programma dettagliato

Corso di "Metodi di Analisi Funzionale"
Prof. Marco Bramanti
February 21, 2007
Traccia delle lezioni tenute, e riferimenti bibliogra…ci. Si indica con (*)
i fatti dimostrati a lezione, con (*EX) i fatti di cui si è chiesto di dare una
dimostrazione per esercizio.
1
1.1
Parte A: spazi di Banach e di Hilbert
Strutture astratte utili allo studio degli spazi di funzioni
Spazi vettoriali: assiomi. Spazi di funzioni ff : X ! Rg con X insieme qualsiasi, anzi ff : X ! V g con V spazio vettoriale. Criterio di riconoscimento dei
sottospazi e criterio pratico per provare che uno spazio di funzioni è sp. vettoriale. Esempi: C 0 [a; b], C 1 [a; b] :::
Spazi normati. Norma. Esempi: norme in Rn ; norma in C 0 [a; b] : Differenza con C 0 (a; b) Norme equivalenti in uno s.v.n.; tutte le norme sono equivalenti in Rn (si potrà dim. dopo). Metrica indotta dalla norma.
Spazi metrici. Assiomi. Nozioni topologiche in spazi metrici: sfere, punti
interni, esterni, di frontiera, d’accumulazione, isolati; insiemi aperti, chiusi (e
aperti o chiusi in E X), limitati; interno, chiusura, frontiera; densità, separabilità. Esempi. Successioni convergenti, e relazione coi punti di accumulazione.
Limiti di funzioni, funzioni continue, continuità e controimmagine degli aperti
(*EX).
Esempi sulle relazioni tra le nozioni di spazio vettoriale, spazio metrico,
spazio normato (EX): spazio vettoriale non normato né metrico (C (a; b)); spazio
di funzioni, metrico ma non vettoriale (funzioni continue e periodiche in R);
spazio vettoriale e metrico non normato (Lp con 0 < p < 1).
1.2
Tre idee chiave dell’analisi: compattezza, completezza,
uniformità
Compattezza. De…nizione di spazio metrico compatto (per coperture) e compatto per successioni. Se K X; K è compatto in sé se e solo se è compatto in
X (*EX). Teorema 1: equivalenza tra le due de…nizioni in spazi metrici. Funzione continua tra spazi metrici porta compatti in compatti (*EX). Sottoinsieme
1
compatto è chiuso (*). Sottoinsieme chiuso di un compatto è compatto (*EX).
Compatto implica limitato (*). Quindi in uno spazio metrico (ad es. Rn ) i
compatti sono chiusi e limitati.
martedì 16 gen, 2 ore
_____________
Teorema di Bolzano-Weierstrass: una successione limitata in Rn ha una
sottosuccessione convergente. Segue il teorema di Heine-Borel: in Rn i compatti
sono tutti e soli i chiusi e limitati (*). Segue il teorema di Weierstrass: funzione
continua su un compatto a valori reali ha max. e min. (*). Un esempio di
applicazione: in Rn tutte le norme sono equivalenti (*).
Fallimento del th. di BW in spazi di dimensione in…nita: contresempio in
C 0 [0; 1]. Th. di Riesz: in uno s.v.n. la sfera unitaria è compatta se solo lo
spazio è …nito dimensionale. (Richiami su: Indipendenza lineare. Dimensione
…nita o in…nita). Il problema di dare condizioni su una successione di funzioni
che garantiscano la convergenza di una sottosuccessione: o si chiede più della
limitatezza, o si ottiene, per una sottosuccessione, un tipo più debole di convergenza. Vedremo i teoremi di compattezza in spazi di funzioni.
Completezza. Successioni di Cauchy, successioni convergenti, spazi metrici
completi. Proprietà delle successioni di Cauchy: sono limitate, se una sottosucc.
converge allora la succ. converge (*EX). Completezza di Rn (*). Sottospazio
chiuso di uno spazio completo è completo (EX*). Teorema delle contrazioni in
spazi metrici completi (*). De…nizione di spazio di Banach. Serie in spazi di
Banach. Uno s.v.n. è di Banach se e solo se ogni serie assolutamente convergente
è convergente (*).
Spazi di successioni `1 ; `1 : Provare che `1 è di Banach (*EX).
Questioni di uniformità. Uniforme continuità per funzioni tra spazi
metrici. Th. di Cantor-Heine: funzione continua su un compatto è uniformemente continua (*); modulo di continuità di una funzione uniformemente continua; particolarizzazione alle funzioni f :
! Rn : funzione uniformemente
continua su un aperto è prolungabile con continuità sulla chiusura (traccia
dim.*); convergenza uniforme di una successione di funzioni tra spazi metrici.
Limite uniforme di funzioni continue è continuo (EX*).
Riferimenti: [Rud1], capp. 2, 3, 4, 7; [Pata], cap.II, §1.
1.3
Spazi di funzioni di uso comune: spazi di Lagrange, di
Hölder, Lp
Spazi di Lagrange. Lo spazio C 0
con aperto limitato di Rn : La norma
0
C
è la norma della convergenza uniforme. C 0
è di Banach (*). C 0
è separabile (dal th. di Stone-Weierstrass). Gli spazi C00 (Rn ) e C 0 (Rn ) ; il
secondo è di Banach (*EX), il primo no, e ha per chiusura il secondo (*EX);
analoghi spazi C00 ( ) e C 0 ( ) e analogo risultato (*EX).
Lo spazio C k
con aperto limitato di Rn : E’di Banach (*), con la norma
"giusta". Contresempio: C 1 con la norma di C 0 non è di Banach (*EX); es. della
seminorma C 1 ; de…nizione di seminorma. Conseguenza di Stone-Weierstrass:
2
Ck
è denso in C 0
(*EX). Gli spazi C 1
o C01 ( ): con qualsiasi
k
1
norma C non è completo, e non esiste una “norma C ”; esiste una successione
di seminorme. (Questo tipo di esempio motiva la teoria degli spazi localmente
convessi e degli spazi di Fréchet, di cui non ci occuperemo).
giovedì 18 gen., 3 ore
________________
Spazi di Hölder. Funzioni C 0; ( ): de…nizione, osservazioni: per > 1
sono costanti; modulo di continuità e prolungabilità …no al bordo. C 0; ( ) è di
Banach (*).
Ex: in C00; ( ) la seminorma C è una norma. Prodotto di funzioni C 0 è
0
C ; lo stesso per C k ; lo stesso per C (*EX).
Funzioni lipschitziane ( = 1). Teorema di Rademacher di derivabilità q.o.;
le funzioni lipschitziane sono assolutamente continue, quelle Hölderiane possono
non esserlo (es. funzione di Vitali). Relazione con le funzioni regolari: C 1
C 0;1 ( ) se è lipschitziano (*). Contresempio per domini con cuspidi. Funzioni
C k; ( ) (conviene supporre lipschitziano); lo spazio è di Banach (*EX).
Riferimenti: [Kry], Cap.3, §§3.1-3.3; [GT], Cap.4, §4.1.
Risultati di compattezza per spazi di funzioni continue o derivabili. Il Teorema di Ascoli-Arzelà (*). Immersione compatta di C 0
in
C 0; ( ) con limitato (*) e di C k
in C k; ( ), con limitato lipschitziano
(*EX). Immersione compatta di C 0; ( ) in C 0; ( ) per < (*). Lemma
per dimostrarlo: disuguaglianza di interpolazione per seminorme C 0; (*).
martedì 23 gennaio, 2 ore
_____________
Spazi Lp
Richiami di teoria della misura e dell’integrazione. Richiami sulla
nozione di spazio di misura, funzione misurabile, funzione integrabile. I teoremi
della convergenza monotona, di Fatou, di Lebesgue, di Fubini-Tonelli. Spazi
di misura topologici, -algebra di Borel, relazione tra continuità e misurabilità,
misura di Borel, misura completa, misura di Lebesgue in Rn : Riferimenti:
[Bre], cap.4, §IV1; [Rud2], capp. 1 e 2.
De…nizione di spazi Lp su spazi di misura astratti. Disuguaglianza di
Hölder (*EX) e di Minkowsky (*EX). Norma Lp per 1 p 1. Per 0 < p < 1
sono spazi metrici non normati (EX*).
Completezza di Lp per 1 p 1 (*). Convergenza q.o. di una sottosuccessione. Esempi di non convergenza q.o. della successione intera (EX*).
Inclusione tra gli Lp su insieme di misura …nita (*). Se j j < 1; la norma
1
L è il limite di norme LRp (*EX). Interpolazione tra due spazi Lp (*EX).
Norma Lp come sup f g (*EX). Spazi `p ; es.: disuguaglianza di Hölder.
Spazi Lp (Rn ). Convoluzione e disuguaglianza di Young (*).
Questioni di regolarizzazione: densità di C00 (Rn ) in Lp (Rn ); famiglia di molli…catori " ; supporto della convoluzione di due funzioni a supporto compatto;
derivate di " f con f 2 L1loc ; " f ! 0 uniformemente sui compatti se f è
3
continua (*); " f ! 0 in Lp (Rn ) se f 2 Lp (Rn ) (*), 1 p < 1: Corollario:
densità di C01 ( ) in Lp ( ) per 1
p < 1 (*EX). Separabilità di Lp per
1
p < 1. L non è separabile.
Riferimenti: [Bre], cap.4, §IV1, IV2, IV4; [Pata], cap.II, §1.8.
1.4
Operatori lineari continui
Generalità. Operatori lineari tra s.v.n.; condizioni equivalenti per la continuità
di un operatore lineare (limitatezza sulla sfera unitaria, continuità, continuità in
0). (*EX). Norma dell’operatore. Spazio L (X; Y ). Se Y è di Banach, L (X; Y )
è di Banach (*EX). Isomor…smi. Inclusioni continue; esempi. Inclusioni compatte, rilettura degli esempi precedenti (C 0; in C 0 ::., e contresempi: C 0
in L1 ( ) (EX*)). Teorema di prolungamento unico di un operatore lineare
continuo densamente de…nito a valori in un Banach (*EX usa anche BanachSteinhaus).
Alcuni risultati fondamentali sugli operatori lineari continui tra
spazi di Banach.
1. Il teorema di uniforme limitatezza (Banach-Steinhaus): X; Y spazi di
Banach, Ti 2 L (X; Y ) ; se supi kTi xk < 1 8x; allora supi kTi k < 1: Corollario:
continuità dell’operatore limite puntuale di una successione di operatori lineari
continui (*).
2. Il teorema della mappa aperta: X; Y spazi di Banach, T 2 L (X; Y )
suriettivo, allora T porta aperti in aperti. Corollario: X; Y spazi di Banach,
T 2 L (X; Y ) biunivoco, allora T 1 2 L (Y; X) (*).
3. Il teorema del gra…co chiuso: X; Y spazi di Banach, T : X ! Y lineare;
se il gra…co di T è chiuso, allora T è continuo.
1.5
Funzionali lineari continui
Generalità. Funzionali lineari continui su uno spazio normato. Spazio duale
X . E’sempre di Banach (*).
Esempi di funzionali su C 0 [a; b]: la valutazione in un punto, l’integrale
de…nito, l’integrale contro un’altra funzione continua, l’integrale con una misura
qualunque; su Lp ( ): integrale contro funzione Lq . Teoremi di rappresentazione: duale di Lp ; il duale di C 0 (K) è lo spazio delle misure di Borel con
segno, regolari.
Il teorema di Hahn-Banach e le sue conseguenze. Il problema di
estendere un funzionale de…nito su un sottospazio (cfr. col th. di prolungamento di operatori densamente de…niti -prolungamento per continuità-, o col
caso …nito dimensionale -prolungamento per via algebrica-): come dare un criterio generale?
Il teorema di Hahn-Banach: sia X s.v.n. e X0 ssp. di X; sia f un funzionale
lineare continuo su X0 ; allora f si può prolungare come funzionale lin. ct. su
X con la stessa norma.
4
Proprietà di separazione che seguono dal teorema di Hahn-Banach: esistenza
di un funzionale di norma unitaria che vale kxk in un x 6= 0 assegnato (*); calcolo
della norma di un punto attraverso le valutazioni dei funzionali (*); esistenza
di un funzionale che separa due punti distinti (*EX); esempio di funzionale su
L1 (a; b) che non si rappresenta mediante una funzione L1 (a; b) (estensione di
un funzionale di valutazione su C 0 [a; b] (*EX)).
Riferimenti: [Bre], capp.1, 2, 3.
giovedì 25 gennaio, 3 ore.
_______________________
Esistenza di un funzionale che separa un sottospazio chiuso da un punto
esterno ad esso [serve per dim. che ssp. chiuso di un ri‡essivo è ri‡essivo].
Doppio duale e ri‡essività. La mappa canonica. Isometria di X con
J (X) X . Spazi ri‡essivi. Esempio: Lp è ri‡essivo per 1 < p < 1. L1 non
è ri‡essivo (*). Th. Un sottospazio chiuso di uno spazio ri‡essivo è ri‡essivo
(*). Th. Se X è di Banach, X ri‡essivo, X ri‡essivo; conseguenza: L1 non
è ri‡essivo (*).
Convergenze deboli. De…nizione di convergenza debole. Relazione con
la forte (*EX). Unicità del limite (*). Limitatezza delle successioni convergenti
debolmente (*). Stima sulla norma del limite debole (*).
De…nizione di convergenza debole*. Relazione con la forte (*EX) e con la
debole (*). Se X è ri‡essivo, in X convergenza debole e debole* coincidono (*).
Unicità del limite (*EX). Limitatezza delle successioni debolmente* convergenti
in X , se X è di Banach (*EX). Stima sulla norma del limite debole, se X è di
Banach (*EX).
Risultati di compattezza per successioni in senso debole. Il Teorema
di Banach-Alaoglu: se X è Banach separabile, una successione limitata in X
ha una sottosuccessione deb* convergente. (*). Applicazione a X = Lp per
1 < p < 1 o L1 . In particolare, se X è ri‡essivo e separabile, una succ.
limitata in X ha una sottosucc. deb. conv. Per applicarlo a situazioni in cui
duale e preduale non sono ben caratterizzati, è utile anche il: Th. Se X è di
Banach e X è separabile, allora X è separabile (contresempio al viceversa: L1 ).
Corollario: Se X è Banach, separabile e ri‡essivo, una successione limitata ha
una sottosuccessione debolmente convergente (*).
Riferimenti. [Bre], cap. 3; [Pata], cap.II, §2.1, 2.2, §3.1-3.5, §3.4-3.5.
1.6
Teoria elementare degli Spazi di Hilbert
Spazi vettoriali con prodotto interno. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (*EX)
e norma hilbertiana. Uguaglianza del parallelogramma (*EX) e caratterizzazione delle norme hilbertiane. De…nizione di spazio di Hilbert. Esempi:
L2 ( ) ; `2 ; `2 (A) ; L2 ( ; d ). Continuità del prodotto scalare (*EX).
Teorema di proiezione su un chiuso convesso (*). Operatore proiettore su
un chiuso convesso (*). De…nizione di V ? per V sottoinsieme qualunque; è un
5
?
sottospazio chiuso (*EX); V
= V ? (*EX). De…nizione di somma ortogonale
V W . Rappresentazione unica (*). Teorema delle proiezioni: se V sottospazio
chiuso, H = V V ? (*).
Sistemi ortogonali e ortonormali; teorema di Pitagora (*EX); metodo di
Gram-Schmidt per mettere una base ortonormale in uno spazio di misura …nita
(*).
mercoledì 31 gennaio, 3 ore
____________________
Proiezione di un vettore su un sottospazio di dimensione …nita (con base
ortonormale) e disuguaglianza di Bessel (*). De…nizione di s.o.n.c.
Spazi di Hilbert separabile: th. di esistenza di un s.o.n.c. numerabile in
uno spazio di Hilbert separabile (*). Sviluppo in serie di Fourier, uguaglianza
di Perceval ed isomor…smo di di H con `2 indotto dalla trasformata di Fourier
(*).
Cenni agli spazi non separabili: esistenza di una base ortonormale e invarianza della sua cardinalità, risultati analoghi e isomor…smo di H con `2 (A).
Duale di uno spazio di Hilbert: teorema di rappresentazione di Riesz (*).
Uno spazio di Hilbert è ri‡essivo; conseguenze (compattezza debole per successioni). In uno spazio di Hilbert, convergenza debole + convergenza delle norme
implica convergenza in norma (EX*).
Riferimenti: [Bre], cap.5, V1, V2, V4; [Sal], cap.6, §1,2,3.
2
2.1
Parte B: spazi di Sobolev e strumenti funzionali per la formulazione debole di problemi differenziali
Spazi di Sobolev
Derivata debole D u di una funzione u 2 L1loc ( ): motivazione (integrazione
per parti di funzioni regolari in un dominio), de…nizione, la derivata classica è
derivata debole, esempi (jxj ; derivata prima e seconda), cenni alla nozione di
distribuzione e derivata distribuzionale.
De…nizione degli spazi di Sobolev e proprietà funzionali astratte.
De…nizione degli spazi W k;p ( ) per p 2 [1; 1]. Proprietà funzionali di W k;p ( )
(*): completezza, separabilità, ri‡essività per p opportuno; Hilbert per p =
2. (De…nizione alternativa di W k;p ( ) mediante la derivata distribuzionale).
Applicazione agli spazi di Sobolev della compattezza debole per successioni.
De…nizione degli spazi H k;p ( ) e teorema di Meyers-Serrin H k;p ( ) =
k;p
W ( ) per p < 1 (contresempio per p = 1; *EX). De…nizione di W0k;p ( ).
Simboli H 1 ; H01 ; H k ; H0k . Descrizione dello spazio duale di W k;p ( ) e di W0k;p ( )
6
0
(*). Spazi W k;p ( ) ;in particolare H 1 ( ). Teorema di caratterizzazione dis0
tribuzionale degli elementi di W 1;p ( ) (*). [Ziemer], pp.88-89
Proprietà di base delle funzioni in spazi di Sobolev. Caratterizzazione degli spazi di Sobolev in una variabile: le funzioni W 1;p (I) sono funzioni AC con derivata classica in Lp (e conseguenze per W k;p (I) ; W0k;p (I)).
Caratterizzazione di W 1;1 (I) e H 1;1 (I) (*EX). Caratterizzazione analoga in
più dimensioni, e conseguenza sul tipo di discontinuità concessa alle funzioni in
W 1;p ( ).
[Ziemer], pp.44 sgg.
I problemi di approssimazione con funzioni regolari; risultati tipo: approssimazione con funzioni C 1 ( ) ; o C 1
; o C01 (Rn ). Lemma: se u 2 W 1;p ( ) ; 2
1
1;p
n
C0 ( ) ; allora u 2 W (R ) e (u )xj = uxj + u xj (*EX); Lemma: se
f 2 L1 (Rn ) ; g 2 W 1;p (Rn ), allora f g 2 W 1;p (Rn ) e (f g)xj = f gxj
(*EX).
venerdì 2 febbraio, 3 ore
_________________
Il Th. di Friedrichs di approssimazione di funzioni W 1;p ( ) con funzioni
1;p
1
C0 (Rn ) in senso Wloc
( ). (*).
Conseguenze: se u 2 W 1;p ( ) e sprtu b ; allora u 2 W01;p ( ) (*EX); se u 2
W01;p ( ) ; la sua prolungata a zero appartiene a W 1;p (Rn ) (*EX); W 1;p (Rn ) =
W01;p (Rn ) (*EX).
Calcolo con le derivate (*): derivata del prodotto di due funzioni W 1;p \
L1 , derivata della composizione di funzione C 1 (o Lipschitziana) con una funzione W 1;p (* nel caso C 1 ); trasformazioni di coordinate bilipschitziane, trasformazione dell’area; composizione di una funzione W 1;p con una mappa bilipschitziana (*).
Th. di caratterizzazioni alternative di W 1;p ( ), mediante le traslate o mediante funzionali lineari continui, per 1 < p
1 (*). Osservazioni varie: se
è connesso, u 2 W 1;p ( ) e ru = 0 q.o, allora u =costante (*). Se è lipschitziano e u 2 W 1;1 ( ) ; allora u è lipschitziana. (*EX). Se p = 1 è ancora
vero che 1=)2()3 e 2 o 3 caratterizzano BV ( ). Contresempio di funzione
per cui vale 2, 3 ma non 1 (per p = 1) (*EX). Metodo dei rapporti incrementali.
Teoremi di estensione e di traccia. A. Il caso k = 1: Teorema: se
ha frontiera limitata e lipschitziana (o è un semispazio), esiste un operatore di
prolungamento T : W 1;p ( ) ! W 1;p (Rn ); se
è limitato si può prendere T
a valori in W01;p ( 0 ). Idea della dimostrazione: lemma di prolungamento per
ri‡essione pari dal semispazio; lemma sulle partizioni dell’unità; linea della dim.
del th. con questi 2 ingredienti.
Osservazioni sul ruolo delle ipotesi su : regolarità del bordo e limitatezza
della frontiera. Contresempio di funzione W 1;1 ( ) che non si prolunga a una
funzione W 1;1 (Rn ) (con non lipschitziano).
Operatore di traccia 0 : W 1;p Rn+ ! Lp Rn 1 (*). Enunciato analogo
per un dominio limitato lipschitziano: (grazie al teorema di prolungamento),
7
esiste 0 : W 1;p ( ) ! Lp (@ ) ; inoltre ker 0 = W01;p ( ).
Teoremi di estensione e di traccia. B. Il caso k qualunque: Generalizzazione del teorema di prolungamento al caso W k;p ( ) su un dominio di classe
C k (o C k 1;1 ) con bordo limitato (o sul semispazio). Con tecniche diverse, di
integrali singolari, è stato dimostrato che ogni dominio Lipschitziano ammette
estensione di W k;p (v. [Ada] p.83, [Ziemer], pp.63-64).
Teorema di traccia per W k;p ( ): se è un dominio limitato di classe C k+1
k
(o C k;1 ), esiste : W k;p ( ) ! Lp (@ ) il cui nucleo è W0k;p ( ) ; 0 u = u=@ ;
@u
1 u = @ =@ , ecc.
Puntualizzazione sul rapporto tra teoremi di estensione e di traccia: si prova
l’estensione per k = 1 e poi la traccia per k = 1; quindi l’estensione per k = 2 e
poi la traccia per k = 2 ecc.
[Bre], pp.313-315.
martedì 6 febbraio, 3 ore
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Complementi su tracce e prolungamenti.
Dimostrazione del teorema di traccia per il semispazio.
Conseguenze dei teoremi di prolungamento sui risultati si approssimazione
con funzioni regolari: miglioramento del th. di Friedrichs per domini regolari: approssimazione di una funzione W 1;p ( ) con funzioni C01 (Rn ) in norma
W 1;p ( ) (*EX). Impossibilità di approssimare una funzione W k;p ( ) con una
se non ha la proprietà di segmento (contresempio), ed enunfunzione C 1
ciato del risultato positivo. (v. [Ada]).
[Bre], pp.249-257.
Conseguenza dei teoremi di traccia: formule di Green per funzioni H 1 e H 2
(*).
Spazi di tracce. Motivazione: ricerca dello spazio in cui assegnare il dato al
bordo di un problema di Dirichlet. Il caso p = 2 nel semispazio. De…nizione
degli spazi di Sobolev frazionari H s;2 (Rn ) ; via trasformata di Fourier. Caratterizzazione dello spazio delle tracce di funzioni H 1 Rn+ : spazio H 1=2 Rn 1 .
Spazio di tracce H 1=2 (@ ) (de…nito nel caso Rn 1 via trasformata di Fourier,
e poi con carta locale). Generalizzazione con p qualunque: altra de…nizione di
W s;p (Rn ) ; W s;p di una varietà, teorema di traccia 0 : W 1;p ( ) ! W 1 1=p;p (@ ) ;
norma in questo spazio.
[Sal], pp. 319 sgg., [Kes], pp.95-103
Teoremi di immersione di Sobolev e conseguenze. Enunciato dei
teoremi di immersione nel caso W 1;p (Rn ). Osservazioni sugli enunciati. Conseguenza: teoremi di immersione per funzioni W01;p ( ) con dominio qualunque;
immersione di W01;p ( ) con dominio limitato: disuguaglianza di Poincaré e
norma equivalente in W01;p ( ) per p < n; teoremi di immersione per funzioni
W 1;p ( ) con dominio C 0;1 . Contresempio di non immersione di W 1;1 ( ) in
Lp ( ) per irregolare.
Dimostrazione dell’immersione di W 1;p (Rn ) per p < n (*) e dell’immersione
per p > n (*).
8
lunedì 12 febbraio, 3 ore
____________________
Teoremi di immersione per spazi W k;p (Rn ): enunciato, idea della dimostrazione
iterativa, osservazioni. Riformulazione del risultato per W0k;p ( ) e per W k;p ( )
con
dominio di classe C k 1;1 . Osservazioni: massima regolarità in spazi di
Sobolev implica massima regolarità classica.
Teoremi di immersione compatta per spazi di Sobolev W01;p ( ) per
limitato. Il caso p > n: l’immersione compatta in uno spazio C 0; segue
dall’immersione continua in C 0; , e dai risultati di compattezza che seguono da
Ascoli-Arzelà.
Richiami su: insieme relativamente compatto e precompatto in uno spazio
metrico. Se X è di Banach, E X è relativamente compatto se e solo se è precompatto se e solo se ogni successione in E ha una sottosuccessione convergente
in X (*EX). Dimostrazione dell’immersione compatta di W01;p ( ) in Lq ( )
(*): i passi: dimostrazione dell’immersione compatta di W01;1 ( ) in L1 ( ) ;
mostrando che un insieme di funzioni C01 limitato in W01;1 ( ) è precompatto
in L1 ; disuguaglianza di interpolazione per spazi Lp ; deduzione dell’inclusione
compatta nel caso generale dall’inclusione compatta nel caso base, più disuguaglianza di spazi Lp e l’immersione di Sobolev.
Estensioni dell’immersione compatta a spazi W 1;p ( ) per domini di
estensione, e a spazi W k;p ( ). (Vedi Adams p.144, Salsa p.330).
[Ziemer], pp.61 sgg.
Conseguenze dei teoremi di compattezza:
Disuguaglianze di Poincaré. Se è un dominio limitato lipschitziano, W0 è
un sottospazio chiuso di W 1;p ( ) (1 < p < 1) tale che (u 2 W0 e u =costante
implica u = 0), allora kukp
c krukp : (Esempi di W0 : W01;p ( ) ; W0;1;p ( ) ;
funzioni a media nulla). (La dimostrazione, astratta, usa la compattezza debole
per successioni di W 1;p ( ) per 1 < p < 1; e l’immersione compatta di W 1;p ( )
in Lp ( ) per
limitato lipschitziano; si usa anche il Lemma: in uno spazio
vettoriale normato, sottoinsiemi chiusi sono chiusi anche per la convergenza
debole). Corollario: se
è come sopra e u 2 W 1;p ( ) ; allora ku ukp
c krukp dove u è la media. (Per le disuguaglianze di Poincaré, vedi [Ziemer],
cap. 4).
Disuguaglianze di interpolazione per derivate di ordine intermedio. Seminorme jujj;p; . Teorema. Per ogni dominio
lipschitziano si ha, per ogni
k;p
u 2 W ( ) ; 1 p < 1; 1 < j < k, jujj;p;
c" jujk;p; + c" j=(m j) juj0;p; :
Basta provarlo per m = 2; j = 1; e poi segue per induzione (*EX: dimostrare
il passaggio da m = 2; j = 1 a m = 3; j = 1 o 2). Vediamo una dimostrazione
che usa le immersioni compatte (e quindi vale nell’ipotesi di
limitato, e inoltre non dà il valore esatto della costante c (")). Questa dimostrazione è stata
incorniciata in una tecnica astratta: Lemma di Ehrling: se X b H
Y sono
spazi di Banach, allora kvkH " kvkX + c (") kvkY . (*EX).
9
2.2
Formulazione debole di problemi ai limiti per operatori ellittici e problemi variazionali astratti in spazi di
Hilbert
Formulazione forte e debole di problemi ai limiti per operatori ellittici. Motivazione: 1) Formulazione di problemi ai limiti per operatori ellittici
in spazi di Sobolev W 2;p ( ): soluzioni forti. 2) Il caso p = 2: formulazione
integrale equivalente per i medesimi problemi. 3) Formulazione debole (ipotesi
minime in cui la formulazione integrale ha senso). 4) Se u 2 H 2 è soluzione
debole, allora è soluzione forte. Esempi guida:
u + cu = f con condizione di
Dirichlet zero o non zero; idem con condizione di Neumann non zero.
mercoledì 14 febbraio, 3 ore
________________
Problemi variazionali astratti in spazi di Hilbert. Forme bilineari
su spazi di Hilbert. Forme bilineari continue, simmetriche, coercive. Problema
variazionale astratto in uno spazio di Hilbert. Veri…ca che in certi esempiguida la formulazione debole del problema di PDE equivale ad un problema
variazionale astratto in H = H 1 ( ) o H01 ( ); esempi: 1) Dirichlet omogeneo
per
u + cu = f con c (x) 0 o Neumann non omogeneo con c (x) c0 >
0: forma continua, coerciva, simmetrica. 2) Dirichlet omogeneo per operatore
uniformemente ellittico completo con c (x)
c0 > 0, e termini di grado uno
piccoli: forma continua, non simmetrica, coerciva; 3) Dirichlet omogeneo per
operatore uniformemente ellittico completo con c (x)
0, e termini di grado
uno qualsiasi: forma continua,
non
simmetrica,
non
coerciva
ma debolmente
R
coerciva, ossia a (u; v) +
uv è coerciva per grande; oppure: problema di
Neumann non omogeneo per
. Sono 3 situazioni tipo di 3 livelli crescenti di
di¢ coltà, che richiedono strumenti diversi. Se la forma bilineare è continua, e
inoltre:
1. è coerciva e simmetrica: Teorema di rappresentazione di Riesz
2. è coerciva ma non simmetrica: Teorema di Lax-Milgram (oltre a 1)
3. non è coerciva (ed è o non è simmetrica): Teorema dell’alternativa di
Fredholm (oltre a 1 o 2).
Caso 1. Forme bilineari continue, coercive e simmetriche. Una
forma bilineare simmetrica e coerciva de…nisce un prodotto scalare, la cui norma
è equivalente a quella di partenza, se la forma è anche continua (*). Teorema:
se la forma bilineare è simmetrica, continua e coerciva il problema variazionale
astratto è ben posto. (*). Esempio di applicazione al problema di Dirichlet omogeneo o non omogeneo (*EX), per
u + cu = f . Interpretazione variazionale:
Teorema: nelle stesse ipotesi sulla forma bilineare, u risolve il problema variazionale astratto a (u; v) = hv; F i per ogni v 2 H se e solo se u minimizza il
funzionale J (u) = 21 a (u; u) hu; F i : (*).
Caso 2. Forme bilineari continue, coercive (ma non simmetriche).
Teorema di Lax-Milgram: se a è continua e coerciva, il problema variazionale
astratto corrispondente è ben posto. (*). Esempio di applicazione al problema
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di Dirichlet omogeneo per un operatore ellittico completo con termine di ordine
zero discosto da zero a termini di ordine uno piccoli.
Approssimazione e metodo di Galerkin. Impostazione del metodo di
Galerkin: proiezione del problema variazionale astratto su una successione di
sottospazi Vk …nito dimensionali, equivalenza del problema proiettato su Vk alla
risoluzione di un sistema algebrico n n, determinato se la forma bilineare è
coerciva. Relazione tra soluzione uk del problema proiettato e soluzione esatta
u: Teorema di Céa: sotto le ipotesi del Th. di Lax-Milgram, ku uk k
M
inf v2Vk ku vk : (*). Corollario: convergenza del metodo di Galerkin. (*).
0
Esempio di successione di sottospazi Vk : spazi degli elementi …niti lineari su un
dominio poligonale, con una triangolazione di passo hk ! 0. (v. anche: [Quart],
Cap.3).
2.3
Teoria di Fredholm in spazi di Hilbert e applicazioni
a problemi ellittici
Motivazione: formulazione debole del problema di Dirichlet omogeneo per
un operatore uniformemente ellittico completo. Veri…ca della coercività debole
della forma bilineare. Costruzione di un operatore compatto K : H01 ( ) !
H01 ( ) tale che il problema di partenza sia equivalente a risolvere un’equazione
(I K) u = f in H01 ( ) ; per u 2 H01 ( ) :
venerdì 16 febbraio, 3 ore
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Teoria di Fredholm
Aggiunto L di un operatore L 2 L (H1 ; H2 ) con H1 ; H2 spazi di Hilbert.
Proposizione: Dalla relazione (x; L y) = (Lx; y) risulta ben de…nito l’operatore
L 2 L (H2 ; H1 ) ; e kL k = kL k (*). Proprietà elementari dell’aggiunto:
1
(L1 L2 ) = L2 L1 ; L 1 = (L ) ; (L1 + L2 ) = L1 + L2 ; L = L (*EX).
De…nizione di operatore autoaggiunto, nel caso L 2 L (H) : L 2 L (H) è autoaggiunto se e solo se (x; Ly) = (Lx; y) per ogni x; y 2 H; cioè se e solo se L è
?
simmetrico (*). Relazioni su rango e nucleo di un operatore: N (L) = R (L ) ;
?
R (L) = N (L ) (*).
De…nizione di operatore L 2 L (H1 ; H2 ) compatto. La composizione di un
operatore continuo e uno compatto è compatto (*EX); se L 2 L (H1 ; H2 ) e
dim R (L) < 1; allora L è compatto. L’aggiunto di un operatore compatto è
compatto. (*).
Teorema dell’alternativa di Fredholm (*). Sia K : H ! H compatto, allora:
(1) N (I K) ha dimensione …nita; (2) R (I K) è chiuso, e R (I K) =
?
N (I K ) ; (3) N (I K) = f0g () R (I K) = H; (4) dim N (I K) =
dim N (I K ) :
Cenni alla teoria di Fredholm in spazi di Banach: de…nizione dell’aggiunto
e delle relazioni di “ortogonalità”, enunciati dei teoremi.
(v. [Sal], pp. 264-6, [Bre], p.148).
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Alternativa per problemi variazionali astratti con forma bilineare
non coerciva
Applicazione dell’alternativa di Fredholm ai problemi variazionali astratti:
terna Hilbertiana V; H; V con V b H (inclusione compatta e densa). Teorema
(*). Sia V; H; V una terna Hilbertiana e a una forma bilineare continua su
H; debolmente coerciva, ossia tale che a ( ; ) + ( ; )H sia coerciva su V per
abbastanza grande. Allora per il problema a (u; v) = hv; F i 8v 2 V valgono le
seguenti: (1) il problema ha soluzione 8F 2 V se e solo se il problema omogeneo
a (u; v) = 0 8v 2 V ha solo la soluzione banale; (2) il problema ha soluzione
per un certo F 2 V assegnato se e solo se hw; F i = 0 per ogni w : a (v; w) = 0
8v 2 V ; (3) lo spazio delle soluzioni del problema omogeneo a (u; v) = 0 8v 2 V
e quello delle soluzioni del problema omogeneo aggiunto a (v; u) = 0 8v 2 V
hanno la stessa dimensione, …nita.
(v. [Sal], pp.267-8).
Applicazioni ai problemi ellittici non coercivi. Il problema di Neumann non coercivo: condizione di risolubilità come condizione di compatibilità tra i dati (*). Il problema di Dirichlet omogeneo per l’operatore ellittico completo: esistenza dall’unicità, ottenuta da principi di massimo. (*).
Cenno ai principi di massimo debole: De…nizione di sopra e sottosoluzione
(Lu 0; Lu 0) ; Lemma: se u; v 2 H 1 ( ) ; allora max (u; v) 2 H 1 ( ) ; in particolare u+ ; u 2 H 1 ( ) (*EX); de…nizione di “u 0 su @ ” per u 2 H 1 ( ) e
non necessariamente regolare. Principio di massimo debole: per l’operatore
L=
(aij uxi )xj + ci uxi + du
con d (x) 0 vale il principio di massimo: u 2 H 1 ( ), Lu 0 in ; u 0 su
@ =) u 0 in (idem col ). Conseguenza: unicità (e quindi esistenza) della
soluzione sotto queste ipotesi. Il caso dell’operatore completo: la condizione
d 0 va sostituita con d (bi )xi 0 in .
(v. [Sal] p.360 sgg., [Bre] pp.279-287, [GT] pp. 177-182).
Lunedì 19 febbraio, 3 ore
___________________
2.4
Strumenti funzionali per la formulazione debole di
problemi di evoluzione astratti
Motivazione: problema di Cauchy-Dirichlet per l’equazione del calore su un
dominio cilindrico. Inadeguatezza degli spazi di Sobolev standard per inquadrare
il problema. Opportunità di avere spazi “dipendenti dal tempo”.
Integrale di Bochner. Richiami sul ruolo delle funzioni semplici nella
de…nizione di misurabilità e integrabilità nella teoria di Lebesgue: f : X ! R è
misurabile se e solo se è limite q.o. di una successione di funzioni semplici.
Funzioni a valori vettoriali (f : I ! X; di Banach): de…nizione di funzione
semplice, funzione misurabile. Se f : I ! X è misurabile anche kf k : I ! R
lo è (*). Nozione di funzione debolmente misurabile. Teorema di Pettis: se
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X è separabile, f : I ! X è misurabile se e solo se è debolmente misurabile.
De…nizione di integrale (di Bochner) di una funzione a valori vettoriali. La
de…nizione è ben posta (*). Criterio più operativo per decidere l’integrabilità:
Teorema
di Bochner:
f è integrabile
se e solo
R
R
R
R se kf k lo è, e in questo caso
f
(t)
dt
kf
(t)k
dt;
e
;
f
(t)
dt
=
h ; f (t)i dt 8 2 X :
I
I
I
I
Spazi di funzioni a valori vettoriali: gli spazi Lp (I; X). De…nizione
di Lp (I; X) per p 2 [1; 1] : Proprietà funzionali elementari: Lp (I; X) è di
Banach per ogni p 2 [1; 1] (*EX), di Hilbert se X è di Hilbert e p = 2; se I è
limitato, Lp (I; X) Lq (I; X) per q < p (*); se X Y con inclusione continua,
L1 (I; X)
L1 (I; Y ) (*); se f 2 Lp (I; X) e g 2 Lq (I; X ) (p; q coniugati),
R
allora I hf (t) ; g (t)iX;X dt
kf kLp (I;X) kgkLq (I;X ) (*). Teorema: se p 2
[1; 1) e X è ri‡essivo oppure X è separabile, (Lp (I; X)) = Lq (I; X ) : Inoltre,
se X è ri‡essivo e p 2 (1; 1) ; Lp (I; X) è ri‡essivo.
Spazi di funzioni regolari. Lo spazio C 0 I; X ; derivata di una funzione
f : I ! X; spazio D (I; X) = C01 (I; X). Teorema: per p 2 [1; 1); D (I; X) è
denso in Lp (I; X) ; se inoltre X è separabile, Lp (I; X) è separabile.
Spazi di Sobolev a valori vettoriali. De…nizione di derivata debole
per f 2 L1loc (I; X) : De…nizione degli spazi W k;p (I; X) ; W0k;p (I; X). Proprietà funzionali: gli spazi W k;p (I; X) ; W0k;p (I; X) sono di Banach; se p = 2
e X è di Hilbert, sono di Hilbert; se X è ri‡essivo e p 2 (1; 1) ; sono riflessivi; in particolare, se X è ri‡essivo, H01 (I; X) ' H 1 (I; X ) : Proprietà
di continuità: Teorema: se f 2 W 1;p (I; X) ; allora f è assolutamente conRt
tinua, derivabile q.o. con derivata integrabile, e f (t) = f (t0 ) + t0 f 0 (s) ds:
Corollario: W 1;p (I; X)
C 0 I; X ; se I è limitato e p > 1, kf kC 0 (I;X)
c (jIj) kf kW 1;p (I;X) (*), inoltre W 1;p (I; X) C 0; I; X con = 1 1=p: (*).
Densità: se I limitato e p < 1; C 1 I; X è denso in W k;p (I; X) ; se X è separabile, anche W k;p (I; X) è separabile. Teorema. Sia V
H
V una terna
Hilbertiana, allora L2 (I; V ) \ H 1 (I; V ) C I; H :
Formulazione debole del problema di Cauchy-Dirichlet per l’equazione
del calore. Scrittura alternativa del termine hv; ut i : Cenni al metodo di FaedoGalerkin: successione di problemi approssimanti e sua soluzione; metodo delle
stime a priori (dell’energia) e sottosuccessione convergente debolmente; esistenza
della soluzione; unicità; stabilità.
(v. [Sal], pp.331-4 e 382-386; [GP], pp.43-9, [CH], cap.1, §1.4)
Mercoledì 21 febbraio, 3 ore
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References
[Ada]
R. A. Adams: Sobolev Spaces. Academic Press.
[Bre]
H. Brezis: Analisi Funzionale. Teoria e Applicazioni. Liguori Ed.
[CH]
T. Cazenave, A. Haraux: An Introduction to Semilinear Evolution
Equations. Oxford Science Publications.
[GT]
D. Gilbarg, N.S. Trudinger: Elliptic Partial Di¤erential Equations of
Second Order. Springer.
[GP]
M. Grasselli, V. Pata: dispensa “Appunti del corso di Equazioni di
Evoluzione. Parte I”.
[Kes]
S. Kesavan: Topics in functional analysis and applications. John Wiley
& Sons.
[Kry]
N. Krylov. Lectures on Elliptic and Parabolic Equations in Hölder
Spaces.
[Pata]
V.
Pata:
dispensa
“Analisi
Reale
e
Funzionale”,
Parte II e Parte III. E’ scaricabile dalla pagina web:
http://web.mate.polimi.it/viste/pagina_personale/pagina_personale.php?id=121
[Quart] A. Quarteroni:
Springer.
Modellistica numerica per problemi di¤erenziali.
[Rud1]
W. Rudin: Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill.
[Rud2]
W. Rudin: Real and complex analysis / Analisi reale e complessa
(esiste la versione sia inglese che italiana).
[Sal]
S. Salsa: Equazioni a derivate parziali. Springer.
[Ziemer] W. P. Ziemer: Weakly Di¤erentiable Functions. Springer.
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