Linguaggi del I ordine - semantica Per dare significato ad una

Linguaggi del I ordine - semantica
Per dare significato ad una formula del I ordine bisogna specificare
• Un dominio
• Un’interpretazione
• Un assegnamento
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Linguaggi del I ordine - semantica (ctnd.1)
Un modello per un linguaggio del I ordine L è una coppia
M = (D, I) dove
• D è un insieme non vuoto chiamato dominio
• I è una mappa chiamata interpretazione, che associa
– Ad ogni simbolo funzionale 0-ario c ∈ F , un elemento cI ∈ D
– Ad ogni simbolo funzionale n-ario f ∈ F , una funzione n-aria
f I : Dn → D
– Ad ogni simbolo relazionale n-ario P ∈ R, una relazione
n-aria P I ⊆ Dn
Un assegnamento in un modello M = (D, I) è una mappa A
dall’insieme delle variabili all’insieme D
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Linguaggi del I ordine - semantica (ctnd.2)
Valutazione dei termini: Sia M = (D, I) ed A. Ad ogni
termine t associamo un valore tI,A come segue
• Per un simbolo funzionale 0-ario c, cI,A = cI
• Per una variabile x, xI,A = xA
• Per un simbolo funzionale n-ario f ,
I,A
I,A
[f (t1, . . . , tn)]I,A = f I (t1 , . . . , tn )
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Linguaggi del I ordine - semantica (ctnd.3)
Valutazione delle formule: Sia M = (D, I) ed A. Ad ogni
formula ϕ associamo un valore di verità ϕI,A come segue
I,A
I,A
I,A
• Caso atomico, [P (t1, . . . , tn)]
= t sse ht1 , . . . , tn i ∈ P I
• [¬ϕ]I,A = ¬ϕI,A, [ϕ ◦ ψ]I,A = ϕI,A ◦ ψ I,A
• [(∀x)ϕ]I,A = t sse ϕI,B , per ogni x-variante di A, B
• [(∃x)ϕ]I,A = t sse ϕI,B , per qualche x-variante di A, B
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Soddisfacibilità di una formula del I ordine
• Una formula ϕ è soddisfacibile in M = (D, I) se esiste qualche
assegnamento A tale che ϕI,A = t
• Una formula ϕ è vera in M = (D, I) se per tutti gli
assegnamenti A, ϕI,A = t
• Una formula ϕ è soddisfacibile se esiste un qualche modello in
cui è soddisfacibile
• Una formula ϕ è valida se è vera in tutti i modelli del suo
linguaggio
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Sostituzioni e assegnamenti
• Proprietà 1. Sia L = (F, R) un linguaggio del primo ordine, Φ
una formula e t un termine chiuso in L, x una variabile in Var .
Sia inoltre M = (D, I) un modello per L ed A : Var → D un
assegnamento per M tale che xA = tI . Allora
ΦI,A = [Φ{x/t}]I,A = [Φ{x/t}]I,B
per ogni B x-variante di A.
• Proprietà 2. Sia L = (F, R) un linguaggio del primo ordine, Φ
una formula in L e σ una sostituzione che è libera per Φ. Inoltre
sia M = (D, I) un modello per L ed A un assegnamento per
M . Definiamo un assegnamento nuovo B ponendo, per ogni
variabile v, v B = (vσ)I,A. Allora ΦI,B = (Φσ)I,A.
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Domini e modelli di Herbrand
• Domini di Herbrand: costituiti dai termini chiusi del
linguaggio. D = ClTerm(L)
• Modelli di Herbrand:
– D = ClTerm(L)
– per tutti i termini t ∈ ClTerm(L), tI = t
• Proprietà 1: Sia M = (D, I) un modello di Herbrand per il
linguaggio L.
a. per un termine t di L, non necessariamente chiuso,
tI,A = (tA)I
b. per una formula Φ di L, ΦI,A = (ΦA)I
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Domini e modelli di Herbrand
• Proprietà 2: Sia Φ una formula di un linguaggio L,
M = (D, I) un modello di Herbrand per L
1. (∀x)Φ è vera in M ⇔ ∀d ∈ D Φ{x/d} è vera in M ,
2. Un enunciato (∃x)Φ è vero in M ⇔ ∃d ∈ D Φ{x/d} è vera
in M .
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Notazione uniforme per le formule quantificate
Chiamiamo
• le formule quantificate esistenzialmente δ-formule
• le formule quantificate universalmente γ-formule
δ
δ0
(∃x)ϕ(x) ϕ(x)
¬(∀x)ϕ(x) ¬ϕ(x)
γ
γ0
(∀x)ϕ(x) ϕ(x)
¬(∃x)ϕ(x) ¬ϕ(x)
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Alcune proprietà delle formule quantificate
Lemma
Sia S un insieme di enunciati, siano γ e δ due enunciati. Allora
valgono i seguenti fatti:
• Se S ∪ {γ} è soddisfacibile, allora S ∪ {γ, γ0(t)} è
soddisfacibile, per ogni t ∈ ClTerm(L),
• Se S ∪ {δ} è soddisfacibile, allora S ∪ {δ, δ0(p)} è
soddisfacibile, per qualche p costante nuova.
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Principio di induzione strutturale
La proprietà Q vale per ogni formula di un linguaggio L se
• Caso base: ogni formula atomica di L e la sua negazione godono della
proprietà Q
• Passi di induzione:
– Se X gode della proprietà Q anche ¬¬X gode della proprietà Q
– Se α1 e α2 godono della proprietà Q anche α gode della proprietà Q
– Se β1 e β2 godono della proprietà Q anche β gode della proprietà Q
– Se γ0(t) gode della proprietà Q per ogni termine t, allora γ gode della
proprietà Q
– Se δ0(t) gode della proprietà Q per ogni termine t, allora δ gode della
proprietà Q
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Principio di ricorsione strutturale
Esiste una ed una sola funzione f , definita sull’insieme di formule
di L tale che
• Caso base: f (X) = hat(X), f (¬X) = hat(¬X), con
hat : Atomic ∪ ¬Atomic → D
• Passi di induzione:
– f (¬¬X) = h¬¬(f (X)), h¬¬ : D → D
– f (α) = hα(f (α1), f (α2)), hα : D × D → D
– f (β) = hβ (f (β1), f (β2)), hβ : D × D → D
– f (γ) = hγ ({(t, f (γ0(t))) : t ∈ Terms L}),
hγ : DTerms L → D
– f (δ) = hδ ({(t, f (δ0(t))) : t ∈ Terms L}),
hδ : DTerms L → D
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Insieme di Hintikka per la logica del I ordine
Sia L un linguaggio del I ordine. Un insieme H di enunciati di L
viene detto un insieme di Hintikka per la logica del I ordine se è un
insieme di enunciati tale che:
• R(t1, . . . , tn), ¬R(t1, . . . , tn) non stanno entrambi in H
• ¬⊤ ∈
/ H, ⊥ ∈
/H
• ¬¬Z ∈ H ⇒ Z ∈ H
• α ∈ H ⇒ α1 , α2 ∈ H
• β ∈ H ⇒ β1 ∈ H oppure β2 ∈ H
• γ ∈ H ⇒ γ0(t) ∈ H per ogni t chiuso del linguaggio
• δ ∈ H ⇒ δ0(t) ∈ H per qualche t chiuso del linguaggio
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Lemma di Hintikka per la logica del I ordine
Sia L un linguaggio della logica del I ordine, H un insieme di
Hintikka su L, allora H è soddisfacibile.
Per dimostrare questo teorema costruiamo un opportuno modello
di Herbrand. Supporremo che l’insieme dei termini chiusi del
linguaggio, ClTerms L, sia non vuoto.
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Proprietà di consistenza del primo ordine
Sia C un insieme di insiemi di enunciati di Lpar . Diciamo che C è
una proprietà di consistenza del primo ordine rispetto ad L se, per
ogni S ∈ C
• R(t1, . . . , tn), ¬R(t1, . . . , tn) non stanno entrambi in S
• ¬⊤ ∈
/ S, ⊥ ∈
/S
• ¬¬Z ∈ S ⇒ S ∪ {Z} ∈ C
• α ∈ S ⇒ S ∪ {α1, α2} ∈ C
• β ∈ S ⇒ S ∪ {β1} ∈ C oppure S ∪ {β2} ∈ C
• γ ∈ S ⇒ S ∪ {γ0(t)} ∈ C per ogni t chiuso in Lpar
• δ ∈ S ⇒ S ∪ {δ0(p)} ∈ C per qualche p in par
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Teorema di esistenza di un modello per la logica del I ordine
Se C è una proprietà di consistenza del I ordine rispetto ad L, S è
un insieme di enunciati di L, ed S ∈ C, allora S è soddisfacibile;
di fatto S è soddisfacibile in un modello di Herband di Lpar .
Teorema di compattezza per la logica del I ordine
Sia S un insieme di enunciati di L, sia S finitamente soddisfacibile.
Allora S è soddisfacibile in un modello di Herbrand di Lpar .
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Teorema di Löwenheim-Skolem
Sia S un insieme di enunciati di L, S soddisfacibile, allora S è
soddisfacibile in un modello numerabile.
Teorema di Herbrand
Sia S un insieme di enunciati di L. S è soddisfacibile se e solo se
è soddisfacibile in un modello di Herbrand di Lpar .
Lemma
Sia X un enunciato di L. X è valido se e solo se è vero in ogni
modello di Herbrand di Lpar .
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Regole di espansione per tableaux al I ordine
¬⊤
⊥
¬⊥
⊤
β
β1 | β2
¬¬Z
Z
δ
δ0(p)
α
α1
α2
γ
γ0(t)
• p è un parametro nuovo per il ramo
• t è un termine chiuso del linguaggio (include anche i parametri)
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Metodo dei tableaux per il I ordine
• Tutte le definizioni date per i tableaux proposizionali (ramo
soddisfacibile, tableau soddisfacibile, ramo chiuso, tableau
chiuso) si ripetono in maniera analoga per la logica del I ordine.
• Come nel caso proposizionale non è richiesta la chiusura
atomica. Tuttavia, di fatto, la chiusura viene eseguita a livello
atomico.
• La procedura di dimostrazione dei tableaux al I ordine non è
una procedura di decisione.
• La sorgente di difficoltà è la γ-regola.
• Possiamo introdurre il vincolo di strettezza per tutte le regole
tranne per la γ (perchè farebbe perdere la completezza)
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Regole di espansione per la risoluzione al I ordine
¬⊥
⊤
¬⊤
⊥
β
β1
β2
¬¬Z
Z
δ
δ0(p)
α
α1 | α2
γ
γ0(t)
• p è un parametro nuovo per l’espansione
• t è un termine chiuso del linguaggio (include anche i parametri)
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Risoluzione (ground) al I ordine
• La regola di risoluzione (ground) al I ordine è uguale a quella
proposizionale. Infatti, poiché non vi sono variabili, non viene
usata l’unificazione.
• Tutte le definizioni viste per il caso proposizionale (espansione
mediante risoluzione, espansione chiusa, espansione
soddisfacibile,...) valgono anche al I ordine.
• X è un teorema del sistema di risoluzione al I ordine (⊢fr X) se
esiste un’espansione chiusa per {¬X}. Tale espansione si dirà
una dimostrazione di X.
• Indichiamo con {X :⊢fr X} l’insieme dei teoremi del sistema di
risoluzione al I ordine.
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Assiomi di un sistema di Hilbert per il I ordine
1. X ⊃ (Y ⊃ X)
2. (X ⊃ (Y ⊃ Z)) ⊃ ((X ⊃ Y ) ⊃ (X ⊃ Z))
3. ⊥ ⊃ X
4. X ⊃ ⊤
5. ¬¬X ⊃ X
6. X ⊃ (¬X ⊃ Y )
7. α ⊃ α1
8. α ⊃ α2
9. (β1 ⊃ X) ⊃ ((β2 ⊃ X) ⊃ (β ⊃ X))
10. γ ⊃ γ0(t), per ogni t chiuso del linguaggio con i parametri
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