Esercitazioni di Macchine

Transcript

Corso di Macchine a fluido
Dipartimento di Energia, Politecnico di Milano
Esercitazioni del corso di
MACCHINE
per Allievi Energetici
a.a. 2013/14
Esercizi di Macchine
Indice
1 Equazioni di conservazione
3
2 Impianti di sollevamento acqua
e macchine operatrici idrauliche
5
3 Impianti idroelettrici e turbine idrauliche
13
4 Compressori di gas
18
5 Cicli Rankine e turbine a vapore
24
6 Cicli e turbine a gas
36
2
Capitolo 1
Equazioni di conservazione
Esercizio 1.1
Una macchina opera tra una pressione di ingresso pari a 10 bar e una pressione di uscita di 6 bar. All’ingresso il
fluido di lavoro (aria) si trova alla temperatura di 1000 K. La macchina fornisce all’esterno una potenza meccanica di
450 kW e cede all’ambiente una potenza termica pari a 50 kW. Si vuole determinare la temperatura dell’aria in uscita
dalla macchina sapendo che la portata è 5 kg/s. Si trascurino le energie cinetiche e la differenza di quota sulle sezioni
di ingresso e uscita. (ARIA : R = 287 J/kg K; Cp = 1004 J/kg K)
Esercizio 1.2
Si consideri una macchina che elabora una portata di 10 kg/s di aria. Le condizioni in ingresso (1) e uscita (2) sono
p1 = 1 bar, T1 = 20◦ C, p2 = 1 bar, T2 = 400◦ C; i diametri dei condotti in ingresso in uscita sono D2 = D1 = 0.5 m.
Il lavoro prodotto è 1/3 del calore entrante.
a) Si calcoli la potenza meccanica prodotta dalla macchina.
b) Ipotizzando che il calore ceduto alla macchina sia prodotto per mezzo di una combustione esterna di un combustibile con potere calorifico inferiore pari a 40000 kJ/kg, se ne calcoli il consumo orario.
(ARIA : R = 287 J/kg K; Cp = 1004 J/kg K)
Esercizio 1.3
Una macchina disposta su un asse orizzontale è alimentata da una portata di 10 kg/s di aria (R = 287 J/kg K;
Cp = 1004 J/kg K) alla pressione p1 = 10 bar e alla temperatura T1 = 100◦ C, da un condotto circolare di diametro
D1 = 100 mm. All’uscita della macchina la stessa portata di aria è nelle condizioni p2 = 2 bar, T2 = 20◦ C ed è
scaricata da un condotto di diametro D2 = 300 mm. Dalle pareti non adiabatiche della macchina si rileva una fuga
termica verso l’esterno pari a 500 kW. Si verifichi se la macchina è motrice o operatrice e a quanto ammonta la potenza
meccanica scambiata con l’esterno.
Esercizio 1.4
Una macchina idraulica (fluido incomprimibile) è caratterizzata da una sezione di ingresso di 0.5 m2 nella quale la
velocità dell’acqua è di 6 m/s e la pressione è pari a 1 bar. La sezione di uscita è di 1 m2 e la pressione allo scarico è
di 10 bar. La sezione di uscita è posta ad una quota di 15 m sopra la sezione di ingresso.
a) Si calcoli la potenza meccanica effettivamente comunicata dalla macchina al fluido.
b) Si ipotizzi ora che la temperatura dell’acqua aumenti nell’attraversamento della macchina di 0.15 K, si calcoli la
potenza meccanica scambiata dalla macchina con l’esterno e il rendimento della macchina.
Esercizio 1.5
Il rotore di un ventilatore assiale ideale (intubato) ha un diametro medio di 200 mm, una altezza di pala di 50 mm,
aspira dall’ambiente (p1 = 1 bar) una portata di 0.5 m3 /s e ruota ad una velocità di 3000 giri/min. Ipotizzando la
componente assiale costante nell’attraversamento del rotore ed ammettendo per la palettatura rotorica una deflessione
di 20 gradi, si chiede di determinare il lavoro che la macchina riesce a fornire idealmente al fluido.
3
Esercizio 1.6
Una macchina centrifuga ideale opera su un fluido non comprimibile secondo i valori sotto riportati:
- n = 1500 giri/min
- Portata oraria V̇h = 1000 m3 /h
- Altezza di pala allo scarico B2 = 20 mm
- Diametro medio scarico D2m = 300 mm
- Angolo β2 = 90◦
- Altezza di pala all’ingresso B1 = 50 mm
- Diametro medio ingresso D1m = 150 mm
Si calcoli il lavoro della macchina in base alle due formulazioni dell’equazione di Eulero.
Risultati capitolo 1
Esercizio 1.1:
T2 = 900.4 K
Esercizio 1.2:
L̇ = 1.93 MW; ṁc = 520.3 kg/h
Esercizio 1.3:
M. motrice; L̇ = 378.6 kW
Esercizio 1.4:
L̇fluido = −3.1 MW; L̇esterno = −4.98 MW; η = 0.62
Esercizio 1.5:
` = −519.1 J/kg
Esercizio 1.6:
` = −555.4 J/kg
4
Capitolo 2 Impianti di sollevamento acqua
e macchine operatrici idrauliche
Esercizio 2.1
Un serbatoio è posto ad una quota di 25 m dal suolo e ad una pressione pari a quella atmosferica. La tubazione di
collegamento dal serbatoio all’atmosfera è lunga L= 50 m, ha un diametro D1 = 200 mm e termina con un boccaglio
di diametro d = 80 mm posto al livello del suolo. Il coefficiente di perdita per attrito nel tubo vale λ = 0.01. Sono
note inoltre le seguenti fonti di perdite localizzate:
- 5 curve a 90o (ciascuna con coefficiente di perdita localizzato ξc = 0.3)
- 1 valvola di aspirazione con filtro (ξc = 0.8)
Si chiede di determinare:
a) La portata di acqua fluente nell’impianto e la pressione nel tubo immediatamente prima del boccaglio in assenza
di perdite.
b) In presenza di perdite, si calcoli il diametro necessario al boccaglio per ottenere la stessa portata calcolata in
precedenza
c) Il diametro del boccaglio necessario per ottenere la stessa portata calcolata al punto b con una condotta di
diametro D10 = 150 mm.
Perdite localizzate: Yc =
Vi2
i ξc,i 2g
P
; perdite distribuite: Yd =
P
i
Li
λi D
i
Vi2
2g
Esercizio 2.2
In un circuito idraulico due pompe centrifughe poste in serie aspirano acqua da un bacino a pressione atmosferica e
la inviano ad un serbatoio mantenuto alla pressione assoluta di 5 bar, posto ad una quota di 25 m superiore a quella
del bacino.
Considerato che:
- il condotto di aspirazione ha diametro interno Da = 70 mm, scabrezza εa = 60 µm, lunghezza La = 12 m e
perdite di carico concentrate pari a 4 altezze cinetiche;
- il condotto di mandata si compone di due tubi in parallelo con diametro interno Dm = 42 mm, scabrezza
εm = 50 µm, lunghezza Lm = 40 m e perdite di carico concentrate pari a 18 altezze cinetiche;
e data la curva caratteristica delle pompe, si chiede di valutare la portata risultante nel circuito. Sapendo che il
rendimento organico ed elettrico sono pari rispettivamente a 0.95 e 0.90 e che l’assorbimento elettrico di ogni pompa
è pari a 7.5 kW, si chiede di determinare il rendimento idraulico della macchina.
Equazione caratteristica della pompa: Hp = −0.035(Q − 15)2 − 1.1(Q − 15) + 90 con Hp in m e Q in m3 /h. Usare il
diagramma di Moody allegato per il calcolo dei coefficienti di perdita distribuita λ.
Esercizio 2.3
Un impianto di sollevamento acqua è caratterizzato da:
- temperatura dell’acqua: 15◦ C
- moto pienamente turbolento
5
- condotto di aspirazione: La = 15 m, Da = 125 mm, perdite concentrate Ya = 700 mm, coefficiente delle perdite
distribuite λ = 0.0234 per V̇ = 60 m3 /h
- altezza di aspirazione della pompa: 3 m
- NPSH disponibile: 6 m (per V̇ = 60 m3 /h)
- NPSH richiesto: 1.5 m (per V̇ = 60 m3 /h)
Calcolare:
a) la portata massima elaborabile dall’impianto in assenza di cavitazione
b) l’altezza massima di aspirazione compatibile con una portata V̇ 0 = 80 m3 /h
c) la portata massima elaborabile in assenza di cavitazione quando la temperatura dell’acqua è di 80◦ C, con altezza
di aspirazione di 3 m. Si ipotizzi per semplicità che la pressione dei gas disciolti rimanga costante al variare della
temperatura.
Esercizio 2.4
Una pompa volumetrica alternativa a semplice effetto è costituida da due cilindri di 0.4 litri l’uno e ruota a 750
giri/min. Alle condizioni di normale funzionamento, all’interno di un ciclo chiuso, si ha:
- rendimento volumetrico: 94%
- rendimento idraulico: 77%
- rendimento organico: 96%
- rendimento del motore elettrico: 96%
- potenza assorbita: 7.2 kW
a) portata elaborata e potenza fornita in condizioni di progetto
b) velocità di rotazione e potenza assorbita per smaltire una portata pari all’80% di quella di progetto, nell’ipotesi
di regolare la pompa variando la velocità di rotazione
c) Potenza assorbita se la regolazione avviene mediante by-pass.
Si ipotizzi nel circuito idraulico condizioni di moto turbolento pienamente sviluppato. [ fluido: acqua. ρ = 1000 kg/m3 ,
viscosità dinamica µ = 1.1 · 10−3 Pa s]
Esercizio 2.5
Di una pompa centrifuga operante con acqua sono noti:
- velocità di rotazione: 2000 giri/minuto
- angolo della pala allo scarico: β2 = 38◦
- altezza di pala (costante) h = 30 mm
- diametro della girante allo scarico D2 = 140 mm
- diametro medio della girante all’ingresso D1 = 70 mm
- diametro della flangia di mandata: DM = 250 mm
- portata volumetrica V̇ = 50 l/s
- rendimento idraulico globale: 0.52
6
- pressione statica assoluta nella sezione di ingresso alla girante: p1 = 3 bar
Calcolare le velocità allo scarico della girante, la potenza entrante nella girante e la pressione statica alla flangia di
mandata.
Si svolga poi lo stesso esercizio nel caso in cui sia β2 = 90◦ e β2 = 128◦ .
Esercizio 2.6
Si deve progettare il rotore di una pompa assiale. Il rotore ruota a 1000 Rpm, deve fornire una prevalenza utile
di 11.75 metri e una portata di 0.94 m3 /s. Lo spazio a disposizione permette di avere un diametro alla base della
palettatura di 200 mm e un diametro all’apice di 400 mm. Si consideri costante la componente assiale della velocità e
si ipotizzi un rendimento idraulico di 0.7.
a) In ipotesi monodimensionali, valutate sul raggio medio, si disegnino i triangoli della velocità in grado di realizzare
le prestazioni richieste supponendo assiale la direzione del flusso in ingresso al rotore.
b) Si tracci uno schizzo di massima evidenziando la metodologia per la definizione del profilo di mezzeria.
Esercizio 2.7
Un circuito di sollevamento trasporta acqua fra due bacini grazie all‘azione di una pompa sommersa (avente curva
caratteristica assegnata in Fig. 1) che viene regolata mediante variazione della velocità di rotazione. Il fluido si muove
attraverso due tubi posti in parallelo aventi diametro interno 40 mm, scabrezza 50 µm, lunghezza 60 m e perdite di
carico concentrate pari a 7 altezze cinetiche. Alla velocità di rotazione di 2500 giri/min, la portata totale fluente nel
circuito è pari a 35 m3 /h. Valutare la velocità di rotazione della pompa in grado di mantenere la portata di 35 m3 /h
nel caso in cui uno dei due tubi sia posto fuori servizio. Valutare altresı̀ la potenza richiesta alla pompa nei due casi
supponendo che il rendimento organico ed elettrico siano costanti al variare del carico e valgano rispettivamente 0.95
e 0.9.
0.8
140
0.75
120
0.7
100
0.65
efficiecy [-]
H [m]
n=2500 RPM
80
60
0.6
0.55
40
0.5
20
0.45
0
0
0.4
10
20
30
40
3
50
60
0
5
10
15
20
30
25
35
3
flow rate [m /h]
40
45
50
55
60
Q [m /h]
Figura 1: Equazione curva (n = 2500 giri/min): H = −0.035 · (Q − 15)2 − 1.1 · (Q − 15) + 110, con H espresso in m e Q in m3 /h.
Esercizio 2.8
Una pompa centrifuga ha una prevalenza di 40 m e smaltisce una portata di 0.08 m3 /s, con perdite idrauliche pari
a 53.5 m2 /s2 . La girante ruota a 2850 giri/min e ha pale rivolte all’indietro con angolo in uscita di 30◦ (misurato
rispetto alla direzione periferica). Il coefficiente di flusso in uscita ϕ = w2,M /u2 vale 0.3. Calcolare il lavoro euleriano,
il rendimento idraulico e la potenza assorbita dalla pompa, nonché il diametro esterno D2 e la larghezza in uscita b2
della girante. Si supponga ηo = 0.90 e ηel = 0.93.
7
Esercizio 2.9
Una pompa radiale ha la bocca con area equivalente a 0.0314 m2 in aspirazione ed a 0.07 m2 in mandata. La pompa
è mossa da un motore elettrico a 2 coppie polari. In condizioni nominali elabora 60 dm3 /s di acqua, innalzandone
la pressione di 250 kPa. Supponendo la macchina ottimizzata, determinare il diametro della pompa e la potenza
assorbita dalla girante. Il motore viene quindi sostituito con un altro a tre coppie polari e la valvola di regolazione
azionata in modo da funzionare in similitudine con il caso precedente. Determinare il salto di pressione fra ingresso e
uscita della pompa e la potenza nelle nuove condizioni.
Esercizio 2.10
Un ventilatore assiale è costituito dal solo rotore di diametro Dm = 1 m, altezza di pala h = 200 mm costante; esso
elabora una portata Q = 10 m3 /s di aria e gira a 750 giri/min. Le pale rotoriche sono costituite da profili aerodinamici
che deflettono il flusso di 20◦ . Trovare la prevalenza manometrica del ventilatore e la potenza assorbita, supponendo
un rendimento idraulico dell’80%.
Esercizio 2.11
Il funzionamento di una pompa alla velocità di rotazione di 1500 giri/min è descritto dalla curva caratteristica:
Q (m3 /h)
0
50
100
150
200
250
H (m)
31
30.75
30.2
29
26
21
η (%)
–
44
70
78
75
70
L’impianto è definito da un dislivello geodetico di 22 m e da una misura sperimentale in cui si rileva una prevalenza
richiesta pari a 25 m ad una portata di 100 m3 /h. Si ipotizzi la curva d’impianto parabolica. Si chiede di determinare
il punto di funzionamento e la potenza assorbita dalla macchina. Immaginando di regolare la portata sull’impianto
attraverso la velocità di rotazione della pompa, si chiede di determinare il punto di funzionamento a 1750 giri/min e
la potenza assorbita nella nuova condizione.
8
ALLEGATI AL CAPITOLO 2
- Tabella proprietà dell’acqua in condizioni di saturazione
- Diagramma di Moody
- Diagramma di Balje per pompe monostadio
Tabella proprietà dell’acqua in condizioni di saturazione
Temp
[o C]
15.00
80.00
9
Tensione di vapore
[P a]
1704
47359
Densità
kg/m3
999
971
Entalpia specifica
[kJ/kg]
63.04
334.96
Calore specifico
[kJ/kg]
4.186
4.196
Viscosità dinamica
[kg/m · s]
0.001139
0.000355
10
11
Esercizio 2.1:
(a) Q = 0.111 m3 /s; p1 = 339 kPa
(b) d0 = 82.7 mm
(c) d00 = 93.1 mm
Esercizio 2.2:
Esercizio 2.3:
Q = 0.0104 m3 /s; ηy = 0.761
(a) Qmax = 0.0283 m3 /s
(b) zasp,max = 5.68 m
(c) Q80◦ C = 0.0161 m3 /s
Esercizio 2.4:
Esercizio 2.5:
(a) β2 = 38◦ : u2 = 14.66 m/s; w2 = 6.16 m/s; v2 = 19.87 m/s; α2 = 11.0◦ ; le = −286 J/kg;
P = 14.3 kW pM = 4.77 bar
(b) β2 = 90◦ : le = −214.9 J/kg; P = 10.7 kW pM = 4.40 bar
(c) β2 = 128◦ : le = −171.5 J/kg; P = 8.58 kW pM = 4.17 bar
Esercizio 2.6:
u = 15.7 m/s; v1 = 9.97 m/s w1 = 18.61 m/s; β1 = 147.6◦ , v2 =14.47 m/s; α2 = 43.6◦ , w2 = 11.6 m/s;
β2 = 117.7◦ , ∆β = 30◦
Esercizio 2.7:
Pel,1 = 11.63 kW; Q2 = 26.61 m3 /h; n2 = 3289 giri/min; Pel,2 = 26.38 kW
Esercizio 2.8:
le = −445.5 J/kg; ηy = 0.88; P = 42.6 kW; D2 = 0.2 m; b2 = 13.7 mm
Esercizio 2.9:
(a) con Ds = 4.5 m; ηopt = 0.9 → D = 0.278 m; P = 16.9 kW
(b) ∆p = 110 kPa; P = 4.91 kW
Esercizio 2.10:
Esercizio 2.11:
Pgir = 10.0 kW; ∆P = 525 Pa
(a) n = 1500 giri/min: Q = 151.7 m3 /h; H = 28.9 m; P = 15.3 kW.
(b) n0 = 1750 giri/min: Q0 = 218.94 m3 /h; H 0 = 36.4 m; P = 28.7 kW
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Capitolo 3
Impianti idroelettrici e turbine idrauliche
Esercizio 3.1
Di un impianto idroelettrico basato sull’applicazione di una turbina Pelton sono note le seguenti caratteristiche:
- Caduta disponibile Hm : 600 m
- Portata disponibile: 4 m3 /s
- Velocità di sincronismo dell’alternatore: 750 Rpm
- Angolo della palettatura allo scarico: β2 = 20o (dalla direzione opposta a quella tangenziale)
1. I triangoli di velocità in ingresso e uscita alla macchina, il diametro, la potenza prodotta ed il rendimento
idraulico in ipotesi di macchina ideale (assenza di attriti) ottimizzata
2. Nel caso si voglia ridurre il salto motore a 500 m senza modificare la geometria ed i giri della macchina, si
disegnino i nuovi triangoli di velocità e si calcolino la nuova portata ed il nuovo rendimento
3. Con riferimento al punto 2, si richiede inoltre una verifica della macchina da effettuarsi su di un modello da
laboratorio, il cui impianto è definito dalle seguenti caratteristiche:
- Caduta disponibile Hlab : 30 m
- Diametro del modello: 250 mm
Si chiede di definire la portata necessaria ad alimentare l’impianto di prova, la velocità di rotazione del modello
e la potenza del freno da installare nell’impianto di prova.
Esercizio 3.2
Di un impianto idroelettrico basato sull’applicazione di una turbina Francis sono note le seguenti caratteristiche:
- Velocità di rotazione n: 600 giri/min
- Portata disponibile: 2.5 m3 /s
- Grado di reazione: χ=0.53
- Rendimento idraulico: ηy =0.94
- Coeff. di velocità periferica: Kp =0.75
2
1. Assumendo la seguente definizione per il grado di reazione χ = 1− v1H/2g
, si determini il numero di giri caratteristico
m
ωs (definito in unità del S.I.), la velocità v1 allo scarico dello statore e il diametro della macchina.
2. Il committente richiede inoltre una verifica preliminare sulle prestazioni della macchina da effettuarsi su di un
modello da laboratorio il cui impianto è definito dalle seguenti caratteristiche:
- Diametro del modello: 0.25 m
Si chiede di calcolare la portata necessaria ad alimentare l’impianto di prova e la potenza richiesta al freno motore
del modello.
13
Esercizio 3.3
Un impianto idroelettrico produce energia sfruttando il dislivello geodetico pari a 240 m esistente fra due bacini.
L‘acqua viene trasportata dal bacino di monte alla sala macchine attraverso una sola condotta forzata e viene poi
distribuita a 3 turbine idrauliche identiche fra loro. Nelle ore di massima richiesta elettrica (punto di funzionamento
nominale) sono in marcia tutte le 3 turbine presenti che lavorano nelle seguenti condizioni:
- salto motore pari a 200 m
- portata complessiva elaborata dall’impianto pari a 60 m3 /s
Utilizzando il diagramma di Balje allegato (Fig. 2):
1. Si richiede di determinare la velocità di rotazione ottimale ed il diametro delle macchine, tenendo presente che
per motivi economici è necessario realizzare un accoppiamento diretto con l’alternatore riducendo al massimo le
dimensioni della macchina. Stimato dal diagramma di Balje un opportuno valore di rendimento, determinare la
potenza elettrica erogata da ogni macchina, assumendo di avere:
- rendimento meccanico ηm =0.98
- rendimento elettrico ηe =0.97
2. Nelle ore di bassa richiesta elettrica, è previsto che funzioni una sola delle 3 turbine (senza che venga variata la
geometria della macchina). Valutare la potenza erogata dalla macchina supponendo che la curva del rapporto di
rendimento idraulico in funzione del rapporto di portate rispetto alle condizioni nominali sia quella di Fig. 3-b:
- rendimento idraulico:
ηI
ηI,nom
= −15 · ( V̇ V̇ )2 + 2.8 · ( V̇ V̇ ) − 0.3
nom
nom
Esercizio 3.4
Una turbina idraulica elabora una portata di 10 m3 /s; la sezione di uscita della macchina è 1 m2 . Supponendo la
depressione massima nella macchina nota e pari a 0.2 bar rispetto alla sua sezione di scarico, valutare la quota di
installazione della macchina se si aggiunge allo scarico un diffusore ideale (perdite per attrito ed energia cinetica allo
scarico trascurabili) perchè la pressione minima nella macchina non scenda sotto al valore pmin =0.15 bar. Ipotizzando
nulla la tensione di vapore, una volta installata la macchina a tale quota, per quale portata la macchina inizierà a
cavitare?
Esercizio 3.5
Una turbina Kaplan che per Q=5 m3 /s presenta un N P SHr richiesto di 7 m e un N P SHd disponibile di 10 m è
installata alla quota di 1.5 m sul livello del pelo libero del bacino di scarico. Allo scarico della girante la pressione dei
gas disciolti è 0.03 bar e la tensione di vapore è 0.023 bar.
1. Calcolare la perdita nel diffusore
2. Determinare la portata massima elaborabile senza cavitare ipotizzando condizioni di moto assolutamente turbolento
Esercizio 3.6
Si deve progettare una turbina idraulica assiale con i seguenti dati:
- Salto utile Hu = 20 m
14
- Velocità di rotazione: 250 giri/min
- Velocità specifica ωs = 2, diametro specifico (riferito al diametro massimo della girante) Ds = 2.1
- Rapporto h/Dmax = 0.18
- angolo della velocità in ingresso: α1 = 60◦
- Rendimento idraulico ηy = 0.85, rendimenti organico ed elettrico pari a ηo = 0.96, ηel = 0.98.
Determinare:
1. La portata smaltita e la potenza elettrica prodotta;
2. I triangoli di velocità sul diametro medio della girante;
3. La quota massima di installazione della turbina rispetto al pelo libero del bacino di valle, sapendo che sulla
sezione di uscita della macchina è richiesto un margine di pressione di 25 kPa per evitare la cavitazione, e che
le perdite nel diffusore ammontano a Y = 0.0012 Q2 (dove Q è la portata volumetrica in m3 /s). La pressione di
vapore è pv = 2300 Pa mentre la pressione dei gas disciolti è stimata in psol = 3000 Pa.
15
Figura 2: Diagramma di Balje per le turbine idrauliche.
1.02
1
0.98
0.96
η/ηi,nom
0.94
0.92
y=−1.5*x2+2.8x−0.3
0.9
0.88
0.86
0.84
0.82
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
Q/Qnom
Figura 3: a) turbina Pelton; b) Dipendenza del rendimento dalla portata
16
Esercizio 3.1:
(a) v1 = 108.5 m/s; w1 = u = w2 = 54.25 m/s; v2 = 18.84 m/s; Dm = 1.38 m/s; P = 22.8 M W ,
ηi = 0.97
(b) v1 = 99.04 m/s; v2 = 19.55 m/s; P 0 = 17.2 M W ; V̇ 0 = 3.65 m3 /s; ηi = 0.96
(c) V̇LAB = 0.029 m3 /s; PLAB = 8913 W ; nLAB = 1014 giri/min
Esercizio 3.2:
(a) ωs = 0.494; v1 = 33.26 m/s; D = 0.79 m
(b) V̇LAB = 259 m3 /h; PLAB = 6.64 kW
Esercizio 3.3:
(a) . . .
(b) Q0 = 21.67 m3 /h; H 0 = 234.8 m; P 0 = 42.94 kW
Esercizio 3.4:
(a) z = 1.66 m
(b) Qmax = 11.02 m3 /s
Esercizio 3.5:
(a) Y = 1.71 m
(b) Qmax = 6.26 m3 /s
Esercizio 3.6:
(a) Pel = 2.51 MW
(b) v1 = 8.00 m/s, α1 = 60◦ , u = 24.09 m/s
w1 = 21.25 m/s, β1 = 160.97◦
v2 = 7.52 m/s, α2 = 112.85◦ ,
w2 = 27.88 m/s, β2 = 165.6◦
(c) zmax = 6.71 m
17
Capitolo 4
Compressori di gas
Esercizio 4.1
Si calcoli la potenza necessaria per comprimere una portata d’aria pari a 10 kg/s dalla pressione di 1 bar e temperatura
T = 15◦ C ad una pressione di 2 bar lungo una trasformazione:
a) isoterma
b) adiabatica isoentropica
c) adiabatica reale con rendimento ηis = 0.75
Esercizio 4.2
Si consideri un compressore di aria costituito da due stadi di uguale rapporto di compressione calettati sullo stesso
albero. La portata aspirata è di 0.5 kg/s di aria in condizioni ambiente (T = 20◦ C, p = 1 bar) e si deve garantire una
pressione di mandata di 4 bar. Entrambi gli stadi sono caratterizzati da un rendimento adiabatico di 0.75. Si vuole
calcolare:
- la potenza richiesta all’albero della macchina;
- la potenza richiesta all’albero della macchina nel caso in cui all’uscita dal primo stadio l’aria venga raffreddata
fino alla temperatura ambiente. Si valuti la potenza termica richiesta al gruppo di refrigerazione.
Da un punto di vista teorico, quale trasformazione termodinamica richiederebbe il minimo lavoro per ottenere lo stesso
rapporto di compressione? Si calcoli il minimo lavoro teoricamente richiesto ed eventualmente il calore scambiato lungo
la trasformazione.
Esercizio 4.3
Si confronti la potenza necessaria per comprimere adiabaticamente una portata di 10 kg/s dei seguenti gas, considerati
perfetti, da condizioni ambiente (T = 20◦ C, p = 1 bar) alla pressione di 10 bar, assumendo un rendimento isoentropico
ηis = 0.8:
- Aria (Mm = 28.9 kg/kmol, cp /cv = 1.4)
- Idrogeno (Mm = 2 kg/kmol, cp /cv = 1.4)
- CO2 (Mm = 44 kg/kmol, cp /cv = 1.33)
- Freon 12 (Mm = 102.9 kg/kmol, cp /cv = 1.137)
Esercizio 4.4
Si consideri un compressore centrifugo che elabora una portata di aria pari a 3 kg/s a partire da condizioni ambiente
(T = 20◦ C e p = 1 bar) e che garantisce una pressione di mandata pari a 5 bar con un solo stadio di compressione
caratterizzato da un rendimento adiabatico pari a 0.8.
18
a) Si calcoli il lavoro specifico di compressione e la potenza richiesta all’asse della macchina.
b) Si ipotizzi ora di utilizzare per lo stesso scopo una macchina costituita da due stadi di uguale rapporto di
compressione ciascuno caratterizzato da un rendimento adiabatico di 0.8. Si calcoli la nuova potenza richiesta
all’asse macchina
c) Si interponga ora tra i due stadi di compressione un refrigeratore che raffredda l’aria alle condizioni atmosferiche
di partenza prima di inviarla al secondo stadio; si ipotizzi ancora costante il rendimento dei due stadi e pari
a 0.8. Si calcoli la potenza richiesta all’asse della macchina e la portata di acqua necessaria al refrigeratore,
ipotizzando che l’acqua entri nello scambiatore a 18◦ C e subisca un incremento di temperatura pari a 4◦ C si
calcoli inoltre l’efficacia dello scambiatore
d) Si determinino il numero di giri ed il diametro della girante del primo stadio di compressione a partire dal
diagramma di Balje allegato.
[Aria: cp,aria =1004 J/kgK, γaria =1.4; Acqua: cp,H2O = 4186 J/KgK]
Esercizio 4.5
Si disegnino i triangoli di velocità e si calcolino il grado di reazione, il rapporto di compressione idealmente fornito
da un compressore assiale caratterizzato da:
- rotore e statore con palettature simmetriche (β2 = 180◦ − α1 ; α2 = 180◦ − β1 );
- α1 = 60◦
- velocità assiale costante = 130 m/s
- velocità periferica = 200 m/s
- fluido di lavoro: aria a 293 K e 1 bar
Si disegni la trasformazione termodinamica all’interno della macchina su un piano h-s.
Esercizio 4.6
Un compressore centrifugo monostadio elabora una portata di aria pari a 24000 m3 /h portandola dalle condizioni
ambiente (p = 1 bar, T = 30◦ C) fino alla pressione di 2.4 bar. Con l’aiuto del diagramma di Balje allegato, valutare
la velocità di rotazione ottima del compressore, il rendimento, il diametro della girante e la potenza alle pale.
Un secondo compressore che aspirasse idrogeno alla pressione di 4 bar e alla temperatura di 20◦ C e avesse stesso
diametro, stessa velocità di rotazione e funzionasse in condizioni di similitudine cinematica con il precedente, a quali
condizioni di pressione e temperatura porterebbe il flusso all’uscita? Quale sarebbe la potenza alle pale della macchina?
[Aria: R = 8314 J/kmolK, Mm = 28.9 kg/kmol, rapporto cp /cv = 1.4; Idrogeno: Mm = 2 kg/kmol, rapporto
cp /cv = 1.4]
Esercizio 4.7
Si deve progettare lo stadio di un compressore d’aria che elabori una portata ṁ = 0.6 kg/s e che lavori tra la
pressione totale p01 = 0.1 MPa (con temperatura totale T10 = 290 K) e la pressione statica p2 = 0.14 MPa, ruotando a
n = 300 giri/s. Usando il diagramma di Balje si chiede di:
a) Determinare il compressore adatto a raggiungere il rendimento più elevato e il diametro D della girante
19
b) Calcolare il numero di Laval L
c) Calcolare la temperatura totale alla fine della compressione isoentropica (T20 ), sapendo che v2 = 70 m/s
d) Calcolare la potenza assorbita dal compressore, ipotizzando ηo = 0.99
[Aria: R = 8314 J/kmolK, Mm = 28.9 kg/kmol, rapporto cp /cv = 1.4]
Esercizio 4.8
Uno stadio di compressore assiale deve fornire un rapporto di compressione β = 1.15 ad una portata d’aria ṁ =
230 kg/s partendo da condizioni ambiente (p1 = 101325 Pa, T1 = 288 K).
Date le seuenti caratteristiche geometriche della macchina:
- Regime di rotazione: n = 3000 giri/min
- Diametro medio: Dm = 1.2 m
- Rapporto h/Dm = 0.4
- Angolo di ingresso della velocità assoluta sul rotore: α1 = 65◦
- Triangoli di velocità simmetrici
- Componente assiale della velocità costante
determinare:
a) I triangoli di velocità all’ingresso e all’uscita del rotore
b) Il lavoro e la potenza interni e il rendimento dello stadio
Esercizio 4.9
Un compressore assiale ideale aspira una portata di 60 kg/s di aria alle condizioni totali p01 = 1 bar e T10 = 410 K.
All’ingresso del rotore la velocità assoluta è v1 = 200 m/s ed ha un angolo α1 = 100◦ (dalla direzione positiva della u.
La potenza assorbita è di 2.0 MW, la velocità di rotazione è n = 4000 giri/min ed il diametro medio D = 0.7 m. Si
calcoli:
a) i triangoli di velocità ed il rapporto di compressione total-total, assumendo la velocità assiale costante;
b) l’altezza di pala all’ingresso ed all’uscita del rotore;
c) l’altezza di pala all’uscita dello statore nell’ipotesi di stadio ripetuto.
Esercizio 4.10
Un compressore centrifugo a due stadi elabora una portata di 5 kg/s e ruota a 21000 giri/min. La macchina,
con ingresso assiale, elabora aria che si trova nella sezione di ingresso alle seguenti condizioni statiche: p1 = 1 bar,
T1 = 20◦ C e con un’energia cinetica trascurabile. La macchina scarica in un serbatoio alla pressione di 6 bar.
Allo scarico del primo stadio la pressione è p3 = 3 bar con energia cinetica trascurabile. Tra il primo ed il secondo
stadio è posto uno scambiatore di calore che raffredda il fluido di lavoro usando una portata d’acqua pari a 15 kg/s,
che si riscalda di 10 K. Entrambi gli stadi sono caratterizzati da un rendimento adiabatico di compressione ηis = 0.8.
20
a) Calcolare la potenza ceduta allo scambiatore e rappresentare qualitativamente le trasformazioni su un opportuno
piano termodinamico, dopo avere calcolato le condizioni termodinamiche in ingresso ed in uscita al secondo stadio;
b) Calcolare la potenza meccanica assorbita dalla macchina bi-stadio in presenza ed in assenza di inter-refrigerazione,
con i medesimi rendimenti e rapporti di compressione;
c) Allo scarico della girante del primo stadio, si determini il triangolo di velocità e l’altezza di pala, sapendo che la
girante ha un diametro di 400 mm, un grado di reazione χ = 0.6 (definito sulle grandezze reali) ed un rendimento
adiabatico ηg = 0.85;
d) Si determini il rendimento adiabatico della trasformazione di compressione avvenuta nel diffusore del primo
stadio.
21
Figura 4: Diagramma di Balje per i compressori di gas.
22
Esercizio 4.1:
(a) `T = 59.3 kJ/kg, P = 593.8 kW
(b) ìs = 65.53 kJ/kg, P = 655.3 kW
(c) `r = 87.37 kJ/kg, P = 873.7 kW
Esercizio 4.2:
(a) P = 98.45 kW
(b) PIR = 85.9 kW; Q̇out = 43 kW
(c) Pmin = PT = 58.29 kW; Q̇out = PT
Esercizio 4.3:
(a) ìs,aria = 274.0 kJ/kg
(b) ìs,H2 = 3969.0 kJ/kg
(c) ìs,CO2 = 172.0 kJ/kg
(d) ìs,Freon = 53.51 kJ/kg
Esercizio 4.4:
(a) ` = 214.68 kJ/kg, P = 644.0 kW
(b) `0 = 220.82 kJ/kg, P = 662.5 kW
(c) ÌR = 190.1 kJ/kg, PIR = 570.3 kW, ṁH2 O = 17.03 kg/s, ε = 97.9%
(d) n = 16520 giri/min, D = 0.382 m
Esercizio 4.5:
(a) α2 = 180◦ − β1 = 46.1◦ , v1 = w2 = 150 m/s, w1 = v2 = 180.3 m/s
(b) χ = 0.5
(c) βid = 1.12
Esercizio 4.6:
(a) per ωs = 0.6, Ds = 4 → η = 0.85, ω = 1177 rad/s, D = 0.61 m, P = 780 kW
(b) p2 = 4.34 bar, T2,reale = 300 K, P = 224 kW
Esercizio 4.7:
(a) ωs = 0.59 → da Balje: (Ds = 4.2; η = 0.85), da cui D = 0.23 m
(b) L = 0.63
(c) T20 = 321.7 K
(d) P = 21 kW
Esercizio 4.8:
(a) u = 188.5 m/s, va = 103.7 m/s
v1 = 115.36 m/s, v1t = 50.6 m/s, w1t = −137.9 m/s, w1 = 172.4 m/s, β1 = 143.1◦ ,
β2 = 116◦ , w2 = v1 , w2t = −v1t , v2 = w1 , v2t = −w1t , α2 = 180◦ − β1
(b) ` = 16.46 kJ/kg, P = 3.78 kW, ηis = 0.716
Esercizio 4.9:
(a) u = 146.6 m/s, α1 = 100◦ , va = 197.0 m/s,
v1t = −34.7 m/s, v1 = 200 m/s, w1t = −181.3 m/s, β1 = 132.6◦
v2t = 192.4 m/s, α2 = 45.7◦ , v2 = 275.5 m/s, w2t = 45.8 m/s, β2 = 76.9◦
βT T = 1.31
(b) b1 = 0.185 m, b2 = 0.168 m
(c) b3 = 0.151 m
Esercizio 4.10:
Si consideri: 1 = ingresso 1◦ stadio, 2 = uscita girante 1◦ stadio, 3 = uscita 2◦ stadio, 4 = ingresso
2 stadio, 5 = uscita girante 2◦ stadio, 6 = uscita 2◦ stadio.
◦
(a) T3 = 428.1 K, Q̇IR = 627.9 kW, T4 = 303.0 K, T6 = 385.9 K
(b) PIR = 1.094 MW, Ps/IR = 1.266 MW
(c) u2 = 439.8 m/s, v2 = 329.6 m/s, v2t = 308.3 m/s, vr = 116.6 m/s, α2 = 20.7◦ ,
w2t = −131.5 m/s, w2 = 175.7 m/s, β2 = 138.4◦
b2 = 18 mm
(d) ηd = 0.752
23
Capitolo 5
Cicli Rankine e turbine a vapore
Esercizio 5.1
Si consideri un ciclo Rankine caratterizzato dalle seguenti condizioni operative:
- Potenza elettrica netta: 300 MW;
- Ingresso turbina: vapore surriscaldato (p = 5 MPa, T = 450◦ C);
- Pressione di condensazione: p = 25 kPa;
- Potere calorifico del combustibile (carbone): 29300 kJ/kg
- Rendimento del generatore di vapore: ηgv = 0.75;
- Rendimento organico + elettrico: ηe+o = 0.96
- Rendimento idraulico della pompa: ηy,P = 0.8
- Rendimento adiabatico turbina: ηis,T = 0.85
Determinare i punti di funzionamento del ciclo (considerando il lavoro della pompa), il rendimento globale dell’impianto
e la quantità di combustibile necessaria.
Esercizio 5.2
Un impianto con turbina a vapore fornisce una potenza utile pari a 160 MW con rendimento utile pari a 0.43
(rendimento organico ηo = 0.98). La pressione di condensazione è di 0.1 bar ed il titolo di vapore allo scarico della
turbina vale 0.96. L’acqua condensatrice viene prelevata alla temperatura di 20◦ C e scaricata a 30◦ C. Nell’impianto
viene spillato vapore alla pressione di 1 bar ed alla temperatura di 150◦ C per preriscaldare l’acqua di alimento sino
alla temperatura di 90◦ C in uno scambiatore a superficie (∆Tpp = 10◦ C). Determinare:
- la portata di acqua condensatrice
- la portata di vapore spillata dalla turbina
- la superficie dello scambiatore, sapendo che il suo coefficiente di scambio termico globale è pari a 5000 W/m2 K e
che la potenza termica scambiata vale Q = KS∆Tml , dove ∆Tml è la variazione di temperatura media logaritmica
nello scambiatore.
Esercizio 5.3
Di uno stadio semplice assiale ad azione di turbina a vapore sono assegnati il salto entalpico isoentropico sul
distributore ∆hs = 150 kJ/kg e l’angolo di uscita del vapore dal distributore α1 = 15◦ . Si chiede di calcolare:
a) la velocità assoluta v1 del vapore all’ingresso della girante (assunto ϕ = 0.95)
b) la velocità periferica u che rende ottimo il rendimento dello stadio ed il diametro medio Dm della girante (noto
n = 3000 giri/min);
c) i triangoli di velocità in ingresso ed uscita, con riferimento al diametro medio, supponendo l’assenza di perdite
nel rotore (ψ = 1);
d) la potenza sviluppata dallo stadio, con portata di vapore ṁv = 100 kg/s;
e) il rendimento dello stadio, supponendo ηo rg = 0.98;
f) l’altezza della paletta all’ingresso della girante, conoscendo il volume specifico del vapore v1 = 0.5 m3 /kg ed il
coefficiente d’ingombro ξ1 = 0.95 delle pale, con grado di ammissione = 1 ed ε = 0.8.
24
Esercizio 5.4
In uno stadio di turbina assiale ad azione, ottimizzato, con grado di parzializzazione ε = 0.6 a 3000 giri/min, il
vapore entra nella girante alla pressione di 30 bar e 410◦ C. La pala della girante è simmetrica, con diametro medio
D = 1.35 m, α1 = 25◦ , h1 = 40 mm, ξ = 0.97. Assunti come coefficienti di perdita nella palettatura ϕ = 0.95 e
ψ = 0.90.
Si richiede di determinare la portata elaborata, la potenza utile ed il rendimento dello stadio (ammessa dissipata
l’energia cinetica allo scarico). Si ipotizzi che il vapore in ingresso alla girante possa essere trattato come un gas
perfetto (MMH2 O = 18.015 kg/kmol) e che il rendimento organico della macchina sia ηorg = 0.98.
Esercizio 5.5
Un impianto per la produzione di energia elettrica opera secondo un ciclo Rankine definito dai seguenti parametri:
- Temperatura di condensazione: 300 K;
- Temperatura massima: 800 K;
- Pressione di evaporazione: 86 bar;
- Rendimento adiabatico turbina: 0.78
- Rendimento adiabatico pompe: 0.8
- Rendimento elettrico ed organico: 0.95
L’impianto deve fornire una potenza utile di 100 MW elettrici. Dopo aver tracciato lo schema d’impianto, si calcolino
la portata d’acqua che fluisce nell’impianto ed il rendimento del ciclo.
x
Esercizio 5.6
Un impianto per la produzione di energia elettrica opera secondo un ciclo Rankine definito dai seguenti parametri:
- Temperatura di condensazione: 300 K
- Pressione di evaporazione: 86 bar;
- Temperatura massima: 800 K;
- Rendimento adiabatico turbina di alta pressione: 0.8
- Rendimento adiabatico turbina di bassa pressione: 0.75
- Rendimento adiabatico pompe: 0.8
- Rendimento elettrico ed organico: 0.95
L’impianto deve fornire una potenza utile di 100 MW elettrici ed usa un rigeneratore a miscela che opera con vapore
prelevato a 18 bar. Dopo aver tracciato lo schema d’impianto, si calcolino la portata d’acqua che fluisce nell’impianto
ed il rendimento del ciclo.
25
Esercizio 5.7
Uno stadio di turbina assiale (statore + rotore) presenta i triangoli di velocità di seguito definiti:
- Velocità di scarico dello statore: 150 m/s
- Velocità periferica: 100 m/s
- Velocità assiale costante
- Angolo di scarico dello statore α1 = 16◦
- Rotore simmetrico (β2 = 180◦ − β1 )
a) Si calcoli il lavoro fornito dallo stadio mediante la relazione di Eulero, dopo aver disegnato i triangoli di velocità
in ingresso ed in uscita
b) Si verifichi il risultato ottenuto sulla base del principio di conservazione dell’energia
c) Ripetere il calcolo nel caso in cui si abbia una velocità relativa a valle del rotore doppia di quella in ingresso
(w2 = 2 w1 anziché β2 = 180◦ − β1 )
Esercizio 5.8
Uno stadio di turbina assiale riceve 80 kg/s di vapore alle condizioni p0 = 1.5 MPa, T0 = 350◦ C e velocità v0
trascurabile. Il distributore espande il vapore fino ad una pressione p1 = 1.0 MPa, mentre la pressione all’uscita dello
stadio è p2 = 0.7 MPa. La girante, che ruota alla velocità n = 3000 giri/min, ha un raggio medio rm = 0.8 m,
e un’altezza delle palette h = 0.035 m, uguale in ingresso ed in uscita. I coefficienti di perdita nel distributore e
nella girante valgono, rispettivamente, ϕ = 0.92 e ψ = 0.88. Con l’ausilio del diagramma h − s del vapor d’acqua,
determinare i triangoli di velocità, la potenza interna, i rendimenti (Totale-Statico e Totale-Totale) ed il grado di
reazione dello stadio.
Esercizio 5.9
Una turbina a vapore a reazione con u/v1 = 0.90 presenta all’ammissione 10 bar e 350◦ C. La pressione all’uscita
dello stadio statorico è di 8 bar e la velocità assoluta presenta un angolo di incidenza α1 = 20◦ . Sapendo che
n = 3000 giri/min, che i triangoli di velocità sono simmetrici, che la portata smaltita è pari a 150 t/h, determinare le
seguenti quantità:
a) Pressione allo scarico dello stadio;
b) Potenza alle pale;
c) l’altezza delle pale all’ingresso della girante h1 , assumendo un coefficiente di ingombro pale pari a 0.95.
Durante lo svolgimento si utilizzi il diagramma h − s del vapor d’acqua e si assumano i seguenti valori dei coefficienti
di riduzione della velocità: ϕ = 0.95, ψ = 0.91.
Esercizio 5.10
Di una ruota Curtis a due salti di velocità sono noti i seguenti dati:
26
- Portata di vapore ṁ = 135 t/h
- Condizioni del vapore all’ammissione: p0 = 10 MPa, T0 = 800 K
- Velocità di rotazione n = 3000 RPM
- Coefficiente di velocità periferica: kp = u/vi s = 0.21
- Angolo di incidenza della velocità assoluta in ingresso alla girante α = 16◦
- Coefficiente di perdita ugelli del primo statore: ϕ = v1 /v1,is = 0.97
- Coefficiente di ingombro frontale delle pale: ξ = 0.96
- Rapporto dei calori specifici: γ = cp /cv = 1.3
- Coefficiente di perdita nei rotori e nel raddrizzatore:
ψ = 0.99 − 2.28
∆β
4.97
−
10000 180◦ − ∆β
Considerando le seguenti limitazioni:
- u < 220 m/s per limitare la sollecitazione centrifuga ed il numero di Mach
- h/D > 0.025 per avere un accettabile rendimento volumetrico e contenere le perdite per attrito
- Mw1 < 0.9 per limitare il rischio di onde d’urto in ingresso alla schiera rotorica
si chiede di determinare:
a) Il salto entalpico smaltibile dallo stadio
b) Il diametro della girante
c) I triangoli di velocità
d) Il grado di ammissione e l’altezza di pala
e) Il rendimento dello stadio
f) Le sezioni caratteristiche dell’ugello statorico
Si usino le tabelle termodinamiche del vapore surriscaldato ove necessario.
p [bar]
100
44.2409
44.24
54.57
54.57
T [◦ C ]
523
388.41
394.64
420.99
423.34
v [m3 /kg]
0.034139
0.064511
0.065295
0.054791
0.05504
h [kJ/kg]
3433.934
3178.9
3194
3240.248
3246.1
s [kJ/(kg K)]
6.67437
6.67437
6.69703
6.67437
6.68333
Esercizio 5.11
Tema d’esame 30 gennaio 2013
I dati di progetto di uno stadio di turbina a vapore che elabora 150 t/h sono i seguenti:
- velocità di rotazione: 3000 giri/min
- pressione e temperatura in ingresso al distributore: 8 bar, 350 ◦ C
- pressione all’uscita del distributore: 7 bar
27
- angolo di incidenza della velocità assoluta in ingresso girante: α1 = 20◦
- rapporto tra velocità periferica u e velocità assoluta in ingresso v1 pari a 0.6
- grado di reazione ideale pari a 0.5
- coefficienti di perdita distributore e girante pari rispettivamente a ϕ = 0.95 e ψ = 0.9
- velocità assiale costante (nel caso ideale)
Utilizzando il diagramma di Mollier allegato e ipotizzando che il volume specifico del vapore possa essere approssimato
con l’equazione di stato dei gas perfetti (M MH2 O = 18 kg/kmol; R = 8314 J/kmolK) calcolare:
1. il triangolo di velocità all’ingresso della girante,
2. l’altezza di pala in ingresso alla girante, ipotizzando unitario il coefficiente di ingombro delle pale (ζ=1)
3. il triangolo di velocità in uscita dalla girante
4. il rendimento dello stadio, ipotizzando che possa essere recuperata l’energia cinetica allo scarico
ALLEGATI:
Figura 5: Diagramma di Mollier per il vapore saturo
28
Un calcolatore delle proprietà termodinamiche del vapore si trova su: http://www.steamtablesonline.com
Saturated Water (H2O)–Temperature Table
Temp.
◦
C
0.01
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
◦
C
100
105
110
115
120
125
130
135
140
145
150
155
160
165
170
175
180
185
190
195
200
205
210
29
Pressure
kPa
0.6113
0.8721
1.2276
1.7051
2.339
3.169
4.246
5.628
7.384
9.593
12.349
15.758
19.940
25.03
31.19
38.58
47.39
57.83
70.14
84.55
MPa
0.10135
0.12082
0.14327
0.16906
0.19853
0.2321
0.2701
0.3130
0.3613
0.4154
0.4758
0.5431
0.6178
0.7005
0.7917
0.8920
1.0021
1.1227
1.2544
1.3978
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2463.1
2468.4
2477.0
2483.9
2496.7
kJ/kg
2506.1
2513.5
2519.7
2524.9
2529.5
2533.6
2537.2
2540.5
2543.6
2546.4
2548.9
2551.3
2553.6
2557.6
2561.2
2564.5
2567.4
2570.1
2572.5
2574.7
2576.8
2578.7
2580.5
2582.1
2583.6
2586.4
2588.8
2591.0
2592.8
2594.5
2597.8
Enthalpy
liquid
vapor
kJ/kg
kJ/kg
0.00
2501.4
29.30
2514.2
54.71
2525.3
73.48
2533.5
88.49
2540.0
101.05 2545.5
121.46 2554.4
137.82 2561.5
168.79 2574.8
191.83 2584.7
225.94 2599.1
251.40 2609.7
271.93 2618.2
289.23 2625.3
317.58 2636.8
340.49 2645.9
384.39 2663.0
kJ/kg
kJ/kg
417.46 2675.5
444.32 2685.4
467.11 2693.6
486.99 2700.6
504.7
2706.7
520.72 2712.1
535.37 2716.9
548.89 2721.3
561.47 2725.3
573.25
2729
584.33 2732.4
594.81 2735.6
604.74 2738.6
623.25 2743.9
640.23 2748.7
665.93
2753
670.56 2756.8
684.28 2760.3
697.22 2763.5
709.47 2766.4
721.11 2769.1
732.22 2771.6
742.83 2773.9
753.02 2776.1
762.81 2778.1
781.34 2871.7
798.65 2784.8
814.93 2787.6
830.30 2790.0
844.89 2792.2
878.50 2796.4
Entropy
liquid
vapor
kJ/(kgK) kJ/(kgK)
0.0000
9.1562
0.1059
8.9756
0.1957
8.8279
0.2607
8.7237
0.3120
8.6432
0.3545
8.5776
0.4226
8.4746
0.4764
8.3951
0.5764
8.2515
0.6493
8.1502
0.7549
8.0085
0.8320
7.9085
0.8931
7.8314
0.9439
7.7686
1.0259
7.67
1.0910
7.5939
1.2130
7.4564
kJ/(kgK) kJ/(kgK)
1.3026
7.3594
1.374
7.2844
1.4336
7.2233
1.4849
7.1717
1.5301
7.1271
1.5706
7.0878
1.6072
7.0527
1.6408
7.0209
1.6718
6.9919
1.7006
6.9652
1.7275
6.9405
1.7528
6.9175
1.7766
6.8959
1.8207
6.8565
1.8607
6.8213
1.8973
6.7893
1.9312
6.76
1.9627
6.7331
1.9922
6.708
2.02
6.6847
2.0462
6.6628
2.071
6.6421
2.0946
6.6226
2.1172
6.6041
2.1387
6.5865
2.1792
6.5536
2.2166
6.5233
2.2515
6.4953
2.2842
6.4693
2.3150
6.4448
2.3851
6.3896
psat@T
2.00
2.25
2.50
3.00
3.50
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
22.09
Tsat
212.42
218.45
223.99
233.90
242.60
250.40
263.99
275.64
285.88
295.06
303.40
311.06
318.15
324.75
330.93
336.75
342.24
347.44
352.37
357.06
361.54
365.81
369.89
373.80
374.14
vf
0.001177
0.001187
0.001197
0.001217
0.001235
0.001252
0.001286
0.001319
0.001351
0.001384
0.001418
0.001452
0.001489
0.001527
0.001567
0.001611
0.001658
0.001711
0.001770
0.001840
0.001924
0.002036
0.002207
0.002742
0.003155
vg
0.09963
0.08875
0.07998
0.06668
0.05707
0.04978
0.03944
0.03244
0.02737
0.02352
0.02048
0.018026
0.015987
0.014263
0.012780
0.011485
0.010337
0.009306
0.008364
0.007489
0.006657
0.005834
0.004952
0.003568
0.003155
uf
906.44
933.83
959.11
1004.78
1045.43
1082.31
1147.81
1205.44
1257.55
1305.57
1350.51
1393.04
1433.7
1473.0
1511.1
1548.6
1585.6
1622.7
1660.2
1698.9
1739.9
1785.6
1842.1
1961.9
2029.6
ug
2600.3
2602.0
2603.1
2604.1
2603.7
2602.3
2597.1
2589.7
2580.5
2569.8
2557.8
2544.4
2529.8
2513.7
2496.1
2476.8
2455.5
2431.7
2405.0
2374.3
2338.1
2293.0
2230.6
2087.1
2029.6
hf
908.79
936.49
962.11
1008.42
1049.75
1087.31
1154.23
1213.35
1267.00
1316.64
1363.26
1407.56
1450.1
1491.3
1531.5
1571.1
1610.5
1650.1
1690.3
1732.0
1776.5
1826.3
1888.4
2022.2
2099.3
hg
2799.5
2801.7
2803.1
2804.2
2803.4
2801.4
2794.3
2784.3
2772.1
2758.0
2742.1
2724.7
2705.6
2684.9
2662.2
2637.6
2610.5
2580.6
2547.2
2509.1
2464.5
2409.7
2334.6
2165.6
2099.3
sf
2.4474
2.5035
2.5547
2.6457
2.7253
2.7964
2.9202
3.0267
3.1211
3.2068
3.2858
3.3596
3.4295
3.4962
3.5606
3.6232
3.6848
3.7461
3.8079
3.8715
3.9388
4.0139
4.1075
4.3110
4.4298
sg
6.3409
6.2972
6.2575
6.1869
6.1253
6.0701
5.9734
5.8892
5.8133
5.7432
5.6722
5.6141
5.5527
5.4924
5.4323
5.3717
5.3098
5.2455
5.1777
5.1044
5.0228
4.9269
4.8013
4.5327
4.4298
32
Diagramma di Mollier h − s del vapor d’acqua
33
Esercizio 5.1:
(a)
punto
A
A’
B
C
D
E is
E
T [◦ C ]
64.97
65.27
263.99
263.99
450
64.97
64.97
P
25 kPa
5 MPa
5 MPa
5 MPa
5 MPa
25 kPa
25 kPa
stato
L. SAT.
L. COMPR.
L. SAT.
V. SAT.
V. SURR
x = 0.854
x = 0.921
h [kJ/kg]
271.93
277.4
1154.23
2794.3
3316.2
2275.6
2431.7
s [kJ/(kgK)]
0.8931
vspec [m2 /kg]
0.00102
6.8186
6.8186
0.0012
0.039
0.0633
5.3
(b) ηg = 0.212
(c) ṁc = 49.18 kg/s
Esercizio 5.2:
(a) ṁH2 O = 4988 kg/s
(b) ṁspill = 7.13 kg/s
(c) S = 128.57 m2
Esercizio 5.3:
(a) v1 = 520.34 m/s
(b) u = 251.3 m/s; D = 1.60 m
(c) w1,m = 134.7 m/s; w1,t = 251.3 m/s; w1 = 285.1 m/s . . .
(d) Pu = 12.89 MW
(e) ηTS = 0.842
(f) ε = 1 ⇒ h = 0.078 m; ε = 0.8 ⇒ h = 0.097 m
Esercizio 5.4:
ṁ = 185.84 kg/s; Pu = 15.56 MW; ηs = 0.72
Esercizio 5.5:
ṁ = 86.6 kg/s; ηg = 0.37
Esercizio 5.6:
ṁ = 94.32 kg/s; ηg = 0.435
Esercizio 5.7:
(a) l = 8840 J/kg
(b) . . .
(c) l = 15.78 kJ/kg
Esercizio 5.8:
(a)
u = 251.36 m/s
I: v1 = 428.96 m/s, α1 = 15.92◦ , w1 = 199.5 m/s, β1 = 36.14◦ ;
U: w2 = 410.29 m/s, β2 = 157.3◦ , α2 = 128.70◦ , v2 = 203.2 m/s
(b) Pi = 10.85 MW, ηT T = 0.771, ηT S = 0.690;
(c) χI = ∆hR /` = 0.411; χII = ∆hR /(h01 − h2 ) = 0.481
Esercizio 5.9:
(a) p2 = 6.65 bar
(b) Pu = 3.72 MW
(c) h1 = 0.022 m
Esercizio 5.10:
(a) ∆his = 255.11 kJ/kg
(b) D = 0.955 m
(c)
1.
2.
3.
4.
v1
v2
v3
v4
= 692.9 m/s, w1 = 550.27 m/s, β1 = 20.31◦ , Mw1 = 0.87
= 323.54 m/s, α2 = 150.43◦ , w2 = 460.0 m/s, β2 = 159.69◦
= 284, 2 m/s, α3 = 29.57◦ , w3 = 170.63 m/s, β3 = 55.28◦
= 143.34 m/s, α4 = 65.39◦ , w4 = 158.55 m/s, β4 = 124.72◦
(d) ε = 0.181, h = 24 mm
(e) ηT T = 0.695
(f ) Scarico ugello: SD = 3.43 · 10−3 m2 , sezione di gola: SG = 3.305 · 10−3 m2
34
Esercizio 5.11:
(a) v1 = 300.42m/s, vu,1 = 282.3 m/s, va,1 = 102.7 m/s
u = 180.2 m/s
wu,1 = 102 m/s, wa,1 = 102.7 m/s
(b) b1 =
ṁ·vspec
πDζva,1
= 0.045 m
(c) w2 = 313.02m/s, β2 = 162.8◦
vu,2 = −118.8 m/s
v2 = 150.5544 m/s
(d) Rendimento stadio: ηT T = 0.815
35
Capitolo 6
Cicli e turbine a gas
Esercizio 6.1
Un ciclo Brayton reale è caratterizzato dai seguenti dati:
- rapporto di compressione: β = 15
- pressione e temperatura aria ammissione: p1 = 0.1 MPa; T1 = 293 K
- rendimenti adiabatici compressore e turbina: ηc = 0.84, ηt = 0.86
- rendimenti meccanici compressore e turbina: ηmc = 0.98, ηmt = 0.98
- rendimento globale del combustore: ηb = 0.98
- coefficiente pneumatico (di perdita di carico) del combustore: πb = 0.95
- altri coefficienti pneumatici πi = 1
- temperatura massima di ingresso in turbina: T3 = 1225 K
- potere calorifico inferiore del combustibile: Hi = 42000 kJ/kg
- rapporto tra i calori specifici cp /cv = karia = 1.4 dal punto 1 al punto 2
- rapporto tra i calori specifici cp /cv = kgas comb = 1.32 dal punto 3 a 4
- calore specifico a pressione costante cp = cost = 1.005 kJ/(kg · K) da 1 a 2
Si chiede di calcolare:
a) i punti del ciclo termodinamico
b) rapporto aria/combustibile α con il bilancio al combustore
c) il lavoro specifico richiesto dal compressore lc e quello fornito dalla turbina lt
d) la potenza utile erogata, supposto che la portata di aria aspirata sia ṁa = 100 kg/s
e) rendimento globale del ciclo;
Esercizio 6.2
Una turbina a gas industriale è caratterizzata dai seguenti dati di progetto:
- rapporto di compressione: β = 18;
- rendimento isoentropico del compressore 0.88;
- rendimento isoentropico della turbina 0.91;
- portata di combustibile: ṁf = 9 kg/s;
- temperatura dei gas all’ingresso della turbina TIT = 1550 K;
- coefficiente pneumatico di perdita sul combustore πb = 0.98;
- rendimento globale del combustore: ηb = 0.98;
- rendimento meccanico del compressore e della turbina ηm = 0.97;
- rendimento elettrico ηel = 1.0;
36
- calore specifico a pressione costante cp = 1.005 kJ/(kg · K) da 1 a 2 (costante)
- calore specifico a pressione costante cp = 1.130 kJ/(kg · K) da 2 a 3 (costante)
- kgas,comb = cp /cv = 1.36 (M Mgas comb. = 28.4 kg/kmol)
- potere calorifico inferiore del combustibile: Hi = 45 MJ/kg
Si richiede:
a) il disegno dello schema di impianto e il calcolo dei punti del ciclo a gas, tracciando su un grafico opportuno le
trasformazioni termodinamiche;
b) la potenza elettrica effettiva prodotta, la portata d’aria aspirata e il rendimento del ciclo
[M Maria = 28.85 kg/kmole, condizioni ambiente: Ta = 298 K, pa = 1.013 bar]
Esercizio 6.3
Dato un turbogas, supponendo di suddividere il suo salto entalpico disponile ∆his = 912 kJ/kg in 8 stadi, nell’ipotesi
di ∆his, stadio costante e grado di reazione ideale χ = ∆hR,is /∆hR+S,is = 0.5, si determinino:
a) i triangoli delle velocità del singolo stadio;
b) il diametro medio, il numero di giri e l’altezza di pala di ingresso rotore del primo stadio
essendo noti i seguenti dati:
- pressione ingresso turbina: p0 = 17.86 bar
- velocità periferica: U = 330 m/s
- angolo della velocità assoluta di ingresso: α1 = 15◦
- coefficiente di perdita statore: 0.96
- coefficiente di perdita rotore ψ = 0.99 − 2.28 ∆β/104 − 4.97/(180 − ∆β)
- rapporto h/Dm = 0.1
- temperatura di ingresso turbina TIT = 1550 K
- portata massica in turbina: ṁt = 430 kg/s
[si assumano γgc = 1.36; cp,gc = 1130 J/(kg · K);]
Esercizio 6.4
Considerando il ciclo descritto nell’esercizio 6.2 si realizzi un’inter-refrigerazione, con due compressori di uguale
rapporto di compressione, ipotizzando un riscaldamento dell’acqua di 15◦ C che riporti l’aria alla temperatura ambiente.
Nell’ipotesi che i rendimenti degli stadi di compressione e di turbina rimangano invariati e che si voglia ottenere una
potenza utile di 156.0 MW, si determini:
a) lo schema d’impianto
b) il rapporto di espansione della turbina ad alta pressione necessario per fornire la potenza ai compressori, supponendo di suddividere l’espansione su 2 stadi di turbina
c) il lavoro utile, il rendimento del ciclo, la portata di combustibile richiesta;
d) la portata di acqua necessaria per l’inter-refrigerazione
[dati: p1 = 1.013 bar, T1 = 298 K, βtot = 18; TIT = 1550 K;
ηel = 1; ηis,c1 = ηis,c2 = 0.88; ηis,AP = ηis,BP = 0.91;
cp,12 = 1005 J/kg K; cp,23 = 1130 J/kg K; cp,56 = 1106 J/kg K; γ1,2 = 1.4; γgc = 1.360;
ηm,T = ηm,c = 0.97; ηcomb = 0.98; Hi = 45 MJ/kg]
37
Esercizio 6.5
Si consideri una turbina assiale operante con aria in ipotesi di isoentropicità. La macchina ruota a 3000 giri/min;
l’altezza di pala – supposta costante lungo la direzione assiale – è pari a 0.75 m; il diametro alla base della pala è 1.5
m. La velocità assiale (nel sistema di riferimento assoluto) allo scarico è costante lungo h e pari a 238 m/s, mentre
la pressione statica all’uscita dal rotore è di 1 bar (assoluto). Si progetti lo stadio secondo l’ipotesi di vortice libero,
determinando il profilo di massima della palettatura alla base, sul diametro medio e all’apice. Si ipotizzino i triangoli
ottimizzati.
Esercizio 6.6
Tema d’esame 26 giugno 2013
Sia dato un motore aeronaturico a flussi separati operante in condizione di volo d’alta quota (Ta = 250 K) caratterizzato
da un rapporto di bypass pari a 8, un rapporto complessivo di compressione pari a 30 – di cui 19 ottenuto mediante
il compressore – e da un’architettura monoalbero costituita da fan + compressore + turbina (vedi figura).
La temperatura massima dei gas combusti in ingresso turbina è imposta a 1350 K dalle caratteristiche costruttive della
macchina (si trascurino tutti i problemi e gli effetti connessi col raffreddamento delle palettature). La combustione è
caratterizzata da un’efficienza pari a 0.9 e non sono presenti perdite di carico nella camera di combustione stessa. Il
combustibile usato ha potere calorifico pari a 40 MJ/kg, il gas combusti hanno un cp,gc = 1.2 kJ/kg K, ed un rapporto
cp /cv = 1.3; cp,medio gas al combustore = 1.1 kJ/kg K. Il compressore multistadio ed il fan sono caratterizzati da
un rendimento adiabatico di 0.85 mentre quello della turbina vale 0.9 . La portata di aria (aria cp = 1.005 kJ/kg K,
cp /cv = 1.4) elaborata dal solo compressore per quelle condizioni di funzionamento è pari a 10 kg/s.
Si chiede di calcolare:
a) La portata di combustibile;
b) La temperatura di scarico della turbina;
c) La velocità del flusso in uscita dall’ugello propulsivo del fan e della turbina, nel caso di ugelli ideali e velocità in
ingresso agli ugelli trascurabile.
Nota: il rapporto di bypass è definito come rapporto fra la portata d’aria complessivamente aspirata dal fan e quella
aspirata dal solo compressore.
cc
F
C
T
Esercizio 6.7
Tema d’esame 23 settembre 2013
38
Uno stadio ideale assiale di turbina ad azione pura operante con aria (cp = 1005 J/kg K, k = 1.4, R = 287 J/kg K) è
costituito da uno statore e da due rotori controrotanti (entrambi ad azione)a palettatura simmetrica (βout = 180◦ −βin ).
Considerati:
- Temperatura e pressione totali all’ingresso dello stadio: T ◦ = 1000 K, p◦ = 24 bar
- Angolo della velocità assoluta in uscita dallo statore: α1 = 17◦
- Velocità assiale costante, diametro medio Dm = 0.73 m, altezza di pala allo scarico dello statore b1 = 0.03 m;
- Velocità di rotazione: 3000 giri/min.
- Pressione allo scarico: pout = 12bar
Si richiede di:
(a) rappresentare qualitativamente i punti termodinamici sul diagramma entalpia-entropia
(b) disegnare i triangoli di velocità a cavallo dei due rotori e calcolare la potenza fornita dallo stadio;
(c) calcolare il rendimento totale-statico dello stadio, dopo averne dato opportuna definizione;
(d) calcolare l’altezza di pala allo scarico del primo e del secondo rotore.
39
Esercizio 6.1:
(a) ciclo termodinamico:
punto
T [K]
p [MPa]
1
293
0.1
2s
635.2
1.5
2
700.4
1.5
3
1225
1.425
4s
643.3
0.1
4
724.7
0.1
(b) α = 68.43
(c) lc = 417.8 kJ/kg, lt = 584.9 kJ/kg, lu = 175.65 kJ/kg (riferito alla portata aspirata)
(d) ηg = 0.286
(e) Pu = 17.56 MW
Esercizio 6.2:
(a) ciclo termodinamico:
punto
T [K]
p [MPa]
1
298
0.1013
2s
682.6
1.82
2
732.7
1.82
3
1550
1.79
4s
725.06
0.1013
4
799.31
0.1013
(b) ṁa = 420.8 kg/s, Pu = 156.0 MW, ηg = 0.387
Esercizio 6.3:
(a) v1 = 324.13 m/s, α1 = 15◦ ,
w1 = 85.58 m/s, β1 = 101.4◦ ,
v2 = 79.5 m/s, α2 = 79.04◦ ,
w2 = 324.6 m/s, β2 = 166.06◦
(b) Dm = 2.16 m, hp = 0.21 m, n = 2917.8 giri/min
Esercizio 6.4:
(a) . . .
(b) βAP = 2.691
(c) lu = 482 kJ/kg (riferito alla portata aspirata), ηg = 0.377, ṁf = 9.20 kg/s
(d) ṁH2 O = 896.3 kg/s
Esercizio 6.5:
rb ) u = 235.6 m/s,
w2 = 334.9 m/s, β2 = 134.7◦ ,
w1 = w2 , β1 = 180◦ − β2 ; v1 = 527.9 m/s, α1 = 26.8◦ ;
χ=0
rm ) u = 353.4 m/s,
w2 = 426.1 m/s, β2 = 146.0◦ ,
w1 = 241.2 m/s, β1 = 99.4◦ , v1 = 394.1 m/s, α1 = 37.13◦ ;
χ = 0.556
ra ) u = 471.2 m/s,
w2 = 527.9 m/s, β2 = 153.2◦ ,
w1 = 334.9 m/s, β1 = 134.7◦ , v1 = 334.9 m/s, α1 = 45.3◦ ;
χ = 0.750
Esercizio 6.6:
(a) ṁcb = 0.19 kg/s
(b) Tout,T = 709.1 K
(c) vu,t = 239.5 m/s, vu,f = 267.5 m/s
Esercizio 6.7:
(a) . . .
(b) NB: 1: ingresso 1◦ rotore, 2: uscita 1◦ rotore, 3: ingresso 2◦ rotore, 4: uscita 2◦ rotore.
u1 = 114.7 m/s, v1 = 600.9 m/s, w1,a = 175.7 m/s, w1,t = 460.0 m/s, β1 = 20.9◦
β2 = 159.1◦ , w2,t = −460 m/s, v2,t = −345.3 m/s, α2 = 153.0◦
u3 = −u2 , w3,t = −230.6 m/s, β3 = 142.7◦
w4,t = 230.6 m/s, β4 = 37.3◦ , v4,t = 115.9 m/s, α4 = 56.6◦
P = 9.76 MW
(c) ηT S =
`
h◦ −h4ss
= 0.877
(d) b2 = b4 = b1
40

Esercitazioni di Macchine

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