CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO Lo studio della geometria degli
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CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO Lo studio della geometria degli
CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO Lo studio della geometria degli spostamenti dei punti di un sistema materiale ipotizzato come rigido rientra in quella parte della Meccanica Classica che è la Cinematica. La cinematica studia i possibili movimenti di un corpo indipendentemente dalle cause che li possono generare. In particolare la cinematica delle strutture si occupa sostanzialmente di spostamenti, cioè di identificare le posizioni che un dato sistema materiale assume nello spazio senza precisare la successione temporale con cui si susseguono. Occorre innanzitutto definire la geometria del sistema materiale, detta anche configurazione del sistema. La configurazione di un sistema materiale consiste nell’insieme di coordinate di tutti i suoi punti materiali, in un dato sistema di riferimento. Considerando un generico corpo in una generica configurazione di riferimento C0, si tratta di definire l’insieme di tutti i possibili spostamenti dei punti del sistema da una configurazione C0 ad una qualsiasi altra C. C C0 P s(P) P’ Spostamento del sistema o campo degli spostamenti s(P) è l’insieme di tutti i possibili spostamenti (P’-P) dei punti P. Il vettore spostamento così definito è funzione soltanto delle coordinate di P e P’ in un dato sistema di riferimento. Spostamento di un corpo rigido è un campo di spostamenti in cui tutte le mutue distanze restano invariate. Un sistema di punti materiali, o un sistema materiale, si definisce infatti rigido quando si possono considerare invariabili le mutue distanze tra due qualunque dei suoi punti, per qualunque spostamento d’assieme subisca. Un corpo rigido può avere solo spostamenti rigidi. Se in uno spostamento piano si conoscono gli spostamenti di due punti, il campo di spostamenti è definito. Solitamente i punti di un sistema materiale, anziché mobili liberamente, possono essere, come vedremo, obbligati ad assumere solo le posizioni compatibili con certe condizioni, dette di vincolo. Qualunque dispositivo atto a limitare la mobilità di un corpo nel piano o nello spazio assume il generico nome di vincolo. Un vincolo rappresenta una connessione del sistema con l’ambiente esterno (vincolo esterno) o di parti del sistema tra di loro (vincolo interno), che analiticamente si esprime con qualche equazione nelle coordinate del sistema che fa diminuire il numero di coordinate libere (gradi di libertà del sistema). Si definisce spostamento traslatorio uno spostamento in cui tutti i punti subiscono lo stesso spostamento. Conseguenza di tale definizione è che lo spostamento traslatorio è rigido piano (tutte le direzioni sono direzioni principali, cioè rimangono invariate). 1 Un corpo rigido ha un moto di traslazione se si sposta in modo tale che le traiettorie di tutti i punti del corpo sono linee parallele e i vettori che definiscono gli spostamenti sono paralleli e di uguale modulo. Il campo vettoriale formato dagli spostamenti di tutti i punti risulta così uniforme. La successione dei punti occupati dal punto costituisce una linea che si chiama traiettoria, la quale, a seconda della sua forma, può essere rettilinea, curvilinea, o mista. Si dice spostamento rotatorio uno spostamento rigido in cui a tutti i punti di una retta compete spostamento nullo. Tale retta dicesi asse di rotazione. L’asse di rotazione e il corrispondente angolo di rotazione determinano lo spostamento rotatorio. P’ O P O≡C = centro di rotazione. Ogni spostamento rigido piano non traslatorio è rotatorio. Se in uno spostamento rigido un punto è fisso, allora tutti i punti di un asse restano fissi, e quindi lo spostamento è rotatorio. Per descrivere lo spostamento rigido nello spazio occorrono 6 parametri indipendenti (tre componenti della traslazione e tre componenti della rotazione), mentre nel piano ne occorrono 3 (due componenti della traslazione e una componente della rotazione). La rotazione non è con tutti i diritti un vettore, in quanto non segue le regole dell’algebra vettoriale. Due successive rotazioni non si compongono secondo le regole del parallelogramma. Diversamente si verifica se gli spostamenti sono infinitesimi. Siano OXYZ e O’xyz due terne di assi cartesiani ortogonali, la prima solidale con lo spazio di riferimento e la seconda solidale con il sistema. Per la definizione di rigidità non variano le coordinate dei punti materiali del sistema rispetto alla terna O’xyz. Pertanto la posizione del sistema è fissata quando sia fissata quella della terna O’xyz rispetto alla terna OXYZ. E’ noto che per stabilire la posizione della terna di assi O’xyz rispetto alla terna OXYZ è necessario e sufficiente fissare i valori di 6 parametri tra loro indipendenti quali ad esempio le tre coordinate di O’ rispetto ad OXYZ e i tre angoli di Eulero che determinano la posizione di rispetto a O’ x y z . Per definire le posizioni di un sistema rigido nello spazio occorre quindi individuare 6 parametri indipendenti q1 ,…., q6 che descrivono le posizioni occupate dal corpo rigido rispetto alla terna di riferimento OXYZ. Tali parametri sono denominati coordinate generalizzate o coordinate lagrangiane. Nello spazio le coordinate generalizzate della posizione del corpo sono: 3 coordinate dell’origine O di un sistema di assi locali di riferimento rispetto ad una terna fissa; 3 parametri angolari che definiscono le rotazioni degli assi locali rispetto alla terna fissa. Ogni possibile variazione di questi parametri dicesi grado di libertà del sistema. Quindi il concetto di grado di libertà è associato alla possibilità di un determinato spostamento del corpo. Il numero di gradi di libertà di un sistema rigido è uguale al numero di parametri tra loro indipendenti che definiscono la posizione del sistema. Essendo 6 le coordinate generalizzate del corpo rigido nello spazio, ne segue che lo stesso possiede 6 gradi di libertà. Nel piano un corpo rigido ha 3 gradi di libertà. La posizione di un corpo rigido nel piano è definita da tre soli parametri indipendenti (coordinate generalizzate) q1, q2, q3. Infatti tre sono i parametri necessari per fissare la posizione degli assi locali xy rispetto ad un sistema di riferimento fisso XY. 2 Y x y θ YO1 A B O1 X XO1 Per l’ipotesi fatta sulla rigidità del corpo non cambiano le distanze relative O1A, O1B, AB. Le coordinate necessarie a definire la posizione del corpo rigido sono: 2 coordinate (XO1, YO1) dell’origine O1 degli assi locali rispetto agli assi fissi; 1 parametro angolare che definisce l’orientamento degli assi locali rispetto agli assi fissi (ad esempio l’angolo θ che forma l’asse x con l’asse X). Le coordinate generalizzate che definiscono la posizione del corpo sono quindi: q1 = XO1 q3 = θ q2 = YO1 quindi un corpo rigido nel piano ha tre gradi di libertà. Uno spostamento rigido si considera piano se gli spostamenti di tutti i punti del sistema risultano paralleli ad uno stesso piano α. Essendo rigido il sistema, gli spostamenti di tutti i punti di una retta b perpendicolare ad α, risultano uguali e quindi possono essere descritti nel piano α considerando gli assi di riferimento xy. b z α1 s1 α1 || α || α2 y s1 = s = s2 α α x s α2 s2 b⊥α Spostamento rigido piano Y Spostamento s del corpo y A1 Posizione 1 B1 y A2 x Posizione 2 O1 sO O2 θ B2 Il vettore relativo alla Posizione 1 è: M1 = { q11 q12 q13 } Il vettore relativo alla Posizione 2 è: M2 = { q12 q 22 q 32 } x X (tre componenti) (tre componenti) 3 La variazione delle coordinate generalizzate dai valori q11 ; q12 ; q13 ai valori q12 ; q 22 ; q 32 definiscono uno spostamento generalizzato s del corpo rigido piano: {s} = { M2 − M1}, ovvero: ⎧ ∆q1 ⎫ ⎧s Ox ⎫ ⎪⎪ ⎧⎪s O ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ {s} = ⎨∆q 2 ⎬ = ⎨ ⎬ = ⎨s Oy ⎬ ⎪ ⎪⎩ θ ⎪⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎪∆q 3 ⎭⎪ ⎩⎪ θ ⎭⎪ dove sO è lo spostamento dell’origine degli assi, sOx e sOy sono le componenti di sO, e θ è la rotazione (vettore normale al piano xy). Rotazioni infinitesime L’ipotesi di spostamenti infinitesimi permette di effettuare significative semplificazioni nella caratterizzazione degli spostamenti, sia che si tratti di rotazioni che di traslazioni. a ≡ asse di rotazione P’ θ=θa O≡C θ θ P’ O≡C st s sr st P P Nella rotazione sono nulli gli spostamenti dei punti di una retta propria a chiamata asse di rotazione. Gli spostamenti di tutti i punti Pi che giacciono su piani ortogonali ad a descrivono archi di circonferenza con centro nell’intersezione tra l’asse di rotazione e la circonferenza (punto C) e raggio uguale alla distanza CPi. Lo spostamento s può esprimersi come la somma di un vettore st tangente alla traiettoria (circonferenza) ed un vettore sr diretto secondo il raggio verso il centro. s = st + sr sr = CP (1 - cosθ) r (r è il versore della direzione radiale, diretto verso il centro di rotazione C) st = CP senθ t (t è il versore della direzione tangenziale, diretto nel verso dello spostamento) s = st + sr = CP (1 - cosθ) r + CP senθ t Se sviluppiamo il cosθ e il senθ in serie di McLaurin, e trascuriamo gli infinitesimi di ordine superiore al primo, si ottiene: cosθ = 1 − θ2 −………….. ≅ 1 2 senθ = θ − θ3 + ………..… ≅ θ 6 Pertanto si ottiene: s = CP θ t che può essere anche espresso come: 4 s = (C − P) ∧ θ a L’espressione generale per definire lo spostamento di un generico punto Pi è: si = (C − Pi) ∧ θ a essendo C il centro di rotazione. Quindi se l’angolo di rotazione è piccolo si può trascurare la componente radiale dello spostamento del punto Pi assimilandolo alla sola componente tangenziale alla traiettoria. Detto altrimenti, una rotazioni infinitesima di ampiezza θ intorno all’asse di rotazione a produce uno spostamento s in direzione perpendicolare al raggio CPi, di grandezza pari al prodotto della distanza CPi per la rotazione θ. Il vettore rotazione è ortogonale al piano formato dai vettori spostamento e distanza di C da Pi. P’i s ≅ st Pi ⎢PiPi’⎢= ⎢CPi ⎢θ θ C Le componenti di spostamento di due punti secondo la loro congiungente sono uguali. x C y θ θ d P’ θ d sP sPx sQx P t Q Q’ sQ sPx ≡ sQx sP = (C − P) ∧ θ a sQ = (C − Q) ∧ θ a sQx = θ d sPx = θ d ⇒ sPx = sQx E’ una conseguenza dell’inestensibilità del segmento PQ. Per la trattazione di spostamenti infinitesimi non è più necessario distinguere tra assi locali e assi fissi. Nell’ambito della cinematica linearizzata vale il principio di sovrapposizione degli effetti. Una successione di spostamenti rigidi infinitesimi determina uno spostamento risultante indipendente dall’ordine di applicazione dei singoli spostamenti. Spostamento infinitesimo piano di traslazione Si consideri un corpo rigido piano che subisce una traslazione infinitesima caratterizzata dallo spostamento sO dell’origine. Le componenti sOx e sOy del vettore sO possono essere considerate come parametri della traslazione rigida infinitesima. 5 y Pi’ Pi si = sO si sO O’ x O Lo spostamento generalizzato di un corpo rigido piano soggetto ad una traslazione infinitesima è: ⎧s Ox ⎫ ⎧ sO ⎫ ⎪ ⎪ s= ⎨ ⎬ = ⎨s Oy ⎬ ⎩θ = 0⎭ ⎪ 0 ⎪ ⎩ ⎭ Lo spostamento di un punto qualsiasi Pi del sistema rigido piano che subisce una traslazione infinitesima è uguale allo spostamento dell’origine sO, quindi: ⎧s ix ⎫ ⎧s Ox ⎫ si = sO = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎩s iy ⎭ ⎩s Oy ⎭ L’espressione si può anche scrivere in forma maticiale: ⎧s ix ⎫ ⎡1 0⎤ ⎧s Ox ⎫ si = ⎨ ⎬ = ⎢ ⎥ ⎨s ⎬ = [I] {sO} s 0 1 iy ⎣ ⎦ ⎩ Oy ⎭ ⎩ ⎭ Spostamento infinitesimo piano di rotazione Si consideri ora un corpo rigido piano che subisce una rotazione infinitesima attorno ad un punto C. y θ // asse z si yi θ C yC O xC Pi xi x Nello spostamento di sola rotazione infinitesima si ha sO = 0, quindi lo spostamento generalizzato del corpo rigido piano è: ⎧0 ⎫ ⎧s O = 0⎫ ⎪ ⎪ s= ⎨ ⎬ = ⎨0 ⎬ ⎩ θ ⎭ ⎪θ⎪ ⎩ ⎭ Lo spostamento si di un generico punto Pi (xi; yi) dovuto ad una rotazione infinitesima θ può essere determinato considerando il risultato del prodotto vettoriale del vettore (C − Pi) per il vettore rotazione θ applicato in C e perpendicolare al piano xy. si = (C − Pi) ∧ θ Essendo xC e yC le coordinate del punto C e xi e yi le coordinate del punto Pi, le componenti del vettore (C − Pi) sono: (C − Pi)y = yC − yi (C − Pi)z = 0 (C − Pi)x = xC − xi 6 Il vettore θ ha componente soltanto nella direzione z, quindi: θx = 0 θy = 0 θz = θ z θ α (C − Pi) ⊥ θ y (C − Pi) ⊥ si θ C si Pi x Lo spostamento si del punto Pi dovuto alla rotazione infinitesima θ risulta: i si = (C − Pi) ∧ θ = (x C − x i ) 0 j k 0 0 θ (y C − y i ) si ottiene quindi: si = (yC − yi) θ i − (xC − xi) θ j six = (yC − yi) θ siy = − (xC − xi) θ Ponendo l’origine degli assi in C≡O, risulta: six = − yi θ siy = xi θ y si siy six yi six θ Pi θ siy θ O xi x La formulazione matriciale dello spostamento si del punto Pi dovuto alla rotazione infinitesima θ risulta in questo caso: i si = (C − Pi) ∧ θ = (O − Pi) ∧ θ = − x i 0 j k − yi 0 0 θ Come si può vedere dalla figura e ricordando che le componenti di spostamento di due punti secondo la loro congiungente sono uguali, si ha che le componenti dello spostamento di Pi coincidono con i moduli degli spostamenti delle proiezioni di P sugli assi x e y, a causa dell’inestensibilità dei segmenti all’interno di un corpo rigido. Centro istantaneo di rotazione Poiché ogni spostamento rigido piano infinitesimo può essere considerato come una rotazione intorno ad un certo punto del piano, si riconosce l’esistenza di un centro istantaneo di rotazione (C.R.), che corrisponde a quel punto in cui l’asse istantaneo del moto incontra il piano xy. In altre 7 parole, un generico spostamento piano infinitesimo di un corpo può intendersi come generato da una rotazione infinitesima intorno al centro istantaneo di rotazione. Il C.R. è caratterizzato dal fatto che il suo spostamento è nullo. y P2 O C.R. ⊥ sO s2 P1 C.R. ⊥ s1 P 1 s1 P2 C.R. ⊥ s2 sO x xCR O yCR C.R. six = sOx − yi θ siy = sOy + xi θ Se cerchiamo le coordinate del centro istantaneo di rotazione si ha: sCRx = sOx − yCR θ = 0 sCRy = sOy + xCR θ = 0 in quanto il C.R. ha spostamento nullo. s yCR = Ox θ s Oy xCR = − θ Le precedenti forniscono le coordinate del centro istantaneo di rotazione. Lo spostamento piano infinitesimo del sistema rigido OPi può essere visto anche: y Pi* sOi si C.R. yCR si = (C.R. − Pi) ∧ θ sO θ θ O* sO θ si = sO + sOi Pi x O xCR 1. Come composto da una traslazione sO e da una rotazione θ intorno a O*. 2. Come generato da una rotazione θ intorno al centro istantaneo di rotazione C.R. Si osservi che, per l’ipotesi di spostamenti infinitesimi, il centro istantaneo di rotazione è individuato dall’intersezione delle normali agli spostamenti dei punti condotti per la loro posizione iniziale. Conoscendo i parametri dello spostamento del corpo, le coordinate del C.R. si possono determinare immediatamente, utilizzando le espressioni: s yCR = Ox θ 8 xCR = − sOy θ Poiché ogni spostamento rigido piano infinitesimo può essere considerato come una rotazione attorno al centro istantaneo di rotazione, una traslazione rigida può essere vista come caso limite di rotazione il cui centro di rotazione tende al punto improprio (cioè all’infinito) in direzione perpendicolare a quella della traslazione. Nel caso più generale quindi lo spostamento si di un generico punto Pi(xi,yi) sarà composto di una traslazione più una rotazione, cioè si ricade nel caso più generale di spostamento rototraslatorio. Si può dimostrare che per gli spostamenti infinitesimi vale il principio di sovrapposizione degli effetti, per il quale il generico spostamento rigido infinitesimo rototraslatorio può essere ottenuto dalla sovrapposizione di una traslazione pura e di una rotazione. Si può quindi scrivere: i s ⎧ ⎫ Cx 1 0 ⎡ ⎤⎪ ⎪ si = sC + (C − Pi) ∧ θ = ⎢ ⎥ ⎨ ⎬ + xC − xi ⎣0 1⎦ ⎪⎩s Cy ⎪⎭ 0 j k yC − yi 0 0 θ semplificando ulteriormente la precedente espressione si ottiene: ⎧s ix ⎫ ⎡1 0 ( y C − y i ) ⎤ si = ⎨ ⎬ = ⎢ ⎥ ⎩s iy ⎭ ⎢⎣0 1 − ( x C − x i )⎥⎦ ⎧s Cx ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨s Cy ⎬ = [Vi] {s} ⎪ ⎪ ⎪⎩ θ ⎪⎭ La matrice [Vi] è formata dalla submatrice unitaria e dalla differenza tra le coordinate del punto C e quelle del punto Pi. Ponendo l’origine degli assi in coincidenza con il punto C precedentemente considerato le relazioni si semplificano. In questo caso la traslazione risulta caratterizzata dallo spostamento sO dell’origine e la rotazione avviene attorno ad O. Lo spostamento generalizzato del corpo risulta quindi: ⎧s Ox ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ s = ⎨s Oy ⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎩ θ ⎪⎭ si = sO + (O − Pi) ∧ θ ⎧s ix ⎫ ⎡1 0 − y i ⎤ si = ⎨ ⎬ = ⎢ ⎥ ⎩s iy ⎭ ⎢⎣0 1 x i ⎥⎦ ⎧s Ox ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨s Oy ⎬ = [Vi] {s} ⎪ ⎪ ⎪⎩ θ ⎪⎭ six = sOx − yi θ siy = sO + xi θ Componente dello spostamento di un generico punto secondo una assegnata direzione Sia si lo spostamento di un generico punto Pi(xi,yi) appartenente ad un corpo rigido piano soggetto ad uno spostamento generalizzato infinitesimo. Si vuole determinare la componente sir dello spostamento si secondo una direzione r. 9 y βr r αr sir sir yi ϕ si ϕ Pi si r Pi (xi; yi) r Pi sir ϕ si x ϕ < π/2 sir è positiva xi O ϕ > π/2 sir è negativa Essendo sir = sir r , il valore della componente sir si ottiene proiettando si ortogonalmente sulla retta orientata r. Risulta quindi: sir = |si| cosϕ Ciò corrisponde al risultato del prodotto scalare tra il versore r e il vettore spostamento si: sir = r × si Le componenti del versore r secondo gli assi sono date dai coseni direttori αr e βr della sua direzione, che si ricorda essere i coseni degli angoli formati dalla direzione r con gli assi x e y rispettivamente. Si ottiene quindi: sir = rT × si = {α r ⎧s ix ⎫ β r } ⎨ ⎬ = αr six + βr siy ⎩s iy ⎭ βr siy sir αr six si Pi siy six r La componente di spostamento sir si può anche esprimere in funzione dei parametri dello spostamento generalizzato del corpo: Infatti, essendo: six = sOx − yi θ siy = sOy + xi θ si ha: sir = αr six + βr siy = αr (sOx − yi θ) + βr (sOy + xi θ) = αr sOx + βr sOy + (−αr yi + βr xi) θ Il termine (−αr yi + βr xi) = dir rappresenta la distanza dalla retta r passante per Pi(xi,yi) dall’origine O degli assi di riferimento. sir = αr sOx + βr sOy + dir θ distanza del punto O dalla retta r dir = βr xi − αr yi Il segno della distanza dir è positivo se è positivo, cioè antiorario, il momento di r rispetto al polo O. Lo stesso risultato trovato precedentemente può essere raggiunto operando in termini matriciali: sir = r × si = {α r T βr } ⎧s Ox ⎫ 1 0 − yi ⎪ ⎪ ⎨s Oy ⎬ = [αr; βr; (−αr yi + βr xi)] 0 1 xi ⎪ ⎪ ⎩ θ ⎭ ⎧s Ox ⎫ ⎪ ⎪ ⎨s Oy ⎬ ⎪ θ ⎪ ⎩ ⎭ 10 ⎧s Ox ⎫ ⎪ ⎪ sir = r × si = [αr; βr; dir] ⎨s Oy ⎬ = [Vir] {s} ⎪ θ ⎪ ⎩ ⎭ T y r βr yi αr αr βr αr αr sir y r si + Pi O Pi dir βr xi x x O xi αr yi dir La matrice [Vir] ha una riga e tre colonne. I suoi termini sono di natura geometrica. Se si vogliono calcolare le componenti dello spostamento di un punto secondo gli assi del sistema di riferimento Oxy, si ricorre alle seguenti espressioni: ⎧s Ox ⎫ ⎪ ⎪ six = [αr; βr; dir] ⎨s Oy ⎬ = [1; 0; dir] ⎪ θ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧s Ox ⎫ ⎪ ⎪ ⎨s Oy ⎬ ⎪ θ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧s Ox ⎫ ⎪ ⎪ siy = [αr; βr; dir] ⎨s Oy ⎬ = [0; 1; dir] ⎪ θ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧s Ox ⎫ ⎪ ⎪ ⎨s Oy ⎬ ⎪ θ ⎪ ⎩ ⎭ CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO VINCOLATO Dal punto di vista cinematico, un vincolo è qualsiasi condizione o legame che limiti qualche possibilità di movimento del corpo rigido o del sistema di corpi rigidi. Quindi un vincolo costituisce una limitazione alle possibilità di spostamento. Allo scopo di evitare ogni spostamento che comprometta la funzionalità e la stabilità della costruzione vengono realizzate fondazioni che sono rappresentati mediante dispositivi attivi sul contorno del corpo rigido. Il vincolo può anche essere considerato come una connessione del sistema con l’ambiente esterno (vincolo esterno) o di parti del sistema tra di loro (vincolo interno) che analiticamente si esprime con qualche equazione nelle coordinate del sistema, riducendo in tale modo i gradi di libertà del sistema stesso. I vincoli che si riferiscono ad una particolare configurazione geometrica, e quindi impongono una restrizione alla sola posizione, si definiscono vincoli di posizione o vincoli olonomi. Essi sono indipendenti dal tempo e costituiscono legami che limitano le possibilità di certe forme di spostamento del sistema. Si consideri ad esempio il sistema rigido piano definito dai tre punti A, B, C rappresentato nella figura seguente. Se il punto B è costretto a rimanere aderente alla 11 retta y = ax + b, si è imposto un vincolo al sistema in quanto il punto B non può spostarsi liberamente, ma è costretto a rimanere aderente alla retta. Tale limitazione implica una relazione analitica indicata dalla seguente relazione: yB = a xB + b In altri termini le coordinate del punto B devono soddisfare una relazione di vincolo olonomo bilaterale. y C y = ax + b A B b x O Caratteristiche dei vincoli Si è visto che i vincoli costituiscono condizioni imposte al sistema o al generico corpo rigido. Essi possono essere: Olonomi: se comportano soltanto condizioni tra le coordinate dei punti vincolati, senza intervento del tempo. Unilaterali: se sono efficaci in un solo verso. Ad esempio impediscono lo spostamento in una assegnata direzione, ma in un solo verso. s s s Spostamento impedito Bilaterali: se sono efficaci in due versi opposti. Ad esempio impediscono gli spostamenti in una assegnata direzione, sia che siano un verso che nell’altro opposto. Spostamento impedito s s Spostamento impedito Lisci: cioè privi di attrito. Un corpo che si sposta su vincoli lisci non è soggetto a nessuna forza reattiva nella direzione dello spostamento. Perfetti: cioè non cedevoli, capaci quindi di bloccare completamente lo spostamento a cui si oppongono. Fissi: cioè indipendenti dal tempo. Puntiformi: cioè privi di estensione. Inoltre i vincoli possono anche classificarsi in: Vincoli di appartenenza: un punto o un elemento del sistema rigido è costretto a rimanere aderente ad una superficie ,o a una linea, o a un punto. Naturalmente tali vincoli sono bilaterali. Vincoli di appoggio: ad un punto o a un elemento del sistema è impedito l’attraversamento di una superficie, una linea, un punto. Tali vincoli sono unilaterali. Nel trattamento dei problemi di statica e cinematica dei corpi rigidi si opererà in generale con vincoli olonomi bilaterali. Si ammetterà inoltre nella maggior parte dei casi che i vincoli siano lisci. 12 In sintesi la limitazione alle possibilità di spostamento esercitata dal vincolo si traduce in una o più condizioni del tipo: Vincolo Esterno F (sx; sy; sz) = 0 Vincolo Interno G (six; siy; siz; sjx; sjy; sjz) = 0 Questi vincoli possono essere espressi anche in funzione degli spostamenti generalizzati: Vincolo Esterno f (sOx; sOy; sOz; θx; θy; θz) = 0 Vincolo Interno g (siOx; siOy; siOz; θiOx; θiOy;θiOz; sjOx; sjOy; sjOz; θjOx; θjOy;θjOz;) = 0 Un vincolo è detto semplice se è esprimibile attraverso una delle condizioni sopra indicate; è detto molteplice se è esprimibile attraverso più condizioni. Un vincolo esterno limita gli spostamenti assoluti dei punti del corpo cui è applicato; un vincolo interno limita gli spostamenti relativi tra due punti dei corpi che collega. Gli spostamenti generalizzati non possono essere scelti in modo arbitrario, ma devono soddisfare le suddette condizioni o relazioni di vincolo, che quindi riducono il numero di gradi di liberà del sistema. Una configurazione individuata da parametri che soddisfano tutte le relazioni di vincolo è detta compatibile o congruente. Modelli meccanici dei vincoli piani Nei problemi di cinematica e statica i vincoli di un sistema rigido vengono rappresentati mediante opportuni modelli meccanici. Il vincolo più elementare è il carrello che non permette lo spostamento di un punto del corpo in una assegnata direzione. Asse del carrello, r θ θ θ Corpo rigido B Corpo rigido s θ s B s B Asse del carrello, r sBr=0 Spostamenti impediti s r θ≠0 s≠0 Schema Un tale vincolo permette la rotazione attorno all’asse passante per B (asse del carrello), normale al piano medio, e la traslazione secondo una retta che è la traccia sul piano medio del piano di scorrimento. La situazione corrispondente a quella di un punto appartenente ad un sistema rigido costretto a rimanere aderente ad una retta si può rappresentare mediante un carrello che si sposti in modo tale che le coordinate del punto assumano soltanto valori che soddisfano l’equazione della retta. C y r y = ax + b sBr=0 B A b x O Il punto B non si può spostare nella direzione ortogonale alla retta y = ax +b. Il carrello sottrae un grado di libertà al corpo rigido e può quindi essere considerato come vincolo semplice. Affinché il comportamento reale del vincolo sia il più possibile prossimo a quello dello schema è necessario che la realizzazione tecnica sia tesa effettivamente al manifestarsi delle due componenti di spostamento che il vincolo deve poter consentire. 13 Classificazione dei vincoli piani Con riferimento alla figura illustrata nel seguito, si analizzano i diversi tipi di vincolo esterno che verranno utilizzati nelle nostre applicazioni. I vincoli sono assunti bilaterali, per cui il vincolo non consente il distacco dalla retta di scorrimento. I vincoli esterni agiscono sugli spostamenti assoluti di un dato corpo. Vincolo Esterno Rappresentazione Condizione sugli spostamenti y CARRELLO sAy = 0 sAy A x y CERNIERA sAx = 0 sAy = 0 sAy A sAx x y GLIFO θA sAy = 0 θA = 0 sAy A x y INCASTRO θA sAx = 0 sAy = 0 θA = 0 sAy A sAx x Il carrello è un vincolo semplice, che impedisce la componente di spostamento del punto A del corpo nella direzione normale a quella di scorrimento del carrello. Si ricordi che a un corpo vincolato da un carrello restano due gradi di libertà, una traslazione parallela alla retta di scorrimento e la rotazione. La cerniera è un vincolo doppio, che impedisce lo spostamento del punto del corpo cui è applicata. Al corpo resta un solo grado di libertà, la rotazione. Il glifo, o pattino, è un vincolo doppio, che impedisce la traslazione in direzione normale alla retta di scorrimento e la rotazione del corpo. Al corpo resta una sola componente di traslazione. Il glifo equivale dunque ad una cerniera posta all'infinito. L’incastro è un vincolo triplo, che impedisce la traslazione di A e la rotazione del corpo cui A appartiene. Al corpo non restano gradi di libertà. 14 I vincoli interni agiscono sugli spostamenti relativi tra due corpi. Ad esempio, esaminando il primo caso illustrato nella seguente figura, la condizione di vincolo impone che lo spostamento sAi del punto Ai del primo corpo nella direzione dell’asse del carrello sia uguale allo spostamento sAxj del punto Aj del secondo corpo nella stessa direzione. In sintesi, le condizioni di vincolo impongono che gli spostamenti relativi tra i punti Ai e Aj nelle direzioni vincolate devono annullarsi. Se lo spostamento relativo vincolato è una rotazione le rotazioni dei due corpi devono essere uguali. Vincolo Interno Rappresentazione A sAi CARRELLO Aj Ai Ai CERNIERA sAj sAyj A sAxi sAj - sAi = 0 sAxj sAxj - sAxi = 0 sAyj - sAyi = 0 sAxj sAxj - sAxi = 0 θAi - θAj = 0 sAxj sAxj - sAxi = 0 sAyj - sAyi = 0 θAi - θAj = 0 Aj sAyi θAi Condizione sugli spostamenti θAj sAxi GLIFO Ai Aj A sAyj sAxi INCASTRO θAj θAi sAyi A Un vincolo equivalente al carrello è la biella o pendolo, che impedisce lo spostamento di un punto del sistema in una direzione prefissata. Esso è supposto costituito da un’asta rigida collegata da una parte a un punto fisso del suolo e dall’altra ad un punto del sistema. In generale, un vincolo di molteplicità m equivale, da un punto di vista analitico, a m vincoli semplici (ad esempio m pendoli o carrelli). Quando più corpi rigidi sono collegati tra di loro (mediante vincoli interni) e/o anche con il suolo (mediante vincoli esterni) si è in presenza di un sistema articolato di corpi rigidi (SACR). Un sistema costituito da nc corpi rigidi ha, come già detto, 6nc gradi di libertà nello spazio e 3nc gradi di libertà nel piano. Ricordando l’espressione che permette di determinare la componente di spostamento di un generico punto secondo una data direzione: ⎧s Ox ⎫ ⎪ ⎪ sir = rT × si = [αr; βr; dir] ⎨s Oy ⎬ = αr sOx + βr sOy + (−αr yi + βr xi) θ =[Vir] {s} ⎪ θ ⎪ ⎩ ⎭ 15 La condizione di vincolo semplice è espressa dalla relazione: ⎧s Ox ⎫ ⎪ ⎪ [Vir] {s}= [αr; βr; dir] ⎨s Oy ⎬ = sir = 0 ⎪ θ ⎪ ⎩ ⎭ essendo nullo lo spostamento nella direzione r,impedito dal vincolo. La relazione precedente esprime una condizione fra i tre parametri (sei nello spazio), gli spostamenti generalizzati, che descrivono lo spostamento del sistema rigido. Se nv vincoli semplici vincolano il sistema di corpi rigidi secondo r direzioni, si possono scrivere altrettante matrici del tipo [Vir], ciascuna di una riga e tre colonne (6 nello spazio). Raccogliendo le nv righe [Vir] in un’unica matrice [A] il sistema di spostamenti impediti dai vincoli è espresso dalla relazione: [A] {s}= 0 Se i vincoli non sono in grado di annullare una o più componenti di spostamento nella direzione della loro retta di azione, r, l’espressione precedente si modifica in: [A] {s}= {q} ovvero As = q in cui q è un vettore che contiene tutti gli spostamenti imposti nei vincoli, detti anche cedimenti vincolari. Tramite l’inversione della matrice A (detta anche matrice cinematica) si determinano i parametri dello spostamento rigido delle sistema, cioè le sue coordinate generalizzate che ne definiscono la posizione. Ad esempio, consideriamo il seguente corpo rigido nel quale viene assegnato un cedimento vincolare in B pari a δ. p δ C B sBx L sAy A sAx L Considerando come polo di riferimento A. Si assumono come positive le rotazioni antiorarie. Assegniamo, in corrispondenza dei vincoli le componenti di spostamento sAx, sAy, sBx con i versi indicati in figura (tali versi sono stati presi concordi con gli assi di riferimento x e y). Tali spostamenti saranno tutti uguali a zero, ad eccezione di sBx che sarà invece pari a δ. ⎧sOx ⎫ ⎧sOx ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ sir = [α r β r (− α r y i + β r xi )]⎨sOy ⎬ = [α r β r d ir ]⎨sOy ⎬ ⎪ϑ ⎪ ⎪ϑ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Per cui, ad esempio, lo spostamento sBx sarà dato da (α e β sono i coseni dell’angolo formato dalla direzione di spostamento di B con gli assi x e y rispettivamente del sistema di riferimento Axy centrato nel polo A): 16 s Bx = [α x βx ⎧s Ax ⎫ ⎧s Ax ⎫ ⎪ ⎪ (− α x y B + β x x B )]⎨s Ay ⎬ = [1 0 0]⎪⎨s Ay ⎪⎬ = δ ⎪ ϑ ⎪ ⎪ ϑ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Procedendo allo stesso modo per le altre due componenti di spostamento, siamo ora in grado di costruiamo ora la matrice cinematica A s Ax → s Ay ↑ s Bx → ⎡α Ax ⎢α ⎢ Ay ⎢⎣ α Bx (− α Ax y A + β Ax x A )⎤ ⎧s Ax ⎫ β Ax ⎧0⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ (− α Ay y A + β Ay x A )⎥ ⎨s Ay ⎬ = ⎨0⎬ (− α Bx y B + β Bx x B )⎥⎦ ⎪⎩ ϑ A ⎪⎭ ⎪⎩δ ⎪⎭ β Ay β Bx s Ax → ⎡1 As = q s Ay ↑ ⎢⎢0 s Bx → ⎢⎣1 Risolvendo il sistema di equazioni (s=A-1q), si generalizzato: s Ax = 0 0 ⎤ ⎧s Ax ⎫ ⎧0⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 0 ⎥⎥ ⎨s Ay ⎬ = ⎨0⎬ 0 − L ⎥⎦ ⎪⎩ ϑ A ⎪⎭ ⎪⎩δ ⎪⎭ 0 ricavano le componenti dello spostamento s Ay = 0 ϑA = − δ L Una volta noto lo spostamento generalizzato si può procedere al calcolo degli spostamenti degli alti punti del corpo mediante le note relazioni: six = sOx − yi θ siy = sOy + xi θ in cui O≡A. Ad esempio, le componenti di spostamento del punto C sono: sCy = sAy + xC θA sCx = sAx − yC θA sCx = 0 − L ( − δ )= δ L sCy = 0 + 0 δ =0 L Il centro di rotazione sarà dato da: yCR = s Ax θA xCR = − s Ay θA e quindi avrà le seguenti coordinate: yCR = 0 =0 θA xCR = − 0 =0 θA Per cui coinciderà con il polo di riferimento A. Se i vincoli semplici vengono disposti tra due punti appartenenti a due corpi rigidi distinti, gli spostamenti relativi tra i due punti sono condizionati ad assumere il valore imposto dal vincolo. La condizione di vincolo imposta da un pendolo (o una biella) che collega due punti appartenenti a due corpi rigidi differenti può ancora essere espresso da: s irI = [Vir] {s } I s irII = [Vir] {s } II Dove gli apici I e II stanno ad indicare i due diversi corpi rigidi. La condizione di vincolo impone che lo spostamento relativo tra i due punti collegati dal vincolo, cioè l’allontanamento dei due corpi nella direzione del pendolo, sia uguale a ∆ ir : [ s irI + s irII = VirI ] ⎧sI ⎫ VirII ⎨ II ⎬ = ∆ ir ⎩s ⎭ La matrice che compare nell’espressione precedente contiene in un’unica riga le due matrici di vincolo relative ai due corpi. La relazione di vincolo per il sistema articolato di corpi rigidi è ancora: As = q 17 dove il vettore s contiene i parametri di spostamento generalizzato di tutti i corpi rigidi che costituiscono il sistema articolato: 3nc (nc=numero di corpi) nel piano e 6nc nello spazio. La matrice A si costruisce assemblando assieme le matrici corrispondenti a ciascun corpo in relazione ai vincoli esterni, e a coppie per i vincoli interni. Il vettore q raccoglie gli spostamenti imposti, che saranno spostamenti assoluti nella direzione del vincolo per i vincoli esterni, o spostamenti relativi tra punti vincolati di due corpi, convenzionalmente positivi se comportano allontanamento, presi anch’essi nella direzione del vincolo. Consideriamo il seguente esempio di sistema articolato di corpi rigidi costituito da due corpi AB (corpo 1) e BC (corpo 2) vincolati a terra ciascuno con una cerniera rispettivamente in A e C, e vincolati reciprocamente con una cerniera interna in B. Questo schema è noto come arco a tre cerniere. In figura sono indicati le direzioni e i versi, quest’ultimi ipotizzati, delle componenti di spostamento in corrispondenza dei vincoli. E’ assegnato un cedimento vincolare in C in direzione verticale con il verso indicato in figura. sBy p sBx B sBx sBy 2 1 L y + x M sAy A sCy sCx sAx C δ L L Per ciascun corpo deve essere definito uno spostamento generalizzato in corrispondenza di un polo qualsiasi per mezzo del quale esprimere gli spostamenti di tutti i suoi punti. Si possono usare indifferentemente gli stessi assi di riferimento, con la stessa origine, per tutti i corpi, o riferimenti differenti. In genere è più comodo scegliere un riferimento proprio per ogni corpo. Fissiamo come poli di riferimento i punti A e C. Per determinare quindi il campo di spostamento di tutti i punti del corpo è necessario calcolare preventivamente gli spostamenti generalizzati dei due poli. Per questo motivo dobbiamo risolvere il sistema di equazioni As=q. Per valutare la matrice A, è necessario calcolare le componenti di spostamenti dei punti vincolati mediante: ⎧sOx ⎫ ⎧sOx ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ sir = [α r β r (− α r y i + β r xi )]⎨sOy ⎬ = [α r β r d ir ]⎨sOy ⎬ ⎪ϑ ⎪ ⎪ϑ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ e poi assemblare i coefficienti noti nella matrice A. Ad esempio, lo spostamento sBx sarà dato da (α e β sono i coseni dell’angolo formato dalla direzione di spostamento di B, una volta supposto appartenente al corpo 1 e una volta al corpo 2, con gli assi x e y rispettivamente del sistema di riferimento Oxy centrato rispettivamente nel polo A e in C): 18 = [α x βx II s Bx = [α x βx I s Bx ⎧s Ax ⎫ ⎧s Ax ⎫ ⎪ ⎪ (− α x y B + β x x B )]⎨s Ay ⎬ = [− 1 0 L]⎪⎨s Ay ⎪⎬ ⎪ϑ ⎪ ⎪ϑ ⎪ ⎩ A⎭ ⎩ A⎭ ⎧s Cx ⎫ ⎧s Cx ⎫ ⎪ ⎪ (− α x y B + β x x B )]⎨sCy ⎬ = [1 0 − L]⎪⎨sCy ⎪⎬ ⎪ϑ ⎪ ⎪ϑ ⎪ ⎩ C⎭ ⎩ C⎭ Assembliamo i due contributi e otteniamo: I II s Bx + s Bx ⎧s Ax ⎫ ⎪s ⎪ ⎪ Ay ⎪ ⎪⎪ ϑ ⎪⎪ = = [− 1 0 L 1 0 L ]⎨ A ⎬ = 0 ⎪s Ax ⎪ ⎪s Ay ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ϑ A ⎪⎭ Cioè lo spostamento relativo tra i due corpi in direzione x è nullo. Procedendo allo stesso modo per gli altri spostamenti dei vincoli e assemblando i coefficienti nella matrice A, si ha: s Ax → 0 ⎡1 0 ⎢ s Ay ↑ ⎢0 1 0 ⎢ ← s Bx → ⎢− 1 0 L ⎢ ↓ s By ↑ ⎢ 0 − 1 − L ⎢ s Cx → ⎢ 0 0 0 ⎢ ⎢0 0 s Cy ↑ 0 ⎣ 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 ⇓ [A] che permette di ricavare lo spostamento generalizzato: 0 ⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎥ − L⎥ ⎥ − L⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥⎦ ⎧s Ax ⎫ ⎧ 0 ⎫ ⎪s ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ Ay ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ θ A ⎪⎪ ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎪ s Cx ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ s Cy ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ θ C ⎪⎭ ⎪⎩− δ⎪⎭ ⇓ {s} ⇓ {q} ⎧ 0 ⎫ ⎪ 0 ⎪ ⎪ δ ⎪ ⎪− ⎪ {s} = ⎪⎨ 02 L ⎪⎬ ⎪ ⎪ ⎪ −δ ⎪ ⎪ δ ⎪ ⎪⎩− 2 L ⎪⎭ PROBLEMA CINEMATICO NEL PIANO Si consideri un sistema di corpi rigidi costituito da nc corpi, mutuamente vincolati, e di norma vincolato al suolo. Sia nv il numero globale dei vincoli semplici, interni ed esterni. Si considerino poi dei cedimenti vincolari, che vengono applicati a partire da una data configurazione di riferimento. Si formula il seguente problema cinematico (di congruenza o compatibilità cinematica): assegnati i cedimenti vincolari, determinare, se esistono, le configurazioni compatibili del sistema. Riprendiamo la condizione As=q. A è la matrice di compatibilità cinematica del sistema, di dimensioni nv × 3nc, s è il vettore degli spostamenti generalizzati incogniti, di dimensioni 3nc ×1, e q è il vettore dei cedimenti vincolari noti, di dimensioni nv ×1. Con questa formulazione analitica la natura del problema fisico viene a dipendere dalle proprietà della matrice A. Infatti, per trovare i 19 parametri dello spostamento generalizzato, che definiscono la posizione del corpo o dei corpi rigidi nel piano (o nello spazio), dobbiamo invertire la matrice cinematica A: s = A-1q La possibilità quindi di trovare una soluzione del sistema di equazioni sopra indicato dipende dalla invertibilità della matrice A. Può accadere che ciò non sia possibile in quanto la matrice cinematica può presentare delle singolarità. Ad esempio è noto che se due righe di una matrice quadrata sono proporzionali il suo determinante è nullo, e l’inversione è impossibile. Classificazione cinematica In base alle caratteristiche della matrice A è possibile procedere ad una classificazione dei Sistemi di Corpi Rigidi (SCR). Si distinguono quattro casi fondamentali. a) nv = 3nc: il numero dei vincoli è pari ai gradi di libertà del sistema. Il sistema si definisce sistema cinematicamente determinato, o isocinematico. La matrice A è quadrata ed ha rango massimo, poiché det A ≠ 0 . Il problema cinematico ammette una ed una sola soluzione. I vincoli devono essere “ben disposti”, nel senso che non devono ripetere delle condizioni già espresse da altri vincoli e quindi ciascuno di essi deve essere rappresentato da una equazione che sia linearmente indipendente dalle altre nv −1 equazioni. Un sistema cinematicamente determinato non può assumere configurazioni diverse da quella di riferimento se non intervengono cedimenti vincolari. Qualunque essi siano, il sistema trova sempre una nuova configurazione cinematicamente ammissibile. Consideriamo un sistema cinematicamente determinato, o isocinematico, costituito da un solo corpo, in cui si ha: [A] {s} nv × 3nc {q} 3nc × 1 nv × 1 p C B sBx L sAy A sAx L Costruiamo la matrice cinematica A considerando come polo di riferimento A. s Ax → ⎡α Ax β Ax (− α Ax y A + β Ax x A )⎤ ⎧s Ax ⎫ ⎧0⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ s Ay ↑ ⎢⎢α Ay β Ay − α Ay y A + β Ay x A ⎥⎥ ⎨s Ay ⎬ = ⎨0⎬ s Bx → ⎢⎣α Bx β Bx (− α Bx y B + β Bx x B )⎥⎦ ⎪⎩ϑ A ⎪⎭ ⎪⎩0⎪⎭ ( ) s Ax → s Ay ↑ s Bx → ⎡1 0 0 ⎤ ⎧s Ax ⎫ ⎧0⎫ ⎢0 1 0 ⎥ ⎪s ⎪ = ⎪0⎪ As = q ⎥ ⎨ Ay ⎬ ⎨ ⎬ ⎢ ⎢⎣1 0 − L ⎥⎦ ⎪⎩ϑ A ⎪⎭ ⎪⎩0⎪⎭ La matrice A è quadrata e non singolare per cui può essere invertita. b) nv < 3nc: Il numero di vincoli è inferiore ai gradi di libertà del sistema per cui il sistema si definisce come sistema labile, o cinematicamente indeterminato, o ipercinematico. La matrice A è rettangolare “bassa”, con un numero di colonne maggiore del numero delle righe, 20 per cui il sistema di equazioni è indeterminato. In questo caso i vincoli lasciano al sistema di corpi rigidi 3nc - nv gradi di libertà ai quali corrispondono altrettante possibilità di spostamento. Anche in assenza di cedimenti vincolari il sistema può assumere configurazioni diverse da quella di riferimento, e per questo motivo è detto labile. Consideriamo il seguente sistema labile costituito da un solo corpo. p sBx C B L A sAy L Come nell’esempio precedente costruiamo la matrice cinematica A considerando come polo di riferimento A. s Ay ↑ s Bx → As = q ⎧s Ax ⎫ ⎡0 1 0 ⎤ ⎪ ⎪ ⎧0⎫ ⎢1 0 − L ⎥ ⎨s Ay ⎬ = ⎨0⎬ ⎣ ⎦⎪ϑ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ A⎭ In questo caso la matrice A è rettangolare con un numero di colonne maggiore del numero di righe, per cui il sistema è indeterminato: ⎧ s Ay = 0 ⎨ ⎩s Ax − Lϑ A = 0 Il sistema di equazioni può essere risolto assegnando valori arbitrari a sAx o ϑ A e calcolare il rimanente. c) nv > 3nc. Il numero di vincoli è maggiore del numero di gradi di libertà per cui il sistema si definisce come sistema cinematicamente impossibile, o ipocinematico. La matrice A è rettangolare “alta”, con numero di righe maggiore del numero di colonne, per cui il sistema di equazioni è sovradeterminato. Il sistema ha più equazioni che incognite. In questo caso è impossibile assegnare ai punti vincolati spostamenti arbitrari. Il problema cinematico, in generale, non ammette soluzione. Consideriamo il seguente sistema cinematicamente impossibile costituito da un solo corpo. p C B sBx sBy L sAy A sAx L 21 Costruiamo la matrice cinematica A considerando come polo di riferimento A. s Ax → ⎡1 s Ay ↑ ⎢0 ⎢ s Bx → ⎢1 ⎢ s By ↑ ⎣0 As = q ⎤ ⎧0⎫ ⎥ ⎧s Ax ⎫ ⎪0⎪ ⎥ ⎪⎨s ⎪⎬ = ⎪⎨ ⎪⎬ Ay 0 − L ⎥ ⎪ ⎪ ⎪0⎪ ⎥ ϑA 1 L ⎦ ⎩ ⎭ ⎪⎩0⎪⎭ 0 1 0 0 ⎧ s Ax = 0 ⎪ s =0 ⎪ Ay ⎨ s − ⎪ Ax Lϑ A = 0 ⎪s Ay + Lϑ A = 0 ⎩ ⇒ d) nv = 3nc e vincoli mal disposti. Il sistema è cinematicamente degenere. E' il caso di matrici A quadrate, con detA=0. Il sistema degenere è quindi essenzialmente cinematicamente impossibile. Sono cinematicamente degeneri quei sistemi in cui i vincoli, pure in numero pari ai gradi di libertà dei corpi, non sono “ben disposti”, nel senso che alcuni impongono condizioni cinematiche già espresse da altri vincoli.Il problema cinematico non ammette soluzione. Consideriamo il seguente sistema cinematicamente degenere costituito da un solo corpo. sCx p B C sBx L sAy A L As = q L s Cx → ⎡1 0 − L ⎤ ⎧s Ax ⎫ ⎧0⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ s Ay ↑ ⎢⎢0 1 0 ⎥⎥ ⎨s Ay ⎬ = ⎨0⎬ s Bx → ⎢⎣1 0 − L ⎥⎦ ⎪⎩ ϑ A ⎪⎭ ⎪⎩0⎪⎭ Come si può vedere la prima e la terza riga sono uguali, per cui la matrice A è singolare e non può essere invertita. La ragione di ciò risiede nella errata disposizione dei vincoli (tre carrelli i cui assi convergono in un punto). 22