Prova scritta di GEOMETRIA 1-2 CL Matematica

Prova scritta di GEOMETRIA 1-2
C.L. Matematica
28 gennaio 2015
studenti immatricolati prima dell’aa 2013-14
1. Si consideri la matrice


−2 1
1
A =  1 −2 1  .
1
1 −2
a) Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo
Ax = 0.
Dire se l’insieme W di tali soluzioni è un sottospazio di R3 ed in caso
affermativo determinarne una base.
b) Determinare un vettore v ∈ R3 tale che il sistema
Ax = v
non ammetta soluzioni.
2. Si consideri la forma quadratica q : R4 → R definita da
q(x, y, z, t) := xy + xz + yt + zt.
a) Determinare una base diagonalizzante per q.
b) Stabilire per quali valori di k ∈ R esiste una base diagonalizzante
{v1 , v2 , v3 , v4 } tale che
q(v1 ) = k + 1, q(v2 ) = 0, q(v3 ) = k − 1, q(v4 ) = 0.
3. Si considerino in E2 le rette r : x + y − 1 = 0, s : x − y + 1 = 0,
t : x − 3y = 0.
1) Si scrivano le equazioni delle circonferenze tangenti sia a r che a
s ed aventi centro su t;
2) detti P il punto di intersezione tra r e s, Q il punto di intesezione
tra s e t, R il punto di intesezione tra r e t, si determini il terzo vertice R0 del triangolo isoscele avente il segmento P Q come altezza
e R come ulteriore vertice, si calcoli l’area del triangolo QRR0 e si
stabilisca se tale triangolo è equilatero.
4. Si considerino in E3 il punto A(1, 1, 1), il piano π : y + z − 2 = 0, le
rette
(
(
(
z=0
x+z =0
x=z
r:
s:
t:
x+y =0
y+z =0
2y + z = 2
1) Si determini la retta contenuta nel piano π incidente r e perpendicolare a t;
2) si scriva l’equazione della sfera Σ tangente π in A e passante per
O;
3) si scriva l’equazione del piano tangente in O a Σ.
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