposto ne risulta che la loro circolazione deve coincidere.
Se si sceglie uno dei due circuiti lungo il tubo vorticoso si ottiene
anche che la circolazione è pari all’intensità del tubo vorticoso che non
varia in base al I teorema di Helmholtz.
JJ
II
J
I
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Velocità indotta da un vortice isolato
114/293
Γ
V(P ) =
4π
Caso di vortice infinito rettilineo:
k×r
dl .
3
r
L
Z
(221)
Γ
V =
;
(222)
2πR
R: distanza del punto P dal vortice, V giace nel piano ortogonale al
vortice con verso tale che k, R, V è una terna levogira.
JJ
II
J
I
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Il teorema di Kelvin
I
V · dl ,
Γ(t) =
(223)
115/293
Cm
Cm: circuito materiale.
DΓ
D
=
Dt
Dt
I
V · dl =
Cm
D
(V · dl) =
Dt
Cm
I
DV
V · dV =
· dl +
Cm Dt
Cm
2
I
I
DV
V
=
· dl +
d
2
Cm Dt
Cm
I
DV
· dl .
Cm Dt
I
I
(224)
Dal bilancio di quantità di moto:
DV
= −∇(h + Ψ) + T ∇s + f d ;
Dt
(225)
JJ
II
J
I
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quindi:
DΓ
=
T ∇s · dl +
f d · dl .
(226)
Dt
Cm
Cm
Teorema di Kelvin: in un flusso ideale e omoentropico la
circolazione di un circuito materiale non varia nel tempo.
Corollari
I
I
116/293
1. Tubi vorticosi, superfici vorticose e filetti vorticosi sono costituiti sempre dalle stesse particelle. Si consideri
un arbitrario circuito materiale giacente su una superficie vorticosa, avrà quindi circolazione nulla e per il teorema di Kelvin la circolazione rimarrà nulla al variare del tempo e data
l’arbitrarietà della scelta la superficie su cui giace il circuito
continuerà ad essere tangente alla vorticità ne segue che essa
è ancora superficie vorticosa.
2. L’intensità di un tubo vorticoso non varia con il tempo.
È un’ovvia conseguenza del precedente corollario.
JJ
II
J
I
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Flussi incomprimibili ideali
L’equazione di continuità ci assicura che il campo di velocità di un
flusso incomprimibile è solenoidale quindi
∇·V =0
117/293
(227)
Se il campo è anche irrotazionale in un dominio semplicemente connesso esiste il potenziale cinetico φ : ∇φ = V.
La continuità diventa:
∇2 φ = 0
(228)
• Il campo di velocità è governato dall’equazione di Laplace con
una sola incognita!
JJ
II
J
I
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Flussi incomprimibili ideali 2D
118/293
L’equazione di continuità ci assicura che il campo di velocità di un
flusso incomprimibile è solenoidale quindi
∇·V =0
(229)
ed inoltre esiste il potenziale vettore A tale che
V =∇×A .
(230)
La funzione di corrente
Per campi di moto bidimensionali (ci si concentra qui sul caso piano)
deve risultare V3 = 0, che implica in termini di A (definizione di rotore):
∂A2 ∂A1
−
=0;
∂x1
∂x2
soddisfatta per A1 = A2 = 0.
(231)
JJ
II
J
I
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Si definisce funzione di corrente ψ(r) l’unica componente diversa da
zero del potenziale vettore di un campo bidimensionale:
ψ(r) = A3 .
(232)
119/293
In un riferimento cartesiano O(x, y) le componenti (u, v) di V sono
date da
∂ψ
∂ψ
u=
; v=−
.
(233)
∂y
∂x
In un riferimento polare O(r, θ) le componenti (Vr , Vθ ) di V sono date
da
1 ∂ψ
∂ψ
Vr =
; Vθ = −
.
(234)
r ∂θ
∂r
• Un campo di cui è data la funzione di corrente è certamente solenoidale ma non irrotazionale;
irrotazionalità ⇒ ∇2ψ = 0.
• Un campo di cui è dato il potenziale φ è certamente irrotazionale
ma non solenoidale;
solenoidalità ⇒ ∇2φ = 0.
JJ
II
J
I
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Proprietà della funzione di corrente
1. L’equazione di una linea di corrente è data da
dy v
= ,
dx u
120/293
(235)
in termini di ψ questa relazione diventa:
∂ψ
∂ψ
dx +
dy = dψ = 0 ;
∂x
∂y
(236)
la funzione di corrente è costante lungo una linea di corrente.
2. Il flusso di V attraverso una curva che congiunge due punti A e
B di versore tangente t = (t1, t2) (quindi versore normale dato da
n = (t2, −t1) è dato da:
Z
B
A
V · ndt =
Z
B
A
∇ψ · dt =
Z
B
A
dψ = ψ(B) − ψ(A) .
(237)
JJ
II
J
I
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Il problema matematico
121/293
Ipotesi:
1. flusso 2D piano e stazionario ⇒ f = f (x, y);
2. ρ = cost ⇒ ∇ · V = 0;
3. flusso ideale;
4. corrente uniforme.
JJ
II
J
I
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• Le ipotesi ci assicurano che il campo di velocità è solenoidale (incomprimibilità) ed irrotazionale (ideale e corrente uniforme).
• Il problema è governato dall’equazione di continuità (equazione di
Laplace):
∇2 φ = 0 .
(238)
122/293
In coordinate cartesiane:
∂ 2φ ∂ 2φ
+
=0.
∂x2 ∂y 2
(239)
∂ 2φ 1 ∂ 2φ 1 ∂φ
+
+
=0.
∂r2 r2 ∂θ2 r ∂r
(240)
In coordinate polari:
JJ
II
J
I
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Condizioni al contorno
1. All’infinito:
lim ∇φ = V∞ ;
r→∞
(241)
123/293
2. sul corpo di equazione nota y = yu(x), y = yl (x):
∇φ · n = 0.
(242)
Problema ben posto: esiste una soluzione unica per φ continua in
tutto il campo (a meno di una costante inessenziale).
JJ
II
J
I
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Close
Il problema in termini di ψ
L’equazione da risolvere è ancora l’equazione di Laplace (con significato
diverso!). Si impone l’irrotazionalità del campo.
∇2 ψ = 0 ;
124/293
(243)
cambiano le condizioni al contorno. All’infinito deve verificarsi
∂ψ
∂ψ
lim
= V∞ · cos α , lim
= −V∞ · sin α .
(244)
r→∞ ∂y
r→∞ ∂x
Sul corpo
ψ = cost.
(245)
Campo di pressione
Noto il campo delle velocità è possibile determinare il campo di pressione utilizzando il teorema di Bernoulli:
1
p − p∞ = − ρ(V 2 − V∞2 ) .
(246)
2
JJ
II
J
I
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Soluzioni elementari dell’equazione di Laplace
Le soluzioni dell’equazione di Laplace vengono dette funzioni armoniche. Essendo quest’equazione lineare la somma di due funzioni armoniche è ancora armonica.
125/293
• È possibile ottenere soluzioni complesse sommando più soluzioni elementari.
Corrente uniforme
φ = V∞ cos α · x + V∞ sin α · y ;
ψ = V∞ cos α · y − V∞ sin α · x .
(247)
(248)
Sorgente (o pozzo)
In coordinate polari:
φ=
Q
ln r ;
2π
ψ=
Q
θ.
2π
(249)
JJ
II
J
I
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Doppietta
Si ottiene dalla sovrapposizione al limite di una sorgente e di un pozzo
di intensità uguali ed opposte mantenendo costante il prodotto k =
Q∆l.
φ=
k cos θ
;
2π r
ψ=−
k sin θ
.
2π r
(250)
126/293
JJ
II
J
I
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Flusso non portante intorno al cilindro
Si sovrapponga una corrente uniforme parallela all’asse x ad una doppietta con asse parallelo ad x:
k sin θ
k
ψ = V∞r sin θ −
= V∞r sin θ 1 −
2π r
2πV∞r2
Ponendo R =
127/293
.
(251)
p
k/2πV∞:
"
2 #
ψ = V∞r sin θ 1 −
R
r
.
(252)
r → ∞ ⇒ ψ → V∞r sin θ = ψ∞ .
(253)
ψ(R, θ) = 0 .
(254)
Abbiamo trovato la soluzione potenziale incomprimibile di una
corrente uniforme che investe un cilindro di raggio R.
JJ
II
J
I
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Campo di velocità:
"
Vr =
2 #
1 ∂ψ
R
= V∞ cos θ 1 −
r ∂θ
r
"
Vθ = −
;
(255)
128/293
2 #
R
∂ψ
= −V∞ sin θ 1 +
∂r
r
.
(256)
Punti di ristagno:
V = (0, 0) ⇒
P1 = (R, 0)
P2 = (R, π)
(257)
Velocità sul corpo:
V (R) = |v(R)| = 2V∞| sin θ| .
(258)
Velocità massima:
V = 2V∞ ⇒

π


θ
=
A


2

3π


 θB =
2
(259)
JJ
II
J
I
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Prob. n. 16: disegnare le linee di corrente intorno al
cilindro non portante
129/293
Esistono fondamentalmente due tecniche:
1. risolvere l’equazione differenziale che le definisce (in coordinate
dy
cartesiane): dx
= uv con condizione iniziale (x0, y0);
2. disegnare le curve ψ = cost con diversi valori della costante.
Campo di pressione sul cilindro non portante
Definizione del coefficiente di pressione
Cp =
p − p∞
.
1
2
ρ
V
2 ∞ ∞
(260)
Caso di flusso incomprimibile governato dal teorema di Bernoulli:
V
Cp = 1 −
V∞
2
.
(261)
JJ
II
J
I
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Coefficiente di pressione sul cilindro:
Cp(R, θ) = 1 − 4 sin2 θ .
(262)
130/293
La forza aerodinamica (per unità di lunghezza) agente sul
cilindro
Z
1 2 2π
f = − ρV∞
(263)
ir Cp(R, θ)Rdθ ,
2
0
ir = (cos θ, sin θ).
Portanza (per unità di lunghezza):
1
l = − ρV∞2
2
Z
2π
(1 − 4 sin2 θ) sin θRdθ = 0 ,
(264)
0
risultato scontato, per la simmetria del campo di moto.
JJ
II
J
I
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Resistenza (per unità di lunghezza):
1 2 2π
(1 − 4 sin2 θ) cos θRdθ
d = − ρV∞
2
0
Z 2π
Z 2π
1 2
= − ρV∞R
cos θdθ − 4
sin2 θ cos θdθ = 0 . (265)
2
0
0
Z
131/293
Incontriamo per la prima volta il Paradosso di D’Alembert:
la resistenza aerodinamica agente su un corpo immerso in una
corrente bidimensionale ideale è nulla.
JJ
II
J
I
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Vortice isolato
In coordinate polari (Γ > 0 verso orario):
φ=−
Γ
θ;
2π
ψ=
132/293
Γ
ln r .
2π
(266)
Flusso portante intorno al cilindro
Alla precedente soluzione intorno a cilindro non portante si aggiunga il
campo indotto da un vortice isolato posto nell’origine del riferimento:
R2
ψ = V∞r sin θ 1 − 2
r
+
Γ
r
ln .
2π R
(267)
Condizioni al contorno soddisfatte:
ψ(R, θ) = 0 ;
(268)
r → ∞ ⇒ V → V∞ .
(269)
JJ
II
J
I
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Close
Sono stati ottenuti infiniti campi di moto (al variare di Γ) intorno al cilindro tutti ugualmente plausibili dal punto di vista teorico.
133/293
Velocità sul corpo:
Γ
.
V = 2V∞ sin θ +
2πR (270)
È possibile ottenere nella pratica un campo simile facendo ruotare il
cilindro ad una velocità angolare Ω = Γ/(2πR2) (Effetto Magnus).
Circolazione sul cilindro:
I
V(R) · dl = Γ .
(271)
In termini del potenziale φ:
I
∇φ(R) · dl =
I
dφ = Γ ⇒ φ discontinuo!
(272)
JJ
II
J
I
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Il dominio è doppiamente connesso!
134/293
Z
B
∇φ · dl = φ(B) − φ(A) .
(273)
A
φ(B) − φ(A) è costante lungo il taglio (la circolazione lungo il circuito
(ABED) deve essere nulla).
JJ
II
J
I
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Campo di velocità:
"
Vr =
2 #
1 ∂ψ
R
= V∞ cos θ 1 −
r ∂θ
r
"
Vθ = −
;
(274)
2 #
∂ψ
R
= −V∞ sin θ 1 +
∂r
r
−
Γ
.
2πr
135/293
(275)
Punti di ristagno, |Γ/4πV∞R| ≤ 1:

Γ
 P1 = (R, θ1 ), θ1 = arcsin −
IV quadrante
4πV∞ R V = (0, 0) ⇒
 P2 = (R, θ2 ), θ2 = arcsin − Γ
III quadrante
4πV∞ R
(276)
Punti di ristagno, |Γ/4πV∞R| > 1:
V = (0, 0) ⇒



 P1 = (r1 , − π2 ), r1 =


 P2 = (r2 , − π ), r2 =
2
Γ
4πV∞
Γ
4πV∞
−
+
r
r
Γ
4πV∞
Γ
4πV∞
2
2
− R2
− R2
(277)
JJ
II
J
I
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136/293
Linee di corrente e punti di ristagno
al variare della circolazione sul cilindro.
JJ
II
J
I
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Campo di pressione sul cilindro portante
Coefficiente di pressione sul cilindro:
"
137/293
2Γ sin θ
Γ
Cp = 1 − 4 sin2 θ +
+
πV∞R
2πV∞R
2 #
.
(278)
La forza aerodinamica (per unità di lunghezza) agente sul
cilindro
Portanza (per unità di lunghezza):
1
l = − ρV∞2
2
Z
2π
Cp sin θRdθ = ρV∞Γ .
(279)
0
Resistenza (per unità di lunghezza):
1
d = − ρV∞2
2
Z
2π
Cp cos θRdθ = 0 ;
0
vale ancora il Paradosso di D’Alembert.
(280)
JJ
II
J
I
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Il teorema di Kutta-Zukovskij
Ipotesi: 2D, ∂t∂ = 0, Re∞ → ∞, P e∞ → 0, M∞ = 0, F r → ∞,
∇ × V = 0, corpo impermeabile.
138/293
JJ
II
J
I
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Forza aerodinamica per unità di lunghezza:
Z
f=
pndS
(campo vicino) .
(281)
139/293
Sb
Dal bilancio di q.d.m. integrale:
f=−
Z
Sf ar
pndS −
Z
ρV V · n dS
(campo lontano) .(282)
Sf ar
V = V∞ + ∆V,
p = p∞ + ∆p .
(283)
Sia Sf ar → S∞; su Sf ar : ∆V → 0, ∆p → 0. Andremo quindi a
trascurare i termini O(∆V 2) e O(∆p2). Dal teorema di Bernoulli:
1
1
∆p = ρ(V∞2 − V 2) = ρ(V∞ · V∞ − V · V) ≈ −ρV∞ · ∆V . (284)
2
2
Inoltre:
V V = (V∞ + ∆V)(V∞ + ∆V) ≈ V∞V∞ + V∞∆V + ∆V V∞ . (285)
JJ
II
J
I
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Quindi, essendo
Z
f=ρ
R
Sf ar
R
p∞ndS = 0,
V∞ · ndS = 0:
Sf ar
[(V∞ · ∆V)n − (n · V∞)∆V − (n · ∆V)V∞] dS .
(286)
140/293
Sf ar
Dalla conservazione della massa
Z
R
Sf ar (n
· ∆V)dS = 0, per cui
[(V∞ · ∆V)n − (n · V∞)∆V] dS .
f=ρ
(287)
Sf ar
Identità: c × (a × b) = (b · c)a − (a · c)b. Con a = n, b = ∆V, c = V∞:
f = ρV∞ ×
Z
n × ∆VdS .
(288)
Sf ar
Dal teorema di Gauss
Z
R
Sf ar
n × V∞dS = 0, per cui
n × ∆VdS =
Sf ar
Z
n × VdS .
(289)
Sf ar
Inoltre, essendo n = (−t2, t1):
n × V = −V · t k
(290)
JJ
II
J
I
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per cui:
in un flusso stazionario, subsonico, bidimensionale generato da
una corrente uniforme ideale che investe un corpo impermeabile,
la forza aerodinamica è data da:
f = ρV∞ × Γ .
141/293
(291)
1. La resistenza è nulla (Paradosso di D’Alembert).
2. La portanza è proporzionale alla circolazione intorno al corpo (Γ >
0 se oraria).
JJ
II
J
I
Back
Close
La condizione di Kutta
Cosı̀ come per il cilindro anche per un corpo arbitrario immerso in una
corrente ideale è possibile ottenere infinite soluzioni potenziali variando
la circolazione Γ intorno al corpo.
142/293
È possibile selezionare tra queste infinite soluzioni quella che ha
un reale significato fisico?
La risposta è affermativa per i corpi caratterizzati da un bordo
d’uscita aguzzo o cuspidato.
bordo d’uscita aguzzo,
bordo d’uscita a cuspide
JJ
II
J
I
Back
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143/293
fisicamente impossibile,
fisicamente possibile
Condizione di Kutta:
la velocità al bordo di ucita è continua; in particolare è nulla per
bordi aguzzi e finita per bordi a cuspide.
JJ
II
J
I
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Tra gli infiniti valori della circolazione Γ deve essere scelto l’unico che consente di soddisfare la condizione di Kutta.
144/293
Risulta univocamente determinato il campo di moto intorno al
profilo e la corrispondente portanza individuata dal teorema di
Kutta-Zukovskij.
Genesi della circolazione e della portanza
Si consideri un campo fluido in quiete intorno ad un profilo alare.
• V = 0 ⇒ Γ = 0 intorno a qualsiasi circuito materiale, in particolare
rispetto ad un circuito lontano dal profilo e che lo racchiude.
• Quando il profilo comincia a muoversi, per il teorema di Kelvin, la
circolazione intorno al circuito materiale deve rimanere nulla.
Come è possibile allora che si generi circolazione e quindi portanza
sul profilo che si mette in moto rispetto al fluido?
JJ
II
J
I
Back
Close
145/293
Γ = Γ1 − Γ2 = 0 ⇒ Γ2 = Γ1 .
(292)
Il vortice che si stacca all’avvio dal bordo di uscita compensa la
circolazione che si genera intorno al profilo.
JJ
II
J
I
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Distribuzione lineare di vorticità
146/293
Potenziale indotto da una distribuzione lineare di vorticità:
Z
y
1 c
ϕ(x, y) = −
γ(ξ) arctan
dξ .
2π 0
x−ξ
(293)
Componenti di velocità cartesiane indotte dalla distribuzione lineare
di vorticità nel punto P (x, y):
1
u=
2π
Z
0
c
γ(ξ)ydξ
,
(x − ξ)2 + y 2
1
v=−
2π
Z
0
c
γ(ξ)(x − ξ)dξ
.(294)
(x − ξ)2 + y 2
JJ
II
J
I
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Lungo il segmento (0, c) il campo di velocità è discontinuo.
147/293
I
lim
∆n→0
V · dl = (u+ − u−)dξ = γdξ ⇒ γ = u+ − u− .
(295)
Per simmetria (il campo non può cambiare se capovolgiamo la figura):
u+ = u(x, 0+) = −u− = −u(x, 0−) =
γ
.
2
(296)
JJ
II
J
I
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Teoria di Glauert del profilo infinitamente sottile a piccoli
angoli di attacco
Ipotesi:
1. si assegna un profilo infinitamente sottile di equazione y = C(x);
148/293
2. la curvatura del profilo è piccola: |C(x)|/c 1 e |C 0(x)| 1;
3. il profilo è immerso in una corrente ideale, stazionaria, incomprimibile ad un piccolo angolo di attacco |α| 1.
Bisogna risolvere il problema di Laplace con le condizioni al contorno
di corpo linea di corrente e corrente uniforme all’infinito. L’eventuale
circolazione deve essere tale da soddisfare la condizione di Kutta.
JJ
II
J
I
Back
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Si ponga
φ(x, y) = φ∞(x, y) + ϕ(x, y) ,
(297)
dove φ∞ è il potenziale della corrente asintotica uniforme e ϕ è detto
potenziale di disturbo.
149/293
Glauert ha trovato la soluzione esprimendo ϕ come il potenziale di
una distribuzione lineare di vorticità lungo la corda del profilo:
1
ϕ(x, y) = −
2π
Z
c
γ(ξ) arctan
0
y
dξ .
x−ξ
(298)
• Questa funzione è certamente armonica per cui, con le posizioni
fatte, l’equazione di Laplace è risolta.
• La condizione al contorno all’infinito è certamente soddisfatta in
quanto il campo indotto all’infinito dalla distribuzione lineare di
vorticità è nullo.
• Deve solo essere verificata la condizione di corpo impermeabile.
• Essendo il disturbo piccolo rispetto alla corrente uniforme si trascureranno termini quadratici del disturbo (del II ordine).
JJ
II
J
I
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|α| 1 ⇒ φ∞ ≈ V∞x + V∞αy .
(299)
Per le ipotesi fatte sulla piccolezza sia di α che di C(x) il disturbo introdotto dal profilo sulla corrente è piccolo, cioè la velocità di disturbo
indotta dalla distribuzione di vorticità è piccola rispetto alla velocità
asintotica:
|u| V∞ , |v| V∞ .
(300)
150/293
|C(x)|/c 1 per cui la condizione al contorno sul dorso e sul ventre
del profilo può essere imposta, con errore trascurabile, direttamente
lungo la corda del profilo:
V∞α + v(x, 0±)
∀x ∈ (0, c) :
= C 0(x) .
±
V∞ + u(x, 0 )
(301)
(x, 0+) indica un punto del dorso del profilo, mentre (x, 0−) un punto
del ventre. Si ottiene:
∀x ∈ (0, c) : V∞α + v(x, 0±) = C 0(x)V∞ + C 0(x)u(x, 0±) .
(302)
L’ultimo termine (del II ordine) può essere trascurato rispetto agli
altri.
JJ
II
J
I
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La condizione sul corpo diventa:
v(x, 0±)
∀x ∈ (0, c) : α +
= C 0(x) .
V∞
(303)
151/293
In termini della distribuzione di vorticità:
1
∀x ∈ (0, c) : α −
2πV∞
Z
0
c
γ(ξ)dξ
= C 0(x) .
x−ξ
(304)
Per determinare l’incognita γ(ξ) occorre risolvere questa equazione
integrale.
• In questo caso la condizione di Kutta è γ(c) = 0.
JJ
II
J
I
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Trasformazione di Glauert:
152/293
c
c
ξ = (1 − cos θ0) , dξ = 2c sin θ0dθ0 ; x = (1 − cos θ) . (305)
2
2
Si assume che C 0(x) sia sviluppabile in serie di Fourier rispetto a θ:
0
C (x) =
∞
X
An cos(nθ) ;
(306)
n=0
dove
1
A0 =
π
Z
0
π
2
C 0(x)dθ , n ≥ 1 : An =
π
Z
0
π
C 0(x) cos(nθ)dθ. (307)
JJ
II
J
I
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La soluzione del problema è:
"
γ(θ) = 2V∞ (α − A0) cot
∞
X
θ
+
An sin(nθ)
2 n=1
#
.
(308)
153/293
Prob. n. 17 (facoltativo): verificare che la relazione (308)
è soluzione dell’equazione integrale (304)
Integrale di Glauert:
Z
0
π
cos(nθ0)
sin(nθ)
dθ0 = π
∀n = 0, 1, 2, . . .
cos θ0 − cos θ
sin θ
(309)
(si ricorda inoltre che, dalle formule di prostaferesi, sin(nθ0) sin θ0 =
1
cos[(n − 1)θ0] − 21 cos[(n + 1)θ0]).
2
• Bisogna verificare che
1
∀x ∈ (0, c) :
2πV∞
Z
0
c
γ(ξ)dξ
= α − C 0(x) .
x−ξ
(310)
JJ
II
J
I
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Lastra piana ad incidenza
La soluzione è (C(x) = C 0(x) = 0):
γ(θ) = 2V∞α cot
154/293
θ
= 2V∞α
2
s
1 − x/c
.
x/c
(311)
Verifica
Deve essere soddisfatta l’equazione integrale:
1
∀x ∈ (0, c) :
2πV∞
1
2πV∞
Z
0
c
Z
0
c
γ(ξ)dξ
=α.
x−ξ
γ(ξ)dξ
α π
θ0
sin θ0
=
cot
dθ0
x−ξ
π 0
2 cos θ0 − cos θ
Z
α π 1 + cos θ0
=
dθ0 = α .
π 0 cos θ0 − cos θ
(312)
Z
C.V.D.
(313)
JJ
II
J
I
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Il campo di pressione
V 2
u 2
v
= 1+
+ α+
V∞
V∞
V∞
trascurando, al solito, i termini del II ordine.
2
≈1+2
u
,
V∞
(314)
u
V 2
= −2
Cp = 1 −
.
(315)
V∞
V∞
Un’attenta analisi della soluzione del problema di Glauert γ(θ) mette
in luce che:
γ(θ) = γα (θ) + γC (θ) ,
(316)
γα (θ): soluzione del caso lastra piana ad incidenza α;
γC (θ): soluzione del caso linea media ad incidenza nulla.
Data la linearità del problema lo stesso risultato è valido per u, v e
Cp :
155/293
u(x, y) = uα + uC ,
v(x, y) = vα + vC ;
Cp(x, y) = Cpα + CpC .
(317)
(318)
JJ
II
J
I
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Nelle ipotesi di piccoli disturbi (profilo infinitamente sottile con piccola curvatura ed a bassa incidenza) è valido il principio di sovrapposizione degli effetti: il campo di moto è ottenibile per sovrapposizione delle soluzioni lastra piana ad incidenza e linea media ad
incidenza nulla.
156/293
JJ
II
J
I
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Analisi della soluzione lastra piana
u
γ(x)
(x, 0±) = ±
= ±α
V∞
2V∞
Cp(x, 0±) = −2
s
1 − x/c
;
x/c
u
γ(x)
(x, 0±) = ∓
= ∓2α
V∞
V∞
157/293
(319)
s
1 − x/c
. (320)
x/c
Coefficiente di pressione su una lastra piana a α = 50 ; soluzione di Glauert.
JJ
II
J
I
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• Al bordo di attacco la soluzione è singolare (dove il disturbo in
realtà non è piccolo).
• Al bordo d’uscita Cp = 0 (condizione di Kutta verificata).
158/293
I coefficienti di forza aerodinamica
n: componente della forza aerodinamica (per unità di lunghezza) in
y (forza normale); n = Cn 12 ρ∞V∞2 c;
a: componente della forza aerodinamica (per unità di lunghezza) in
x (forza assiale); a = Ca 12 ρ∞V∞2 c;
s: ascissa curvilinea lungo il profilo C(x) (dx = cos δds).
JJ
II
J
I
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159/293
Relazione con portanza e resistenza:
l = n cos α − a sin α ,
d = n sin α + a cos α .
(321)
(322)
Definizione di carico lungo il profilo:
∆Cp(x) = Cp(x, o−) − Cp(x, o+) = 2
γ(x)
.
V∞
(323)
Coefficiente di forza normale:
Z
TE
Cn =
LE
s
∆Cp(x) cos δ d
c
Z
=
1
∆Cp(x) d
0
x
c
.
(324)
JJ
II
J
I
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• Il contributo della forza assiale alla portanza è del II ordine e può
essere trascurato.
160/293
Cl ≈ Cn cos α ≈ Cn = 2
Z
1
0
γ(x) x
d
V∞
c
2Γ
;
V∞ c
=
(325)
2Γ 1
ρ∞V∞2 c = ρ∞V∞Γ .
V∞ c 2
• Il teorema di Kutta-Zukovskij è verificato.
(326)
l=
1
γ(x) x
Cl ≈ 2
d
V
c
0
∞
(Z "
Z
π
(α − A0) cot
= 4
0
"
= 4 (α − A0)
Z
0
π
θ
+
2
∞
X
#
An sin(nθ)
1
∞
1X
θ
cos2 dθ +
2
2
1
Z
An
1
sin θdθ
2
)
#
π
sin(nθ) sin θdθ
0
(327)
JJ
II
J
I
Back
Close
Z
0
Z
π
π
π
θ
;
cos2 dθ =
2
2
sin(nθ) sin θdθ =
0
161/293
π
2
n=1
0 n>1
π π
A1
Cl ≈ 4 (α − A0) + A1 = 2π α − A0 +
2 4
2
Cl ≈ Clα (α − αzl )
(328)
(329)
• Per profili sottili a piccoli angoli d’attacco la curva Cl = Cl (α) è
una retta.
• Clα = 2π è il coefficiente angolare della retta di portanza ed è
indipendente dal profilo.
• αzl = A0 − A1/2 è l’angolo di portanza nulla, dipende solo dalla
curvatura del profilo ed è proporzionale ad essa.
JJ
II
J
I
Back
Close
In modo analogo si calcola il momento di beccheggio (per unità di
lunghezza) rispetto al bordo di attacco (positivo se cabrante) ed il
relativo coefficiente:
1
mle = Cmle ρ∞V∞2 c2 .
2
(330)
1
x
x
s
x
= −
∆Cp(x) cos δ d
∆Cp(x) d
=−
c
c
c
c
0
ZLE1
x
x
π
Cl
= −2
γ(x) d
= (A2 − A1) −
.
(331)
c
c
4
4
0
Z
Cmle
TE
162/293
Z
Il centro di pressione è il punto di applicazione della risultante
delle forze aerodinamiche:
− Cl
xcp
xcp
Cm
= Cmle ⇒
= − le .
c
c
Cl
(332)
JJ
II
J
I
Back
Close
Il punto rispetto al quale il momento di beccheggio è indipendente
dall’angolo di attacco si chiama fuoco.
163/293
Cl
π
= − (A1 − A2) .
(333)
4
4
• Nei profili sottili a piccole incidenze il fuoco è posto a x = c/4.
Cmc/4 = Cmle +
JJ
II
J
I
Back
Close
Le forze aerodinamiche nel caso di lastra piana
• αzl = 0;
164/293
• Cl = 2πα;
• Cmle = −Cl /4;
• xcp = c/4;
• Cmc/4 = 0.
JJ
II
J
I
Back
Close
165/293
• Re∞ 1, M∞ 1;
• esiste un ampio intervallo degli angoli di attacco in cui i risultati della teoria di Glauert
sono in ottimo accordo con i
dati sperimentali.
• Clα = 2π;
• αzl può essere facilmente
calcolato nota la linea media;
• Cmc/4 può essere facilmente
calcolato nota la linea media.
JJ
II
J
I
Back
Close
Il profilo sottile simmetrico a incidenza nulla
166/293
Equazione del profilo:
y = ±T (x) ,
T (x) 1, +: dorso, −: ventre.
(334)
φ(x, y) = V∞x + ϕ(x, y) ;
(335)
Z c
q
1
ϕ(x, y) =
σ(ξ) ln (x − ξ)2 + y 2 dξ ,
(336)
2π 0
Il potenziale del disturbo è dato da una distribuzione lineare di sorgenti
lungo la corda di intensità
σ(x) = 2V∞T 0(x) .
(337)
JJ
II
J
I
Back
Close
Come nel caso linea media ad incidenza, occorre verificare che la
condizione al contorno sul corpo sia verificata (imposta lungo la corda):
v
(x, 0±) = ±T 0(x) .
∀x ∈ (0, c) :
V∞
167/293
(338)
Poichè i campi indotti da un vortice e da una sorgente sono ortogonali
risulta3:
σ(x)
v(x, 0±) = ±
;
(339)
2
con σ(x) = 2V∞T 0(x) la condizione (338) è ovviamente soddisfatta.
• Il campo di moto è singolare al bordo d’attacco (dove il disturbo è
grande).
• ∆Cp(x) = 0, Cl = 0 e Cmle = 0.
• Campi di moto non portanti possono essere descritti con distribuzioni di sorgenti e pozzi.
3
le componenti di velocità sono uguali ma scambiate.
JJ
II
J
I
Back
Close
Campo intorno ad un profilo sottile di spessore finito a
piccole incidenze
Ipotesi
168/293
1. ρ = cost, ∂/∂t = 0, flusso ideale.
2. Corrente asintotica uniforme con |α| 1.
3. Equazione del profilo: y = C(x) ± T (x), con |C(x)|, |C 0(x)|,
|T (x)|, |T 0(x)| 1.
C(x): equazione della linea media;
T (x): equazione del semispessore del profilo simmetrico.
JJ
II
J
I
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Soluzione del campo:
1 c
y
φ = φ∞ −
γ(ξ) arctan
dξ
2π
x
−
ξ
0
Z
q
1 c
+
σ(ξ) ln (x − ξ)2 + y 2 dξ .
(340)
2π 0
• φ∞ = V∞(x + αy);
P∞
θ
• γ(ξ) = 2V
P∞∞ (α − A0 ) cot 2 + n=1 An sin(nθ) ,
0
C (x) = 0 An cos(nθ);
• σ(x) = 2V∞T 0(x).
Condizioni al contorno imposte tutte lungo la corda (0, c) → soluzioni sovrapponibili; vale ancora il principio di sovrapposizione degli
effetti:
Z
• Il profilo simmetrico ad incidenza nulla ha Cl = 0:lo spessore non
dà contributo alla portanza ed al momento nel caso di piccoli
disturbi.
169/293
JJ
II
J
I
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Close
Carico basico e addizionale lungo il profilo
• α = A0 = αi ⇒ (α − A0) cot(θ/2) = 0: il carico al bordo
d’attacco è finito nella soluzione di Glauert.
• αi: angolo di attacco ideale; il corripondente Cl = Cli è il coefficiente di portanza ideale.
• αi = A0 dipende dalla linea media.
• Lungo un profilo posto a α = αi vengono minimizzati i valori positivi di dp/dx > 0. Questi gradienti avversi di pressione hanno un
ruolo sfavorevole sulla resistenza aerodinamica; presumibilmente il
profilo avrà resistenza minima nell’intorno di α = αi.
Ulteriore decomposizione della soluzione di Glauert:
Il carico lungo la lastra piana ad incidenza α − αi è denominato carico
addizionale.
Il carico lungo un profilo infinitamente sottile può essere scomposto in carico basico e carico addizionale.
170/293
JJ
II
J
I
Back
Close
I profili NACA
171/293
Definizione della geometria
x ∈ (0, 1);
y = yc(x): equazione della linea media;
y = yt(x): equazione del semispessore (profilo simmetrico);
tan θ = dyc/dx.
JJ
II
J
I
Back
Close
Coordinate dei punti del dorso (upper):
xU = x − yt sin θ ,
yU = yc + yt cos θ .
(341)
(342)
172/293
Coordinate dei punti del ventre (lower):
xL = x + yt sin θ ,
yL = yc − yt cos θ .
(343)
(344)
Profili NACA a 4 cifre
Semispessore:
√
t
0.29690 x − 0.12600x − 0.35160x2
0.20
+ 0.28430x3 − 0.10150x4 .
yt = ±
(345)
t: spessore percentuale del profilo, il punto di spessore massimo è
posizionato al 30% della corda, bordo d’uscita aguzzo.
rt = 1.1019t2: raggio di curvatura del bordo di attacco.
JJ
II
J
I
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Linea media:
∀x ≤ p :
∀x > p :
m
(2px − x2) ;
2
p
m
yc =
(1 − 2p + 2px − x2) ;
2
(1 − p)
yc =
(346)
173/293
(347)
p: posizione in x del punto di ordinata massima della linea media;
m: ordinata massima della linea media.
Sistema di numerazione
Il profilo è individuato da 4 cifre D1D2D3D4.
D1/100 = m, curvatura massima;
D2/10 = p, posizione del punto di curvatura massima;
D3D4/100 = t, spessore massimo percentuale.
JJ
II
J
I
Back
Close
Profili NACA a 5 cifre
Semispessore:
la distribuzione del semispessore è la stessa della serie a 4 cifre.
Linea media:
∀x ≤ m :
∀x > m :
k1 3
[x − 3mx2 + m2(3 − m)x] ;
6
k1m3
yc =
(1 − x) .
6
yc =
linea media
210
220
230
240
250
m
0.0580
0.1260
0.2025
0.2900
0.3910
k1
361.4
51.64
15.957
6.643
3.230
174/293
(348)
(349)
JJ
II
J
I
Back
Close
Sistema di numerazione
Il profilo è individuato da 5 cifre D1D2D3D4D5.
D1D2D3 individuano la linea media;
175/293
D4D5/100 = t, spessore massimo
NACA 2412
JJ
II
J
I
NACA 23012
Back
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Il metodo ingegneristico NACA
• assegnato il Cl , consente la determinazione delle velocità e delle
pressioni lungo un profilo delle famiglia NACA in condizioni di
flusso ideale e incomprimibile;
• non ha una solida base scientifica;
• si basa sulla sovrapposizione dei campi di velocità ottenuti da risultati esatti ed approssimati (teoricamente non possibile) disponibili
sotto forma di tabelle.
1. Profilo simmetrico ad incidenza nulla; soluzione ottenuta con un
metodo esatto.
2. Linea media a Cl = Cli ; soluzione di Glauert.
3. Profilo simmetrico ad incidenza α − αi; soluzione esatta ottenuta
per Cl = 1 (valore di riferimento) ed assunta variabile linearmente
con il Cl (assunzione approssimata).
176/293
JJ
II
J
I
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Close
• Le soluzioni 1 e 3 (per Cl = 1) sono esatte e quindi non hanno
singolarità al bordo di attacco.
• La soluzione 2 è il carico basico, per definizione, finito al bordo di
attacco.
177/293
• La soluzione completa, ottenuta con il metodo NACA, non ha
singolarità al bordo d’attacco.
Velocità sul profilo
V
Vt
∆v ∆va
=
±
±
(Cl − Cli) .
V∞ V∞ V∞
V∞
(350)
Vt/V∞: profilo simmetrico a α = 0o.
∆v/V∞: linea media a α = αi.
∆va/V∞: profilo simmetrico a Cl = 1.
JJ
II
J
I
Back
Close
178/293
JJ
II
J
I
Back
e
Close
179/293
Confronto del metodo NACA con dati sperimentali.
JJ
II
J
I
Back
Close
180/293
JJ
II
J
I
Back
Close
Applicazione del metodo NACA
1. Assegnare il profilo (spessore + linea media).
181/293
2. Assegnare Cl .
3. Consultare la tabella della linea media per determinare Cli. Solo
le linee medie 6X dei profili a 4 cifre sono dispobili in forma tabulare; per determinare i dati della linea media 2X, ad esempio,
occorre moltiplicare per 2/6 = 1/3 i dati della linea 6X (linearità
dell’effetto della linea media).
4. Calcolare il fattore moltiplicativo per il carico addizionale: f (Cl ) =
Cl − Cli.
5. Compilare la tabella per il profilo. Il coefficiente di pressione si
calcola con la formula Cp = 1 − (V /V∞)2.
x
c
Vt
V∞
∆va
V∞
∆va
∆v
f (Cl )
V∞
V∞
6. Ricalcolare Cl =
R1
0
Vl
V∞
Vu
Cpl Cpu ∆Cp
V∞
∆Cpd(x/c) per verifica.
JJ
II
J
I
Back
Close
L’ala finita in regime ideale
182/293
Ipotesi:
1. corrente uniforme V∞ che investe un corpo tridimensionale;
2. regime stazionario;
3. regime ideale (Rer → ∞);
4. regime incomprimibile (M∞ → 0).
Il campo di moto è a potenziale e l’equazione che governa il problema
è ancora quella di Laplace:
∇2 φ = 0 ;
(351)
condizioni al contorno:
lim φ = φ∞ ;
r→∞
sul corpo:
∂φ
=0.
∂n
(352)
JJ
II
J
I
Back
Close
183/293
Esiste la possibilità che in piani paralleli al piano (x, z), in cui la
sezione dell’ala è un profilo alare, il campo di moto sia praticamente bidimensionale?
Si, nel caso di ali caratterizzate da AR 1 e freccia Λ → 0.
JJ
II
J
I
Back
Close
Come mai in regime ideale 2D la resistenza aerodinamica risulta
nulla, mentre la teoria globale ha messo in luce, in 3D, l’esistenza
della resistenza indotta dalla portanza?
184/293
JJ
II
J
I
Back
Close
• La differenza di pressione ventre-dorso tende a far ruotare l’aria
attorno alle estremità alari: alle estremità si formano due vortici
controrotanti detti vortici liberi.
185/293
JJ
II
J
I
Back
Close
• I vortici liberi tendono a far scendere l’aria per −b/2 < y < b/2
(downwash), mentre fanno salire l’aria per y < −b/2 e y > b/2
(upwash).
186/293
JJ
II
J
I
Back
Close
• Per effetto del downwash (w) i profili alari si trovano a lavorare ad
un angolo di attacco effettivo αef f = α − αi più piccolo.
• αi è l’angolo di incidenza indotto.
187/293
• La velocità effettiva a cui lavora il profilo (Vef f ) ha cambiato direzione: la portanza ad essa perpendicolare ha una componente
parallela a V∞: la resistenza indotta.
• Il downwash è proprio la componente di velocità associata alla
variazione di quantità di moto verticale causa (per la II legge della
dinamica) della portanza.
JJ
II
J
I
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Close
Il sistema vorticoso dell’ala
• Se AR 1 e Λ ≈ 0 l’esperienza mostra che, a parte le estremità,
il flusso è bidimensionale in piani paralleli a (x, z).
188/293
• La teoria di Glauert mostra che un’ala infinita infinitamente sottile e poco curva a bassa Rincidenza è descritta da una superficie
c
vorticosa di intensità Γ = 0 γG(x)dx.
• Se l’ala è finita, in generale Γ = Γ(y), in particolare Γ(−b/2) =
Γ(b/2) = 0.
• La distribuzione di vorticità γG con asse parallelo a y costituisce
il sistema di vortici aderenti. Se AR 1 il sistema di vortici
aderenti può essere schematizzato con un unico vortice di intensità
Γ(y).
• L’intensità di un tubo vorticoso non può variare e la circolazione si
conserva: per una variazione lungo y pari a dΓ = dΓ/dy dy deve
nascere un vortice di pari intensità diretto come le linee di corrente.
• Questi vortici, sostanzialmente allineati a V∞, costituiscono il sistema di vortici liberi.
JJ
II
J
I
Back
Close
189/293
Il sistema vorticoso dell’ala.
JJ
II
J
I
Back
Close
Il downwash
• Il downwash w è la velocità indotta lungo l’asse y (x = 0) dal
sistema di vortici liberi (w > 0 ⇒ verso il basso).
• I vortici liberi sono semi-infiniti.
Downwash indotto da un vortice elementare infinito:
dΓ
dw =
.
2π(y − y0)
Downwash indotto da un vortice elementare semi-infinito:
dΓ
.
dw =
4π(y − y0)
190/293
(353)
(354)
JJ
II
J
I
Back
Close
Downwash indotto da una distribuzione di vortici liberi lungo l’ala:
1
w(y) =
4π
Z
+b/2
−b/2
1
dΓ
(y0)dy0 .
(y − y0) dy0
(355)
191/293
JJ
II
J
I
Back
Close
La teoria del filetto portante di Prandtl
Nelle ipotesi di piccoli disturbi, l’incidenza indotta è piccola:
w
1
αi(y) ≈
(y) =
V∞
4πV∞
Z
192/293
+b/2
−b/2
1
dΓ
(y0)dy0 .
(y − y0) dy0
(356)
αg (y) = α(y)−αzl (y): angolo d’attacco della sezione misurato rispetto alla retta di portanza nulla del profilo;
αef f (y) = αg (y)−αi(y): angolo di incidenza effettiva αef f a cui lavora
la generica sezione dell’ala (rispetto alla retta di portanza nulla del
profilo).
1
dL = ρV∞Γ(y)dy = Clα (y)αef f (y) ρV∞2 c(y)dy ,
(357)
2
2Γ(y)
= Clα (y)[αg (y) − αi(y)] .
(358)
V∞c(y)
JJ
II
J
I
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Close
Sostituendo l’espressione integrale di αi(y):
2Γ(y)
1
+
Clα (y)V∞c(y) 4πV∞
Z
+b/2
−b/2
1
dΓ
(y0)dy0 = αg (y) .
(y − y0) dy0
(359)
193/293
Noto V∞ e la geometria dell’ala (c(y), svergolamento, profili utilizzati
e quindi Clα (y)) quest’equazione integrale è nell’unica incognita Γ(y).
Il carico lungo l’ala
cCl
Γ
=
;
V∞ b
2b
Con η = y/(b/2) l’equazione integrale (359) diventa:
γ=
2b
1
γ(η) +
Clα (η)c(η)
2π
Z
(360)
+1
−1
1
dγ
(η0)dη0 = αg (η) .
(η − η0) dη0
(361)
JJ
II
J
I
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Close
Posto η = − cos θ:
γ(θ) =
∞
X
An sin (nθ) ;
(362)
194/293
n=1
si ottiene4:
∞
X
w
n sin(nθ)
An
(θ) =
V∞
2
sin θ
n=1
(363)
e l’equazione da risolvere diventa
∞
∞
X
X
2b
n sin(nθ)
An
= αg (θ) .
An sin(nθ) +
Clα (θ)c(θ) n=1
2
sin
θ
n=1
(364)
JJ
II
J
I
4
Ricordando l’integrale di Glauert e che
dγ
dη
=
dγ dθ
dθ dη
Back
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La portanza
Assumendo piccoli disturbi: Vef f ≈ V∞.
Z
195/293
+b/2
L=
Z
l(y)dy = ρ∞V∞
Γ(y)dy .
−b/2
P∞
1
(365)
−b/2
L
CL = 1
= AR
2S
ρ
V
2 ∞ ∞
Sostituendo γ =
+b/2
Z
+1
γ(η)dη .
(366)
−1
An sin(nθ):
CL =
π
ARA1 .
2
(367)
• Il coefficente di portanza dipende solo da A1.
JJ
II
J
I
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La resistenza indotta
Z
+b/2
Di =
Z
+b/2
ρ∞V∞Γ(y)αi(y)dy = ρ∞
Γ(y)w(y)dy .
−b/2
C Di
Z
(368)
196/293
−b/2
Di
= AR
= 1
2S
ρ
V
2 ∞ ∞
π
Z
γ(η)αi(η)dη .
sin(nθ) sin(mθ)dθ =
0
π
"
CDi = AR
0
∞
X
π/2 per n = m
0
per n 6= m
#"
An sin(nθ)
n=1
(369)
−1
Z
+1
∞
X
n
n=1
2
#
An sin(nθ) dθ
π
2
2
2
2
= AR A1 + 2A2 + 3A3 + . . . + nAn + . . . .
4
C Di =
CL2
πAR
(1 + δ 2) ,
dove δ 2 =
∞
X
nA2
n=2
n
2
A1
.
(370)
(371)
JJ
II
J
I
Back
Close
Ala con distribuzione di carico ellittica:
γ(θ) = A1 sin θ = γ0 sin θ ,
(372)
197/293
dove γ0 = Γ(0)/(V∞b).
A1
CL
w
= αi =
=
.
V∞
2
πAR
(373)
Se la distribuzione del carico è ellittica:
1. il downwash, quindi αi, è costante lungo l’apertura;
CL2
2. CDi =
è minimo (δ 2 = 0) nell’ambito di validità della teoria
πAR
del filetto portante.
JJ
II
J
I
Back
Close
L’ala ellittica
Si può avere come soluzione dell’equazione del filetto portante (364) il
carico ellittico?
Deve essere verificato che
A1 =
2αg (θ)
= cost .
4b sin θ
1+
Clα (θ)c(θ)
198/293
(374)
• Esistono infiniti modi di combinare forma in pianta, svergolamento e profilo (Clα ) per ottenere il carico ellittico.
Uno dei modi, particolarmente interessante, è:
1. αg (θ) = cost, ala non svergolata aerodinamicamente;
2. stesso profilo lungo l’apertura, quindi Clα (θ) = cost, αzl (θ) = cost
(ala non svergolata anche geometricamente).
3. c(θ) = c0 sin θ, forma in pianta ellittica.
JJ
II
J
I
Back
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Per l’ala ellittica S = πbc0/4.
CL =
Clα
(α − αzl ) .
Clα
1+
πAR
(375)
199/293
• CL = CLα (α − αzL);
Clα
• CLα =
; quindi CLα < Clα ;
Clα
1+
πAR
• αzL = αzl ; l’angolo di portanza nulla dell’ala coincide con quello
del profilo.
Prob. n. 18: determinare per un’ala di assegnato AR e
per un dato CL l’ordine di grandezza di γ
Dall’equazione CL = AR
R +1
−1
γdη si può calcolare il valor medio di γ.
JJ
II
J
I
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200/293
Reggiane Re. 2001
JJ
II
J
I
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Carico basico e addizionale lungo l’ala
Decomposizione del carico lungo l’ala:
γ(η) = γb(η) + γa(η) ;
201/293
(376)
• γb(η): carico basico, distribuzione del carico per CL = 0; dipende
essenzialmente dallo svergolamento aerodinamico dell’ala;
• γa(η) = γ(η) − γb(η): carico addizionale, differenza tra la distribuzione attuale e basica del carico; dipende essenzialmente dalla
forma in pianta dell’ala.
JJ
II
J
I
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Il metodo ingegneristico di Schrenk
Permette il calcolo della distribuzione del carico basico e del carico
addizionale.
Dati:
202/293
1. c/(b/2) = f (η): forma in pianta;
2. Clα = Clα (η), αzl = αzl (η): caratteristica di portanza nell’intervallo di funzionamento lineare del profilo;
3. εa = εa(η): svergolamento aerodinamico.
• CL = AR
R
+1
−1
γbdη +
R +1
−1
γadη = AR
R +1
−1
γadη;
• nel tratto lineare della curva di portanza γa è proporzionale a CL.
γ = γb + CLγa1 ,
γa1: carico addizionale per CL = 1.
(377)
JJ
II
J
I
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Determinazione del carico addizionale
• AR → ∞: il carico è proporzionale alla corda (αi → 0, γ =
cCl /(2b)).
203/293
• AR → 0: l’esperienza mostra che, per ali di basso allungamento, il
carico diventa ellittico;
• ipotesi di Schrenk: per AR intermedi il carico addizionale per
CL = 1 è dato dalla media tra la distribuzione delle corde effettiva e quella di un’ala a forma in pianta ellittica e di pari
superficie alare.
1 c(η) cell (η)
γa1(η) =
;
(378)
+
2 2b
2b
√
cell (η) = c0 1 − η 2 = c0 sin θ;
4S
c0 =
.
πb
Z +1
Z +1
Z
AR
4S +1 p
AR
γa1dη =
c(η)dη +
1 − η 2dη = 1 .
4b −1
πb −1
−1
(379)
JJ
II
J
I
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204/293
Carico addizionale con il metodo di Schrenk
• Il metodo di Schrenk è in errore alle estremità alari dove il carico
dovrebbe essere nullo.
• Si può tenere conto della variazione del profilo lungo l’apertura
utilizzando la corda effettiva dell’ala ce = cClα /C̄lα con C̄lα =
R b/2
2 0 Clα c dy/S.
JJ
II
J
I
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Determinazione del carico basico
1. Si calcola αzL con la formula approssimata
αzL
2
=
S
Z
205/293
b/2
cεa(y) dy .
(380)
0
2. Si calcola l’angolo di attacco basico con la formula
αb = αzL − εa(y).
(381)
3. Si assume il carico basico pari alla media tra il carico basico dell’ala
svergolata e quello della stessa ala non svergolata:
γb(η) =
cClb cClα αb
=
,
2b
4b
(382)
per tenere conto dell’effetto di contrasto dello svergolamento dovuto al maggior carico in mezzeria dell’ala svergolata.
JJ
II
J
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Lo strato limite
206/293
Equazioni di Navier Stokes in un flusso incomprimibile
∇·V =0 ,
(383)
DV
+ ∇p = µ∇2V .
(384)
Dt
In forma scalare, in regime stazionario su una lastra piana bidimensionale (x > 0, y = 0) ad incidenza nulla (α = 0):
ρ
∂u ∂v
+
= 0,
∂x ∂y
2
∂u
∂u 1 ∂p
∂ u
∂ 2u
u +v
+
= ν
+ 2 ,
∂x
∂y ρ ∂x
∂x2
∂y
2
∂v
∂v 1 ∂p
∂ v ∂ 2v
u +v +
= ν
+
.
∂x
∂y ρ ∂y
∂x2 ∂y 2
(385)
(386)
(387)
JJ
II
J
I
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La viscosità
µ si misura in Kg/(m s); ν = µ/ρ si misura in m2/s.
207/293
• La viscosità è una funzione di stato (dipende solo dal punto) ed è
essenzialmente funzione di temperatura e pressione.
• La viscosità aumenta sempre con la pressione.
• Nei liquidi la viscosità diminuisce rapidamente con la temperatura.
• Nei gas rarefatti aumenta con la temperatura.
Per l’aria (legge di Sutherland):
µ
=
µ0
T
T0
3/2
T0 = 288K, µ0 = 1.79 × 10−5 Kg
.
ms
T0 + 110
,
T + 110
(388)
JJ
II
J
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Derivazione delle equazioni dello strato limite
• Nel modello di flusso ideale la velocità sul corpo impermeabile è
tangente ad esso, ma finita.
• L’esperienza mostra che, in un flusso reale, sul corpo è V = 0: deve
esistere una regione (adiacente al corpo), di spessore piccolo
δ rispetto alla dimensione caratteristica L, in cui la velocità
passa da valori finiti a 0.
• In questa regione ∆u/V∞ ≈ O(1), ∂u/∂y ≈ ∆u/δ.
• Se δ è piccolo allora µ∂u/∂y non è trascurabile anche se µ 1.
• In questa regione (strato limite) occorre utilizzare un’altra scala
di lunghezze (δ) per adimensionalizzare le equazioni.
• Nello strato limite la velocità normale alla parete (v) è piccola
(rispetto a u) occorre adimensionalizzare anche v con una diversa
scala delle velocità.
• Prandtl ricava le equazioni dello strato limite ipotizzando a
priori che, nello strato limite, i termini convettivi e diffusivi
(dissipativi) siano dello stesso ordine di grandezza.
208/293
JJ
II
J
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Adimensionalizzazione
x
y
y
,
y∗ =
=
;
L
δ
L
u
v
p
u∗ =
, v∗ =
, p∗ =
.
V∞
βV∞
ρV∞2
x∗ =
(389)
209/293
(390)
Continuità:
∂u∗ β ∂v ∗
+
=0.
∂x∗ ∂y ∗
Quantità di moto lungo x:
∗
β ∗ ∂u∗ ∂p∗
1
∗ ∂u
+
+
=
u
v
∂x∗ ∂y ∗ ∂x∗ Re∞
∂ 2u∗ 1 ∂ 2u∗
+
∂x∗2 2 ∂y ∗2
(391)
.
(392)
Quantità di moto lungo y:
∗
β ∗ ∂v ∗
1 ∂p∗
1
∗ ∂v
u
+
v
+
=
∂x∗ ∂y ∗ β ∂y ∗ Re∞
∂ 2v∗ 1 ∂ 2v∗
+
∂x∗2 2 ∂y ∗2
.
(393)
JJ
II
J
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Dalla continuità risulta
β=,
(394)
la scala delle velocità normali e dello strato limite coincidono.
Dalla quantità di moto lungo x, imponendo che termini convettivi e
diffusivi dissipativi siano dello stesso ordine, si ottiene:
Re∞2 = 1 ⇒ = √
1
δ
1
;
=√
.
Re∞ L
Re∞
210/293
(395)
Le equazioni diventano:
∂u∗ ∂v ∗
+
=0;
∂x∗ ∂y ∗
∗
∗
∂p∗ ∂ 2u∗
∗ ∂u
∗ ∂u
2
u
+
v
+
=
+
O(
);
∂x∗
∂y ∗ ∂x∗ ∂y ∗2
∂p∗
2
=
O(
).
∂y ∗
(396)
(397)
(398)
JJ
II
J
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Equazioni di Prandtl (dimensionali)
∂u ∂v
+
= 0,
∂x ∂y
∂u
∂u 1 ∂p
∂ 2u
u +v
+
= ν 2 ,
∂x
∂y ρ ∂x
∂y
∂p
= 0.
∂y
211/293
(399)
(400)
(401)
u(x, 0) = v(x, 0) = 0 ;
lim u(x, y) = V∞ ;
y→∞
p = p(x) = p∞.
(402)
(403)
(404)
Occorre inoltre conoscere il profilo di velocità u = u(y) ad x = 0.
JJ
II
J
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Risultati fondamentali della teoria
212/293
• In flussi ad elevato numero di Reynolds (Re∞ 1) esiste,
in √
prossimità del corpo, una regione sottile di spessore δ/L ≈
1/ Re∞ (lo strato limite) in cui la viscosità non può più essere
trascurata.
• Ad una data stazione x, la pressione è costante lungo y: nello
strato limite p = p(x).
• La pressione è data dal campo di moto ideale!
• Nello strato limite si genera un’elevata vorticità ζ ≈ ∂u/∂y che, in
base al teorema di Stokes, giustifica la circolazione presente intorno
a corpi bidimensionali portanti.
JJ
II
J
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Equazioni di Prandtl per un corpo generico
Le equazioni di Prandtl sono state appena ricavate nel caso di lastra
piana. Si dimostra che le stesse equazioni sono valide per un corpo
bidimensionale generico (per esempio un profilo alare) con le seguenti
ipotesi e definizioni:
213/293
• x indica l’ascissa curvilinea lungo il corpo. In genere l’origine viene
posta nel punto di ristagno anteriore.
• y indica la coordinata pependicolare, per ogni x al corpo.
• u e v sono rispettivamente le componenti di velocità in ogni punto
dello strato limite in direzione tangente e perpendicolare al corpo.
• Il raggio di curvatura del corpo r(x) è tale che L/r = O() 1
e dr/dx = O() 1. La curvatura del corpo è piccola e non
varia bruscamente.
In queste ipotesi le equazioni (399), (400) e (401) sono ancora valide anche
√ se l’equazione di continuità è ora approssimata (a meno
√ di
O(1/ Re∞) e la quantità di moto lungo y vale a meno di O(1/ Re∞)
(invece di O(1/Re∞)).
JJ
II
J
I
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214/293
u(x, 0) = v(x, 0) = 0 ;
lim u(x, y) = Ue(x) ;
y→∞
(405)
(406)
dp
dUe
= −ρUe
.
(407)
dx
dx
• Ue(x) è la velocità sul corpo determinata risolvendo il flusso ideale,
influenza della forma del corpo sullo strato limite.
• Due problemi indipendenti: sul ventre e sul dorso del profilo a
partire da condizioni iniziali note nel punto di ristagno.
JJ
II
J
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Il coefficiente di attrito
In un flusso incomprimibile:
215/293
τij = −pδij + µ
∂Vj ∂Vi
+
∂xi ∂xj
(408)
Tenendo conto che ∂/∂y ≈ O(1/δ) e v ≈ O(δV∞), nell’ipotesi di
strato limite il termine fondamentale della parte dissipativa del tensore
degli sforzi (τ ) è
∂u
.
(409)
τ ≈µ
∂y
τ valutato alla parete y = 0 fornisce lo sforzo di attrito alla parete:
∂u
τw = µ
.
(410)
∂y y=0
Nel caso di una lastra piana di lunghezza L si ottiene quindi la resistenza per unità di lunghezza:
Z
d=
L
τw dx .
0
(411)
JJ
II
J
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Coefficiente di attrito:
Cf (x) =
τw
.
1
2
ρU
e
2
(412)
216/293
Coefficiente di resistenza di una lastra piana di lunghezza L:
d
Cd = 1 2 =
ρV∞L
2
Z
1
x
L
Cf
0
x
L
d
.
(413)
Lo spessore dello strato limite
Definizione:
u[x, δ(x)] = Ue(x) .
(414)
• La condizione al contorno per y → ∞ indica che questa condizione
è esattamente verificata solo all’infinito.
• Non esiste una definizione senza ambiguità dello spessore dello
strato limite.
• Definizione pratica (convenzionale): u[x, δ(x)] = 0.99 Ue(x).
JJ
II
J
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Lo spessore di spostamento
217/293
∞
u(x, y)
1−
δ ∗(x) =
dy .
(415)
Ue(x)
0
• δ ∗ è univocamente determinato (non ci sono ambiguità).
• La portata di massa che attraversa lo strato limite ad una data stazione x si ottiene supponendo il flusso ideale (u(x, y) =
Ue(x)) ed ispessendo il corpo di una quantità δ ∗(x):
Z
y→∞:
Z
ρ
0
y
u dy = ρUe (y − δ ∗) .
(416)
JJ
II
J
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Velocità normale al bordo dello strato limite
218/293
Conservazione della massa:
Z
ρV∞δ =
δ
Z
ρu dy +
0
x
ρvδ (x) dx .
(417)
0
Da cui si ottiene:
∗
Z
δ =
0
x
vδ (x)
vδ (x) dδ ∗
dx ⇒
=
.
V∞
V∞
dx
(418)
JJ
II
J
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• La lastra piana si comporta come un corpo di geometria yc =
δ ∗(x) immerso in una corrente a potenziale (non viscosa).
Infatti la condizione di tangenza della corrente ideale per y = δ ∗ è:
v
dyc dδ ∗
v
≈
=
=
.
(419)
u V∞
dx
dx
Nel caso di corpo generico si ottiene, in modo analogo:
dδ ∗
vδ (x) = Ue(x)
.
(420)
dx
È possibile risolvere il campo di moto nel seguente modo iterativo:
1. calcolare il campo di moto ideale (non viscoso) con la condizione sul corpo di velocità del fluido tangente al corpo stesso;
2. calcolare lo strato limite sul ventre e sul dorso del corpo partendo dal punto di ristagno anteriore;
3. correggere la geometria del corpo con lo spessore di spostamento calcolato;
4. reiterare il procedimento a paetire dal punto 1.
219/293
JJ
II
J
I
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Spessore di quantità di moto
∞
u(x, y) u(x, y)
θ(x) =
1−
dy .
(421)
U
(x)
U
(x)
0
e
e
Bilancio di quantità di moto in direzione x per una lastra piana:
Z
Z
d=
0
h
ρV∞2
dy −
Z
220/293
δ
ρu2 dy .
(422)
0
JJ
II
J
I
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Per la conservazione della massa:
Z
h
ρV∞2
Z
dy = V∞
δ
ρu dy .
(423)
221/293
0
0
Quindi:
Z
d=
δ
(ρV∞u − ρu2) dy = ρV∞2 θ .
(424)
0
θ(x)
.
(425)
x
• Lo spessore di quantità di moto è indice della resistenza (viscosa)
della lastra piana.
Cd(x) = 2
• Il risultato è valido anche per un profilo alare (con θ valutato nella
scia del profilo).
JJ
II
J
I
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Fattore di forma dello strato limite
δ∗
H(x) =
(426)
θ
• H caratterizza la forma del profilo di velocità u = u(y) all’interno
dello strato limite.
222/293
Prob. n. 19: Calcolare H per un profilo di velocità
triangolare
y≤δ:
u
y
= ;
Ue δ
y>δ:
u
=1.
Ue
(427)
JJ
II
J
I
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Soluzione delle equazioni di Prandtl per la lastra piana
Equazioni (adimensionali):
223/293
∂u ∂v
+
= 0,
∂x ∂y
∂u
∂u
∂ 2u
u +v
=
.
∂x
∂y
∂y 2
(428)
(429)
Condizioni al contorno:
u(x, 0) = v(x, 0) = 0 ;
lim u(x, y) = 1 .
y→∞
(430)
(431)
• Si deve risolvere un sistema di equazioni a derivate parziali non
lineare!
Introducendo la funzione di corrente ψ(x, y) l’equazione di continuità (428) è automaticamente soddisfatta.
JJ
II
J
I
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Si cercheranno soluzioni simili, cioè nella forma
ψ(x, y) = X(x)f (η) ,
(432)
224/293
dove η = y/g(x).
Essendo
∂η
g 0(x)
=−
η ;
∂x
g(x)
∂η
1
=
∂y g(x)
(433)
si ottiene
∂ψ X(x) 0
=
f (η) ,
∂y
g(x)
g 0(x) 0
∂ψ
0
v = −
= −X (x)f (η) + X(x)
ηf (η) ,
∂x
g(x)
∂u
X 0(x) 0
g 0(x)
[ηf 00(η) + f 0(η)] ,
=
f (η) − X(x) 2
∂x
g(x)
g (x)
u =
∂u X(x) 00
=
f (η) ,
∂y g 2(x)
∂ 2u X(x) 000
=
f (η) .
∂y 2 g 3(x)
(434)
(435)
(436)
(437)
JJ
II
J
I
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Sostituendo nella (429) si ottiene:
f 000 + X 0(x)g(x)f f 00 + [X(x)g 0(x) − X 0(x)g(x)] f 02 = 0 .
(438)
225/293
Affinchè f = f (η), l’equazione (438) deve essere ordinaria in η e non
dipendere da x, cioè:
X 0(x)g(x) = k1 ,
X(x)g 0(x) = k2 ,
(439)
con k1 e k2 costanti arbitrarie.
Ponendo k1 = k2 = 1/2, dalle (439) si ottiene
[X(x)g(x)]0 = 1 ⇒ X =
x + C1
.
g(x)
(440)
Si può porre, senza perdere di generalità, C1 = 0. Sostituendo l’espressione di X(x) nella seconda delle (439) ed integrando:
√
g(x) = C2 x ,
(441)
dove si può porre, ancora una volta, C2 = 1.
In definitiva:
√
√
X(x) = x .
g(x) = x ;
(442)
JJ
II
J
I
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L’equazione (438) si riduce alla equazione di Blasius:
1
f 000 + f f 00 = 0 ,
2
(443)
226/293
con condizioni al contorno (ai limiti):
f 0(0) = 0 , f (0) = 0 , lim f 0(η) = 1 .
η→+∞
(444)
Questo problema può essere risolto numericamente in modo abbastanza semplice.
Prob. n.
Blasius
20: Risolvere al calcolatore il problema di
JJ
II
J
I
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227/293
Valori della funzione di Blasius f e delle sue derivate.
JJ
II
J
I
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Risultati della soluzione lastra piana
s
η = ydim
V∞
,
νx
228/293
0
u = f (η) .
(445)
• Il profilo di velocità è simile: al variare√di x è sempre lo stesso in
η mentre in ydim risulta solo scalato di x.
1
(446)
v = √ [ηf 0(η) − f (η)] .
2 x
• Nello strato limite esiste√una (piccola) componente di velocità normale che varia come 1/ x.
r
νx
• u = 0.99 → η = 5.0 ⇒ δ99% = 5.0
: lo spessore dello strato
V∞ 5.00 5
δ99%
limite varia parabolicamente con x.
≈√
x
Rex
r
r
νx
νx
• δ ∗ = 1.721
,
θ = 0.664
,
H=2.59.
V∞
V∞
5
Rex è il numero di Reynolds in cui si è usato x come lunghezza di riferimento.
JJ
II
J
I
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229/293
Profilo di velocità nello strato limite sulla lastra piana, confronto tra soluzione di Blasius ed
esperimenti.
s
τw = µV∞
V∞ 00
0.664
f (0) , f 00(0) = 0.332 , Cf = √
. (447)
νx
Rex
JJ
II
J
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230/293
θ(L)
1.328
.
Cd(L) = 2
=√
L
ReL
(448)
JJ
II
J
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Flussi con gradiente di pressione, punto di separazione
Bilancio di quantità di moto lungo x valutato per y = 0:
∂ 2u
µ
∂y 2
=
y=0
∂p
.
∂x
231/293
(449)
• La curvatura del profilo di velocità alla parete è direttamente collegata al gradiente di pressione.
∂p
∂x
< 0 (favorevole)
∂p
∂x
> 0 (sfavorevole)
JJ
II
J
I
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Definizione del punto di separazione:
xs :
.
∂u
∂y
=0
232/293
y=0
∂p
• Strati limite con gradienti sfavorevoli di pressione ( ∂x
> 0) possono
portare alla separazione della vena fluida.
• Il punto di separazione dipende solo dal gradiente di pressione (e
non dal numero di Reynolds).
• La separazione è un punto di singolarità delle equazioni di Prandtl che cessano di essere valide: negli strati limite separati la
pressione sul corpo non è più indipendente dalla viscosità.
JJ
II
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La turbolenza
233/293
L’esperienza di Reynolds
L’esperimento di Reynolds ha messo in luce l’esistenza di due regimi di
moto in un condotto profondamente diversi, il passaggio da un regime
all’altro è identificato da un numero di Reynolds critico Recr ≈ 2200
(basato sulla velocità media e sul diametro del condotto).
• Re < Recr : il flusso è stabile regime laminare;
• Re > Recr : regime turbolento (il flusso è instabile).
JJ
II
J
I
Strato limite turbolento su lastra piana
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Strato limite turbolento su lastra piana
234/293
Visualizzazione mediante fumi di un flusso d’aria su una lastra piana
(V∞ = 3.3 m/s), transizione a Rex ≈ 2 × 105:
(a) vista dall’alto; (b) vista laterale.
JJ
II
J
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Getto assialsimmetrico
235/293
Fluorescenza indotta da laser, ReD ≈ 2300.
JJ
II
J
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Proprietà di un flusso turbolento
1. Fluttuazioni di pressione e velocità (anche di temperatura se c’è
flusso termico). Le fluttuazioni di velocità sono in tutte e 3 le
direzioni (anche in caso di fenomeno laminare 2D); le fluttuazioni
sono intorno ad un valore medio.
236/293
2. Vortici (Eddies) di diverse dimensioni (da 40mm a 0.05mm nell’esperimento della fotografia precedente).
3. Variazioni casuali delle proprietà del fluido; non è possibile prevederle deterministicamente ad un dato istante in un dato punto.
4. Moto autosostenibile. Una volta innescato, il flusso turbolento
è in grado di mantenersi da solo producendo nuovi vortici che
sostituiscono quelli persi per effetto della dissipazione.
5. Il mescolamento è molto più forte che nel caso laminare (in cui
è dovuto esclusivamente ad azioni molecolari). I vortici turbolenti
si muovono in 3 dimensioni e causano una rapida diffusione di
massa, quantità di moto ed energia. Attrito e flusso termico sono
molto più elevati del caso laminare. Il mescolamento turbolento
è proporzionale al gradiente del flusso medio.
JJ
II
J
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Medie e fluttuazioni
0
u=u+u ,
1
u=
T
Z
t0 +T
u dt .
(450)
237/293
t0
• Per definizione
di media u0 = 0, per misurare le fluttuazioni si
√
utilizza u02.
Lastra piana.
JJ
II
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• Anche se il flusso è 2D in media esistono fluttuazioni di V in tutte
le direzioni.
• Le fluttuazioni scompaiono alla parete (sottostrato laminare).
238/293
• Il profilo di velocità medio turbolento è più panciuto del corrispondente laminare: a parità di numero di Reynolds, in uno strato
limite turbolento gli sforzi di attrito sono molto più grandi.
• Lo spessore di uno strato limite turbolento è maggiore.
• Allontanandosi dalla parete le fluttuazioni di velocità diventano
uguali: la turbolenza diventa isotropa.
JJ
II
J
I
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239/293
Lastra piana, Cf = Cf (Rex).
JJ
II
J
I
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Equazioni di Navier-Stokes mediate alla Reynolds
Equazioni di Navier-Stokes per un flusso incomprimibile:
∇·V = 0 ;
DV
ρ
= −∇p + µ∇2V .
Dt
240/293
(451)
con V = (u, v, w)T . Si assuma
u = u + u0, v = v + v 0, w = w + w0,
p = p + p0 , T = T + T 0 .
L’equazione di continuità mediata nel tempo diventa:
∇·V = 0 .
(452)
JJ
II
J
I
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L’equazione di quantità di motodiventa:
Du
= −px + µ∇2u − ρ[(u0u0)x + (v 0u0)y + (w0u0)z ],
Dt
Dv
ρ
= −py + µ∇2v − ρ[(u0v 0)x + (v 0v 0)y + (w0v 0)z ], (453)
Dt
Dw
ρ
= −pz + µ∇2w − ρ[(u0w0)x + (v 0w0)y + (w0w0)z ],
Dt
ρ
241/293
(il pedice indica derivazione parziale rispetto alla corrispondente variabile).
• τ R = σi(−ρu0iu0j )σj: tensore di Reynolds.
JJ
II
J
I
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Posto
τij = µ
∂V i ∂V j
+
∂xj
∂xi
!
− ρu0iu0j ,
(454)
242/293
Il bilancio di quantità di moto diventa:
ρ
DV
= −∇p + ∇ · τ .
Dt
(455)
• È formalmente identico al caso laminare avendo sostituito le grandezze con la loro media ed aggiunto il tensore di Reynolds al tensore
“laminare” degli sforzi.
• L’introduzione di altre 6 incognite (le componenti del tensore di
Reynolds) rende il sistema indeterminato, a meno che non si trovi
una legge (od almeno un modello accurato) che definisca il tensore
di Reynolds (Problema della chiusura delle equazioni di NavierStokes mediate alla Reynolds).
JJ
II
J
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Strato limite turbolento
L’analisi dimensionale delle equazioni di Reynolds nei flussi di strato
limite mette in evidenza che le equazioni possono essere approssimate
ad una forma equivalente alle equazioni di Prandtl posto τ ≈ µ ∂u
−
∂y
ρu0v 0.
243/293
La viscosità turbolenta (eddy viscosity)
Nel 1877 Boussinesq formulò la seguente ipotesi:
− ρu0v 0 = −ρu0v 0 = µt
∂u
,
∂y
(456)
dove µt è la viscosità turbolenta (eddy viscosity).
• Le equazioni dello strato limite turbolento diventano formalmente
identiche a quelle dello strato limite laminare previa sostituzione
di u e v con i valor medi e la viscosità µ con µtot = µ + µt.
Quanto vale µt?
JJ
II
J
I
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• L’ipotesi (intelligente) consiste nell’assumere che il meccanismo
di scambio di quantità di moto dovuto al ricircolo caotico della
turbolenza avvenga in maniera perfettamente analoga a quello a
livello molecolare in un fluido newtoniano (µ).
244/293
• Per la maggioranza dei flussi la correlazione u0v 0 < 0.
• Quindi, come per la viscosità molecolare, µt > 0: lo sforzo turbolento tende ad accelerare la particella adiacente mediamente
più lenta.
• Se µt fosse una funzione di stato come la viscosità molecolare (µ =
µ(p, T )) le equazioni di Reynolds sarebbero chiuse, ma purtroppo
non è cosı̀, l’esperienza ha messo in luce che la viscosità turbolenta
dipende dalla geometria e dal tipo di flusso.
• Oggi vengono utilizzati dei modelli di turbolenza che, su base
semi-empirica, propongono delle espressioni chiuse per la viscosità
turbolenta, o più in generale, per tutte le componenti del tensore
di Reynolds.
• Questi modelli vengono utilizzati con successo per problemi in cui
la fisica è chiara a priori.
JJ
II
J
I
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Lo strato limite sui profili alari ad elevato numero di
Reynolds
245/293
Strato limite sul dorso e sul ventre del profilo a partire dal punto di
ristagno anteriore
JJ
II
J
I
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1. Punto di ristagno; nell’intorno del punto di ristagno lo spessore
dello strato limite è finito.
2. Strato limite laminare.
3. (Eventuale) separazione laminare xsl : può avvenire se si incontra
un forte gradiente sfavorevole di pressione prima della transizione
a flusso turbolento (profili sottili); si forma quindi una bolla di
separazione laminare, nella bolla il flusso transisce a turbolento e,
generalmente, riattacca.
4. (Eventuale) punto di transizione a flusso turbolento; dipende da
diversi parametri, i più importanti sono: numero di Reynolds, gradiente di pressione, turbolenza iniziale della corrente, rugosità della
superficie, numero di Mach.
5. (Eventuale) strato limite turbolento.
6. (Eventuale) separazione turbolenta: può avvenire se si incontra un
forte gradiente sfavorevole di pressione; in condizioni di crociera in
genere i profili lavorano senza separazione.
7. Scia, di spessore piccolo se non c’è separazione o questa è molto
vicina al bordo d’uscita.
246/293
JJ
II
J
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La resistenza dei profili alari in subsonico
• In campo subsonico la resistenza totale che agisce su un profilo (2D)
è solo di origine viscosa ed è indicata come resistenza di profilo
(dp).
247/293
• La resistenza di profilo può essere distinta nei seguenti contributi:
1. resistenza di attrito (df ), dovuta all’azione diretta degli sforzi tangenziali che si esercitano sulle pareti, sia nella regione
laminare che in quella turbolenta;
2. resistenza di scia o di forma (dwake), che deriva dal mancato
recupero di pressione conseguente a (eventuali) separazioni ed
alla formazione della scia.
dp = df + dwake .
(457)
JJ
II
J
I
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La resistenza di scia
Dovuta a due effetti concomitanti:
248/293
1. variazione delle distribuzioni di pressione rispetto a quella valutata
con il modello di flusso ideale sulle superfici del corpo;
2. sensibile diminuzione del livello di pressione sulla base ddelle geometrie con coda tronca.
• Se la pressione sul corpo fosse perfettamente identica a quella del
modello ideale la resistenza di scia sarebbe nulla.
• La resistenza di scia è tanto maggiore quanto più estesa è la zona
di flusso separato.
• Nei corpi aerodinamici è dominante la resistenza di attrito.
• Nei corpi tozzi è dominante la resistenza di scia.
o
Si consideri, a parità di Re, una lastra piana ad α = 0 ed una ad
α = 90o:
Cd90o ≈ 100Cd0o
(458)
JJ
II
J
I
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249/293
Flusso intorno al cilindro, Cd = Cd(ReD ).
JJ
II
J
I
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Perchè il coefficiente di resistenza diminuisce quando il flusso transisce a turbolento?
• In caso di flusso laminare la separazione avviene a θ ≈ 100o.
250/293
• In caso di flusso turbolento la separazione avviene a θ ≈ 80o.
• Per flusso turbolento il recupero di pressione è maggiore e quindi
diminuisce sensibilmente la resistenza di scia.
JJ
II
J
I
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I profili laminari
Nel caso di corpi aerodinamici la resistenza si riduce in modo significativo se il flusso si mantiene lungo il corpo il più possibile laminare.
251/293
• I profili laminari sono caratterizzati dalla presenza di una estesa
zona di flusso laminare a partire dal bordo d’attacco in crociera.
• L’obiettivo è raggiunto spostando il più possibile indietro il punto
in cui inizia la ricompressione (dp/dx > 0) e lo strato limite diventa
instabile.
• In condizioni portanti il picco di pressione può essere mantenuto
verso poppa progettando una opportuna linea media caratterizzata
da carico basico costante.
JJ
II
J
I
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252/293
JJ
II
J
I
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253/293
Caratteristiche del profilo NACA 651 − 212
JJ
II
J
I
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• Le polari dei profili laminari sono caratterizzate dalla presenza della
tipica sacca laminare nell’intorno dell’angolo di attacco ideale in
cui il coefficiente di resistenza è notevolmente più basso.
254/293
• Lontano dall’incidenza ideale, per effetto del carico addizionale, lo
strato limite transisce a turbolento molto prima, come nei profili
convenzionali (la sacca scompare).
• Fuori sacca le prestazioni di un profilo laminare sono, in genere,
più scadenti di un corrispondente profilo convenzionale.
• Per effetto della contaminazione è molto delicato mantenere le
condizioni di flusso laminare.
JJ
II
J
I
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Superfici portanti
Oltre all’ala principale, un’aeromobile convenzionale possiede altre superfici portanti:
255/293
piano orizzontale: consente il controllo e garantisce la stabilità
intorno all’asse di beccheggio.
piano verticale o deriva: consente il controllo e garantisce la
stabilità intorno all’asse di imbardata.
• Il controllo intorno all’asse di rollio è consentito dagli alettoni.
JJ
II
J
I
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Sistemi di ipersostentazione
Hanno il compito di aumentare CLmax e di ridurre la velocità minima
di sostentamento.
256/293
Classificazione:
1. sistemi meccanici (flaps);
2. sistemi di controllo dello strato limite;
3. sistemi gettosostentati (jet flaps).
SI discutono brevemente qui solo i sistemi meccanici.
JJ
II
J
I
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Tipi di flap:
257/293
JJ
II
J
I
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Alettone semplice
• Una cerniera consente la rotazione della parte posteriore del profilo,
la conseguente variazione della curvatura comporta una variazione
di αzl e quindi del Cl a parità di incidenza.
258/293
• In genere l’angolo di stallo diminuisce.
Curva Cl = Cl (α) per un profilo con alettone al variare dell’inclinazione dell’alettone δ.
JJ
II
J
I
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Alettone con uno o più slot
259/293
Profilo NACA 653 − 118, alettone con doppio slot (0.309c).
• Lo slot consente il passaggio di flusso ad alta pressione del ventre sul
dorso, la separazione viene cosı̀ notevolmente ritardata e l’angolo
di stallo aumenta.
• Significativo aumento del Clmax .
JJ
II
J
I
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Tipo
∆CLmax
Alettone
≈ 0.9
Flap con slot
≈ 1.5
Flap con doppio slot ≈ 1.9
260/293
Flap Fowler
È uno slotted flap che si abbassa con un moto di rototraslazione per
cui la portanza viene ulteriormente aumentata a causa dell’aumento
della corda del profilo.
JJ
II
J
I
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Slat
Un’aletta con canale posta anteriormente al profilo.
Coefficienti di pressione su una sezione dell’ala del B737-100.
40o flaps, α = 8o . Confronto tra prova di volo ed analisi numerica del flusso non viscoso.
261/293
JJ
II
J
I
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262/293
Effetto dello slat sul CLmax .
JJ
II
J
I
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Effetti della comprimibilità
263/293
• In campi di moto comprimibili le equazioni di continuità e quantità
di moto sono accoppiate all’equazione dell’energia: il campo di
moto dipende dal campo termico.
• Nel caso di campi ideali (Re → ∞) con condizioni a monte uniformi l’equazione dell’energia ha una soluzione particolarmente semplice (H = cost) e la trattazione risulta semplificata nonchè valida
in tutto il campo di moto a parte lo strato limite.
• La fisica dei flussi con M > 1 è profondamente diversa da quella
subsonica!
JJ
II
J
I
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Equazioni di Eulero in coordinate intrinseche
Flusso 2D, stazionario, ideale; equazioni di Eulero:
∇ · (ρV) = 0 ;
ρV · ∇ V + ∇p = 0 .
264/293
(459)
(460)
JJ
II
J
I
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Coordinate intrinseche ξ = ξ(x, y), n = n(x, y):
ξ : V = V ξ;
n:n⊥ξ.
(461)
ξ = σ x cos θ + σ y sin θ ;
n = −σ x sin θ + σ y cos θ .
(462)
(463)
dξ = (−σ x sin θ + σ y cos θ)dθ = ndθ ;
dn = (−σ x cos θ − σ y sin θ)dθ = −ξdθ .
(464)
(465)
In particolare si ha che
∂ξ
∂ξ
=
∂θ
n
∂ξ
∇ = ξ
265/293
.
∂
∂
+n
.
∂ξ
∂n
(466)
JJ
II
J
I
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Continuità:
1 ∂V
1 ∂ρ ∂θ
+
+
=0.
(467)
V ∂ξ
ρ ∂ξ ∂n
Oppure, applicando il bilancio integrale tra 2 linee di corrente:
∂(ρV A)
=0.
∂ξ
266/293
(468)
Quantità di moto:
ρV
∂V
∂θ
∂p
∂p
ξ + ρV 2 n + ξ +
n=0.
∂ξ
∂ξ
∂ξ
∂n
(469)
Poichè |∂θ/∂ξ| = |1/R|, dove R è il raggio di curvatura e proiettando
nelle direzioni ξ e n si ottiene:
∂V
∂p
+
= 0;
∂ξ
∂ξ
V 2 ∂p
= 0.
ρ +
R
∂n
ρV
(470)
(471)
JJ
II
J
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1. Affinchè la velocità possa variare lungo la linea di corrente è necessaria, lungo la stessa una variazione di pressione di segno opposto.
2. Se la linea di corrente è curva è necessario un gradiente di pressione
normale per bilanciare la forza centrifuga.
267/293
Ricaviamo una relazione tra variazione di V e variazione di A lungo
la linea di corrente.
Continuità:
1 ∂V
1 ∂ρ 1 ∂A
+
+
=0.
(472)
V ∂ξ
ρ ∂ξ A ∂ξ
Essendo il flusso ideale (isoentropico):
∂p
∂ρ
= a2
.
∂ξ
∂ξ
(473)
Dalla quantità di moto lungo ξ:
1 ∂ρ
V ∂V
=− 2
.
ρ ∂ξ
a ∂ξ
(474)
JJ
II
J
I
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Dalla continuità:
Inoltre
1 ∂A
1 ∂V
= −(1 − M 2)
.
A ∂ξ
V ∂ξ
(475)
1 ∂A
1 ∂p
= (1 − M 2) 2
.
A ∂ξ
ρV ∂ξ
(476)
268/293
• In un flusso supersonico all’aumentare della sezione del tubo
di flusso la velocità aumenta e la pressione diminuisce.
• Se il numero di Mach è uguale a 1 allora nel tubo di flusso
∂A/∂ξ = 0: il passaggio da subsonico a supersonico (o viceversa) avviene in una sezione di minimo (gola) del tubo di
flusso.
• A parità di variazione d’area, la comprimibilità esalta le variazioni di pressione.
JJ
II
J
I
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Bilancio dell’energia in coordinate intrinseche:
∂H
=0.
(477)
∂ξ
L’equazione dell’energia ed il bilancio di quantità di moto lungo ξ non
sono indipendenti.
269/293
Relazioni del flusso isoentropico
1. s = cost;
2
2. H = cpT + V2 =
γ p
γ−1 ρ
2
+ V2 = cost (il flusso è anche isoentalpico).
Ipotesi di gas piucheperfetto:
1. p = ρRT ;
2. dh = cpdT .
Dalla relazione di Gibbs dh = T ds+ ρ1 dp si ha che un flusso isoentropico
è caratterizzato dalle relazioni:
p
T γ/(γ−1)
ρ γ
=
.
(478)
=
prif
Trif
ρrif
JJ
II
J
I
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L’equazione dell’energia si può scrivere:
T0
γ−1 2
=1+
M ,
T
2
(479)
270/293
dove il pedice 0 indica condizioni di ristagno; per cui, in un flusso
isoentropico:
γ − 1 2 γ/(γ−1)
p0
;
= 1+
M
p
2
ρ0
γ − 1 2 1/(γ−1)
= 1+
M
.
ρ
2
(480)
(481)
• In un flusso isoentropico, note le condizioni termodinamiche
nel punto di ristagno e noto il numero di Mach locale, è noto
lo stato termodinamico.
• In un flusso reale le condizioni di ristagno variano al variare del
punto: sono cioè a loro volta funzioni dello stato termofluidodinamico attuale della particella.
JJ
II
J
I
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Il coefficiente di pressione in un flusso comprimibile
p − p∞
2
Cp = 1
=
2
ρ V2
γM∞
2 ∞ ∞
p
−1
p∞
.
(482)
271/293
Utilizzando le relazioni del flusso isoentropico:
Cp =
2
2
γM∞
"
1+
γ−1 2
M
2
γ − γ−1
1+
γ−1 2
M∞
2
γ
γ−1
#
− 1 . (483)
Nel punto di ristagno:
2
Cp(M = 0) =
2
γM∞
"
γ−1 2
1+
M∞
2
γ
γ−1
#
−1 .
(484)
• Nel punto di ristagno di un flusso comprimibile Cp > 1.
JJ
II
J
I
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Per M = 1:
Cp∗ =
2
2
γM∞
"
1+
γ−1
2
γ − γ−1
1+
γ−1 2
M∞
2
γ
γ−1
#
−1 .
(485)
272/293
• Per una corrente caratterizzata da un dato valore di M∞ esiste un
ben preciso valore del coeffficiente di pressione (Cp∗) nel punto in
cui M = 1.
JJ
II
J
I
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Effetti della comprimibilità per flussi subcritici intorno a
profili alari
273/293
Si consideri un flusso subcritico (M < 1 ovunque) intorno ad un profilo sottile a piccole incidenze (ipotesi di piccole perturbazioni). Si
dimostra che in ogni punto del campo (formula di Prandtl-Glauert):
Cp
Cp ≈ p M∞=0 2 ,
1 − M∞
(486)
dove CpM∞=0 indica il coefficiente di pressione nello stesso punto per il
caso dello stesso profilo alla stessa incidenza e M∞ = 0.
• Flussi ideali intorno a profili sottili a piccole incidenze in regime subcritico possono essere studiati con le tecniche sviluppate
per l’analisi incomprimibile!
p
2 il coefficiente di pressio• Basta amplificare del fattore 1/ 1 − M∞
ne.
JJ
II
J
I
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Chiaramente risulta:
Cl
Cl ≈ p M∞=0 2 ,
1 − M∞
(487)
274/293
dove Cl M∞=0 indica il coefficiente di portanza dello stesso profilo alla
stessa incidenza e M∞ = 0.
• In condizionipsubcritiche il coefficiente di portanza aumenta
2 rispetto al caso incomprimibile.
del fattore 1/ 1 − M∞
Essendo αzl indipendente da M∞ risulta:
Clα
Clα ≈ p M∞=02 .
1 − M∞
(488)
• Si dimostra, invece, che il Cd è solo debolmente influenzato da M∞
in condizioni subcritiche.
JJ
II
J
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Calcolo approssimato del Mach critico inferiore
• Per un dato profilo in flusso ideale il Mach critico inferiore
dipende solo dall’angolo di attacco.
275/293
0
la condizione M = 1 viene raggiunta nel
• Quando M∞ = M∞,cr
punto di minima pressione.
Procedura
1. Si assegna α.
2. Si calcola il campo di pressione per M∞ = 0.
3. Si determina il valore minimo del coefficiente di pressione Cp,min.
p
2.
4. Si diagramma in funzione di M∞ la curva Cp,min/ 1 − M∞
5. Si diagrammala curva Cp∗ = Cp∗(M∞) (equazione (485)).
0
6. L’ascissa del punto di intersezione delle due curve individua M∞,cr
.
0
Prob. n. 21: Calcolare M∞,cr
per un dato profilo NACA
ad un assetto assegnato
JJ
II
J
I
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Regime transonico
00
0
< M∞ < M∞,cr
.
• Il regime transonico è caratterizzato da M∞,cr
276/293
• Caratterizza la crociera della maggior parte dei velivoli civili e
militari.
• È il regime più difficile da analizzare teoricamente.
• Anche nelle ipotesi di flusso ideale e piccole perturbazioni le equazioni che governano il problema sono non lineari.
• Solo la comparsa negli anni ’70 dei calcolatori elettronici di grossa
potenza di calcolo ha consentito la soluzione con metodi numerici
di queste equazioni e quindi la determinazione dei campi transonici.
• In transonico (ed anche in supersonico) compare una nuova forma
di resistenza: la resistenza d’onda associata alla perdita di pressione di ristagno attraverso le possibili onde d’urto che si formano
nel campo.
JJ
II
J
I
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• Onda d’urto: superficie di discontinuità di un flusso ideale che si
forma in regime stazionario solo se M > 1. Una particella che
attraversa un’onda d’urto subisce un salto positivo di pressione
densità e temperatura, una riduzione della velocità, ad entalpia
totale costante.
277/293
• Il processo è irreversibile e non isoentropico (la pressione di ristagno
diminuisce).
JJ
II
J
I
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278/293
JJ
II
J
I
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279/293
Profilo RAE 2822;
α = 2.31 , M∞ = 0.729, Re∞ = 6.5 × 106;
linee iso-Mach.
o
JJ
II
J
I
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280/293
Profilo RAE 2822; α = 2.31o , M∞ = 0.729, Re∞ = 6.5 × 106 ;
distribuzione di pressione sul corpo.
JJ
II
J
I
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281/293
• Oltre alla crescita
della resistenza con
V∞2 c’è una ripida
variazione del coefficiente di resistenza:
il muro del suono.
• MDD , Mach di divergenza della resistenza: M∞ tale che
dCd/dM∞ = 0.1.
NACA 0012-34; Cd = Cd(M∞).
JJ
II
J
I
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• Il transonico è caratterizzato da una forte interazione tra strato
limite e onda d’urto
• Attraverso l’onda d’urto si ottiene un gradiente di pressione infinitamente sfavorevole.
282/293
• Lo strato limite separa molto facilmente.
• Lo strato limite separato si ingrossa, l’urto avanza e si indebolisce,
lo strato limite riattacca, l’urto riarretra ed aumenta in intensità e
cosı̀ via: si genera un fenomeno instazionario detto buffet.
• Il buffet è pericoloso per le ali; la barriera di buffet costituisce il
limite per la velocità massima dei velivoli da trasporto commerciale.
JJ
II
J
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Profili supercritici
Sono profili caratterizzati da Cd accettabili anche in regime transonico
e consentono quindi di volare in crociera transonica.
283/293
JJ
II
J
I
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• I profili supercritici sono caratterizzati dall’assenza in crociera di
picchi di pressione (a parte i profili peaky) per limitare i valori
massimi di Mach e quindi l’intensità delle onde d’urto.
284/293
• Per recuperare carico in crociera al fine di raggiungere il necessario
Cl spesso sono caratterizzati da forti curvature nella parte poppiera
(rear loading).
• I profili laminari in condizioni di progetto sono caratterizzati da
picchi di pressione inferiori a quelli dei NACA a 4 e 5 cifre.
• I profili laminari sono quindi caratterizzati (a parità di Cl ) da valori
0
: consentono di raggiungere velocità di crociera
più elevati di M∞,cr
più elevate allontanando l’insorgenza del drag rise.
JJ
II
J
I
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L’ala a freccia
0
,
L’ala a freccia consente di aumentare (a parità di assetto) il M∞,cr
di conseguenza aumenta anche MDD e consente quindi un volo a
velocità di crociera più elevate (a parità di potenza del propulsore).
Schema di un’ala a freccia infinita.
285/293
JJ
II
J
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• In un flusso ideale intorno ad un’ala a freccia infinita il campo di
moto è bidimensionale rispetto ad un riferimento (inerziale) che si
muove con velocità V∞ sin Λ.
286/293
• Il campo di moto intorno al profilo individuato dalla sezione AC è
quindi bidimensionale e caratterizzato da M̄∞ ≈ M∞ cos Λ.
0
• Le condizioni critiche si raggiungeranno quando M̄∞ = M̄∞,cr
0
è il Mach critico inferiore del profilo AC).
(M̄∞,cr
0
0
= M̄∞,cr
/ cos Λ.
• Il Mach critico inferiore dell’ala è quindi M∞,cr
• Le linee di corrente sono fortemente tridimensionali.
JJ
II
J
I
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287/293
tan αef f =
Vef2 f
=
=
≈
tan α
α
, αef f ≈
;
cos Λ
cos Λ
V∞2 (sin2 α +
V∞2 (1 − cos2
V∞2 cos2 Λ .
2
(489)
2
cos α cos Λ)
α sin2 Λ)
(490)
JJ
II
J
I
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La portanza è indipendente dal sistema inerziale scelto:
1
1
CL ρ∞V∞2 S = CLef f ρ∞Vef2 f Sef f .
2
2
(491)
288/293
Per b → ∞:
S → bc ;
Sef f →
b
c cos Λ = S .
cos Λ
(492)
(493)
CLV∞2 = CLef f Vef2 f ⇒ CL = CLef f cos2 Λ ;
α
CLef f = Clα αef f = Clα
;
(494)
cos Λ
α
CL = Clα
cos2 Λ = Clα cos Λα .
(495)
cos Λ
• Il coefficiente di portanza di un’ala a freccia infinita è minore
di un fattore cos Λ rispetto a quello della corrispondente ala
dritta.
JJ
II
J
I
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289/293
Effetto dell’allungamento e della freccia sul CLα .
JJ
II
J
I
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Altri effetti dell’ala a freccia
• Fissato lo svergolamento di un’ala, all’aumentare della freccia (positiva) il carico si sposta verso le estremità e quindi si allontana
dall’andamento ellittico con maggiori rischi di stallo all’estremità.
290/293
• Fissato lo svergolamento di un’ala, all’aumentare della freccia (negativa) il carico si sposta verso la mezzeria (soluzione preferibile
dal punto di vista aerodinamico, ma fino ad oggi praticamente non
utilizzata per problemi strutturali-aeroelastici).
• Per frecce positive tendenza al fenomeno del nose-up.
JJ
II
J
I
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L’aeromobile
291/293
Le polari
CD = CD (CL, M∞, Re∞, conf igurazione, trim, motore) . (496)
Polare, curva di portanza e dei momenti per un ala di AR = 10
JJ
II
J
I
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Espressione approssimata della polare
L’espressione parabolica della polare costituisce una buona approssimazione della polare reale nell’intorno della crociera del velivolo:
CL2
C D = C D0 +
πARe
292/293
(497)
CD0 = CDp + CDw : coefficiente di resistenza a portanza nulla.
CDp : coefficiente di resistenza di profilo.
CDw : coefficiente di resistenza d’onda;
e: fattore di Oswald.
Una buona approssimazione, nel caso di ala isolata in flusso iposonico
per CDp :
Z +b/2
1
Cd(y)cdy ,
(498)
C Dp =
SW −b/2
Cd(y): coefficiente di resistenza del profilo dell’ala alla stazione y.
JJ
II
J
I
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L’aerodinamica viscosa è fortemente non lineare, comunque in avamprogetto si assume sovente:
CD0
1 X
≈
CDk Sk ;
Sw k
293/293
(499)
k: k-esimo componente del velivolo (ala, fusoliera, gondola motore,
deriva, piano orizzontale, etc.);
CDk : coefficiente di resistenza del k-esimo componente;
Sk : superficie di riferimento del k-esimo componente.
Errori insiti nell’approssimazione parabolica della polare:
• in generale il coefficiente di resistenza non è minimo per CL = 0;
• la resistenza di profilo e la resistenza d’onda variano al variare di
CL ;
• in condizioni di alta portanza la polare del velivolo si discosta molto
dall’andamento parabolico che addirittura non prevede lo stallo
dell’aeromobile.
JJ
II
J
I
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Lezioni di Aerodinamica

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