Soluzione

RELAZIONE.
La cerniera dell’ipersostentatore di un aereo leggero è collegata alla centina di estremità tramite
chiodatura secondo le indicazioni riportate in figura.
Lo sforzo di taglio massimo agente sul perno della cerniera è pari a 2200 N nella direzione dell’asse
Y del sistema di riferimento solidale con l’ipersostentatore.
Il candidato, utilizzando la tabella dove sono riportate le coordinate in mm dei centri dei chiodi,
proporzioni e verifichi lo sbalzo e la chiodatura della cerniera determinando:
- il centro equivalente di resistenza della chiodatura;
- il momento del taglio rispetto a detto centro;
- i carichi su ciascun chiodo dovuti al momento ed al taglio;
- il carico complessivo ed il margine di sicurezza per ciascun chiodo.
Eseguire, infine, il disegno della cerniera compilando anche il relativo foglio di lavorazione.
Coordinate dei fori:
N
1
2
3
4
5
X
60
95
130
80
115
Y
135
135
135
100
100
SVOLGIMENTO.
Per il calcolo delle tensioni si introducono alcune ipotesi semplificative.
Si suppone che la piastra sia infinitamente rigida nel suo piano.
La normativa aeronautica riguardante i collegamenti bullonati fornisce una prima indicazione: i
ribattini non devono lavorare a trazione, ma devono essere dimensionati e verificati solo al taglio.
Considerando la piastra piana, i suoi gradi di libertà risultano 3 (2 traslazioni e 1 rotazione).
Dato che, per ipotesi, il sistema è infinitamente rigido, l’effetto del carico applicato nell’occhio
della piastra (punto “O”) o in un altro punto della stessa, è il medesimo aggiungendo, però, un
momento di trasporto.
Il trasferimento avviene nel punto G, baricentro delle aree resistenti (ribattini), centroide o centro
equivalente di resistenza della chiodatura.
1. Calcolo del centroide.
Il centroide è il centro di resistenza equivalente, ovvero il baricentro delle aree resistenti, dove
le forze agenti vanno trasportate; è calcolato utilizzando le formule, note, per la determinazione
del baricentro, con la sola differenza che le aree utilizzate sono quelle delle sezioni dei chiodi
sulla piastra.
Nel nostro caso, poiché le aree resistenti sono tutte uguali, i calcoli si semplificano.
Infatti:
XC =
Sy ∑ Ai ⋅ xi A ⋅ ( x1 + x 2 + x3 + x 4 + x5 ) A ⋅ (60 + 95 + 130 + 80 + 115)
=
=
=
= 96[mm]
At
∑ Ai
5⋅ A
5⋅ A
YC =
Sy ∑ Ai ⋅ y i A ⋅ ( y1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 ) A ⋅ (135 ⋅ 3 + 100 ⋅ 2)
=
=
=
= 121[mm]
At
∑ Ai
5⋅ A
5⋅ A
2. Traslazione delle forze agenti nel centroide e calcolo del momento di trasporto.
A questo punto per rendere possibile il calcolo delle forze taglianti agenti su ogni ribattino
occorre trasportare le forze dal centro del perno di collegamento al centroide.
Con lo spostamento della forza nel centro di resistenza che provocherà un momento torcente
(momento di trasporto di una forza), questo perché la forza non viene traslata lungo la sua retta
d’azione, ma parallelamente a questa come conseguenza del fatto che perno e centroide non
sono sulla stessa retta d’azione.
Così facendo il carico agente nell’occhio della piastra coincide con quello applicato nel punto G
aggiungendo al carico applicato il momento di trasporto.
Il sistema di forze iniziale si trasforma quindi in un sistema equivalente, composto da T’ ed M’,
i cui valori risultano essere:
T ′ = T = 2200[ N ⋅ mm]
M ′ = T ⋅ X C = 2200 ⋅ 96 = 211200[ N ⋅ mm]
Per il calcolo degli sforzi su ciascun chiodo dovuti alle forze agenti, è necessario impostare le
equazioni di equilibrio alla traslazione e alla rotazione del sistema.
L’equilibrio alla traslazione secondo l’asse Y è pari a:
T ′ = ∑ t yi = 5 ⋅ t y
In questo specifico caso vengono ricavate le componenti ty della forza agente su ciascun chiodo
dovuti alla forza T’, che risultano essere uguali per ciascun chiodo e pari a:
T ′ 2200
ty =
=
= 440[ N ]
5
5
L’equilibrio alla rotazione è invece pari a:
M ′ = ∑ mi ⋅ ri
dove ri è la distanza di ciascun chiodo dal baricentro della chiodatura, ed mi è la forza originata
dal momento M’ sul ciascun chiodo, diretta in modo perpendicolare ad ri.
Le forze mi sono proporzionale alla distanza dal baricentro ri (si ricordi che le aree dei chiodi
sono uguali), si può scrivere:
mi = C ⋅ ri
dove C è una costante di proporzionalità.
La formula allora si trasforma in:
M ′ = ∑ mi ⋅ ri = C ⋅ ∑ ri
2
Per cui:
C=
M′
∑r
2
i
alla quale si sostituisce:
mi =
M′
∑ ri
2
⋅ ri
Essendo le mi dirette in senso perpendicolare ad ri e dovendo essere sommate vettorialmente
alle tyi per trovare la forza totale agente sui vari chiodi, è conveniente scomporle in due
componenti, secondo il sistema di assi X ed Y.
Di seguito viene riportato lo schema grafico delle forze agenti su due dei cinque chiodi presenti
sulla squadretta:
Per ogni vettore mi generico avremo le relative componenti vettoriali secondo gli assi X e Y,
caratterizzate ognuna da una differente direzione angolare αi e da differenti distanze dei centri
delle varie chiodature dal centro di resistenza equivalente.
Si riportano, di seguito, i valori di rix, riy ed ri:
Chiodo
1
2
3
4
5
rix
36
1
34
16
19
riy
14
14
14
21
21
ri
38.63
14.04
36.77
26.4
28.32
dove:
ri = rix + riy
2
2
riy
tgα i =
rix
Sono ora riportati i valori assunti da tgαi, αi, senαi, cosαi, dove αi è il valore dell’angolo
formato dall’inclinazione della retta che collega il baricentro con i singoli chiodi rispetto
all’asse delle ascisse:
Chiodo
1
2
3
4
5
tgai
ai
ai
Senai
Cosai
0.39
14
0.41
-1.31
-1.11
0.37
1.5
0.39
-0.92
-0.84
158.75
94.09
157.62
232.7
227.86
0.36
1
0.38
-0.8
-0.74
-0.93
-0.07
0.92
-0.61
0.67
La seguente tabella riporta i valori di ImiI, mix ed miy:
Chiodo
1
2
3
4
5
ImII
1796.89
652.94
1710.51
1228.16
1317.42
mix
-651.28
-651.28
-651.28
976.92
976.92
miy
-1674.71
-46.52
1581.67
-744.32
883.88
Vengono riportati, ora, i valori corrispondenti a tiy, fiy, fi:
Chiodo
1
2
3
4
5
tiy
-440
-440
-440
-440
-440
fiy
-2114.71
-486.52
1141.67
-1184.32
443.88
fix
-651.28
-651.28
-651.28
976.92
976.92
fi
2212.73
812.94
1314.38
1535.24
1073.03
dove:
f ix = mix
f iy = miy + t iy
fi =
f Ix + f Iy
2
2
Dai valori riportati dalle tabelle, è possibile affermare che il valore massimo dello sforzo agente
sui chiodi in modo tangenziale è pari a 2212,73 N.
3. Determinazione del carico complessivo e del margine di sicurezza per ogni chiodo.
Determinate tutte le risultanti taglianti si procede con il calcolo delle tensioni.
È possibile dimensionare la chiodatura partendo dal materiale che si deve utilizzare.
Per la realizzazione sia della squadretta che dei chiodi, si ipotizzi di utilizzare la lega di
alluminio EN AW-2024 (Avional P-Al Cu 4 Mg ) avente un carico di snervamento
σ0,2 = 140 N/mm2T0 (ricotto) e
240 N/mm2 T4 (tempra di soluzione, invecchiato
naturalmente).
Si assuma, inoltre, un coefficiente di sicurezza g pari a 1,05.
A questo punto, si calcola la tensione massima di progetto che possono sopportare la squadretta
e i chiodi:
K=
σ 0.2 240
=
= 228
γ
1.05
 N 
 mm 2 
Per verificare che il bullone resista alla tensione tagliante dobbiamo calcolare la tensione
massima di progetto al taglio Kt, che risulta essere:
Kt =
σ 0.2 1
240 1
 N 
⋅
=
⋅
= 132 
2
γ
3 1.05 3
 mm 
dove σ0,2 è la tensione convenzionale allo snervamento (tensione che scaricata conferisce
all’elemento ad essa sottoposto una deformazione pari allo 0,2 %).
Le tensioni riscontrate sui ribattini, dovranno soddisfare la seguente condizione:
τ ≤ Kt
Essendo i fori circolari, le tensioni massime si calcolano nel seguente modo:
τ max =
Ti ⋅ S 4 Ti  N 
= ⋅
J xi ⋅ b 3 Ai  mm2 
Per il dimensionamento dei chiodi si procede prendendo come riferimento il chiodo
maggiormente sollecitato (chiodo 1), se l’unione con la squadretta è di tipo semplice (una sola
superficie lavorante). A questo scopo si ricava la superficie del chiodo tenuto conto che la forza
tagliante deve essere considerata a robustezza e quindi T1 = f1 x 1,5:
A1 =
4 T1 4 2212.73 ⋅ 1.5
⋅
= ⋅
= 33.5 mm 2
3 Kt 3
132
[
]
Pertanto si avrà un diametro del chiodo pari a:
d = 2⋅
A
π
= 2⋅
33.5
π
= 6.53[mm]
A questo punto, la scelta dei ribattini ricade su quelli a testa tonda UNI 750 a testa bassa il cui
valore di diametro più prossimo a quello ricavato tramite calcolo, è pari a 8 mm.
Nella seguente tabella sono riportati i valori dei fattori di sicurezza posseduto da ciascun chiodo:
Chiodo
1
2
3
4
5
ti
58.69
25.46
41.16
48.08
33.61
a
2.36
5.44
3.37
2.88
4.12
dove:
4 fi
1 σ 0.2
τi =
e
a=
⋅
3 A
3 τi
Il minimo margine di sicurezza è quindi M.S. = (a – 1)x 100 = (2.36-1)x100= 136%
4. Verifica delle diverse sezioni della squadretta.
Per quanto riguarda lo spessore della lamiera della squadretta, si è scelto di utilizzare uno
spessore di lamiera di 2 mm, spessore che permette un soddisfacente equilibrio tra la rottura
della chiodatura per tranciamento del chiodo e l’ovalizzazione del foro.
A questo punto è possibile passare al disegno della squadretta, fissando le distanze dei fori dai
lembi della struttura; le norme di buona progettazione fissano tali distanze “S” in S = 2d.
Per il diametro del perno, non specificato nel testo, si è scelta una dimensione di 10 mm,
sicuramente compatibile con la forza in gioco.
Le dimensioni della squadretta sono le seguenti:
D = 84[mm]
h = 57[mm]
β = 45°
È necessario verificare queste misure scomponendo la forza N in direzione parallela e
perpendicolare alla sezione dando origine alla N” e alla T”.
Adesso si trasporta T” nella sezione e si applica il consueto momento di trasporto M”:
T ′′ = N ′′ = N ⋅ sen 45° = 2200 ⋅ sen 45° = 1555.63[ N ]
M ′′ = T ′′ ⋅ D = 1555.63 ⋅ 84 = 130672.92[N ⋅ mm]
Ora è possibile verificare la sezione con spessore di 2 mm e larghezza di 57 mm:
-
verifica al taglio:
τ ′′ = 15
. ⋅
-
T ′′ ⋅ D
1555.63
 N 
= 15
. ⋅
= 20.47 
2
h⋅s
57 ⋅ 2
 mm 
verifica allo sforzo normale:
σ ′′ =
N ′′ M ′′ N ′′ 6 ⋅ M ′′
±
=
±
h⋅s W
h ⋅ s h2 ⋅ s
da cui si hanno:
σ inf ″ =
σ sup ″ =
N ′′ 6 ⋅ M ′′ 1555.63 6 ⋅ 130672.92
 N 
+ 2
=
+
= 107.01
2
2
h⋅s h ⋅s
57 ⋅ 2
57 ⋅ 2
 mm 
N ′′ 6 ⋅ M ′′ 1555.63 6 ⋅ 130672.92
 N 
− 2
=
−
= −134.30
2
2
h⋅s h ⋅s
57 ⋅ 2
57 ⋅ 2
 mm 
Tutte le tensioni sono inferiori a quelle progetto.
5. Calcolo delle pressioni specifiche.
Il calcolo delle pressioni specifiche permette il dimensionamento dei fori in modo che questi
non vengano sottoposti a fenomeni di deformazione, quali l’ovalizzazione.
Agevolati dal fatto che i chiodi sono tutti di eguale diametro, la formula per la determinazione
di Ps è:
Psi =
fi
∅⋅s
misurata in [N/mm2], dove s indica la profondità del foro, ovvero lo spessore della piastra
d’attacco.
Il valore della pressione specifica del chiodo 1 sarà pari a:
Ps1 =
f1
2212.73
 N 
=
= 138.30 
2
∅⋅s
8⋅2
 mm 
Se si confronta il valore ricavato con quello del carico di snervamento del materiale utilizzato, è
possibile verificare se tutti i ribattini resistono alle sollecitazioni di taglio.
Infatti:
Psi max ≤ σ 0.2