Esercizi derivate

DERIVATE: ESERCIZI
Agg 2012 - prof .Paola Barberis
1- DERIVATA del PRODOTTO di una costante K per f(X)
DERIVATA della SOMMA DI DUE FUNZIONI regole
y = ki f (x) ! y ' = ki f '(x)
y = f (x) + g(x) ! y ' = f '(x) + g '(x)
1a) y = x 3 + x 2 ! x + 10 " y ' = 3x 2 + 2x ! 1 + 0
1b) y = 4x 6 + 5x 3 ! 6x ! 13 " y' = 4i6x 5 + 5i3x 2 ! 6i1 + 0
= 24x 5 + 15x 2 ! 6
1c) y = 3x ! 5 ln x + 4 x + 8
2
* razionalizzo
x
1
1
5
2
y ' = 3i1 + 5i ! 4i
+ 0 = 3+ !
=*
x
x
2 x
x
5
2
x
5 2 x 3x + 5 ! 2 x
3+ !
i
= 3+ !
=
x
x
x
x
x x
2 - DERIVATA DEL PRODOTT0
y = f (x)ig(x) ! y ' = f '(x)ig(x) + f (x)ig '(x)
2
y
=
2
x
!
3
"
(x
! 2)
(
)
2a)
2
y ' = D [ 2 x ! 3]i( x 2 ! 2 ) + ( 2 x ! 3)iD #
x
! 2%
$
&
y ' = ( 2 ! 0 ) ( x 2 ! 2 ) + ( 2 x ! 3) ( 2 x ! 0 )
regola
y ' = 2x2 ! 4 + 4 x2 ! 6x
y ' = 6x2 ! 6x ! 4
2b) y = (x 2 + 3) ! (2x " 1)
(
)
y' = D #$ x 2 + 3%& • ( 2x " 1) + x 2 + 3 • D [ 2x " 1]
(
)
y1 = ( 2x + 0 ) • ( 2x " 1) + x 2 + 3 • ( 2 " 0 )
y1 = 4x 2 " 2x + 2x 2 + 6
y1 = 6x 2 " 2x + 6
3 - DERIVATA DEL PRODOTT0
3a)
y = (x 3 + x 2 ) ! (5x + 2)
y ' = D "# x 3 + x 2 $%i(5x + 2) + (x 3 + x 2 )iD [ 5x + 2 ]
(
)
(
)
y ' = 3x 2 + 2x i( 5x + 2 ) + x 3 + x 2 i( 5 )
y ' = 15x 3 + 6x 2 + 10x 2 + 4 x + 5x 3 + 5x 2
y ' = 20x 3 + 21x 2 + 4 x
(
)(
4
2
y
=
7x
+
x
!
x
+6
3b)
(
)
) (
+ 1)i( x + 6 ) + ( 7x
)
y' = D "# 7x 4 + x $%i x 2 + 6 + 7x 4 + x iD "# x 2 + 6 $%
(
y ' = 28x 3
2
4
)
+ x i( 2x + 0 )
y ' = 28x 5 + 168x 3 + x 2 + 6 + 14 x 5 + 2x 2
y ' = 42x 5 + 168x 3 + 3x 2 + 6
4 - DERIVATA DEL PRODOTTO
4a)
y = ( x + x) ! (2x + 3)
y' = D "# x + x $% • ( 2x + 3) +
& 1
)
=(
+ 1+ • ( 2x+3) +
'2 x
*
=
=
4b)
(
(
)
x + x • D [ 2x + 3]
)
x + x • (2 + 0)
x
3
+
+ 2x + 3 + 2 x + 2x
x 2 x
ricorda : x ! x =
x2 = x = x
essendo : x > 0
2x + 3 + 4 x x + 6 x + 4 x + 4 x x 8x x + 6 x + 6x + 3
=
2 x
2 x
y = (cosx + x) ! (2senx + 3)
y' = D[cosx + x]i(2senx + 3) + (cosx + x) ! D[2senx + 3]
= ["senx + 1]i(2senx + 3) + (cosx + x) ! (2 cos x + 0]
= "2sen 2 x " 3senx + 2senx + 3 + 2 cos 2 x + 2x cos x
= "2sen 2 x " senx + 2 cos 2 x + 2x cos x + 3
5 - DERIVATA DEL QUOZIENTE
f (x)
f '(x)ig(x) " f (x)ig '(x)
y=
! y' =
g(x)
g 2 (x)
regola
y=
( 2 x + 3)
(x
2
)
!1
(
)
2
2
"
D
2
x
+
3
•
x
!
1
!
2
x
+
3
•
D
x
! 1$
(
)
[
]
#
%
'
y =
2
x2 ! 1
y' =
y =
'
y1 =
(
)
[ 2 ] • ( x 2 ! 1) ! ( 2 x + 3) • [ 2 x ]
(x
2
)
!1
2
2x2 ! 2 ! 4 x2 ! 6x
(x
2
)
!1
2
!2 x 2 ! 6 x ! 2
(x
2
)
!1
2
=!
2x2 + 6x + 2
(x
2
)
!1
2
N.B.
Non svolgere
I calcoli al
denominatore
6 - DERIVATA DEL QUOZIENTE
ex + 1
y=
2e x ! 3
D "# e x + 1$% • 2e x ! 3 ! e x + 1 • D "# 2e x ! 3$%
y' =
2
x
2e ! 3
(
e
(
y' =
y' =
y' =
x
+0
) ( 2e
x
(
) (
)
! 3) ! ( e + 1) ( 2e ! 0 )
( 2e ! 3) attenzione :
x
x
( 2e
!5e x
( 2e
x
)
!3
2
)
!3
2
x
2
2e2 x ! 3e x ! 2e2 x ! 2e x
x
)
e x ie x = e x + x = e2 x
7 - DERIVATA FUNZ COMPOSTA CON POTENZA
Regola
GENERALE
y = f[g(x)]! y' = f '[ g(x)]• g'( x)
7a) y = (x 3 + 4 x)4
la funzione esterna è la POTENZA
y ' = 4 ! (x 3 + 4 x)3 • D[x 3 + 4 x]
y ' = 4 ! (x 3 + 4 x)3 ! (3x 2 + 4)
2
3
y
=
(6x
+
5)
7b)
DERIVO LA FUNZIONE
ESTERNA POTENZA E
MOLTIPLICO PER LA
DERIVATA DEL
CONTENUTO (LA BASE)
y ' = 3 ! (6x 2 + 5)2 • D[6x 2 + 5]
y ' = 3 ! (6x 2 + 5)2 ! (12x + 0) = 3 ! (6x 2 + 5)2 !12x
y ' = 36x ! (6x 2 + 5)2
3
2
y
=
(x
!
2
x)
7c)
y ' = 2(x 3 ! 2 x)1 • (3x 2 ! 2) = 2(x 3 ! 2 x) " (3x 2 ! 2)
8 - DERIVATA FUNZ COMPOSTA CON POTENZA
8a)
y = (7 x ! 3x)4
1
#
&
y ' = 4 " (7 x ! 3x) • D[7 x ! 3x] = 4 " (7 x ! 3x) " % 7 "
! 3(
$ 2 x
'
3
3
3
#
&
7
!
6
x
2(7
x
!
3x)
(7 ! 6 x )
= 4 " (7 x ! 3x)3 " %
=
(
x
$ 2 x '
8b)
y = (4e x ! 5)2
y ' = 2 " (4e x ! 5)2 • D[4e x ! 5]
y ' = 2 " (x 3 + 4 x)3 " (4e x ) = 8e x " (x 3 + 4 x)3
8c)
y = (ln x ! 2x)3
#1
&
y ' = 3 " (ln x ! 2x) • D[ln x ! 2x] = 3 " (ln x ! 2x) " % ! 2 ( =
$x
'
2
2
2
# 1 ! 2x & 3(ln x ! 2x) (1 ! 2x)
= 3 " (ln x ! 2x) " %
=
$ x ('
x
2
9 - DERIVATA FUNZ COMPOSTA CON RADICE Q
9a) y = 2x 3 ! 5x + 4
y' =
y' =
9b)
funzione esterna = RADICE quadrata
1
2 2x 3 ! 5x + 4
6x 2 ! 5
2 2x 3 ! 5x + 4
y=
y' =
y' =
4e x + 6x
1
2 4e x + 6x
4e x + 6
2 4e + 6x
x
• D[2x 3 ! 5x + 4]
DERIVO LA FUNZIONE ESTERNA
RADICE QUADRATA E
MOLTIPLICO PER LA DERIVATA
DEL CONTENUTO (RADICANDO)
• D[4e x + 6x]
=
2(2e x + 3)
2 4e + 6x
x
=
2e x + 3
4e x + 6x
10 - DERIVATA FUNZ COMPOSTA CON RADICE Q
y=
x2 ! x
4x + 5
DERIVO LA FUNZIONE ESTERNA RADICE QUADRATA
E MOLTIPLICO PER LA DERIVATA DEL CONTENUTO
(RADICANDO) che -attenzione- è un QUOZIENTE
" x2 ! x %
y' =
• D$
=
'
2
x !x
# 4x + 5 &
2
4x + 5
1
Regola della derivata del
quoziente f(x)/g(x)
1 4 x + 5 [2x ! 1](4 x + 5) ! (x 2 ! x)[4 + 0]
y' = i
•
=
2
2
2
x !x
(4 x + 5)
1 4 x + 5 8x 2 + 10x ! 4 x ! 5 ! 4 x 2 + 4 x
= i
•
=
2
2
2
x !x
(4 x + 5)
1 4 x + 5 4 x 2 + 10x ! 5
= i
•
2
2
x !x
(4 x + 5)2
11 - DERIVATA FUNZ COMPOSTA con LOGARITMO
11a) y = ln(4x + 5)
funzione esterna = LOGARITMO
1
y' =
• D[4x + 5] =
4x + 5
4+0
4
y' =
=
4x + 5 4x + 5
11b) y = ln(3senx + x)
DERIVO LA FUNZIONE ESTERNA
logaritmo E MOLTIPLICO PER LA
DERIVATA DEL CONTENUTO
(argomento del log)
Attenzione a
NON semplificare il 4!
(4x+5) è un fattore binomiale!
1
(3cos x + 1) 3cos x + 1
y' =
• D[3senx + x] =
=
3senx + x
(3senx + x) 3senx + x
11c) y = 5 ln(x 3 + 2x + 5)
2
1
5(3x
+ 2)
3
y' = 5 3
• D[x + 2x + 5] = 3
x + 2x + 5
x + 2x + 5
12 - DERIVATA FUNZ COMPOSTA con LOGARITMO
12a)
" 2x + 5 %
y = ln $
# x ! 2 '&
DERIVO LA FUNZIONE ESTERNA logaritmo E
MOLTIPLICO PER LA DERIVATA DEL CONTENUTO
che - attenzione- è un QUOZIENTE!
1
( 2x + 5 + x ! 2 2 . (x ! 2) ! (2x + 5) . (1 ! 0)
y' =
• D*
=
•
=
2
2x + 5
(x ! 2)
) x ! 2 , 2x + 5
x!2
1
2x ! 4 ! 2x ! 5
!9
y' =
•
=
1
2x + 5
(x ! 2)
(2x + 5)(x ! 2)
12b)
" ex ! 2 %
y = ln $ x
# e + x '&
( e x ! 2 + e x + x (e x ! 0) . (e x + x) ! (e x ! 2) . (e x + 1)
1
y' = x
• D* x
= x
•
=
x
2
e !2
(e + x)
)e + x , e ! 2
ex + x
1
e2 x + xe x ! e2 x ! e x + 2e x + 2
+xe x + e x + 2
y' = x
•
= x
x
1
e !2
(e + x)
(e ! 2)(e x + x)