I criteri di similitudine introdotti a partire dalle trasformazioni

I criteri di similitudine introdotti a partire dalle
trasformazioni
Cinzia Cerroni, Rosa Conforto, Leo Maggio
Introduzione
La scelta metodologica di introdurre i criteri di similitudine a partire dalle trasformazioni nasce
dall’esigenza di non vedere le figure geometriche in modo statico, bensì in modo dinamico. Infatti,
mediante le trasformazioni è possibile percepire come si può “deformare” una figura ottenendo
sempre una figura simile ad essa.
Tutte le attività che pensiamo di proporre fanno uso del software didattico Cabri, che permette di
agire dinamicamente sulle figure, e quindi dà un forte sostegno didattico alla nostra scelta. Inoltre,
poter verificare proprietà tramite il Cabri, permette ad i ragazzi di fare congetture, al fine di
stimolarli alla ricerca della dimostrazione.
Conseguentemente, poiché noi definiamo due figure simili quando si corrispondono in una
similutine si è pensato di farne congetturare i criteri, utilizzando il Cabri.
Il seguente segmento è rivolto ad un biennio di liceo, e si articola, in particolare, mediante due
attività, che utilizzano due approcci diversi: il primo che parte dalle trasformazioni, ed il secondo
che parte dalle figure simili; in questo modo pensiamo di dare una visione completa dell'argomento.
Infine, sono proposte delle verifiche che comprendono l'analisi del testo, il disegno della
situazione geometrica, e l'utilizzo del Cabri.
Queste ultime sono pensate sia come lavori individuali che di gruppo, e possono essere sia chiuse
che aperte, al fine di valutare i diversi livelli di apprendimento dei ragazzi.
MODULO
Trasformazioni
UNITÀ
SEGMENTI
OBIETTIVI
CONOSCERE SAPER FARE
VERIFICHE
ATTIVITÀ
Svolte facendo uso di
Cabrì
Esercizi proposti
In classe o
individualmente
Isometrie
Similitudini
I Criteri di
Similitudine
introdotti a partire
dalle
trasformazioni
• Le
Trasformazioni
similitudini
•
q
Costruire la
trasformazione
similitudine come
composizione di
trasformazioni.
•
Far costruire con
una macro guidata
la trasformazione
similitudine
q
Visualizzare e
Confrontare
figure simili.
•
q
Dimostrare i
criteri di
similitudine.
Date o costruite
due figure simili
determinare la
omotetia che
applica l’una
nell’altra.
•
Dopo aver
trasformato una
figura con una
similitudine, far
congetturare i
criteri e farli poi
verificare.
Criteri di
similitudine
•
Dato un
triangolo
isoscele
costruire il
triangolo
isoscele simile a
quello dato.
•
Date due
circonferenze
determinare le
omotetie che
trasformano
l’uno nell’altro.
ATTIVITÀ
•
Costruzione guidata della macro
1. Disegnare un poligono P (il più generale);
2. Fissare un punto C;
3. Applicare sul poligono P una rotazione attorno al punto C, ottenendo il poligono P’;
4. Applicare su P’ una traslazione, ottenendo il poligono P’’;
5. Applicare su P’’ un’ omotetia;
6. Porre come oggetti iniziali della Macro: Il poligono P, il centro di rotazione, l'angolo di
rotazione, il vettore di traslazione, il centro dell'omotetia, ed il rapporto dell'omotetia; come
oggetto finale il poligono simile ottenuto.
(cfr. macro1.mac, macro1a.fig, macro1b.fig, macro1c.fig, macro1d.fig )
L'obiettivo di questa attività è quello di far capire ai ragazzi come costruire una similitudine come
composizione di isometrie ed omotetie. Pertanto, sono importanti i passi della costruzione.
Nota: La macro costruisce figure simili ad una data partendo da un poligono di al più 18 lati, per
tutte le figure con un numero di lati minore od uguale a venti. Poiché cabri non distingue i poligoni
concavi da quelli convessi, nelle figure simili costruite pone delle diagonali. Bisognerà dire ai
ragazzi di ignorare le diagonali, oppure di fare figure simili con lo stesso numero di lati del
poligono di partenza.
•
Domande stimolo
1. Cosa otteniamo se nella precedente costruzione riduciamo il vettore traslazione ad un punto?
2. Cosa otteniamo se nella precedente costruzione poniamo il rapporto di omotetia uguale ad 1?
3. Cosa otteniamo se nella precedente costruzione poniamo l'angolo di rotazione uguale a zero?
4. Che cosa faresti per far coincidere i due poligoni?
5. Che cosa faresti per ottenere un poligono congruente al poligono di partenza? (esplicita
le trasformazioni o la composizione di trasformazioni che intendi attuare per la consegna).
• Dopo aver trasformato una figura con una similitudine, verificare che la
figura ottenuta soddisfi a qualche criterio.
q
Divideremo gli studenti in gruppi e proporremo loro di ottenere figure simili ad una figura data
usando la macro precedentemente costruita, od anche semplicemente le omotetie.
q
Successivamente chiederemo loro di individuare le proprietà caratteristichc delle figure trovate,
misurando i lati o gli angoli con il Cabri, ponendo le seguenti domande o solo alcune di esse
(a seconda di come procede il lavoro o delle osservazioni fatte dai ragazzi):
1. Cosa hanno di uguale le due figure ?
2. In che rapporto sono i lati delle figure?
3. Quali sono le proprietà minime che due figure devono avere perché si corrispondano in una
similitudine?
In questo modo spingeremo i ragazzi a congetturare i criteri di similitudine, per far nascere in essi il
la necessità di dimostrare la congettura fatta. In seguito, quindi, faremo insieme la dimostrazione
formale.
• Date o costruite due figure simili determinare la trasformazione che
applica l’una nell’altra
Obiettivo di questa attività è di far fare ai ragazzi il processo inverso a quello fatto nella precedente
attività. Questa attività è pensata sempre in modo interattivo.
1. Costruzione guidata di una macro che permette di determinare un triangolo simile ad uno dato
(cfr. macro2.mac):
a) Disegnare il triangolo, con l'opzione poligono;
b) Unire i vertici del triangolo con i segmenti;
c) Prendere un punto P esterno al triangolo;
d) Tracciare le rette paralelle, rispettivamente, a due lati del triangolo per il punto P;
e) Fissare un punto Q esterno alle rette parallele tracciate, ed internamente all'angolo individuato
dalle due rette stesse;
f) Tracciare la retta per il punto Q, parallela al terzo lato del triangolo.
g) Ridisegnare il triangolo così ottenuto con l'opzione poligono.
Oggetti iniziali della macro: triangolo, punto P, primo lato del triangolo, secondo lato del
triangolo, punto Q, terzo lato del triangolo. Oggetto finale: triangolo simile ottenuto.
2. Costruzione guidata o non di un triangolo simile ad un triangolo dato, come segue: inizialmente
facendo percorrere i passi della macro del punto 1 (escluso i passi b e g che sono tecnicamente
funzionali alla macro), in seguito facendo usare la macro stessa.
3. Far determinare l'omotetia che applica un triangolo nell'altro. Passo importante, la
determinazione del centro dell'omotetia, e del rapporto (per visualizzare la sovrapposizione si
farà cambiare il colore della figura simile a quella data, cfr. Figura1).
4. In seguito, si farà muovere il punto Q e si farà osservare che si sposta il centro dell’omotetia; si
avranno ancora 3 figure omotetiche rispetto allo stesso centro, di cui quella ottenuta con
l’omotetia conserva lo stesso rapporto dell’omotetia di partenza (2,44 in particolare), mentre il
rapporto di omotetia di quella ottenuta con la macro cambia (cfr. Figura1b).
Osservazione : questa attività ha fatto verificare, in particolare, agli studenti che due triangoli a
lati rispettivamente paralleli sono omotetici.
VERIFICHE
Dato un triangolo isoscele costruire il triangolo isoscele simile a quello dato.
•
Questa verifica è pensata per essere data singolarmente. Si proporrà agli studenti di utilizzare o
la composizione di trasformazioni oppure di costruire il triangolo simile facendo uso delle
conoscenze teoriche dei criteri di similitudine.
•
Tra le difficoltà che può incontrare lo studente, da notare, c’è quella di costruire un triangolo
isoscele con il Cabrì, si ritiene però istruttiva anche questa parte. (Dovrà pensare a costrursi
l’asse del segmento, ed unire poi gli estremi del segmento con un punto dell’asse).
•
Si valuterà maggiormente lo studente che utilizzerà più tecniche per costruire la figura simile a
quella data.
Date due circonferenze determinare le omotetie che trasformano l’una
nell’altra.
Questa verifica è pensata per essere svolta in classe, dividendo i ragazzi in gruppi.
Si faranno le seguenti domande:
1. Quante omotetie ci sono?
2. Dove sono i centri di omotetia?
3. Quali sono i rapporti di omotetia?
4. Secondo voi i rapporti delle omotetie sono uguali in valore assoluto? Hanno lo stesso segno o
segno opposto?
5. Se voglio applicare la seconda circonferenza nella prima cosa devo cambiare nelle omotetie
precedenti?
Obiettivo di questa verifica è quello di far capire agli studenti che cambiando il segno nel rapporto
di omotetia cambia l’orientamento. (cfr. Figura 2, Figura2b, Figura2c, Figura2d)