MATEMATICA FINANZIARIA I (Corso AK)

FINANZIARIA I
MATEMATICA
(Corso A - K)
Pavia 7/ 7/2003
COGNOME e NOME: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CODICE ESAME . . . . . . . . . . . .
Iscritto al I anno, nell’a.acc. . . . . . n. di matricola: . . . . . . . . . . . Laurea in . . . . . . . . . . . . .
(Come noto, il risultato finale dell’importo dei capitali, espressi in euro,
deve essere arrotondato al centesimo più prossimo)
Esercizio n. 1
Considerata la rendita A :
A:
anni
capitali in C
=
0
1
+2.000, 00
2, 5
+3.000, 00
5
+3.000, 00
1.a) calcolare il valore attuale V0 della rendita, al tempo t = 0, effettuando le valutazioni nei seguenti regimi:
1.a1) capitalizzazione semplice;
1.a2) capitalizzazione composta, convenzione esponenziale.
1.b) Calcolare il montante M5 della rendita, al tempo t = 5, effettuando le valutazioni nei seguenti regimi:
1.b1) capitalizzazione semplice;
1.b2) capitalizzazione composta, convenzione esponenziale;
1.b3) capitalizzazione composta, convenzione lineare.
NB Per le valutazioni utilizzare il tasso del 6% annuo.
Esercizio n. 2
Un prestito obbligazionario è caratterizzato come segue:
numero di obbligazioni emesse:
prezzo di emissione
valore nominale di ogni obbligazione:
tasso annuo di valutazione:
cedole annue, posticipate;
ritenuta fiscale:
durata:
rimborso alla pari;
ammortamento a quote capitale costanti.
100.000;
=
C 990,00
C
= 1.000,00;
5%;
12,50%
20 anni;
Relativamente al prestito di cui sopra, calcolare quanto segue:
2.a1) le quote capitale;
2.a2) la cedola lorda e quella netta;
2.a3) la decima rata;
2.a4) la perdita d’emissione per la società;
2.a5) il numero di obbligazioni estratte il 15-esimo anno; il numero di obbligazioni estinte e viventi appena
effettuata la quindicesima estrazione.
Relativamente ad una obbligazione vivente, appena effettuata la quindicesima estrazione, calcolare
quanto segue:
2.b1) la vita residua;
2.b2) la vita media residua;
2.b3) la vita probabile.
Esercizio n. 3
In relazione ai seguenti tre crediti:
capitali in C
=
5.000, 00
10.000, 00
20.000, 00
epoca di esigibilità
tra 3 anni e 6 mesi da oggi,
tra 4 anni e 4 mesi da oggi,
tra 5 anni da oggi,
3.a) calcolare, la scadenza media aritmetica e la scadenza media finanziaria effettuando le valutazioni al
tasso del 6% annuo composto, convenzione esponenziale (esprimere i risultati in anni, mesi e giorni con
riferimento all’anno commerciale);
3.b) scrivere l’importo S esigibile dal creditore alla scadenza media finanziaria in sostituzione dei tre crediti.
3.c) Nell’ipotesi, poi, che l’importo S, di cui sopra, venga prestato al tasso del 5% annuo, nominale convertibile semestralmente, e che il rimborso avvenga in 6 anni, con versamenti semestrali, posticipati, di
ammontare R, per i primi due anni, e 2R per i successivi, calcolare l’importo di R e 2R.
Esercizio n. 4
Considerato, con h > 0, il seguente progetto finanziario A(h) :
anni
A(h): capitali in C
=
0
−50.000, 00
1
+6h
3
+2h
4.a) scrivere il REAA(h) (6%), al variare di h, effettuando le valutazioni al 6%, annuo composto;
4.b) studiare analiticamente e rappresentare graficamente la funzione REAA(h) (6%), al variare di h, su
indicata;
4.c) determinare per quali valori di h il progetto è economicamente conveniente e per quali non lo è;
4.d) nell’ipotesi si abbia h = 10.000, 00 , studiare analiticamente e rappresentare graficamente la funzione
REAA (i), al variare del tasso i, annuo composto, con i > −1.
Esercizio n. 5
Un 38-enne stipula una polizza per assicurare, tra 30 anni, i seguenti capitali:
= 80.000,00, a se stesso, se sarà vivo;
C
=
C 100.000,00, agli eredi in caso di premorienza.
Scrivere l’espressione che permette di calcolare quanto segue:
5.a) il premio unico puro U ;
5.b) la riserva matematica dopo 5 anni dalla stipulazione della polizza nei diversi casi.
NB. Si utilizzino il simbolo v = (1 + i)−1 di attualizzazione composta e, prima, le probabilità di vita t px
e di morte t qx , e, poi, la funzione di sopravvivenza l(x).
MATEMATICA
FINANZIARIA
7/ 7/ 2003
RISOLUZIONE
I (Corso A - K)
Per quanto riguarda le domande relative alla teoria, vedasi il manuale consigliato.
Risoluzione esercizio n. 1
1.a1) Il valore attuale V0cs in regime di capitalizzazione semplice:
2.000, 00
3.000, 00
3.000, 00
V0cs =
+
+
= 6.803, 180413 ' 6.803, 18
1 + 0, 06 1 + 0, 06 · 2, 5 1 + 0, 06 · 5
cc/ce
1.a2) Il valore attuale V0
in regime di capitalizzazione composta, convenzione esponenziale:
cc/ce
V0
= 2.000, 00 · 1, 06−1 + 3.000, 00 · 1, 06−2,5 + 3.000, 00 · 1, 06−5 = 6.721, 889851 ' 6.721, 89 .
1.b1) Il montante M5cs in regime di capitalizzazione semplice:
M5cs = 2.000, 00 · (1 + 0, 06 · 4) + 3.000, 00 · (1 + 0, 06 · 2, 5) + 3.000, 00 = 8.930, 00 ;
cc/ce
in regime di capitalizzazione composta, convenzione esponenziale:
1.b2) Il montante M5
cc/ce
= 2.000, 00 · 1, 064 + 3.000, 00 · 1, 062,5 + 3.000, 00 = 8.995, 404928 ' 8.995, 40 .
V0
cc/cl
in regime di capitalizzazione
1.b3) Il montante M5
µ composta,
¶ convenzione lineare:
1
cc/cl
+ 3.000, 00 = 8.996, 87792 ' 8.996, 88 .
= 2.000, 00 · 1, 064 + 3.000, 00 · 1, 062 1 + 0, 06 ·
M5
2
Risoluzione esercizio n. 2
Qh = 5.000 · 1.000, 00 = 5.000.000, 00 ;
2.a1) La quota capitale Qh :
2.a2) l’importo della cedola lorda Cl :
Cl = 1.000, 00 · 0, 05 = 50, 00 ;
l’importo della cedola netta Cn :
Cn = 1.000, 00 · 0, 05 (1 − 0, 1250) = 43, 75 ;
2.a3) la decima rata R10 :
R10 = Q10 + I10 = 5.000.000, 00 + 55.000 · 50, 00 = 7.750.000, 00 ;
2.a4) la perdita di emissione Pe :
Pe = (1.000, 00 − 990, 00) · 100.000 = 1.000.000, 00 ;
estratte
estratte
2.a5) il numero N15
delle obbligazioni estratte il 15−esimo anno:
N15
= 5.000 .
estinte
estinte
delle obbligazioni estinte il 15−esimo anno:
N15
= 15 · 5.000 = 75.000 ;
il numero N15
viventi
viventi
delle obbligazioni viventi il 15−esimo anno:
N15
= 25.000 .
il numero N15
2.b1) La vita (
residua A15 , all’epoca t = 15 :
1
2
3
4
5
5
5
5
5
5
A15 =
25
25
25
25
25
5
2.b2) la vita media residua e15 , all’epoca t = 15 :
= 3 anni;
e15 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)
25
2.b3) la vita probabile π15 , all’epoca t = 15:
π 15 = 3 anni.
Risoluzione esercizio n. 3
3.a) La scadenza media aritmetica SMA dei crediti:
3, 5 · 5.000, 00 + 4, 3 · 10.000, 00 + 5 · 20.000, 00
= 4, 595238094 ∼
SMA =
= 4 anni, 7 mesi e 4 giorni;
35.000, 00
la scadenza media finanziaria tF dei crediti:
35.000, 00 · 1, 06−tF = 5.000, 00 · 1, 06−3,5 + 10.000, 00 · 1, 06−4,3 + 20.000, 00 · 1, 06−5
1, 06tF = 1, 306394818 −→ tF = 4, 586859522 anni ∼
= 4 anni, 7 mesi e 1 giorni.
3.b) S = 35.000, 00;
3.c) noto il tasso nominale annuo, composto, j2 = 5% −→ il tasso semestrale i2 = 2, 50%;
le rate R e 2R: 35.000, 00 = Ra4e0,025 + 2Ra8e0,025 · 1, 025−4 −→
R = 2.089, 10885 ' 2.089, 11
e
2R ' 4.178, 22 .
Risoluzione esercizio n. 4
4.a) il REAA(h) (6%) è ottenuto come segue:
REAA(h) (6%) = −50.00, 00 + 6h · 1, 06−1 + 2h · 1, 06−3 = −50.00, 00 + h · 7, 339615925
4.b) il grafico della funzione REAA(h) (6%) = −50.00, 00+h· 7, 339615925 è una retta con REAA(h) (6%) = 0
→ h∗ = 6.812, 345566 e REAA(0) (6%) = −50.000, 00;
→ tale retta interseca gli assi cartesiani nei punti con le seguenti coordinate: (0; −50.000, 00) e (h∗ ; 0);
4.c) dall’esame del grafico si individua quanto segue:
0 < h < h∗ il progetto non è economicamente conveniente;
h = h∗ il progetto è indifferente;
h > h∗ il progetto è economicamente conveniente;
4.d) con h = 10.000, 00 il REAA (i) ha le seguenti caratteristiche:
REAA (i) = −50.000, 00 + 60.000, 00v + 20.000, 00v3
REAA (0) = +30.000, 00 ;
lim+ REAA (i) = +∞
lim REAA (i) = −50.000, 00;
ı̀→−1
ı̀→+∞
REA0A (i) = −60.000, 00v2 − 3 · 20.000, 00v 4 < 0, con i > −1;
REA00A (i) = +2 · 60.000, 00v3 + 4 · 3 · 20.000, 00v5 > 0, con i > −1.
Risoluzione esercizio n. 5
5.a) Il premio unico puro U :
l68
l38 − l68
+ 100.000, 00v30
;
l38
l38
= 80.000, 00v 25 ·25 p43 + 100.000, 00v 25 ·25 q38 =
l68
l43 − l68
= 80.000, 00v 25 + 100.000, 00v25
;
l43
l43
= 100.000, 00v25 .
U = 80.000, 00v 30 ·30 p38 + 100.000, 00v30 ·30 q38 = 80.000, 00v 30
5.b) la riserva 5 V38vivo , se vivo:
la riserva 5 V38morto , se morto:
vivo
5 V38
morto
5 V38