La radice quadrata

La radice quadrata
Scritto da Maria Rispoli
Domenica 09 Gennaio 2011 20:05 - Ultimo aggiornamento Lunedì 28 Febbraio 2011 10:00
Consideriamo un numero ed eleviamolo alla seconda
L’operazione inversa dell’elevamento a potenza è l’estrazione della radice quadrata
Questa operazione si indica con il simbolo
, che si legge radice quadrata di
Estrarre la radice quadrata di un numero (detto radicando) significa determinare quel
numero che elevato al quadrato dà il numero di partenza
E’ nota che l’estrazione di radice quadrata non è sempre eseguibile nel campo dei numeri
razionali.
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Essa è però sempre eseguibile geometricamente, cosa che facciamo vedere nel prossimo
paragrafo.
Rappresentazione grafica della radice quadrata
Dato
un segmento
a, col
anche
può essere
costruita
solo uso della riga e del compasso.
Su una retta si riporta OA = a e AB = 1.
Si traccia un cerchio di diametro OB e si costruisce la perpendicolare a OB passante per A: sia
C la sua intersezione con il cerchio. Il triangolo OBC è rettangolo in C, perché, come è noto
dalla geometria elementare, un angolo inscritto in mezza circonferenza è retto.
Quindi:
O?A=A
C
i triangoli rettangoli OAC e CAB sono simili, e si ha, per x = AC,
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; x 2 = a; .
Algoritmi per l’estrazione della radice quadrata
Aritmeticamente il più antico schema di estrazione di radice quadrata che conosciamo, compare
nel commento di Teone di Alessandria (VI secolo) all’Almagesto di Tolomeo.
Dal XIII al XVI secolo, con l’introduzione delle cifre indoarabiche, l’algoritmo usato per
l’estrazione della radice quadrata (che già si trova, con esempi numerici di crescente difficoltà,
nel Liber abaci di Fibonacci) è stato quello classico per galera.
Uno dei primi esempi di estrazione di radice a danda, il metodo che, salvo trascurabili differenze
nella disposizione del calcolo è usato tutt’oggi, è esposto da Rafael Bombelli nel suo trattato L’A
lgebra
del 1572
[1]
.
Nel libro primo dell’Algebra di Rafael Bombelli viene sviluppato il calcolo di radicali, ed in
particolare viene insegnata l’estrazione di radici aritmetiche esatte ed approssimate.
Come ci fa notare Ettore Bortolotti:
“E’ notevole la regola che egli [R. Bombelli] dà per
“formare il rotto nella estrazione della radice quadrata”,
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cioè per calcolare la radice quadrata approssimata di numeri non quadrati”.
Vedremo di seguito tale metodo confrontando il linguaggio utilizzato dal Bombelli con quello
moderno.
“Pongasi dunque che si habbia a trovare il lato prossimo di 13, di cui il più prossimo quadrato è
9, di cui il lato è 3; però pongo che il lato prossimo di 13 sia 3+1 tanto e il suo quadrato è 9+6
tanti +1 potenza, il qual’è eguale a 13, che levato 9 a ciascuna delle parti, resta 4, eguale a 6
tanti + 1 potenza.
Molti hanno lasciato andare quella potenza, e solo hanno agguagliato 6 tanti a 4, che il tanto
valeria et hanno fatto che l’approssimatione si è 3
perché la positione fu 3+1 tanto, viene ad essere 3
; ma volendo tenere conto della potenza ancora, valendo il tanto
, la potenza valerà
di tanto, che aggionto con li 6 tanti di prima, si haverà 6
tanti eguale a 4, che agguagliato, il tanto valerà
e perché fu posto 3+1 tanto sarà 3
e valendo il tanto
, la potenza valerà di tanto, e si haverà 6 di tanto eguale a 4, si che si vede donde nascono le regole dette di sopra”.
Di seguito quanto scritto è tradotto in linguaggio moderno.
Supponiamo
si vogliailcalcolare
un valore
prossimo
di
, il numero 3 che
è il termine
cui quadrato
è più vicino
al valore
13. Quindi abbiamo che:
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Effettuando il quadrato di ambo i membri si ottiene:
13=9+6x+x 2
cioè:
4=6x+x 2
Trascurando in prima approssimazione x 2 , si ha
6x = 4
Volendo un valore più approssimato, si faccia
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Poiché:
4 = 6x + x 2
otteniamo:
Ma sappiamo che:
Quindi sarà:
in quanto abbiamo trovato:
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Se sostituiamo questo valore in
4 = 6x + x 2
otteniamo:
Sostituendo questo valore in:
otteniamo un valore per la radice quadrata di 13 ancora più preciso del precedente:
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Il Bombelli dice che “procedendo come si è fatto di sopra si approssimarà come l’huomo vorrà”;
ma non avendo lasciato i calcoli non estrinsecò la frazione continua, che fu più tardi rivelata da
Cataldi.
Dal procedimento esposto nell’Algebra di Rafael Bombelli si può determinare una formula
ricorsiva in grado di calcolare valori approssimati delle radici quadrate di numeri non quadrati.
Volendo per esempio calcolare un valore approssimato di radice quadrata di 2:
dove 1 rappresenta il valore approssimato a meno di una unità mentre x è una quantità positiva
da determinare soddisfacente la condizione:
Quadrando
abbiamo: la
da cui, trascurando il termine x 2 rispetto ad x, abbiamo un primo valore, che denotiamo con x 0 ,
della grandezza incognita
x
:
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Pertanto sostituendo nell’espressione iniziale di radice di due abbiamo:
che risulta essere un valore approssimato per eccesso a meno di un decimo di radice quadrata
di due. Al fine di ottenere un’approssimazione migliore basta sdoppiare il monomio x 2 nel
seguente modo:
allora sostituendo nella:
abbiamo:
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che sostituito nella ci dà:
da cui:
pertanto:
Iterando tale procedimento perveniamo alla seguente formula ricorsiva:
la procedura per la radice di tre troviamo successivamente:
Applicando
2 2
3=1+2x
+x
2=2x
+x
e
trascurando
al solito il termine quadratico rispetto ad x abbiamo: x 0 =1.
Pertanto:
2
è
risultato
un
valore
finale:
approssimato
x
=
x
*
x
=
x
2x
0
+
1x
2
=
(2
+
1)
x * x = 1 * x per eccesso a meno di un’unità. Così continuando perveniamo al
da cui:
e quindi la formula ricorsiva:
abbiamo
Applicando
trovato
la stessa
le seguenti
procedura
formule
per ricorsive:
le successive radici quadrate di numeri non quadrati,
e
Dacosì
una
quadrata
una
formula
attenta
di un
generale
qualunque
analisi la
di quale
queste
numero
siaformule
in
non
grado
quadrato.
ricorsive
di fornire
ci rendiamo
un
conto
approssimato
che è possibile
della radice
ottenere
i via.
risultati
conseguiti
in
precedenza
potrebbero
giàvalore
condurre
alla:
Difatti
la consistenza
della precedente regola procedendo per via deduttiva:
Verifichiamo
2
2
2
a
2bx+x+x2 2xrispetto
2 =+2bx
a
--=b
trascurando
ad x abbiamo:
a
bb
= 2bx
e quindi:
Proviamo ora
a definire
x in modo
ricorsivo.
allora
la formula
ricorsiva
risulta: Se con n indichiamo il grado d’approssimazione
desiderata,
Metodo di Newton per il calcolo della radice quadrata
Vediamo come calcolare la radice quadrata di un numero positivo N, utilizzando il metodo di
Newton.
Ilènumero l’unica soluzione positiva dell’equazione:
Il
è numero
anche il limite, per n --> ?, della successione il cui primo termine è
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mentre il termine generale è:
Si noti che
nell’intervallo
. Semplificando la relazione
otteniamo la relazione di ricorrenza:
Osserviamo che abbiamo già studiato questa successione. La quale per N=2 è la stessa
successione definita con l’algoritmo di Erone
[2]
.
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[1] Bottazzini, Freguglia, T. Rigatelli, Fonti per la Storia della Matematica, Sansoni.
[2] P. Marcellini, C. Sbordone, Calcolo, Liguori.
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