TEORIA DEI SEGNALI (CFU 9) [EL] DOCENTE: Banelli Paolo

TEORIA DEI SEGNALI (CFU 9) [EL]
DOCENTE: Banelli Paolo
OBIETTIVI:
Comprendere il significato di contenuto spettrale associato a segnali tempo continui e discreti,
determinati e aleatori, descritti da funzioni variabile nel tempo. Comprendere il concetto di
elaborazione di un segnale attraverso un dispositivo (lineare e non lineare) che ne modifichi
l’andamento temporale e il contenuto spettrale: comprendere il concetto di filtro, analogico e
discreto, e di funzione di trasferimento. Introdurre i primi rudimenti di ricetrasmissione
analogica e discreta.
CONTENUTI:
Concetto di segnale e analisi spettrale (22 ore)
Concetto di segnale (continuo, discreto, periodico). Energia, potenza, valor medio. Operazioni
tra segnali. Segnali elementari. Sviluppo in serie di Fourier di segnali periodici: proprietà di
convergenza, ortogonalità, concetto di spettro a righe (modulo e fase), relazione tra potenza e
coefficienti dello sviluppo di Fourier. Trasformata continua di Fourier (TCF). Concetto di
spettro continuo per segnali aperiodici. Condizioni di esistenza e dimostrazione delle
proprietà fondamentali della TCF. Teorema di Parseval. Calcolo di TCF di segnali notevoli.
Metodo della derivata.
Transito dei segnali nei sistemi e spettri di densità di energia e potenza (16 ore)
Sistemi lineari e non lineari: causalità, permanenza. Sistemi lineari e permanenti (LP):
risposta impulsiva, integrale di convoluzione, funzione di trasferimento, stabilità BIBO,
causalità. Sistemi LP in cascata e parallelo. Esempi: filtri RC-CR, integratore, derivatore,
modello di canale a due raggi, quadratore, modulo.
Integrale di correlazione incrociata di energia (potenza) e proprietà. Autocorrelazione di
energia e potenza, spettro di densità di energia (SDE) e spettro di densità di potenza (SDP).
Teoremi di Wiener-Kintchin per SDE e SDP. Autocorrelazione, SDE, SDP in ingresso e in
uscita a sistemi LP. SDP e autocorrelazione di potenza di segnali periodici.
Campionamento dei segnali e sistemi tempo discreti (14 ore)
Campionamento di un segnale: teorema del campionamento di Nyquist-Shannon,
ricostruzione, aliasing e filtraggio anti-aliasing. Campionamento e ricostruzione non ideale
(reale, naturale, tenuta, interpolazione lineare, troncamento). Analisi spettrale di sequenze
numeriche: relazione con i campioni di un segnale, Discrete Time Fourier Transform (DTFT)
e relazioni con TCF. Trasformata Zeta (TZ) bilatera e relazioni con DTFT. Antitrasformata
Zeta e teorema dei residui. Relazioni con Trasformata di Laplace (TL) per sequenze
campionate. Proprietà fondamentali di DTFT e TZ e trasformate di sequenze notevoli (delta di
Kronecker, costante, gradino, rettangolo, esponenziale unilatera, esponenziale complessa).
Sistemi LP tempo discreti: convoluzione discreta e funzione di trasferimento H(z). Regione di
convergenza della H(z) e stabilità. Implementazione di sistemi discreti: singolo polo e zero,
generalizzazione per H(z) frazionarie ed equazione alle differenze, sistemi FIR e sistemi IIR,
espansione H(z) in poli e zeri e in frazioni parziali (FP). Spettro di sequenze periodiche: la
Discrete Fourier Series (DFS). Sequenze a durata finita ottenute per campionamento di un
segnale: la Discrete Fourier Transform (DFT) e il campionamento dello spettro del segnale
campionato. Proprietà fondamentale DFT: la convoluzione circolare. Risoluzione spettrale
della DFT di un segnale campionato: “zero-padding” nel tempo. “Zero-padding” in frequenza
e interpolazione nel tempo. Progetto di filtri numerici da filtri analogici: teorema
dell'invarianza della risposta impulsiva (IRI) e metodo della trasformata bilineare (TRB) con
relative conseguenze sulla trasformazione da FP della TL a FP della TZ. Progetto di filtri FIR
con metodo del finestramento. Esercitazione al calcolatore: trasformazione di un filtro
analogico RC in un filtro numerico con metodo IRI e TRB. Rappresentazione matriciale di:
convoluzione discreta (lineare e circolare) e della DFT.
Processi Aleatori (P.A.) e transito nei sistemi (21 ore)
Richiami su: autocorrelazione statistica, stazionarietà e ciclostazionarietà di P.A. Processi
gaussiani e armonici. Definizione di spettro di densità di potenza (SDP) di un P.A. come
media statistica degli SDP di ciascuna realizzazione, per processi aleatori stazionari e non
stazionari (teorema di Wiener Kintchin per P.A.). SDP di processi armonici con fase e
frequenza aleatoria.
Transito di P.A. in sistemi LP. Valore medio, autocorrelazione e SDP in ingresso e in uscita.
Processi Gaussiani in sistemi lineari e non lineari (densità di probabilità marginali e
congiunte, ingresso, uscita e miste).
Concetto di ergodicità: relazione con stazionarietà, condizioni per la ergodicità in media e
correlazione. Il segnale della Pulse Amplitude Modulation (PAM): cenni al suo impiego nei
sistemi di trasmissione digitale, autocorrelazione e SDP con simboli scorrelati e correlati,
ricezione a ISI nulla (progetto nel dominio della frequenza di filtri a ISI nulla), Bit Error Rate
(BER) per PAM binaria in canale AWGN, filtraggio adattato per BER minima.
Campionamento di un processo aleatorio: correlazione del processo campionato e matrice di
covarianza di un vettore di campioni. Filtraggio di processi aleatori discreti, relazioni tra
valori medi e matrici di covarianza in ingresso e uscita, decorrelazione di campioni correlati.
Rappresentazione dei segnali passa-banda e modulazioni analogiche (8 ore)
Trasformata di Hilbert e sue proprietà. Rappresentazione di segnali passa-banda: segnale
analitico, inviluppo complesso e componenti analogiche di bassa frequenza (CABF).
Estrazione CABF da segnale modulati: errore di sincronizzazione di frequenza e di fase.
Cenni alle modulazioni analogiche (AM, DSB, SSB, FM) e demodulazioni coerenti e non
coerenti in assenza di rumore. Esempi di modulazioni AM e FM al calcolatore. Esercizio:
demodulazione per sottocampionamento. Processi aleatori passa-banda: rappresentazione e
stazionarietà in senso lato. Rumore passa banda ed effetto sulla demodulazione di segnali
passa-banda: rapporto segnale-rumore e banda equivalente di rumore.
PREREQUISITI:
Analisi Matematica II, Geometria I, Teoria della Probabilità e della Misurazione.
TESTI CONSIGLIATI:
M. Luise, G. Vitetta, Teoria dei Segnali, Casa Editrice: McGraw-Hill, III ed., 2009
TESTI DI CONSULTAZIONE:
Verrazani, Corsini, Teoria dei Segnali: Segnali Determinati, Casa Ed.: ETS, Pisa, 1995.
A. Papoulis, Probability, Random Variables and Stochastic Processes, McGraw Hill, New
York City, 1965 (I ed) -2002(IV ed).
A. Papoulis, Circuit and Systems, a modern approach, HRW Inc, New York City,1980.
MODALITÀ DI VERIFICA DEL PROFITTO:
La verifica consiste in una prova scritta della durata di circa 2 ore, e una prova orale. La prova
scritta prevede lo svolgimento di due esercizi. Si accede alla prova orale solo dopo aver
superato la prova scritta con una votazione maggiore o uguale a 15/30.