TIR

T.I.R. – www.alexpander.it
TIR [i*] (Tasso Interno di Rendimento)
[ovvero IRR (Internal Rate of Return)]
Definizione 1: tasso di sconto che eguaglia il valore attuale dei flussi di cassa netti attesi
nel tempo al valore dell’attività che li genera
x1v1 + x2v2 + ….. + xnvn = p
x1 (1+i*)-1 + x2 (1+i*)-2 + xn (1+i*)-n = p
x2
xn
x1
= p
+
2 + … +
(1+i* )n
1+i*
(1+i* )
Definizione 2: Tasso di interesse i* della legge di sconto esponenziale conformemente
alla quale un’operazione finanziaria risulta equa (= 0)
- p + x1v1 + x2v2 + ….. + xnvn = 0
Σ(k=0→n) xkvk = 0
(dove x1<0 ed x≠1>0 o viceversa)
È uno dei metodi più usati per la scelta dell’investimento.
1. Se è preso a riferimento un determinato tasso di rendimento ritenuto accettabile, a
fronte di un investimento, questo ultimo è considerato opportuno e conveniente
solo se i* ≥ al tasso accettabile.
2. Nel caso di un investimento finanziato totalmente con capitale di prestito,
l’investimento è considerato conveniente solo nel caso in cui i*> tasso di interesse
da pagare sul prestito
3. Nel caso di investimento, tra più operazioni possibili, si sceglierà quella con i*
maggiore
4. Nel caso di finanziamento (indebitamento), si sceglierà l’operazione con i*
minore.
Domanda che ci si pone nell’impostazione del calcolo di i*: “quale tasso di interesse si
ricava dai capitali investiti?”
(non ci si chiede solamente: “quanto mi consentirà di guadagnare l’operazione?”)
Il TIR è un metodo oggettivo perché si fonda su caratteristiche esclusivamente
intrinseche dei progetti da confrontare
(i* è un parametro che non dipende dalle dimensioni finanziarie o temporali
dell’operazione, ma solo sulle “qualità”, indica un valore relativo, non assoluto!)
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Esempio
-1000
500
600
700
0
1
2
3
-3000
1500
1800
2100
0
1
2
3
-3000
1500
1800
2000
0
1
2
3
VAN (5%) A = €
625,10
A
TIRA = 33,87%
VAN (5%) B = € 1.875,28
B
TIRB = 33,87%
VAN (5%) C = € 1.788,89
C
TIRC = 32,89%
Secondo le indicazioni del VAN …. A<C<B
Secondo le indicazioni del TIR …. C<A=B
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CALCOLO DEL TIR (Algoritmo di Newton)
Il TIR è quel tasso i* tale che
- p + x1v1 + x2v2 + ….. + xnvn = 0
quindi…
1
x1v + x2v2 + ….. + xnvn = p
Se prendiamo in considerazione la f(v) = x1v1 + x2v2 + ….. + xnvn
E ne studiamo le caratteristiche, possiamo notare che essa è una funzione monotona
crescente convessa passante per l’origine perché:
a) v = 0 f(v) = o [passa per l’origine]
b) v = +∞ f(v) = +∞
c) f ‘(v) = x1 + 2 x2v + ….. + n xnvn-1 >0
[derivata prima >0 → funzione crescente]
d) f ‘‘ (v) = 2 x2 + 6 x3v + ….. + n(n-1) xnvn-2 >0
[derivata seconda >0 → funzione convessa]
Esiste dunque un solo valore di v per cui f(v*) = p
Calcolo per iterazione:
1.
2.
3.
4.
Scelgo a piacere un numero di v1 compreso tra 0 e 1 ( 0<v1<1 )
Calcolo f(v1)
Se f(v1) = p → v1 = v*
Se f(v1) ≠ p → Scrivo l’equazione della retta tangente nel punto di ascissa v1. yf(v1) = f ‘(v1) (v2 – v1)
5. Interseco con la retta y = p
Si avrà dunque p - f(v1) = f ‘(v1) (v2 – v1)
[p - f(v1)] / f ‘(v1) = v2 – v1
v2 = [p - f(v1)] / f ‘(v1) + v1
v2 = v1 - [f(v1) - p] / f ‘(v1)
generalizzando:
[f(vn) - p]
f ‘(vn)
vn+1 = vn -
Esistono due regole per casi particolari:
- ZCB (Zero coupon bond, titoli a cedola nulla): i* = i
- Titoli a cedola fissa: i* = I / C (tasso cedolare)
Teorema di Cartesio → TIR applicabile solo ad operazioni che cambiano segno una sola
volta!
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