04-Cinematica del corpo rigido

4
Richiami di cinematica del corpo rigido
4
Richiami di cinematica del corpo rigido
4.1
Campi di spostamento rigido
Un corpo continuo materiale è descritto da un insieme chiuso e connesso B ⊂ E
che prende il nome di configurazione di riferimento. Con E si indica lo spazio
euclideo tridimensionale.
Sia B ! una nuova configurazione del corpo che denominiamo configurazione
attuale di B (figura 4.1). In tale configurazione il generico punto P ∈ B occupa
la posizione P! , e subisce quindi lo spostamento
u(P) = P! − P
Fig. 4.1
La funzione
f
: B → B!
B % P → P! ∈ B !
è detta deformazione e, perché sia ammissibile, deve essere ingettiva, regolare
e tale che det ∇f > 0.
La variazione di configurazione del corpo B (deformazione) può quindi
essere descritta dal campo vettoriale di spostamento:
u : B→V
P ∈ B → u(P) ∈ V
dove con V si è indicato lo spazio vettoriale associato ad E . Risulta u(P) =
f (P) − P, dunque ∇f = ∇U − I
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A. A. 2009-2010
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Richiami di cinematica del corpo rigido
4.2
Spostamenti rigidi infinitesimi
Siano P e Q due punti distinti del corpo B; a seguito della deformazione
essi si portano nei punti P! e Q! . In generale si ha |Q − P| '= |Q! − P! |, cioè la
distanza tra di essi in una generica deformazione varia. Se tale distanza rimane
invariata per ogni generica coppia di punti Q e P, il campo degli spostamenti
è detto rigido.
Definizione. 4.1. Uno spostamento del corpo B è detto rigido se, a seguito
di esso, tutti i punti di B mantengono la loro distanza reciproca:
|Q − P| = |Q! − P! |
4
Richiami di cinematica del corpo rigido
4.3
4.3
Spostamenti rigidi infinitesimi piani
Spostamenti rigidi infinitesimi piani
Uno spostamento di B è detto piano (figura 4.2) se il vettore spostamento di
tutti i punti di B è parallelo ad uno stesso piano π.
u(P) · e = 0
∀P ∈ B.
∀ Q, P ∈ B .
Definizione. 4.2. Un corpo si dice rigido (o indeformabile) se è in grado di
subire solo deformazioni rigide.
4.2
Spostamenti rigidi infinitesimi
Per gli scopi del corso è utile considerare il caso in cui il corpo rigido compia
spostamenti molto piccoli dalla configurazione di riferimento:
|u(P)| ) 1
Fig. 4.2
|∇u(P)| ) 1 .
Tale situazione è modellata dalla teoria degli spostamenti rigidi infinitesimi
che può ottenersi quale teoria asintotica per |u(P)| → 0. In tal caso si ottiene
una formula di rappresentazione degli spostamenti rigidi infinitesimi:
u(P) = u(Q) + ω × (P − Q) ,
(4.1)
o equivalentemente
u(P) = u(Q) + ϕe × (P − Q) ,
(4.2)
dove ω = ϕe è detto vettore rotazione, e Q è un punto di B fissato. Risulta:
• per u(Q) = 0 lo spostamento è una rotazione;
• nel caso generale (ω '= 0, ! Q tale che u(Q) = 0) lo spostamento è una
roto-traslazione.
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u(P) = u(Q) + ϕe × (P − Q) per ogni Q, P ∈ Ω .
(4.3)
Con il teorema seguente si prova che uno spostamento rigido piano è sempre
una rotazione o una traslazione.
• per ω = 0 lo spostamento è una traslazione;
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Nel caso di uno spostamento piano è sufficiente considerare una qualsiasi
sezione Ω di B parallela al piano π e restringere l’attenzione allo spostamento
dei punti appartenenti alla sezione Ω. Nel seguito identificheremo l’intero B
con la sezione Ω, come l’idealizzazione di un corpo rigido tutto contenuto nel
piano.
Fissiamo ora l’attenzione sugli spostamenti rigidi infinitesimi piani. Se
scegliamo il versore e perpendicolare al piano π parallelamente al quale si ha
lo spostamento del corpo, l’equazione (4.2) assume il seguente aspetto:
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Teorema. 4.1. Uno spostamento rigido piano con ϕ '= 0 è una rotazione
intorno ad un punto fisso del piano detto centro di rotazione.(Teorema di
Eulero)
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Richiami di cinematica del corpo rigido
4.3
Spostamenti rigidi infinitesimi piani
Dimostrazione. Si supponga ϕ '= 0. Cerchiamo un punto C ∈ π tale che
u(P) = 0. Utilizzando la (4.3) si ha:
4
Richiami di cinematica del corpo rigido
4.4
Vincoli per corpi rigidi piani
dunque u(P) è perpendicolare al vettore (P − C) congiungente C con P, ed ha
modulo
|u(P)| = |ϕ| |P − C| .
u(C) = u(Q) + ϕe3 × (C − Q) = 0 che dà
u(Q) = −ϕe3 × (C − Q) .
Se ϕ = 0, dalle (4.3) si ha
Moltiplicando vettorialmente ambo i membri per e3 si ha:
u(P) = u(Q) ,
u(Q) × e3 = −ϕe3 × (C − Q) × e3
È facile provare che il vettore al secondo membro è pari a −ϕ(C − Q), per cui:
1
(C − Q) = − u(Q) × e3
ϕ
che fornisce le coordinate di C. Dunque si ha:
per cui ogni punto P subisce lo stesso spostamento, si ha quindi una traslazione. In tal caso, se si indica con C∞ il punto improprio definito dalla direzione
perpendicolare al vettore u(Q), il campo di spostamento può essere interpretato come una rotazione intorno a C∞ (figura 4.4). Lo spostamento di ciascun
punto Pi è perpendicolare alla retta passante per Pi e C∞ .
u(P) = u(Q) + ϕe3 × (P − Q) = −ϕe3 × (C − Q) + ϕe3 × (P − Q) =
= ϕe3 × (P − C) ,
per cui lo spostamento del punto generico P è una rotazione intorno a C. !
Teorema. 4.2. Dato un campo di spostamento rigido piano, lo spostamento di un punto è diretto perpendicolarmente alla congiungente il centro di
rotazione (figura 4.3).(Teorema di Chasles)
Fig. 4.4
4.4
Vincoli per corpi rigidi piani
D’ora in avanti si prenderanno in esame corpi rigidi piani che compiono spostamenti infinitesimi a partire dalla configurazione di riferimento. Per essi,
come già visto, vale la seguente formula di rappresentazione:
u(P) = u(Q) + ϕe3 × (P − Q)
Fig. 4.3
Se ϕ '= 0, detto C il centro di rotazione, si è visto come lo spostamento del
generico punto P è dato da
u(P) = ϕe3 × (P − C) ,
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∀ Q, P ∈ C ,
(4.4)
dove ϕ rappresenta l’angolo di rotazione. Fissato un sistema di riferimento
cartesiano come in figura 4.5, il vettore ϕe3 × (P − Q) si può scrivere come
!
!
!
e2
e3 !!
e1
!
!
0
0
ϕ !! = −ϕ(yP − yQ )e1 + ϕ(xP − xQ )e2
!
! xP − xQ yP − yQ 0 !
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Richiami di cinematica del corpo rigido
4.4
Vincoli per corpi rigidi piani
per cui l’equazione (4.4) è equivalente alle seguenti equazioni scalari:
"
u1 (P) = u1 (Q) − ϕ(yP − yQ )
u2 (P) = u2 (Q) + ϕ(xP − xQ ) .
4
Richiami di cinematica del corpo rigido
4.4
Vincoli per corpi rigidi piani
Carrello (figura 4.6)
(4.5)
Sia e un versore e A un punto del corpo rigido C . Il carrello di asse e
e applicato in A è il vincolo che impedisce al punto A lo spostamento nella
direzione di e, ovvero
u(A) · e = 0
⇔
u1 (A) cos α + u2 (A) sin α = 0 ,
(4.6)
dunque il carrello è un vincolo semplice. In termini di parametri di spostamento u1 (Q), u2 (Q) e ϕ, utilizzando le (4.5), si ottiene
u1 (Q) cos α+u2 (Q) sin α+ϕ (−(yA − yQ ) cos α + (xA − xQ ) sin α) = 0 . (4.7)
Fig. 4.5
Se si fissa Q e si fa variare il punto P, le equazioni (4.5) descrivono lo
spostamento del corpo rigido C . Lo spostamento di C è quindi noto se conosciamo i tre parametri di spostamento: u1 (Q), u2 (Q), ϕ (un corpo rigido nel
piano ha 3 gradi di libertà).
L’equazione (4.4), ovvero le equazioni scalari (4.5), descrivono gli spostamenti di un corpo rigido libero; tuttavia nella maggior parte delle applicazioni
i corpi sono soggetti a dispositivi che ne limitano la mobilità.
Per i nostri scopi un vincolo è un dispositivo che, applicato ad un corpo rigido nella sua configurazione di riferimento, riduce l’insieme degli spostamenti
possibili per il corpo. Esistono nozioni più generali di vincolo che coinvolgono
oltre che lo spostamento del sistema anche altre grandezze cinematiche. La
classe dei vincoli da noi considerati è quella dei vincoli olonomi e bilaterali.
Matematicamente un vincolo è assegnato con relazioni tra i parametri di
spostamento u1 (Q), u2 (Q) e ϕ, che definiscono la “prestazione cinematica” del
vincolo. Queste equazioni sono dette equazioni di vincolo e il numero definisce
il grado di molteplicità del vincolo. In particolare, un vincolo di grado uno è
detto semplice, mentre sono detti doppi e tripli i vincoli rispettivamente di
grado due e tre. Passiamo quindi a definire i più significativi vincoli per corpi
rigidi piani.
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Si osservi che l’espressione (4.7) è una equazione lineare omogenea che lega
i tre parametri di spostamento u1 (Q), u2 (Q) e ϕ. Noti due di essi, resta
univocamente determinato il terzo: il corpo C vincolato con una carrello ha
quindi due gradi di libertà.
Sia P ∈ r, ove r è l’asse del carrello. Risulta
u(P) · e = u(A) · e + ϕe3 × (P − A) · e = u(A) · e = 0
essendo (P − A) , e. Dunque per tali punti è impedito lo spostamento lungo
e. In accordo con il teorema di Chasles, gli spostamenti consentiti sono quindi
tutte le rotazioni intorno ai punti della retta per A parallela ad e. Infatti, per
il teorema di Eulero, si ha
1
(C − A) = − u(A) × e3 ,
ϕ
cioè (C − A) è parallelo ad e, dunque C ∈ r.
Pendolo o biella (figura 4.6)
Nell’ambito della teoria delle deformazioni infinitesime il pendolo è un vincolo equivalente ad un carrello con lo stesso asse e. Esso è descritto dalla stessa
equazione (4.6) e nuovamente C ∈ r. I due vincoli possono quindi essere usati
indifferentemente. La diversità dei due vincoli emerge se si considerano spostamenti finiti (cioè il punto A è obbligato a muoversi lungo una circonferenza
di centro A e raggio pari alla lunghezza del pendolo).
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Richiami di cinematica del corpo rigido
4.4
Vincoli per corpi rigidi piani
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Richiami di cinematica del corpo rigido
Fig. 4.6
4.4
Vincoli per corpi rigidi piani
Fig. 4.7
(4.8)
Sia e un versore e A un punto del corpo C ; il doppio pendolo di asse e
e punto di applicazione A è il vincolo che impedisce la rotazione di C e lo
spostamento nella direzione di e:
"
u(A) · e = 0
(4.11)
ϕ = 0.
L’equazione vettoriale (4.8) è equivalente alle due equazioni scalari di
vincolo
"
u1 (A) = 0
(4.9)
u2 (A) = 0 .
Fissato un sistema di riferimento rispetto al quale si ha ad esempio e =
(sin α, cos α, 0), le equazioni di vincolo assumono la forma
"
u1 (A) sin α + u2 (A) cos α = 0
(4.12)
ϕ = 0,
Cerniera o appoggio (figura 4.7)
La cerniera è un vincolo che impedisce qualsiasi spostamento del punto A
al quale è applicata:
u(A) = 0 .
Dunque la cerniera è un vincolo doppio che sottrae al corpo C due gradi
di libertà. In funzione dei parametri di spostamento del corpo rigido C , le
equazioni di vincolo assumono la forma:
"
u1 (Q) − ϕ(yA − yQ ) = 0
(4.10)
u2 (Q) + ϕ(xA − xQ ) = 0 .
Risulta inoltre:
u(P) = u(A) + ϕe3 × (P − A) = ϕe3 × (P − A) ,
cioè il campo di spostamenti è una rotazione intorno ad A (C ≡ A).
Doppio pendolo (figura 4.7)
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dunque il doppio pendolo è un vincolo doppio. In sua presenza il corpo C può
solo traslare lungo la direzione perpendicolare ad e, ossia ruotare intorno al
punto improprio associato alla direzione di e. Infatti
u(P) = u(A) + ϕe3 × (P − A) = u(A) ⊥ e .
Pendolo improprio – talvolta denominato doppio doppio pendolo – (figura
4.8)
È un vincolo semplice che impedisce al corpo cui è applicato di ruotare
permettendo invece di traslare in ogni direzione. La sua equazione di vincolo
è dunque
ϕ=0
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A. A. 2009-2010
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(4.13)
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Richiami di cinematica del corpo rigido
4.5
Cinematica delle travi
Il corpo C può traslare lungo una generica direzione, ovvero ruotare intorno ad
un generico punto improprio; esso può quindi essere pensato come un pendolo
avente come asse la retta impropria.
4
Richiami di cinematica del corpo rigido
4.5
Cinematica delle travi
Si consideri una curva L semplice e regolare, per la quale in ogni suo
punto risulta definito il versore tangente t (figura 4.9). Si consideri un piano
π ortogonale a t che interseca L in G, ed una regione piana A giacente su π e
avente baricentro in G. Se il punto G si sposta lungo la curva L mantenendo
il piano ortogonale a L , la regione A descrive una regione dello spazio che
individua un corpo continuo. Si suppone poi che il diametro della regione
A sia molto minore della lunghezza della curva L e che quest’ultima abbia
debole curvatura. In tal caso il corpo continuo si definisce trave, la curva L
linea d’asse della trave e la regione A sezione trasversale della trave.
Fig. 4.8
Incastro (figura 4.8)
L’incastro è un vincolo che impedisce qualsiasi spostamento del corpo a
cui è applicato. Le equazioni di vincolo sono
"
u(A) = 0
(4.14)
ϕ = 0.
ovvero

 u1 (A) = 0
u (A) = 0
 2
ϕ = 0.
(4.15)
Esso è un vincolo triplo e il suo effetto è indipendente dal punto di applicazione. Risulta u(P) = 0 per ogni P ∈ C , dunque l’incastro esclude la presenza
di alcun centro di rotazione in quanto il campo degli spostamenti consentiti è
identicamente nullo.
4.5
Per descrivere un cambiamento di configurazione di una trave bisognerebbe
assegnare un campo di spostamento tridimensionale del tipo:
u : P ∈ Ω → u(P) .
Cinematica delle travi
La trave è un corpo continuo con una dimensione (longitudinale) prevalente
sulle altre dimensioni.
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Fig. 4.9
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A. A. 2009-2010
Nel modello monodimensionle considerato si assume che, a seguito della deformazione, ciascuna sezione trasversale rimanga rigida. Lo spostamento di
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4
Richiami di cinematica del corpo rigido
4.5
Cinematica delle travi
ciascun punto appartenente alla generica sezione trasversale AG di baricentro G può essere descritto dai parametri u(G) e ω(G) tramite la formula di
rappresentazione degli spostamenti rigidi infinitesimi
u(P) = u(G) + ω(G) × (P − G)
∀ P ∈ AG .
4
Richiami di cinematica del corpo rigido
Sconnessioni
Poiché ogni sezione trasversale è rigida, possiamo considerare per esse i
vincoli dei corpi rigidi prima richiamati. In questo caso assumeremo che i
vincoli siano applicati al baricentro della sezione.
4.6
Se l’asse L è contenuto tutto in un piano α che risulta inoltre piano di
simmetria per la trave, questa si dice trave piana (figura 4.10). In tal caso
i piani π in cui sono contenute le sezioni trasversali sono perpendicolari ad
α e la traccia di α su π è asse di simmetria per ciascuna sezione trasversale.
Nel seguito identifichiamo, da un punto di vista cinematico, la trave con il
4.6
Sconnessioni
Le sconnessioni sono quei dispositivi in corrispondenza dei quali le funzioni
u1 (s), u2 (s), ϕ(s) che descrivono i parametri di spostamento della trave, possono subire discontinuità. Nella nostra trattazione si riscontreranno unicamente
funzioni f (s) con discontinuità di prima specie, per le quali esistono i seguenti
limiti:
lim f (s) = f (s̄+ ) '= lim f (s) = f (s̄− ) .
s→s̄+
s→s̄−
!
Indicheremo con [[f ]]!s=s̄ = f (s̄+ ) − f (s̄− ) il salto della funzione f in s̄ (figura
4.11).
Fig. 4.11
Fig. 4.10
solo asse L . Fissato un riferimento cartesiano ortogonale con versori e1 ed e2
paralleli al piano α, ed un’ascissa curvilinea s su L , si ha:
u(G) = u(s) = (u1 (s), u2 (s), 0) ,
ω(G) = ω(s) = (0, 0, ϕ(s)) ,
dove ϕ(s) rappresenta la rotazione della sezione trasversale di ascissa s. I
parametri di spostamento infinitesimi sono quindi u1 (s), u2 (s), ϕ(s).
In altri termini la configurazione cinematica della trave resta definita dalla
posizione della linea d’asse (linea elastica) e dalla funzione ϕ(s).
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Si definisce grado di sconnessione sil numero di funzioni scalari che possono
risultare discontinue in corrispondenza della sconnessione stessa. Il numero
di funzioni scalari che si mantengono continue prende il nome di grado di
connessione c. Si ha s + c = 3.
Sconnessione cerniera (figura 4.12)
Una sconnessione cerniera permette ai due elementi collegati di ruotare
l’uno rispetto all’altro rimanendo uniti nella sezione A. La funzione che risulta
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4
Richiami di cinematica del corpo rigido
4.6
Sconnessioni
4
Richiami di cinematica del corpo rigido
4.6
Sconnessioni
discontinua in A è quindi la rotazione ϕ, mentre gli spostamenti u1 e u2 sono
continui, risulta cioè
!
!
[[ϕ]]!A ∈ R , [[u]]!A = 0 .
La cerniera ha quindi un grado di sconnessione pari a 1 e connessione pari a
2, ed è descritta dalle seguenti equazioni scalari:
!
&
[[u1 ]]!A = 0
.
!
[[u2 ]]! = 0
A
Sconnessione doppio pendolo (figura 4.12)
Una sconnessione doppio pendolo permette ai due elementi collegati di
spostarsi l’uno rispetto all’altro nella direzione ortogonale all’asse dei pendoli,
impedendo la rotazione relativa e lo spostamento in direzione dell’asse. Risulta
quindi
!
!
!
[[u]]!A · d ∈ R , [[ϕ]]!A = 0 , [[u]]!A · e = 0 .
Il doppio pendolo ha quindi un grado di sconnessione pari a 1 e connessione
pari a 2, ed è descritta dalle equazioni
!
&
[[ϕ]]!A = 0
!
[[u]]! · e = 0 .
A
Sconnessione pendolo (figura 4.12)
Una sconnessione pendolo permette ai due elementi collegati di ruotare e
spostarsi nella direzione ortogonale all’asse dei pendoli, l’uno rispetto all’altro,
impedendo lo spostamento relativo in direzione dell’asse. Risulta quindi
!
!
!
[[u]]!A · d ∈ R , [[ϕ]]!A ∈ R , [[u]]!A · e = 0 .
Il pendolo ha quindi un grado di sconnessione pari a 2 e connessione pari a 1
ed è descritta dal’equazione
!
[[u]]!A · e = 0 .
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Fig. 4.12
Sconnessione pendolo improprio (figura 4.12)
Una sconnessione pendolo improprio permette ai due elementi collegati
di spostarsi l’uno rispetto all’altro in una direzione qualunque, impedendo la
rotazione relativa. Risulta quindi:
!
!
[[u]]!A ∈ V , [[ϕ]]!A = 0 .
Il grado di sconnessione è pari a 2 e il grado di connessione è pari a 1.
L’equazione di connessione è
!
[[ϕ]]! = 0 .
A
Una sconnessione di grado 3 rappresenta una separazione degli elementi costituenti la trave, mentre una connessione di grado 3 rappresenta una
situazione in cui tutte le funzioni sono continue (non vi è alcuna sconnessione).
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