v vv r θ2 θ1 θ1 v vv θ

Meccanica – Moti relativi
Meccanica – Moti relativi
Liceo Scientifico Tecnologico
Classe 3 LST A
a.s.: 2009/2010
va = v sinθ + v sin θ
5)
r
2
− vt cosθ 1
v
r
va − v sinθ
sin θ =
v
t
y
8)
Testo
La polizia usa talvolta aeroplani per far rispettare i limiti di velocità sulle autostrade. Supponiamo che uno di
questi aerei abbia una velocità rispetto all’aria di 220 Km/h. sta volando verso nord tenendosi costantemente
su un’autostrada diretta nord/sud. Un’assistente da terra informa il pilota che si è levato un vento di
114Km/h, dimenticando però di indicarne la direzione. Il pilota osserva che nonostante il vento, l’aereo può
ancora volare lungo l’autostrada a 220 Km/h. In altre parole, riesce a tenere, rispetto al terreno, la sua
velocità normale in aria calma. a) Qual è la direzione del vento ? b) Qual è la prora dell’aereo, ossia l’angolo
fra il suo asse longitudinale e l’autostrada?
1
dalla 5) e sinθ dalla 6):
1
1
v
cosθ 2 = a x
7)
Sviluppo curato da: Andreoli Andrea
Docente: prof. Quintino D’Annibale
Sviluppo
L’aereo si muove ad una altezza da terra costante quindi prendiamo in riferimento un sistema di assi
cartesiani x e y (nord e est)
relativi al terreno e un piano di
trascinamento x’ e y’ relativo al
y
vento
t
y
Si ricavi cosθ
ESERCIZIO TRATTO DA “Fondamenti di fisica”
(D. Halliday, R. Resnick, J. Walker) Vol. 1 - Modulo Cap. 4 - Argomento Problema 79P
1
2
r
Dalla prima relazione fondamentale della goniometria:
cos θ + sin θ
2
9)
=1
2
Si ha sostituendo la 7) e la 8) alla 9) :
2
 vax − vt cos θ1   va y − vt sin θ 1 

 +

 = 1
vr

 
vr

2
10)
Ma v = 0 e, in modulo,
ax
va = v
y
, quindi sviluppando si ha:
r
v t cos θ + v t sin θ + v r
vr
2
11)
2
2
2
1
2
1
− 2 vr vt sin θ 1
2
v t cos θ + v t sin θ
2
Semplifichiamo:
Dai dati fornitici dal problema si
deduce che la velocità dell’aereo
in presenza di vento è costante
e, relativamente al terreno, la si
può esprimere come:
r
v = va
a
x
r
i +v
ay
vt
2
2
2
1
Ma:
cos θ + sin θ
2
2
1
va
2)
r r
v = va
=0
a
x
x
x
y
y
4)
= vr cosθ 2
y
x
= vt cosθ 1
y
t
=1
Allora:
sinθ 1 =
v
t
2 vr
θ
12)
1
 v 
 114 Km h 
o
= arcsen t  = arcsen
 = 15
2 
 2 * 220 Km h 
 vr 
y
Si consideri θ1 l’angolo formato dalla velocità di trascinamento con il semiasse positivo delle x e θ2 l’angolo
formato dalla velocità relativa dell’aereo con il semiasse positivo delle x. Secondo il concetto di seno e
coseno si possono pensare le velocità come:
= vr sinθ 2
v
y
Ci si ricava così
x
− 2 vr sinθ 1 = 0
t
Strategia
vr
vr
vt
vt
1
1
v
r r r
v a = vt + v r
x
− 2 v r vt sin θ 1 = 0
1 − 2 vr sinθ 1 = 0
Considerando la velocità di trascinamento (vt = velocità del vento) e quella dell’aereo relativa al vento si ha
che:
r r r
va = vt + v r
1
:
cos θ + sin θ
Ma l’aereo si muove verso nord quindi: v
2
1
Dividiamo tutto per
r
j
3)
2
2
=1
θ
2
dalla 7):
13)
θ
2
 − 114 Km h * cos15o 
 − vt cosθ 1 
o
=
 = arccos
= arccos


 120
220 Km h
vr 



Ovviamente seno e coseno hanno due valori accettabili e quindi è giusta anche la coppia di angoli:
θ = 165
θ = 60
o
1
o
2
= vt sin θ 1
Andreoli Andrea
Sostituendo la 4) alla 3) e alla 2) si ottiene:
va = v cosθ + v cosθ
x
t
1
r
2
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