1 Facoltà di Architettura Politecnico di Bari Programma del Corso di

Facoltà di Architettura
Politecnico di Bari
Programma del Corso di Istituzioni di Matematica + Istituzioni di Geometria (9 cfu)
A.A. 2012-2013
Docenti titolari dei corsi A e B: prof. Giuseppe DEVILLANOVA e prof. Giannangelo LUISI
FINALITÀ E CONTENUTI DISCIPLINARI
La prima parte del corso intende fornire strumenti idonei a rappresentare oggetti tridimensionali sul piano,
con riferimento a diversi tipi di proiezione e a ricostruire un oggetto tridimensionale partendo da
rappresentazioni piane di sue parti.
La seconda parte del corso si occupa delle idee fondamentali e dei concetti basilari del Calcolo Differenziale
e della modellazione matematica di situazioni concrete.
Tali nozioni costituiscono un primo bagaglio per la comprensione di discipline quali Meccanica Strutturale,
Statica, ecc., che, pur non rientrando nella matematica, fanno uso di diversi strumenti matematici. In
particolare, oltre ai principali concetti legati alle proprietà delle funzioni reali di variabile reale, il corso si
propone di affrontare la teoria dell’integrazione di Riemann e di generalizzare gli strumenti del calcolo
differenziale al caso di funzioni dipendenti da più variabili.
Obiettivo del corso è quello di fornire allo studente, insieme agli elementi del calcolo differenziale ed
integrale, una metodologia di lavoro che lo avvii, da un lato ad utilizzare criticamente gli strumenti acquisiti,
dall’altro a collegare i contenuti della matematica alle successive discipline strutturali.
ARTICOLAZIONE DELLE ATTIVITÀ DIDATTICHE.
Il corso prevede lezioni ed esercitazioni tradizionali alle quali si affianca un’attività di tutoring degli studenti.
Detta attività prevede l’ausilio di software specifico per la manipolazione degli oggetti matematici.
TEMI DEL CORSO
Elementi di teoria degli insiemi. Relazioni di equivalenza. Relazioni funzionali e funzioni. Applicazioni
surgettive, ingettive e bigettive.
I numeri reali. I numeri complessi. Matrici e determinanti. Sistemi lineari. Vettori liberi ordinari. Spazi
vettoriali. Applicazioni lineari. Endomorfismi autovalori ed autospazi. Geometria analitica nel piano e nello
spazio. Il piano e lo spazio proiettivo complesso. Le coniche e le quadriche. Funzioni reali. Funzioni
elementari. Successioni. Concetto di limite e operazioni relative. Continuità e derivabilità di una funzione in
un punto e in un insieme. Classificazione dei punti di discontinuità e dei punti di non derivabilità. Teoremi
sulle funzioni continue e Teoremi sulle funzioni derivabili. Regole di derivazione. Derivate delle funzioni
elementari. Differenziale di una funzione. Polinomi approssimanti. Applicazioni del calcolo differenziale.
Studio del grafico delle funzioni reali.
Integrale di Riemann per funzioni in una variabile. Metodi di integrazione. Teorema fondamentale del calcolo
integrale. Equazioni differenziali a variabili separabili, equazioni differenziali lineari. Problema di Cauchy.
Funzioni in più variabili e generalizzazione del concetto di limite e di continuità. Calcolo differenziale in più
variabili analogie e differenze con il caso monodimensionale. La nozione di differenziabilità. Derivate
direzionali e parziali. Regole di derivazione. Ricerca dei punti critici per l’individuazione dei punti estremanti.
ISCRIZIONI AL CORSO
Le iscrizioni avvengono obbligatoriamente sulla piattaforma entro i primi dieci giorni dall’inizio dei corsi.
MODALITÀ D’ESAME:
L’esame prevede due modalità di accertamento: un esame scritto e un esame orale. Nonostante il corso sia
suddiviso per argomenti (Istituzioni di Geometria e Istituzioni di Matematica) sarà necessario superare una
prova complessiva riguardante i due insegnamenti di geometria e analisi.
La prenotazione all’esame e la verbalizzazione degli esiti avverrà secondo le modalità previste dal
portale ESSE3.
PROGRAMMA DETTAGLIATO
Nozioni fondamentali di teoria degli insiemi.
Concetti di base. Nozioni di uguaglianza, inclusione, implicazione, equivalenza. Operazioni di unione,
intersezione e complemento. Prodotto cartesiano. Assiomi principali della Teoria degli insiemi.
Relazioni d'
ordine, relazione di ordine stretto, relazioni di equivalenza. Massimo e minimo elemento di una
parte di un insieme totalmente ordinato.
Proprietà elementari dell’insieme dei numeri reali.
Insiemi separati e contigui. Estremo inferiore ed estremo superiore. Nozione di distanza. Intorni di un punto.
Intervalli e loro proprietà.
Punti di accumulazione, punti isolati e punti di frontiera di un insieme. Interno, frontiera e chiusura di un
insieme. Insiemi aperti, insiemi chiusi e insiemi compatti.
Proprietà elementari delle funzioni reali (di variabile reale).
Insieme di definizione, di arrivo, immagine e dominio naturale di una funzione. Rappresentazione sagittale e
cartesiana del grafico di una funzione. Le funzioni elementari: funzioni lineari, funzione valore assoluto,
funzione potenza con esponente intero, funzione radice, funzione potenza con esponente reale, funzione
esponenziale e logaritmo, funzioni goniometriche e loro inverse. Operazioni con le funzioni. Funzioni pari,
dispari e periodiche. Funzioni ingettive, surgettive e bigettive. Operazione di riduzione e di restrizione di una
funzione. Funzioni composte. Funzioni invertibili e funzione inversa di una funzione invertibile.
Funzioni monotone in un punto e funzioni monotone su un insieme. Relazioni tra monotonia puntuale e
globale. Composizione di funzioni monotone. Legame tra funzioni monotone e funzioni invertibili. Funzioni
limitate. Massimi, minimi ed estremi locali (forti e non) di una funzione.
Limiti e continuità delle funzioni reali di variabile reale.
Nozioni di limite, limite destro e sinistro per una funzione. Limiti di successioni di numeri reali. Limiti delle
funzioni elementari. Teorema sull'
unicità del limite. Teorema sulla permanenza del segno. Teoremi di
confronto. Teorema sul carattere locale del limite. Teorema sul limite della funzione composta. Operazioni
sui limiti.
Limiti delle funzioni monotone. Forme indeterminate. Cambiamento di variabili. Limiti notevoli.
Infiniti, infinitesimi e loro confronto. Simbolo di Landau “o piccolo” e “O grande”.
Continuità delle funzioni elementari. Teorema della permanenza del segno per funzioni continue. Continuità
delle funzioni composte. Prolungamento per continuità di una funzione. Punti di discontinuità e loro
classificazione. Proprietà delle funzioni continue in un intervallo. Teorema di Weierstrass. Teorema degli
zeri. Teorema dei valori intermedi (di Bolzano). Relazioni tra ingettività e monotonia di funzioni continue
definite su intervalli. Uniforme continuità e Teorema di Cantor.
Calcolo differenziale.
Migliore approssimazione lineare di una funzione in un punto. Definizione di derivata. Interpretazione
geometrica e fisica della derivata di una funzione in un punto. Retta tangente il grafico di una funzione in un
suo punto. Funzioni derivabili e relative operazioni. Derivata destra e sinistra. Punti angolosi e cuspidali.
Regole di derivazione. Continuità delle funzioni derivabili. Teorema sulla derivazione della funzione
composta. Derivata della funzione inversa. Le derivate delle funzioni elementari. Derivate di ordine
superiore. Estremi locali e derivate. Teorema di Fermat. Punti stazionari. Teorema di Rolle e Teorema di
Lagrange e rispettiva interpretazione fisico/geometrica.
Teorema di de l'
Hôpital ed applicazioni ai limiti. Calcolo dei limiti notevoli.
Asintoti orizzontali, verticali ed obliqui di una funzione.
Approssimabilità locale di una funzione mediante polinomi; Formula di Taylor con il resto di Peano e con il
resto di Lagrange; Formula di MacLaurin per alcune funzioni elementari e alcune applicazioni per la
risoluzione dei limiti. Segno della derivata e monotonia puntuale.
Studio della monotonia per mezzo dello studio del segno del resto di ordine 0.
Condizioni necessarie e sufficienti per i punti di minimo e massimo relativi.
Convessità e concavità. Caratterizzazione delle funzioni convesse e concave mediante lo studio del segno
del resto di ordine uno. Punti di flesso.
Studio del grafico di una funzione.
Calcolo Integrale.∗
Teoria dell'
integrazione secondo Riemann; Integrale di Riemann di una funzione reale su un intervallo.
Proprietà dell'
integrale di Riemann. Integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone. Primitive
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di una funzione e relative proprietà. Esempi di funzioni integrabili/non-integrabili. Il Teorema fondamentale
calcolo integrale. Calcolo di aree. Tecniche per il calcolo delle primitive di una funzione.
Equazioni differenziali.∗
Equazioni differenziali a variabili separabili, equazioni differenziali lineari. Problema di Cauchy.
Funzioni di due variabili.∗
Rappresentazioni bidimensionali di funzioni di due variabili: curve di livello, sezioni e loro disegno. Proprietà
geometriche e metriche del piano e dello Spazio Euclideo. Intorni di un punto, punti accumulazione. Limiti di
una funzione reale di 2 variabili reali. Funzioni continue a più variabili. Costruzione di funzioni continue.
Controesempi. Teorema di Weierstrass per funzioni continue. Teorema di Cantor. Derivate direzionali di una
funzione. Derivate parziali di una funzione. Gradiente di una funzione. Differenziabilità di una funzione di più
variabili. Piano tangente al grafico. Rapporti tra differenziabilità, derivabilità, continuità. Relazione tra
gradiente e gli aspetti geometrici della superficie di equazione z=f(x,y) (curve di livello, piano tangente,
massima pendenza, direzione di massima pendenza).
Testi consigliati:
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, McGraw-Hill.
P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica uno, Liguori Editore.
P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol. I, Liguori Editore.
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli.
Algebra
Matrici. Operazioni tra matrici. Matrici quadrate. Determinante di una matrice. Rango di una matrice.
Moltiplicazione righe per colonne. Proprietà del determinante. Teorema di Laplace. Aggiunta classica di una
matrice. Matrice inversa di una matrice non singolare. Rango/caratteristica di una matrice. Sistemi lineari.
Teorema di Cramer. Teorema di Capelli. Sistemi lineari parametrici.
Numeri complessi. Numeri complessi in forma algebrica. Il campo C. Operazioni tra numeri complessi.
Nozioni di modulo e coniugato di un numero complesso e relative proprietà. Rappresentazione dei numeri
complessi in forma geometrica/vettoriale. Rappresentazione in coordinate polari di un numero complesso.
Prodotto di numeri complessi. Potenza di un numero complesso. Radici n-esime di un numero complesso.
Interpretazione geometrica. Equazioni complesse di secondo grado.
Geometria
Geometria analitica del piano. Proprietà affini e metriche. Fasci di rette. Relazione di ortogonalità tra rette.
Asse di un segmento. Bisettrice di un angolo. La circonferenza e le sue proprietà. Coniche come luoghi
geometrici. Invarianti di una conica. Equazioni canoniche.
Geometria dello spazio. Riferimento metrico. Distanza tra due punti. Punto medio. Rappresentazione del
piano e fasci di piani. La retta e sue rappresentazioni analitiche.
Parallelismo ed ortogonalità tra rette. Rette sghembe. Minima distanza e retta di minima distanza.
Le superfici di rotazione: coni e cilindri. Piano ampliato con la retta impropria. Piano improprio. Spazio
ampliato. Coordinate omogenee. Spazio complessificato. Rette isotrope, assoluto e coni isotropi. Le
quadriche di rango 1, 2, 3 e 4.
Spazi vettoriali. Definizione di sottospazio vettoriale. Combinazione lineare. Vettori linearmente dipendenti
ed indipendenti. Basi di uno spazio vettoriale. Dimensione di uno spazio vettoriale. Isomorfismo tra uno
n
spazio vettoriale di dimensione n e il campo K . Basi canoniche. Applicazioni lineari e loro rappresentazione
analitica. Ker f e Im f di un’applicazione linerare f. Teorema del rango. Endomorfismo, autovalori ed
autovettori. Diagonalizzazione di una matrice.
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DETTAGLIO TEORIA DAL TESTO Michiel BERTSCH, Roberta DAL PASSO, Lorenzo GIACOMELLI
“Analisi Matematica”, McGraw-Hill edizioni ISBN: 978-88-386-6234-8
INTEGRALI IN UNA VARIABILE (PAG 225 ---248)
Dettaglio Definizioni
Definizione 9.1 -- 9.2 -- 9.3 -- 9.4 --9.5
Dettaglio Teoremi
Teorema 9.1 -- Teorema 9.2 -- Teorema 9.3 -- Teorema 9.4 -- Terema 9.5 -- Teorema 9.6 -Teorema 9.7 (con Dim) -- Teorema 9.8 (con Dim) – Corollario 9.1 (con Dim) -- Integrazione per
parti 9.5.1 (con dim) -- Integrazione per sostituzione 9.5.2 (con dim).
EQUAZIONI DIFFERENZIALI (PAG 421 ---433)
Equazioni lineari del primo ordine, L’equazione omogenea associata, Metodo della Variazione della
costante, Metodi ad hoc.
Equazioni del primo ordine in forma normale
Dettaglio Teoremi
Teorema 16.1 -- Teorema 16.2 -- Teorema 16
Dettaglio Esempi
Esempio 16.2 -- Esempio 16.5 -- Esempio 16.7 -- Esempio 16.8 -- Esempio 16.9 -- Esempio 16.10
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
CONCETTI DI BASE, LIMITI E CONTINUITÀ (PAG 271 --- 290)
Dettaglio Definizioni
Definizione 10.1 -- 10.2-- 10.3 -- Limiti 10.4 --10.5 Continuità -- 10.6 -- Uniforme continuità 10.7
Dettaglio Teoremi
Teorema 10.1 (di Bolzano-Weierstrass) -- Teorema 10.2 (di Weierstrass) -- Teorema 10.4 (di
Cantor) -- Teorema (Ponte) 10.5 -- Teorema (coordinate polari) 10.6
Dettaglio Esempi-Esercizi (Ex)
10.2 -- 10.3 -- 10.6 --10.7 -- 10.8 -- Ex. 10.7 -- Ex. 10.8 -- 10.11 -- Ex. 10.9 -- Ex 10.10 -- 10.12 -10.14 -- 10.15 -- 10.16 -- 10.17 -- Ex 10.12.
CALCOLO DIFFERENZIALE (PAG 291 --- 317)
Dettaglio Definizioni
Definizione 11.1 -- 11.2-- 11.3 -- 11.4 --11.6 (insieme convesso) -- 11.7 -- 11.8 (estremi liberi)
Dettaglio Teoremi
Teorema 11.1-- Teorema 11.3 (del differenziale Totale) -- Corollario 11.1 -- Teorema 11.4.
Dettaglio Esempi-Esercizi (Ex)
11.2 -- Ex 11.1 -- 11.4 -- 11.5 --11.6 -- 11.7 -- Ex. 11.3.
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